Fundamentos de Ecuaciones DiferencialesLas ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las ingenieras, debido a que muchas leyes y relaciones fsicas se expresan matemticamente mediante estas relaciones.

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

Las dos primeras ecuaciones contienen derivadas ordinarias y por la forma en que estn escritas vemos que y = f(x); la tercera contiene derivadas parciales y podemos ver que z = f(x, y). El orden de una ecuacin diferencial es el mximo orden de las derivadas que contieneDefinicin de ecuacin diferencial:Unaecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen enEcuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables. Una ecuacin diferencial es una ecuacin que incluye expresiones o trminos que involucran a una funcin matemtica incgnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuacin diferencial ordinaria, donderepresenta una funcin no especificada de la variable independiente, es decir,,es la derivada decon respecto a.

La expresines una ecuacin en derivadas parciales.

A la variable dependiente tambin se le llama funcin incgnita (desconocida). La resolucin de ecuaciones diferenciales es un tipo deproblema matemticoque consiste en buscar una funcin que cumpla una determinada ecuacin diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un mtodo especfico para la ecuacin diferencial en cuestin o mediante una transformada (como, por ejemplo, latransformada de Laplace).Orden de la ecuacinEl orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denominaorden de la ecuacin.Grado de la ecuacinEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en formapolinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.

Mtodos de un paso: Mtodo de Euler, Mtodo de Euler mejorado y Mtodo de Runge-Kutta.

Mtodo de EulerEnmatemticaycomputacin, elmtodo de Euler, llamado as en honor deLeonhard Euler, es un procedimiento deintegracin numricapara resolverecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dado.Elmtodo de Euleres el ms simple de losmtodos numricos Consiste en multiplicar los intervalos que va deaensubintervalos de ancho; sea:

Este mtodo se hace a travs de iteraciones para conseguir los siguientes puntos, los cuales se aproximan a la funcin que tienes .Calculamos as de manera aproximada el valor de la solucin y en el punto de abscisa x1 como: y(x1) = y1 = y0 + f(x0, y0)(x1 x0)y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el metodo para obtener otro punto aproximado (x2, y2) de la forma: y(x2) = y2 = y1 + f(x1, y1)(x2 x1)y as sucesivamente. Es habitual en este mtodo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solucin aproximada en puntos de la forma: xn = xn 1 + h = x0 + nh , siendo h el paso del mtodo. De esta forma se obtienen las frmulas que nos determinan la solucin aproximada en la forma: xn = xn1 + h; yn = yn1 + f(xn1, yn1) hDesde el punto de vista geomtrico, tenemos en definitiva que el Mtodo de Euler aproxima a la funcin solucin por medio de una lnea poligonal, la aproximacin ser tanto peor cuanto mayor sea en nmero de pasos, es decir, cuanto ms lejos nos encontremos del punto inicial (x0, y0). Por otro lado, el error ser evidentemente tanto mayor cuanto ms grande sea el paso del mtodo, h.Ejemplo: Resolveremos el problema de valor inicial

por el mtodo de Euler con h = 0.1 para los puntos x = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5. En este problema tenemos h = 0.1, (x0, y0) = (1, 4) y la funcin f(x, y) es: f(x, y) = x y. Por tanto:

Dado que el problema se puede resolver tambin de forma exacta, presentamos en la tabla y grfica siguientes los resultados:

FORMULAS USADASyn+1=yn+hf(xn,yn)(1)

xn+1=xn+h(2)

Donde:n=0,1,2,3,h=tamao del incremento enxf(xn,yn)=segundo miembro de la ED de primer orden cuandotiene la forma:dydx=f(x,y)PROCEDIMIENTO:i.Escribimos la ED en la forma:dydx=f(x,y), paraextraer su segundo miembroii.Definimosx0,y0yhde acuerdo a los datos del problema,ejemplo:para el PVI:y=0.12y+0.4x2,y(2)=4,y(2.5),conh=0.5, las variables buscadas son:x0=2,y0=4yh=0.5iii.Plateamos la ecuacin de Euler utilizando los datos iniciales, comosigue:y0+1=y0+hf(x0,y0)Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el procesoiterativamente utilizando los nuevos datos:y1+1=y1+hf(x1,y1)iv.Desarrollamos hasta el valor buscado enx, en este caso:x=2.5,como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

Ejemplo 1Dada la siguiente ecuacin diferencial con la condicin inicial:

Aproximar .

NOTAPrimero observamos que esta ecuacin s puede resolverse por mtodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el mtodo de separacin de variables. Veamos las dos soluciones. Solucin Analtica. Sustituyendo la condicin inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solucin real est dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solucin NumricaAplicamos el mtodo de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo suficientemente pequea. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos la aproximacin deseada en cinco pasos. De esta forma, tenemos los siguientes datos: Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso: Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: Y as sucesivamente hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n

0 0 1

1 0.1 1

2 0.2 1.02

3 0.3 1.0608

4 0.4 1.12445

5 0.5 1.2144

Conclumos que el valor aproximado, usando el mtodo de Euler es: Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometi al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 2Aplicar el mtodo de Euler para aproximar , dada la ecuacin diferencial.

SolucinNuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximacin. As, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el mtodo de Euler con los siguientes datos: En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n

0 1 2

1 1.1 2.3

2 1.2 2.6855

3 1.3 3.1901

De lo cual, conclumos que la aproximacin buscada es:

Mtodo de Runge-KuttaEjemplo:

EjemploCon el mtodo RK4, obtener una aproximacin del valor de y(1,5) para el siguiente problema de valor inicial, tomando un paso h = 0,1.

El primer paso para resolver este problema es determinar la malla de puntos en donde se va a obtener la solucin.Como en este caso h est dado, se tiene que N = (1,5 - 1)/0,1 = 5.Por lo tanto, los puntos en donde se va a determinar la solucin, dados por la frmula ti = 1 + 0,1 i, para i =1,2,3,4,5, son:t1= 1,1t2= 1,2t3= 1,3t4= 1,4t5= 1,5Una vez establecida la malla del problema, tenemos, para i = 0:

Resulta entonces,

y aplicando sucesivamente la frmula de RK4, para i desde 1 hasta 4, se obtienen los datos que se muestran en la siguiente tabla, donde adems se muestra el valor de la solucin exacta para cada punto de la malla.

Al analizar la tabla anterior y comparar los resultados obtenidos con el mtodo RK4 con los valores reales, se ve por qu es tan difundido este mtodo. En la prxima tabla se comparan los mtodos de Euler y Runge Kutta de orden 4 para el mismo problema.

Mtodos de pasos mltiples

Una tcnica alterna para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se puede desarrollar conociendo informacin de la funcin en varios puntos, tomando estos como base para predecir el valor de la funcin en los puntos subsiguientes.

separando variables e integrando entre los lmites i e i+1

resolviendo la integral se pueden encontrar los valores de yi+1 conociendo yi.

Mtodo de Heun (Euler-Gauss)

Un mtodo para mejorar la aproximacin a la pendiente implica el clculo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. Enseguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximacin mejorada de la pendiente en el intervalo completo.

En el mtodo el Euler, la pendiente al principio del intervalo es

yi = f (xi, yi)se usa para extrapolar linealmente a yi+1 en xi+1

yi+1 = yi+ f (xi, yi) (Ecuacin predictora)hPero al final del intervalo se puede calcular una pendiente aproximada

yi+1 = f (xi+1, yi+1)Por la tanto se pueden combinar las dos pendientes y obtener una pendiente promedio en el intervalo:

por lo que

(Ecuacin correctora)Por ello, el mtodo de Heun es un esquema predictor-corrector.Ntese que la ecuacin correctora tiene el trmino yi+1 a ambos lados de la igualdad, y puede aplicarse para corregir en un esquema iterativo hasta que se obtenga una yi+1 mejorada para una tolerancia preestablecida.

Ejemplo Resolver el ejemplo anterior utilizando el mtodo de Heun, y valores de h de 0.5, 0.25 y 0.125.f (xi, yi) = yi (xi2 - 1)

h = 0.5

xi = 0, yi = 1

Predictor

f (xi, yi) = 1 [02 - 1] = -1yi+1 = yi+ f (xi, yi) h = 1+ (-1) (0.5) = 0.5

Correctorxi+1 = 0.5

yi+1 = f (xi+1, yi+1) = f (0.5, 0.5) = 0.5 [(0.5)2 1] = -0.375

Corrector primera iteracin

Corrector segunda iteracin

Corrector tercera iteracin

Corrector cuarta iteracin

Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtieneTabla 6.2 Valores de y para distintos valores de h con Heunh = 0.5h = 0.25h = 0.125

xyxyxy

0.01.00000.001.00000.0001.0000

0.1250.8832

0.250.78320.2500.7830

0.3750.6995

0.50.63160.500.63220.5000.6323

0.6250.5806

0.750.54320.7500.5436

0.8750.5211

1.00.51321.000.51351.0000.5134

1.1250.5221

1.250.55231.2500.5501

1.3750.6030

1.50.74641.500.70061.5000.6905

1.6250.8296

1.751.09151.7501.0499

1.8751.4064

2.03.91742.002.19652.0002.0031

Mtodo de MilneEste es un mtodo predictor-corrector que utiliza informacin en los primeros cuatro Esta informacin se puede obtener aplicando alguno de los mtodos vistos anteriormente.Para resolver la integral se usa las formulas de integracin numrica vistas en la unidad anterior

Predictor

Corrector

Un tipo de frmulas que tienen la forma general descrita anteriormente son las frmulas de Adams

Frmula abierta de n-simo orden(Adams-Bashforth)

Frmula abierta de n-simo orden(Adams-Moulton)

donde k son coeficientes reportados en la bibliografa.

Combinando estas dos frmulas en un esquema de predictor corrector se puede desarrollar un mtodo para encontrar la solucin de las ecuaciones diferenciales ordinarias.La informacin de los puntos necesarios para iniciar el procedimiento se obtiene generalmente a partir de un mtodo de un solo paso, con un orden suficiente para que esta informacin sea confiable.

EjemploResolver por el mtodo de Adams de cuarto orden la ecuacin.

Predictor yi+1 = yi + h (0 fi-0 + 1 fi-1 + 2 fi-2 + 3 fi-3)

Corrector yi+1 = yi + h (0 fi+1-0 + 1 fi+1-1 + 2 fi+1-2 + 3 fi+1-3)

Clculo de los puntos iniciales por el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden

http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/35_multipasos.htmlhttp://mathstools.com/section/main/Metodos_de_Runge_Kutta?lang=es#http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/34_RK.htmlhttp://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/metodo-de-eulerhttps://sites.google.com/site/metodosnumericosmecanica/home/unidad-vi/62-mtodos-de-un-paso-mtodo-de-euler-mtodo-de-euler-mejorado-y-mtodo-de-runge-kuttahttps://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-6/6-2-metodos-de-un-paso-metodo-de-euler-metodo-de-euler-mejorado-y-metodo-de-runge-kuttahttp://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/MetNumTema4Teo(09-10).pdf