Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Universidad Del Norte)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sebastián Castañeda HernándezJairo Hernández Monzón

William Eduardo Jiménez JiménezJorge Eliécer Ospino Portillo

Grupo MAREA

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Universidad del NorteCiencias Básicas

Departamento de MatemáticasBarranquilla-Colombia

ÍNDICE GENERAL

1. Introducción 11.1. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Campos Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. El Teorema de Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Ecuaciones de Primer Orden 172.1. Separación de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Ecuaciones Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Factores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6. Sustituciones diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1. Ecuaciones de la formady

dx= F (ax + by + c) . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.2. Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. Ecuaciones Lineales de Orden Superior 573.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Espacios funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.2. El operador diferencial lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3. El operador lineal de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 67

4

3.3. Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4. Ecuaciones no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4.1. Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.2. Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5. Ecuaciones de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4. La Transformada de Laplace 974.1. El operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3. Transformada de funciones escalonadas, periódicas y de impulso . . . . . . 1104.4. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5. Solución de problemas con valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5. Solución en Series 1335.1. Series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2. Convergencia de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.3. Funciones definidas por series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.1. Problemas básicos de los desarrollos en series . . . . . . . . . . . . . 1385.4. Soluciones en series de potencias de ecuaciones diferenciales lineales . . . . 147

5.4.1. Soluciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2. Método de la serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.4.3. Una ecuación especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Bibliografía 177

CAPÍTULO

1

Introducción

1.1. Conceptos Básicos

En términos elementales una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadasde una o más funciones incógnitas en una o más variables independientes.

Muchas de las leyes básicas de las ciencias biológicas, económicas, físicas, y sociales, asícomo en las ingenierías desarrollan modelos matemáticos para su mejor comprensión, confrecuencia, estos modelos producen una ecuación diferencial.

En esta sección veremos los conceptos básicos, como la clasificación de las ecuaciones dife-renciales, solución de una ecuación diferencial; en la sección 1.2 los campos direccionales,en la sección 1.3 el teorema de existencia y unicidad, y en el capítulo 2 veremos las técnicaselementales de solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

En los siguientes ejemplos se muestra cómo se originan algunas ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 1.1.1. Caída libre: Se deja caer un objeto desde una altura (por encima de lasuperficie terrestre), el cual está sujeto a la acción de la fuerza de atracción gravitatoria 1.

1Aquí suponemos que la fuerza gravitatoria es la única que actúa sobre el objeto, y que esta fuerza esconstante.

2 Introducción

Aplicando al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un

Figura 1.1: Caída libre

objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él. Se obtiene entoncesla ecuación

md2y

dt2= −mg

donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre la superficie terrestre, t es el tiempo

transcurrido a partir de un instante dado,d2y

dt2es su aceleración, g es la aceleración gravi-

tacional y −mg es la fuerza de atracción gravitatoria. Esta es una ecuación diferencial desegundo orden 2 de la altura desconocida y como función del tiempo t.

Ejemplo 1.1.2. Crecimiento o decrecimiento exponencial: Consideremos una po-blación de bacterias que está cambiando a una tasa proporcional a su tamaño. Si P (t)representa la población en el tiempo t, entonces la ecuación del crecimiento (o decreci-miento) de la población es

dP

dt= kP (t),

donde k puede ser positiva o negativa, dependiendo si la población crece o decrece.

Ejemplo 1.1.3. La ley de enfriamiento o calentamiento de Newton: Esta ley afir-ma que la razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferenciade temperatura entre el objeto y el medio ambiente.Si T (t) es la temperatura del objeto al tiempo t, Tm es la temperatura del medio ambiente

(constante) ydT

dtes la razón con que la temperatura del objeto cambia, la ley del enfria-

miento de Newton nos dice entonces que

dT

dt= k(T − Tm)

donde k es la constante de proporcionalidad.2Se precisará esto más adelante.

1.1 Conceptos Básicos 3

Ejemplo 1.1.4. Drenado de un tanque: En hidrodinámica, la ley de Torricelli estableceque la rapidez de salida a través de un agujero de bordes agudos, en el fondo de un tanquelleno de agua a una profundidad h es la misma que la rapidez que un cuerpo adquiriría alcaer libremente desde una altura h, esto es v =

√2gh, donde g es la aceleración debida a la

gravedad3. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja drenar a través de un agujerodebido a la acción de la gravedad. Determinemos una ecuación diferencial que exprese laaltura del agua en cualquier tiempo t.

Si el área transversal del agujero es Ah y la rapidez del agua que sale del tanque es

Figura 1.2: Drenado de un tanque

v =√

2gh, el volumen de agua que sale del tanque por segundo, es Ah

√2gh. Así, si V (t)

representa al volumen del agua en el tanque en cualquier tiempo t,

dV

dt= −Ah

√2gh,

donde el signo menos indica que V está disminuyendo4. Si el tanque es tal que el volumendel agua en cualquier tiempo t se expresa como V (t) = Awh, donde Aw es el área constantede espejo de agua (la superficie superior), entonces

dV

dt= Aw

dh

dt.

Igualando estas dos expresiones paradV

dty despejando

dh

dtllegamos a la ecuación diferencial

deseadadh

dt= −Ah

Aw

√2gh.

Se puede observar que la anterior ecuación es válida aun cuando Aw no sea constante. Eneste caso se debe expresar el área de espejo de agua en función de h: Aw = A(h).

3La expresión para v se origina al igualar la energía cinética,12mv2, con la energía potencial, mgh y

despejando v.4No se tiene en cuenta la posibilidad de fricción en el agujero, que podría causar una reducción de la

razón de flujo.

4 Introducción

Ejemplo 1.1.5. Mezclas: Supongamos que un tanque mezclador contiene V0 galones desalmuera (sal disuelta en agua). Otra solución de salmuera se bombea al tanque a razónde r1 galones por minuto; con una concentración de c1 libras por galón. La solución bienmezclada sale del tanque a razón de r2 galones por minuto.

Si S(t) denota la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque al tiempo t, entonces la

Figura 1.3: Mezclas

razón con la que S(t) cambia, es:

dS

dt= R1 −R2

donde R1 es la razón de entrada de la sal, y R2 es la razón de salida de la sal.La razón de entrada de la sal es:

R1 = r1 · c1 lb/min,

y la razón de salida de la sal es:

R2 = r2 · c2 lb/min.

Ahora bien, como las razones de entrada y de salida de la salmuera son distintas, la cantidadde galones de salmuera en el tanque en cualquier instante t es V0 + (r1 − r2)t gal 5. Porlo tanto la concentración de la sal en el tanque y en la salida es

c2 =S(t)

V0 + (r1 − r2)tlb/gal.

Entonces se tiene la ecuación diferencial

dS

dt= r1 · c1 − r2 · S(t)

V0 + (r1 − r2)t.

5Si las razones de entrada y salida de la salmuera son iguales, esta cantidad es constante e igual a V0.


Ejemplo 1.1.6. Circuitos eléctricos simples: Consideremos un circuito eléctrico sim-ple compuesto por un resistor y un inductor o capacitor en serie con una fuente de fuerzaelectromotriz (fem), como se muestran en la figura. Esta fuerza electromotriz E(t) (volts),producida por una batería o un generador, hace fluir una carga eléctrica q(t) (coulombs) yproduce una corriente i(t) (amperes), donde

i(t) =dq

dt.

Un resistor de resistencia R (ohms) que se opone a la corriente y disipa energía en formade calor, produce una caída de voltaje dada por la ley de Ohm

ER = iR.

Un inductor de inductancia L (henries) se opone a cualquier cambio en la corriente6

Figura 1.4: Circuitos RL y RC

produciendo una caída de voltaje de

EL = Ldi

dt.

Un condensador de capacitancia C (farads) acumula carga, produce una caída de voltajedada por

EC =q

C.

Según la segunda ley de Kirchhoff, la suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededorde un circuito cerrado es cero, se tiene entonces:Para el circuito RL

ER + EL − E(t) = 0,

esto esiR + L

di

dt= E(t).

6De acuerdo a las leyes de Faraday y Lenz.

6 Introducción

Para el circuito RCER + EC − E(t) = 0,

o seaiR +

q

C= E(t),

oR

dq

dt+

q

C= E(t).

Ejemplo 1.1.7. Depredador-presa: Cuando distintas especies animales conviven en unambiente determinado, se produce una competencia por la supervivencia. En ella algunasespecies sobreviven alimentándose de otras, otras compiten por alimentos comunes, etce-tera. Supongamos dos especies de animales, una especie depredadora que se alimenta deotra especie que llamaremos presa, la cual tiene alimento suficiente en todo instante. Sidenotamos por X(t), el número de individuos, en el instante t, de la especie depredadora,y Y (t), el correspondiente número de individuos de la especie presa, un modelo simplifi-cado para las dos poblaciones (haciendo abstracción de otros factores distintos a los de lacompetencia misma entre las dos especies) es:

dX(t)dt

= −aX(t) + bX(t)Y (t),

dY (t)dt

= cY (t)− dX(t)Y (t),

donde a, b, c, y d son números reales positivos. Este modelo es un sistema de ecuacionesdiferenciales.

Ejemplo 1.1.8. Ecuación de calor: La temperatura de un cuerpo en el que está fluyendocalor varía, en general, para puntos diferentes del mismo cuerpo en un instante dado. A suvez, par un mismo punto, la temperatura puede variar con el tiempo. Un ejemplo sencillo loobtenemos con una varilla delgada homogénea. La temperatura T es función de la abscisax del punto, y del tiempo t. El cambio de temperatura según la posición y el tiempo obedecela ecuación diferencial en derivadas parciales:

∂T

∂t= k

∂2T

∂x2,

donde la función incógnita es T (x, t) y la ecuación diferencial involucra derivadas parcialesde dicha función.

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo con su tipo, su orden y sulinealidad.

Según el tipo se presentan dos casos: si la ecuación sólo contiene derivadas ordinariasde funciones incógnitas con respecto a una sola variable independiente, se dice, en este


caso, que la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria, o si la ecuación contienederivadas parciales de funciones incógnitas con respecto a dos o más variables indepen-dientes, se dice entonces, que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. Porejemplo,

dy

dx= y + x− 2, y

d2y

dt2+

dy

dt− y = 0,

son ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que

∂u

∂y+

∂u

∂x= x + y, y

∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2= 0,

son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden presente enla ecuación. Por ejemplo, la ecuación

d2y

dx2+ 5

dy

dx+ 2y = 3x,

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, y la ecuación

∂z

∂x− ∂z

∂y= 0,

es una ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden.

Definición 1.1.1. En forma general una ecuación diferencial ordinaria de orden n,n ∈ Z+, en una variable dependiente, es una ecuación de la forma

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0, (1.1)

donde F es una función de valor real de n + 2 variables reales, y en la que y(n) =dny

dxn.

Según la linealidad se dice que una ecuación diferencial como la (1.1) es lineal si F eslineal en y, y′, y′′, . . . , y(n). Es decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden n eslineal si se puede escribir en la forma

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x). (1.2)

En esta última ecuación es de observar dos propiedades características de las ecuacionesdiferenciales ordinarias lineales; la variable dependiente y todas sus derivadas son de primergrado y cada coeficiente sólo depende de la variable independiente. Por ejemplo,

y′′ − 3y′ + y = 5x, y y′′′ + xy′′ − y′ + xy = cos x,

8 Introducción

son lineales, mientras que las ecuaciones

yy′ + xy − x + 2 = 0, y y′′ − sin y = y,

no son lineales.

Definición 1.1.2. Una solución de la ecuación diferencial (1.1), en un intervalo abiertoI de R, es una función y = ψ(x), que posee n derivadas continuas en I, tal que (1.1) sesatisface cuando se reemplazan en ella ψ y sus derivadas. Esto es

F (x, ψ(x), ψ′(x), ψ′′(x), . . . , ψ(n)(x)) = 0, para todo x en I.

Se denomina solución general de (1.1) a una familia n-paramétrica de funciones definidaspor la ecuación

Ψ(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0.

Una solución de (1.1) sin parámetros arbitrarios se llama solución particular, es obte-nida por asignación de valores específicos a los parámetros de una solución general. Unasolución que no se obtiene de la solución general asignándole valores permitidos a los pa-rámetros, se denomina solución singular. La solución nula se denomina solución trivial.

Ejemplo 1.1.9. La ecuación diferencial

y′′ + y′ = 0,

tiene como solución general ay = c1 + c2e

−x,

con c2 6= 0. Vemos que y = 0 es también solución; si c1 = 0 y c2 = 1, y = e−x es unasolución particular de la ecuación diferencial, y = 2 define una solución singular de laecuación diferencial dada.

1.2. Campos DireccionalesEn esta sección describiremos una forma relativamente sencilla para obtener informaciónsobre la solución de una ecuación diferencial.

Consideremos la ecuación diferencial de primer orden

y′ = f(x, y), (1.3)

donde f es una función real definida en algún subconjunto abierto del plano. En la secciónsiguiente se dirá bajo que condiciones la ecuación (1.3) tiene solución única siempre que se

1.2 Campos Direccionales 9

especifique una condición inicial. Geométricamente hablando, el conjunto solución de (1.3)es el conjunto de curvas en el plano xy tales que en cada punto P (x, y) la pendiente de larecta tangente a la curva solución es f(x, y).

Conocemos, entonces, la dirección de la curva solución en cualquier punto P (x, y) en elplano. El conjunto de todas estas direcciones en el plano es el campo direccional de laecuación diferencial (1.3).

Ejemplo 1.2.1. Consideremos la ecuación diferencial

y′ = x2 + y2 (1.4)

Se tiene que f(x, y) = x2 + y2. Entonces si y = g(x) es una solución de (1.4), su gráficaes una curva plana tal que en cada punto P (x, y) la pendiente de la recta tangente a ellaes x2 + y2. Así, si por ejemplo la curva solución pasa por el punto (1, 2), la recta tangentea dicha curva en ese punto es mT = 12 + 22 = 5. Observamos que para toda (x, y) enel plano, y′ > 0 en todo el plano. El campo direccional ha sido esbozado en la figura 1.5.Observamos que las curvas solución suben y se tornan más verticales a medida que x y ycrecen (positiva o negativamente).

Figura 1.5: Campo direccional de y′ = x2 + y2

Consideremos ahora la familia de curvas definidas por

f(x, y) = x2 + y2 = c, (1.5)

donde c > 0 es una constante arbitraria, para un valor dado del parámetro c si la gráfica de(1.5) intersecta a una curva solución de (1.4), en cada punto de la intersección la pendiente

10 Introducción

de la recta tangente a la curva solución es justamente c. Las curvas definidas por (1.5) sedenominan curvas isoclinas de la ecuación diferencial (1.4). Para todos los puntos deuna de tales curva, las rectas tangentes a las curvas soluciones que la intersectan tienenigual pendiente (inclinación). Esto como se dijo anteriormente, permite predecir la formade las curvas soluciones de la ecuación diferencial.En este ejemplo las isoclinas tiene por ecuación x2 + y2 = c. Es decir, son circunferenciascentradas en el origen de coordenadas. La figura 1.6 muestra algunas de ellas.

Figura 1.6: Isoclinas de y′ = x2 + y2

Las observaciones anteriores ilustran, con un ejemplo específico, el caso general de la ecua-ción diferencial y′ = f(x, y). El campo direccional de la ecuación diferencial brinda unaforma de aproximarse a la solución de tal ecuación diferencial por medios geométricos.

1.3. El Teorema de Existencia y UnicidadFrecuentemente nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones impues-tas a la función incógnita y = y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo abierto I quecontenga al número x0, el problema

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0y(x0) = y0

y′(x0) = y1...

......

y(n−1)(x0) = yn−1

(1.6)

1.3 El Teorema de Existencia y Unicidad 11

donde y0, y1, . . ., yn−1 son constantes especificadas, se llama problema de valores ini-ciales. Los valores dados de la función desconocida, y(x) y sus primeras n − 1 derivadasen el punto x0: y(x0), y′(x0), . . ., y(n−1)(x0) se llaman condiciones iniciales.

El problema de valor inicial

y′ = f(x, y)y(x0) = y0

(1.7)

es un caso particular del problema de valores iniciales (1.6), bajo ciertas condiciones dichoproblema tiene solución única. En el siguiente teorema se enuncia, sin demostración, lascondiciones suficientes para la existencia y unicidad de las soluciones de (1.7).

Teorema 1.3.1 (Teorema de existencia y unicidad). Para el problema (1.7). Si f esuna función continua en algún conjunto abierto S de R2 para el cual (x0, y0) ∈ S, entoncesexiste al menos una solución de (1.7) definida en algún intervalo abierto I ⊂ R, con x0 ∈ I.

Si además,∂f

∂yexiste y es continua en S, la solución del problema (1.7) es única.

Ejemplo 1.3.1. Consideremos el problema de valor inicial

y′ = x2 + y2

y(x0) = y0

para x0, y0 ∈ R. ¿Tiene solución única?.Dado que f(x, y) = x2 + y2 es una función polinómica, se tiene que es continua en todoconjunto abierto que contenga a (x0, y0), por lo que se garantiza la existencia de al menosuna solución del problema de valor inicial dado. Ahora bien como

∂f

∂y(x, y) = 2y,

es una función continua, se garantiza la unicidad de la solución.

Ejemplo 1.3.2. ¿Tiene alguna solución el problema de valor inicial siguiente?

y′ =y

xy(0) = 0.

Dado que f(x, y) =y

x, no es continua en (0, 0), entonces por el teorema (1.3.1), el problema

de valor inicial no tiene solución.

12 Introducción

1.4. Ejercicios1. Clasificar de acuerdo al tipo, orden y linealidad, las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′ = 3y.

(b) (y′)2 =3x

y.

(c) (y′)3 +√

1 + (y′)2 = 0.

(d) x∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 5u.

(e) y′′ − 2y′ + y = 0.

(f)∂2u

∂x2=

∂2u

∂t2− 2

∂u

∂t.

(g) yy′′ − 2y′ = x.

(h)(

d2u

ds2

)1/3

= k

[1 +

(du

ds

)2]5/2

.

(i) y′ = 2e−x.

(j)∂y

∂t=

∂x

∂t+ kx− ∂y

∂s.

(k) x2y′′ + xy′ + y = 0.

(l) yy′′ + x2y = x.

(ll)∂y

∂t+

∂2y

∂s2= c.

(m) x2y′′ + xy′ + (x2 − v2)y = 0.

(n)∂4v

∂t4= kv

(∂2m

∂n2

)2

.

(ñ) (yv)3 − y′′′ + y′′ − y2 = 0.

(o) sin(y′) + y = 0.

(p) y′ + y =x

y.

2. Muestre, en cada caso, que la ecuación dada define una solución de la correspondienteecuación diferencial:

(a) cy = x3, con c 6= 0, de xdy

dx− 3y = 0. ¿Qué sucede para c = 0?

(b) yex = x + 2, de y′ + y = e−x.

(c) ln y = cex + e−x, de yy′′′ − yy′ ln y − y′y′′ = 0, con c ∈ R.

(d) F (x, y) = 2y + G(x)ey + H(y), de∂2F

∂y∂x− ∂F

∂x= 0, siendo G y H funciones

diferenciables en una variable.

3. Averiguar si las siguientes funciones son solución de la correspondiente ecuacionesdiferenciales ordinarias y si lo es, diga si es solución general o particular:

(a) y = cex, de y′ = y.

(b) y = 2e−2x +1

3ex, de y′ + 2y = ex.

(c) y = e−x cos(x

2

), de y′′ + y′ = e−x cos

(x

2

).

(d) y = c1e−x + c2e

2x, de y′′ − y′ − 2y = 0.

(e) y = 8ex + xex, de y′′ − 2y′ + y = 0.

(f) y =sin x

3x, de xy′ + y = cos x.

1.4 Ejercicios 13

(g) y − 1

cos x= 0, de y′ = y tan x.

(h) y = − 3

3x + 2, de y′ = 3y2.

(i) y = 1 + c√

1− x2, de (1− x2)y′ + xy = x.

(j) y = 2x√

1− x2, de yy′ = 4x− 8x3.

4. Construya en cada caso una ecuación diferencial que tenga la solución pedida y lascaracterísticas indicadas:

(a) y = x2, de orden dos y lineal.(b) y = x2, de orden dos y no lineal.(c) x = et, de orden tres.(d) y = x + xex, de orden dos, lineal, que aparezcan las derivadas d orden uno y

cero.

5. Demuestre que y(t) = c + de−5t define, para valores reales de c y d, una solución dela ecuación diferencial y′′ + 5y′ = 0. Encuentre los parámetros c y d para los cualesy(0) = y′(0) = 1.

6. Demuestre que una curva plana es una recta no vertical si, y solo si, la pendiente dela recta tangente no depende del punto (es decir, es constante).

7. La ecuación diferencial y′ = x2 + y tiene una familia de soluciones dada pory = cex − x2 − 2x− 2.

(a) Grafique las curvas soluciones para c = 0, 1,−1.(b) Usando el campo direccional esbozar la forma de las curvas soluciones indicadas

en el item anterior.(c) Compare las gráficas obtenidas en los items anteriores.

8. Con ayuda de un sistema de computo, dibuje el campo direccional y algunas isoclinas,para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y′ = x.(b) y′ = y.(c) y′ = xy.

(d) y′ =x

y.

(e) y′ =1

x.

(f) y′ = x + y.

(g) y′ = x− y.

(h) y′ = cos x.

(i) y′ = sin x.

(j) y′ = tan x.

9. En cada caso aplique, si es posible, el teorema de existencia y unicidad a los problemasde valor inicial dados para decidir la existencia y unicidad de las soluciones.

14 Introducción

(a)

y′ = 2x + yy(0) = 0.

(b)

y′ =ex+y

x + yy(1) = 0.

(c)

y′ = (x− y)1/3

y(1) = 1.

(d)

y′ = |y − 1|y(0) = 1.

(e)

y′ = f(x, y)y(0) = 0,

donde

f(x, y) =

y

x, si x 6= 0

y, si x = 0.

10. Hallar la región del plano xy en la cual la ecuación diferencial y′ = xy tiene unasolución única en un punto (x0, y0) de esa región.

11. Dada la siguiente ecuación diferencial y′ = 3√

y2. Averiguar en qué región:

(a) Tiene más de una solución.

(b) Tiene solamente una solución.

En los problemas del 11 al 23, escriba una ecuación diferencial que modele matemá-ticamente la situación que se describe.

12. La aceleración del automóvil Lamborghini es proporcional a la diferencia entre 250km/h y la velocidad del automóvil.

13. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es propor-cional a la cuarta potencia de su posición.

14. La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad de un bote de motor esproporcional al cuadrado de ella.

15. La razón de cambio en la temperatura T del café en el instante t es proporcional ala diferencia entre la temperatura A del aire en el instante t y la temperatura T delcafé en el instante t.

16. Por un agujero circular de área Ah, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido ala fricción y a la concentración de la corriente de agua cerca del agujero, el flujo deagua, por segundo, se reduce a cAh

√2gh, donde c es el factor de fricción y contracción

(0<c<1). Deduzca una ecuación diferencial que exprese la altura h de agua al tiempot, que hay en el tanque cúbico de la figura 1.7. El radio del agujero es 1 pulgada yg = 32 pies/seg2.

17. El tanque cónico circular de la figura 1.8 pierde agua por un agujero circular en sufondo. Determine una ecuación diferencial para describir la altura h del agua en eltiempo t. El radio del agujero es 3 pulgadas, g = 32 pies/seg2, y el factor de friccióny contracción es c = 0,5.

1.4 Ejercicios 15

Figura 1.7:

Figura 1.8:

18. Suponga que en un gran tanque de mezclado hay inicialmente 200 galones de agua,en los que se disolvieron 40 libras de sal. Al tanque entra agua pura con un flujo de3 gal/seg y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuacióndiferencial que exprese la cantidad S(t) de sal que hay en el tanque, al tiempo t.

19. Para el problema anterior, suponga ahora que la solución salina sale con un flujo de2 gal/seg en vez de 3 gal/seg, manteniendo el resto igual. Deduzca una ecuacióndiferencial que exprese la cantidad S(t) de sal que hay en el tanque, al tiempo t.

20. Suponga que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 500 galones de agua,en los que se han disuelto 60 libras de sal. Al tanque entra otra salmuera a razón de4 gal/min y, estando bien mezclado el contenido en el tanque, salen 5 gal/min. Si laconcentración de la solución que entra es 2 lb/gal. Deduzca una ecuación diferencialque exprese la cantidad S(t) de sal que hay en el tanque, al tiempo t.

21. Halle la forma que debe tener un espejo curvo para que la luz de un foco, situado enel origen se refleje en un haz paralelo al eje x (ver figura ??). Por simetría, el espejodebe tener la forma de una superficie de revolución obtenida al hacer girar una curvaalrededor del eje x (aplique la ley de reflexión).

22. Cuando un cuerpo se mueve a gran rapidez en el aire (como el del paracaidista quese ve en la figura 1.9, antes de que se abra el paracaídas), la resistencia del mismo se

16 Introducción

describe mejor con la velocidad instantánea elevada a cierta potencia. Formule unaecuación diferencial que relacione la velocidad v(t) del paracaidista de masa m quecae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

Figura 1.9:

23. Un objeto cae al vacío con aceleración constante g. Exprese su velocidad en funciónde su altura.

24. En el agua flota un barril cilíndrico de d pies de diámetro y w libras de peso. Despuésde un hundimiento inicial, su movimiento es oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo,en línea vertical (ver figura (?)). Deduzca una ecuación diferencial para determinar eldesplazamiento y(t), si se supone que el origen está en el eje vertical y en la superficiedel agua cuando el barril está en reposo7. Suponga que la dirección hacia abajo espositiva, que la densidad del agua es 62,4 lb/pie3 y que no hay resistencia del agua.

7Use el principio de Arquímedes, el cual dice que la fuerza de flotación que ejerce el agua sobre elbarril es igual al peso del agua que desplaza éste.

CAPÍTULO

2

Ecuaciones de Primer Orden

Como se dijo en el capítulo anterior, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden esde la forma

F (x, y, y′) = 0.

Un caso particular de nuestro interés es la ecuación diferencial ordinaria de primer ordende la forma

y′ = f(x, y),

donde f es una función real definida en algún subconjunto abierto del plano xy.

En este capítulo estudiaremos algunos métodos de mayor utilidad para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias de primer orden.

2.1. Separación de Variables

Consideremos la ecuación diferencial de primer orden (1.3)

y′ = f(x, y).

Si la función f(x, y) se puede factorizar como un cociente

f(x, y) =g(x)

h(y),

18 Ecuaciones de Primer Orden

donde tanto g(x) como h(y) son funciones de una sola variable. Entonces la ecuación (1.3)puede escribirse de la forma

y′ =g(x)

h(y), (2.1)

se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma (2.1) es una ecuaciónde variables separables1.La ecuación (2.1) también se puede escribir como

h(y)dy

dx= g(x).

Integrando ambos lados de esta última ecuación con respecto a x tenemos∫

h(y)dy

dxdx =

∫h(y)dy =

∫g(x)dx + C,

oH(y) = G(x) + C.

La última ecuación proporciona una solución implícita de la ecuación diferencial.

Revisemos el procedimiento de separación de variables. Como habíamos dicho anterior-mente, la ecuación diferencial (2.1) se puede escribir en la forma

h(y)dy

dx= g(x),

Si H(y) y G(x) denotan antiderivadas de h(y) y g(x), respectivamente, es decir

H ′(y) = h(y), y G′(x) = g(x),

podemos cambiar la anterior ecuación diferencial por

H ′(y)dy

dx= G′(x).

Por la regla de la cadena para la derivada, se tiene

d

dxH(y(x)) = H ′(y(x))

dy

dx.

Así, si y(x) es la solución de la ecuación (2.1), entonces H(y(x)) y G(x) son dos funcionesde x que tienen la misma derivada. Por lo tanto difieren en una constante, esto es

H(y(x)) = G(x) + C.

1Un procedimiento para resolver ecuaciones separables fue descubierto de manera implícita por GottfriedLeibniz en 1691. La técnica explícita llamada separación de variables fue formalizada por John Bernoullien 1694.

2.1 Separación de Variables 19

Ejemplo 2.1.1. Resuelva la ecuación diferencial

dy

dx=

ex

2y.

La ecuación diferencial dada la reescribimos (separando variables) como

2ydy = exdx.

Integrando ambos lados tenemos∫

2ydy =

∫exdx + C,

de dondey2 = ex + C.

Esta es la solución general implícita de la ecuación diferencial dada.

Ejemplo 2.1.2. Resuelva el problema de valor inicial

y′ =3y

xy(2) = 5.

Por separación de variables reescribimos la ecuación diferencial dada como

dy

y=

3dx

x.

Integrando a ambos lados obtenemos

ln y = 3 ln x + C,

y tomando exponenciales en ambos lados de la anterior ecuación, tenemos

y = eCx3 = C1x3.

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.Como la condición inicial es y(2) = 5, entonces substituyendo x = 2 y y = 5 en la solucióngeneral se tiene

5 = C1(2)3 = 8C1,

de donde C1 = 5/8.Así que la única solución del problema de valor inicial dado (solución particular) es

y =5

8x3.


2.2. Ecuaciones Homogéneas

Definición 2.2.1. Una función f : S ⊆ Rn → R se denomina función homogénea degrado k ∈ Z+ ∪ 0, si se cumple que f(tx) = tkf(x) para todo x ∈ S y todo t ∈ R tal quetx ∈ S.

Por ejemplo,f(x, y) = x3 − x2y + y3,

es una función homogénea de grado 3 por que:

f(tx, ty) = (tx)3 − (tx)2(ty) + (ty)3 = t3(x3 − x2y + y3),

para todo (x, y) ∈ R2 y todo t ∈ R.

De acuerdo a lo anterior, una función f : S ⊆ R2 → R es homogénea y de grado ce-ro, si f(tx, ty) = f(x, y), para todo (x, y) ∈ S y todo t ∈ R, tal que (tx, ty) ∈ S. Si x 6= 0

y (1,y

x) ∈ S, entonces

f(x, y) = f(x · 1, x · y

x) = f(1,

y

x),

siempre que f : S ⊆ R2 → R sea homogénea y de grado cero. Bajo estas condiciones, unafunción homogénea de grado cero de dos variables puede verse como una función real devariable real evaluada en v =

y

x.

Consideremos la ecuación diferencial de primer orden de la forma

y′ = f(x, y), (2.2)

donde f es una función homogénea de grado cero. Para los puntos (x, y) ∈ S, tales que(1,

y

x) ∈ S, ensayamos la sustitución v =

y

x. Como la función y depende de x, lo mismo

sucede con la función v. Derivando y = vx con respecto a x, tenemos

dy

dx= v + x

dv

dx.

Sustituyendo en (2.2) obtenemos

v + xdv

dx= f(1, v).

Esta última ecuación es de variables separables, puesto que

xdv

dx= f(1, v)− v,

2.2 Ecuaciones Homogéneas 21

de dondedv

f(1, v)− v=

dx

x.

Ahora es posible obtener la solución general de esta última ecuación diferencial integrandoambos lados de la ecuación, luego al sustituir v por

y

xse obtiene la solución general de la

ecuación (2.2).


dy

dx=

y

x + y.

Si dividimos por x el numerador y el denominador del miembro derecho de la ecuación setiene

dy

dx=

y

x

1 +y

x

.

El miembro derecho de la anterior ecuación define una función de (x, y) homogénea y degrado cero, entonces la sustitución v =

y

xnos lleva a

v + xdv

dx=

v

1 + v,

la cual es una ecuación de variables separables, separando variables tenemos (después derealizar algunas operaciones algebraicas)

(1 + v

v2

)dv = −dx

x.

Al integrar obtenemos

−1

v+ ln(v) = − ln(x) + C,

reemplazando v pory

xobtenemos

−x

y+ ln

(y

x

)= − ln(x) + C,

simplificando se tieneln(y) =

x

y+ C,

que es la solución general implícita de la ecuación diferencial dada.



y′ =2x3 + y3

3xy2

y(1) = 2.

Si dividimos por x3 el numerador y el denominador del lado derecho de la ecuación se tiene

dy

dx=

2 +y3

x3

3y2

x2

.

El miembro derecho de la anterior ecuación define una función de (x, y) homogénea y degrado cero, entonces haciendo la sustitución v =

y

xse obtiene

v + xdv

dx=

2 + v3

3v2,

que es una ecuación de variables separables, al separar las variables, simplificando, obte-nemos (

3v2

v3 − 1

)dv = −2

xdx.

Integrando,ln(v3 − 1) = −2 ln x + c1,

oln[(v3 − 1)x2] = c1.

De donde(v3 − 1)x2 = ec1 = c,

reemplazando v =y

xse tiene que la solución general es

y3 − x3 = cx.

Aplicando la condición inicial, y(1) = 2, se sigue que c = 7, entonces la solución particulardel problema de valor inicial dado es

y3 − x3 = 7x.

2.3 Ecuaciones Lineales 23

2.3. Ecuaciones LinealesUna ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma

a1(x)y′ + a2(x)y = g(x), (2.3)

con a1, a2, y g funciones continuas en algún intervalo abierto I de R. Si a1(x) 6= 0 en I,(2.3) puede transformarse en

y′ + p(x)y = q(x), (2.4)

donde p(x) =a2(x)

a1(x)y q(x) =

g(x)

a1(x).

Se observa que si q(x) = 0 para todo x ∈ I, entonces la ecuación (2.4) se reduce a

y′ + p(x)y = 0,

la cual es una ecuación diferencial de variables separables, cuya solución es

y = Ce−∫

p(x)dx.

Consideremos nuevamente la ecuación (2.4), tomemos una antiderivada de p(x),∫

p(x)dx,y multipliquemos a la ecuación (2.4) por e

∫p(x)dx, para obtener

e∫

p(x)dxy′ + p(x)e∫

p(x)dxy = q(x)e∫

p(x)dx,

lo cual es lo mismo qued

dx(e

∫p(x)dxy) = q(x)e

∫p(x)dx.

Integrando con respecto a x ambos lados de la anterior ecuación obtenemos

e∫

p(x)dxy =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx + C,

y por tanto

y = e−∫

p(x)dx

∫q(x)e

∫p(x)dxdx + C

,

la cual es la solución general de la ecuación (2.4).

Se dice que e∫

p(x)dx es un factor de integración de (2.4).


y′ + y = 1.


El factor de integración es ex, de modo que

(exy)′ = ex,

por lo tantoexy = ex + C,

de lo cual se obtieney = e−x(ex + C),

oy = 1 + Ce−x,

es la solución general.


y′ − y = xy(0) = 1.

El factor de integración es e−x, de modo que

(e−xy)′ = xe−x,

integrando se obtienee−xy = −xe−x − e−x + C,

de dondey = −x− 1 + Ce−x.

Aplicando la condición inicial se tiene

1 = −1 + C,

de lo cual se sigue que C = 2, entonces la solución particular del problema de valor inicialdado es

y = −x− 1 + 2e−x.

Ejemplo 2.3.3. Hallar una solución continua que satisfaga

dy

dx− 2y = q(x),

dondeq(x) =

4, 0 ≤ x ≤ 2,0, x > 2,

y la condición inicial y(0) = 0.Vemos que q es continua por tramos, con una discontinuidad en x = 2. En consecuencia,

2.4 Ecuaciones Exactas 25

resolveremos el problema de valor inicial en dos partes que corresponden a los dos intervalosen que q está definida.Para 0 ≤ x ≤ 2,

dy

dx− 2y = 4, y(0) = 0,

el factor integrante es e−2x, de modo que

d

dx

(e−2xy

)= 4e−2x,

por lo tanto,e−2xy = −2e−2x + C1,

de donde se obtiene quey = −2 + C1e

−2x,

la condición inicial y(0) = 0, nos da C1 = 2, así se obtiene

y = 2(e−2x − 1), 0 ≤ x ≤ 2.

Para x > 2,dy

dx− 2y = 0,

es una ecuación de variable separable, cuya solución es

y = C2e2x,

por lo anterior escribimos

y =

2(e−2x − 1), 0 ≤ x ≤ 2,C2e

−2x, x > 2.

Ahora, para que y sea una función continua, se necesita que lımx→2+ y(x) = y(2). Estoequivale a C2e

−4 = 2(e−4 − 1), o sea C2 = 2(1 − e−4), así la solución particular delproblema de valor inicial es

y =

2(e−2x − 1), 0 ≤ x ≤ 2,2(1− e−4) x > 2.

que es continua en [0,∞).

2.4. Ecuaciones Exactas

Consideremos otro tipo de ecuaciones, las cuales, bajo ciertas condiciones, pueden resol-verse mediante una técnica relativamente sencilla.


Consideremos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma

M(x, y)dx + N(x, y) = 0, (2.5)

con M y N funciones definidas en algún conjunto abierto S ⊆ R2. Si existe una funciónf : S → R, tal que

∂f

∂x(x, y) = M(x, y) y

∂f

∂y(x, y) = N(x, y),

para todo (x, y) ∈ S, entonces, la ecuación (2.5) es equivalente a

df(x, y) = 0, (x, y) ∈ S, (2.6)

donde df(x, y) es la diferencial total2 de f . Entonces la solución general de (2.5) (o equi-valentemente de (2.6)) es

f(x, y) = C, (x, y) ∈ S, (2.7)

siendo C una constante, en este caso la ecuación (2.5) se llama ecuación diferencialexacta, pues M(x, y)dx+N(x, y)dy es exactamente la diferencial de una función de (x, y).

Veamos algunos ejemplos sencillos.

Ejemplo 2.4.1. Considérese la ecuación

ydx + xdy = 0, (x, y) ∈ R2.

Nótese qued(xy) = ydx + xdy,

y por tanto, la ecuación diferencial se convierte en

d(xy) = 0,

y en consecuencia, su solución general está dada por

xy = C.

Ejemplo 2.4.2. Analicemos la ecuación diferencial

ydx− xdy

y2= 0, y 6= 0.

2Si f es una función de las variables (x, y) diferenciable, entonces df(x, y) = ∂f∂x (x, y)dx + ∂f

∂y (x, y)dy.


La expresión del miembro izquierdo es la diferencial dex

ypues

d

(x

y

)=

ydx− xdy

y2,

luego la ecuación diferencial es equivalente a

d

(x

y

)= 0, y 6= 0,

y por lo tanto, la solución general está dada porx

y= C, y 6= 0.

Los dos ejemplos anteriores son casos de ecuaciones diferenciales exactas. Determinar queestas ecuaciones son ecuaciones diferenciales exactas y hallar sus respectivas solucionesgenerales ha sido muy fácil pues las fórmulas diferenciales que en ellas intervienen nos sonmuy familiares.

Pero en general, ¿cómo saber, a priori, si una ecuación diferencial en la forma (2.5) esuna ecuación diferencial exacta? y, en caso de serlo, ¿cómo encontrar una función f cuyadiferencial sea M(x, y)dx + N(x, y)dy?, lo cual, a menudo, no es evidente.


(2xy3 + y cos x)dx + (3x2y2 + sin x)dy = 0.

Si tal ecuación es exacta, debe existir una función f tal que

∂f

∂x(x, y) = 2xy3 + y cos x,

y∂f

∂y(x, y) = 3x2y2 + sin x.

Integrando ambos miembros de la primera de las dos ecuaciones anteriores con respecto ax, obtenemos

f(x, y) = x2y3 + y sin x + C(y),

donde C es una función de y.3 Derivando ésta última expresión e igualando con la segundade las dos ecuaciones anteriores se tiene

3x2y2 + sin x + C ′(y) = 3x2y2 + sin x,

3Esta es nuestra constante de integración, ya que y se ha supuesto como constante.


de donde se obtiene C(y) = K (constante). Tomando K = 0 se tiene que la solucióngeneral de la ecuación dada es

x2y3 + y sin x = C.

Por supuesto la ecuación del ejemplo anterior es exacta, pero eso no lo pudimos saber sinohasta el final cuando encontramos la correspondiente función f .

El siguiente teorema nos da condiciones para que la ecuación (2.5) sea exacta y su de-mostración nos proporciona una técnica para hallar una función f cuya diferencial seaM(x, y)dx + N(x, y)dy.

Teorema 2.4.1. Suponga que las primeras derivadas parciales de las funciones M(x, y) yN(x, y) son continuas en un rectángulo abierto S ⊆ R2. Entonces la ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

es exacta si y sólo si∂M

∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y), (2.8)

para todo (x, y) ∈ S.

Demostración. El teorema tiene dos partes4:

1. Si la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es exacta, entonces, existe una funciónf : S → R2, tal que

∂f

∂x(x, y) = M(x, y) y

∂f

∂y(x, y) = N(x, y),

para todo (x, y) ∈ S. Derivando con respecto a y la primera de las dos ecuacionesanteriores y con respecto a x la segunda, obtenemos

∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂M

∂y(x, y) y

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y),

para todo (x, y) ∈ S. Puesto que, por hipótesis, las primeras derivabas parciales deM y N son continuas, se tiene la igualdad de las derivadas parciales mixtas de f yen consecuencia, se tiene que

∂M

∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y), (x, y) ∈ S.

4Este teorema fue demostrado por Leonhard Euler en 1734.


2. Recíprocamente, supongamos que la ecuación (2.8) es válida y mostremos cómo de-terminar la función f . Como f debe satisfacer

M(x, y) =∂f

∂x(x, y) y N(x, y) =

∂f

∂y(x, y),

integramos la primera de las anteriores igualdades con respecto a x y la segunda conrespecto a y, obteniendo así

f(x, y) =

∫∂f

∂x(x, y)dx =

∫M(x, y)dx + h(y), (2.9)

y

f(x, y) =

∫∂f

∂y(x, y)dy =

∫N(x, y)dy + k(x), (2.10)

donde la constante de integración h(y) en (2.9) es una función arbitraria de y, pues sedebe introducir el término más general posible que se anule al derivar parcialmente(2.9) con respecto a x. Análogamente k(x) es el término más general que se anula alderivar parcialmente (2.10) con respecto a y. Debemos probar que ambas maneras(2.9) y (2.10) de definir f dan la misma función. Para ello sólo basta demostrar queexiste una función h(y) que dependa sólo de y, y una función k(x) que dependa sólode x, tales que ∫

M(x, y)dx + h(y) =

∫N(x, y)dy + k(x).

Reescribiendo la ecuación anterior como

h(y) =

∫N(x, y)dy −

∫M(x, y)dx + k(x),

y derivando ambos lados con respecto a y, tenemos

h′(y) = N(x, y)− ∂

∂y

∫M(x, y)dx.

De donde se obtiene 5

h′(y) = N(x, y)−∫

∂

∂xN(x, y)dx.

El lado derecho de la anterior ecuación es una función de y solamente, pues su derivadaparcial con respeto a x se anula. Por tanto existe una función h(y) que dependesolamente de y. Un cálculo análogo garantiza la existencia de k(x), y la demostraciónestá concluida.

5Recordando lo que nos dice el cálculo sobre las integrales de línea, si la región donde∂∂y M(x, y) = ∂

∂xN(x, y), es simplemente conexa (no contiene huecos), entonces podemos tomar la derivadaparcial bajo el signo integral.


Ejemplo 2.4.4. Determinar si la ecuación diferencial

(2xy + 3)dx + (x2 − 1)dy = 0,

es exacta. Si lo es, resuélvala.Vemos que, M(x, y) = 2xy + 3 y N(x, y) = x2 − 1, como

∂M

∂y(x, y) = 2x =

∂N

∂x(x, y),

la ecuación diferencial dada es exacta. Entonces existe f tal que

∂f

∂x(x, y) = M(x, y), y

∂f

∂y(x, y) = N(x, y),

integrando la segunda de las dos ecuaciones anteriores con respecto a y, obtenemos

f(x, y) =

∫(x2 − 1)dy + h(x) = x2y − y + h(x),

al derivar parcialmente con respecto a x y sustituir en M , tenemos

2xy + h′(x) = 2xy + 3,

de donde h′(x) = 3, de modo que h(x) = 3x. En este caso

f(x, y) = x2y − y + 3x,

y la solución general implícita de la ecuación diferencial dada es

x2y − y + 3x = C.

2.5. Factores IntegrantesConsideremos la ecuación diferencial

ydx− xdy = 0.

Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que como M(x, y) = y y N(x, y) = −x, se tiene

que∂M

∂y(x, y) = 1 6= −1 =

∂N

∂x(x, y), sin embargo, nótese que si multiplicamos dicha

ecuación por la expresión1

y2obtenemos

ydx− xdy

y2= 0,

2.5 Factores Integrantes 31

o equivalentemente

d

(x

y

)= 0,

la cual, evidentemente, es una ecuación diferencial exacta. La solución general6 de estaecuación es

x

y= C.

Se dice que el factor1

y2es un factor integrante de la ecuación diferencial ydx−xdy = 0,

pues al multiplicar esta ecuación por dicho factor, se ha transformado en una ecuacióndiferencial exacta, facilitándose así su solución.

Definición 2.5.1. Si la ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y) = 0 (2.11)

no es exacta, pero la ecuación

µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y) = 0 (2.12)

resultante de multiplicar la ecuación (2.11) por la función µ(x, y) sí es exacta, entoncesµ(x, y) es un factor integrante7.

El problema de la existencia de factores integrantes puede plantearse en general así: Siµ(x, y) es un factor integrante de (2.11) con primeras derivadas parciales continuas, enton-ces se debe tener

∂

∂y[µ(x, y)M(x, y)] =

∂

∂x[µ(x, y)N(x, y)],

al aplicar la regla del producto y organizar los términos obtenemos

M(x, y)∂µ(x, y)

∂y−N(x, y)

∂µ(x, y)

∂x= µ(x, y)

[∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

]. (2.13)

Así, µ es solución de la ecuación (2.13), la cual es una ecuación en derivadas parciales. Sila forma de µ es relativamente simple, es decir, si supones una forma para el factor inte-grante y dicha conjetura es correcta, entonces puede ser posible hallar una solución paratal ecuación y, por lo tanto, encontrar un factor integrante para la ecuación diferencial.

Por ejemplo, podemos tener tres casos para resolver la ecuación (2.13):

6Se obtiene una solución general, pero no necesariamente todas las soluciones. En este caso la ecuaciónoriginal, tiene a la solución trivial como una solución singular.

7La teoría general de factores integrantes fue desarrollada por Alexis Clairaut en 1739.


Primer caso Supongamos que la ecuación (2.11) tiene un factor integrante que sólo de-pende de x; es decir, µ = µ(x). En este caso, la ecuación (2.13) se reduce a la ecuaciónde variables separables

dµ(x)

dx= µ(x)

∂M(x, y)

∂y− ∂N(x, y)

∂x

N(x, y)

, (2.14)

donde∂M(x, y)

∂y− ∂N(x, y)

∂x

N(x, y)

sólo depende de x. Entonces al resolver la ecuación de variables separables (2.14)obtenemos el factor integrante

µ(x) = exp

∫ ∂M(x, y)

∂y− ∂N(x, y)

∂x

N(x, y)dx

para la ecuación (2.11).

Segundo caso Supongamos que la ecuación (2.11) tiene un factor integrante que sólodepende de y; es decir µ = µ(y). En este caso, la ecuación (2.13) se reduce a laecuación de variables separables

dµ(y)

dy= µ(y)

∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

M(x, y)

, (2.15)

donde∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

M(x, y)

sólo depende de y. Entonces al resolver la ecuación de variables separables (2.15)obtenemos el factor integrante

µ(y) = exp

∫ ∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

M(x, y)dy


2.5 Factores Integrantes 33

Tercer caso Supongamos que la ecuación (2.11) tiene un factor integrante que sólo de-pende del producto xy; es decir µ = µ(xy). Haciendo la sustitución z = xy, se tieneµ(xy) = µ(z). En este caso, la ecuación (2.13) se reduce a la ecuación de variablesseparables

dµ(z)

dz= µ(z)

∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

xM(x, y)− yN(x, y)

, (2.16)

donde∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

xM(x, y)− yN(x, y)

sólo depende de z = xy. Entonces al resolver la ecuación de variables separables(2.16) obtenemos el factor integrante

µ(xy) = exp

∫ ∂N(x, y)

∂x− ∂M(x, y)

∂y

xM(x, y)− yN(x, y)dz


Ejemplo 2.5.1. Resolver la ecuación diferencial

(x + x2y5)dy − ydx = 0

. Observamos queM(x, y) = −y

yN(x, y) = x + x2y5

entonces∂M

∂y(x, y) = −1

y∂N

∂x(x, y) = 1 + 2xy5

entonces∂M

∂y6= ∂N

∂xasí que la ecuación diferencial no es exacta. Buscamos un factor

integrante:My −Nx

N=−1− 1− 2xy5

x + xy5=−2(1 + xy5)

x(1 + xy5)= −2

x


depende sólo de x (primer caso), entonces el factor integrante es

µ(x) = e−∫

2x

dx = e−2 ln x = x−2.

Multiplicamos por este factor integrante a la ecuación diferencial dada, obteniendo

(x−1 + y5)dy − x−2ydx = 0

de dondem(x, y) = −x−2y

yn(x, y) = x−1 + y5

entonces∂m

∂y(x, y) = −x−2 =

∂n

∂x(x, y)

así que la nueva ecuación diferencial es exacta. Entonces existe f tal que

∂f

∂x(x, y) = m(x, y), y

∂f

∂y(x, y) = n(x, y),

integrando la primera de las dos ecuaciones anteriores con respecto a x se tiene

f(x, y) = −∫

x−2ydx = x−1y + k(y)

derivando parcialmente con respecto a y esta última ecuación obtenemos

∂f

∂y(x, y) = x−1 + k′(y)

igualando a n(x, y) se tienex−1 + k′(y) = x−1 + y5

entonces k′(y) = y5, de donde k(y) =y6

6, entonces

f(x, y) = x−1y +y6

6

en consecuencia la solución general de la ecuación diferencial original es

x−1y +y6

6= C.

2.6 Sustituciones diversas 35

2.6. Sustituciones diversas

Cuando la ecuaciónM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

no es separable, ni lineal, ni exacta, podríamos transformarla en una ecuación de alguno deestos tipos. En esta sección estudiamos dos tipos de ecuaciones que pueden transformarseen una ecuación de variables separables o lineal por medio de una sustitución adecuada.El procedimiento es el siguiente:

1. Identificar el tipo de ecuación y determinar la sustitución adecuada.

2. Escribir la ecuación original en términos de las nuevas variables.

3. Expresar la solución en términos de las variables originales.

2.6.1. Ecuaciones de la formady

dx= F (ax + by + c)

Cuando el lado derecho de la ecuación diferencialdy

dx= f(x, y) se puede expresar como

una función de la expresión ax+ by + c, donde a, b y c son constantes, es decir, en la forma

dy

dx= F (ax + by + c)

entonces la sustituciónz = ax + by + c

transforma la ecuación en una ecuación de variables separables.

Ejemplo 2.6.1. Resolver

dy

dx= y − x− 1 + (x− y + 2)−1.

El lado derecho de la ecuación se puede expresar como una función de x− y + 2, es decir

y − x− 1 + (x− y + 2)−1 = −(x− y + 2) + 1 + (x− y + 2)−1

así que hacemos z = x − y + 2, derivando con respecto a x obtenemosdz

dx= 1 − dy

dx, de

modo quedy

dx= 1− dz

dx. Al sustituir esto en la ecuación original se tiene

1− dz

dx= −z + 1 + z−1,


odz

dx= z − z−1.

La cual es una ecuación de variables separables, al separar variables obtenemos

zdz

z2 − 1= dx

integrando se obtiene ∫zdz

z2 − 1=

∫dx + C1,

o1

2ln(z2 − 1) = x + C1,

de donde se sigue quez2 = Ce2x + 1.

Al reemplazar z por x− y + 2 se tiene

(x− y + 2)2 = Ce2x + 1

que es la solución general de la ecuación diferencial dada.

2.6.2. Ecuaciones de Bernoulli

Definición 2.6.1. Una ecuación de primer orden de la forma

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn, (2.17)

donde P (x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo (a, b) y n es un número real,es una ecuación de Bernoulli8.

Observamos que cuando n = 0 o n = 1, la ecuación (2.17) es una ecuación lineal y sepuede resolver mediante el método analizado en la sección 2.3 Para otros valores de n, lasutitución9

v = y1−n

transforma la ecuación (2.17) en una ecuación lineal.Al dividir la ecuación (2.17) entre yn se tiene

y−n dy

dx+ P (x)y1−n = Q(x). (2.18)

8La ecuación de Bernoulli fue propuesta para ser resuelta por James Bernoulli en 1695 y fue resueltapor su hermano John Bernoulli.

9En 1696, Gottfried Leibniz mostró que la ecuación de Bernoulli se puede reducir a una ecuación linealhaciendo esta sustitución.

2.6 Sustituciones diversas 37

Al hacer v = y1−n y usar la regla de la cadena, se tiene

dv

dx= (1− n)y−n dy

dx,

de modo que la ecuación (2.18) se transforma en

1

1− n

dv

dx+ P (x)v = Q(x),

o en la formadv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x).

Como 1− n es una constante, la última ecuación diferencial es lineal, para la variable v.


dy

dx+ y = exy−2.

Esta es una ecuación de Bernoulli con n = −2, P (x) = 1 y Q(x) = ex. Dividiendo entrey−2 tenemos

y2 dy

dx+ y3 = ex.

Hacemos la sustitución v = y3. Comodv

dx= 3y2 dy

dx, la ecuación transformada es

1

3

dv

dx+ v = ex,

odv

dx+ 3v = 3ex.

Esta última ecuación es lineal de modo que podemos resolverla en términos de v usando elmétodo analizado en la sección 2.3, tenemos

v =3

4ex + Ce−3x.

Al sustituir v = y3 se tiene la solución general de la ecuación original

y3 =3

4ex + Ce−3x.


2.7. AplicacionesEn esta sección nos concentraremos en la formulación de ecuaciones diferenciales comomodelos matemáticos y su inmediata solución aplicando algún método de los vistos ante-riormente:

Ejemplo 2.7.1. Un destructor está en medio de una niebla muy densa que se levanta porun momento y deja ver un submarino enemigo en la superficie a 4 km de distancia. Supongaque el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda máquina en una direccióndesconocida. Halle una ecuación diferencial que describa el movimiento del destructor paraestar seguro de que pasará directamente sobre el submarino, si su velocidad es tres veces ladel submarino y resuélvala.Supongamos que el destructor ha viajado 3 km hacia el lugar donde fue visto el submarino.

Figura 2.1:

Entonces el submarino está en un circulo de 1 km de radio centrado en el punto donde fue

descubierto, ya que su velocidad es1

3de la del destructor. La posición del submarino puede

describirse fácilmente en coordenadas polares. Sea r = f(θ) el camino que el destructordebe seguir para pasar con seguridad sobre el submarino, independientemente de la direcciónque este tome. La distancia recorrida por el submarino hasta el punto donde los caminosse cruzan es r = 1, mientras que la del destructor (que es tres veces mayor), está dada porla fórmula de longitud de arco en coordenadas polares

3(r − 1) =

∫ θ

0

ds =

∫ θ

0

√(dr)2 + (rdθ)2

2.7 Aplicaciones 39

de donde

3(r − 1) =

∫ θ

0

√(dr

dθ

)2

+ r2dθ.

Derivando con respecto a θ, tenemos:

3dr

dθ=

√(dr

dθ

)2

+ r2

entonces9(r′)2 = (r′)2 + r2

luego8(r′)2 = r2,

entoncesr′ =

dr

dθ=

r

2√

2

es la ecuación diferencial que describe el problema.Aplicando separación de variables tenemos

dr

r=

dθ

2√

2

integrando se obtiene

ln(r) =1

2√

2θ + C.

Aplicando las condiciones iniciales r(0) = 1, se tiene que C = 0, de donde

r(θ) = eθ

2√

2 .

Es el camino que el destructor debe seguir para pasar con seguridad sobre el submarino.

Ejemplo 2.7.2. Un esquiador acuático E localizado en el punto (1, 0) es halado por unbote B localizado en el origen de coordenadas y que viaja hacia arriba, a lo largo del ejevertical. Halle la trayectoria del esquiador, si este se dirige en todo momento hacia el bote(este camino se denomina Tractriz).En la figura (2.2) se observa que la recta EB es siempre tangente a la trayectoria, entonces

tan θ =L

x,

donde L =√

1− x2.Además

y′ = tan β,


Figura 2.2:

y β = π − θ, luego tan β = tan(π − θ) = − tan θ.Luego

y′ = − tan θ,

es decir

y′ =dy

dx= −

√1− x2

x.

Es la ecuación diferencial que describe la trayectoria del esquiador.Por separación de variables se tiene:

Figura 2.3:

dy = −√

1− x2

xdx,

2.7 Aplicaciones 41

integrando

y = −∫ √

1− x2

xdx + C,

esta integral se resuelve por una sustitución trigonométrica de la forma x = sin θ, obte-niendo

y = −∫

cos2 θ

sin θdθ,

Al integrar obtenemosy = ln | csc θ + cot θ| − cos θ + C.

Finalmente, en términos de x, se tiene

y = ln

[1 +

√1− x2

x

]−√

1− x2 + C.

Aplicando la condición inicial y(1) = 0, se tiene que C = 0, de donde

y = ln

[1 +

√1− x2

x

]−√

1− x2,

es la trayectoria del esquiador. En la figura 2.3 se muestra la tractriz.

Ejemplo 2.7.3. Un tanque contiene originalmente 50 galones de agua limpia; a continua-

ción se vierte en el tanque salmuera con una concentración de1

2libras de sal por galón,

a razón de 1 gal/min y se deja que la mezcla abandone el tanque a la misma razón. Alcabo de 5 minutos se detiene el proceso y se introduce al tanque agua limpia a razón de 1gal/min y nuevamente se deja que la mezcla abandone el tanque a la misma razón. En-cuentre la concentración de sal en el tanque al cabo de 10 minutos.

La razón de cambio de la sal en el tanque, en el instante t,dS

dt, debe ser igual a la razón

a la que la sal entra al tanque menos la razón a la que la sale. La razón a la que la sal

entra es1

2lb/gal multiplicado por 1 gal/min; la razón a la que la sal sale es

S(t)

50lb/gal

multiplicado por 1 gal/min; por tanto

dS(t)

dt=

1

2− 1

50S(t),

es la ecuación diferencial que rige este proceso. Esta ecuación es lineal y la solución generalviene dada por

S(t) = e−∫

150

dt

[∫1

2e

∫150

dtdt + C

],

esto esS(t) = 25 + Ce−t/50,


donde C es una constante arbitraria. A fin de satisfacer la condición inicial S(0) = 0,debemos tomar C = −25; de donde

S(t) = 25(1− e−t/50).

Cuando t = 5 se tiene S(5) = 25(1− e−1/10) = 2,37906.Para el segundo proceso se toma S(0) = 2,37906. La razón a la que la sal entra es 0

lb/gal (cero), pues está entrando agua limpia, la razón a la que la sal sale esS(t)

50lb/gal

multiplicado por 1 gal/min; por tanto

dS(t)

dt= − 1

50S(t),

cuya solución general esS(t) = Ce−t/50,

donde C es una constante arbitraria. A fin de satisfacer la condición inicial S(0) = 2,37906,debemos tomar C = 2,37906; de donde

S(t) = 2,37906e−t/50.

Al cabo de 10 minutos, de iniciarse el proceso, t = 5, entonces S(5) = 2,37906e−1/10 =

2,1526, entonces la concentración de sal en ese instante es2,1526

50= 0,04305 = 4,305 %

lb/gal.

Ejemplo 2.7.4. El isótopo radiactivo torio 234 se desintegra con una rapidez proporcionala la cantidad presente del mismo. Si 100 mg de este material se reducen a 91,86 mg entres dias, encontrar una expresión para la cantidad presente en cualquier instante. Hallarla cantidad presente al cabo de una semana y también hallar el intervalo de tiempo quedebe transcurrir para que la masa decaiga hasta la mitad de su valor original, esto es, suvida media.Sea Q(t) la cantidad de torio 234 presente en cualquier instante t, en donde Q se mide enmiligramos y t, en dias. Como el torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a lacantidad presente del mismo, Q satisface la ecuación diferencial

dQ

dt= kQ,

donde la constante k es negativa y se conoce como la razón de decaimiento.La ecuación diferencial anterior es de variables separables, entonces separando variablestenemos

dQ

Q= kdt,

integrando a ambos lados y simplificando se tiene

Q(t) = Cekt,

2.7 Aplicaciones 43

en donde C es una constante arbitraria. La condición inicial Q(0) = 100, requiere queC = 100 y, por lo tanto

Q(t) = 100ekt,

para la segunda condición se tiene que t = 3 y Q = 91,86 en la anterior ecuación nos da

91,86 = 100e3k,

entoncesk =

ln(0,9186)

3= −0,0283/dias.

Entonces la cantidad presente en cualquier instante t es

Q(t) = 100e−0,0283t.

La cantidad presente al cabo de una semana es

Q(7) = 100e−0,1981 = 82,0287,

en miligramos. Sea τ el lapso de tiempo en el que la masa se reduce a la mitad de su valororiginal, entonces

50 = 100e−0,0283τ ,

de dondeτ =

ln 2

0,0283= 24,5,

en dias.

Ejemplo 2.7.5. La tasa de crecimiento por individuo de una población es la diferenciaentre la tasa promedio de nacimientos y la tasa promedio de mortalidad. Supóngase queen una población dada la tasa promedio de nacimientos es una constante positiva α, perola tasa de mortalidad es proporcional al tamaño de la población, debido a los efectos delhacinamiento y la competencia creciente por el alimento disponible. Supóngase que esta

última constante de proporcionalidad es β > 0. Puesto quedP

dtes la tasa de crecimiento

de la población, la tasa de crecimiento por individuo será1

P

dP

dt. Por tanto, la ecuación

diferencial que controla el crecimiento de esta población es

1

P

dP

dt= α− βP.

Multiplicando ambos lados de la anterior ecuación por P tenemos

dP

dt= P (α− βP ),


que es la ecuación logística. El tipo de crecimiento representado por esta ecuación sellama crecimiento logístico.Separando las variables tenemos

dP

P (α− βP )= dt.

Usando fracciones parciales, se tiene que

1

P (α− βP )=

1

αP+

β

α(α− βP ).

Sustituyendo el lado derecho de la anterior ecuación e integrando, obtenemos

1

αln P − 1

αln(α− βP ) = t + c,

o bien

ln

(P

α− βP

)1/α

= t + c.

Tomando exponencial de ambos lados de esta ecuación y denotando la constante arbitrariaec por C, tenemos

P

α− βP= CEαt.

Haciendo t = 0 encontramos que

C =P (0)

α− βP (0),

y sustituyendo el valor de C y despejando P (t) obtenemos

P (t) =α

β + (αP (0)−1 − β)e−αt,

que es la solución de la ecuación logística.

Ejemplo 2.7.6. Una resistencia de 16 ohms (Ω) y una inductancia de 4 henries (h) seconectan en serie con una fem de 200 volts (V ). Si la corriente i(t) (en amperes (A)) escero cuando t = 0, ¿cuál es la corriente después de 0,5 segundos?Como R = 16, L = 4 y E = 200, la segunda ley de Kirchhoff y la corriente inicial dan elproblema de valor inicial

4didt

+ 16i = 200,

i(0) = 0.

2.7 Aplicaciones 45

Dividiendo ambos lados de la ecuación diferencial por 4, se tiene

di

dt+ 4i = 50,

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden, cuya solución es

i(t) = e−∫

4dt

[∫50e

∫4dtdt + k

],

al integrar y simplificar obtenemos

i(t) =25

2+ ke−4t,

utilizando la condición inicial i(0) = 0 se obtiene que k = −25

2, de donde la expresión para

la corriente en cualquier tiempo t es

i(t) =25

2(1− e−4t).

Así, cuando t = 0,5, tenemos

i(0,5) =25

2(1− e−2),

es decir i(0,5) = 10,88 A.

Ejemplo 2.7.7. Un circuito eléctrico contiene un resistor de 20 ohms en serie con uncapacitor de 0,05 farads y una fem de 60 volts. En el instante t = 0 segundo no hay cargaen el capacitor. Determine la carga y la corriente en cualquier instante t > 0.Como R = 20, C = 0,05 y E = 60, la segunda ley de Kirchhoff y la carga inicial dan elproblema de valor inicial

20dqdt

+ 100q = 60,

q(0) = 0.

Dividiendo a ambos lados de la ecuación diferencial por 20, se tiene

dq

dt+ 5q = 3,

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden, cuya solución viene dada por

q(t) = e−∫

5dt

[∫3e

∫5dtdt + k

],

que al integrar y simplificar obtenemos

q(t) =3

5+ ke−5t,


usando la condición inicial q(0) = 0 se obtiene que k = −3

5, de donde la expresión para la

carga en cualquier instante t es

q(t) =3

5(1− e−5t).

Además, como i(t) =dq(t)

dt, se tiene que, la corriente en cualquier instante t es

i(t) = 3e−5t.

2.8 Ejercicios 47

2.8. Ejercicios1. Resolver utilizando separación de variables:

(a) (1− x2)dy = dx.

(b) y′ =

3y − 2

2x + 1

2

.

(c) y′ =xy − y − 2x + 2

xy + y + 2x + 2.

(d) x3y4dy = (x + 1)dx.

(e) etxx′ = e−x + e−2t−x.

(f) 1− u′ = u2.

2. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales:

(a)

y′ =y2 − 1

x2 − 1y(2) = 2.

(b)

xy2 dy

dx= y3 − x3

y(1) = 2.

(c)

(x2 + y2 − 5)dx− (xy + y)dy = 0y(0) = 1.

(d)

xy′ =√

y2 + x2

y(−1) = 2.

(e)

dy

dx=

x + yey/x

xey/x

y(1) = 0.

3. Encuentre la solución general de

tx′(t) = x(t) + 2te−x(t)

t .

4. Utilice el cambio de variables indicado para resolver la ecuación diferencial dada:

(a) tx′ = e−tx − x, haga tx = z.

(b) y′ =1− 2y − 4x

1 + y + 2x, haga z = y + 2x.

5. Resuelva:

(a) y′ = (x− y)2.

(b) y′ = sin(x− y + 1).

6. (a) Suponga que ae − bd 6= 0 y demuestre que se pueden elegir constantes h y k,tales que las sustituciones x = z−h y y = w−k reducen la ecuación diferencial

y′ = F

(ax + by + c

dx + ey + f

)a una ecuación de variables separables.

(b) Si ae = bd encuentre una sustitución que haga la reducción pedida en el itemanterior.

(c) Resuelva la ecuación diferencial y′ =x− y − 5

x + y − 1.


7. Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a)dy

dx+

2

xy = x2 + 2.

(b) x2 dy

dx= x2 + 2xy − y.

(c)dy

dx−my = aenx, donde m, n y a son constantes. Analice por separado los casos

m 6= n y m = n.

(d) f(x)dy

dx+ f ′(x)y = f ′(x), donde f es una función real de variable real diferen-

ciable.

8. Halle la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:

(a)

y′ − xy = xex2

y(0) = 5.

(b)

xy′ − 2y = x2 + xy(1) = 1.

(c)

y′ − y tan x = 3e− sin x

y(0) = 4.

(d)

xy′ + y = ex

y(1) = 2.

9. Determine la solución continua que satisfaga la ecuación diferencial dada y la condi-ción inicial indicada.

(a)dy

dx+ p(x)y = x, p(x) =

1, 0 ≤ x ≤ 5,−1 x > 5

, y(0) = 0.

(b)dy

dx− xy = q(x), q(x) =

x 0 ≤ x ≤ 1,−x x > 1

, y(0) = 2.

10. Use el método del ejemplo 2.6.2 para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) 3dy

dx+

3

xy = 2x4y4.

(b)dy

dx+ y = 12e2xy2.

(c)dy

dx− 4xy = 16xe3x2√

y.

(d)dy

dx+ xy = y2.

11. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:

(a)

dy

dx− y2 =

y

xy(1) = 1.

(b)

x

dy

dx+ y = y2x ln x

y(1) = 2.

(c)

y − cos x

dy

dx= y2 cos x(1− sin x)

y(0) = 2.

(d)

y1/2y′ + y3/2 = 1y(0) = 4.

2.8 Ejercicios 49

12. En cada caso determine si la ecuación diferencial dada es exacta o no en algúnrectángulo abierto de R2. En caso afirmativo, halle la solución general de la ecuacióndiferencial:

(a) (2x + y)dx− (x + 6y)dy = 0.

(b) (sin y − y sin x)dx + (cos x + x cos y − y)dy = 0.

(c) (y3 − y2 sin x− x)dx + (3xy2 + 2y cos x)dy = 0.

(d) xdy

dx= 2xex − y + 6x2.

(e) (1

y+ x ln y)dy + (y ln y − e−xy)dx = 0.

13. Halle la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:

(a)

(x + y2)dx + (2xy + y2 − 1)dy = 0y(1) = 1.

(b)

(y2 cos x− 3x2y − 2x)dx + (2y sin x− x3 + ln y)dy = 0y(0) = e.

(c)

(3y2 − x2

y5

)dy

dx+

x

2y4= 0

y(1) = 1.

14. Encuentre condiciones suficientes para f y g tales que la ecuación diferencial dadasea exacta. Muestre un ejemplo particular en cada caso:

(a) (x2 + y)f(x)dx + xg(y)dy = 0.

(b) f(y)dx + g(x)dy = 0.

(c) g(y)M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.

(d) f(x)M(x, y)dx + f(x)N(x, y)dy = 0.

15. Hallar n tal que la ecuación diferencial dada sea exacta. Resuelva la ecuación paratal valor de n:

(a) (xy2 + nx2y)dx + (x3 + x2y)dy = 0.

(b) (x + ye2xy)dx + nxe2xydy = 0.

16. Para la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 encuentre condiciones suficientes paraque tenga un factor integrante de la forma indicada:

(a) u(x, y) = g(y).

(b) u(x, y) = g(z), con z = x + y.

(c) u(x, y) = g(z), con z = xy.

17. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando factores integrantes o sustitu-ción:


(a) (xy2 − x)dx + (x2y − y)dy = 0.

(b) (3x2 − y2)dy − 2xydx = 0.

(c) (2x+x2+y2)dx+(2y−x2−y2)dy = 0.

(d) (x2 + y2 − y)dx + xdy = 0.

(e) (y ln y + yex)dx+(x+ y cos y)dy = 0.

(f) (xy − 1)dx + (x2 − xy)y = 0.

(g) exdx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0.

(h) (y ln y − 2xy)dx + (x + y)dy = 0.

(i) (y2 +xy +1)dx+(x2 +xy +1)dy = 0.

(j) (y + x)dx + (y − x)dy = 0.

18. En la segunda parte de la demostración del teorema 2.4.1, considere (x0, y0) un puntocualquiera en S y defina

f(x, y) =

∫ x

x0

M(t, y)dt +

∫ y

y0

N(x0, t)dt.

Muestre que la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, es exacta, y que la solución dedicha ecuación está dada por f(x, y) = C, donde f es la función que se indica y Ces una constante.

19. Si una ecuación diferencial es de orden m > 1 y carece de una de las variables x oy, entonces se puede reducir a una ecuación diferencial de orden m− 1 haciendo uncambio de variable

y′ = p, y′′ =dp

dx,

si falta y en la ecuación, o

y′ = p, y′′ =dp

dy

dy

dx= p

dp

dy,

si falta x en la ecuación. Resolver las ecuaciones diferenciales dadas:

(a) y′′ + 2y′ = 4x.

(b) 1 + yy′′ + y′2 = 0.

(c) xy′′ − 3y′ = x2.

(d) yy′′ + 2y′2 = 0.

20. La tensión T en una cadena que cuelga sobre un cilindro rugoso está dada por

dT

dϕ− µT = ρa(cos ϕ + µ sin ϕ),

donde µ, ρ y a son constantes. ϕ es el ángulo que forma el radiovector de cada punto dela sección transversal del cilindro con respecto al diámetro horizontal, específicamentecon respecto al eje positivo de las abscisas, si se escoge un sistema bidimensional decoordenadas con origen en el centro de la sección transversal del cilindro.

(a) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.

(b) Muestre que l(1 + µ2) = 2µa(1 + eπµ, si T = 0 cuando ϕ = 0 y T = ρl cuandoϕ = π.

2.8 Ejercicios 51

21. Un punto se mueve en una curva plana que pasa por el punto (1, 1) de tal formaque las coordenadas (x, y) de cada punto de su trayectoria satisfacen el sistema deecuaciones diferenciales

dx

dt= −2x + 6y,

dy

dt= 2x + 2y,

donde t representa el tiempo. Encuentre la ecuación cartesiana de la trayectoria del

punto móvil. (Sugerencia: Use el hecho de quedy

dt=

dy

dx

dx

dty encuentre una sola

ecuación diferencial con variable dependiente y y variable independiente x.)

22. Un problema geométrico que aparece con frecuencia en ingeniería y en ciencias básicaes el de determinar una familia de curvas (trayectorias ortogonales que intersecte auna familia dada de curvas en forma ortogonal en cada punto. Si la familia de curvasdada satisfacen la ecuación diferencial de primer orden y′ = f(x, y), entonces latrayectoria ortogonal generalmente es la gráfica de una función y(x) que satisface

y′ = − 1

f(x, y). Considere la familia de curvas descritas pro f(x, y) = c, donde c es

un parámetro.

(a) Muestre que las curvas ortogonales a la familia f(x, y) = c satisfacen la ecuacióndiferencial

∂f

∂y(x, y)dx− ∂f

∂x(x, y)dy = 0.

(b) Use el item anterior para mostrar que las trayectorias ortogonales a la familiade círculos x2 + y2 = c son justamente las líneas rectas que pasan por el origen.

(c) Muestre que las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas x2− y2 = c,son las hipérbolas xy = c.

23. Utilice el método del ejercicio anterior para hallar las trayectorias ortogonales paracada una de las familias dadas de curvas.

(a) y = cx.

(b) y = cx3.

(c) y = x2 + c.

(d) 4x2 + 9y2 = c.

24. Las líneas de flujo asociadas con cierto flujo de fluidos son representadas por la familiade curvas y = x− 1 + ce−x. Los potenciales de velocidad del flujo son justamente lastrayectorias ortogonales de esta familia.

(a) Proceda como en el ejercicio anterior para mostrar que los potenciales de veloci-dad satisfacen la ecuación diferencial dx + (x− y)dy = 0. (Sugerencia: Primeroexprese la familia y = x− 1 + ce−x en la forma f(x, y) = c.)


(b) Determine los potenciales de velocidad resolviendo la ecuación obtenida en elitem anterior.

25. Una ecuación diferencial de la formady

dx= P (x)y2 + Q(x)y + R(x),

se denomina una ecuación de Riccati generalizada10.

(a) Si se conoce una solución de la ecuación de Riccati, digamos u(x), muestre que

la sustitución y = u +1

v, reduce a dicha ecuación a una ecuación lineal en v.

(b) Dado que u(x) = x es una solución de la ecuación diferencial

dy

dx= x3(y − x)2 +

y

x,

use el resultado del item anterior par hallar todas las soluciones a esta ecuación.

26. Una ecuación diferencial de la forma

y = xdy

dx+ f

(dy

dx

),

donde la función continuamente derivable f se evalúa en t =dy

dx, se llama ecuación

de Clairaut.11 El interés en estas ecuaciones se debe al hecho de que ella tieneuna familia uniparamétrica de soluciones consistentes en líneas rectas. Además, laenvolvente12 de esta familia también es una solución de ella, y se conoce con el nombrede solución singular. Resuelva la ecuación de Clairaut de la siguiente manera:

(a) Derive la ecuación de Clairaut con respecto a x, y luego simplifique para obtener

[x + f ′(y′)]y′′ = 0,

donde f ′(t) =d

dtf(t).

(b) De la anterior ecuación concluya quedy

dx= c o f ′(y′) = −x. Suponga entonces

quedy

dx= c y sustituya de nuevo en la ecuación de Clairaut para obtener una

familia de línea rectas solución

y = cx + f(c).

10En 1724 Jacobo Riccati estudió un caso particular de esta ecuación, durante sus investigaciones de lascurvas cuyos radios de curvatura sólo dependen de la variable dependiente y no de la variable independiente,sin embargo, fue Euler en 1760, quien descubrió el resultado que se da en este problema.

11Alexis Clairaut estudió estas ecuaciones en el año 1734.12Es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia

2.8 Ejercicios 53

(c) Suponga ahora que f ′(y′) = −x y muestre que otra solución de la ecuación deClairaut está dada de manera paramétrica por

x = −f ′(y′)y = f(y′)− y′f ′(y′)

esta es la solución singular.

(d) Use el método anterior para hallar la familia de líneas rectas solución y la soluciónsingular de la ecuación diferencial

y = xy′ + ln(y′).

27. El economista Vilfredo Pareto (1848-1932) descubrió que en una economía estable latasa de decrecimiento del número de personas P con un salario de por lo menos t pesoses directamente proporcional al número de personas e inversamente proporcional alsu salario. Obtenga una expresión para P en términos de t.13

28. Un punto móvil en el plano, parte del origen. Su abscisa se mueve con velocidadconstante igual a 1 cm/seg, mientras su ordenada lo hace con aceleración constantede 0,05 cm/seg, partiendo del reposo. Encuentre una ecuación cartesiana para latrayectoria del punto.

29. Una sustancia radiactiva se descompone con una razón de cambio proporcional entodo instante a la cantidad de sustancia sin descomponer. Si se conoce la cantidad desustancia en un instante determinado, encuentre una fórmula que exprese la cantidadde sustancia en función del tiempo. Suponga que la constante de proporcionalidad esconocida.

30. Un depósito de agua tiene un orificio en el fondo. La ley de Torricelli establece que

si v = v(t) es la velocidad del agua a través del orificio, entoncesdV

dt= −Av, donde

A es el área del orificio y V = V (t) es el volumen del agua en el tanque en el instantet. Sea h = h(t) la profundidad del agua en el tanque en el instante t y suponga quela velocidad de salida por el orificio es la de una gota en caída libre desde una alturaigual a la profundidad del agua. Para un tanque cilíndrico de 40 cm de diámetro ycon una profundidad inicial de 50 cm, encuentre el tiempo necesario para vaciarlopor medio de un orificio circular de 1 cm de diámetro.

31. Una gran cisterna abierta llena de agua tiene la forma de una semiesfera de 30pies de radio. El recipiente tiene un agujero circular de 1 pie de radio en el fondo.¿Cuánto demorará en salir toda el agua de la cisterna. (Sugerencia: Aplique la ley deTorricelli.)

13A esta expresión se le llama la ley de Pareto.


32. Halle la forma que debe tener la cisterna del ejercicio anterior para que el nivel delagua baje a una razón constante.14

33. Un tanque está parcialmente lleno con 150 galones de salmuera, con 15 libras de sal

disuelta. Le entra salmuera con2

3libras de sal por galón a razón de 8 galones por

minutos. El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a razón de 3 galonespor minutos la solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque alos 50 minutos.

34. Suponga que en un gran tanque de mezclado hay inicialmente 200 galones de agua,en los que se disolvieron 40 libras de sal. Al tanque entra agua pura con un flujo de 3gal/seg y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. ¿Cuál es la concentraciónde la solución en el tanque a los 30 segundos?

35. Para el problema anterior, suponga ahora que la solución salina sale con un flujo de 6gal/seg en vez de 3 gal/seg, manteniendo el resto igual. ¿Cuándo se vacía el tanque?

36. Suponga que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 500 galones de agua,en los que se han disuelto 60 libras de sal. Al tanque entra otra salmuera a razón de4 gal/min y, estando bien mezclado el contenido en el tanque, salen 5 gal/min. Si laconcentración de la solución que entra es 2 lb/gal. Calcule la cantidad de libras desal que hay en el tanque a los 30 minutos.

37. Para el problema anterior, suponga que el tanque está abierto y que su capacidadtotal es de 600 galones y que la otra salmuera que entra al tanque lo hace a razón de8 gal/min, en vez de 4 gal/min. ¿Cuándo se derramará el tanque? ¿Cuántas librasde sal habrá en el tanque cuando la solución se comienza a derramar?

38. Una habitación tiene un volumen de 800 ft3. El aire de la habitación contiene inicial-mente cloro a una concentración de 0,1 g/ft3. Entonces entra aire fresco (sin cloro) ala habitación a una tasa de 8 ft3/min. El aire de la habitación está bien mezclado yfluye hacia afuera por una puerta a la misma tasa que entra el aire fresco.

(a) Encuentre la concentración de cloro en la habitación como función del tiempo t.

(b) Suponga que la tasa de flujo de aire fresco es ajustable. Determine la tasa deentrada requerida para reducir la concentración de cloro a 0,001 g/ft3 en 20min.

39. Suponga que un circuito en serie RL tiene los valores dados para la resistencia, lainductancia, la fem y la corriente inicial. Halle una fórmula para la corriente encualquier tiempo t y calcule la corriente después del tiempo que se especifica.

(a) R = 10 Ω, L = 1 h, E = 12 V y i(0) = 0 A. t = 1 segundo.

14Los antiguos egipcios (1380 A. C.) usaban relojes de agua basados en este principio.

2.8 Ejercicios 55

(b) R = 8 Ω, L = 1 h, E = 6 V y i(0) = 1 A. t = 0,5 segundo.

(c) R = 50 Ω, L = 5 h, E = 120 V y i(0) = 0 A. t = 0,8 segundo.

(d) R = 10 Ω, L = 2 h, E = 12 sin t V y i(0) = 1 A. t = 1 segundo.

40. Suponga que un circuito en serie RC tiene los valores dados para la resistencia, lacapacitancia, la fem y la carga inicial. Halle una fórmula para la carga en cualquiertiempo t y calcule la carga después del tiempo que se especifica.

(a) R = 1 Ω, C = 1 f , E = 12 V y q(0) = 0 c. t = 1 segundo.

(b) R = 10 Ω, C = 0,001 f , E = 10 cos(60t) V y q(0) = 0 c. t = 0,5 segundos.

(c) R = 50 Ω, C = 10−3 f , E = 100 V y q(0) = 1 c. t = 0,8 segundos.

(d) R = 100 Ω, C = 2× 10−4 f , E = sin(60t) V y q(0) = 1 c. t = 1 segundo.

41. Halle la corriente de un circuito RL en serie, al cabo de 10 segundos, si R = 100 Ω,L = 2 h, i(0) = 0 A y el voltaje de la fem satisface

E(t) =

3, 0 ≤ t ≤ 5,

4− e5−t, t > 5.

CAPÍTULO

3

Ecuaciones Lineales de Orden Superior

3.1. PreliminaresEn los capítulos 1 y 2 nuestra atención estuvo en las ecuaciones diferenciales de primerorden. En este capítulo la pondremos en las ecuaciones diferenciales lineales de orden su-perior n ≥ 2.

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior surgen en diferentes modelos mate-máticos de sistemas mecánicos y circuitos eléctricos entre otros. En este capítulo estudia-remos algunos de esos modelos, así como la teoría general sobre existencia y unicidad y lastécnicas de solución de las ecuaciones diferenciales lineales.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal tiene la forma general

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x), (3.1)

donde n ∈ Z+ y las funciones coeficientes a0, a1, . . . , an, y la función g son funciones realesdefinidas sobre algún intervalo abierto I de R, las que se supondrán al menos continuas.Si an(x) no es la función idénticamente nula en I, la ecuación (3.1) es una ecuación di-ferencial ordinaria lineal de n-ésimo orden.

Ejemplo 3.1.1. Ver si la ecuación diferencial

y′′ + 2y′ − 3y = 0, (3.2)

58 Ecuaciones Lineales de Orden Superior

tiene como dos soluciones particulares a y1(x) = ex y y2(x) = e−3x.Para y1(x) tenemos que y′1(x) = ex y y′′1(x) = ex, entonces

y′′1(x) + 2y′1(x)− 3y1(x) = ex + 2ex − 3ex = 0.

Para y2(x) tenemos que y′2(x) = −3e−3x y y′′2(x) = 9e−3x, entonces

y′′2(x) + 2y′2(x)− 3y2(x) = 9e−3x − 6e−3x − 3e−3x = 0.

Entonces y1(x) y y2(x) si son soluciones particulares de (3.2). La ecuación (3.2) es unaecuación homogénea con coeficientes constantes de orden dos.

Algunos hechos básicos importantes relativos a la ecuación (3.2), los cuales serán demos-trados en secciones posteriores, son los siguientes:

El conjunto solución de (3.2) es un espacio vectorial bajo las operaciones de adiciónde funciones y de multiplicación de las mismas por escalares. Sea S tal conjunto.

La dimensión de S es igual al orden de la ecuación diferencial. Es decir, una base de Sestá formada por dos soluciones de (3.2) linealmente independientes. Esto quiere decirque todo elemento de S, es decir, toda solución de la ecuación diferencial consideradaes una combinación lineal de dos soluciones particulares l.i de dicha ecuación.

Las soluciones y1, y y2, dadas anteriormente, son linealmente independientes. Por lotanto, de acuerdo con lo expresado con el item anterior, toda solución de (3.2) es dela forma

y(x) = c1ex + c2e

−3x.

Los hechos enunciados anteriormente son válidos en general para ecuaciones lineales ho-mogéneas de cualquier orden. La ecuación homogénea asociada a (3.1) es la ecuación

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0. (3.3)

Si consideramos la ecuación no homogénea

y′′ + 2y′ − 3y = x, (3.4)

de la cual (3.2) es su homogénea asociada, tenemos que

yp(x) = −1

3x− 2

9

es una solución de ella. Demostraremos que toda solución de (3.4) puede escribirse comola suma de la solución indicada con la solución de la ecuación homogénea asociada. Estehecho es también válido en general y será establecido más adelante.Para el ejemplo que estamos considerando notemos que si y(x) es una solución de (3.4),entonces

y′′(x) + 2y′(x)− 3y(x) = x,

3.1 Preliminares 59

po lo tanto, si consideramos la función definida por

yh(x) = y(x)− yp(x) = y(x)−(−1

3x− 2

9

),

se tiene que yh(x) es solución de la homogénea asociada, pues y′h(x) = y′(x) +1

3y

y′′h(x) = y′′(x), de donde

y′′h(x)+2y′h(x)−3yh(x) = y′′(x)+2y′(x)+2

3−3y(x)−x− 2

3= y′′(x)+2y′(x)−3y(x)−x = 0.

Por lo tanto, y(x) = yp(x) + yh(x), tal como se había anunciado.

El anterior ejemplo muestra lo que es nuestro objetivo central con relación a la solución deuna ecuación lineal: Se trata de determinar la solución general de la ecuación homogéneaasociada, así como de hallar una solución particular de la no homogénea.

Dado que uno de nuestros objetivos es demostrar que el conjunto solución de una ecuaciónlineal homogénea es un espacio vectorial (de funciones) nos parece pertinente presentar losresultados que consideramos necesarios en este sentido.

3.1.1. Espacios funcionales

Sea I un intervalo abierto en R, consideremos el conjunto de las funciones de valor realdefinidas en I

F [I] = f : I → R|f es una función.Para f, g ∈ F [I], definimos

f + g : I → R

x 7→ f(x) + g(x)

y, para α ∈ R,αf : I → R

x 7→ αf(x).

Con tales operaciones F [I] es un espacio vectorial1 sobre el campo de los reales. Decimosque es un espacio funcional, donde el elemento neutro es la función idénticamente nula,definida por

O(x) = 0, para todo x ∈ I.

1Para un repaso de espacios vectoriales generales, se recomienda consultar el libro Notas de álgebralineal de Castañeda-Barrios-Martínez. Capítulo 4. Ediciones Uninorte. 2004.


Definición 3.1.1. Supongamos que f1, f2, . . . , fm ∈ F [I], entonces, para escalares α1, α2, . . . , αm

la función definida porf := α1f1 + α2f2 + · · ·+ αmfm

se denomina combinación lineal de f1, f2, . . . , fm.

Definición 3.1.2. Las funciones f1, f2, . . . , fm ∈ F [I] se dicen linealmente dependien-tes (l.d) si, y sólo si, existe una combinación lineal no trivial de ellas, igual a la funciónidénticamente nula. Es decir existen escalares α1, α2, . . . , αm, no todos nulos, tales que

α1f1 + α2f2 + · · ·+ αmfm = O.

Definición 3.1.3. Las funciones f1, f2, . . . , fm ∈ F [I] se dicen linealmente indepen-dientes (l.i) si, y sólo si, la única combinación lineal igual a la función idénticamentenula es la trivial. Es decir, es válida la implicación

α1f1 + α2f2 + · · ·+ αmfm = O ⇒ α1 = α2 = · · · = αm = 0.

Definición 3.1.4. Si H es un subespacio de F [I], entonces f1, f2, . . . , fm generan a H,si toda función de H puede escribirse como una combinación lineal de f1, f2, . . . , fm.

Definición 3.1.5. El conjunto f1, f2, . . . , fm es una base para H si, y solo si, f1, f2, . . . , fm

generan a H y son l.i.

Definición 3.1.6. Si H es finitamente generado decimos que su dimensión es finita eigual al número de elementos de una base cualquiera.

Observación 3.1.1. Utilizaremos la notación Ck[I] para el conjunto de todas las funcionesdefinidas sobre I, diferenciables al menos hasta el orden k ≥ 0 y con todas sus derivadas,hasta el orden k, continuas sobre I. Escribiremos C∞[I] si todas las derivadas existen yson continuas sobre I.

Ejemplo 3.1.2. En C∞[R], consideremos las funciones f1, . . . , f5, definidas a continua-ción:

f1(x) = 1 , f2(x) = cos2 x

f3(x) = sin2 x , f4(x) = cos 2x

f5(x) = ex

¿Cuales son l.d y cuales l.i.?Las funciones f1, f2, y f3 son l.d. pues la primera es combinación lineal de las otras dos.En efecto, dado que

1 = sin2 x + cos2 x, para todox ∈ R,

se tiene quef1 − f2 − f3 = O,

3.1 Preliminares 61

la cual es una combinación lineal no trivial igual a la función idénticamente nula.Si consideramos ahora a f1, f4, y f5. Supongamos una combinación lineal de la forma

af1 + bf4 + cf5 = O.

Se tiene, entonces, que para todo numero real x,

a + b cos 2x + cex = 0.

Derivando obtenemos−2b sin 2x + cex = 0,

derivando esta última expresión se tiene

−4b cos 2x + cex = 0.

Como estas tres últimas ecuaciones funcionales son válidas para todo x real, se tiene que,en particular, para x = 0 se debe tener

a + b + c = 0

c = 0

−4b + c = 0

Resolviendo este sistema se obtiene

a = b = c = 0,

por lo que las funciones consideradas son l.i.

El procedimiento anterior puede extenderse para cualquier numero m de funciones f1, f2, . . . , fm

en Cm−1[I]. Para tales funciones, si x ∈ I, entonces la matriz

W (x) =

f1(x) f2(x) · · · fm(x)

f ′1(x) f ′2(x) · · · f ′m(x)

......

......

f(m−1)1 (x) f

(m−1)2 (x) · · · f

(m−1)m (x)

(3.5)

se denomina matriz wronskiana de f1, f2, . . . , fm en x. Es claro entonces que sidetW (x) 6= 0 para algún x ∈ I las funciones f1, f2, . . . , fm son l.i. Por el contrario sidetW (x) = 0 para todo x ∈ I se tiene que las funciones son l.d.

Ejemplo 3.1.3. Dadas las funciones f(x) = x, g(x) = 3+x2, h(x) = ex y q(x) = x+ e2x.


(a) ¿Cómo son f , g y q ?

(b) ¿Cómo son f , g y h ?

(a) Hallemos f ′, g′, q′, f ′′, g′′ y q′′.f ′(x) = 1, g′(x) = 2x, q′(x) = 1 + e2, f ′′(x) = 0, g′′(x) = 2 y q′′(x) = 0.Entonces

detW (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 3 + x2 x + e2x

1 2x 1 + e2

0 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣luego

detW (x) = −2

∣∣∣∣∣∣

x x + e2x

1 1 + e2

∣∣∣∣∣∣= −2(x + e2x− x− e2x) = 0.

Para toda x real, en consecuencia f , g y q son l.d.

(b) Hallemos f ′, g′, h′, f ′′, g′′ y h′′.f ′(x) = 1, g′(x) = 2x, h′(x) = ex, f ′′(x) = 0, g′′(x) = 2 y h′′(x) = ex.Entonces

detW (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 3 + x2 ex

1 2x ex

0 2 ex

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣luego

detW (x) = x

∣∣∣∣∣∣

2x ex

2 ex

∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣

3 + x2 ex

2 ex

∣∣∣∣∣∣entonces

detW (x) = x(2xex − 2ex)− (3ex + x2ex − 2ex) = x2ex − 2xex − ex 6= 0

Para todo x 6= 1±√2, en consecuencia f , g y h son l.i.

3.1.2. El operador diferencial lineal

Introducimos a continuación una útil herramienta en nuestro propósito de estudiar la ecua-ción diferencial lineal. Dados dos espacios funcionales, una aplicación (función) que trans-forma elementos de uno de tales espacios en elementos del otro será denominado operador.Si tal aplicación es además una transformación lineal decimos que es un operador lineal.

3.1 Preliminares 63

Ejemplo 3.1.4. Operador integral: Dada la función f , continua en [a, b], definimos(∫

(f)

)(x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Así,∫es un operador y es claro que es lineal (por la propiedad de linealidad de la integral).

Ejemplo 3.1.5. Operador diferencial: Supongamos que n es un entero no negativo, eloperador Dn definido por

Dn : Cn[I] → C[I]

f 7→ Dn(f) = f (n)

es también un operador lineal y es, para nuestros propósitos, de gran importancia. Si, porejemplo, n = 2 y f(x) = x2 + ex, entonces D2(f)(x) = f ′′(x) = 2 + ex.Escribimos D = D1, nótese, además, que para n = 0 el operador es el operador identidad;es decir, D0(f) = f (0) = f , para toda función f .

Si a0, a1, . . . , an son funciones definidas sobre I, definimos el operador diferencial deorden n como

L = anDn + an−1D

n−1 + · · ·+ a0D0. (3.6)

Así, para cada f ∈ Cn[I] se tiene

L(f)(x) = an(x)f (n)(x) + an−1(x)f (n−1)(x) + · · ·+ a0(x)f(x), (3.7)

para todo x ∈ I.

Con la ayuda del operador así definido podemos ahora presentar un tratamiento cómo-do de las ecuaciones diferenciales lineales. El que L sea lineal significa que para funcionesf y g, en el dominio del operador, y para escalares α y β se tiene

L(αf + βg) = αL(f) + βL(g). (3.8)

Ejemplo 3.1.6. Consideremos la ecuación diferencial lineal

y′′ + xy′ + 2y = 0.

Si definimosL = D2 + a1D + 2D0,

con a1(x) = x, la ecuación puede escribirse como

L(y) = 0.


Supongamos dadas dos soluciones y1, y2 de la ecuación diferencial considerada en el ejemploanterior. Tenemos entonces que

L(y1) = 0 y L(y2) = 0,

entonces, para escalares α y β se tiene

L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) = 0.

Lo que prueba que la combinación lineal αy1 + βy2 es también una solución de dicha ecua-ción diferencial.

En adelante acostumbraremos escribir

L = an(x)Dn + an−1(x)Dn−1 + · · ·+ a0(x)D0, (3.9)

en lugar de (3.6), para hacer explícitas las funciones coeficientes. Debe ser claro, sin embar-go, que esto es sólo por comodidad y que técnicamente hablando la expresión consideradano es correcta, pues cada ai(x) es la imagen que la función produce al actuar sobre elelemento x; es decir, es un número real (y no la función ai misma).

3.1.3. El operador lineal de orden n

Utilizando el operador diferencial lineal, la ecuación lineal de orden n definida por (3.1)puede escribirse ahora como

L(y) = g(x), (3.10)y la ecuación homogénea asociada a (3.10) como

L(y) = 0. (3.11)

Un real x0 se denomina punto ordinario de (3.10) o (3.11) si an(x0) 6= 0. Un punto noordinario se denomina punto singular. Inicialmente estudiaremos soluciones en interva-los que contienen puntos ordinarios, por lo que será suficiente con considerar an ≡ 1. Loshechos básicos relativos a las soluciones de (3.10) y (3.11) se presentan a continuación yconstituyen la fundamentación para el resto de este capítulo.

Para iniciar, (3.11) tiene al menos una solución, la solución trivial O. Así el conjuntosolución de la ecuación homogénea es no vacío. Si S es tal conjunto, entonces para cadapar f, g ∈ S y cada par de escalares α, β, se tiene por la linealidad de L que

L(αf + βg) = 0.

Es decir, αf + βg ⊂ S, por lo que S es un subconjunto de F [I] y, por lo tanto, un espaciovectorial. Notaremos por S = N(L) y lo denominaremos núcleo del operador L.

Un resultado preliminar de gran importancia se presenta a continuación. Su demostraciónescapa del alcance de la teoría desarrollada hasta el momento, por lo que no la presentamosaquí.

3.1 Preliminares 65

Teorema 3.1.1. Teorema de existencia y unicidad: Consideremos el operador diferen-cial lineal de orden n, con funciones a0, a1, . . . , an continuas en el intervalo I. Supongamos,además, x0 ∈ I, y0, y1, . . . , yn−1 ∈ R. Entonces existe una y sólo una solución, en I, delproblema de valores iniciales

L(y) = 0,

y(x0) = y0,

y′(x0) = y1,

......

...

y(n−1)(x0) = yn−1.

(3.12)

Ahora podemos presentar uno de los resultados más importantes del presente capítulo.

Teorema 3.1.2. El conjunto solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de ordenn es un espacio vectorial de dimensión n.

Demostración. Hemos demostrado ya que el conjunto solución considerado (el núcleo deloperador diferencial lineal) es un subespacio del espacio de las funciones definidas sobre elintervalo I. Nos resta demostrar que tiene dimensión finita y que su dimensión es justamenten. Nuestra prueba consistirá en demostrar que el núcleo del operador diferencial es isomorfoa Rn.Sea xo un real fijo en I. Definamos

ψ : N(L) −→ Rn

y 7−→ (y(x0), y′(x0), . . . , y

(n−1)(x0).

Entonces para f, g ∈ N(L) y α, β ∈ R se tiene

ψ(αf + βg) = αψ(f) + βψ(g),

lo cual puede verificarse fácilmente. Es decir, ψ es una transformación lineal.Mostremos ahora que ψ es biyectiva.Es claro, por el teorema anterior, que para cada vector

y = (y0, y1, . . . , yn−1) ∈ Rn,

existe una solución, f , de L(y) = 0 tal que

y(x0) = y0

y′(x0) = y1...

......

y(n−1)(x0) = yn−1.


Es decir, ψ(f) = y, lo cual muestra que ψ es sobreyectiva.Por otra parte, si ψ(f) = ψ(g) para algún par de funciones f, g ∈ N(L), el teorema deunicidad garantiza que f = g. De esa manera se tiene que ψ es uno-a-uno.Tenemos así que ψ es un isomorfismo d N(L) a Rn y esto implica que

dimN(L) = dimRn = n.

El teorema anterior establece que el problema de hallar las soluciones de la ecuación dife-rencial homogénea (3.11) se reduce al de hallar una base del espacio solución S = N(L),es decir, al de hallar n soluciones linealmente independientes de tal ecuación homogénea.

Para la ecuación diferencial no homogénea (3.10), supongamos que yp es una solución par-ticular de ella. Para cualquier solución, y, de la misma ecuación, se tiene que yh = y − yp

es solución de la homogénea asociada, pues

L(yh) = L(y − yp) = L(y)− L(yp) = g(x)− g(x) = 0.

Así, se tiene que toda solución de (3.10) es de la forma

y = yp + yh,

donde yh es solución de (3.11).

Tenemos entonces el siguiente teorema.

Teorema 3.1.3. Toda solución de (3.10) es la suma de una solución particular de ella conuna solución de la homogénea asociada.

Observación 3.1.2. Tenemos las siguientes consecuencias importantes

1. La solución general2 de (3.11) es

yh = α1y1 + α2y2 + · · ·+ αnyn, (3.13)

donde y1, y2, . . . , yn son soluciones l.i de (3.11).

2. La solución general de (3.10) es

y = yh + yp, (3.14)

donde yp es una solución particular cualquiera de (3.10).

3. Por lo tanto, los problemas básicos a resolver son:2Esta solución general define a todas las soluciones de la ecuación homogénea.

3.2 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 67

(a) Hallar n soluciones l.i de la ecuación lineal homogénea.

(b) Encontrar al menos una solución particular de la no homogénea.

En lo que resta del capítulo nos concentraremos -en lo que se relaciona con éste tópico- enalgunas técnicas para resolver estos problemas básicos para ecuaciones particulares. En loscapítulos restantes consideraremos otras técnicas en tal sentido.

3.2. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantesEn esta sección abordaremos el problema de encontrar n soluciones l.i para la ecuación ho-mogénea con coeficientes constantes. Es decir, para la ecuación (3.11) cuando las funcionescoeficientes son constante. Es decir el operador diferencial es de la forma

L = anDn + an−1D

n−1 + · · ·+ a0D0, (3.15)

donde an 6= 0. Es suficiente con suponer an ≡ 1. Operadores como el anterior, con coeficien-tes constantes, gozan de propiedades tales que facilitarán nuestro trabajo con las ecuacionesdiferenciales correspondientes. En especial, es de gran importancia el que dichos operado-res puedan combinarse mediante la composición para producir operadores del mismo tipo.Como se verá tal composición de operadores se comporta, en cierto sentido, como la mul-tiplicación numérica usual, razón por la cual nos referiremos a ella con la denominaciónde multiplicación de operadores. Por igual razón usaremos, para operadores L1 y L2, concoeficientes constantes, la notación

L1 L2 = L1L2.

Recuérdese que para una función f ∈ Cn[I], se tiene

(L1 L2)(f) = (L1L2)(f) = L1(L2(f)).

Antes de establecer las propiedades anunciadas anteriormente veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 3.2.1. Sean L1 = 2D2 + 3D − 5D0, L2 = 2D −D0, entonces

L1L2 = (2D2 + 3D − 5D0)(2D −D0)= 2D2 (2D −D0) + 3D (2D −D0)− 5D0 (2D −D0)= 4D3 − 2D2 + 6D2 − 3D − 10D + 5D0

= 4D3 + 4D2 − 13D + 5D0

Nótese que el comportamiento de la composición de L1 y L2 es análogo al comportamientoalgebraico de los polinomios

P1(λ) = 2λ2 + 3λ− 5,

yP2(λ) = 2λ− 1,


cuando se multiplican para producir el polinomio

P (λ) = 4λ3 + 4λ2 − 13λ + 5.

El último polinomio puede identificarse algebraicamente con el operador L1L2.

Ejemplo 3.2.2. Supóngase que deseamos resolver la ecuación diferencial

y′′ + 3y′ − 4y = 0,

la cual en notación de operadores es:

(D2 + 3D − 4D0)(y) = 0.

El operador introducido puede identificarse algebraicamente con el polinomio

λ2 + 3λ− 4,

el cual es factorizable como(λ + 4)(λ− 1).

Es decir, el operador dado es factorizable como

(D + 4D0)(D −D0).

Así, la ecuación puede escribirse como

(D + 4D0)(D −D0)(y) = 0,

la cual tiene como análogo algebraico a la ecuación polinomial

(λ + 4)(λ− 1) = 0.

Esta última puede romperse en dos ecuaciones polinomiales de fácil solución. ¿Podemoshacer lo mismo con la ecuación diferencial?. Si consideramos las ecuaciones de primerorden

(D + 4D0)(y) = 0,

y(D −D0)(y) = 0,

obtenemos como soluciones particulares a

y1 = e−4x,

yy2 = ex,

respectivamente. Puede verificarse fácilmente que ambas funciones son soluciones de laecuación diferencial original y que son l.i.


El ejemplo anterior ilustra con claridad que el problema de resolver una ecuación comola considerada es esencialmente algebraico. Se trata fundamentalmente de encontrar lasraíces de un polinomio de grado n, a partir de las cuales podemos determinar solucionesde la ecuación diferencial con coeficientes constantes. Sin embargo podrían surgir proble-mas adicionales (aparte del problema algebraico de determinar las raíces del polinomio).Posteriormente daremos respuesta a esos posibles problemas, pero antes formalizaremos yjustificaremos los procedimientos utilizados en el ejemplo.

Dado el operador (3.15), el polinomio

PL(λ) = anλn + an−1λn−1 + · · ·+ a0, (3.16)

se denomina polinomio característico del operador (y de la ecuación homogénea corres-pondiente). Una raíz3 del polinomio característico se denomina valor característico deloperador. Los teoremas que siguen resumen las propiedades de los polinomios característi-cos que nos interesan para nuestros propósitos.

Teorema 3.2.1. Sean L, T operadores diferenciales con coeficientes constantes, y seaα ∈ R. Entonces:

1. PL+T = PL + PT .

2. PLT = PLPT .

3. PαL = αPL.

Teorema 3.2.2. Si L = L1L2 · · ·Lm, entonces para cada i = 1, 2, . . . ,m, se tiene que

N(Li) ⊆ N(L).

Es decir, toda solución de Li(y) = 0 es solución de L(y) = 0.

Observación 3.2.1. Una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes puededescomponerse en ecuaciones de orden uno. Esta es una consecuencia del teorema 3.2.1 ydel conocido Teorema fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado n tiene n factoreslineales (no necesariamente distintos) sobre el campo de los complejos.

Observación 3.2.2. El problema de resolver una ecuación homogénea de orden n, concoeficientes constantes, es reducible a problemas de solución de ecuaciones lineales de ordenuno. Esto se sigue del teorema 3.2.2 y de la observación anterior.

Como se mostró en el ejemplo 3.2.2, las raíces del polinomio característico están íntima-mente relacionadas con las soluciones de la ecuación homogénea correspondiente. Para el

3Es decir una solución de la ecuación PL(λ) = 0.


caso en que λ0 sea una raíz real del polinomio característico, se obtiene la ecuación deorden uno

(D − λ0D0)(y) = 0,

la cual tiene como solución a y = eλ0x. Tal solución, de acuerdo con el teorema 3.2.2, estambién una solución de la ecuación original dada. Así, cada raíz del polinomio característi-co da origen a una solución de la ecuación diferencial. Para raíces distintas puede probarseque las soluciones correspondientes son l.i. Pensando en que se requieren n soluciones l.i, loideal sería tener n raíces reales distintas, con lo cual el problema de determinar la base delespacio solución de la ecuación diferencial quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, pue-de suceder que algunas raíces sean múltiples (iguales) o que no sean reales. En el segundocaso, raíces complejas no reales, la función

f(x) = eλ0x,

es una función compleja. Sin embargo, para tal caso se tiene, como en el caso real, que

f ′(x) = λ0eλ0x,

por lo quef ′(x)− λ0f(x) = 0,

es decir, otra vez, se tiene que y = eλ0x es solución de la ecuación original. El problema esque la solución así obtenida es de valores complejos, pero el siguiente teorema nos permiteobtener soluciones con valores reales para tal caso.

Teorema 3.2.3. f = f1 + if2 es una solución (con valores complejos) de L(y) = 0 si, ysólo si, f1 y f2 son soluciones (con valores reales).

Demostración. f es solución si, y sólo si

L(f) = L(f1 + if2)= L(f1) + iL(f2)= 0 + i0= 0

si, y sólo si (po la igualdad de complejos)

L(f1) = L(f2) = 0,

si, y sólo si f1 y f2 son soluciones.

Así, tenemos que para λ0 = a + ib, raíz compleja del polinomio característico de L(y) = 0,se obtiene la solución compleja

y = e(a+ib)x = eax(cos bx + i sin bx), (3.17)


la cual produce las dos soluciones reales l.i

y1(x) = eax cos bx

yy2(x) = eax sin bx.

Así, nuestro problema de raíces complejas ha quedado resuelto. La otra dificultad, relativaa la multiplicidad de las raíces, se resuelve con la ayuda del teorema que sigue, parte decuya demostración se deja como ejercicio en clase.

Teorema 3.2.4. Sean L un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y λ unaraíz de multiplicidad m del polinomio característico de L, entonces, para cadaj = 1, 2, . . . , m, la función

yj = xj−1eλx,

es solución de L(y) = 0. Además, el conjunto yj|j = 1, 2, . . . , m es linealmente indepen-diente.

Demostración. Para la primera parte bastará con demostrar que para todo j = 1, 2, . . . , m,yj = xj−1eλx es solución de

(D − λD0)(j)(y) = 0.

Procedemos por inducción sobre j.Para j = 1, ya se realizó la demostración.Supongamos ahora que

(D − λD0)(j)(yj) = 0,

con j ≥ 1, entonces

(D − λD0)(j+1)(yj+1) = (D − λD0)(j)(D − λD0)(yj+1)= (D − λD0)j(D − λD0)(xyj)= (D − λD0)j(yj + xy′j − λxyj)= (D − λD0)j(jyj)= 0.

Lo que termina la primera parte de la prueba. La independencia lineal se deja como ejer-cicio.

Observación 3.2.3. Si λ es un valor característico de L(y) = 0, entonces:

1. Si λ es real y de multiplicidad m, entonces

y1 = eλx, y2 = xeλx, . . . , ym = xm−1eλx, (3.18)

son soluciones l.i de la ecuación diferencial.


2. Si λ = a + ib es una raíz compleja, entonces

y1 = eax cos bx, y2 = eax sin bx, (3.19)

son soluciones de la ecuación diferencial.

3. Si λ = a + ib es una raíz de PL, también lo es la conjugada a − ib. Sin embargo,ésta última no aporta soluciones fundamentales para la ecuación diferencial, pues sondependientes con las de a + ib.

Ejemplo 3.2.3. Resolver la ecuación diferencial

yv − 2y′′′ − 2y′′ − 3y′ − 2y = 0.

La ecuación característica es

λ5 − 2λ3 − 2λ2 − 3λ− 2 = 0,

que al factorizar obtenemos

(λ + 1)2(λ2 + 1)(λ− 2) = 0,

cuyas raíces (sobre C) son

λ1 = λ2 = −1, λ3 = i, λ4 = −i, λ5 = 2,

y las correspondientes soluciones son

y1 = e−x, y2 = xe−x, y3 = cos x, y4 = sin x, y5 = e2x.

Tenemos así que la solución general es

y = c1e−x + c2xe−x + c3 cos x + c4 sin x + c5e

2x.

3.3. Reducción de ordenSupongamos que y1 representa una solución no trivial en un intervalo abierto I de R, dela ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (3.20)

Se tarta de encontrar una segunda solución y2, tal que y1, y2 sean l.i en I. Para ello,supongamos que y1 6= 0 en I, si definimos y = vy1, tenemos

y′ = v′y1 + vy′1

yy′′ = v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1 ,

3.3 Reducción de orden 73

reemplazando en la ecuación dada, (después de agrupar términos) se tiene

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = v(y′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1) + y1v′′ + (2y′1 + p(x)y1)v

′ = 0.

De dondey1v

′′ + (2y′1 + p(x)y1)v′ = 0,

que sustituyendo w = v′ obtenemos

y1w′ + (2y′1 + p(x)y1)w = 0,

esta ecuación es lineal y separable a la vez.Al separar variables obtenemos

dw

w= −

[2y′1y1

+ p(x)

]dx,

e integrando se tiene

ln w = ln y−21 −

∫p(x)dx + c,

que al despejar w tenemos

w = v′ = c1e−

∫p(x)dx

y21

,

integrando esta última ecuación se tiene

v = c1

∫e−

∫p(x)dx

y21

dx + c2,

entonces

y = c1y1

∫e−

∫p(x)dx

y21

dx + c2y1,

vemos que una segunda solución es

y2 = y1

∫e−

∫p(x)dx

y21

dx. (3.21)

Ejemplo 3.3.1. La función y1 = e2x es una solución de la ecuación diferencialy′′ − 4y′ + 4y = 0. Con la fórmula (3.21) encontramos una segunda solución así,

y2 = e2x

∫e4

∫dx

e4xdx = xe2x,

La solución general es entonces

y = c1e2x + c2xe2x.


3.4. Ecuaciones no homogéneas

Como hemos visto ya, toda solución de la ecuación L(y) = g(x) es la suma de una soluciónparticular (fija) de ella y una de la homogénea asociada. Para el caso con coeficientes cons-tantes tenemos ya un procedimiento global para obtener las soluciones de la homogénea.Otros casos específicos serán considerados en la sección siguiente y en los próximos capí-tulos. A continuación abordamos el estudio de dos métodos clásicos de obtener solucionesparticulares de la ecuación no homogénea.

3.4.1. Variación de parámetros

Dada la ecuación L(y) = g(x), la solución general de la ecuación diferencial homogéneaasociada L(y) = 0, es de la forma

yh = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn,

donde las funciones yi son las soluciones fundamentales (básicas) de la ecuación homogéneay las cuales suponemos conocidas. Nuestra suposición para una solución particular de laecuación no homogénea es

yp = v1y1 + v2y2 + · · ·+ vnyn,

donde las vi son funciones por determinar. Para facilitar los cálculos utilizaremos funcionesvectoriales de variable real. Definamos

Yh = (y1, y2, . . . , yn)

yV = (v1, v2, . . . , vn),

con lo queyp = Yh ·V (3.22)

es la solución deseada. De lo anterior obtenemos

y′p = Y′h ·V + Yh ·V′,

e imponemos la restricciónYh ·V′ = 0, (3.23)

tenemos así quey′p = Y′

h ·V,

y, derivando ésta última expresión tenemos

y′′p = Y′′h ·V + Y′

h ·V′,

3.4 Ecuaciones no homogéneas 75

imponemos ahoraY′

h ·V′ = 0. (3.24)

Reiterando este procedimiento obtenemos hasta la derivada de orden n− 2,

y(n−2)p = Y

(n−2)h ·V,

de dondey(n−1)

p = Y(n−1)h ·V + Y

(n−2)h ·V′,

e imponiendo ahora la condición

Y(n−2)h ·V′ = 0, (3.25)

de aquí se tieneny(n−1)

p = Y(n−1)h ·V,

yy(n)

p = Y(n)h ·V + Y

(n−1)h ·V′.

Por último utilizamos la condición de ser yp una solución de la ecuación no homogénea,obteniendo

L(yp) = L(Yh ·V)

= V · (Y(n)h + an−1Y

(n−1)h + · · ·+ a0Yh) + Y

(n−1)h ·V′

= V · (L(y1), L(y2), . . . , L(yn)) + Y(n−1)h ·V′

= Y(n−1)h ·V′

= g(x).

Tenemos, por lo tantoY

(n−1)h ·V′ = g(x). (3.26)

Las ecuaciones (3.23), (3.24) y las que se obtienen en forma similar hasta la (3.25) for-man con la (3.26) un sistema de n ecuaciones en las n funciones incógnitas v′1, v

′2, . . . , v

′n,

correspondiente a la ecuación matricial

W [y1, y2, . . . , yn]V′ =

00...

g(x)

, (3.27)

donde W [y1, y2, . . . , yn] es la (función) matriz wronskiana de las soluciones l.i de la ecuaciónhomogénea asociada, y V′ es la función (vectorial) derivada de la función incógnita, V,


escrita como vector columna. De (3.27) es claro que para i = 1, 2, . . . , n se tiene

v′i =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 · · · yi−1 0 yi+1 · · · yn

y′1 · · · y′i−1 0 y′i+1 · · · y′n...

......

......

y(n−1)1 · · · y

(n−1)i−1 g(x) y

(n−1)i+1 · · · y

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 · · · yi−1 yi yi+1 · · · yn

y′1 · · · y′i−1 y′i y′i+1 · · · y′n...

......

......

y(n−1)1 · · · y

(n−1)i−1 y

(n−1)i y

(n−1)i+1 · · · y

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (3.28)

de donde puede obtenerse cada vi por integración.

Ejemplo 3.4.1. Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden

y′′ + y′ − 6y = x2.

La ecuación homogénea asociada es

y′′ + y′ − 6y = 0,

la ecuación característica esλ2 + λ− 6 = 0,

o(λ + 3)(λ− 2) = 0,

entonces, la solución general de la ecuación homogénea es

yh = c1e−3x + c2e

2x.

Procediendo con el método planteado, suponemos que la solución particular, de la no ho-mogénea, buscada es de la forma

yp = v1e−3x + v2e

2x.

Tenemos entonces que (usando (3.28))

v′1 =

∣∣∣∣0 y2

g(x) y′2

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣0 e2x

x2 2e2x

∣∣∣∣∣∣∣∣

e−3x e2x

−3e−3x 2e2x

∣∣∣∣,

de dondev′1 = −x2e3x

5,


integrando se tiene

v1 = − 1

15x2e3x +

2

45xe3x − 2

135e3x.

y

v′2 =

∣∣∣∣y1 0y′1 g(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣e−3x 0−3e−3x x2

∣∣∣∣∣∣∣∣

e−3x e2x

−3e−3x 2e2x

∣∣∣∣,

de dondev′2 =

x2e−2x

5,

integrando se tiene

v2 = − 1

10x2e−2x − 1

10xe−2x − 1

20e−2x.

Entoncesyp = −1

6x2 − 1

16x− 5

68,

es la solución particular, entonces la solución general es

y = c1e−3x + c2e

2x − 1

6x2 − 1

16x− 5

68.

3.4.2. Coeficientes indeterminados

Este método consiste en predecir la forma explícita de la solución a partir del tipo de ecua-ción a resolver, lo cual no siempre es posible. En particular, si la ecuación tiene coeficientesconstante y g(x) tiene un comportamiento regular con relación a sus derivadas, podemospredecir la forma de la solución particular. Esto puede hacerse, por ejemplo, si g(x) es unacombinación lineal de funciones como

xm, eax, cos(bx), sin(bx).

Algunas indicaciones sobre la construcción de la posible solución particular se dan a con-tinuación:

Si ninguno de los términos l.i de g(x) o sus derivadas es solución de la ecuaciónhomogénea, yp se toma como combinación lineal de tales términos y sus derivadas l.i.

Si alguno de los términos l.i de g(x), o alguna de sus derivadas, es solución de laecuación homogénea, entonces debe multiplicarse por la menor potencia de x para lacual no resultan soluciones de la ecuación homogénea.

Si ypies solución de L(y) = gi(x), para i = 1, 2, . . . , m, entonces

yp =m∑

i=1

ypi,


es solución de

L(y) =m∑

i=1

gi(x).

Ejemplo 3.4.2. Consideremos la ecuación

y′ + 2y = x2.

La ecuación homogénea asociada es

y′ + 2y = 0,

que es de variables separables, la solución general es

yh = ce−2x.

Como g(x) = x2, podemos pensar en una solución particular polinómica de grado dos, esdecir podemos esperar que existan constantes c0, c1, c2, tales que

yp = c2x2 + c1x + c0,

con lo cualy′p = 2c2x + c1,

y reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene

(2c2 − 1)x2 + (2c2 + 2c1)x + (c1 + 2c0) = 0,

puesto que las funciones definidas por 1, x, x2, son linealmente independientes, se obtieneel sistema

2c2 = 12c2 + 2c1 = 0c1 + 2c0 = 0

cuya solución es c2 =1

2, c1 = −1

2y c0 =

1

4, con lo cual obtenemos la solución particular

yp =1

2x2 − 1

2x +

1

4.

Entonces la solución general es

y = ce−2x +1

2x2 − 1

2x +

1

4.



y′′′ + y′′ = 3ex + sin x.

Una base para el espacio solución de la ecuación homogénea asociada está formada por

y1 = 1, y2 = x, y3 = e−x.

Los términos linealmente independientes de g(x) = 3ex + sin x con sus correspondientesderivadas son

ex : ex

sin x : cos x

Dado que ninguno de tales términos es solución de la homogénea, una solución particularde la no homogénea puede tomarse como

yp = aex + b sin x + c cos x.

Los coeficientes se determinan derivando y reemplazando en la ecuación y aplicando laindependencia lineal de las funciones consideradas.

Ejemplo 3.4.4. Para la ecuación diferencial

y′′′ + y′′ = 3ex + 4x2,

la base de funciones soluciones de la homogénea asociada es la misma del ejemplo anterior,pero ahora los términos l.i de g(x) y sus derivadas son

ex : ex

x2 : x 1.

Puesto que dos de ellos (la función constante 1, y la idéntica x) corresponden a solucionesde la homogénea, multiplicamos los términos generados por x2 por x2, pues dos es el menorentero positivo para el cual ningún término de la combinación lineal resultante es soluciónde la homogénea. Así, nuestra solución particular es de la forma

yp = aex + x2(bx2 + cx + d).

También, siguiendo la última de las recomendaciones hechas, podemos buscar solucionesparticulares a las ecuaciones

y′′′ + y′′ = 3ex

yy′′′ + y′′ = 4x2

por separado. La suma de las respectivas soluciones particulares será, entonces, soluciónparticular de la ecuación original.


3.5. Ecuaciones de Cauchy-EulerDefinición 3.5.1. Una ecuación diferencial lineal de orden n que se puede expresar en laforma

anxn dny

dxn+ an−1x

n−1 dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1x

dy

dx+ a0y = g(x), (3.29)

donde a0, a1, . . . , an son constantes, con an 6= 0, se llama ecuación de Cauchy-Euler, oequidimensional4 no homogénea, y

anxn dny

dxn+ an−1x

n−1 dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1x

dy

dx+ a0y = 0, (3.30)

es la homogénea asociada a (3.29).

La característica observable para este tipo de ecuación es que el grado k = n, n−1, . . . , 1, 0

de los coeficientes monomiales xk coinciden con el orden k de la diferenciacióndky

dxk.

Para la ecuación (3.30) podemos suponer una solución de la forma

y = xr, (3.31)

con lo cual las derivadas son

y′ = rxr−1

y′′ = r(r − 1)xr−2

......

...y(k) = r(r − 1)(r − 2) · · · (r − (k − 1))xr−k.

Al reemplazar las derivadas en la ecuación se obtiene

xrP (r) = 0,

siendo P un polinomio de grado n. Así, para x 6= 0, se deberá tener la ecuación polinómica

P (r) = 0.

Por lo tanto una solución de tal ecuación polinomial suministrará una solución de la ecua-ción de Cauchy-Euler.

Si todas las soluciones son reales y distintas, entonces se tendrá una base para el espa-cio de soluciones de la ecuación. Si no es ese el caso se necesitaran métodos adicionalespara hallar las demás soluciones.

4Leonhard Euler en 1769 y posteriormente Augustín Cauchy trabajaron sobre esta ecuación, aunqueantes de 1700 John Bernoulli conocía su solución.

3.5 Ecuaciones de Cauchy-Euler 81

Examinemos las soluciones generales de la ecuación de Cauchy-Euler homogénea de or-den dos

ax2 d2y

dx2+ bx

dy

dx+ cy = 0. (3.32)

La solución de ecuaciones de orden superior será análoga. Una vez determinada la soluciónde la homogénea, podremos resolver la ecuación no homogénea

ax2 d2y

dx2+ bx

dy

dx+ cy = g(x), (3.33)

por medio del método de variación de parámetros.

Consideremos la solución de la forma (3.31), donde r se debe determinar. Al sustituiry, y′, y y′′ en la ecuación (3.32), se transforma en

ax2 d2y

dx2+ bx

dy

dx+ cy = ar(r − 1)xr + brxr + cxr = [ar2 + (b− a)r + c]xr = 0.

Así, (3.31) es una solución de la ecuación diferencial (3.32) siempre que r sea una soluciónde la ecuación característica

ar2 + (b− a)r + c = 0. (3.34)

Hay tres casos por considerar:

1. Raíces reales distintas: Sean r1 y r2 las raíces reales de (3.34), distintas. Entoncesla solución general es

y = c1xr1 + c2x

r2 . (3.35)

2. Raíces reales iguales: Sean r1 y r2 las raíces reales de (3.34), tales que r1 = r2,se tine una sola solución que es y1 = xr1 . Podemos hallar una segunda solución y2,que sea l.i con la anterior, por el método de reducción de orden (ecuación (3.21)),obteniendo así y2 = xr1 ln x.Entonces la solución general es

y = c1xr1 + c2x

r1 ln x. (3.36)

3. Raíces complejas conjugadas: Si las raíces de (3.34) son el par conjugador1 = α + iβ y r2 = α− iβ, donde α, β ∈ R con β > 0, una solución (compleja) es

y = c1xα+iβ + c2x

α−iβ.

En este caso la solución general (real) es

y = xα[c1 cos(β ln x) + c2 sin(β ln x)]. (3.37)


Ejemplo 3.5.1. Resuelva la ecuación diferencial x2y′′ − 2y′ = 0.Al sustituir y = xr se obtiene

r(r − 1)xr − 2rxr = xr(r2 − 3r) = 0,

donde la ecuación característicar2 − 3r = 0,

tiene como raíces ar1 = 0, y r2 = 3,

entonces la solución general, dada por la fórmula (3.35), es

y = c1 + c2x3.

Ejemplo 3.5.2. Resuelva la ecuación diferencial no homogénea x2y′′ − 5xy′ + 8y = 2x.Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada

x2y′′ − 5xy′ + 8y = 0.

Vemos que la ecuación característica es

r2 − 6r + 8 = 0,

cuyas raíces son r1 = 2 y r2 = 4. Entonces la solución general de la homogénea es

yh = c1x2 + c2x

4.

Para identificar g(x) en la fórmula (3.28) dividimos la ecuación dada entre x2, para obtener

y′′ − 5

xy′ +

8

x2y =

2

x,

de donde g(x) =2

x. Entonces con y1 = x2 y y2 = x4, la fórmula (3.28) nos queda

v′1 =

∣∣∣∣0 y2

g(x) y′2

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣0 x4

2

x4x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 x4

2x 4x3

∣∣∣∣,

de dondev′1 = − 1

x2,

integrando se tiene

v1 =1

x,

3.6 Aplicaciones 83

y

v′2 =

∣∣∣∣y1 0y′1 g(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣x2 0

2x2

x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 x4

2x 4x3

∣∣∣∣,

de dondev′2 =

1

x4,

integrando se tiene

v2 = − 1

3x3.

Entoncesyp =

2

3x,

es la solución particular, entonces la solución general es

y = c1x2 + c2x

4 +2

3x.

3.6. Aplicaciones

En esta sección revisaremos algunos modelos matemáticos que son ecuaciones diferencialeslineales de segundo orden o de orden mayor, con coeficientes constantes.

Ejemplo 3.6.1. Sistemas masa-resorte: Consideremos una masa m atada a un resortede longitud l con su extremo superior sujeto firmemente (ver figura 3.1).Denotamos con el número cero la posición de equilibrio de la masa en el resorte, es decir,el punto donde la masa se mantiene en reposo. Supongamos que a la masa se le ha dadoun desplazamiento inicial y0 y una velocidad inicial v0. Se pueden presentar tres casos:

1. Movimiento libre: Hacemos las siguientes suposiciones acerca de la fuerza ejercidapor el resorte sobre la masa:

Se mueve a lo largo de una recta vertical que pasa por el centro de gravedad dela masa5, y su dirección es siempre de la masa hacia el punto de equilibrio.

En cualquier tiempo t la magnitud de la fuerza ejercida sobre la masa es propor-cional a la diferencia entre la longitud L del resorte y su longitud de equilibriol. La constante positiva de proporcionalidad k se llama constante de resorte, yel principio anterior se conoce como la ley de Hooke6.

5Que se considera como si fuera una masa puntual.6Robert Hooke fue un científico inglés, publicó por primera vez su ley en 1676 y en 1678 dio la solución.


Figura 3.1: Movimiento libre

La segunda ley del movimiento de Newton afirma que la fuerza F que actúa sobreesta masa, que se mueve con velocidad variable v, es igual a la razón de cambio delmomentum mv con respecto al tiempo y, como la masa es constante, se tiene

F =d(mv)

dt= ma.

Igualando las dos fuerzas y aplicando la ley de Hooke, tenemos

md2y

dt2= −ky,

donde y(t) denota el desplazamiento del resorte desde el punto de equilibrio y se tomapositivo cuando el resorte se está estirando y negativo cuando se está comprimiendo.El signo negativo de la última ecuación se debe al hecho de que la fuerza siempre actúahacia la posición de equilibrio. Aquí hemos supuesto que todas las demás fuerzas queactúan sobre el resorte (fricción, resistencia del aire, etc.) pueden ser despreciadas.Tenemos entonces el problema de valores iniciales

d2y

dt2+

k

my = 0

y(0) = y0

y′(0) = v0.

(3.38)

Observamos que la ecuación característica de la anterior ecuación diferencial homo-génea es

r2 +k

m= 0,

3.6 Aplicaciones 85

cuya solución es r = ±iω0, donde ω0 =

√k

m, entonces la solución general es

y(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t).

Al usar las condiciones iniciales, se obtiene que c1 = y0 y c2 =v0

ω0

, así que la solución

particular está dada por

y(t) = y0 cos(ω0t) +v0

ω0

sin(ω0t). (3.39)

Dividiendo ambos lados de la anterior igualdad por A =√

y20 + (v0/ω0)2 y usando la

fórmula de adición sin(ω0t+φ) = sin(φ) cos(ω0t)+cos(φ) sin(ω0t), con tan(φ) =y0ω0

v0

,

podemos reescribir la anterior ecuación como

y(t) = A sin(ω0t + φ). (3.40)

Por la anterior ecuación el movimiento de la masa se denomina movimiento ar-mónico simple.De acuerdo a esta ecuación, es claro que la masa oscila entre las posiciones extremas±A; A se le llama la amplitud del movimiento. El período del término sinusoidal

es2π

ω0

, éste es el tiempo necesario para que la masa de una oscilación completa. La

frecuencia natural del movimiento7 es f =ω0

2π, y φ se llama el ángulo de fase.

2. Movimiento libre amortiguado: Supongamos ahora que hay una fuerza amorti-guadora8 (consideremos que la masa está sumergida en un medio viscoso, como lomuestra la figura 3.2).Es razonable suponer que la magnitud de la fuerza amortiguadora es proporcional a

la velocidad de la masa. Por tanto, a la ecuación (3.38) le sumamos el término bdy

dt,

donde b es la constante de amortiguación. La ecuación del movimiento se transformaahora en

d2y

dt2+

b

m

dy

dt+

k

my = 0

y(0) = y0

y′(0) = v0.

(3.41)

La ecuación característica de (3.42) es

r2 +b

mr +

k

m= 0,

cuya solución es r =−b±√b2 − 4mk

2m. Dependiendo del signo de b2 − 4mk, la solu-

ción y tiene alguna de las formas siguientes:7Es decir el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo.8Que tiende a retardar el movimiento.


Figura 3.2: Movimiento libre amortiguado

Si b2 − 4mk > 0, se dice que el sistema está sobreamortiguado porque elcoeficiente de amortiguamiento, b, es grande comparado con la constante delresorte, k. La solución general de la ecuación diferencial homogénea en (3.42)es

y(t) = c1er1t + c2e

r2t,

donde r1 =−b +

√b2 − 4mk

2my r2 =

−b−√b2 − 4mk

2m. Esta ecuación representa

un movimiento suave y no oscilatorio.

Si b2−4mk = 0, se dice que el sistema está críticamente amortiguado, puestoque cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originaríaun movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación en (3.42) es

y(t) = e−bt/2m(c1 + c2t),

según esta última ecuación, se aprecia que la masa puede pasar por la posiciónde equilibrio a lo más una vez.

Si b2 − 4mk < 0, se dice que el sistema está subamortiguado, porque el coefi-ciente de amortiguamiento, b, es muy pequeño en comparación con la constantedel resorte, k. Ahora las raíces de la ecuación característica son complejas, de la

forma r = −λ± iµ, donde λ =b

2my µ =

√4mk − b2

2m> 0. Entonces la solución

general en este caso es

y(t) = e−λt[c1 cos(µt) + c2 sin(µt)].

3.6 Aplicaciones 87

Este movimiento es oscilatorio pero, a causa del factor9 e−λt, las amplitudes devibración tienden a cero cuando t →∞.

3. Movimiento forzado: El movimiento de la masa considerado en los dos casos an-teriores está determinado por las fuerzas inherentes del sistema masa-resorte y lasfuerzas naturales que actúan sobre la misma. Por consiguiente las vibraciones sonlibres. Supongamos ahora que la masa está sometida también a una fuerza externaperiódica F (t) (figura 3.3). En este caso la masa experimentará vibraciones forzadas.La ecuación (3.42) queda ahora así

d2y

dt2+

b

m

dy

dt+

k

my = F (t)

y(0) = y0

y′(0) = v0.

(3.42)

Para resolver la ecuación diferencial no homogénea, primero se halla la solución dela homogénea asociada y luego, aplicando el método de variación de parámetro, seencuentra una solución particular de ella.

Figura 3.3: Movimiento forzado

Ejemplo 3.6.2. Circuitos eléctricos: Consideraremos ahora la aplicación de las ecua-ciones diferenciales a circuitos eléctricos simples, que están formados por una fem10, re-sistores, inductores y capacitores. En la figura 3.4 aparece un diagrama de dicho circuito.

9Llamado factor de amortiguación.10Baterías o generadores.


Los principios físicos que gobiernan los circuitos eléctricos fueron establecidos por G. R.Kirchhoff11. Los principios son:

Ley de la corriente de Kirchhoff: La suma algebraica de las corrientes que fluyenen cualquier punto de unión debe ser cero.

Ley del voltaje de Kirchhoff: La suma algebraica de los cambios instantáneos delpotencial (caídas de voltaje) en torno a cualquier lazo cerrado debe ser cero.

Figura 3.4: Circuito RLC

De acuerdo a lo planteado en el ejemplo 1.1.6, las caída de voltaje en el resistor, el inductory el capacitor son dadas por

ER = iR, EL = Ldi

dt, y EC =

q

C.

Si E(t) indica el voltaje aplicado al circuito en el instante t, entonces la ley del voltaje deKirchhoff implica que

EL + Er + EC = E(t),

al sustituir en la anterior ecuación las expresiones para EL, ER y EC tenemos

Ldi

dt+ iR +

q

C= E(t), (3.43)

11Gustav Robert Kirchhoff fue un físico alemán que se destacó por sus investigaciones en análisis espec-tral, óptica y electricidad. Estableció estos principios en 1859.

3.6 Aplicaciones 89

como la corriente es justamente la razón de cambio instantánea en la carga, se tiene que

i =dq

dt,

por tanto, (3.43) nos queda

Ld2q

dt2+ R

dq

dt+

q

C= E(t), (3.44)

si nos interesa determinar la corriente i(t), derivamos (3.44) con respecto a t y sustituimos

i en vez dedq

dt, obtenemos

Ld2i

dt2+ R

di

dt+

i

C= E ′(t), (3.45)

Para un circuito RLC en serie, por lo general se tiene la carga inicial q(0) = q0 enel capacitor y la corriente inicial q′(0) = i(0) = i0. Estas constantes proporcionan lascondiciones iniciales para la ecuación (3.44), mientras que para la ecuación (3.45) tambiénnecesitamos conocer la razón de cambio inicial i′(0) en la corriente, que se puede obtenerde la ecuación (3.43) sustituyendo los valores iniciales q(0), i(0) y E(0).

Ejemplo 3.6.3. Flexión de una viga: Una viga uniforme bajo una carga y sujeta a unafuerza axial constante queda descrita mediante la ecuación diferencial de cuarto orden nohomogénea

y(4)(x)− a2y′′(x) = g(x), 0 < x < l, (3.46)donde y(x) es la flexión de la viga, l es la longitud de la viga, a2 (a > 0) es proporcional ala fuerza axial y g(x) es proporcional a la carga (ver figura 3.5).La ecuación homogénea asociada es

y(4)(x)− a2y′′(x) = 0,

de donde, la ecuación característica es

r4 − a2r2 = 0,

cuyas raíces son r1 = r2 = 0, r3 = a, y r4 = −a.Entonces la solución general de la homogénea es

yh = c1 + c2x + c3eax + c4e

−ax.

Para hallar la solución particular de la no homogénea, usamos el método de variación deparámetros, obteniendo así

v′1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 x eax e−ax

0 1 aeax −ae−ax

0 0 a2eax a2e−ax

g(x) 0 a3eax −a3e−ax

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x eax e−ax

0 1 aeax −ae−ax

0 0 a2eax a2e−ax

0 0 a3eax −a3e−ax

∣∣∣∣∣∣∣∣

,


Figura 3.5: Viga uniforme

al hacer los cálculos obtenemosv′1 =

xg(x)

a2,

análogamente

v′2 = −g(x)

a2, v′3 =

g(x)e−ax

2a3, v′4 = −g(x)eax

2a3,

de donde la solución particular toma la forma

yp =1

a2

∫xg(x)dx− x

a2

∫g(x)dx +

eax

2a3

∫g(x)e−axdx− e−ax

2a3

∫g(x)eaxdx.

Entonces la solución general queda

y(x) = c1 + c2x + c3eax + c4e

−ax +1

a2

∫xg(x)dx

− x

a2

∫g(x)dx +

eax

2a3

∫g(x)e−axdx− e−ax

2a3

∫g(x)eaxdx.

3.7 Ejercicios 91

3.7. Ejercicios1. Indicar en cada caso si las funciones dadas son l.d o l.i.

(a) f1(x) = e−x, f2(x) = x2.

(b) f1(x) = x sin x, f2(x) = x, f3(x) = 2x.

(c) f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = xex.

(d) f1(x) = sin x, f2(x) = cos x, f3(x) = 3 cos x− sin x.

(e) f1(x) = sin x, f2(x) = sin 3x, f3(x) = sin x cos x.

(f) fi(x) = eix, para i = 0, 1, . . . , m.

(g) fi(x) = xieax, para i = 0, 1, . . . , m.

2. Escriba cada una de las ecuaciones diferenciales dadas en la forma L(y) = g(x),escogiendo adecuadamente el operador L.

(a) y′′ + 3xy′ − y = 0.

(b) x2y′′′ + ex sin(x)y = x2.

(c) x2y(4) − 2y′′ + 3y′ − xy = ex + sin x.

(d)d2y

dt2+ 2t

dy

dt− 5y = 0.

3. Demuestre la segunda parte del teorema 3.2.4.

4. Encuentre la solución general de:

(a) y′′ + 3y′ − y = 0.

(b) 2y′′ − y′ − y = 0.

(c) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0.

(d) y′′′ + 2y′′ + 2y′ + 4y = 0.

(e) y(4) + y′′ + y = 0.

(f) y(5) − 10y′′′ + 9y′ = 0.

5. Resolver los problemas de valores iniciales:

(a)

y(4) − 3y′′′ + 3y′′ − y′ = 0y(0) = 0y′(0) = 0y′′ = 1y′′′(0) = 1

(b)

y′′ − y = 0y(0) = 2y′(0) = 12

(c)

y′′′ + 2y′′ + 2y′ + 4y = 0y(0) = 0y′(0) = 1y′′(0) = −1

(d)

2y′′ − y′ − y = 0y(0) = 1y′(0) = −1

6. La función y1 que se indica es una solución de la ecuación diferencial dada. Apliqueel método de reducción de orden para encontrar una segunda solución y2.


(a) y′′ − 4y = 0, y1 = e−2x.

(b) y′′ − 4y + 3y = 0, y1 = ex.

(c) y′′ + y′ = 0, y1 = e−x.

(d) y′′ − 3y′ + 2y = 0, y1 = e2x.

7. En física cuántica, el estudio de la ecuación de Schrödinger para el caso de unoscilador armónico conduce a considerar la ecuación de Hermite,

y′′ − 2xy + γy = 0,

donde γ es un parámetro. Use la fórmula para reducción de orden para obtener unarepresentación integral de una segunda solución l.i de la ecuación e Hermite para elvalor dado de γ y la solución correspondiente y1.

(a) γ = 1, y1 = 2x2.

(b) γ = 2, y1 = x− x3.

(c) γ = 4, y1 = 2x2 − 1.

(d) γ = 6, y1 = 2x3 − 3x.

8. En física matemática, muchos problemas con simetría esférica implican el estudio dela ecuación de Legendre,

(1− x2)y′′ − 2xy′ + γ(γ + 1)y = 0,

donde γ es un parámetro. Use la fórmula para reducción de orden para obtener unarepresentación integral de una segunda solución l.i de la ecuación e Hermite para elvalor dado de γ y la solución correspondiente y1.

(a) γ = 1, y1 = 2x.

(b) γ = 2, y1 = x2 − 1.

(c) γ = 3, y1 = 2x3 − 2x.

(d) γ = 5, y1 = x5 − 5x.

9. Encuentre la solución general de:

(a) y′′ + y = sin 2x.

(b) y′′ − y = x + sin x.

(c) y′′ + 2y′ + y = x2 + 1.

(d) y′′ − 2y′ + y = xe−x.

(e) y′′ + 4y′ + 4y =e−2x

x2.

(f) y′′ − 4y′ + 3y = sin x + 2 cos x.

10. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales:

(a)

y(4) − 3y′′′ + 3y′′ − y′ = x− 1y(0) = 0y′(0) = 0y′′ = 1y′′′(0) = 1

(b)

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x2

y(0) = 1y′(0) = 1

3.7 Ejercicios 93

(c)

y′′′ + 2y′′ + 2y′ + 4y = ex

y(0) = 1y′(0) = 1y′′ = 1

(d)

4y′′ − y = xex/2

y(0) = 1y′(0) = 0

11. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x2y′′ + xy′ − y = 0.

(b) x3y′′′ + x2y′′ − xy′ + y = 0.

(c) x2y′′ − xy′ + y = 8x3.

(d) x4y(4) +5x3y′′′− 2x2y′′+xy′− y = 0.

12. Por medio de la sustitución x = et, muestre que la ecuación diferencial de Cauchy-Euler de segundo orden

ax2y′′ + bxy′ + cy = 0, x > 0,

es equivalente a la ecuación con coeficientes constantes

ad2y

dt2+ (b− a)

dy

dt+ cy = 0.

13. Por medio de la sustitución x = et, muestre que la ecuación diferencial de Cauchy-Euler de tercer orden

ax3y′′′ + bx2y′′ + cxy′ + dx = 0, x > 0,

es equivalente a la ecuación con coeficientes constantes

ad3y

dt3+ (b− 3a)

d2y

dt2+ (2a− b + c)

dy

dt+ dy = 0.

14. Use el resultado de los dos problemas anteriores para hallar una solución general dela ecuación diferencial dada para x > 0.

(a) x2y′′ + 7xy′ − 7y = 0.

(b) x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0.

(c) x3y′′′ − 2x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0.

(d) x3y′′′ + x2y′′ − 8xy′ − 4y = 0.

15. Determine la ecuación del movimiento de la masa m atada a un resorte con constantedel resorte k, desplazado inicialmente a una distancia y0 del punto de equilibrio ysoltado con una velocidad inicial v0 y sujeto a: Ninguna fuerza amortiguadora oexterna; una constante de amortiguación b, sin fuerza externa; una fuerza externaF (t), sin amortiguación; y una constante de amortiguación b y una fuerza externaF (t).

(a) m = 9 kg, k = 1 N/m, y0 = 4 m, v0 = 1 m/s, b = 10 N/s, F (t) = 2 sin(t/3) N .


(b) m = 1 kg, k = 25 N/m, y0 = 0 m, v0 = 3 m/s, b = 8 N/s, F (t) = cos(3t) N .

(c) m = 10 kg, k = 16 N/m, y0 = 4 m, v0 = 0 m/s, b = 10 N/s, F (t) = 4 sin(4t) N .

(d) m = 10 kg, k = 10 N/m, y0 = 3 m, v0 = 4 m/s, b = 10√

5 N/s,F (t) = cos(t) N .

(e) m = 10 kg, k = 10 N/m, y0 = 0 m, v0 = 1 m/s, b = 20 N/s, F (t) = sin(t) N .

(f) m = 1 kg, k = 25 N/m, y0 = 0,5 m, v0 = 0 m/s, b = 0,0216 N/s,F (t) = 0,01 cos(2t) N .

16. Determine la corriente en el instante t si la carga en el capacitor es cero en unprincipio, la corriente inicial es cero,

(a) L = 5 h, R = 10 Ω, C = 0,1 f , E(t) = 25 sin t V .

(b) L = 10 h, R = 40 Ω, C = 0,025 f , E(t) = 100 cos(5t) V .

(c) L = 1 h, R = 9 Ω, C = 0,1 f , E(t) = 50 sin(5t) V .

(d) L = 2,5 h, R = 10 Ω, C = 0,08 f , E(t) = 50 cos(2t) V .

(e) L = 20 h, R = 40 Ω, C = 10−3 f , E(t) = 500 sin t V .

(f) L = 1 h, R = 1200 Ω, C = 10−6 f , E(t) = 100 sin(600t) V .

17. En el ejemplo 3.6.3 muestre que la solución general se puede escribir en la forma

y(x) = c1 + c2x + c3eax + c4e

−ax +

∫ x

0

g(t)G(t, x)dt,

donde G(t, x) =t− x

a2− sinh[a(t− x)]

a3.

18. En el ejemplo 3.6.3 sea g(x) = 1. Calcule la solución general primero mediante lafórmula obtenida en ese ejemplo y luego use la fórmula del ejercicio anterior. Compareestas dos soluciones generales con la solución general que se obtendría con el métodode coeficientes indeterminados.

19. Al aplicar la teoría de elasticidad al estudio de vibraciones transversales de una viga,de longitud L, aparece la ecuación

EIy(4)(x)− γλy(x) = 0,

donde y(x) se relaciona con el desplazamiento de la viga en al posición x; la constanteE es el módulo de Young; I es el momento de inercia con respecto al área, quesuponemos constante; γ es la constante masa por unidad de longitud de la viga, y λes un parámetro positivo por determinar. Podemos simplificar la ecuación haciendo

a4 =γλ

EI; es decir, consideramos la ecuación en la forma

y(4)(x)− a4y(x) = 0. (3.47)

3.7 Ejercicios 95

Cuando la viga se sujeta en ambos extremos, se busca una solución que satisfaga lascondiciones de frontera

y(0) = y′(0) = 0, y y(L) = y′(L) = 0. (3.48)

El problema es determinar aquellos valores no negativos de a para los cuales laecuación (3.47) tiene una solución no trivial que satisfaga (3.48). Para esto procedaasí:

(a) Muestre que no hay soluciones no triviales del problema con valores en la frontera(3.47)-(3.48) cuando a = 0.

(b) Halle la solución general de (3.47) para a > 0 en términos de senos, cosenos,senos hiperbólicos y cosenos hiperbólicos.

(c) Sustituya la solución general obtenida en el item anterior en las ecuaciones (3.48)para obtener un sistema lineal de orden cuatro para los coeficientes que aparecenen la solución general. Muestre que el sistema tiene soluciones no triviales sólopara aquellos valores de a que satisfacen cosh(aL) = sec(aL).

20. La suspensión de un automóvil se puede modelar como un resorte vibrante con amor-tiguamiento debido a los amortiguadores (véase la fig21). Esto conduce a la ecuación

my′′(t) + by′(t) + ky(t) = 0,

donde m es la masa del automóvil, b es la constante de amortiguamiento del amorti-guador, k es la constante del resorte y y(t) es el desplazamiento vertical del automóvilen el instante t. Si la masa del automóvil es de 1000 kg y la constante del resorte es3000 kg/sg2, determine el valor mínimo para la constante de amortiguamiento (enkg/sg) que proporcione un viaje suave, libre de oscilaciones. Si reemplazamos losresortes por otros para trabajo pesado, con una constante de resorte igual al doblede la constante anterior, ¿cómo es este valor mínimo para b?

21. El movimiento de una puerta giratoria con un tornillo de ajuste que controla lacantidad de fricción en las bisagras es descrito mediante el problema de valor inicial

IΘ′′ + bΘ′ + kΘ = 0Θ(0) = Θ0

Θ′(0) = v0,

donde Θ es el ángulo que abre la puerta, I es el momento de inercia de la puertaen torno de sus bisagras, b > 0 es una constante de amortiguamiento que varíacon la cantidad de fricción en la puerta, k > 0 es la constante de resorte asociadacon la puerta giratoria, Θ0 es el ángulo inicial de apertura de la puerta y v0 es lavelocidad angular inicial impartida a la puerta (véase la figura 3.6). Si I y k estánfijos, determine los valores de b para los que la puerta no oscilará de un lado al otroal cerrarse. Resuelva la ecuación.


Figura 3.6: Puerta giratoria

22. Con frecuencia se construyen reductores de velocidad como el de la figura (fig22) enlas carreteras para evitar que los autos circulen a velocidades excesivas. La figurasugiere que un modelo burdo del movimiento vertical y(t) de un auto que encuentrael reductor de velocidad con la velocidad V está dado por

y(t) = 0, para t ≤ − L

2V,

my′′ + ky =

cos

(πV t

L

), para − L

2V< t <

L

2V

0 , para t ≥ L

2V

La ausencia de un término de amortiguamiento indica que los amortiguadores delauto no están funcionando. Considere que m = k = 1 y L = π por conveniencia yresuelva este problema de valor inicial.

CAPÍTULO

4

La Transformada de Laplace

En los capítulos anteriores consideramos los operadores diferenciales. Como se pudo obser-var, estos operadores consideran una función y la transforman en otra función. La trans-formada de Laplace, que es un operador integral, es otra de tales transformaciones.

4.1. El operador de Laplace

En esta sección consideraremos la aplicación del denominado operador de Laplace ala solución de ecuaciones diferenciales lineales. El método, hablando en términos globa-les, consiste en transformar la ecuación dada en otra ecuación diferencial para la cual latécnica de solución sea comparativamente más fácil que la de la original. Consideraremosfunciones en un cierto espacio funcional, digamos V , las cuales bajo la acción del operadorde Laplace son transformadas en funciones en otro espacio funcional W , de manera tal quela transformación sea inversible, por medio de un operador inverso.

L : V ↔ W : L−1

f ↔ L(f) = F

De esa forma, una ecuación diferencial, la cual está expresada como combinación de fun-ciones conocidas e incógnitas bajo diferentes operaciones, es también transformada en otraecuación tal que sus soluciones corresponden a las transformadas de las soluciones de laecuación original. En este sentido, el manejo de las propiedades del operador a considerar,será importante para efectuar las correspondientes transformaciones.

98 La Transformada de Laplace

Definición 4.1.1. Dada una función f : [0, +∞[→ R. Definimos la transformada deLaplace1 de f , como la función F , dada por

F (s) = L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt, (4.1)

para toda s tal que la integral exista.

Observe que la integral en (4.1) es una integral impropia. Más precisamente,∫ ∞

0

e−stf(t)dt = lımN→∞

∫ N

0

e−stf(t)dt,

siempre que el límite exista.

Notaremos generalmente a la función original (f en la definición) por medio de letrasminúsculas y a su transformada por medio de la misma letra pero en mayúscula. El ope-rador L es el operador de Laplace. Los intervalos de definición de la función original y sutransformada no son necesariamente los mismos2, por lo que estableceremos diferencias entorno a las variables independientes correspondientes. Se emplearán t o x, para la funciónf y s para su trasformada. Por otra parte, funciones que tienen la misma transformadacoinciden en todo punto de su dominio donde sean continuas. En tal sentido, hablaremosde la transformada inversa para referirnos a cualquiera de tales funciones. Es decir

L(f(t)) = F (s) ⇔ f(t) = L−1(F (s)).

Ejemplo 4.1.1. Determinar L(f(t)) donde f(t) = K , K es una constante.Se tiene

L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−stKdt = K

∫ ∞

0

e−stdt

entonces

L(f(t)) =

K

spara s > 0

+∞ para s ≤ 0

Por lo tantoF (s) =

K

s, s > 0.

Se tiene entoncesL−1

(K

s

)= K.

1La transformada de Laplace recibe su nombre del matemático francés Pierre Simon, Marqués DeLaplace, el cual fué profesor en París, desarrolló los fundamentos de la teoría del potencial y realizóimportantes contribuciones a la mecánica celeste, la astronomía, las funciones especiales y la teoría de laprobabilidad.

2Pertenecen probablemente a espacios diferentes.

4.1 El operador de Laplace 99

Ejemplo 4.1.2. Si f(t) = eat, donde a ∈ R, entonces

L(eat) =

∫ ∞

0

e−steatdt =

∫ ∞

0

e−(s−a)tdt,

luego

L(eat) =1

s− apara s > a.

se deduce, entonces que

L−1

(1

s− a

)= eat.

Ejemplo 4.1.3. Si f(t) = tn, n un entero positivo cualquiera, entonces

L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−sttndt,

usando integración por partes, con u = tn y dv = e−stdt tenemos

L(tn) = −tne−st

s|∞0 +

n

s

∫ ∞

0

e−sttn−1dt =n

sL(tn−1),

para s > 0.Por tanto,

L(tn) =n

sL(tn−1) =

n(n− 1)

s2L(tn−2) = · · · = n!

snL(t0).

Pero t0 = 1, así que por un ejemplo anterior L(1) =1

sy

L(tn) =n!

sn+1.

Equivalentemente,

L−1

(n!

sn+1

)= L−1 (L(tn)) = tn.

Ejemplo 4.1.4. Si f(t) = cos(at), su transformada de Laplace se obtiene también inte-grando por partes. Sean u = cos(at) y dv = e−stdt; entonces

L(cos(at)) =

∫ ∞

0

e−st cos(at)dt = −e−st cos(at)

s|∞0 − a

s

∫ ∞

0

e−st sin(at)dt,

oL(cos(at)) =

1

s− a

sL(sin(at)).


Debemos calcular esta última integral otra vez por partes, con u = cos(at) y dv = e−stdt,entonces

L(cos(at)) =1

s− a

s

∫ ∞

0

e−st sin(at)dt =1

s− a

s

[−e−st sin(at)

s|∞0 +

a

s

∫ ∞

0

e−st cos(at)dt

],

o

L(cos(at)) =1

s− a2

s2L(cos(at)).

Pasando el último término del lado derecho de la anterior ecuación al lado izquierdo, ob-tenemos (

1 +a2

s2

)L(cos(at)) =

1

s,

oL(cos(at)) =

s

s2 + a2.

Además, como

L(sin(at)) =1

a− s

aL(cos(at)),

se tieneL(sin(at)) =

a

s2 + a2.

Evidentemente estos cálculos son válidos sólo para s > 0.

Ejemplo 4.1.5. Si

f(t) =

1 , 0 ≤ t < 1,2 , 1 ≤ t < 2,0 , t > 2,

entonces

L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt =

∫ 1

0

e−stdt + 2

∫ 2

1

e−stdt,

luego

L(f(t)) =1 + e−s − 2e−2s

s, para s > 0,

de donde

L−1

(1 + e−s − 2e−2s

s

)= f(t).

Definición 4.1.2. La función Gamma Γ(t) se define como

Γ(t) =

∫ ∞

0

e−uut−1du, t > 0. (4.2)


Se puede mostrar que la anterior integral impropia converge para t > 0. Una propiedadútil es la relación recursiva

Γ(t + 1) = tΓ(t). (4.3)

Esta identidad es consecuencia de la definición, después de una integración por partes.Cuando t es un entero positivo, digamos t = n, entonces la relación recursiva (4.3) se puedeaplicar varias veces par obtener

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 1) = · · · = n(n− 1)(n− 2) · · · 2Γ(1).

La definición (4.2) implica que Γ(1) = 1, de modo que

Γ(n + 1) = n!.

Así, vemos que la función gamma extiende el concepto de factorial.Como aplicación de la función gamma, calculemos la transformada de Laplace de unapotencia arbitraria de t.

Ejemplo 4.1.6. Verifiquemos que

L(ta) =Γ(a + 1)

sa+1,

para cada a > −1.En efecto, por definición

L(ta) =

∫ ∞

0

e−sttadt,

hagamos la sustitución u = st, entonces

L(ta) =

∫ ∞

0

e−u(u

s

)a(

1

s

)du =

1

sa+1

∫ ∞

0

e−uuadu =Γ(a + 1)

sa+1.

Observamos que cuando a = n un entero no negativo, se tiene

L(tn) =n!

sn+1.

En los anteriores ejemplos se muestra que L(f(t)) puede no estar definida para todos losvalores de s, pero en caso de estar definida, existirá para valores suficientemente grandesde s. Hay funciones para las que la integral impropia (4.1) no converge para cualquier valorde s, por ejemplo:

Ejemplo 4.1.7. Sea f(t) =1

t. Entonces

L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−st

tdt =

∫ 1

0

e−st

tdt +

∫ ∞

1

e−st

tdt,


para t en el intervalo [0, 1], e−st ≥ e−s, si s > 0. Entonces

∫ ∞

0

e−st

tdt ≥ e−s

∫ 1

0

1

tdt +

∫ ∞

1

e−st

tdt.

Sin embargo, como ya sabemos∫ 1

0

1

tdt diverge. Por tanto, la función dada no tiene trans-

formada de Laplace.

Este último ejemplo y la discusión anterior a el, señalan la necesidad de contestar lassiguientes preguntas:

1. ¿Qué funciones f(t) tienen transformada de Laplace?

2. ¿Pueden dos funciones f(t) y g(t) tener la misma transformada?

Al contestar estas preguntas, nos daremos por satisfechos con poder encontrar una clasede funciones, lo suficientemente grande para que contenga a todas las funciones para lascuales existen las transformadas de Laplace y tienen inversas únicas.Para poder dar condiciones que garanticen la existencia de la transformada de Laplace, esnecesario las siguientes definiciones:

Definición 4.1.3. Una función f(t) en [a, b] se dice que tiene una discontinuidad desalto en un punto t0 ∈]a, b[ si f(t) es discontinua en t0, pero los límites laterales lım

t→t+0

f(t)

y lımt→t−0

f(t) existen. Si la discontinuidad ocurre en un extremo t0 = a o t0 = b, hay una

discontinuidad de salto si el límite lateral de f(t) cuando t → a+ o t → b− existe.

Definición 4.1.4. Una función f(t) en [a, b] es continua por partes si f(t) es continuaen cada punto de [a, b] excepto en un número finito de puntos donde f(t) tiene una dis-continuidad de salto. Una función f(t) es continua por partes en [0,∞[ si f(t) es continuapor partes en [0, N ] para todo N > 0.

Ejemplo 4.1.8. Consideremos la función

f(t) =

1 , 0 ≤ t < 1,2 , 1 ≤ t < 2,1/2 , 2 ≤ t ≤ 4,

cuya gráfica aparece en la figura (4.1), es continua por tramos en [0, 4].Podemos ver que la gráfica de f(t) muestra que f(t) es continua en los intervalos ]0, 1[,]1, 2[ y ]2, 4[. Además, en los puntos de discontinuidad, t = 1, y t = 2, la función tienediscontinuidades de salto, pues los límites laterales existen.


Figura 4.1:

Definición 4.1.5. Una función f(t) se dice que es de orden exponencial λ si existenconstantes positivas T y M tales que

|f(t)| ≤ Meλt, para toda t ≥ T. (4.4)

Ejemplo 4.1.9. La función f(t) = e−2t cos t es de orden exponencial λ = −2, pues|e−2t cos t| ≤ e−2t, ya que | cos t| ≤ 1, y por lo tanto (4.4) se cumple con M = 1 y Tcualquiera.Mientras que la función g(t) = et2 no es de orden exponencial. Puesto que

lımt→∞

et2

eλt= lım

t→∞et(t−λ) = +∞

para cualquier λ.

Las funciones que aparecen por lo general al resolver ecuaciones diferenciales lineales sontanto continuas por partes como de orden exponencial. Como se mostrará a continuación,con el siguiente teorema, las transformadas de Laplace de tales funciones existen paravalores suficientemente grandes de s.

Teorema 4.1.1 (Teorema para la existencia de la transformada). Si la funciónf(t) es continua por partes en [0,∞[ y de orden exponencial λ, entonces L(f(t)) existepara s > λ.

Demostración. Debemos mostrar que la integral

L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt


converge para s > λ. Primero separamos la anterior integral en dos, así:∫ ∞

0

e−stf(t)dt =

∫ T

0

e−stf(t)dt +

∫ ∞

T

e−stf(t)dt, (4.5)

donde T se elige de modo que se cumpla la desigualdad (4.4). La primera de las integralesde la derecha de (4.5) existe porque f(t) y por tanto e−stf(t) son continuas por partes enel intervalo [0, T ] para cualquier s fija. Para ver que la segunda integral de la derecha en(4.5) converge usamos el criterio de comparación para integrales impropias.Como f(t) es de orden exponencial λ, tenemos que para t ≥ T , |f(t)| ≤ Meλt, y por tanto

|e−stf(t)| ≤ e−st|f(t)| ≤ Me−(s−λ)t,

para toda t ≥ T . Ahora, para s > λ.∫ ∞

T

Me−(s−λ)tdt = M

∫ ∞

T

e−(s−λ)tdt =Me−(s−λ)T

s− λ< ∞.

Como |e−stf(t)| ≤ Me−(s−λ)t para t ≥ T y la integral impropia de la función mayorconverge para s > λ, el criterio de comparación nos muestra que la integral

∫∞T

e−stf(t)dtconverge para s > λ. Por último, como las dos integrales en (4.5) existen, la transformadade Laplace L(f(t)) existe para s > λ.

Teorema 4.1.2 (Comportamiento de F (s) cuando s → ∞). Si f es una funcióncontinua por partes en [0,∞[ y de orden exponencial λ, entonces

lıms→∞

F (s) = 0.

Demostración. Dado que f(t) es continua por partes en 0 ≤ t ≤ T , necesariamente esacotada en ese intervalo; esto es, |f(t)| ≤ M1 = M1e

0t.También, |f(t)| ≤ M2e

λt, para t > T .Si M representa el máximo de M1,M2 y c indica el máximo de 0, λ, entonces

|F (s)| ≤∫ ∞

0

e−st|f(t)|dt ≤ M

∫ ∞

0

e−stectdt = −Me−(s−c)t

s− c|∞0 =

M

s− c,

para s > c. Cuando s →∞, se tiene que |F (s)| → 0, de modo que F (s) → 0.

4.2. Propiedades de la transformada de LaplaceEn la sección anterior se definió la transformada de Laplace de una función f(t) por lafórmula (4.1). El uso de esta definición para obtener una expresión explícita para L(f(t))requiere la evaluación de la integral impropia, lo que es una tarea tediosa. En esta secciónanalizamos algunas propiedades básicas de la transformada de Laplace que simplifican sucálculo.

4.2 Propiedades de la transformada de Laplace 105

Teorema 4.2.1 (Linealidad). Sean f , g funciones cuyas transformadas de Laplace exis-ten para s > λ y a, b ∈ R. Entonces, para s > λ,

L(af(t) + bg(t)) = aF (s) + bG(s). (4.6)

EquivalentementeL−1(aF (s) + bG(s)) = af(t) + bg(t). (4.7)

Demostración. Usando la propiedad de linealidad de la integral obtenemos para s > λ,

L(af(t) + bg(t)) =

∫ ∞

0

e−st[af(t) + bg(t)]dt

= a

∫ ∞

0

e−stf(t)dt + b

∫ ∞

0

e−stg(t)dt

= aL(f(t)) + bL(g(t))

= aF (s) + bG(s).

Equivalentemente

L−1(aF (s) + bG(s)) = L−1(L(af(t) + bg(t)))

= af(t) + bg(t).

Ejemplo 4.2.1. Si f(t) = 4− e−t, entonces aplicando la propiedad de linealidad se tiene

L(4− e−t) = L(4)− L(e−t),

y aplicando los ejemplos anteriores obtenemos

L(f(t)) =4

s− 1

s + 1=

3s + 1

s(s + 1).

Teorema 4.2.2 (Traslación en el eje s). Si la transformada de Laplace L(f(t)) = F (s)existe, para s > λ, entonces

L(eatf(t)) = F (s− a), (4.8)

para s > λ + a.Equivalentemente

L−1(F (s)) = eatf(t). (4.9)


Demostración. Calculamos

L(eatf(t)) =

∫ ∞

0

e−steatf(t)dt,

se tiene

L(eatf(t)) =

∫ ∞

0

e−(s−a)tf(t)dt

= F (s− a).

EquivalentementeL−1(F (s− a)) = L−1(L(eatf(t)))

= eatf(t).

Ejemplo 4.2.2. Si f(t) = ett, entonces como en un ejemplo anterior vimos que

L(t) =1

s2,

por la propiedad de traslación en el eje s, con a = 1, tenemos

L(ett) =1

(s− 1)2.

Ejemplo 4.2.3. Si g(t) = e−t sin(2t), con f(t) = sin(2t), se tiene que

F (s) =2

s2 + 4,

y a = −1, tenemos

L(e−t sin(2t)) = F (s + 1) =2

(s + 1)2 + 4.

Teorema 4.2.3 (Transformada de derivadas de orden superior). Sean f(t), f ′(t), . . . , f (n−1)(t)continuas en [0,∞[ y sea f (n)(t) continua por parte en [0,∞[, con todas estas funciones deorden exponencial λ. Entonces, para s > λ,

L(f (n)(t)) = snF (s)− sn−1f(0)− · · · − f (n−1)(0). (4.10)


Demostración. Como L(f ′(t)) existe, podemos integrar por partes, haciendo u = e−st ydv = f ′(t)dt, para obtener

L(f ′(t)) =

∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt

= lımN→∞

∫ N

0

e−stf ′(t)dt

= lımN→∞

[e−stf(t)

∣∣N0 + s

∫ N

0

e−stf(t)

]dt

= lımN→∞

e−sNf(N)− f(0) + s lımN→∞

∫ N

0

e−stf(t)dt

= lımN→∞

e−sNf(N)− f(0) + sF (s).

Para evaluar lımN→∞

e−sNf(N), observamos que como f(t)es e orden exponencial ∞, existeuna constante M tal que para N grande

|e−sNf(N)| ≤ e−sNMeλt = Me−(s−λ)N .

Por lo tanto, para s > λ,

0 ≤ lımN→∞

|e−sNf(N)| ≤ lımN→∞

Me−(s−λ)N = 0,

de modo quelım

N→∞e−sNf(N) = 0,

para s > λ.Entonces obtenemos

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0).

El resultado general (4.10) se sigue al aplicar inducción sobre n.

Ejemplo 4.2.4. Calculemos L(cos2(at)).Sea f(t) = cos2(at), entonces

f ′(t) = −2a cos(at) sin(at) = −a sin(2at),

como f(0) = 1, se tiene que

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0) = sL(cos2(at))− 1,

y como

L(f ′(t)) = −aL(sin(2at)) = − 2a2

s2 + 4a2,


se tiene entonces que

L(cos2(at)) =1

s− 2a2

s(s2 + 4a2)=

s2 + 2a2

s(s2 + 4a2, para s > 0.

Teorema 4.2.4 (Integral de transformada). Supongamos que

lımt→0+

f(t)

t

es finito, entonces

L(

f(t)

t

)=

∫ +∞

s

F (u)du, (4.11)

o, equivalentemente

L−1

(∫ +∞

s

F (u)du

)=

f(t)

t. (4.12)

La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 4.2.5. Determinemos L(

sin(t)

t

).

Tenemos que si f(t) = sin(t), F (s) =1

s2 + 1, entonces aplicando el teorema anterior

L(

sin(t)

t

)=

∫ ∞

s

1

u2 + 1du = arctan(u)|∞s .

Entonces

L(

sin(t)

t

)=

π

2− arctan(s) = arctan

(1

s

), s > 0.

Teorema 4.2.5 (Derivada de transformada). Sea F (s) = L(f(t)) y suponga que f(t)es continua por partes en [0,∞[ y de orden exponencial λ. Entonces, para s > λ,

L(tnf(t)) = (−1)n dnF

dsn(s). (4.13)

Demostración. Sabemos que

F (s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt,

derivando con respecto a s tenemos

dF

ds(s) =

d

ds

∫ ∞

0

e−stf(t)dt,


debido a la hipótesis sobre f(t), podemos aplicar un teorema de cálculo (llamado la reglade Leibniz) para intercambiar el orden de integración y derivación:

dF

ds(s) =

∫ ∞

0

d

ds(e−st)f(t)dt

= −∫ ∞

0

e−sttf(t)dt

= −L(tf(t)).

Así,

L(tf(t)) = (−1)dF

ds(s).

El resultado general (4.13) se sigue al aplicar inducción sobre n.

Ejemplo 4.2.6. Calculemos L(t sin(at)).Sea f(t) = sin(at), entonces

F (s) = L(sin(at)) =a

s2 + a2,

entonces

L(t sin(at)) = −dF

ds(s) =

2as

(s2 + a2)2.

Ejemplo 4.2.7. Hallemos f(t) para F (s) = ln

(s + 1

s− 3

).

Del teorema de derivada de transformada tenemos que f(t) = −1

tL−1(F ′(s)). Como

F (s) = ln

(s + 1

s− 3

)= ln(s + 1)− ln(s− 3),

se tiene que

F ′(s) =1

s + 1− 1

s− 3,

entonces

f(t) = −1

tL−1

(1

s + 1− 1

s− 3

),

de dondef(t) = −1

t(e−t − e3t).


4.3. Transformada de funciones escalonadas, periódicasy de impulso

En el capítulo anterior vimos cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales, que surgen deproblemas de aplicación, en las cuales la función forzadora era continua. Sin embargo en lagran mayoría de los casos de aplicaciones la función forzadora es una función escalonada operiódica o de impulso. en esta sección veremos estos casos.

La siguiente función, importante en las aplicaciones prácticas, se conoce como funciónescalón unitario o función de Heaviside.

H(t) =

0 , t < 0,1 , t > 0.

(4.14)

Al recorrer el argumento de H(t) podemos mover el salto a otra posición, es decir

Figura 4.2: Función de Heaviside

H(t− a) =

0 , t− a < 0,1 , t− a > 0,

=

0 , t < a,1 , t > a,

(4.15)

tiene su salto en t = a, donde a es cualquier constante fija.

La gráfica de la función H(t − a) se presenta en la figura 4.3. Observe que esta funcióntiene una discontinuidad de salto en t = a, aún más, no está definida en t = a.

4.3 Transformada de funciones escalonadas, periódicas y de impulso 111

Figura 4.3:

Teorema 4.3.1 (Traslación en el eje t). Supongamos que F (s) = L(f(t)) existe paras > λ ≥ 0. Si a es una constante positiva, entonces

L(f(t− a)H(t− a)) = e−asF (s). (4.16)

EquivalentementeL−1(e−asF (s)) = f(t− a)H(t− a). (4.17)

Demostración. Usando la definición de la transformada de Laplace, tenemos

L(f(t− a)H(t− a)) =

∫ ∞

0

e−stf(t− a)H(t− a)dt =

∫ ∞

a

e−stf(t− a)dt,

haciendo la sustitución u = t− a, se tiene

L(f(t− a)H(t− a)) =

∫ ∞

0

e−s(u+a)f(u)du = e−as

∫ ∞

0

e−suf(u)du,

de dondeL(f(t− a)H(t− a)) = e−asF (s).

Equivalentemente

L−1(e−asF (s)) = L−1(L(f(t− a)H(t− a))) = f(t− a)H(t− a).


Observamos que la fórmula (4.16) incluye como caso particular la expresión para cuando

f(t) ≡ 1, en efecto, dado que L(1) =1

s, obtenemos

L(H(t− a)) =e−as

s. (4.18)

También obtenemos la transformada de la función h(t) = g(t)H(t− a), al identificar a g(t)con f(t− a) de modo que f(t) = g(t + a), la ecuación (4.16) implica

L(g(t)H(t− a)) = e−asL(g(t + a)). (4.19)

Ejemplo 4.3.1. Calculemos L(f(t)) para

f(t) =

e−t , 0 ≤ t < 2π,e−t + sin t , t > 2π.

La función f(t) tiene una discontinuidad de salto en t = 2π. Podemos usar la función deHeaviside para escribir

f(t) = e−t + H(t− 2π) sin(t− 2π),

ya que

H(t− 2π) sin(t− 2π) =

0 , t < 2π,sin(t− 2π) , t > 2π,

y además sin(t−2π) = sin t, entonces, aplicando linealidad de la transformada y el teoremade traslación en el eje t tenemos

L(f(t)) = L(e−t) + e−2πsL(sin t) =1

s+

e−2πs

s2 + 1.

Ejemplo 4.3.2. Hallemos L(sin(t)H(t− π)).En este caso, g(t) = sin t y a = π. Por tanto

g(t + π) = sin(t + π) = − sin t,

de dondeL(g(t + π)) = −L(sin t) = − 1

s2 + 1.

Entonces, por la fórmula (4.19) se tiene

L(sin(t)H(t− π)) = − e−πs

s2 + 1.

Definición 4.3.1. Una función f(t) se dice que es periódica con periodo T si

f(t + T ) = f(t),

para todo t en el dominio de f .

4.3 Transformada de funciones escalonadas, periódicas y de impulso 113

Teorema 4.3.2 (Periodicidad de la transformada). Sea f una función continua porpartes en [0, T ] y con periodo T > 0, entonces

L(f(t)) =1

1− e−sT

∫ T

0

e−stf(t)dt. (4.20)

Demostración. Por la definición de transformada de Laplace tenemos

L(f(t)) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt

o

L(f(t)) =

∫ T

0

e−stf(t)dt +

∫ ∞

T

e−stf(t)dt,

como la función f(t) es continua por partes en [0, T ], la primera integral del lado derechoexiste, para la segunda integral hacemos la sustitución u = t− T , entonces

∫ ∞

T

e−stf(t)dt =

∫ ∞

0

e−s(u+T )f(u + T )du,

y como f es periódica y de periodo T , se tiene∫ ∞

T

e−stf(t)dt = e−sT

∫ ∞

0

e−suf(u)du = e−sT F (s),

luego

F (s) =

∫ T

0

e−stf(t)dt + e−sT F (s),

entonces

(1− e−sT )F (s) =

∫ T

0

e−stf(t)dt,

de donde se obtiene la fórmula (4.20).

Ejemplo 4.3.3. Calculemos la transformada de la función f(t) = | cos(at)|.Observamos que esta función es periódica y de periodo T = π/a. Por el teorema anteriortenemos

L(f(t)) =1

1− e−πs/a

∫ π/a

0

e−st cos(at)dt,

ya que | cos(at)| = cos(at) en [0, π/a]. Ahora, usando tablas de integrales se tiene∫ π/a

0

e−st cos(at)dt =e−st

s2 + a2(a sin(at)− s cos(at))|π/a

0 =s(1 + e−πs/a)

s2 + a2,

así que

L(| cos(at)|) =s

s2 + a2

1 + e−πs/a

1− e−πs/a,


Figura 4.4: f(t) = | cos(at)|

que puede simplificarse usando funciones hiperbólicas a

L(| cos(at)|) =s

s2 + a2coth

(πs

2a

).

Definición 4.3.2. La función Delta de Dirac3 δ(t) se caracteriza por las dos propie-dades siguientes:

δ(t) =

0 , t 6= 0,∞ , t = 0,

(4.21)

y ∫ ∞

−∞f(t)δ(t)dt = f(0), (4.22)

para cualquier función f(t) que sea continua en un intervalo abierto que contiene a t = 0.

Al recorrer el argumento de δ(t), tenemos que δ(t− a) = 0, t 6= a y∫ ∞

−∞f(t)δ(t− a)dt = f(a), (4.23)

para cualquier función f(t) que sea continua en un intervalo abierto que contiene a t = a.Es claro que δ(t− a) no es una función en el sentido usual; en realidad, es un ejemplo de

3El físico matemático inglés Paul M. Dirac introdujo esta función para trabajar los sistemas mecánicos,circuitos eléctricos, doblamiento de vigas y otras aplicaciones donde aparecen funciones con un valor muygrande en un intervalo de tiempo corto.

4.4 Convolución 115

lo que se llama función generalizada o distribución.

La función escalón unitario y la función Delta de Dirac tienen una relación muy interesante.∫ t

−∞δ(τ − a)dτ =

0 , t < a,1 , t > a

= H(t− a). (4.24)

Teorema 4.3.3 (Transformada de la función Delta de Dirac). Para a > 0,

L(δ(t− a)) = e−as. (4.25)

EquivalentementeL−1(e−as) = δ(t− a). (4.26)

Demostración. Al aplicar la propiedad (4.23), como δ(t − a) = 0 para t 6= a, haciendof(t) = e−st en (4.23), tenemos para a ≥ 0

L(δ(t− a)) =

∫ ∞

0

e−stδ(t− a)dt =

∫ ∞

−∞e−stδ(t− a)dt = e−as.

EquivalentementeL−1(e−as) = L−1(L(δ(t− a))) = δ(t− a).

En particular si a = 0 se tieneL(δ(t)) = 1. (4.27)

Ejemplo 4.3.4. Determinar L(δ(t− 1)− δ(t− 2)).Al aplicar la propiedad de linealidad de la transformada y el teorema anterior obtenemos

L(δ(t− 1)− δ(t− 2)) = L(δ(t− 1))− L(δ(t− 2)) = e−s − e−2s.

4.4. ConvoluciónHemos visto que la transformada de Laplace es lineal. Así, la transformada de una suma esla suma de transformadas. sin embargo, no es válido que la transformada de un productosea el producto de transformadas. Podemos definir, sin embargo, una cierta operaciónentre dos funciones, tales que la transformada de la función resultante sea el producto delas transformadas de las funciones operadas. Denominaremos convolución a la funciónresultante de la combinación de las funciones indicadas.

Definición 4.4.1. Sean f y g funciones continuas por partes en el intervalo [0,∞). Laconvolución de f y g, que se denota por f ∗ g se define como

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(t− u)g(u)du. (4.28)


Es claro que la convolución es distinta de la multiplicación usual. Por ejemplo 1∗1 = t 6= 1,y en general 1 ∗ f 6= f . Sin embargo, la convolución satisface algunas propiedades de lamultiplicación.

Teorema 4.4.1. Sean f , g y h funciones continuas por partes en [0,∞). Entonces

1. f ∗ g = g ∗ f .

2. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.

3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

4. f ∗ 0 = 0.

La demostración se deja como ejercicio.

Ahora mostraremos que si Y (s) es el producto de las transformadas de Laplace F (s) yG(s), entonces y(t) es la convolución (f ∗ g)(t).

Teorema 4.4.2 (Teorema de convolución). Sean f y g funciones continuas por partesen [0,∞) y de orden exponencial α; sean F (s) = L(f(t)) y G(s) = L(g(t)). Entonces

L(f ∗ g) = F (s)G(s), (4.29)

o, de manera equivalenteL−1(F (s)G(s)) = (f ∗ g)(t). (4.30)

Demostración. Usando la definición de transformada de Laplace, para s > α, tenemos

L(f ∗ g) =

∫ ∞

0

e−st(f ∗ g)(t)dt,

usando la definición de convolución obtenemos

L(f ∗ g) =

∫ ∞

0

e−st

[∫ t

0

f(t− u)g(u)du

]dt.

Para simplificar los cálculos introducimos la función escalón unitario H(t−u) y escribimos

L(f ∗ g) =

∫ ∞

0

e−st

[∫ ∞

0

Ht− u)f(t− u)g(u)du

]dt,

donde hemos usado el hecho de que H(t − u) = 0, si u > t. Al invertir el orden deintegración4 se tiene

L(f ∗ g) =

∫ ∞

0

g(u)

[∫ t

0

e−stH(t− u)f(t− u)dt

]du.

4Esto se puede hacer debido a que para s > α, el valor absoluto del integrando es integrable en(0,∞)× (0,∞).

4.4 Convolución 117

Aplicando la propiedad de traslación en el eje t, la integral entre el corchete es igual ae−suF (s). Por tanto

L(f ∗ g) =

∫ ∞

0

g(u)e−suF (s)du = F (s)

∫ ∞

0

g(u)e−sudu = F (s)G(s).

Esto demuestra (4.29).Equivalentemente

L−1(F (s)G(s)) = L−1(L((f ∗ g)(t))) = (f ∗ g)(t).

Se observa que la fórmula (4.29) incluye como caso particular la expresión para cuando

f(t) ≡ 1, esto es, dado que L(1) =1

s, se tiene

L(∫ t

0

g(u)du

)=

G(s)

s, (4.31)

que es la fórmula de la transformada de una integral.

Ejemplo 4.4.1. Halle la transformada inversa des

(s2 + 1)2.

Tenemos ques

(s2 + 1)2=

1

s2 + 1

s

s2 + 1.

Entonces por el teorema de convolución

L−1

(s

(s2 + 1)2

)= sin(t) ∗ cos(t).

Aplicando la definición de convolución de funciones se tiene

sin(t) ∗ cos(t) =

∫ t

0

sin(t− u) cos(u)du

=1

2

∫ t

0

[sin(t) + sin(t− 2u)]du

=1

2

[t sin(t) +

1

2cos(t− 2u)|t0

]

=1

2t sin(t).

EntoncesL−1(F (s)G(s)) =

1

2t sin(t).


4.5. Solución de problemas con valores inicialesEn los capítulos anteriores se estudiaron algunos métodos para resolver estos problemas.Estos métodos requieren hallar, previamente, una solución general de la ecuación diferen-cial y luego usar las condiciones iniciales para determinar la solución particular. Comoveremos, las transformadas de Laplace nos conduce a la solución deseada del problema convalores iniciales, sin necesidad de hallar la solución general.

El método de transformadas de Laplace se reduce a los siguientes pasos:1. Consideramos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial.

2. Usamos las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones inicialespara obtener una ecuación para la transformada de la solución y luego despejamosla transformada en esta ecuación.

3. Determinamos la transformada inversa de Laplace de la solución, usando las propie-dades o buscándola en la tabla.

Ejemplo 4.5.1. Apliquemos la transformada de Laplace a la solución del problema devalores iniciales

4y′′ + π2y = 0y(0) = 2y′(0) = 0.

Aplicando el operador de Laplace, tenemos que

L(4y′′ + π2y) = L(0) = 0,

luego, por linealidad4L(y′′) + π2L(y) = 0,

entonces, por el teorema de transformada de derivadas de orden superior

4[s2Y (s)− sy(0)− y′(0)] + π2Y (s) = 0,

de donde obtenemosY (s) =

2s

s2 +π2

4

.

Finalmente, aplicando transformada inversa, tenemosy(t) = L−1(Y (s))

= L−1

2s

s2 +π2

4

= 2 cos

(πt

2

).

4.5 Solución de problemas con valores iniciales 119

Ejemplo 4.5.2. Determinemos una solución no trivial del problema de valor inicial

xy′′ + (x− 2)y′ + y = 0y(0) = 0.

Aplicando el operador de Laplace a la ecuación diferencial, tenemos

L(xy′′ + (x− 2)y′ + y) = L(0) = 0,

donde L(y) = Y (s). Ahora, por el teorema de derivada de transformada,

L(xy′′) = − d

ds[L(y′′)]

= − d

ds[s2Y (s)− sy(0)− y′(0)]

= −s2Y ′(s)− 2sY (s),

tambiénL(xy′) = − d

ds[L(y′)]

= − d

ds[sY (s)− y(0)]

= −sY ′(s)− Y (s),

y, por el teorema de transformada de derivadas de orden superior

L(y′) = sY (s)− y(0) = sY (s).

Por lo tanto, al reemplazar y simplificar, tenemos

(s2 + s)Y ′(s) = −4sY (s),

la cual es una ecuación diferencial de orden uno en variables separables.Resolviéndola obtenemos

Y (s) =c

(s + 1)4,

de dondey(x) = L−1(Y (s)) = kx3e−x, k 6= 0.

Ejemplo 4.5.3. Resolver el problema de valores iniciales

y′′ + 6y′ + 34y = 30 sin(2t)y(0) = y′(0) = 0.


Aplicamos el operador de Laplace a la ecuación diferencial

L(y′′ + 6y′ + 34y) = L(30 sin(2t)),

por la linealidad de la transformada tenemos

L(y′′) + 6L(y′) + 34L(y) = 30L(sin(2t)),

donde L(y) = Y (s), L(sin(2t)) =2

s2 + 4, por el teorema de transformada de derivadas de

orden superior, tenemos

L(y′′) = s2Y (s)− sy(0)− y′(0) = s2Y (s),

yL(y′) = sY (s)− y(0) = sY (s),

reemplazando y despejando Y (s), obtenemos

Y (s) =60

(s2 + 4)[(s + 3)2 + 25].

Para hallar la solución, aplicamos el teorema de convolución, con

f(t) = L−1

(2

s2 + 4

)= sin(2t),

y

g(t) = L−1

(5

(s + 3)2 + 25

)= e−3t sin(5t),

entoncesy(t) = L−1

(60

(s2 + 4)[(s + 3)2 + 25]

)= 6f(t) ∗ g(t).

Ejemplo 4.5.4. Consideremos la ecuación

f(t) +

∫ t

0

g(t− u)f(u)du = h(t),

en la que g y h son funciones conocidas y se ha de determinar f . Dado que la funcióndesconocida aparece bajo el signo integral, la ecuación dada se llama ecuación integralde Volterra5. Al aplicar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación y usandoel teorema de convolución obtenemos

F (s) + G(s)F (s) = H(s),

5El matemático italiano Vito Volterra, en 1931, publicó un libro que contenía un modelo de crecimientode población, en la forma de esta ecuación.


de donde

F (s) =H(s)

G(s) + 1.

Si en particular g(t) = sinh(t) y h(t) = t2, se tiene que G(s) =1

s2 − 1y H(s) =

2

s3,

entonces

F (s) =2/s3

1 + 1/(s2 − 1)=

2(s2 − 1

s5=

2

s3− 2

s5,

de donde

f(t) = t2 − t4

12.

Ejemplo 4.5.5. El tanque mezclador de la figura 4.5 contiene inicialmente 500 litros deuna salmuera, con una concentración de sal de 2 kg/l. Durante los primeros 10 minutosde operación, se abre la válvula A, añadiendo 12 l/min de una solución con una concen-tración de sal de 4 kg/l. Después de 10 minutos, se cambia a la válvula B, la cual agregauna concentración de 6 kg/l a 12 l/min. La válvula de salida C elimina 12 l/min, mante-niendo constante el volumen. Determine la concentración de sal en el tanque como funcióndel tiempo.En los capítulos 1 y 2 analizamos una versión más sencilla de este problema.

Figura 4.5: Tanque mezclador

Sea x(t) la cantidad de sal (en kilogramos) en el tanque en el instante t. Entonces, por

supuesto,x(t)

500es la concentración en kg/l. El contenido de sal se reduce a razón de (12


l/min)×(

x(t)

500kg/l

)=

3x(t)

125kg/min a través de la válvula de salida C. Simultáneamen-

te, se enriquece a través de las válvulas A y B a razón r(t), dada por

r(t) =

(4kg/l)× (12l/min) = 48kg/min, 0 < t < 10(6kg/l)× (12l/min) = 72kg/min, t > 10

Así, x(t) cambia a razón dedx(t)

dt= r(t)− 3x(t)

125,

odx(t)

dt+

3x(t)

125= r(t),

con condición inicial x(0) = 1000 kilogramos.Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación diferencial resultante para obtener

L(

dx(t)

dt

)+ L

(3x(t)

125

)= L(r(t)),

de dondesX(s)− x(0) +

3

125X(s) = R(s),

al despejar X(s) nos da

X(s) =1000 + R(s)

s + 3/125,

donde

R(s) = L(r(t)) =

∫ ∞

0

e−str(t)dt =

∫ 10

0

48e−stdt +

∫ ∞

10

72e−stdt,

entoncesR(s) = −48e−st

s|100 − 72e−st

s|∞10 =

48

s+ 24

e−10s

s,

para s > 0. Entonces

X(s) =1000

s + 3/125+

48

s(s + 3/125)+

24e−10s

s(s + 3/125),

por fracciones simples (parciales) tenemos

1

s(s + 3/125)=

A

s+

B

s + 3/125=

A(s + 3/125) + Bs

s(s + 3/125),

que al igualar los numeradores y simplificar se tiene que A =125

3y B = −125

3, luego

X(s) =2000

s− 1000

s + 3/125+ 1000

e−10s

s− 1000

e−10s

s + 3/125.


Aplicando la transformada inversa de Laplace se tiene

x(t) = 2000− 1000e−3t/125 + 1000H(t− 10)− 1000H(t− 10)e−3(t−10)/125,

en kilogramos.Entonces la concentración de sal en el tanque en el tiempo t es

c(t) =x(t)

500= 4− 2e−3t/125 + 2H(t− 10)− 2H(t− 10)e−3(t−10)/125,

en Kg/l.


f(t) = L−1(F (s)) F (s) = L(f(t))

11

s, s > 0

eat 1

s− a, s > a

tn, n entero positivon!

sn+1, s > 0

ta, a > −1Γ(a + 1)

sa+1, s > 0

cos(at)s

s2 + a2

sin(at)a

s2 + a2

cosh(at)s

s2 − a2, s > |a|

sinh(at)a

s2 − a2, s > |a|

eatf(t) F (s− a)

H(t− a)e−as

s, s > 0

H(t− a)f(t− a) e−asF (s)

tnf(t), n entero positivo (−1)nF (n)(s)

f (n)(t), n entero positivo snF (s)− sn−1f(0)− · · · − f (n−1)(0)δ(t− a) e−as

δ(t) 1(f ∗ g)(t) F (s)G(s)∫ t

0

f(u)duF (s)

s, s > 0

f(t)

t

∫ ∞

s

F (u)du

f(t), periodo T > 01

1− e−Ts

∫ T

0

e−stf(t)dt

(−1)[|at|], (onda cuadrada)1

stanh

(as

2

), s > 0[∣∣∣∣

t

a

∣∣∣∣], a > 0, (escalera)

e−as

s(1− e−as), s > 0

tn−1/2, n entero positivo1 · ·5 · · · (2n− 1)

√π

2nsn+1/2, s > 0

f(at), a > 01

aF

(s

a

)

Cuadro 4.1: TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE BÁSICAS

4.6 Ejercicios 125

4.6. Ejercicios1. Determine las transformadas de las funciones siguientes:

(a) f(t) = 2 + t2.

(b) f(t) = e2t + 3t2.

(c) f(t) = 3t2 + 2t3e5t.

(d) f(t) = sin(3t)− 6 cos(5t) + t5.

(e) f(t) = et cos(5t).

(f) f(t) = te−2t sin(3t).

(g) f(t) = t2 cos(2t).

(h) f(t) = tet sinh(3t).

(i) f(t) = 5t2e−2t cosh(t).

(j) f(t) = t cos2(t).

2. Determine las transformadas inversas de las funciones dadas:

(a) F (s) =2

s− 3.

(b) F (s) =2

s− 3+

3

s.

(c) F (s) =2

s3.

(d) F (s) =2

s2 + 4.

(e) F (s) =2

(s− 3)2 + 9.

(f) F (s) =1

s2 − 1.

(g) F (s) =s

s2 − 4.

(h) F (s) =1

s2 + s.

(i) F (s) =1

(s2 + 1)2.

(j) F (s) =10

(s2 + 1)[(s− 3)2 + 16].

3. Use la función Gamma y el hecho de que Γ(1/2) =√

π, para encontrar la transfor-mada de Laplace de las siguientes funciones:

(a) f(t) =1√t.

(b) f(t) =√

t.

(c) f(t) = t3/2.

(d) f(t) = t5/2.

4. Demuestre el teorema 4.2.4.

5. Aplique el teorema 4.2.4 para determinar la transformada de Laplace de las funcionesdadas:

(a) f(t) =cos(t)

t.

(b) f(t) =1− cos(2t)

t.

(c) f(t) =e−t − et

t.

(d) f(t) =sinh(t)

t.

6. Determine la transformada inversa de las funciones:


(a) F (s) = ln

(s + 2

s− 2

).

(b) F (s) = ln

(s2 + 4

s2 + 1

).

(c) F (s) = arctan

(1

s + 1

).

(d) F (s) =s

(s2 + 1)3.

(e) F (s) =2s

(s2 − 1)2.

(f) F (s) =1

sarctan

(1

s

).

7. Demuestre el teorema 4.4.1.

8. El teorema de la transformada de derivadas de orden superior se puede extendercuando f es continua por partes y diferenciable en subintervalos abiertos ]tk−1, tk[,k = 1, 2, . . .. En tal caso se tiene que

L(f ′(t)) = sF (s)− f(0)−∞∑

n=1

e−stnJf (tn), (4.32)

donde Jf (tn) = f(t+n )− f(t−n ) es el salto de f en tn. Utilice este hecho para encontrarla transformada de

f(t) = 1 + [|t|],donde [|t|] es el mayor entero menor o igual a t (parte entera de t).

9. Resuelva los problemas de valores iniciales siguientes:

(a) y′′ + 2y′ + y = 0, y′(0) = 1, y(0) = 0.

(b) y′′ + y = sin(3t), y(0) = y′(0) = 0.

(c) y′′ + 2y = r(t), y(0) = y′(0) = 0, siendo r(t) =

1 si 0 ≤ t < 10 si t ≥ 1.

(d) ty′′ + (3− t)y′ + 3y = 0, y(0) = 0.

(e) ty′′ + (4t− 2)y′ + (13t− 4)y = 0, y(0) = 0.

(f) y′′′(t)− y′′(t) + 4y′(t)− 4y(t) = 4e2t − 3et, y(0) = 0, y′(0) = 5, y′′(0) = 3.

(g) y(4)(t) + 3y(3)(t) + y′′(t)− 3y′(t)− 2y(t) = t, y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0.

10. Resuelva las siguientes ecuaciones integrales:

(a) y(t) +

∫ t

0

et−uy(u)du = sin(t).

(b) x(t) = t +1

6

∫ t

0

(t− u)2x(u)du.

(c) f(t) = e−t − 2

∫ t

0

cos(t− u)f(u)du.

(d) f(t) = t2 +

∫ t

0

sin(t− u)f(u)du.

11. Resuelva las siguientes ecuaciones integro-diferenciales:

4.6 Ejercicios 127

(a) y′(t) + 2y(t) +

∫ t

0

y(u)du = sin(t), y(0) = 0.

(b) y′(t) = t + 2

∫ t

0

et−uy(u)du, y(0) = 2.

(c) y′(t) + 2y(t) +

∫ t

0

y(u)du = f(t), y(0) = 1, donde f(t) =

t, t < 12− t, 1 ≤ t ≤ 20, t > 2

(d) f ′(t) + f(t)−∫ t

0

f(u) sin(t− u)du + sin(t) = 0, f(0) = 1.

12. Demuestre que para cualquier entero n ≥ 1 y a 6= 0,

L−1

(1

(s2 + a2)n+1

)=

1

2n

∫ t

0

uL−1

(1

(s2 + a2)n

)du.

13. (a) Utilizando el resultado del ejercicio anterior pruebe que

L−1

(1

(s2 + a2)n+1

)=

1

2nan!

∫ t

0

u

∫ t

0

u · · ·∫ t

0

u sin(au)dudu · · · du,

donde la integral se repite n-veces.

(b) Deduzca la fórmula similar para L−1

(s

(s2 + a2)n+1

).

14. La función compuerta unitaria Ga(t) se define como

Ga(t) =

0 , t < 01 , 0 < t < a0 , a < t.

(a) Muestre que Ga(t) = H(t)−H(t− a).

(b) Pruebe que L(Ga(t)) =1− e−as

s.

(c) Muestre que L(Ga(t− b)) =e−bs − e−(a+b)s

s.

15. Use los resultados del problema anterior y el método de transformadas de Laplacepara resolver los problemas de valores iniciales dados:

(a) y′′ − y = G3(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 2.(b) y′′ − y = G4(t− 3), y(0) = 1, y′(0) = −1.

16. En el ejemplo 4.5.5, suponga que la válvula B se abre inicialmente durante 10 minutosy que luego se pasa a la válvula A durante 10 minutos. Por último, se regresa a laválvula B. Determine la concentración de sal en el tanque como función del tiempo.


17. En el ejemplo 4.5.5, suponga que la válvula C sólo elimina 6 l/min. ¿Se puede usarla transformada de Laplace para resolver este problema? Justifique su respuesta.

18. En la figura 4.6 se muestra una viga de longitud 2a que está empotrada en un soportepor el lado izquierdo y libre por la derecha. La deflexión vertical de la viga a unadistancia x del soporte se denota por y(x). Si la viga tiene una carga concentrada Pque actúa sobre ella en el centro de la viga, entonces la deflexión debe satisfacer elproblema simbólico con valores en la frontera

EIy(4)(x) = Pδ(x− a); y(0) = y′(0) = y′′(2a) = y′′′(2a) = 0,

donde E, es el módulo de elasticidad, e I es el momento de inercia, son constantes.Determine una fórmula para el desplazamiento y(x) en términos de las constantes a,P , E, e I. (Sugerencia: Haga y′′(0) = A, y y′′′(0) = B. Primero resuelva el problemasimbólico de cuarto orden con valores iniciales y luego use las condiciones y′′(2a) =y′′′(2a) = 0, para determinar A y B.)

Figura 4.6: Viga empotrada en un soporte

19. Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo, un metro por debajo de laposición de equilibrio para el sistema masa-resorte y comienza a vibrar. Después deπ

2segundos, la masa es golpeada con un martillo que ejerce un impulso sobre ella.

El sistema queda descrito mediante el problema simbólico con valores iniciales

x′′(t) + 9x(t) = −3δ(t− π/2), x(0) = 1, x′(0) = 0,

donde x(t) denota el desplazamiento con respecto del equilibrio en el instante t. ¿Quéle ocurre a la masa después de ser golpeada?

4.6 Ejercicios 129

20. La corriente I(t) de un circuito RLC con fuente de voltaje E(t) (ver figura 3.4) quedadescrita mediante el problema con valores iniciales

LI ′′(t) + RI ′(t) +1

CI(t) = e(t),

I(0) = a, I ′(0) = b,

donde e(t) = E ′(t). Para las constantes dadas R, L, C, a y b, halle una fórmula parala solución I(t) en términos de e(t).

(a) R = 20 ohms, L = 5 henrys, C = 0,005 farads, a = −1 amperes, b = 8amperes/segundo.

(b) R = 80 ohms, L = 10 henrys, C = 1/410 farads, a = 2 amperes, b = −8amperes/segundo.

(c) R = 100 ohms, L = 20 henrys, C = 1/100 farads, a = 4 amperes, b = 10amperes/segundo.

(d) R = 2 ohms, L = 0,1 henrys, C = 0,0001 farads, a = 0 amperes, b = 0amperes/segundo.

21. Una aplicación a la teoría de control. Consideremos un servomecanismo que mo-dela un piloto automático. Este mecanismo aplica un momento de torsión al eje dedirección, de modo que un avión o bote seguirá un curso establecido con anteriori-dad. Si y(t) es la dirección real (el ángulo) del vehículo en el instante t y g(t) es ladirección deseada en el mismo instante, entonces el error o desviación entre ellas ese(t) = y(t)− g(t).Supongamos que el servomecanismo puede medir el error e(t) y retroalimentar aleje de dirección mediante un componente del momento de torsión proporcional ae(t) pero opuesto en signo (ver figura 4.7). La segunda ley de Newton, expresada entérminos de momentos de torsión, establece que (momento de inercia)×(aceleraciónangular)=momento de torsión total.Para el servomecanismo descrito, tenemos

Iy′′(t) = −ke(t),

donde I es el momento de inercia del eje de dirección y k es una constante de pro-porcionalidad positiva.

(a) Determinar el error e(t) para el piloto automático si el eje de dirección estáinicialmente en reposo en la dirección cero y la dirección deseada está dada porg(t) = at, donde a es una constante.

(b) Determinar el error e(t) para el piloto automático si el eje de dirección estáinicialmente en reposo en la dirección cero y la dirección deseada está dada porg(t) = a, donde a es una constante.


Figura 4.7: Servomecanismo con retroalimentación

(c) Suponga que para controlar las oscilaciones se ejerce sobre el eje de dirección uncomponente adicional del momento de torsión proporcional a e′(t), pero opuestoen signo. Entonces la ecuación diferencial que modela el problema es

Iy′′(t) = −ke(t)− be′(t),

donde b es una constante positiva. Determine el error e(t) para el piloto auto-mático con amortiguamiento ligero (es decir, b < 2

√Ik) si el eje de dirección

está inicialmente en reposo en la dirección cero y la dirección deseada está dadapor g(t) = a, donde a es ua constante.

(d) Determine el error e(t), para el item anterior, cuando la dirección deseada estádada por g(t) = at, donde a es una constante.

22. Determine la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en lafigura 4.8 a 4.11

4.6 Ejercicios 131

Figura 4.8: Onda cuadrada

Figura 4.9: Onda diente de sierra


Figura 4.10: Onda triangular

Figura 4.11: Onda senoidal semirectificada

CAPÍTULO

5

Solución en Series

Corrientemente ha sido posible expresar la solución de las ecuaciones diferenciales, hastaahora consideradas, en términos de funciones elementales como exponenciales, senos, cose-nos, polinomios, etcetera. Sin embargo, en muchos problemas de la ciencia y la ingenieríalas ecuaciones diferenciales son de tal forma que esto no es posible y el objeto del presentecapítulo es indicar métodos para obtener soluciones en series infinitas convergentes. Al-gunas ecuaciones diferenciales se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones a lasciencias que se ha creído conveniente considerar que sus soluciones definen nuevas funcionesy con frecuencia es provechoso investigar las propiedades principales de las funciones asídefinidas.

5.1. Series infinitas

Para desarrollar lo propuesto, comenzamos presentando algunos conceptos y resumiendoalgunos resultados pertinentes acerca de las series infinitas y, en particular, de las series depotencias.El primer concepto que debemos precisar es el de serie infinita de funciones.

Definición 5.1.1. Dada una sucesión fn de funciones definidas en un conjunto S,S ⊆ R, fn : S → R, para cada n = 1, 2, . . . y para cada x ∈ S, se considera

Sn(x) =n∑

k=1

fk(x), n = 1, 2, . . .

134 Solución en Series

Le llamaremos serie infinita de funciones a la sucesión Sn∞n=1 y la denotamos con el

símbolo∑

, es decir∞∑

n=1

fn(x).

Las funciones fn se denominan términos de la serie.

Cuando la sucesión Sn∞n=1 converge se dice que la serie es convergente. De esta manera,podemos escribir

lımn→∞

Sn(x) =∞∑

n=1

fn(x).

Cuando el límite anteriormente mencionado no existe, se dice que la serie diverge.En gran parte de este capítulo, es de gran importancia el concepto de serie de potencia.Precisando decimos:

Definición 5.1.2. Una serie infinita de funciones de la forma

∞∑n=0

an(x− x0)n,

donde an (n = 0, 1, 2, . . .) son números reales y x0 es un real, x pertenece a algún conjuntode números reales; se llama una serie de potencias en (x− x0).

Ilustremos la anterior definición con un ejemplo.

Ejemplo 5.1.1 (Serie geométrica). La serie de potencias∞∑

n=0

xn se denomina serie

geométrica. A pesar de su sencillez es una serie de gran importancia. Estudiemos lo rela-cionado con su convergencia.

Sus sumas parciales son Sn(x) =n∑

k=0

xk. Si consideramos el punto x = 1, Sn(1) = n + 1,

lımn→∞

Sn(1) = ∞; de modo que la serie diverge para x = 1.

Para x = −1, Sn(−1) =n∑

k=0

(−1)k, esto es, S0(−1) = 1, S1(−1) = 0, S2(−1) = 1, . . .,

S2n(−1) = 1 y S2n−1(−1) = 0, n = 1, 2, . . . esto significa que no existe lımn→∞

Sn(−1), o loque es lo mismo, la serie diverge en x = −1.Si −1 < x < 1, partimos de la expresión

Sn(x) = 1 + x + x2 + · · ·+ xn−1 + xn. (5.1)

Multiplicando (5.1) por −x, obtenemos

−xSn(x) = −x− x2 − · · · − xn − xn+1. (5.2)

5.2 Convergencia de series de potencias 135

Para estudiar la existencia o no del limite lımn→∞

Sn(x), sumamos miembro a miembro (5.1)y (5.2), con lo cual se obtiene

Sn(x) =1

1− x− xn+1

1− x(5.3)

podemos observar que la existencia de lımn→∞

Sn(x), depende de la existencia del lımn→∞

xn+1.En efecto;

|xn+1| = |x|n+1 = e(n+1) ln(|x|), (5.4)

cuando x 6= 0, podemos argumentar estableciendo dos casos

Caso 1 0 < |x| < 1, con este supuesto ln(|x|) < 0; por lo tanto, haciendo uso de (5.4),tenemos

lımn→∞

|xn+1| = lımn→∞

e(n+1) ln(|x|) = 0.

De lo anterior se tiene quelım

n→∞xn+1 = 0

y en virtud de la expresión (5.3),

lımn→∞

Sn(x) =1

1− x. (5.5)

Caso 2 |x| > 1. Nuevamente de (5.4)

lımn→∞

|xn+1| = lımn→∞

e(n+1) ln(|x|) = ∞,

por que ln(|x|) > 0.Obtenemos así que lım

n→∞xn+1 diverge.

Cuando x = 0, Sn(0) = 1 y es claro que lımn→∞

Sn(0) = 1.De lo expuesto anteriormente podemos concluir que

∞∑n=0

xn =1

1− x, sí y sólo sí |x| < 1. (5.6)

(5.6) nos dice que la serie converge únicamente en el intervalo abierto ]− 1, 1[.

5.2. Convergencia de series de potenciasEn lo que sigue una serie de potencias converge en un intervalo o un conjunto unitario(intervalo degenerado a un punto). Este hecho se puso de manifiesto en el ejemplo 5.1.1.Aseguremos primero que una serie de potencias

∞∑n=0

an(x− x0)n


converge, por lo menos, en x = x0. Esto resulta obvio, ya que, Sn(x0) = a0, para todo n.Nuestro propósito de demostrar la existencia de un intervalo de convergencia se apoya enel siguiente teorema.

Teorema 5.2.1. Si la serie de potencias

∞∑n=0

an(x− x0)n

converge en un punto x1 6= x0; entonces la serie

∞∑n=0

|an(x− x0)n|

converge en todo punto x, tal que, |x− x0| < |x1 − x0|.

Demostración. Por supuesto la serie∞∑

n=0

an(x− x0)n converge en x = x1, entonces

lımn→∞

an(x1 − x0)n = 0,

esto significa que, para todo ε, ε > 0, existe N(ε), N(ε) entero positivo, tal que, para todan, n ≥ N(ε), se cumple que

|an(x1 − x0)n| < ε.

Para ε = 1, existe N(1), N(1) entero positivo, tal que, para toda n, n ≥ N(1), se tiene que

|an(x1 − x0)n| < 1.

Sea ρ > 0, y designemos por J al intervalo de centro en x0 y de longitud 2ρ, es decirJ = [x0 − ρ, x0 + ρ], donde 0 < ρ < |x1 − x0|.Si x ∈ J y n ≥ N(1), tenemos

|an(x− x0)n| = |an(x1 − x0)

n|∣∣∣∣x− x0

x1 − x0

∣∣∣∣n

<

∣∣∣∣x− x0

x1 − x0

∣∣∣∣n

≤∣∣∣∣

ρ

x1 − x0

∣∣∣∣n

= tn,

donde t =

∣∣∣∣ρ

x1 − x0

∣∣∣∣. Puesto que 0 < t < 1, la serie∞∑

n=0

|an(x − x0)n| está dominada por

la serie geométrica convergente∞∑

n=0

tn. Esto prueba que∞∑

n=0

|an(x− x0)n| es convergente o

lo que es lo mismo la serie∞∑

n=0

an(x − x0)n converge absolutamente para toda x, tal que

|x− x0| ≤ R, es decir |x− x0| < |x1 − x0|.

5.3 Funciones definidas por series de potencias 137

Observación 5.2.1. En referencia a la demostración, como la serie geométrica de números

reales∞∑

n=0

tn converge, podemos invocar el criterio M de Weierstrass y asegurar que la

serie∞∑

n=0

an(x− x0)n converge uniformemente en J .

La existencia del intervalo de convergencia lo establece el teorema siguiente.

Teorema 5.2.2. Si la serie de potencias∞∑

n=0

an(x − x0)n converge por lo menos para un

x, x 6= x0, digamos x = x1, y diverge por lo menos para un x, por ejemplo para x = x2;existe un número real positivo r, tal que la serie converge absolutamente si |x− x0| < r, ydiverge si |x− x0| > r.

Demostración. Sea

A =

|x− x0| | la serie

∞∑n=0

an(x− x0)n converge en x

.

El conjunto A, así definido es diferente del vacío, ya que, por hipótesis,∞∑

n=0

an(x1 − x0)n

de modo que |x1−x0| ∈ A. Asimismo, ningún número de A puede ser mayor que |x2−x0|,por el teorema 5.2.1. Luego, |x2− x0| es una cota superior de A y en virtud del axioma decompletez de los números reales, existe el extremo superior de A, designemos con r dichoextremo, esto es, r = sup A. Es evidente que r ≥ |x1 − x0| > 0, r > 0. Ningún númerode A puede superar a r, por consiguiente, la serie diverge si |x − x0| > r. En efecto; si|x− x0| < r, existe un número positivo x∗, tal que, |x∗ − x0| ∈ A, y

|x− x0| < |x∗ − x0| < r.

De lo anterior se tiene que∞∑

n=0

an(x−x0)n converge absolutamente para todo x, que satisfaga

la desigualdad |x− x0| < r.

El número r mencionado anteriormente recibe el nombre de radio de convergencia dela serie de potencias.

5.3. Funciones definidas por series de potencias

Dada la serie de potencias∞∑

n=0

an(x− x0)n con radio de convergencia r. Al intervalo

J =]x0 − r, x0 + r[, se le llama intervalo de convergencia de la serie.


Se ha establecido previamente que para cada x ∈ J , la serie∞∑

n=0

an(x − x0)n converge y

para los x, tales que, |x−x0| > r, la serie diverge. En los puntos x0−r y x0+r los teoremasexpuestos no son concluyentes, es decir, la serie puede converger o diverger en ellos.

La serie de potencias∞∑

n=0

an(x− x0)n define en J una función f , así;

Figura 5.1: J =]x0 − r, x0 + r[

f : J → R

x 7→ f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n

Se dice que la serie representa la función f en el intervalo de convergencia. A la serie se ledenomina desarrollo en serie de f en potencias de x− x0.

5.3.1. Problemas básicos de los desarrollos en series

Los problemas básicos que surgen al estudiar los desarrollos en series de potencias sonfundamentalmente los siguientes:

1. Dada la serie de potencias, hallar las propiedades de la función suma f .

2. Dada la función f , investigar si puede ser o no representada por una serie de potencias.


El estudio de la cuestión 1 se adelanta con el análisis de los teoremas siguientes.

Teorema 5.3.1. Si una función f está representada por la serie de potencias

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n (5.7)

en el intervalo (x0 − r, x0 + r), es continua en ese intervalo, y su integral en cualquiersubintervalo cerrado puede calcularse integrando la serie término a término. En particular,para todo x de (x0 − r, x0 + r), tenemos

∫ x

x0

f(t)dt =∞∑

n=0

an

∫ x

x0

(t− x0)ndt =

∞∑n=0

an

n + 1(x− x0)

n+1.

El teorema siguiente pone de manifiesto, que una serie de potencias se puede derivar términoa término en el interior de su intervalo de convergencia; este hecho resulta particularmenteimportante en las soluciones mediante series de potencias de ecuaciones diferenciales.

Teorema 5.3.2. Si una función f está representada por la serie de potencias

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n,

en el intervalo de convergencia (x0 − r, x0 + r). Entonces tenemos:

(a) La serie derivada∞∑

n=0

nan(x− x0)n−1, tiene también radio de convergencia r.

(b) La derivada f ′(x) existe para cada x del intervalo de convergencia y viene expresadapor

f ′(x) =∞∑

n=0

nan(x− x0)n−1 (5.8)

Los teoremas 5.3.1 y 5.3.2 justifican las manipulaciones formales siguientes:Sabemos que

∞∑n=0

xn =1

1− x= f(x)

en el intervalo de convergencia ]− 1, 1[= J .Si x ∈]− 1, 1[, entonces −x ∈]− 1, 1[; de modo que

∞∑n=0

(−1)nxn =1

1 + x,


e integrando término a término en [0, t] ⊆]− 1, 1[

∫ t

0

∞∑n=0

(−1)nxndx =∞∑

n=0

(−1)n tn+1

n + 1=

∫ t

0

dx

1 + x= ln(1 + t);

esto significa que∞∑

n=0

(−1)n tn+1

n + 1= ln(1 + t), t ∈]− 1, 1[.

De la misma manera si x ∈]− 1, 1[., entonces x2 ∈]− 1, 1[; de tal manera que∞∑

n=0

(−1)nx2n =1

1 + x2,

igualmente si [0, t] ⊆]− 1, 1[;∫ t

0

( ∞∑n=0

(−1)nx2n

)dx =

∫ t

0

dx

1 + x2,

esta igualdad nos conduce a∞∑

n=0

(−1)n t2n+1

2n + 1= arctan(t), −1 < t < 1.

Como consecuencia del teorema 5.3.2, podemos establecer lo siguiente:Sea

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n,

en el intervalo de convergencia J =]x0 − r, x0 + r[. Sabemos que

f ′(x) =∞∑

n=1

nan(x− x0)n−1, x ∈ J ;

aplicando reiteradamente el procedimiento de derivación término a término tenemos:

f ′′(x) =∞∑

n=2

n(n− 1)an(x− x0)n−2, x ∈ J ;

f ′′′(x) =∞∑

n=3

n(n− 1)(n− 2)an(x− x0)n−3, x ∈ J ;

......

...

f (k)(x) =∞∑

n=k

n(n− 1) · · · (n− k + 1)an(x− x0)n−k, x ∈ J ;


donde k es cualquier entero positivo. Esto significa que una serie de potencias posee deri-vadas de cualquier orden.Si hacemos x = x0, queda como único término, el correspondiente a n = k; es decir,

f (k)(x0) = k!ak,

de donde

ak =f (k)(x0)

k!, para k = 1, 2, 3, . . .

Esta fórmula también es válida para k = 0 si interpretamos a f (0)(x0) como f(x0).Así pues, el desarrollo de f en serie de potencias tiene la forma

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k (5.9)

Lo desarrollado anteriormente puede formularse como un teorema de identidad.

Teorema 5.3.3. Si dos series de potencias∞∑

n=0

an(x − x0)n y

∞∑n=0

bn(x − x0)n tienen la

misma función suma f en un cierto entorno del punto x0, entonces las series son iguales

término a término; por lo tanto, tenemos que an = bn =f (n)(x0)

n!para cada n ≥ 0.

Ahora disertamos, con brevedad, sobre la segunda cuestión mencionada en 5.3.1, esto es,dada una función f , averiguar si es o no desarrollable en serie de potencias en un intervaloabierto, centrado en x0. Tal función debe poseer derivadas de orden arbitrario en un ciertoentorno abierto centrado en x0, y la serie de la forma

∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k,

llamada serie de Taylor generada por f en x0.

Debemos formularnos ahora dos preguntas:¿Converge esa serie para cualquier otro x, del intervalo mencionado, distinto de x = x0?En caso afirmativo, ¿su suma es igual a f(x)? La respuesta a esas preguntas es, en general,"no".El ejemplo que tratamos a continuación, pone en evidencia que la serie de Taylor de unafunción dada, puede converger en toda la recta real, pero que representa a f solamente enel origen. En efecto,

Ejemplo 5.3.1. Sea

f(x) =

e−1/x2

, x 6= 00, x = 0


Se puede demostrar que f tiene derivadas de todo orden, en todo punto del eje real. Estaafirmación es evidente en todo x, x 6= 0. Para x = 0, demostremos que existe la derivadaprimera.

f ′(0) = lımx→0

f(x)− f(0)

x=x→0

1

xe−1/x2

,

haciendo la sustitución u = 1/x, se tiene

f ′(0) = lımu→∞

ue−u2

= lımu→∞

u

eu2 = lımu→∞

1

2ueu2 = 0,

donde hicimos uso del teorema de L’hôpital.Podemos ahora escribir

f ′(x) =

2

x3e−1/x2

, x 6= 0

0, x = 0

Probemos que f (k)(0) = 0, para toda k entero positivo.f ′(0) = 0. Supongamos que f (n)(0) = 0; n > 1 y probemos que f (n+1)(0) = 0. En efecto,

f (n+1)(0) = lımx→0

f (n)(x)− f (n)(0)

x= lım

x→0

f (n)(x)

x,

y todo se reduce a demostrar que el limite indicado es igual a cero. Para ese propósitocalculamos f (n)(x), x 6= 0. Escribimos

f (n)(x) = (f ′(x))(n−1)

=

(2

x3e−1/x2

)(n−1)

.

Para calcular la derivada (n − 1)-ésima de2

x3e−1/x2

, utilizamos la regla de Leibniz. Si

h(x) =2

x3y g(x) = e−1/x2,

f (n−1)(x) = (h(x)g(x))(n−1) =n−1∑

k=0

(n− 1

k

)g(k)(x)h(n−1−k)(x).

Ahora,

g′(x) =2

x3e−1/x2

g′′(x) = − 3!

x4e−1/x2

+4

x6e−1/x2

......

g(k)(x) = Pk

(1

x

)e−1/x2


donde Pk es un polinomio de grado menor que 3 de otro lado,

h(x) = 2x−3

h′(x) = −3!x−4

h′′(x) = 4!x−5

......

h(n−1−k)(x) = (−1)n−1−k(n− 1 + k)!x−n+k−2

,

donde 0 ≤ k ≤ n− 1.De estos cálculos tenemos:

f (n)(x) =n−1∑

k=0

(n− 1

k

)Pk

(1

x

)e−(1/x)2(−1)n−1−k(n− 1 + k)!

(1

x

)n+2−k

,

de donde, al hacer la sustitución u = 1/x obtenemos

f (n)(1/u) =n−1∑

k=0

(n− 1

k

)Pk(u)e−u2

(−1)n−1−k(n− 1 + k)!un+2−k.

Procedamos ahora sí a calcular f (n+1)(0),

f (n+1)(0) = lımx→0

f (n)(x)

x

= lımx→0

n−1∑

k=0

(n− 1

k

)Pk

(1

x

)e−(1/x)2(−1)n−1−k(n− k + 1)!

(1

x

)n+1−k

= lımu→∞

n−1∑

k=0

(n− 1

k

)Pk(u)e−u2

(−1)n−1−k(n− k + 1)!un+1−k

= 0

el resultado se consigue aplicando el teorema de L’Hôpital.Hemos probado que la serie de Taylor de f , alrededor de x = 0,

f(0) + f ′(0)x + f ′′(0)x2 + · · · = 0 =∞∑

k=0

f (k)(0)

k!xk.

Dicha serie converge en todo el eje real, pero representa a f solamente en el origen.

Una condición necesaria y suficiente para que la serie de Taylor converja y además repre-sente a la función en todo x, es la siguiente.


Sea f una función con derivadas de cualquier orden en un intervalo abierto con centroen x0.

La serie de Taylor de f alrededor de x0,∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x−x0)

n converge hacia f(x) en cada

punto del intervalo, centrado en x0, si y sólo si f(x) se puede escribir en la forma

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

n!(x− x0)

k + En(x),

donde el término complementario En, cumple que lımn→∞

En(x) = 0.

Se puede demostrar que una de las formas de En(x) es la expresión integral

En(x) =1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t)dt,

en cualquier intervalo en torno al punto x0 en el que f (n+1) sea continua.Si f es derivable de cualquier orden en un intervalo abierto con centro en x0, la serie deTaylor de f converge hacia f(x) si y sólo si la integral tiende a cero, cuando n → ∞. Laintegral se puede expresar en otra forma con la sustitución t = x + (x0 − x)u, entoncesdt = −(x− x0)du, luego

En(x) =(x− x0)

n+1

n!

∫ 1

0

unf (n+1)(x + (x0 − x)u)du.

Esta manera de expresar el error nos permite enunciar una condición suficiente para laconvergencia de la serie de Taylor.

Teorema 5.3.4. Sea f una función que posee derivadas de cualquier orden en un intervaloabierto J =]x0 − r, x0 + r[, y si existe una constante positiva M , tal que |f (n)(x)| ≤ Mn,para n = 1, 2, . . . y para toda x de J , entonces la serie de Taylor generada por f en x0

converge hacia f(x) en toda x ∈ J .

Demostración. Basta probar que el lımn→∞

En(x) = 0. Hacemos uso de la forma integral para


En(x).

0 ≤ |En(x)|

=

∣∣∣∣(x− x0)

n+1

n!

∫ 1

0

unf (n+1)(x + (x0 − x)u)du

∣∣∣∣

≤ |x− x0|n+1

n!

∫ 1

0

|un||f (n+1)(x + (x0 − x)u)|du

≤ |x− x0|n+1

n!

∫ 1

0

unMn+1du

=|x− x0|n+1

(n + 1)!Mn+1

=|M(x− x0)|n+1

(n + 1)!

=Cn+1

(n + 1)!

de donde

0 ≤ |En(x)| ≤ Cn+1

(n + 1)!(∗)

tomando a x fijo, C > 0 existe un natural m > 2C,Cm

m!= k; entonces para n > m,

0 ≤ Cn

n!= k · C

k + 1· C

k + 2· · · C

n<

C

2n−k

si n → 0; por lo tantoCn

n!→ 0.

De la desigualdad en (∗),

0 ≤ lımn→∞

|En(x)| ≤ lımn→∞

Cn+1

(n + 1)!= 0.

Concluimos así que lımn→∞

En(x) = 0. Así la serie de Taylor converge a f(x).

El teorema 5.3.4 nos permite desarrollar en serie de Taylor muchas funciones, algunas deellas son:


1. Para la función f(x) = cos x, tenemos:

f(x) = cos xf ′(x) = − sin xf ′′(x) = − cos xf ′′′(x) = sin x...

......

es claro que |f (n)(x)| ≤ 1, para toda x real. También es cierto que f (2n−1)(0) = 0,f (2n)(0) = (−1)n, n = 1, 2, 3, . . . Entonces

cos x = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn + · · ·

luego

cos x = 1− 1

2x2 +

1

4!x4 + · · · (−1)n 1

(2n)!x2n + · · ·

2. Para la función f(x) = sin x, se tiene:

f(x) = sin xf ′(x) = cos xf ′′(x) = − sin xf ′′′(x) = − cos x...

......

es claro que |f (n)(x)| ≤ 1, para toda x real. También es cierto que f (2n−1)(0) =(−1)n−1, f (2n)(0) = 0, n = 1, 2, 3, . . . Entonces

sin x = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn + · · ·

luego

sin x = x− 1

3!x3 +

1

5!x5 + · · · (−1)n−1 1

(2n− 1)!x2n−1 + · · ·

3. Consideremos la función f(x) = ex, y para todo real r > 0, consideramos el intervaloabierto J =]− r, r[. Sabemos que,

f (n)(x) = ex, para toda x ∈ J ;

por lo tanto|f (n)(x)| ≤ er, para toda x ∈ J

yf (n)(0) = 1, para toda n = 1, 2, . . .

5.4 Soluciones en series de potencias de ecuaciones diferenciales lineales 147

entonces

f(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn + · · ·

=∞∑

n=0

1

n!xn

es decir

ex =∞∑

n=0

1

n!xn, para toda x ∈ J.

Como r es cualquier número real positivo, concluimos que:

ex =∞∑

n=0

1

n!xn, para toda x real.

A modo de apostilla al tema de series de potencias tratamos el producto de dos series depotencias.

Dados dos desarrollos en serie de potencias, por ejemplo f(x) =∞∑

n=0

an(x − x0)n, con

intervalo de convergencia ]x0 − r, x0 + r[, y g(x) =∞∑

n=0

bn(x − x0)n, con intervalo de con-

vergencia ]x0 − R, x0 + R[. El producto f(x)g(x) viene dado por la serie de potencias

f(x)g(x) =∞∑

n=0

cn(x−x0)n, si x ∈]x0−r, x0+r[∩]x0−R, x0+R[, en donde cn =

n∑

k=0

akbn−k,

n = 0, 1, 2 . . .

El producto anteriormente definido, recibe el nombre de producto de Cauchy de las dosseries de potencias. Dicho producto queda legitimado por el llamado teorema deMertens1.

5.4. Soluciones en series de potencias de ecuaciones di-ferenciales lineales

Iniciamos esta sección adoptando una palabra que designe a aquellas funciones que sepueden desarrollar como serie de potencias. Se dice que cualquier función que pueda repre-

sentarse por una serie de potencias convergente de forma∞∑

n=0

an(x − x0)n en un intervalo

1El teorema de Mertens dice: Supongamos que la serie∞∑

n=0

an converge absolutamente y que su suma

es A, y supongamos que la serie∞∑

n=0

bn converge con suma B . Entonces el producto de Cauchy de estas

series tiene suma AB.


abierto I, centrado en x0, es analítica en x0. Se sabe por la teoría expuesta en la sección5.3.1 que una función tal debe tener derivada de todos los ordenes en todos los puntos deI, pero además, como podía esperarse, es realmente analítica en todos los puntos de I. Espor ello habitual hablar de funciones analíticas en un intervalo, y la expresión, analítica enx0, se usa fundamentalmente para dirigir la atención al punto alrededor del cual se ha rea-lizado el desarrollo en serie. Las funciones elementales más comunes se pueden representaren series de potencias, algunas de ellas son:

ex =∞∑

n=0

xn

n!

cos x =∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!

sin x =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!

cosh x =∞∑

n=0

x2n

(2n)!

sinh x =∞∑

n=0

x2n+1

(2n + 1)!

ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n+1xn

n

(1 + x)a =∞∑

n=0

(an

)xn, −1 < x < 1, a real

Donde en la última serie,(

an

)=

a!

n!(a− n)!.

5.4.1. Soluciones analíticas

Las soluciones de cualquier ecuación diferencial lineal cuyos coeficientes y segundo miembroson analíticos en un intervalo abierto I, son también ellas mismas analíticas en I. Esteresultado es realmente un teorema de existencia para ecuaciones normales con coeficientesanalíticos, y en contraste con la mayoría de los teoremas de existencia de la teoría de lasecuaciones diferenciales nos sugiere inmediatamente una técnica explícita para el cálculode soluciones.


Teorema 5.4.1. Sea

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a0(x)y = h(x), (5.10)

una ecuación diferencial lineal normal de orden n cuyos coeficientes y segundo miembroson analíticos en un intervalo abierto I. Sea x0 un punto arbitrario en I, y supongamos quelos desarrollos en serie de potencias de a0(x), a1(x), . . . , an−1(x), h(x) convergen todas enel intervalo ]x0−R, x0 + R[, R > 0. Entonces, toda solución de la ecuación diferencial queesté definida en el punto x0 es analítica en ese punto, y su desarrollo en serie de potenciasalrededor de x0 converge también en el intervalo ]x0 −R, x0 + R[.

Un comentario pertinente al teorema 5.4.1 es resaltar que el teorema afirma no solamen-te la analiticidad de las soluciones de una ecuación diferencial del tipo (5.10), sino quetambién especifica un intervalo en el que convergen los desarrollos en serie de potenciasde estas soluciones. Al mismo tiempo, debe observarse que no se afirma nada respecto alcomportamiento de tales series fuera de ese intervalo. Hay ecuaciones cuyas soluciones enseries convergen en un intervalo mayor que el que hemos descrito anteriormente.Otro aspecto que nos sugiere el teorema 5.4.1 es el desarrollo de una técnica explícita parael calculo de soluciones, técnica que podríamos resumir en la forma siguiente.Dada la ecuación diferencial lineal normal de orden n (5.10), en el intervalo I. Sea x0 ∈ I,y supongamos que los desarrollos en serie de potencias de a0(x), a1(x), . . . , an−1(x), h(x)convergen ]x0−R, x0+R[, R > 0, y seguimos la estrategia, cuyo lineamiento es el siguiente:

Como lo dice el teorema 5.4.1 las soluciones son de la forma

y =∞∑

n=0

cn(x− x0)n, (5.11)

convergente en ]x0 −R, x0 + R[.De ser posible elija x0 = 0, teniendo presente que esta elección es cuestión de conve-niencia, no de necesidad. Los coeficientes cn, son en general, desconocidos.

Sustituya la serie (5.11) en la ecuación diferencial, luego de calcular las derivadascorrespondientes.

Combine los términos y obtenga la misma forma de exponente en cada serie, lo cualsupone cambiar los indices de la suma.

Haga que los limites inferiores de todas las series comiencen con el mismo entero,colocando juntos los términos adicionales.

Utilice el principio de identidad para series de potencias, para obtener una relaciónentre los coeficientes de la forma cn+m = f(cn, cn+1, . . . , cn+m−1), es decir, cn+m sedetermina por sus m términos anteriores, para n = 0, 1, 2, . . . Este tipo de relaciónrecibe el nombre de relación de recurrencia. El entero positivo m se le llama ordende la relación de recurrencia.


Encuentre cuantos términos desee en la serie que da la solución o, de ser posible, unaexpresión general de cn.

Halle un intervalo mínimo de convergencia por medio del teorema 5.4.1 o utilice laprueba del cociente2.

Ejemplo 5.4.1. Hallemos la solución general de la ecuación diferencial y′′ − xy = 0.primero examinemos el cumplimiento de las hipótesis del teorema 5.4.1, esta es una ecua-

ción de la formad2y

dx2+a1(x)

dy

dx+a0(x)y = 0, donde a1(x) = 0 y a0(x) = −x, son analíticas

en el intervalo abierto I = (−∞,∞), por conveniencia elegimos x0 = 0; todas las soluciones

serán analíticas en I y con desarrollos en series y =∞∑

n=0

cnxn, por las propiedades estudia-

das, y′ =∞∑

n=1

ncnxn−1, y′′ =∞∑

n=2

n(n − 1)cnxn−2, reemplazando en la ecuación, obtenemos

la siguiente ecuación:∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 −

∞∑n=0

cnxn+1 = 0.

Por el procedimiento de nivelación de las potencias conseguimos∞∑

n=0

(n + 2)(n + 1)cn+2xn −

∞∑n=1

cn−1xn = 0.

Hacemos que ambas sumas comiencen con el mismo entero como límite inferior

2c2 +∞∑

n=1

(n + 2)(n + 1)cn+2xn −

∞∑n=1

cn−1xn = 0;

dado que ambas series convergen, se puede escribir

2c2 +∞∑

n=1

[(n + 2)(n + 1)cn+2 − cn−1] xn = 0,

y en virtud del principio de identidad

c2 = 0, (n + 2)(n + 1)cn+2 − cn−1 = 0, ∀n, n ≥ 1,

así ya conocemos la fórmula de recurrencia

cn+2 =cn−1

(n + 2)(n + 1), ∀n, n ≥ 1.

2El criterio del cociente dice: Si la serie∞∑

k=0

ak tiene términos diferentes de cero a0, a1, . . . se calculará

ρ = lımk→∞

∣∣∣∣ak+1

ak

∣∣∣∣. Si ρ < 1, la serie será absolutamente convergente; si ρ > 1, será divergente, y si ρ = 1 la

prueba no es concluyente.


Calculamos algunos coeficientes en términos de dos de ellos:

Si n = 1, c3 =c0

3 · 2

n = 2, c4 =c1

4 · 3

n = 3, c5 =c2

5 · 4 = 0

n = 4, c6 =c3

6 · 5 =c0

6 · 5 · 3 · 2

n = 5, c7 =c4

7 · 6 =c1

7 · 6 · 4 · 3

n = 6, c8 =c5

8 · 7 = 0

n = 7, c9 =c6

9 · 8 =c0

9 · 8 · 6 · 5 · 3 · 2...

......

...

Por la sencillez del ejemplo podemos hallar la forma genérica del coeficiente

c3m =c0

3m(3m− 1) · · · 3 · 2

c3m+1 =c1

(3m + 1)3m · · · 4 · 3

c3m+2 = 0,

para toda m, m = 1, 2, . . ., como las soluciones en serie son absolutamente convergentes,podemos reordenarlas

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + c4x4 + · · ·

= c0

[1 +

1

3 · 2x3 +1

6 · 5 · 3 · 2x6 + · · ·]

+ c1

[x +

1

4 · 3x4 +1

7 · 6 · 4 · 3x7 + · · ·]

= c0

[1 +

∞∑m=1

1

3m(3m− 1) · · · 3 · 2x3m

]+ c1

∞∑m=0

1

(3m + 1)3m · · · 4 · 3x3m+1

Así,

y1(x) = 1 +∞∑

m=1

1

3m(3m− 1) · · · 3 · 2x3m


y

y2(x) =∞∑

m=0

1

(3m + 1)3m · · · 4 · 3x3m+1

son dos soluciones particulares analíticas en ]−∞,∞[.Calculemos el determinante de la matriz wronskiana en x = 0 de las soluciones

det(w(y1, y2)(0)) =

∣∣∣∣y1(0) y2(0)y′1(0) y′2(0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣ = 1 6= 0

lo cual indica que y1 y y2 son linealmente independientes en ] − ∞,∞[. Por lo tanto lasolución general es

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), ∀x, x ∈]−∞,∞[.

Ejemplo 5.4.2. Hallemos dos soluciones linealmente independientes para la ecuación di-ferencial (x2 + 1)y′′ − 6y = 0.

La forma normal de la ecuación diferencial es y′′ − 6

x2 + 1y = 0, los coeficientes son

a0 = − 6

x2 + 1, a1 = 0,son analíticas en x0 = 0, a0(x) tiene un cero complejo en i, de modo

que las soluciones de la ecuación diferencial, y =∞∑

n=0

cnxn tendrán un radio de conver-

gencia de, por lo menos 1, que es la distancia de 0 a i. Procedemos como en el ejemplo

Figura 5.2:


anterior

y =∞∑

n=0

cnxn

y′ =∞∑

n=1

ncnxn−1

y′′ =∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2

Reemplazamos en la ecuación y tenemos:

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn +∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 −∞∑

n=0

6cnxn = 0,

nivelando las potencias escribimos

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn +∞∑

n=0

(n + 2)(n + 1)cn+2xn −

∞∑n=0

6cnxn = 0,

todas las series se escriben desde el mismo limite inferior y así llegamos a

(2c2 − 6c0) + (3 · 2c3 − 6c1) +∞∑

n=2

[(n2 − n− 6)cn + (n + 2)(n + 1)cn+2]xn = 0.

Usamos el principio de identidad para obtener la fórmula de recurrencia

c2 = 3c0

c3 = c1

(n2 − n− 6)cn = −(n + 2)(n + 1)cn+2

esta última para n ≥ 2. Simplificando esta última expresión tenemos

cn+2 = −n− 3

n + 1cn, n ≥ 2.


De la relación anterior tenemos

Si n = 2, c4 =c2

3= c0

n = 3, c5 = −0 · c3

4= 0

n = 4, c6 = −c4

5= −c0

5

n = 5, c7 = −2c5

6= 0

n = 6, c8 = −3c6

7=

3

35c0

......

vemos que si n = 2k − 1, c2k+1 = 0, para k = 2, 3, . . .Escribimos algunos términos

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + · · ·

entoncesy = c0 + c1x + 3c0x

2 + c1x3 + c0x

4 − c0

5x6 + · · ·

reagrupando términos se tiene

y = c0

[1 + 3x2 + x4 − 1

5x6 + · · ·

]+ c1(x + x3).

De dondey1(x) = 1 + 3x2 + x4 − 1

5x6 + · · ·

yy2(x) = x + x3.

Con el determinante de la matriz wronskiana en x = 0, se puede demostrar que son solu-ciones linealmente independientes.

Ejemplo 5.4.3. Hallar dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferen-cial y′′ + exy′ − y = 0.Para esta ecuación a1 = ex y a0 = −1, ambas funciones son analíticas en ] −∞,∞[, enparticular en x0 = 0. Debemos en este caso desarrollar en serie de Taylor la función

a1 = ex =∞∑

n=0

xn

n!.


Las soluciones de la ecuación son analíticas en x = 0 y sus desarrollos en series de poten-cias convergen en I =]−∞,∞[. Tomamos

y =∞∑

n=0

cnxn

y′ =∞∑

n=1

ncnxn−1

y′′ =∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial llegamos a la igualdad

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−2 +

[ ∞∑n=0

xn

n!

] ∞∑n=1

ncnxn−1 −

∞∑n=0

cnxn = 0.

Realizamos la nivelación de las potencias y así;

∞∑n=0

(n + 2)(n + 1)cn+2xn +

[ ∞∑n=0

xn

n!

] ∞∑n=0

(n + 1)cn+1xn −

∞∑n=0

cnxn = 0.

En el segundo sumando de la igualdad anterior, efectuamos el producto de Cauchy de lasdos series, esto es

[ ∞∑n=0

xn

n!

] ∞∑n=0

(n + 1)cn+1xn =

∞∑n=0

[n∑

j=0

1

j!(n− j + 1)cn−j+1

]xn.

De lo anterior podemos escribir

∞∑n=0

(n + 2)(n + 1)cn+2xn +

∞∑n=0

[n∑

j=0

1

j!(n− j + 1)cn−j+1

]xn −

∞∑n=0

cnxn = 0.

Entonces

∞∑n=0

[(n + 2)(n + 1)cn+2 − cn +

n∑j=0

1

j!(n− j + 1)cn−j+1

]xn = 0,

en virtud del principio de identidad, obtenemos:

(n + 2)(n + 1)cn+2 − cn +n∑

j=0

1

j!(n− j + 1)cn−j+1 = 0,


para todo n ≥ 0. Esta fórmula de recurrencia la podemos expresar así:

cn+2 =cn −

∑nj=0

1j!(n− j + 1)cn−j+1

(n + 1)(n + 2), n ≥ 0.

Hallamos ahora varios coeficientes, dándole valores a n.

Si n = 0, c2 =c0 −

∑0j=0

1j!(−j + 1)c−j+1

2=

c0 − c1

2

n = 1, c3 =c1 −

∑1j=0

1j!(2− j)c2−j

3 · 2 =c1 − c0

6

n = 2, c4 =c2 −

∑2j=0

1j!(3− j)c3−j

3 · 4 = − c1

24

......

Escribimos la solución tomando inicialmente

y = c0 + c1x + c2x2 + · · ·

entoncesy = c0 + c1x +

(c0 − c1

2

)x2 +

(c1 − c0

6

)x3 − c1

24x4 + · · ·

reagrupando los términos se tiene

y = c0

[1 +

1

2x2 − 1

6x3 + · · ·

]+ c1

[x− 1

2x2 +

1

6x3 − 1

24x4 + · · ·

].

De aquí podemos obtener dos soluciones

y1(x) = 1 +1

2x2 − 1

6x3 + · · ·

y

y2(x) = x− 1

2x2 +

1

6x3 − 1

24x4 + · · ·

Para las cuales, y1(0) = 1, y2(0) = 0, y′1(0) = 0, y y′2(0) = 1. Calculando el determinantede la matriz wronskiana,

det(W (y1, y2)(0)) =

∣∣∣∣y1(0) y2(0)y′1(0) y′2(0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣ = 1 6= 0,

lo cual significa que las soluciones son linealmente independientes, forman así una base delespacio solución de la ecuación diferencial.


Ejemplo 5.4.4. Hallar la solución del problema de valores iniciales

y′′ + x2y = sin xy(0) = 0, y′(0) = 0

En este ejemplo, a1(x) = 0, a0(x) = x2 y h(x) = sin x, son todas, funciones analíticas en]−∞,∞[ y también, 0 ∈]−∞,∞[. Los desarrollos en series de potencias alrededor de ceropara las funciones a1(x), a2(x) y h(x), tienen como intervalo de convergencia ]−∞,∞[.Procedemos como en los ejemplos anteriores

y =∞∑

n=0

cnxn

y′ =∞∑

n=1

ncnxn−1

y′′ =∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2

sin x =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!

Se reemplazan en la ecuación las expresiones anteriores, con lo cual se llega a∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 +

∞∑n=0

cnxn+2 =

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!,

procedemos a nivelar las potencias y así∞∑

n=0

(n + 2)(n + 1)cn+2xn +

∞∑n=2

cn−2xn =

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!,

esta ecuación es equivalente a

2c2 + 6c3x +∞∑

n=2

[(n + 2)(n + 1)cn+2 + cn−2] xn = x +

∞∑n=1

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!,

en el lado derecho de la igualdad anterior aparece solamente potencias de grado impar, porlo tanto en la sumatoria que aparece en el lado izquierdo de la anterior igualdad agrupamosen dos sumandos las potencias de grado par y las de grado impar, obtenemos de este modolo siguiente

2c2 + 6c3x +∞∑

n=1

[(2n + 1)(2n + 2)c2n+2 + c2n−2] x2n

+∞∑

n=1

[(2n + 2)(2n + 3)c2n+3 + c2n−1] x2n+1 = x +

∞∑n=1

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!


con el uso del principio de identidad obtenemos c2 = 0 y 6c3 = 1, además una fórmula derecurrencia doble

(2n + 1)(2n + 2)c2n+1 + c2n−1 = 0, para n ≥ 1,

por que a la derecha no aparecen potencias de grado par, y

(2n + 2)(2n + 3)c2n+3 + c2n−1 =(−1)n

(2n + 1)!, para n ≥ 1,

al igualar los coeficientes de las potencias impares.Calculamos algunos coeficientes, como en este problema tenemos condiciones iniciales,

y(0) = c0 = 0y′(0) = c1 = 0

así que, c0 = c1 = c2 = 0, c3 =1

6, usando la primera parte de la fórmula de recurrencia,

tenemosSi n = 1, 3 · 4c4 + c0 = 0, 12c4 = 0, de donde c4 = 0

n = 2, 5 · 6c6 + c2 = 0, 30c6 = 0, así que c6 = 0

con estos cálculos y observando la fórmula podemos afirmar que

c2 = c4 = c6 = · · · = c2n = 0, n ≥ 1,

usamos la segunda parte de la fórmula de recurrencia

Si n = 1, 4 · 5c5 + c1 = − 1

3!, 20c5 = −1

6, c5 = − 1

5!

n = 2, 6 · 7c7 + c3 =1

5!, 42c7 = −19

5!, c7 = −19

7!

la solución del problema de valores iniciales es

y(x) =1

3!x3 − 1

5!x5 − 19

7!x7 + · · ·

dicha solución es única, lo cual concuerda con lo que predice el teorema de existencia yunicidad para problemas de valores iniciales.

5.4.2. Método de la serie de Taylor

Una variante del método ilustrado en los ejemplos anteriores consiste en tomar desde elcomienzo la serie de Taylor de y, centrada en x0, es decir

y =∞∑

n=0

y(n)(x0)

n!(x− x0)

n.


Esta técnica alternativa está basada en dos ideas.Con el objeto de obtener una serie para y(x) centrada en x0, sólo se necesita calcular lasderivadas de y en x0, es decir, y′(x0), y

′′(x0), . . . Además, la ecuación diferencial de la quey es solución se puede usar para expresar derivadas de orden más alto en términos dederivadas de orden menor. El método se puede resumir del modo siguiente:

Se elige un centro de expansión x0 de la serie de Taylor y se examina que los coefi-cientes de la ecuación, al igual que el término independiente se puedan desarrollar enserie de potencias de x− x0.

Se determinan cuántos términos del desarrollo

y =∞∑

n=0

cn(x− x0)n =

∞∑n=0

y(n)(x0)

n!(x− x0)

n

se necesitan. Observe que las constantes cn son los coeficientes del desarrollo en laserie de Taylor de y y están dados por

cn =y(n)(x0)

n!.

Si las condiciones iniciales para y están dadas en x0, se usan para determinar c0 y c1.Si no se dan condiciones iniciales c0 y c1 se toman como arbitrarios.

Con la ecuación diferencial, calculamos y′′(x0) y la derivamos tantas veces como seanecesario, hasta cuando hayamos calculado el número de términos que nos propusi-mos.

Desventajas del método:

1. Si los coeficientes o el término independiente son funciones complicadas, la derivaciónreiterativa puede ser dispendiosa.

2. Si se requiere la expresión para un término general, entonces es más difícil encontrarlapor este camino que por la técnica expuesta anteriormente.

3. Es más difícil determinar una relación de recurrencia para los coeficientes que per-mita generar con facilidad términos adicionales necesarios a partir de los términosconocidos.

Exponemos, a continuación, algunos ejemplos con los cuales se ilustra este método.

Ejemplo 5.4.5. Halle cinco términos del desarrollo en serie de Taylor de la solución delproblema de valores iniciales

y′′ + x2y′ + y = sin xy(0) = 1, y′(0) = 1


Partimos de

y =∞∑

n=0

y(n)(x0)

n!(x− x0)

n,

y calculamos las derivadas necesarias, a partir de la ecuación diferencial

y′′ = sin x− x2y′ − y

y′′′ = cos x− 2xy′ − x2y′′ − y′

y(4) = − sin x− 2y′ − 4xy′′ − x2y′′′ − y′′

evaluamos dichas derivadas en x = 0

y′′(0) = −y(0) = −1

y′′′(0) = 1− y′(0) = 1− 1 = 0

y(4)(0) = −2y′(0)− y′′(0) = −2 + 1 = −1

reemplazando el valor de las derivadas en la serie de Taylor para y tenemos

y(x) = 1 + x− 1

2x2 − 1

24x4 · · ·

es la solución del problema de valores iniciales.

Ejemplo 5.4.6. Encontrar los cinco primeros términos de la solución general de la ecua-ción

y′′ − (sin x)y = cos x.

Centre la serie en el punto x0 =π

2.

Designamos y(π/2) = c0 y y′(π/2) = c2. Despejando y′′ en la ecuación diferencial tenemos:

y′′ = cos x + (sin x)y

y′′′ = − sin x + (cos x)y + (sin x)y′

y(4) = − cos x− (sin x)y + 2(cos x)y′ + (sin x)y′′

calculamos el valor de las derivadas en x = π/2

y′′(π/2) = y(π/2) = c0

y′′′(π/2) = −1 + y′(π/2) = c1 − 1

y(4)(π/2) = −y(π/2) + y′′(π/2) = c0 − c0 = 0


reemplazando el valor de las derivadas en la serie de Taylor para y tenemos

y(x) = c0 + c1(x− π/2) +1

2c0(x− π/2)2 +

c1 − 1

6(x− π/2)3 + · · ·

es la solución del problema de valores iniciales.

5.4.3. Una ecuación especial

Algunas ecuaciones diferenciales importantes que surgen en problemas físicos son ecua-ciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos. Una de tales ecuaciones es laEcuación de Legendre3

(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0, (5.12)

donde α es una constante. Si esta ecuación se escribe en la forma siguiente

y′′ − 2x

1− x2y′ +

α(α + 1)

1− x2y = 0,

vemos que las funciones a1(x) y a2(x) dadas por

a0(x) =α(α + 1)

1− x2, y a1(x) = − 2x

1− x2,

son analíticas en x = 0. Además, sabemos que;

1 + x + x2 + x3 + · · · = 1

1− x,

para |x| < 1, si reemplazamos x por x2, tenemos;

1 + x2 + x4 + x6 + · · · = 1

1− x2,

es decir,∞∑

n=0

x2n =1

1− x2, para |x| < 1.

Así, a1(x) y a2(x) tienen los siguientes desarrollos en series:

a0(x) =∞∑

n=0

α(α + 1)x2n, y a1(x) =∞∑

n=0

(−2)x2n+1,

3Adrien-Marie Legendre (1752-18333) frances, ocupó varios puestos en la Academia Francesa deCiencias. Su principal trabajo lo realizó en los campos de las funciones elípticas y la teoría de los números.Las funciones de Legendre, soluciones de la ecuación, que lleva su mismo nombre, las presentó por primeravez en 1784 en su estudio de la atracción de esferoides.


las cuales convergen para |x| < 1.De acuerdo con el teorema 5.4.1, concluimos que las soluciones de la ecuación de Legendretienen desarrollos en series de potencias convergentes para |x| < 1. Hallemos una base delespacio solución de dicha ecuación. Sea y cualquier solución de la ecuación de Legendrepara |x| < 1, y supongamos que

y =∞∑

n=0

cnxn,

entonces

y′ =∞∑

n=1

ncnxn−1

y′′ =∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2

Reemplazando las anteriores derivadas en la ecuación (??), tenemos:

(1− x2)∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 − 2x∞∑

n=1

ncnxn−1 + α(α + 1)∞∑

n=0

cnxn = 0,

entonces∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 −

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn −

∞∑n=1

2ncnxn +∞∑

n=0

α(α + 1)cnxn = 0,

nivelamos las potencias que aparecen en la igualdad anterior, la cual puede escribir así:∞∑

n=0

(n + 2)(n + 1)cn+2xn −

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn −

∞∑n=1

2ncnxn +

∞∑n=0

α(α + 1)cnxn = 0,

escribiendo una sola sumatoria a partir de n = 2 y separando los términos restantesobtenemos

[2c2+α(α+1)c0]+[3·2c3−2c1+α(α+1)c1]x+∞∑

n=2

[(n + 2)(n + 1)cn+2 + [α(α + 1)− n(n + 1)]cn] xn = 0,

por el principio de identidad tenemos:

2c2 + α(α + 1)c0 = 0

3 · 2c3 − 2c1 + α(α + 1)c1 = 0

(n + 2)(n + 1)cn+2 + [α(α + 1)− n(n + 1)]cn = 0 paran ≥ 2

La fórmula de recurrencia también la podemos escribir así:

(n + 2)(n + 1)cn+2 + (α + n + 1)(α− n)cn = 0, para n ≥ 2.


Podemos escribir los coeficientes

c2 = −α(α + 1)

2c0

c3 = −(α + 2)(α− 1)

3 · 2 c1

si hacemos,

n = 2 c4 =(α + 3)(α + 1)α(α− 2)

4 · 3 · 2 c1

n = 3 c5 =(α + 4)(α + 2)(α− 1)(α− 3)

5 · 4 · 3 · 2 c1

se puede deducir que

c2m = (−1)m (α + 2m− 1)(α + 2m− 3) · · · (α + 1)α(α− 2) · · · (α− 2m + 2)

(2m)!c0

c2m+1 = (−1)m (α + 2m)(α + 2m− 2) · · · (α + 2)(α− 1)(α− 3) · · · (α− 2m + 1)

(2m + 1)!c1

Todos los coeficientes pueden determinarse a partir de c0 y c1, y, entonces tenemos losiguiente

y(x) = c0y1(x) + c1y2(x),

donde

y1(x) = 1 +∞∑

m=1

(−1)m (α + 2m− 1)(α + 2m− 3) · · · (α + 1)α(α− 2) · · · (α− 2m + 2)

(2m)!x2m,

y

y2(x) = x+∞∑

m=1

(−1)m (α + 2m)(α + 2m− 2) · · · (α + 2)(α− 1)(α− 3) · · · (α− 2m + 1)

(2m + 1)!x2m+1,

ambas y1 y y2 son soluciones de la ecuación de Legendre; y además

W (y1, y2)(0) =

∣∣∣∣y1(0) y2(0)y′1(0) y′2(0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣ = 1 6= 0,

lo anterior establece que y1 y y2 son linealmente independientes en el intervalo ]− 1, 1[. Enel caso en que α sea un entero positivo p, se puede demostrar que una de las soluciones dela ecuación de Legendre es un polinomio.


5.5. Aplicaciones

Ejemplo 5.5.1. Resorte vencido: Cuando se vence un resorte, el valor de su constantede resorte decrece. Un modelo para un sistema masa-resorte con un resorte vencido es

mx′′(t) + bx′(t) + ke−ηtx(t) = 0,

donde m es la masa, b la constante de amortiguamiento, k y η son constantes positivas, yx(t) es el desplazamiento del resorte con respecto de la posición de equilibrio. Sea m = 1 kg,b = 2 N − s/m, k = 1 N/m y η = 1 s−1. El sistema se pone en movimiento desplazandola masa un metro con respecto de su posición de equilibrio y luego se libera (x(0) = 1,x′(0) = 0). Determine al menos los cuatro primeros términos no nulos en un desarrollo enserie de potencias en torno a t = 0 para el desplazamiento.Con los datos dados la ecuación diferencial a considerar es

x′′(t) + 2x′(t) + e−tx(t) = 0,

tomamos una solución de la forma

x(t) =∞∑

n=0

cntn,

teniendo en cuenta que

e−t =∞∑

n=0

(−1)n

n!tn,

y

x′(t) =∞∑

n=1

ncntn−1, x′′(t) =∞∑

n=2

n(n− 1)cntn−2.

Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos

∞∑n=2

n(n− 1)cntn−2 +

∞∑n=1

2ncntn−1 +

[ ∞∑n=0

(−1)n

n!tn

][ ∞∑n=0

cntn

]= 0,

en el tercer sumando de la igualdad anterior, efectuamos el producto de Cauchy de las dosseries, esto es [ ∞∑

n=0

(−1)n

n!tn

][ ∞∑n=0

cntn

]=

∞∑n=0

[n∑

k=0

(−1)k

k!cn−k

]tn,

reemplazando, y haciendo la nivelación de las potencias obtenemos

∞∑m=0

(m + 2)(m + 1)cm+2tm +

∞∑m=0

2(m + 1)cm+1tm +

∞∑m=0

[m∑

k=0

(−1)k

k!cm−k

]tm = 0,

5.5 Aplicaciones 165

entonces∞∑

m=0

[(m + 2)(m + 1)cm+2 + 2(m + 1)cm+1 +

m∑

k=0

(−1)k

k!cm−k

]tm = 0.

En virtud del principio de identidad obtenemos

(m + 2)(m + 1)cm+2 + 2(m + 1)cm+1 +m∑

k=0

(−1)k

k!cm−k = 0, para toda m ≥ 0.

Esta fórmula de recurrencia la podemos expresar así:

cm+2 = −2(m + 1)cm+1 +∑m

k=0(−1)k

k!cm−k

(m + 2)(m + 1)para toda m ≥ 0.

Hallamos ahora varios coeficientes, dándole valores a m.

Si m = 0 c2 = −2!c1 + c0

2!

m = 1 c3 = −22c2 + c1 − c0

3!= −3(c0 + c1)

3!

m = 2 c4 = −3!c3 + c2 − c1 + c02!

4 · 3 =3!c0 + 10c1

4!

......


x(t) = c0 + c1t + c2t2 + c3t

3 + c4t4 + · · ·

entoncesx(t) = c0 + c1 − 2c1 + c0

2!t2 − 3c1 + 3c0

3!t3 +

3!c0 + 10c1

4!t4 + · · ·

reagrupando los términos se tiene

x(t) = c0

[1− 1

2!t2 − 3

3!t3 +

3!

4!t4 + · · ·

]+ c1

[t− 2

2!t2 − 3

3!t3 +

10

4!t4 + · · ·

]

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos

x(0) = 1 = c0

x′(0) = 0 = c1

En consecuencia la solución pedida es

x(t) = 1− t2

2!− t3

2!+

t4

4− · · ·


Ejemplo 5.5.2. Columnas con flexión lateral: En el estudio de la flexión lateral deuna columna con sección transversal variable aparece la ecuación

xny′′(x) + α2y(x) = 0, x > 0, (5.13)

donde x se relaciona con la altura sobre el suelo y y es la flexión con respecto de la vertical.La constante positiva α depende de la rigidez de la columna, su momento de inercia en laparte superior y la carga. El entero positivo n depende del tipo de columna. Por ejemplo,cuando la columna es un cono truncado (véase la figura 36), tenemos n = 4.

(a) Usar la sustitución x = t−1 para reducir (5.13) con n = 4 en la forma

d2y

dt2+

2

t

dy

dt+ α2y = 0, t > 0.

(b) Determine al menos los tres primeros términos no nulos en el desarrollo en serie entorno a t = 0 para la solución general de la ecuación obtenida en la parte (a).

(c) Use el resultado de la parte (b) para dar un desarrollo en torno de x = ∞ para unasolución general de (5.13).

Solución:

(a) x = t−1, entonces t = x−1, luegodt

dx= −x−2, así que, por la regla de la cadena

dy

dx=

dy

dt

dt

dx= − 1

x2

dy

dt,

entoncesd2y

dt2= − 1

x2

d2y

dt2dt

dx+

2

x3

dy

dt=

1

x4

d2y

dt2+

2

x3

dy

dt

de dondex4y′′(x) + α2y(x) =

d2y

dt2+ 2x

dy

dt+ α2y = 0.

En consecuenciad2y

dt2+

2

t

dy

dt+ α2y = 0, t > 0.

(b) Aplicando e método de Frobenius tenemos

y =∞∑

n=0

cntn+r

entonces

y′ =∞∑

n=0

(n + r)cntn+r−1


y

y′′ =∞∑

n=0

(n + r)(n + r − 1)cntn+r−2.

Reemplazando en la ecuación diferencial obtenida en la parte (a) se tiene

∞∑n=0

(n + r)(n + r − 1)cntn+r−2 +∞∑

n=0

2(n + r)cntn+r−2 +

∞∑n=0

α2cntn+r = 0,

haciendo la nivelación de las potencias obtenemos

∞∑m=−2

(m+r+2)(m+r+1)cm+2tm+r +

∞∑m=−2

2(m+r+2)cm+2tm+r +

∞∑m=0

α2cmtm+r = 0,

entoncesr(r − 1)c0t

r−2 + r(r + 1)c1tr−1 + 2rc0t

r−2 + 2(r + 1)c1tr−1

+∞∑

m=0

[(m + r + 2)(m + r + 1)cm+2 + 2(m + r + 2)cm+2 + α2cm]tm+r = 0.

En virtud del principio de identidad obtenemos

r(r − 1)c0 + 2rc0 = 0,

o(r2 + r)c0 = 0

de donde si c0 6= 0, se tiene que r1 = 0 y r2 = −1.También

r(r + 1)c1 + 2(r + 1)c1 = 0,

o(r + 2)(r + 1)c1 = 0

de donde c1 = 0.Además

(m + r + 2)(m + r + 1)cm+2 + 2(m + r + 2)cm+2 + α2cm = 0, m ≥ 0,

esta última es la fórmula de recurrencia, la cual la podemos expresar así

cm+2 = − α2cm

(m + r + 2)(m + r + 3), m ≥ 0.

Si r1 = 0, tenemos

cm+2 = − α2cm

(m + 2)(m + 3)m ≥ 0.



Si m = 0 c2 = −α2c0

6

m = 1 c3 = −α2c1

12= 0

m = 2 c4 =α4c0

120

m = 3 c5 =α4c1

360= 0

......


y1(t) = c0 + c1t + c2t2 + c3t

3 + c4t4 + · · ·

entoncesy1(t) = c0

[1− 1

6(αt)2 +

1

120(αt)4 + · · ·

].

Si r2 = −1, tenemos

cm+2 = − α2cm

(m + 1)(m + 2)m ≥ 0.


Si m = 0 c2 = −α2c0

2

m = 1 c3 = −α2c1

6= 0

m = 2 c4 =α4c0

24

m = 3 c5 =α4c1

120= 0

......


y2(t) =1

t[c0 + c1t + c2t

2 + c3t3 + c4t

4 + · · ·]


entoncesy2(t) =

c0

t

[1− 1

2(αt)2 +

1

24(αt)4 + · · ·

].

La solución general esy(t) = ay1(t) + by2(t).

(c) En el item (b) reemplazamos t =1

x, si t → 0+, entonces x → +∞, y obtenemos la

solución general en la forma

y(x) = ay1(x) + by2(x),

dondey1(x) = 1− 1

6

(α

x

)2

+1

120

(α

x

)4

+ · · ·y

y2(x) = x

[1− 1

2

(α

x

)2

+1

24

(α

x

)4

+ · · ·]


5.6. Ejercicios1. Resuelva, utilizando series de potencias los siguientes problemas de valores iniciales.

(a) y′ + 2y = 0, y(0) = 1.

(b) y′′ − y = x, y(0) = 1, y′(0) = −2.

(c) (1− x)2y′′ − (1− x)y′ − y = 0, y(0) = y′(0) = 1.

2. Resuelva, utilizando series de potencias, el siguiente problema de valores iniciales:

(x2 + 1)y′′ − 2xy′ + y = x3ex + 2ex, y(0) = 0, y′(0) = 1.

¿Puede reconocer la función correspondiente a la serie obtenida?

3. Resuelva la ecuación diferencial

(1− x2)y′′ − 2xy + 12y = 0.

Muestre, a partir de la solución general en series obtenida, que tal ecuación tienesoluciones polinómicas.

4. En cada caso resuelva por medio de series de potencias la ecuación diferencial dada.

(a) y′′ − y = 0.

(b) (1 + x)y′ − 1 = 0.

(c) (1 + x)y′ − y = αx2 − α.

5. Para cada uno de los problemas de valores iniciales, encuentre la solución por mediode serie de potencias:

(a) (x + 1)y′ − (3x + 4)y = 0, y(0) = 1.

(b) x4y′′ + 2x3y′ + xy = x + 3, y(0) = y′(0) = 0.

(c) (x− 1)y′′ + xy′ − 2y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2.

6. Encuentre una solución general en serie de potencias de cada una de las ecuacionesdada. En cada caso indique el intervalo de convergencia de las soluciones.

(a) (x− 1)y′′ + xy′ − 2y = 12x2.

(b) xy′′ − y′ + xy = x2 − 1− cos x.

(c) (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0.

(d) (2x− x2)y′′ − 6(x− 1)y′ − 4y = 0.

7. Encuentre una representación en serie de potencias para la función tangente (Suge-rencia: Resuelva, mediante series, un problema de valor inicial cuya única soluciónsea dicha función).

5.6 Ejercicios 171

8. Considere la ecuación diferencial

x2y′′ + xf1(x)y′ + f0(x)y = 0,

donde

f0(x) =∞∑

n=0

bnxn, f1(x) =∞∑

n=0

anxn.

Demuestre que para una solución y =∞∑

n=0

cnxn+r en serie de Frobenius, r es una raíz

de la ecuación indicialr2 + (a0 − 1)r + b0 = 0.

9. En cada caso encuentre al menos una solución en serie de Frobenius de la ecuacióndada.

(a) x(1− x)y′′ + 2(1− 2x)y′ − 2y = 0.

(b) 16x2y′′ + 3y = 0.

(c) x2y′′ + 6xy′ + (6− x2)y = 0.

(d) xy′′ + (1− 2x)y′ + (x− 1)y = 0.

(e) xy′′ + 3y′ + 4x3y = 0.

(f) 2x2(1− 2x)y′′ + (4x2 − 8x + 5)y′ + (2x2 − x + 1)y = 0.

(g) x2y′′ + xy′ + (x2 − 4)y = 0.

(h) x2y′′ + xy′ + (x2 − 1

9)y = 0.

10. Utilice la sustitución y = ux−k, para encontrar una solución de

xy′′ + (1 + 2k)y′ + xy = 0.

11. La ecuación de Airyy′′ − xy = 0

tiene aplicaciones en la teoría de difracción. Halle la solución general por series.

12. La ecuación de Hermitey′′ − 2xy′ + 2py = 0

en donde p es una constante, aparece en mecánica cuántica, en relación con la ecua-ción de Schrödinger para un oscilador armónico. Muestre que si p es un enteropositivo una de las dos soluciones linealmente independiente es un polinomio, llama-do polinomio de Hermite.


13. En el estudio de un resorte no lineal con forzamiento periódico surge la ecuación deDuffing

y′′ + ky + ry3 = A cos(wt).

Sean k = r = A = 1 y w = 10. Determine los tres primeros términos no nulos delas aproximaciones mediante polinomios de Taylor a la solución con valores inicialesy(0) = 0, y′(0) = 1.

14. Para la ecuación de Duffing dada en el problema anterior, el comportamiento delas soluciones se modifica cuando r cambia de signo. Cuando r > 0, la fuerza derestauración ky + ry3 se vuelve más fuerte que para el resorte lineal (r = 0). Dichoresorte es duro. Cuando r < 0, la fuerza de restauración es más débil que la delresorte lineal y el resorte es suave. Los péndulos actúan como resortes suaves.

(a) Vuelva a resolver el problema anterior, con r = −14.

(b) Mantenga k = A = 1 y w = 10; cambie las condiciones iniciales por y(0) = 1 yy′(0) = 0. Ahora vuelva a resolver el problema anterior con r = ±1.

(c) Con base en los resultados de la parte (b), ¿hay alguna diferencia entre el com-portamiento de los resortes suaves y duros para t pequeña? Explique.

15. En el estudio de los tubos al vacío surge la ecuación de Van Der Pol

y′′ + (0,1)(y2 − 1)y′ + y = 0.

Determine el polinomio de Taylor de grado 4 que aproxima la solución con valoresiniciales y(0) = 1, y′(0) = 0.

16. La ecuación de Emden es una ecuación no lineal clásica que aparece en el estudiodel comportamiento térmico de una nube esférica, tiene la forma

y′′ +2

xy′ + yn = 0,

con condiciones iniciales y(0) = 1, y′(0) = 0. Aunque a1(x) =2

xno es analítica en

x = 0, es posible mostrar que existe una solución analítica en x = 0. Si n es un enteropositivo, muestre que los primeros términos de una solución en serie de potencias son

y = 1− x2

3!+ n

x4

5!+ · · ·

(Sugerencia: Sustituya x = 1 + c2x2 + c3x

3 + · · · en la ecuación y calcule con cuidadolos primeros términos del desarrollo de yn).

4Observe que para las condiciones iniciales y(0) = 0, y′(0) = 1, los resortes suaves y duros parecenresponder de la misma forma para t pequeño.

5.6 Ejercicios 173

17. En el capítulo 3 se mostró que la carga q en el capacitor de un circuito sencillo RLCqueda descrita mediante la ecuación

Lq′′(t) + Rq′(t) +1

Cq(t) = E(t),

Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamosque el resistor se calienta de modo que

R(t) = 1 +t

10omhs.

Véase la (figura 34). Si L = 0,1 henrys, C = 2 farads, E(t) = 0, q(0) = 10 coulombsy q′(0) = 0 amperes, determine al menos los primeros cuatro términos no nulos enun desarrollo en serie de potencias en torno a t = 0 para la carga en el capacitor.

18. Al calentar un resorte, su constante decrece. Suponga que el resorte se calienta demodo que la constante en el instante t es k(t) = 6 − t N/m (véase la figura 35).Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa m = 2 kg y una constante deamortiguamiento b = 1 N − s/m con condiciones iniciales x(0) = 3 m y x′(0) = 0m/s. Determine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo enserie de potencias en torno de t = 0 para el desplazamiento.

19. En el sistema masa-resorte para un resorte vencido analizado en el ejemplo 5.5.1,suponga que no hay amortiguamiento (es decir b = 0), m = 1 y k = 1. Para ver elefecto del desgaste en el resorte, considere a η como un parámetro positivo.

(a) Vuelva a resolver el ejemplo 5.5.1 con b = 0 y η arbitrario pero fijo.

(b) Haga η = 0 en el desarrollo obtenido en la parte (a). ¿Coincide este desarrollocon el de la solución del ejemplo con η = 0? (Sugerencia: Cuando η = 0, lasolución es x(t) = cos t.)

20. En el ejemplo 5.5.2, considere una columna con una sección transversal rectangular,con los dos lados constantes y los otros dos cambiando en forma lineal (véase la figura37). En este caso n = 1. Determine al menos los cuatro primeros términos no nulosen el desarrollo en serie en torno de x = 0 para una solución general de la ecuación(5.13) cuando n = 1.

ÍNDICE ALFABÉTICO

Base, 60

Campo direccional, 9Circuitos eléctricos, 5, 87Columnas con flexión lateral, 166Combinación lineal, 60Condiciones iniciales, 11Continua por partes, 102Convolución, 115Críticamente amortiguado, 86Curvas isoclinas, 10

Dimensión, 60Discontinuidad de salto, 102

Ecuacionesde Bernoulli, 36exacta, 25homogéneas, 20lineales, 23no homogéneas, 74

Ecuaciónde Bernoulli, 36de Calor, 6de Cauchy-Euler, 80de Clairaut, 52de Hermite, 92

de Legendre, 92de Riccati, 52de Schrödinger, 92de variables separables, 18diferencial, 1, 3diferencialel orden de una, 7el tipo de una, 6en derivadas parciales, 6, 7exacta, 26lineal, 7, 23lineales, 57ordinaria, 7, 17

homogénea, 58homogénea con coeficientes constan-

tes, 67integral de Volterra, 120logística, 44no homogénea, 74

Ecuaciónde Airy, 171de Duffing, 172de Emden, 172de Hermite, 171de Legendre, 161de Schrödinger, 171

ÍNDICE ALFABÉTICO 175

de Van Der Pol, 172Espacio funcional, 59

Factor integrante, 31Factores integrantes, 30Función

compuerta unitaria, 127de Heaviside, 110Delta de Dirac, 114escalón unitario, 110Gamma, 100homogénea, 20periódica, 112

Generan, 60

Leyde enfriamiento de Newton, 2de Kirchhoff, 5de la corriente de Kirchhoff, 88de Pareto, 53de Torricelli, 3, 53del voltaje de Kirchhoff, 88

Linealmentedependientes, 60independientes, 60

Matriz wronskiana, 61Mezclas, 4Movimiento

armónico simple, 85forzado, 87libre, 83libreamortiguado, 85

Métodode coeficientes indeterminados, 77de reducción de orden, 72de separación de variables, 17de variación de parámetros, 74

Métodode Taylor, 158

Núcleo del operador, 64

Operadorde Laplace, 97diferencial, 62, 63diferenciallineal, 62, 64

integral, 63Orden exponencial, 103

Polinomio, 69Polinomio

característico, 69Principio de Arquímides, 16Problema de valores iniciales, 11Propiedad

de derivada de transformada, 108de integral de transformada, 108de linealidad, 105de periodicidad de la transformada,

113de transformada de derivadas, 106de traslaciónen el eje s, 105en el eje t, 111

Raícescomplejas, 81realesdistintas, 81iguales, 81

Regla de Leibniz, 109Resorte vencido, 164

Sistema masa-resorte, 83Sobreamortiguado, 86Soluciones

analíticas, 148en series de potencias, 147

Soluciónde la ecuación diferencial, 8general, 8particular, 8singular, 8trivial, 8

Subamortiguado, 86

176 ÍNDICE ALFABÉTICO

Sustituciones diversas, 35

Tabla de transformadas de Laplace, 124Teorema

de convolución, 116de existencia y unicidad, 10, 11, 65para la existencia de la transformada,

103Transformada

de Laplace, 98inversa, 98

Trayectorias ortogonales, 51

Valor característico, 69

BIBLIOGRAFÍA

[1] Apostol, Tom. Calculus. Volúmen 1. Seunda Edición. Editorial Reverté. 1988.

[2] Boyce, William E. y DiPrima, Richard C. Ecuaciones Diferenciales y Problemascon Valores en la Frontera. Limusa. 1998.

[3] Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations. PrenticeHall.

[4] Derrick, William R. y Grossman, Stanley. Ecuaciones Diferenciales con Aplica-ciones. Fondo Educativo Interamericano.

[5] Nagle R.-Saff E.-Snider A. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores enla Frontera. Tercera Edición. Pearson Educación. 2000.

[6] Edwards C. H.-Penney D. E. Ecuaciones Diferenciales. Segunda Edición. PrenticeHall. 2001.

[7] Sotomayor Jorge. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Instituto de Mate-mática Pura e Aplicada. 1979.

[8] Kreider D.-Kuller R.-Ostberg D.-Perkins F. Introducción al Análisis Lineal.Parte 1. Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1971.

[9] Zill G. Dennis Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones a Modelado. Séptima Edi-ción. Thomson Learning. 2002.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Universidad Del Norte)

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