Ecuaciones Diferenciales Parciales

Equipo 3

HISTORIAEl estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones”. Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías.

• En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y).

• En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). • Y en la tercera categoría están las

ecuaciones diferenciales parciales.

Una ecuación diferencial parcial para una función

con derivadas parciales

es una relación de la forma

donde es una función de las variables , en

donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.

Definición

Es decir…

Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes.

Como se Clasifican

Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican en función a:

Orden

Grado

Linealidad

ORDEN

Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que intervieneen la ecuación.

Es decir, la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y sus derivadas.

GRADO

LINEALIDAD

una ecuación se dice lineal si

donde los ai no todos son cero.

En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma

Donde an(x) es una función de x no cero.

Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS• Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es

exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, es decir:

• Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales.

dyxQdxyxPdyyU

dxxU

dU ),(),(∂∂

∂∂

+=+=

Clasificación de las EDP de segundo orden

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

• Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.

Ejemplo. Laplace Elíptica

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Elípticas

• Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas.

Ejemplo: Difusión Parabólicas.

Es la ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

• Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas.

Ejemplo: Onda Hiperbólica.

Es la ecuación de onda unidimensional, que describe

fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

EDP de orden superior

Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

Flexión mecánica de una placa elástica:

Vibración flexional de una viga:

SOLUCION DE ECUACIONESEN DERIVADAS PARCIALES LINEALES

• La solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta mas complejo que la solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no existen metodos generales de resolucion efectivos sino para un diverso grupo de ecuaciones.

Existen 3 tipos de soluciones para las Ecuaciones Diferenciales Parciales.

o Solución general

o Solución completa

oMétodos de Laplace

Solución general

Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

solución completa:

La transformada de Laplace se puede utilizar para la solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo. El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la transformada inversa

Métodos de Laplace:

APLICACIONES Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos.

Ecuación de la conducción del calor. La constante C , llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.

Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante . La constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.

Encontrar la superficie solución de la E.D.P

que tenga la propiedad de contener la curva intersección de la superficie z = y2 con el plano x = 0.

Ejemplo: