Captulo 8 ECUACIONES DIFERENCIALESCalculo de desplazamientos

Dr. Fernando Flores

8.1. INTRODUCCIONEn este captulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas.

En general se recurre al denominado metodo de equilibrio o metodo de los desplazamientos, queconsiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en funcion de los desplazamientos.Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problemade flexion y finalmente el de torsion. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con suscorrespondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y girosde un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dichaintegracion. En una segunda parte se estudia la ecuacion diferencial (en derivadas parciales), quegobierna el alabeo de una seccion cuando la pieza esta sometida a torsion uniforme y sin restriccional alabeo. En este caso la integracion de las ecuaciones no es en general posible en forma exacta.Se muestran resultados obtenidos con tecnicas numericas para algunos ejemplos de geometrassencillas.

8.2. VIGAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXIALES8.2.1. Ecuacion diferencial

Recordemos la hipotesis de Navier: todos los puntos de la seccion sometida a un esfuerzoaxial en su baricentro mecanico se deforman una misma magnitud x. Esta deformacion x puedeescribirse en funcion de los desplazamiento axiales u como

x =du

dx(8.1)

Una expresion diferencial que relaciona una medida de deformacion (x) con componentes de des-plazamiento (u) se denomina una relacion (o ecuacion) cinematica. La expresion de la deformacionespecfica x (x) (8.1) resulta de comparar (ver Figura 1) la longitud del elemento diferencial antes

(ds = dx) y despues que se desplace

(ds = dx+

du

dxdx

)

x x+dx

x+u

u

x+dx+u+ dxdudx

u+duds ds*

Figura 1 Deformacion de un elemento diferencial de barra

(x) =ds ds

ds=du (x)

dx(8.2)

1

La tension en cada punto de la seccion se obtiene a partir de la ley de Hooke

x = E x (8.3)

Una expresion que relaciona una medida de tension (x) con una medida de deformacion (x) sedenomina una relacion constitutiva (define el comportamiento mecanico del material constitutivo).Si la seccion es homogenea sera la misma tension para todos los puntos de la seccion. Recordemosque el esfuerzo axial N se define como la integral de las tensiones axiales sobre la seccion:

N =

A

x dA (8.4)

=

A

Ex dA (8.5)

si la seccion es homogeneaN = x A = EA x (8.6)

si la seccion no es homogenea se define el valor

EA =

A

E dA (8.7)

N = EA x (8.8)

Consideremos una barra de seccion transversal A (constante o de variacion suave, ver Figura2) sometida a una carga distribuida p (x) en la direccion del eje de la barra. Se ha supuesto quela variacion de la seccion es suficientemente suave de tal forma que es aceptable la hipotesis deNavier de que la deformacion x es uniforme en cada seccion. El elemento diferencial de barra (unarebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial dx.

El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externasactuando sobre el mismo

dN (x)

dx+ p (x) = 0 (8.9)

Reemplazando (8.6) y (8.2) en (8.9) resulta

d

(EA (x)

du

dx

)dx

+ p (x) = 0 (8.10)

Si el area de la seccion es constante la ecuacion anterior se simplifica a:

EAd2u

dx2+ p (x) = 0 (8.11)

Que es una ecuacion diferencial:

NN + dx

dNdx

dx

Xp(x)

Figura 2 Equilibrio de un elemento diferencial de barra

2

ordinaria: es funcion de una unica coordenada x,

de segundo grado: el maximo orden de derivacion que aparece es 2,

lineal : no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas

a coeficientes constantes : los coeficientes que multiplican a la incognita y sus derivadas nodependen de la coordenada x.

Para resolver esta ecuacion debe conocerse, ademas de la carga externa p (x), cuales son lascondiciones de contorno o borde. La cantidad de condiciones de contorno que pueden y debenfijarse es 2 (en general una en cada extremo de la barra). Estas pueden ser de desplazamiento(imponer u) o de fuerza (imponer N o equivalentemente ).

8.2.2. Problemas isostaticosCuando el problema es isostatico, esto es cuando es suficiente con las condiciones de equilibrio

para determinar los esfuerzos, puede resultar mas sencillo primero obtener los esfuerzos N (x), conestos las deformaciones (x) usando la ley de Hooke y luego los desplazamientos u integrando laecuacion cinematica. Es decir:

1. a partir de la ecuacion de equilibrio 8.9 donde una de las dos condiciones de contorno debeser de fuerza, se obtiene N (x)

N (x) =

x0

p (x) dx

2. Con los esfuerzos se obtienen las deformaciones usando la ley de Hooke 8.6

(x) =N (x)

EA

3. Integramos la ecuacion cinematica 8.2 utilizando la segunda condicion de contorno que debeser de desplazamientos

u (x) =

x0

(x) dx

8.2.3. Combinacion de solucionesEn buena parte de los problemas de ingeniera resulta aceptable la hipotesis de linealidad uti-

lizada en esta parte del curso. En tal caso es posible sumar las soluciones de una misma estructuracon distintas cargas y/o diferentes condiciones de contorno para obtener una nueva solucion. Esdecir que si dada una barra definida por su geometra (longitud y seccion) y material, se conocendos soluciones u1 (x) y u2 (x) para estados de carga p1 (x) y p2 (x) y condiciones de contorno cc1 ycc2 respectivamente

EAd2u

dx2+ p1 (x) = 0 + cc1 ==> u1 (x)

EAd2u

dx2+ p2 (x) = 0 + cc2 ==> u2 (x)

entoncesu (x) = u1 (x) + u2 (x)

es solucion de

EAd2u

dx2+ [ p1 (x) + p2 (x)] = 0 + [ cc1 + cc2]

donde y son coeficientes arbitrarios.Es importante notar que

3

1. La estructura aislada debe ser la misma (misma geometra y material)

2. La suma de las condiciones de contorno implica sumar todas las variables de interes endichos puntos. Si las condiciones de contorno en cada extremo son del mismo tipo la suma esdirecta. Sin embargo muchas veces las condiciones de contorno de las soluciones combinadasson de distinto tipo, por lo que la condicion resultante en el contono es la suma de lassoluciones en el contorno. Por ejemplo si en el extremo x = L la solucion 1 tiene unacondicion de fuerza N1 (L) = P y la solucion 2 tiene una condicion de desplazamientou (L) = u, la condicion resultante debe interpretarse como u (L) = u1 (L) + u2 (L) oN (L) = N1 (L) + N2 (L).

8.2.4. Ejemplos

8.2.4.1. Barra fija en ambos extremos y sometida a peso propio

Veamos un primer ejemplo de la solucion de la ecuacion (8.11). Dada una columna cilndricaimpedida de desplazarse en ambos extremos y bajo la accion del peso propio (ver Figura 3), interesadeterminar la distribucion de tensiones en la altura.

X

u

+

N

Figura 3 Columna bajo la accion de peso propio

El eje x ha sido orientado de abajo a arriba y su origen esta en el extremo inferior, la carga porunidad de longitud es p (x) = A donde = g es el peso especfico del material constitutivo.Notar que en este problema A es constante luego la ecuacion diferencial resulta

EAd2u

dx2= A

y la integracion de la misma resulta sencillamente

d2u

dx2=

Edu (x)

dx=

x0

Edx =

Exx0

+ C =

Ex+ C = (x)

u (x) =

2Ex2 + Cx+D (8.12)

La determinacion de las constantes de integracion (C y D ) se logra imponiendo las condicionesde contorno, en nuestro caso si los extremos de la columna no pueden desplazarse resulta

u(x=0) = D = 0

u(x=L) =

2EL2 + CL+D = 0

4

de la primera D = 0 , llevando a la segunda C = 2E

L y estos valores a (8.12) se tiene

u (x) =

2Ex (x L)

x (x) =du

dx=

E

(x L

2

)N (x) = EAx (x) = A

(x L

2

)Notar entonces, que el desplazamiento u (x) vara en forma cuadratica, vale 0 en los extremos y

es maximo a la mitad de la columna (siempre negativo). La deformacion (x) vara linealmente (ypor lo tanto la tension o el esfuerzo interno N), es nulo a la mitad de la columna, maximo positivo(traccion) en el extremo superior y mnimo negativo (compresion) en la base. Las reacciones en losextremos se obtienen directamente como el valor de N en tales puntos, notando que en el primerextremo x = 0 hay que cambiarle el signo porque la reaccion es el esfuerzo sobre la cara negativa

RL = N(x=L) = AL

2

R0 = N(x=0) = AL

2

El peso de la columna es entonces soportado por mitades en cada extremo.

8.2.4.2. Barra fija en un extremo, libre en el otro y sometida a peso propio

Consideremos el caso de que la columna solo este apoyada en la base. La ecuacion diferencial nocambia, s cambian las condiciones de contorno. En este caso la condicion de contorno del bordesuperior es la que se modifica, ahora corresponde a un borde libre, y debe fijarse del esfuerzo(N = 0 en este caso) o en forma equivalente la deformacion x (0).

La solucion general de la ecuacion diferencial no se modifica (ec. 8.12), lo que hay que recalculares el valor de las constantes de integracion C y D de acuerdo a las nuevas condiciones de borde.Ahora tenemos

u(x=0) = D = 0

du

dx (x=L)=

EL+ C = 0

de donde resulta D = 0, y C = EL, con lo cual:

u (x) =

Ex

(x2 L

)x (x) =

du

dx=

E(x L)

N (x) = EA (x) = A (x L)

Notar que el desplazamiento u (x) vale 0 en la base y crece en forma cuadratica hasta el extremosuperior. El esfuerzo interno N vara linealmente desde un valor maximo negativo (compresion)en la base (de valor igual al peso de la columna), hasta un valor nulo en el extremo superior.Naturalmente todo el peso de la columna esta ahora soportado por el apoyo.

8.2.4.3. Columna conica bajo peso propio

Supongamos una columna conica apoyada en su base y libre en la punta, bajo la accion del pesopropio. En este caso la ecuacion diferencial no es a coeficientes constantes y en general puede

5

X

u

N

Figura 4 Columna bajo la accion de peso propio

demandar herramientas matematicas mas complejas. La ecuacion diferencial a utilizar ahora es laversion (8.10). El area de la seccion es (donde ro es el radio en la base)

A (x) = [r (x)]2 = r2o

(1 x

L

)2La ecuacion a resolver es

d

dx

[Er2o

(1 x

L

)2 dudx

] r2o

(1 x

L

)2= 0

reordenandod

dx

[Er2o

(1 x

L

)2 dudx

]= r2o

(1 x

L

)2integrando una vez

Er2o

(1 x

L

)2 dudx

= r2oL

3

(1 x

L

)3+ C

En el extremo libre debe cumplirse que el primer miembro se anule (N = 0), de donde C = 0.Despejando la derivada

du

dx= L

3E

(1 x

L

)e integrando

u (x) = L2

3E

(x

L 1

2

(xL

)2)+D

valuando en el borde inferior (ux=0 = 0) resulta D = 0, finalmente

u = L2

3E

[x

L 1

2

(xL

)2]Sin embargo en este caso el problema es isostatico y la solucion puede obtenerse en forma

sencilla evaluando primero los esfuerzos, luego las tensiones, con ellas las deformaciones usando laecuacion constitutiva y finalmente integrando los desplazamientos a partir de las deformaciones.Veamos a continuacion los detalles.

La condicion de equilibrio global exige que en cada punto x el esfuerzo N (x) equilibre el pesode la parte superior. Como la columna es conica dicho peso vale (esto es equivalente a integrarp (x) entre x y el extremo libre)

N (x) = V (x) = 13A (x)h (x)

6

donde h (x) = L x es la altura del cono por encima de la seccion. La tension y la deformacionvalen respectivamente

(x) =N (x)

A (x)= 1

3(L x)

(x) = (x)

E=

3E(L x)

luego la ecuacion cinematica 8.2 permite escribir:

du

dx=

3E(L x)

u = 3E

(Lx x

2

2

)+ C =

3ELx

(1 1

2

x

L

)+ C

la constante de integracion C se obtiene usando la condicion u(x=0) = 0,que conduce a C = 0. Eldesplazamiento de la punta u(x=L) resulta entonces

u (L) = 3E

L2(

1 12

)= L

2

6E

8.2.4.4. Columna tronco-conica bajo peso propio

Supongamos una columna similar a la anterior pero truncada a una altura H.

x

+=

F

H

Figura 5 Columna tronco-conica bajo peso propio

Dado que la ecuacion diferencial es lineal, podemos obtener la solucion del problema como lasuma de la solucion del ejemplo anterior mas la solucion del tronco de cono sometido a la fuerzaF igual al peso del cono por encima de la altura H

F = A (H) (LH) = 3

(LH)r2o(

1 HL

)2Llamando u a esta segunda solucion, esta surge de resolver

N (x) = F = EAdu

dx= Er2o

(1 x

L

)2 dudx

despejandodu

dx=

F

Er2o

1(1 x

L

)27

integrando

u (x) =FL

Er2o

1(1 x

L

) + Cla constante C se obtiene con la condicion u(x=0) = 0 con lo cual

C = FLEr2o

u (x) =FL

Er2o

[1(

1 xL

) 1]reemplazando F por su valor, sumando la solucion del ejemplo anterior y reordenando

u (x) = L2

3E

{[x

L 1

2

(xL

)2]+

(1 H

L

)3 [1 1(

1 xL

)]}Notar que esta solucion vale para el tronco de cono (x [0 : H])Por otro lado si se quisiera obtener la solucion de la columna tronco-conica bajo peso propio

pero restringida en ambos extremos, puede obtenerse de la siguiente forma, apelando nuevamentea que la ecuacion diferencial es lineal y que pueden combinarse linealmente soluciones:

1. de la solucion bajo peso propio con borde libre determinamos el desplazamiento del extremosuperior

u(x=H) = L2

3E

{[H

L 1

2

(H

L

)2]+

(1 H

L

)3 [1 1(

1 HL

)]}

2. de la solucion con borde bajo la accion de una carga F = 1 obtenemos el desplazamiento delborde superior

u(x=H) =L

Er2o

[1 1(

1 HL

)]

3. la restriccion de que el borde superior no se desplace implica una reaccion R (una fuerzapuntual aplicada en x = H) tal que:

u(x=H) +Ru(x=H) = 0

de donde puede obtenerse la reaccion correspondiente

R = u(x=H)u(x=H)

y la solucion completa es la suma de la solucion con el borde libre mas la solucion debida ala reaccion R:

u (x) = L2

3E

{[x

L 1

2

(xL

)2]+

(1 H

L

)3 [1 1(

1 xL

)]} + RLEr2o

[1 1(

1 xL

)]

= L2

3E

[x

L 1

2

(xL

)2]+L

E

[R

r2o L

3

(1 H

L

)3] [1 1(

1 xL

)]8

x u

N

P

a

+

+

Pa/L

P(1-a/L)

Figura 6 Columna con carga puntual

8.2.4.5. Columna fija en ambos extremos con una carga puntual.

Veamos ahora como considerar el caso de un carga puntual aplicada a una altura a. La columnaesta restringida de desplazarse en ambos extremos y su seccion es constante.

Para aplicar la ecuacion diferencial resulta necesario dividir el dominio en dos partes [0 : L] =[0 : a] + [a : L], la ecuacion diferencial no tiene termino independiente en todo el dominio

EAd2u

dx2= 0

integrando en [0 : a]

N = EAdu

dx= C1 0 x < a

en a esta la carga puntual que modifica el valor de N . La carga puntual puede interpretarse comosi en un entorno de x = a hay una carga distribuida p = P

de tal forma que la integral en dicho

entorno es:

N(x=a+ 2)= EA

du

dx= C1 +

a+ 2

a 2

(P

)dx = C1 P

de tal forma que en el segundo tramo

N = EAdu

dx= C1 P a < x L

integrando nuevamente

EAu = C1x+ C2 0 x < aEAu = C1x P (x a) + C2 a < x L

La determinacion de las constantes es muy sencilla, valuando la primera e x = 0

EAu(x=0) = C2 = 0

llevando a la segunda y valuando en x = L

EAu(x=L) = C1L P (L a)

C1 = P(1 a

L

)9

La solucion es entonces

u (x) =P

(1 a

L

)EA

x 0 x < a

u (x) =P

(1 a

L

)EA

x PEA

(x a)

=Pa

EA

[1 x

L

]a < x L

La variacion de los desplazamientos es bi-lineal. Los esfuerzos en los extremos valen

en x = 0 N0 = C1 = P(1 a

L

)en x = L NL = C1 P = P

a

L

Notar que la convencion positiva para P es la direccion positiva del eje x, as para una cargaP positiva el esfuerzo en el primer tramo es de traccion y el tramo superior de compresion. Lasreacciones son inversamente proporcionales a su distancia al punto de aplicacion de la carga (verFigura).

8.2.4.6. Columna con movimientos de extremo

Finalmente consideremos el caso de una columna de longitud L, que no tiene carga aplicada(p (x) = 0) pero de la cual se conocen los desplazamientos u0 y uL de sus extremos. La ecuaciondiferencial es (suponiendo que la columna es de seccion constante)

EAdu

dx= 0

cuya integral es sencillamente

du

dx= = C

u (x) = Cx+D

Lo primero que debe notarse, lo cual es sencillo e intuitivo, es que al no haber fuerzas dis-tribuidas el esfuerzo normal N es constante. Luego al haber supuesto AE constante, la deforma-cion es tambien constante en toda la pieza. Las constantes de integracion se calculan a partir delas condiciones

u(x=0) = D = u0

u(x=L) = CL+D = uL

de donde

D = u0 y C =uL u0

L=

u (x) =uL u0

Lx+ u0 = u0

(1 x

L

)+ uL

x

L

donde puede verse que el desplazamiento vara linealmente con xL

entre u0 y uL.Finalmente el esfuerzo normal es

N = EA =EA

L(uL u0) (8.13)

10

La diferencia entre los desplazamientos de los extremos (uL u0) es la elongacion e de la barra yal cociente EA

Lse lo denomina la rigidez axial K de la barra, con dicha notacion

N = Ke

que asimila el comportamiento de una barra al de un resorte de rigidez K.Recordar que debido a la hipotesis de linealidad es posible superponer las acciones y respuestas.

De esta forma es posible evaluar la respuesta de una columna bajo peso propio de la cual se conocenlos desplazamientos de sus extremos como la suma de las soluciones del primer ejemplo y de esteultimo.

8.3. VIGAS EN FLEXION8.3.1. Teora clasica de vigas en flexion pura

Resumiendo lo visto en los captulos 4-6, las hipotesis mas importantes del comportamiento devigas en flexion son (ademas de las de linealidad):

El eje de la viga es recto

La seccion no cambia en todo el tramo.

La direccion normal al plano de la viga es una de las direcciones principales de inercia de laseccion

Supondremos (sin ninguna perdida de generalidad) que el plano de movimiento (o plano decarga) de la viga es el plano (x y) y que el eje x coincide con el eje de la viga. Denominaremoscon v a los desplazamientos en la direccion y.

Las fuerzas externas actuan en la direccion y (no hay fuerzas externas en la direccion axial,si las hubiera la solucion de tal problema es lo tratado en la seccion anterior).

Las tensiones normales en la direccion transversal a la viga (y)son despreciables, esto incluyelas tensiones de contacto debidas a las cargas aplicadas, luego es indistinto que las cargas seapliquen sobre la partes superior, inferior o sobre el eje de la viga.

Las secciones se mantienen planas al deformarse la viga

Las deformaciones debidas al corte transversal son despreciables = 0 . Es decir que lassecciones se mantienen normales al eje deformado.

X

Y

y

dvdx

v

u=- y

1

1

Figura 7 Desplazamientos en vigas. Plano x-y

11

Los desplazamientos u en la direccion x (debidos a la flexion) dependeran del giro de la seccion

=dv

xy variaran linealmente en la altura de la viga con valor nulo en el eje .

u (x, y) = (x) y = dv (x)dx

y (8.14)

En base a lo anterior las unicas deformaciones relevantes son las deformaciones de flexion en ladireccion x, que denominaremos simplemente con . Estas deformaciones varan linealmente en elespesor en funcion de la distancia al eje de la seccion y son proporcionales a la curvatura del eje.

(x, y) =du

dx=

d

dx

(dv (x)

dxy

)= y (8.15)

donde la curvatura del eje originalmente recto queda entonces definida por

(x) =d (x)

dx=d2v

dx2(8.16)

Luego las tensiones en la direccion axial valen

(x, y) = E (x, y) = Ey (8.17)

El esfuerzo normal por hipotesis vale 0, lo que se verifica ya que

N (x) =

A

(x, y) dA =

A

E (x) ydA = E (x)

A

y dA (8.18)

donde la ultima integral indicada es 0 porque el eje pasa por el baricentro de la seccion.El momento flector resulta de integrar el momento de estas tensiones en el area de la seccion

M (x) =

A

(x, y) y dA = E (x)

A

y2dA = E (x) I (8.19)

Esta ultima ecuacion nos provee la relacion constitutiva entre el esfuerzo generalizado (M) yla deformacion generalizada ().

y

x

q(x)

M+ dxdMdx

T T+ dxdTdx

M

dx

Figura 8 Equilibrio en vigas

La ecuacion de equilibrio a la traslacion (vertical) resulta

dT (x)

dx+ q (x) = 0 (8.20)

12

En tanto que la ecuacion de equilibrio de momentos alrededor del eje normal (z) al plano demovimiento (x y) es

T (x) +dM (x)

dx= 0 (8.21)

T (x) = dM (x)dx

(8.22)

Llevando esta ultima a la expresion (8.20) de equilibrio a la traslacion

d2M (x)

dx2+ q (x) = 0 (8.23)

a su vez reemplazando la expresion del momento en funcion de la curvatura (8.19)

d2EI (x)

dx2+ q (x) = 0 (8.24)

y en base a la hipotesis de que la seccion no cambia

EI d2 (x)

dx2+ q (x) = 0 (8.25)

finalmente reemplazando aqu la curvatura en funcion de los desplazamientos (8.16)

EI d4v (x)

dx4+ q (x) = 0 (8.26)

tenemos la ecuacion diferencial de equilibrio de la viga a flexion en funcion de los desplazamientos.Esta ecuacion diferencial ordinaria, lineal, de 4 orden requiere de 4 condiciones de borde, en general2 por extremo. Estas condiciones pueden ser de dos tipos:

de Dirichlet, esenciales, cinematicas o geometricas. Fsicamente podemos imponerlos desplazamientos en un extremo. Estos desplazamientos pueden ser en la direccion y, (esdecir podemos imponer v), o en la direccion x, en este ultimo caso como u depende del giro (8.14) lo que podemos imponer es dv

dx.

de Neumann, naturales o de fuerzas. Fsicamente podemos imponer las fuerzas en unextremo. Estas fuerzas pueden ser el esfuerzo de corte T o el momento flector M energetica-mente asociados respectivamente al desplazamiento vertical v y al giro .

Naturalmente en un mismo extremo pueden tenerse simultaneamente una condicion de cada unapero no las conjugadas, es decir puedo simultaneamente imponer el desplazamiento y el momentoflector (borde simplemente apoyado) o imponer el giro y el corte (condicion de simetra), perono simultaneamente el desplazamiento y el corte, o el giro y el momento. Las combinaciones decondiciones de contorno mas comunes son

Empotramiento v = 0 =dv

dx= 0

Articulacion v = 0M

EI= = d

2v

dx2= 0

Extremo libreT

EI= 1

EI

dM

dx=d3v

dx3= 0

M

EI= = d

2v

dx2= 0

SimetraT

EI= 1

EI

dM

dx=d3v

dx3= 0 =

dv

dx= 0

13

En las expresiones anteriores se indican condiciones de contorno nulas, pero debe entenderseque una condicion de contorno no nula es igualmente tratable.

Resulta importante destacar la convencion de signos utilizada para giros (), curvaturas () ymomentos (M). Las variables giro , y momento flector M son, desde el punto de vista espacial,las componentes sobre la normal al plano de flexion (eje z), de los vectores y M . La convencionutilizada corresponde entonces a que dichos vectores tengan a una componente positiva sobre el ejez . De esta forma resulta que un giro positivo (sentido anti-horario) conduce a desplazamientos upositivos en la parte donde y es negativo (ecuacion 8.14). Esta opcion se hace extensiva al momentoflector, de forma que el momento flector es positivo si tracciona las fibras donde y es negativo (lasinferiores en este caso) de donde resulta el signo en la definicion usual del momento (ecuacion 8.19)y en la expresion de las tensiones en funcion del momento flector

x (x, y) = M (x)

Iy (8.27)

Finalmente la eleccion de la convencion positiva para la curvatura coincide con la del momento.Desde el punto de vista de un problema exclusivamente bi-dimensional a menudo se utiliza unaconvencion contraria a la indicada, esto no acarrea ningun problema en tal caso, pero al estudiarproblemas tridimensionales resulta conveniente que estas variables, que son componentes de unvector, tengan signo positivo si su sentido coincide con la direccion positiva del eje correspondiente.De tal forma que naturalmente a las variables que hemos definido como , y M les agregaremosun subndice z para distinguirlas de las restantes componentes. Ademas sera necesario distinguirlos diferentes momentos de inercia, luego a I le agregaremos un subndice indicando alrededor deque eje estamos tomando momento

Iz =

A

y2dA (8.28)

Finalmente a las fuerzas y esfuerzos se les agregara un subndice indicando la direccion en la cualactuan, es decir

q(x) = qy (x)

T (x) = Ty (x)

Recordar ademas que la distribucion de tensiones de corte transversales al eje de la viga secalcula a partir de la expresion de Jourasky (teora de Collignon). Aqu se incluye la hipotesis deque no hay fuerzas tangenciales aplicadas sobre las caras de la viga, luego por reciprocidad detensiones tangenciales el valor de las tensiones de corte es cero en las caras superior e inferior.Ademas notar que al haber despreciado las deformaciones transversales de corte ( = 0) no hayuna relacion constitutiva que pueda ligar T con , por lo cual el corte T se obtiene de la condicionde equilibrio de momentos (ecuacion 8.22)

8.3.2. Problemas isostaticos

Para que un problema sea isostatico es necesario que dos de las condiciones de contorno seande fuerza (naturales) y dos de desplazamientos (esenciales). Entonces es posible:

1. Determinar reacciones y diagramas de esfuerzos en particular el momento flector como fun-cion de x (M (x)) usando las dos condiciones de contorno de fuerzas:

2. Utilizar la relacion constitutiva generalizada para obtener la curvatura

(x) =M (x)

EI

14

3. Integrar la ecuacion cinematica para obtener giros y desplazamientos

d2v

dx2= (x) =

M (x)

EIdv

dx= (x) =

x0

M (x)

EIdx+ C1

v (x) =

x0

x0

M (x)

EIdx2 + C1x+ C2

4. Usar las condiciones de contorno de desplazamientos para determinar las constantes C1 yC2.

8.3.3. Ejemplos.8.3.3.1. Viga bi-empotrada

Como un primer ejemplo sencillo observemos como obtener la solucion de una viga bi-empotradacon carga uniforme.

d4v (x)

dx4=

q

EI

Lx

Figura 9 Viga empotrada bajo carga uniforme

cuyas condiciones de contorno son

v (x=0) = 0 v(x=L) = 0

dv

dx (x=0)= 0

dv

dx (x=L)= 0

Integrando esta ecuacion diferencial se obtiene

una vezd3v

dx3= 1

EI

x0q (x) dx+ A = T (x)

EI

dos vecesd2v

dx2= 1

EI

x0q (x) dxdx+ Ax+B = M(x)

EI

tres vecesdv

dx= 1

EI

x0q (x) dxdxdx+

Ax2

2+Bx+ C =

cuatro veces v = 1EI

x0q (x) dxdxdxdx+

Ax3

6+Bx2

2+ Cx+D

(8.29)

Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer all las condiciones de biempotramiento tendremos0 0 0 10 0 1 0L3

6L2

2L 1

L2

2L 1 0

ABCD

=

00vq

q

15

Donde hemos denominado con

vq =q

EI

Lx=0

dx4 =qx4

24EI

L0

=qL4

24EI

q =q

EI

Lx=0

dx3 =qx3

6EI

L0

=qL3

6EI

En el sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas resultante, las dos primeras ecuaciones son deresolucion inmediata, [

CD

]=

[00

]lo que puede llevarse a las dos restantes, resultando entonces[

L3

6L2

2L2

2L

] [AB

]=

[vq

q

]= qL

3

6EI

[L/41

]de donde

A = qL2EI

B =qL2

12EI

En consecuencia el momento flector vale

M(x) = q

x0

dxdx+ EI Ax+ EI B = qx2

2 qL

2x+

qL2

12

=qL2

12

[6(xL

)2 6x

L+ 1

]que valuado en los extremos y el centro vale

M(x=0) =qL2

12M(x=L2 )

= qL2

24M(x=L) = +

qL2

12

Para ver el valor de los momentos sobre los empotramientos debe recordarse que hay quecambiar el signo al que actua en el extremo izquierdo (cara negativa). El corte puede obtenersederivando el momento o

T (x) = x

0

q (x) dx EI A = qx+ qL2

nuevamente, las reacciones verticales de apoyo resultan de evaluar el corte en los extremos

Ry(x=0) = T(x=0) = qL

2

Ry(x=L) = T(x=L) = qL

2

En tanto que los desplazamientos son

v (x) =qL4

24EI

(xL

)4 qL

4

12EI

(xL

)3+

qL4

24EI

(xL

)2=

qL4

24EI

[(xL

)4 2

(xL

)3+

(xL

)2]El maximo desplazamiento es en el centro y vale

v(x=L2 )= vmax =

qL4

384EI

16

8.3.3.2. Viga simplemente apoyada bajo carga uniforme

La solucion general es identica al caso anterior (8.29), cambian las condiciones de borde. Ahoraen vez de anular el giro en los extremos hay que anular las curvaturas

(x) =q

EI

x0

x0

dxdx+ Ax+B

(x=0) = B

(x=L) =qL2

2EI+ AL+B

Las cuatro ecuaciones para obtener las constantes resultan ahora0 0 0 10 1 0 0L3

6L2

2L 1

L 1 0 0

ABCD

= qL224EI

00L2

12

de las dos primeras

B = D = 0

de la cuarta puede despejarse A

A = qL2EI

y de la tercera C

C =1

L

{ qL

4

24EI+L3

6

qL

2EI

}=

qL3

24EI

finalmente el desplazamiento y el momento resultan

v (x) =qx4

24EI qL

12EIx3 +

qL3

24EIx =

qL4

24EI

[(xL

)4 2

(xL

)3+

(xL

)]M (x) =

qx2

2 qL

2x =

qL2

2

[(xL

)2

(xL

)]En este caso que es posible conocer los esfuerzos a partir exclusivamente de las condiciones de

equilibrio (estructura isostatica)

R0 = qL

2

T (x) = R0 x

0

q dx =qL

2 qx

M (x) = x

0

T (x) dx = q x

0

(L

2 x

)dx = q

(Lx

2 x

2

2

)Los desplazamientos pueden obtenerse integrando la deformacion generalizada. Determinado

el momento flector es posible escribir:

d2v

dx2=M (x)

EI=qL2

2EI

[(xL

)2

(xL

)]dv

dx=qL2

2EI

x0

[(xL

)2

(xL

)]dx =

qL3

2EI

[1

3

(xL

)3 1

2

(xL

)2+C1L

]v =

qL3

2EI

x0

[1

3

(xL

)3 1

2

(xL

)2+ C1

]dx =

qL4

2EI

[1

12

(xL

)4 1

6

(xL

)3+ C1

(xL

)+ C2

]17

El calculo de las constantes C1 y C2 se hace valuando las condiciones de contorno de desplaza-mientos en ambos extremos (v(x=0) = 0, v(x=L) = 0), lo cual conduce a

C2 = 0 C1 =1

12

luego

v (x) =qL4

24EI

[(xL

)4 2

(xL

)3+

(xL

)]El maximo desplazamiento es en el centro y vale

v(x=L2 )= vmax =

5qL4

384EI

que es 5 veces el desplazamiento maximo del caso biempotrado.

Simp. Apoy.

Empotr.

Figura 10 Elastica de la viga bajo carga uniforme

8.3.3.3. Viga simplemente apoyada bajo carga puntual

La viga es de longitud L y la carga puntual esta aplicada a una distancia aL del apoyo izquierdo

aL

L

PP(1-a)

Pax

T(x)

M(x)

Figura 11 Viga simplemente apoyada bajo carga puntual

Dado que la estructura es isostatica, podemos directamente escribir

d3v

dx3= T (x)

EI=

{PEI

(1 a) 0 < xL< a

PEIa a < x

L< 1

}

(x) =M (x)

EI=

{PLEI

(1 a) xL

0 x aPLEIa

(1 x

L

)a x 1

}para evaluar el giro integramos una vez, en el primer tramo [0, aL] es

1 (x) =PL

EI

x0

(1 a) xLdx+ C1 =

1

2

PL2

EI(1 a) x

2

L2+ C1

18

para el segundo tramo hay que partir de esta solucion evaluada en xa = aL e integrar la curvaturaen esta segunda parte [aL, L]

2 (x) =1

2

PL2

EI(1 a) a2 + C1 +

PL

EI

xaL

a(1 x

L

)dx

=1

2

PL2

EI(1 a) a2 + C1 +

1

2

PL2

EIa

(2x

L x

2

L2

)xaL

operando y ordenando

(x) =

{12

PL2

EI(1 a) x2

L2+ C1 0 xL a

12

PL2

EIa

(a+ 2 x

L x2

L2

)+ C1 a xL 1

}integrando una segunda vez en forma similar

v (x) =

{16

PL3

EI(1 a) x3

L3+ C1L

xL

+ C2 0 xL a16

PL3

EIa

(a2 3a x

L+ 3 x

2

L2 x3

L3

)+ C1L

xL

+ C2 a xL 1

}

Las constantes C1 y C2 resultan de aplicar las condiciones de contorno. La primera condicion decontorno ocurre en x = 0, que corresponde al primer tramo, valuando entonces la primera en x = 0resulta C2 = 0. La segunda condicion de contorno ocurre en x = L, que corresponde al segundotramo, valuando entonces la segunda en x = L

v(x=L) =1

6

PL3

EIa

(a2 3a+ 3 1

)+ C1L = 0

C1 = 1

6

PL2

EIa

(a2 3a+ 2

)de donde

v (x) =

PL3

6EI(1 a)

[x3

L3 a (2 a) x

L

]0 x

L a

PL3

6EIa

[a2 (a2 + 2) x

L+ 3 x

2

L2 x3

L3

]a x

L 1

para x

L= a puede comprobarse que las expresiones de desplazamiento, giro y curvatura coinciden.

En este caso en que la carga no esta centrada, el maximo desplazamiento no se produce bajo lacarga, para determinarlo hay que encontrar el punto donde se anula el giro, por ejemplo si a = 0,4(se aplica en la primera mitad) el desplazamiento maximo ocurre en el segundo tramo, trabajandoentoces con la segunda expresion:

2 (x) =1

6

PL

EIa

[(a2 + 2

)+ 6

x

L 3x

2

L2

]= 0(x

L

)max

= 1

1 (a2 + 2) /3 = 0,471

vmax = (0,01975)PL3

EI(para a = 0,4)

Para el caso particular de a = 12

(carga en el centro de la viga), el desplazamiento del centroes maximo y vale

vmax = 1

48

PL3

EI

NOTA: La integracion de las ecuaciones diferenciales a los fines de calcular los desplazamientospuede resultar muy engorrosa, en particular si las acciones externas no pueden definirse por unaunica curva suave sobre todo el dominio, por ejemplo cargas lineales por tramos o cargas puntuales.

19

El metodo planteado aqu esta orientado a mostrar que es posible realizar tales calculos y no con elobjetivo de establecerlo como un metodo practico de aplicacion habitual. Para el caso de estructurasisostaticas o cuando de alguna forma se conocen los esfuerzos existen formas mas sencillas paraevaluar desplazamientos. As en algunas estructuras isostaticas particulares puede utilizarse elMetodo de la Viga Conjugada o con mayor generalidad una tecnica denominada el Metodo de laCarga Unitaria basada en el Principio de Fuerzas Virtuales que permite evaluar desplazamientosy giros en puntos seleccionados.

8.3.3.4. Viga bi-empotrada bajo carga puntual

Supongamos ahora el mismo ejemplo anterior pero con ambos extremos empotrados. La dife-rencia con el caso simplemente apoyado es que los extremos estan impedidos de girar. La principalventaja de la hipotesis de linealidad es que permite combinar soluciones. En este caso vamosa combinar dos soluciones, la anterior (que indicaremos con el subndice SA) con la definida acontinuacion:

Supongamos una viga sin carga en el interior q = 0

d4v (x)

dx4= 0

cuyas condiciones de borde son desplazamientos nulos en los extremos y giros no nulos conocidosiguales y opuestos a los que se obtienen con la solucion simplemente apoyada:

v(x=0) = 0dv

dx (x=0)= 1 = SA(x=0) =

1

6

PL2

EI

(a3 3a2 + 2a

)v(x=L) = 0

dv

dx (x=L)= 2 = SA(x=L) =

1

6

PL2

EIa

(a2 1

)Como ya vimos antes, integrando esta ecuacion diferencial se obtiene (identica a (8.29) pero

sin q)

una vezd3v

dx3= A = T (x)

EI

dos vecesd2v

dx2= Ax+B = M(x)

EI

tres vecesdv

dx=Ax2

2+Bx+ C =

cuatro veces v =Ax3

6+Bx2

2+ Cx+D

Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer all las condiciones de contorno tendremos0 0 0 10 0 1 0L3

6L2

2L 1

L2

2L 1 0

ABCD

=

0102

con lo cual de las dos primeras se tiene

C = 1

D = 0

20

llevando a las dos ultimas [L3

6L2

2L2

2L

] [AB

]=

[1L2 1

]resolviendo

A =6

L2(1 + 2)

B = 2L

(21 + 2)

y con ello

v (x) = L (1 + 2)(xL

)3 L (21 + 2)

(xL

)2+ L1

x

L

(x) = 3 (1 + 2)(xL

)2 2 (21 + 2)

(xL

)+ 1

M (x) =EI

L

{6 (1 + 2)

x

L 2 (21 + 2)

}=EI

L

{1

[6x

L 4

]+ 2

[6x

L 2

]}T (x) = 6EI

L2{1 + 2}

Si ahora sumamos ambas soluciones reemplazando 1 y 2 por los valores definidos antes, seobtiene la solucion de una viga con una carga puntual cuyos extremos no se desplazan y no giran.El perfil de desplazamiento transversal para el caso particular a = 0,4 se muestra en la Figura.Puede notarse la fuerte disminucion de los desplazamientos al cambiar las condiciones de contorno.

a=0.4L P

Simp. Apoy.Empotr.

12

Figura 12 Elastica de la viga bajo carga puntual.

8.3.4. Flexion en el plano x zCuando la flexion no se restringe a un plano es necesario considerar un segundo grupo de

ecuaciones, que no difieren sustancialmente de las anteriores, solo cambian las denominaciones yel hecho de que el eje normal al plano (y) es entrante al plano en este caso

u (x, z) = y (x) z = dw (x)

dxz (8.30)

(x, z) =du

dx=

d

dx

(dw (x)

dxz

)= yz (8.31)

y (x) =dydx

= d2w

dx2(8.32)

(x, z) = E (x, z) = Eyz (8.33)

My (x) =

A

(x, z) z dA = Ey (x)

A

z2dA = Ey (x) Iy (8.34)

21

X

Z

z

dwdx

w

u= z

1

1

yy

Figura 13 Deformaciones en vigas. Plano x-z

dTz (x)

dx+ qz (x) = 0 (8.35)

Tz (x) =dMy (x)

dx(8.36)

d2My (x)

dx2+ qz (x) = 0 (8.37)

EId2y (x)

dx2+ qz (x) = 0 (8.38)

EI d4w (x)

dx4+ qz (x) = 0 (8.39)

Notar que en este caso la definicion de giros y momentos en el plano x z conduce a despla-zamientos y tensiones longitudinales positivos en la parte donde la coordenada z es positiva.

8.4. VIGAS SOMETIDAS A TORSIONRespecto a la torsion, usando el mismo criterio anterior, consideraremos como positivos los

momentos torsores que vectorialmente coincidan con la direccion positiva del eje x; lo mismodiremos del giro correspondiente. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la torsion de SaintVenant (sin restriccion de alabeo) se dividen en: a) una ecuacion diferencial ordinaria que, conocidala rigidez a torsion, gobierna el comportamiento global de la pieza en funcion de esfuerzos ydeformaciones generalizadas; y b)una ecuacion diferencial en derivadas parciales cuya solucionpermite conocer la distribucion de tensiones de corte sobre la seccion transversal y evaluar larigidez a torsion.

8.4.1. Comportamiento a lo largo del eje de la vigaConduce a una ecuacion diferencial similar (formalmente identica) a la de la barra con esfuerzos

axiales. Observando la Figura 14, el equilibrio entre los momentos actuando en dos seccionestransversales separadas dx y un momento torsor distribuido es

dMxdx

+mx (x) = 0 (8.40)

donde Mx (x) es el momento torsor (esfuerzo interno)

Mx (x) =

A

(xy z + xz y) dA (8.41)

22

Mx

Mx +

dxdM

xdx

mx

dx

Figura 14 Equilibrio de un elemento de barra sometida a momentos torsores

y mx (x) es el momento torsor distribuido aplicado a lo largo del eje.La ecuacion constitutiva asociada es

Mx = GJ = GJ (8.42)

donde J es el momento polar de inercia, es un factor que depende de la forma de la seccion (quesolo es 1 para secciones circulares o anulares cerradas) y de otras condiciones geometricas asociadasa la restriccion de alabeo y la longitud de la pieza, G es el modulo de elasticidad transversal y es el angulo especfico de giro (deformacion generalizada asociada)

=dxdx

(8.43)

El reemplazo de estas ultimas dos ecuaciones en la primera conduce a (para secciones uniformes)

GJd2xdx2

+mx (x) = 0 (8.44)

La determinacion de la rigidez a la torsion GJ no puede hacerse en general en forma exacta(salvo para secciones circulares). En algunos casos pueden utilizarse formulas aproximadas o deberecurrirse a una tecnica numerica como se vera mas adelante.

Las condiciones de contorno que pueden imponerse aqu son (normalmente una en cada ex-tremo)

el giro x , o

el momento torsor Mx

8.4.1.1. Ejemplo de torsion con flexion

Supongamos un eje circular bajo una carga distribuida qz excentrica que (ademas de flexion enel plano xz) produce un momento torsor distribuido mx = qz e (ver Figura 15). Es importanterecordar que los distintos esfuerzos estan desacoplados, por lo cual la solucion de este problemaconsiste en resolver en forma independiente: a) la flexion en el plano x z debida a la cargadistribuida y las condiciones de contorno a flexion que tenga (no estan indicadas en la figura) b)la torsion debida a la aplicacion excentrica de la carga que es lo que interesa en este punto.

Respecto a las condiciones de borde supongamos que los giros en los extremos estan impuestosde valor 1 y 2

23

1

2

e

q

Figura 15 torsion de un eje

La ecuacion diferencial a resolver es (con = 1)

d2xdx2

=qze

GJdx (x)

dx=qze

GJx+ C = (x)

x (x) =qze

GJ

x2

2+ Cx+D

Las constantes de integracion se determinan en funcion de las condiciones de contorno

x (x = 0) = D = 1

x (x = L) =qze

GJ

L2

2+ CL+D = 2

de donde

D = 1

C = qzeGJ

L

2+

(2 1)L

con lo cual (reordenando)

x (x) =qze

GJ

x

2(x L) + 1 +

x

L(2 1)

(x) =qze

GJ

(x L

2

)+

(2 1)L

Mt (x) = qze

(x L

2

)+GJ

(2 1)L

Debido a la linealidad de la ecuacion diferencial, al mismo resultado se llega si se analizan porseparado la influencia de la carga y de las condiciones de contorno de giros impuestos. La solucionencontrada puede verse como la combinacion (suma) de las siguientes soluciones

debido al momento torsor distribuido con condiciones de contorno de giros nulos en losextremos. Esto se conoce como solucion de la ecuacion diferencial no-homogenea (con terminoindependiente no nulo) y condiciones de contorno homogeneas (giros nulos), y se la denominasolucion particular porque depende de la distribucion de carga. En este caso vale

Px (x) =qze

GJ

x

2(x L)

MPt (x) = qze

(x L

2

)24

debido a cada una de las condiciones de contorno (en forma separada) y sin carga de tramo.Esto se conoce como solucion general de la ecuacion diferencial homogenea (termino inde-pendiente nulo) y condiciones de contorno no-homogeneas (giros no nulos en general). Quevale

Hx (x) = 1 +x

L(2 1)

MHt (x) = GJ(2 1)

L

La ultima expresion es similar a (8.13) y define la rigidez torsional de la viga GJL

, como larelacion entre el momento torsor aplicado y la diferencia entre los giros de sus extremos

8.4.2. Comportamiento en el plano de la seccion

Traducido de Foundations of Solids Mechanics, Y.C. Fung, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1969.Las notas a pie de pagina son notas propias para un mejor comprension del tema.

8.4.2.1. Funcion de alabeo

El problema de la torsion de un cuerpo prismatico ilustra una aplicacion de la teora de laelasticidad. Una pieza prismatica con un eje x, esta solicitado en su extremos por una distribucionde tensiones de corte cuyo fuerza resultante es nula, pero cuyo momento resultante es un torqueMt. La superficie lateral de la pieza esta libre de tensiones (ver. Figura 16).

Si la pieza es un cilindro circular, es muy facil mostrar que todas las secciones normales aleje x permanecen planas, y que la deformacion consiste en rotaciones relativas de las seccionestransversales. El cambio de rotacion por unidad de longitud d/dx es proporcional al momentoMx, con una constante de proporcionalidad igual al producto del modulo de corte transversal Gdel material de la pieza, y al momento polar de inercia J del area transversal de la pieza

GJd

dx= Mx. (8.45)

La unica componente de tension no-nula es el corte en la seccion transversal perpendicular ax, cuya magnitud es

=Mxr

J(8.46)

donde r es el radio vector desde el eje baricentrico x.Si la seccion transversal no es circular, la seccion transversal originalmente plana no se mantiene

plana; se alabea, como se muestra en la Figura 16. El problema es calcular la distribucion detensiones y la deformacion de la pieza.

Este es un problema importante en ingeniera porque muchas piezas prismaticas son usualmenteusadas para trasmitir momentos torsores. La mas famosa solucion del problema es debida a Barrede Saint Venant (1855), que uso la aproximacion denominada semi-inversa, esto es un metodoen el cual se adivina parte de la solucion (es decir se hace una hipotesis) y se intenta determinarel resto en forma racional de tal forma que se satisfagan todas las ecuaciones de equilibrio y decontorno del problema. El problema de torsion no es simple. Saint Venant, guiado por la soluciondel eje circular, hizo una hipotesis brillante y mostro que puede obtenerse una solucion exacta deun problema bien definido.

Consideremos entonces una pieza prismatica con un eje x, con extremos en x = 0 y x = L.Utilizaremos un sistema de ejes cartesianos x, y, z, donde el plano y z es perpendicular al eje dela pieza. Las componentes de desplazamiento en las direcciones x, y, z, se denominaran por u, v,w respectivamente. Saint Venant supuso que cuando la pieza se retuerce, la seccion transversal sealabea pero las proyecciones sobre el plano y z rotan como un cuerpo rgido; es decir

25

Figura 16 Torsion de barras de seccion cuadrada y elptica, como las dibujara Saint Venant

u (x, y, z) = u (y, z)

v (x, y, z) = xz (8.47)w (x, y, z) = xy

donde u (y, z) es alguna funcion de y y z, denominada la funcion de alabeo, y es el angulo detorsion por unidad de longitud de la pieza que se supone que es muy pequeno ( 1). Se espera quela funcion u (y, z) pueda satisfacer las ecuaciones diferenciales de equilibrio (sin fuerzas masicas)

xx

+yxy

+zxz

= 0

xyx

+yy

+zyz

= 0 (8.48)

zxx

+zyy

+zz

= 0

las condiciones de borde sobre la superficie lateral de la pieza

xyy + xzz = 0

yy + yzz = 0 (8.49)

yzy + zz = 0

y las condiciones de contorno en los extremos x = 0 y x = L:

x = 0

(8.50)

xy, xz equivalentes al torsor Mx

Las constantes y, z, son los cosenos directores de la normal saliente a la superficie lateral(x = 0).

26

A partir de (8.47) se obtienen las tensiones usando la ley de Hooke1

xy = G

(u

y z

), xz = G

(u

z+ y

)xy = x = y = z = 0

La sustitucion de estos valores en la ecuacion (8.48) muestran que las ecuaciones de equilibriose satisfacen si la u (y, z) satisface la ecuacion

2u

y2+2u

z2= 0 (8.52)

en todos los puntos de la seccion transversal del cilindro. Para satisfacer las condiciones de borde(8.49), debe tenerse (

u

y z

)cos (, y) +

(u

z+ y

)cos (, z) = 0 (8.53)

en C, donde C es el contorno de la seccion transversal R (ver Figura 17). Pero

RC

y

z

dydz

ds (v,y)=vy

(v,z)=vz

Figura 17 notacion

u

ycos (, y) +

u

zcos (, z) u

(8.54)

en consecuencia, la condicion de contorno (8.53) puede escribirse como

u

= z cos (, y) y cos (, z) (8.55)

en C.Las condiciones de contorno (8.4.2.1) se satisfacen si:

R

xy dy dz = 0,

R

xz dy dz = 0 (8.56)

1La deformacion de corte se define en los cursos de elasticidad como

xy =u

y+

v

x=

y( u (y, z)) +

x(xz) =

(u

y z

)xz =

u

z+

w

x=

z( u (y, z)) +

x(xy) =

(u

z+ y

)

27

R

(yxz zxy) dy dz = Mx (8.57)

Puede demostrarse que las ecuaciones (8.56) ya se satisfacen identicamente si u satisface (8.52)y (8.55) porque:

R

xy dy dz = G

R

(u

y z

)dy dz

= G

R

{

y

[y

(u

y z

)]+

z

[y

(u

z+ y

)]}dy dz

dado que u satisface (8.52). Aplicando el teorema de Gauss2 a la ultima integral, se convierte enuna integral de lnea sobre el contorno C de la region R:

G

C

y

{u

z cos (y, ) + y cos (z, )

}ds

que se anula a partir de (8.55). Similarmente se satisface la segunda de las ecuaciones (8.56).Finalmente, la ultima condicion (8.57) requiere que:

Mx = G

R

(y2 + z2 +

u

zy zu

y

)dy dz (8.58)

denominando con J a la integral

J =

R

(y2 + z2 +

u

zy zu

y

)dy dz (8.59)

se tieneMx = GJ (8.60)

Esto solo muestra que el momento torsor es proporcional al angulo especfico de torsion, conuna constante de proporcionalidad GJ, la cual se denomina habitualmente rigidez torsional de lapieza. El valor de J representa el momento polar de inercia de la seccion solo cuando la secciontransversal es circular. Sin embargo convencionalmente se mantiene la notacion GJ para la rigideztorsional, incluso para secciones no circulares.

En consecuencia, vemos que el problema de torsion se reduce a la solucion de las ecuaciones(8.52) y (8.55). La solucion conduce a una distribucion de tensiones xy, xz. Si los extremos de lapieza estan libres de alabearse, y si las tensiones prescritas en los caras extremas son exactamentelas mismas dadas por la solucion, entonces se ha obtenido la solucion exacta y esa solucion esunica. Si la distribucion de tensiones actuante sobre las secciones extremas, aunque equivalentes almomento torsor Mx , no coinciden exactamente con las dadas por la expresion (8.51), entonces setiene una solucion aproximada del problema. De acuerdo al principio propuesto por el mismo SaintVenant, el error en la aproximacion es solo significativo en la vecindad de las secciones extremas.

La ecuacion (8.52) es una ecuacion potencial ; las soluciones de la misma se denominan funcionesarmonicas. La misma ecuacion aparece en hidrodinamica. La condicion de contorno (8.55) es similaral de un flujo potencial en hidrodinamica con velocidad normal prescripta sobre el contorno. Enel problema hidrodinamico, la condicion para la existencia de una solucion es que el flujo total atraves del contorno debe anularse. Traducido a nuestro problema, la condicion para existencia de

2El teorema de Gauss o de la divergencia (en dos dimensiones) expresa que la integral de la divergencia de unafuncion vectorial f en un area cerrada A es igual a la integral del flujo de la funcion a traves del contorno delarea

Adiv(f) dA =

f ds ( es la normal al contorno) o escrito en componentes

A

(fyy +

fzz

)dy dz =

(fy y + fzz) ds

En la expresion utilizada fy = y(

uy z

)y fz = y

(uz + y

). Notar ademas que se ha utilizado (8.54)

28

una solucion u es que la integral de la derivada normal al contorno de la funcion u calculada sobretodo el contorno C, debe anularse. Esto se deduce de la identidad

C

u

ds =

R

div (grad u) dx dy =

R

2u dx dy (8.61)

donde

2 = 2

y2+

2

z2

y del hecho de que 2u = 0. Esta condicion se satisface en nuestro caso por (8.55), como puedemostrarse facilmente. En consecuencia, nuestro problema se reduce a la solucion de un problemapotencial (denominado problema de Neumann) sujeto a la condicion de contorno (8.55).

8.4.2.2. Funcion de tension

Una aproximacion alternativa fue propuesta por Prandtl, que toma a las componentes detension como las incognitas principales. Si suponemos que las unicas componentes de tension nonulas son xy, xz, entonces las ecuaciones de equilibrio (8.48) se satisfacen si se cumple que

xyy

+xzz

= 0 (8.62)

Prandtl observo que esta ecuacion es identicamente satisfecha si xy y xz se derivan de unafuncion de tension (y, z) de la forma

xy =

zxz =

y(8.63)

Esta ecuacion se corresponde con la funcion de corriente en hidrodinamica si xy y xz seidentifican con las componentes de velocidad. Aunque puede ser arbitraria en lo concernienteal equilibrio, el sistema de tensiones (8.63) debe satisfacer las condiciones de contorno (8.49)y (8.4.2.1), y condiciones de compatibilidad. En ausencia de fuerzas masicas las condiciones decompatibilidad requieren que3:

2xy = 0 2xz = 0

es decir2xyy2

+2xyz2

= 02xzy2

+2xzz2

= 0

en consecuencia a partir de (8.63)

2xz =(2xz2y

+2xzz2

)=

2

y2

y

2

z2

y=

y

(2

y2+2

z2

)=

y2 = 0

(8.64)

2xy =(2xy2y

+2xyz2

)=

2

y2

z+

2

z2

z=

z

(2

y2+2

z2

)=

z2 = 0

3Las condiciones de compatibilidad (ver cualquier texto de elasticidad) resultan de exigir igualdad de derivadassegundas cruzadas de componentes de deformaciones

(por ejemplo

2xyyz =

2xyzy

), y a partir de su definicion en

funcion de los desplazamientos establecer condiciones de la forma

ij,kl + kl,ij ik,jl jl,ik = 0

que usando la ley de Hooke pueden escribirse en funcion de tensiones

29

con lo cual2 = cte. (8.65)

De las condiciones de borde (8.49) solo la ultima no se satisface en forma identica. Si notamosa partir de la Figura 17 que:

y = cos (, y) =dz

dsz = cos (, z) =

dy

ds(8.66)

podemos escribir la ultima de las (8.49) como

z

dz

ds+

y

dy

ds=d

ds= 0 en C (8.67)

En consecuencia debe ser constante a lo largo de la curva de contorno C. Para una seccionsimplemente conexa, sin perdida de generalidad puede establecerse

= 0 en C (8.68)

Si la seccion transversal ocupa una region R que es multiplemente conexa, deben imponersecondiciones de compatibilidad adicionales ( = cte. sobre cada curva cerrada del contorno).

Resta examinar las condiciones de contorno en los extremos (8.4.2.1). La primera x = 0,resulta de las hipotesis iniciales. Las otras condiciones estan definidas en (8.56) y (8.57). Ahora

R

xy dx dy =

R

zdx dy

Por el teorema de Gauss, esta es

Cy ds y se anula de acuerdo con (8.68). En forma similar

se anula la resultante de fuerzas en la direccion z. Por lo tanto las ecuaciones (8.56) se anulan.Finalmente la ecuacion (8.57) requiere que:

Mx =

R

(y

y+ z

z

)dy dz

que usando el teorema de Gauss puede transformarse en:

Mx =

R

{

y(y) +

z(z) 2

}dy dz

=

C

{y cos (, y) + z cos (, z)} ds+

R

2 dy dz (8.69)

Si R es una region simplemente conexa, la integral de lnea se anula debido a la condicion (8.68).En consecuencia

Mx =

R

2 dy dz

Entonces, todas las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno referidas a tensionesse satisfacen si obedece las ecuaciones (8.65), (8.68) y (8.69). Pero permanece indeterminada laconstante de la expresion (8.65). Esta constante tiene que ser determinada por las condiciones decontorno de desplazamientos. De las ecuaciones (8.47) y (8.51) se tiene

u

y=xyG

+ zu

z=xzG y (8.70)

derivando con respecto a z y a y respectivamente, y haciendo la diferencia, se obtiene

1

G

(xyz

xzy

)= 2

30

usando (8.63) da2

y2+2

z2= 2G (8.71)

De esta forma, el problema de torsion de reduce a la solucion de la ecuacion de Laplace (8.71) concondiciones de borde (8.68).

Con cualquiera de las dos aproximaciones bosquejadas arriba, el problema de torsion se reducea un problema estandar de la teora de potenciales en dos dimensiones. Tales problemas potencialestambien ocurren en los campos hidrodinamico, gravitacional, electricidad estatica, flujo de calorestacionario, etc. Mucho se ha trabajado sobre estos problemas potenciales y muchas solucionesespeciales han sido obtenidas y estan disponibles. La herramienta mas poderosa4 para la teorade potenciales en dos dimensiones viene de la teora de funciones en variable compleja. (fin de latraduccion)

8.4.2.3. Ejemplos

La solucion de la ecuacion biarmonica (8.52) o (8.71) puede realizarse en forma cerrada (analtica-mente) solo para secciones de geometra sencilla y en general limitadas a ser materialmente ho-mogeneas. Una segunda posibilidad es obtener soluciones aproximada utilizando tecnicas numeri-cas. Una de las mas versatiles es el Metodo de Elementos Finitos, que permite tratar geometrasarbitrarias, simple y multiplemente conexas e incluso compuestas por diferentes materiales. Opera-tivamente el metodo de elementos finitos requiere dividir la seccion en un numero finito de partes(los elementos) que ocupan toda la seccion y no se superponen. En problemas bi-dimensionalescomo el que nos ocupa los elementos pueden ser triangulos o cuadrilateros. Esta division se de-nomina discretizacion y lo que resulta se denomina malla de elementos finitos. La precision de losresultados depende de la malla, una malla mas refinada conduce en general a una mejor aproxi-macion. A continuacion veremos unos pocos ejemplos utilizando la primera de las posibilidades dela ecuacion biarmonica. Notar que utilizar la funcion de alabeo tiene la ventaja de que permite nosolo calcular las tensiones de corte sino que permite visualizar como es el alabeo de la seccion.

8.4.2.3.1. Torsion de una seccion cuadrada En la figura 18 se muestran los resultadosobtenidos para una seccion cuadrada. Deben notarse los siguientes aspectos.

Se ha graficado solo un cuarto de la seccion por razones de simetra.

El alabeo sobre las lneas de simetra es nulo. La diagonal es ademas lnea de simetra yque por lo tanto el alabeo es nulo sobre esta lnea. En la figura 18.a se muestra la seccionalabeada, la Figura 18.b muestra este alabeo como lneas de nivel, observar que el alabeo esmaximo sobre los contornos aproximadamente en los puntos (1; 0,6) y (0,6; 1)

En la Figura 18.c se muestran las direcciones de las tensiones de corte magnificadas por suvalor. La tensiones de corte son normales a las lneas de simetra y tangentes a los contornos.Los valores maximos se alcanzan a la mitad de los lados (1;0) (0,1). En la Figura 18.d se hagraficado la componente zx.

El lado del cuadrado es 2, el momento polar de inercia es 2.67. El valor equivalente que seobtiene es 2.25

8.4.2.3.2. Torsion de una seccion doble T Un segundo ejemplo, donde una solucion exactaes imposible, es un perfil doble T. En la Figura 19 se muestran los mismos resultados presentadospara la seccion cuadrada. La mayores tensiones de corte se concentran en las alas, donde hay unavariacion cuasi lineal entre la parte superior e inferior de la misma.

4desde el punto de vista analtico

31

Y0.2

0.4

0.6

0.8

1

Z

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0E+00-1.5E+05-3.0E+05-4.5E+05-6.0E+05-7.5E+05-9.0E+05-1.1E+06-1.2E+06-1.4E+06-1.5E+06

Y

Z

0 0.5 10

0.5

1

0.110.060.01

-0.05-0.10-0.15

Figura 18 torsion de una seccion cuadrada

2.6E+051.8E+051.0E+052.0E+04

-6.0E+04-1.4E+05-2.2E+05-3.0E+05

Y0 0.2

0.4

Z

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

Z

0 0.50

0.5

1

0.600.480.360.240.120.00

Figura 19 torsion de una seccion doble-T

8.4.2.3.3. Torsion de un tubo cuadrado Este tercer ejemplo corresponde a un tubo cuadra-do donde habitualmente se utiliza la formula de Bredt. En la Figura 20 se muestran los resultadosobtenido por elementos finitos. En este caso se ha ampliado los resultados en las esquinas dondela formula de Bredt no aproxima correctamente las tensiones de corte debido a que la curva quedefine el permetro presenta un quiebre de 90 grados. En la Figura 20.c, puede verse que el flujode las fuerzas de corte es practicamente uniforme a poco que nos alejemos de la esquina, peroall hay fuertes gradientes. En la Figura 20.d se ha graficado el modulo de la tension de corte paraacentuar lo expresado antes.

32

En este ejemplo y en el anterior debe notarse que los perfiles laminados no presentan losangulos vivos presentes en la geometra utilizada y que las concentraciones de tensiones no sontan marcadas. En la Figura 21 se muestran los resultados obtenidos sobre un tubo cuadrado deidenticas dimensiones al anterior pero sin angulos vivos en las intersecciones de las paredes. Puedenotarse all la continuidad del flujo de corte y la suavidad de la solucion numerica

1.6E+061.4E+061.2E+061.0E+068.0E+056.0E+054.0E+052.0E+050.0E+00

Y

Z

1

1

0.0600.0360.012

-0.012-0.036-0.060

Figura 20 torsion de un tubo cuadrado

33

Y

Z

1

1

0.0600.0360.012

-0.012-0.036-0.060

1.5E+061.4E+061.3E+061.2E+061.1E+061.0E+069.0E+058.0E+057.0E+05

Figura 21 torsion de un tubo cuadrado con esquinas curvas

34