metodos num. 2010

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Facultad de ingeniería mecánica eléctricaElectrónica y sistemas

Escuela Profesional de ingenieríaMecánica eléctrica.

CURSO: Métodos numéricos TEMA: Solución de ecuaciones diferenciales

Ordinarias.

DOCENTE: Ing. Alejandro Salinas Mena

PRESENTADO POR:Goyzueta Arce Elviz J.Canaza Chique Darwin

Andrade Ñaccha Hener D.

SEMESTRE : V

PUNO - 2011



Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7

Capítulo 77.- SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

7.1.-ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALORES INICIALES.

Una ecuación en la que interviene una o más derivadas ordinarias de una

función incógnita se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO), las

derivadas pueden ser primera, segunda, tercera….etc., donde el orden mayor

alcanzado por la derivada se denomina orden de la ecuación diferencialordinaria.

En este capítulo se verán diferentes métodos de solución numérica a problemas

que involucren ecuaciones diferenciales con valores iniciales, las soluciones

numéricas surgen como alternativa cuando no existe una expresión analítica

para la solución, entonces en estos casos es necesario acercarse la solución por

una sucesión de valores que converjan a la solución.

Forma:

: Valores iniciales

Objetivo: calcular

7.2.- METODOS DE UN SOLO PASO.

METODO DE EULER:

Sea la ecuacion diferencial con valores iniciales reemplacemos

los valores inicialees en de donde se obtiene el cual

representa geometricamente la pendiente de la recta tangente en , esto es:

……………ecuación 7.1




Para calcular el valor de calculamos la longitud de paso ,

construimos la participacion y reemplazamos el valor de en la ecuación de la recta tangente en

Es decir:



El proceso continua asignando el valor de en ; en hasta calcular

.Geométricamente:

Figura 7.1

Ejemplo 7.1:

Con el método de Euler integre numéricamente la con la ecuación (7.3)




Desde hasta con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en

es recuerde que la solución exacta está dada por la ecuación

Solución. Se utiliza la ecuación para implementar el método de Euler

Donde y la pendiente estimada en es

Por lo tanto

la solución verdadera en es

Así, el error es

0, expresada como error relativo porcentual en el segundo paso,

[ ]

La solución verdadera en es 3.0 y, entonces, el error relativo porcentual

es -95.8%. El cálculo se repite y los resultados se dan en la tabla 7.1 y en la

figura 7.2




Tabla 7.1

En la tabla 7.1

Comparación de los valores verdaderos comparación de los valores verdaderos

aproximado de la integral de , con la condición

inicial y que en . Los valores aproximados se calcularon empleando

el método de Euler con un tamaño de paso 0.5. El error local se refiere al error

en que incurre sobre un solo paso. Este se calcula con una expansión de la serie

de Taylor como el ejemplo 7.1 el error total es la discrepancia total debida a los

pasos anteriores y presentes.




FIGURA 7.2 Comparación de la solución verdadera con una solución numérica

usando el método de Euler, para la integral de

desde

hasta con un tamaño de 0.5 la condición inicial en es .

Aplicando MATLAB en el ejercicio 7.1




Archivo m: para utilizar el siguiente programa digitar en la ventana de

comandos:

>> eul1('funcion',x0,y0,n,a).




ANÁLISIS DE ERROR PARA EL MÉTODO DE EULER (TAYLOR)

La solución numérica de las EDO implica dos tipos de error

1. error de truncamiento o de discretizacion, originados por la naturaleza

de las técnicas empleadas para aproximar los valores de, y.

2. errores de redondeo causados por el número limitado de cifras

significativas que una computadora puede retener

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un

error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método

considerado, en un solo paso. La segunda es un error de truncamiento

propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasosprevios. La suma de los dos es el error de truncamiento global

Al adquirir cierta comprensión de la magnitud y de las propiedades del error

de truncamiento, puede desarrollarse el método el método de Euler

directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la

ecuación diferencial que se va a integrar de la forma general




……………………. ecuación 7.4

Donde son las variables independientes y dependientes, respectivamente.

si la solución (es decir la función que describe el comportamiento de y) tiene

derivadas continuas, se representa por una expansión de la serie de Taylor

respecto a una valor inicial ,como sigue

……………………. ecuación 7.5

Donde y termino permanente definido como

……………………. ecuación 7.6

Donde esta en algún lugar en el intervalo de a es posible desarrollar

una forma alternativa, sustituyendo la ecuación (7.4) en las ecuaciones (7.5) y

(7.6)

……….

ecuación 7.7

Donde especifica que el error de truncamiento local es proporcional al

tamaño de paso elevado a la potencia (n+1)

Al comparar las ecuaciones (7.3) y (7.7) se advierte que el método de Euler

corresponde a la serie de Taylor, hasta el término inclusive. Además

la comparación indica que el error de truncamiento se debe a que aproximamosla solución verdadera mediante el número finito de términos de la serie de

Taylor. Así truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. por

ejemplo, el error de truncamiento n el método de Euler se atribuye a los

términos remanentes en la ecuación de la serie de Taylor, que no se incluyeron

en la ecuación (7.3) al restar la ecuación (7.3) de la ecuación (7.7)se llega a

)………. ecuación 7.8

Donde error de truncamiento local verdadero. Para h suficientemente

pequeña, los errores en los términos de la ecuación (7.8) normalmente

disminuyen, en tanto aumenta el orden y el resultado se representa como

………. ecuación 7.9

o




)………. ecuación 7.10

Donde error de truncamiento local aproximado

Ejemplo 7.2

Estimación de la serie de Taylor para el error de método de Euler

Planteamiento del problema. Con la ecuación (7.8) estime el error en el primer

paso del ejemplo anterior asela también para determinar el error debido a cada

uno de los términos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor

Solución: como tenemos un polinomio, se aplica la serie de Taylor para obtener

estimaciones exactas del error en el método de Euler .la ecuación (7.8) se

escribe como.

Donde la primera derivada de la ecuación diferencial (que es la

segunda derivada de la solución). en el presente caso,

y es la segunda derivada de EDO

y

es la tercera derivada de EDO

Por ejemplo, el error debido al truncamiento del término de segundo orden se

calcula como sigue:

Para el término de tercer orden:

y para el termino de cuarto orden:




Que es exactamente el error en que se incurrió en el paso inicial del ejemplo

(7.2) observe como lo cual justifica la aproximación

representada por la ecuación (7.9)

METODO DE RUNGE KUTTA.

Sea la ecuación diferencial con valores iniciales ,.

Calcular .

Figura 7.3

Calculemos la longitud de paso , y construyamos la partición

. Para calcular Efectuemos las siguientes operaciones:




∫ …………(7.11)

Los métodos de Runge kutta se deducen aplicando integración numérica a laexpresión denotada por (7.11)

METODO DE RUNGE KUTTA ORDEN

Integrando (7.11) según el método del trapecio se obtiene:

∫

[ ] …………(7.12)

Donde el valor desconocido se obtiene de la siguiente forma:

………. Euler

El proceso continua asignado el valor de en ; en hasta calcular .

Ejemplo 7.3:

Hallar en la ecuación diferencial para .





comandos:

>>rk2(‘funcion’,x0,y0,n,a).




METODO DE RUNGE KUTTA ORDEN

Integrando (7.11) según el método de Simpson se obtiene:

∫ [ ( ⁄ ⁄ ) ]

…………(7.13)

Donde los valores desconocidos ⁄ y se obtienen de la siguiente forma:

…………(7.14)

⁄ …………(7.15)

⁄ ⁄ …………(7.16)

⁄ …………(7.17)

⁄ ⁄ …………(7.18)




( ⁄ ⁄ ) ⁄ …………(7.19)

…………(7.20)

…………(7.21)

[ ] …………(7.22)

El proceso continua asignando el valor de en ; en hasta calcular

.Ejemplo 7.4:

Hallar en la ecuacion diferencial para ,


comandos:

>>rk4(‘función’, xo, yo, n, a).




7.5.- METODO DEL PREDICTOR – CORRECTOR.

Sea la ecuación diferencial con valores iniciales .

Calculemos la longitud de paso , y construyamos la partición

…………(7.23)

Este método calcula el valor de en dos momentos, utiliza el método de Euler

para calcular ……………..predictor.

Remplacemos los valores en de donde se obtiene

,

el cual

Representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en .




Construyamos la recta tangente en , con el promedio de las pendientes

, y esto es:

[] …………(7.24)

Para calcular el valor de , reemplazamos el valor de en la ecuación (+)

Es decir:

[ ]

[] …………(7.25) corrector

El proceso continua asignado el valor de en ; en hasta calcular .

Gráficamente:

Figura 7.4

Ejemplo 7.5:

Hallar en la ecuación diferencial para , ,





comandos:

>>pcl(‘función’, x0, y0, n, a).




7.6.- MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES

Los métodos de un paso que se describieron en las secciones anteriores utilizan

información de un solo punto, para predecir un valor de la variable

dependiente , en un valor futuro de la variable independiente , en la

siguiente figura (a) los procedimientos alternativos, llamados métodos de

pasos múltiples o multipasos figura(b) se basan en que, una vez empezado el

cálculo, se tiene a disposición información de los puntos anteriores. }

Representación gráfica figura (a) y (b)

Representación gráfica de la diferencia fundamental entre los métodos a) de un

paso y b) de pasos múltiples para la solución de EDO

Continuaraaa……………….




BIBLIOGRAFIA:

métodos numéricos con visualización gráfica. (Dr. Herón Morales

Marchena).

métodos numéricos para ingenieros (Steven C. Chapra , Raymond

P. Canale). Matlab para ingenieros (Holly Moore).

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