UNIDAD I: LAS ECUACIONESDIFERENCIALES COMO MODELOS

MATEMTICOS

Carlos A. Benavides Gallego

July 28, 2014

INTRODUCCINLas palabras ecuaciones diferenciales nos hacen pensar en la solucin de ciertotipo de ecuacin que contiene derivadas. As como al estudiar lgebra y ge-ometria se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, en este curso una denuestras tareas es resolver ecuaciones diferenciales como y + 2y + y = 0 cuyaincgnita es la funcin y(x).

Este primer prrafo dice algo, pero no todo, que est a punto de comenzar.Al desarrollarse el curso podran ver que hay ms en el estudio de las ecua-ciones diferenciales, que solo el manejo de los mtodos que alguien h inventadopara resolverlas. Pero primero, para leer, estuiar y tener fluidez en un temaespecialezado, hay que aprender la trminologa, es decir, el lenguaje de estadisciplina. Sin embargo, antes de dar inicio al estudio de la terminologa usadaen esta disciplina, es mi inters que ustedes aprendan a estudiar un fenmenontural a travs de las ecuaciones diferenciales.

OBJETIVOS

Objetivo GeneralEntender las ecuaciones diferenciales como herramienta fundamental en el estu-dio de sistemas o fenmenos naturales.

Objetivos Especficos1. Familiarizar al estudiante con los conceptos bicos de las ecuaciones difer-

enciales.

2. Aprender a plantera, a travs de las leyes fsicas, ecuaciones diferencialesque modelen distintos fenmenos naturales.

3. Utilizar correctamente los simbolos y propiedades de las ecuaciones difer-enciales.

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1 MODELO MATEMTICOCuando uno habla de un modelo matemtico se refiere al deseo de describirel comportamiento de algn sistema de la vidad real o un fenmeno naturalen trminos matemticos; dicho sistemas pude ser fsico, sociolgico o hastaeconmico. A la descripcin matemtca de un sistema fsico o fenmeno sellama modelo modelo matemtico y se plantea con ciertos objetivos en mente;por ejemplo, podramos tratar de comprender los mecansmos de ciero ecosis-tema estudiando el cresimiento de las poblaciones de animales, o podramostratar de fechar fsiles analizando la desintegracin de una sustancia radiactiva,ya sea en el fsil o en el estrato donde se encontraba.

La formulacin de un modelo matemtico de un sistema se inicia:

1. Mediante la identificacin de las variables causantes del cambio del sis-tema. Podremos elegir no incorporar todas la variables en el modelo desdeel comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolucin del modelo.

2. Estbalecemos un conjunto de hiptesis razonables acerca del sistema quetratamos de describir. Estas hiptesis incluyen todas las leyes empricasaplicables al sistema.

Dado que la hiptesis acerca de un sistema implica con frecuencia la razn decambio de una o ms variables, el enunciado matemtico de todas esas hiptesises uno o ms ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, elmodelo matemtico puede ser una ecuacin o un sistema de ecuaciones diferen-ciales.

Una vez formulado el modelo matemtico, llegamos al punto de resolverlo. Estaresolucin requiere de mtodos ya establecidos para la resolucin de ecuacionesdiferenciales. Sin embargo, en esta primera parte del curso, solo estaremos in-teresados en el plateamiento de las ecuaciones. Una vez resuelto, juzgamos queel modelo es razonable si su solucin es consistente con los datos experimen-tales o hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si el modelono describe de menera consistente el sistema bajo estudio con cierto grado deaproximacin, es necesario replantear el modelo y considerar nuevas hiptesisque mejoren su descripcin.

Con frecuencia, el modelo matemtico de un sistema fsico incluir la variable t,el tiempo. En este caso, una solucin del modelo expresa el estado del sistema;en otras palabras, para valores adecuados de t, los valores de la o las variablesdependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro. En ese sen-tido, el modelo matemtico es de gran utilidad a la hora de realizar predicciones.Si un modelo matemtico es bueno, esta predicciones concuerdan en un gradode aproximacin con el comportamiento del sistema estudiado.

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A lo largo de esta primera unidad estudiaremos, a travs de las ecuacionesdiferencieles, los siguentes sistemas:

1. Una cadena que resbala.

2. Cada libre.

3. Cada de los cuerpos y resistencia del aire.

4. Circuitos eltricos.

5. Drenado de un tanque.

6. Desintregracin Radiativa

7. Ley de Enfriamiento de Newton.

8. Dinmica de Poblaciones.

2 MECANICANEWTONIANAY ECUACIONESDIFERENCIALES

Comenzaremos nuestro estudio de las ecuaciones deferenciales como modelosmatemticos con la aplicacin de la segunda ley de Newton a distintos prob-lema que ya han sido tratados en los cursos de fsica.

Para establecer un modelo matemtico de un cuerpo en un campo de fuerzascomo el gravitacional se comienza usando la segunda ley de Newton. Matemti-camente esta ley se establece de la siguiente manera1:

F = ma. (1)

Sin embargo, cmo surge una ecuacin diferencial a partir de la segunda ley deNewton? Para contestar esta pregunta es necesario recordar algunos concetosde la cinemtica como son la posicin r, la velocidad v y la aceleracin a2.La posicin de un cuerpo es un vector que nos permite conocer, respecto a unsistema de referencia inercial, sus coordenadas. Cuando cambia la posicin, amedida que transcuerre el tiempo, surge el concepto de movimiento, y con el, elconcepto de velocidad; en ese sentido, la velocidad es la variacin de la posicncon respecto al tiempo; es decir:

v =drdt. (2)

En si misma, la ecuacin (2) es una ecuacin dieferencial que relaciona el cambiode la posicin con el valor de la velocidad. Si conocemos la forma en que varala posicin con respecto al tiempo, podemos conocer la velocidad en funcin deltiempo y viceversa.

1Para ser un poco mas generales, la segunda ley de Newton es una ecuacin vectorial;es decir, tres ecuaciones que relaciona cada una de las componentes de la fuerza con susrespectivas compontes de la aceleracin; esto es: Fx = max, Fy = may y Fz = maz

2Todos los vectores estn representados con letras en negrilla.

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Ejercicio I

Si la posicin de una partcula que se mueve en la direccin xvara respecto al tiempo de acuerdo a la expresin x(t) = tet+2t.Cmo es la la velocidad de esta partcula como funcin del tiempo?

Ejercicio II

Si la velocidad de una partcula en funcin del tiempo viene dadapor la expresin v(t) = gt + v0 cmo cambia la posicin enfuncin del tiempo? Use sus conocimientos de Clculo Integral.

La primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo quedar enreposo o continuar movindo con velocidad constante, amenos que sea sometidoa una fuerza externa. De acuerdo con esta primera ley, si el cuerpo permaneceen reposo su posicin no cambia por lo tanto drdt = 0, y deacuerdo con la ecuacin(2) su velocidad ser cero. Por otro lado, cuando la velocidad es constante, dig-amos v0, entonces la variacin de la posicin r(t) en funcin del timepo serr(t) = v0t + x0; que corresponde a la ecuacin vectorial para el movimientouniforme.

Ejercicio III

A partir de la ecuacin v = drdt muestre que r(t) = v0t+ x0. Usesus conocimientos de Clculo integral.

Cuando una fuerza, distinta de cero, acta sobre un cuerpo, su estado demovimiento (momentum lineal) cambia deacuerdo a la segunda ley de New-ton; este cambio en el momentun lineal implica un cambio en la velocidad conrespecto al tiempo; es decir, dvdt 6= 0. Este cambio en la velocidad, recordandolos cursos de cinemtica, corresponde a la aceleracin del cuerpo; por lo tanto,la seguna ley de Newton puede ser expresada de la siguiente manera:

F = ma = mdvdt

= md2rdt2

(3)

La ecuacin (3) es la segunda ley de Newton expresada como una ecuacindiferencial. Esta forma de la segunda ley de Newton nos ser de gran utilidadpara la descripcin de sistemas fsicos a travs de ecuaciones difereniales.

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2.1 Cada libre:Supongamos que se arroja una piedra hacia arriba desde la azotea de un edificiocomo puede verse en la figura 1

Figure 1: Cada libre de una piedra

Cul es la posicin s(t) de la piedra, respecto al piso, en el instante t? Laderivada de la piedra es la segunda derivada de la posicin, d

2sst2 . Si suponemos

que la direccin positiva es hacia arriba, que la masa de la piedra es m y queno hay otra fuerza distinta a la fuerza de gravedad, actuando sobre la piedra, lasegunda ley de Newton establece que:

md2s

dt2= mg. (4)

En otras palabras, la fuerza neta es sencillamente el peso F = F1 = W de lapiedra cerca de la superficie terrestre. Recuerde que el peso es W = mg, dondem es la masa del cuerpo y g es la aceleracin debida a la gravedad. El signomenos en (4) se usa porque peso de la piedra es una fuerza con sentido negativo(hacia abajo). Si la altura del edificio es s0 y la velocidad incial de la piedra es v0.

Ejercicio IV

Qu pesa mas, 1kg. de lana en la Luna o un 0,165kg. hierro en latierra?. Justifique su respuesta.

2.2 Cada de los cuerpos y resistencia del aireAntes del famoso experimento de Galileo en la torre de Pisa, generalmente secrea que los objetos ms pesados en cada libre, como por ejemplo una balade can, caan con mayor aceleracin que los ligeros, como por ejemplo unapluma. Es obvio que una bala de can y una pluma, al dejarse caer en formassimultneas desde la misma altura, s caen a distintas velocidades, pero esto nose debe a que la bala de can sea ms pesada. La diferencia de velocidadesse debe a la resistencia del aire. Esta resistencia no se tom en cuenta en elmodelo de la ecuacin (4).

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Figure 2: Cada libre de una piedra y resistencia del aire.

Bajo ciertas circunstancias, un cuerpo de mas m que cae, se encuentra con unaresistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantnea, v. Si en estecaso la direccin positiva se orientara haceia abajo, la fuerza neta que actasobre la mas es F = F1 + F2 = mg kv, donde el peso F1 = mg, es una fuerzallamada amortiguamiento viscoso, que actua en la direccin opuesta, es decir,hacia arriba. Como puede verse en la figura 2. Por lo tanto la segunda ley deNewton aplicada a este sistema fsico es

mg kv = mdvdt

(5)

Esta ecuacin diferencial describe un sistema fsico un poco ms real ya queal caer los cuerpos estn sujetos a la resistencia del aire. La calidad de estemodelo depende de calidad con que modelemos la fuerza de friccin. Si queremosconocer la ecacin diferencial para la velocidad usamos la ecuacin (5). Sinembargo, a partir de (5) podemos obtener la ecuacin diferencial que describe laposicin s en funcin del tiempo; para ello es necesario recordar que la velocidades v = dsdt y

dvdt =

d2sdt . Usando esto la ecuacin diferencia (5) se transforma en

mg kdsdt

= md2s

dt2(6)

Ejercicio V

Una partcula de masa m que se mueve a lo largo de una lnearecta a travs de un medio dnde la resistencia viene modeladapor F = bev, donde b y son constantes y v es la velocidad.Hallar una ecuacin diferencial para la velocidad y la poscin dela partcula. Realice una grfica en computador de dvt vs. v parab = 10 y = 1.

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2.3 Una cadena que resbala

Figure 3: Una cadena que resbala.

En la figura 3 vemos el sistema compuesto por una cadena colgada a un piv-ote. En la figura 3.a la cadena esta colgada de tal manera que su logitud estdistribuida de manera equivalente. Si la cadena tiene un peso por unidad delogitud uniforme, esta permanecer en reposo. Sin embargo, como se muestraen la figura 3.b una vez la cuerda sea colgada de tal manera que su longitudeste distribuida de manera no uniforme, una vez la soltemos ella comenzar aresbalar del pivote. Para hallar una ecuacin diferencial que modele este sis-tema fsico, debemos usar la segunda ley de Newton. Supongamos que la cadenatiene un peso por unidad de logitud de (las unidades de son Nm ); si la cadenatiene una longitud L (L en m), el peso total de la cade ser W = L y su masaser m = Wg =

Lg , donde g = 10

ms2 . El centro de masa de la cuerda siente

dos fuerzas: la que hace el peso del extremo L2 x y otra que hace el peso delextremo L2 + x. En ese sentido la fuerza neta sobre el centro de masa ser

F =

(L

2+ x

)

(L

2 x)

= 2x. (7)

Por lo tanto, y deacuerdo a la ley de Newton, la ecuacin diferencial para estesistema fsico ser

2x =L

10

d2x

dt2(8)

Reescribiendo la ecuacin tenemos que:

d2x

dt2 20Lx = 0 (9)

Otra manera de expresar la segunda ley de Newton3 es a travs del momentumlineal P = mv. En ese sentido, todo fuerza neta distinta de cero genera uncambio en el momentum lineal de la partcula; es decir.

F =dP

dt=d(mv)

dt(10)

Si la masa es constante la ecuacin (10) se reduce a la ecuacin (3). Sin embargo,cuando la masa m de un cuerpo que se mueve a travs de un campo de fuerzas

3De hecho Newton uso esta forma en sus documentos

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es variable, es conveniente usar la forma (10) de la segunda ley de Newton.Por ejemplo, consideremos el sistema formado por una cadena de longitud Lenrrollada que reposa sobre el piso como se muestra en la figura 4. Se jalaverticalmente un extremo de ella, mediante una fuerza constante F . La cadena,que es uniforme, tiene un peso por unidad de longitud . Dedusca una ecuacindiferencial para determinar la altura x(t) del extremo sobre el piso, al tiempo t.Supongamos que la direccin positiva es hacia arriba.

Figure 4: Esquema ejemplo.

En este ejemplo, tomaresmos como sistema la parte de la cuerda que sobresaledel piso. Deacuerdo con las condiciones del sistema la fuerza neta ser F W donde W es el peso de la cuerda que sobresale; pero como la masa estcambiando a medida que aplicamos la fuerza es necesario hallar una expresinpara la para el peso W a medida que cambia la altura x(t). Cuando la alturaes x(t) el peso de la cuerda ser W = x y la fuerza neta ser F x. Porotro lado, si es el peso por unidad de longitud, entonces la masa por unidadde longitud ser = g ; en consecuencia la masa en funcin de la altura esm = x(t) = g x(t). Por lo tanto la sengunda ley de Newton para este sistema,recordando que v = dxdt , es:

F x = ddt

(

gxdx

dt

)F x = d

dt

(

gxdx

dt

)F x =

g

(dx

dt

)2 +

gxd2x

dt2

(11)

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Figure 5: Esquema problema V.

Ejercicio V

Una cadena uniforme de longitud L pies, se sujeta verticalementede modo que el extremo inferior toque apenas el suelo, como semuestra en la figura 5. La cadena tiene un peso por unidad delogitud . El extremo superior que estaba sujeto, se sulta, par-tiendo del reposo cuando t = 0, y la cadena cae directo haciaabajo. Sin tener en cuenta la resistencia del aire y x(t) representala longitud de ella, que sobresale del piso, al tiempo t. Determineque la ecuacin diferencial que describe el sistema. Suponga quela direccin positiva es hacia abajo.

3 INGENIERIA Y ECUACIONES DIFEREN-CIALES

3.1 Drenado de un tanqueEl teorema de Torricelli nos dice que la velocidad de un lquido en una vasijaabierta, por un orificio, es la que tendra un cuerpo cualquiera cayendo libre-mente en el vaco desde el nivel del lquido hasta el centro de gravedad delorificio.

Para enunciar matematicamente este teorema, supongamos que dejamos caeruna gota de lquido desde una altura h hasta el centro de gravedad del agujero.La energa mecnica Em, definidad como la suma de la energa potencial ycintica Em = Ek + Ep4 se concerva; es decir: La energa mecnica de la gotade lquido en la altura h es igual a la energa meca?anica de la gota cuando llegaal centro de gravedad del agujero. Esta condicin se expresa como:

4Ek, Ep son la energa cintica y potencial respectivamente.

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mghEp

+ 0Ek

= 0Ep

+1

2mv2 Ek

, (12)

donde v es la velocidad de la gota cuando llega al agujero. La ecuacin anterirose reduce a

mgh =1

2mv2 (13)

De donde la velocidad v, deacuerdo con el teorema de Torricelli, tendr un valorde:

v =

2gh. (14)

Ahora, supongamos que tenemos un tanque lleno con forma de cilindro y con unagujero en la base del tanque; deseamos saber la profundidad, h, del agua quequeda en el tanque en cualquier tiempo t. Si el agujero tiene un rea a entoncesel volumen del lquido que sale por unidad de tiempo es dVdt

dV

dt= a

2gh (15)

Ejercicio VI

Mostrar que dVdt = a2gh. Por qu el signo menos?

El volumen del lquido en cada instante de tiempo ser V (t) = Ah(t), donde Aes el rea de la seccin transversal del cilindro. h es funcin del tiempo pues laaltura de agua va cambiando a medida que el agua sale por el agujero. Entonces,derivando respecto a t la funcin V (t) tenemos

dV

dt=

d

dt(Ah(t)) = A

dh

dt; (16)

luego igualando (15) y (16) obtenemos una ecuacin diferencial para h

dh

dt= a

A

2gh (17)

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Figure 6: Esquema problema VII.

Ejercicio VII

El tanque cnico circular de la figura 6 pierde agua por un agujerocircular en su fondo. Determine una ecuacin diferencial paradescribir la altura h del agua en el tiempo t. El radio del agujeroes 2 pulgadas, g = 32pies/seg2.

3.2 Ley de enfriamiento de NewtonSegn la ley empirica de Newton acerca del enfriamiento, la razn con quecambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre sutemperatura y y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. SiT (t) representa la temperatura del objeto al tiempo t, Tm es la temperaturaconstante del medio que lo rodea y dTdt es la razn con que la temperaturadel cuerpo cambia, la ley de Newton del emfriamiento puede exprearce con laecuacin diferencial

dT

dt= k(T Tm), (18)

donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, calentamientoo enfriamiento, si Tm es constante es razonable suponer que k < 0.

Ejercicio VIII

Una taza de caf se enfra obedecindo la ley de Newton del en-friamiento. De acuerdo con los datos de la grfica de la figura 7,estimar los valores de T0, Tm y k. Usen la intuicin y el sentidocomn.

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Figure 7: Grfica de la temperatura de la taza de caf en funcin del timepo.

4 SOCIOLOGIA Y ECUACIONES DIFEREN-CIALES

4.1 Dinmica de PoblacionesUno de los primeros intentos de modelar matemticamente el crecimiento de-mogrfico humano lo hizo el economista ingles Thomas Malthus en 1798. Enesencia, la idea del modelo malthusiano es la hiptesis de que la tasa de crec-imiento de la poblacin de un pas crece en forma proporcional a la poblacintotal, P (t), de ese pos en cualquier instante t. En otras palabras, mientrasms personas haya en el momento t, ms habr en el futuro. En trminosmatemticos esta hiptesis se puede expresar como

dP

dt= kP, (19)

donde k es una constante de propocionalidad. A pesar de ue este sencillo modelono tiene en cuenta muchos factores, como inmigracin y emigracin, que puedeninfluir en las poblaciones humanas, hacindolas crecer o disminuir, predijo conmucha exactitud la poblacin de Estados unidos desde 1790 hasta 1860. Laspoblaciones que crecen con la tasa descrita por ecuacin (19) son raras; sin em-bargo, se sigue usando esta ecuacin para modelar el crecimiento de poblacionespequeas en intervalos cortos de tiempo; por ejemplo el crecimiento de bacteriasen un disco de Petri.

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