Capítulo 8

ECUACIONES DIFERENCIALESCálculo de desplazamientos

Dr. Fernando Flores

8.1. INTRODUCCIÓNEn este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas.

En general se recurre al denominado método de equilibrio o método de los desplazamientos, queconsiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos.Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problemade flexión y finalmente el de torsión. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con suscorrespondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y girosde un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dichaintegración.

8.2. VIGAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXIALES

8.2.1. Ecuación diferencial

Recordemos la hipótesis de Bernoullí: “durante la deformación de una pieza recta sometida aesfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma”, lo cual conducea que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo axial en su baricéntro mecánicose deforman una misma magnitud εx. Esta deformación εx puede escribirse en función de losdesplazamiento axiales u como

εx =du

dx(8.1)

Una expresión diferencial que relaciona una medida de deformación (εx) con componentes de des-plazamiento (u) se denomina una relación (o ecuación) cinemática. La expresión de la deformaciónespecífica εx (x) (8.1) resulta de comparar (ver Figura 8.2.1) la longitud del elemento diferencial

antes (ds = dx) y después que se desplace(ds∗ = dx+

du

dxdx

)ε (x) =

ds∗ − dsds

=du (x)

dx(8.2)

1

x x+dx

x+u

u

x+dx+u+ dxdudx

u+duds ds*

Figura 8.1: Deformación de un elemento diferencial de barra

La tensión en cada punto de la sección se obtiene a partir de la ley de Hooke

σx = E εx (8.3)

Una expresión que relaciona una medida de tensión (σx) con una medida de deformación (εx) sedenomina una relación constitutiva (define el comportamiento mecánico del material constitutivo).Si la sección es homogénea será la misma tensión para todos los puntos de la sección. Recordemosque el esfuerzo axial N se define como la integral de las tensiones axiales sobre la sección:

N =

ˆA

σx dA (8.4)

=

ˆA

Eεx dA (8.5)

si la sección es homogéneaN = σx A = EA εx (8.6)

si la sección no es homogénea se define el valor

EA =

ˆA

E dA (8.7)

N = EA εx (8.8)

Consideremos una barra de sección transversal A (constante o de variación suave, ver Figura8.2.1) sometida a una carga distribuida p (x) en la dirección del eje de la barra. Se ha supuestoque la variación de la sección es suficientemente suave de tal forma que es aceptable la hipótesis deBernoulli de que la deformación εx es uniforme en cada sección. El elemento diferencial de barra(una rebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial dx.

El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externasactuando sobre el mismo

dN (x)

dx+ p (x) = 0 (8.9)

Reemplazando (8.6) y (8.2) en (8.9) resulta

d

(EA (x)

du

dx

)dx

+ p (x) = 0 (8.10)

Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplifica a:

EAd2u

dx2+ p (x) = 0 (8.11)

Que es una ecuación diferencial:

2

ordinaria: es función de una única coordenada x,

de segundo orden: el máximo orden de derivación que aparece es 2,

lineal : no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas

a coeficientes constantes : los coeficientes que multiplican a la incógnita y sus derivadas nodependen de la coordenada x.

Para resolver esta ecuación debe conocerse, además de la carga externa p (x), cuales son lascondiciones de contorno o borde. La cantidad de condiciones de contorno que pueden y debenfijarse es 2 (el orden de la ecuación) y en general una en cada extremo de la barra. Estas puedenser de desplazamiento (fijar el valor de u) o de fuerza (fijar el valor de N o equivalentemente el deε).

8.2.2. Problemas isostáticos

Cuando el problema es isostático, esto es cuando es suficiente con las condiciones de equilibriopara determinar los esfuerzos, puede resultar más sencillo primero obtener los esfuerzos N (x), conestos las deformaciones ε (x) usando la ley de Hooke y luego los desplazamientos u integrando laecuación cinemática. Es decir:

1. a partir de la ecuación de equilibrio 8.9 donde una de las dos condiciones de contorno debeser de fuerza (supongamos en el extremo Final x = L), se obtiene N (x) como:

N (x) = N (L) +

ˆ L

x

p (x) dx

2. Con los esfuerzos se obtienen las deformaciones usando la ley de Hooke 8.6

ε (x) =N (x)

EA

3. Integramos la ecuación cinemática 8.2 utilizando la segunda condición de contorno (en elextremo opuesto a la de fuerzas) que debe ser de desplazamientos (en este caso supuesto enel extremo en x = 0)

u (x) = u(0) +

ˆ x

0

ε (x) dx

NN + dx

dNdx

dx

Xp(x)

Figura 8.2: Equilibrio de un elemento diferencial de barra

3

8.2.3. Combinación de soluciones

En buena parte de los problemas de ingeniería resulta aceptable la hipótesis de linealidad uti-lizada en esta parte del curso. En tal caso es posible sumar las soluciones de una misma estructuracon distintas cargas y/o diferentes condiciones de contorno para obtener una nueva solución. Esdecir que si dada una barra definida por su geometría (longitud y sección) y material, se conocendos soluciones u1 (x) y u2 (x) para estados de carga p1 (x) y p2 (x) y condiciones de contorno cc1

y cc2 respectivamente

EAd2u

dx2+ p1 (x) = 0 + cc1 =⇒ u1 (x)

EAd2u

dx2+ p2 (x) = 0 + cc2 =⇒ u2 (x)

entonces

u (x) = α u1 (x) + β u2 (x)

es solución de

EAd2u

dx2+ [α p1 (x) + β p2 (x)] = 0 + [α cc1 + β cc2]

donde α y β son coeficientes arbitrarios.Es importante notar que

1. La estructura aislada debe ser la misma (misma geometría y material)

2. La “suma” de las condiciones de contorno implica sumar todas las variables de interés endichos puntos. Si las condiciones de contorno en cada extremo son del mismo tipo la suma esdirecta. Sin embargo muchas veces las condiciones de contorno de las soluciones combinadasson de distinto tipo, por lo que la condición resultante en el contono es la suma de lassoluciones en el contorno. Por ejemplo si en el extremo x = L la solución 1 tiene unacondición de fuerza N1 (L) = P y la solución 2 tiene una condición de desplazamientou (L) = u, la condición resultante debe interpretarse como u (L) = α u1 (L) + β u2 (L) oN (L) = α N1 (L) + β N2 (L).

8.2.4. Ejemplos

8.2.4.1. Barra fija en ambos extremos y sometida a peso propio

Veamos un primer ejemplo de la solución de la ecuación (8.11). Dada una columna cilíndricaimpedida de desplazarse en ambos extremos y bajo la acción del peso propio (ver Figura 8.2.4.1),interesa determinar la distribución de tensiones en la altura.

El eje x ha sido orientado de abajo a arriba y su origen está en el extremo inferior, la carga porunidad de longitud es p (x) = −γA donde γ = ρg es el peso específico del material constitutivo.Notar que en este problema A es constante luego la ecuación diferencial resulta

EAd2u

dx2= Aγ

4

x u

εσN

γΑ +

−

-

Figura 8.3: Columna bajo la acción de peso propio

y la integración de la misma resulta sencillamente1

d2u

dx2=γ

Edu (x)

dx=

ˆ x

0

γ

Edx =

γ

Ex∣∣∣x0

+ C =γ

Ex+ C = ε (x)

u (x) =γ

2Ex2 + Cx+D (8.12)

La determinación de las constantes de integración (C y D ) se logra imponiendo las condicionesde contorno, en nuestro caso si los extremos de la columna no pueden desplazarse resulta

u(x=0) = D = 0

u(x=L) =γ

2EL2 + CL+D = 0

de la primera D = 0 , llevando a la segunda C = − γ

2EL y estos valores a (8.12) se tiene

u (x) =γ

2Ex (x− L)

εx (x) =du

dx=γ

E

(x− L

2

)N (x) = EAεx (x) = γA

(x− L

2

)1La integral se plantea entre el primer extremo y un valor genérico de x

ˆ x

0

d2u

dx2dx =

ˆ x

0

d

dx

(du

dx

)dx =

du

dx

∣∣∣∣x0

=du

dx(x)− du

dx(0) = −

ˆ x

0

qx (x)

EAdx

que se re-escribredu

dx(x) = −

ˆ x

0

qx (x)

EAdx+

du

dx(0)

de la misma forma ˆ x

0

du

dx(x) dx = u (x)− u (0) = −

ˆ x

0

qx (x)

EAdx+

du

dx(0)x

u (x) = −ˆ x

0

ˆ x

0

qx (x)

EAdxdx+

du

dx(0)x+−u (0)

y habitualmente se reemplaza el valor de dudx (0) y u (0) por constantes C y D

5

Notar entonces, que el desplazamiento u (x) varía en forma cuadrática, vale 0 en los extremos yes máximo a la mitad de la columna (siempre negativo). La deformación ε (x) varía linealmente (ypor lo tanto la tensión σ y el esfuerzo internoN), es nulo a la mitad de la columna, máximo positivo(tracción) en el extremo superior y mínimo negativo (compresión) en la base. Las reacciones en losextremos se obtienen directamente como el valor de N en tales puntos, notando que en el primerextremo x = 0 hay que cambiarle el signo porque la reacción es el esfuerzo sobre la cara negativade la sección (es decir que la normal saliente a la sección va en la dirección negativa del eje x)

RL = N(x=L) = γAL

2

R0 = −N(x=0) = γAL

2

El peso de la columna es entonces soportado por mitades en cada extremo.

8.2.4.2. Barra fija en un extremo, libre en el otro y sometida a peso propio

Consideremos ahora el caso de que la misma columna del ejemplo anterior sólo este apoyadaen la base. La ecuación diferencial no cambia, sí cambian las condiciones de contorno. En este casola condición de contorno del borde superior es la que se modifica, ahora corresponde a un bordelibre, y debe fijarse el esfuerzo (N = 0 en este caso) o en forma equivalente la deformación (εx = 0en este caso).

La solución general de la ecuación diferencial no se modifica (ec. 8.12), lo que hay que recalculares el valor de las constantes de integración C y D de acuerdo a las nuevas condiciones de borde.Ahora tenemos

u(x=0) = D = 0

du

dx (x=L)=γ

EL+ C = 0

de donde resulta D = 0, y C = − γEL, con lo cual:

u (x) =γ

Ex(x

2− L

)εx (x) =

du

dx=γ

E(x− L)

N (x) = EAε (x) = γA (x− L)

Notar que el desplazamiento u (x) vale 0 en la base y crece en forma cuadrática hasta el extremosuperior. El esfuerzo interno N varía linealmente desde un valor máximo negativo (compresión)en la base (de valor igual al peso de la columna), hasta un valor nulo en el extremo superior.Naturalmente todo el peso de la columna está ahora soportado por el apoyo.

8.2.4.3. Columna cónica bajo peso propio

Supongamos una columna cónica apoyada en su base y libre en la punta, bajo la acción delpeso propio. En este caso la ecuación diferencial no es a coeficientes constantes y en generalen estos casos puede demandar herramientas matemáticas más complejas. La ecuación diferenciala utilizar ahora es la versión (8.10). El área de la sección es (donde ro es el radio en la base)

A (x) = π [r (x)]2 = πr2o

(1− x

L

)2

6

x u

εσN

γΑ

−

-

Figura 8.4: Columna bajo la acción de peso propio

La ecuación a resolver es

d

dx

[Eπr2

o

(1− x

L

)2 du

dx

]− γπr2

o

(1− x

L

)2

= 0

reordenandod

dx

[Eπr2

o

(1− x

L

)2 du

dx

]= γπr2

o

(1− x

L

)2

integrando una vez

Eπr2o

(1− x

L

)2 du

dx= −πr

2oγL

3

(1− x

L

)3

+ C

En el extremo libre debe cumplirse que el primer miembro se anule (N = 0), de donde C = 0.Despejando la derivada

du

dx= −γL

3E

(1− x

L

)e integrando

u (x) = −γL2

3E

(x

L− 1

2

(xL

)2)

+D

valuando en el borde inferior (ux=0 = 0) resulta D = 0, finalmente

u = −γL2

3E

[x

L− 1

2

(xL

)2]

Sin embargo en este caso el problema es isostático y la solución puede obtenerse en formasencilla evaluando a) primero los esfuerzos, b) luego las tensiones, c) con ellas las deformacionesusando la ecuación constitutiva y d) finalmente integrando los desplazamientos a partir de lasdeformaciones. Veamos a continuación los detalles.

La condición de equilibrio global exige que en cada punto x el esfuerzo N (x) equilibre el pesode la parte superior. Como la columna es cónica dicho peso vale (esto es equivalente a integrarp (x) entre x y el extremo libre x = L)

N (x) = −γˆ L

x

A (x) dx = −γV (x) = −γ 1

3A (x)h (x)

7

donde h (x) = L − x es la altura del cono por encima de la sección. La tensión y la deformaciónvalen respectivamente

σ (x) =N (x)

A (x)= −γ 1

3(L− x)

ε (x) =σ (x)

E= − γ

3E(L− x)

luego la ecuación cinemática 8.2 permite escribir:

du

dx= − γ

3E(L− x)

u = − γ

3E

(Lx− x2

2

)+ C = − γ

3ELx

(1− 1

2

x

L

)+ C

la constante de integración C se obtiene usando la condición u(x=0) = 0, que conduce a C = 0 conlo cual se completa la solución del problema. El desplazamiento de la punta u(x=L) resulta:

u (L) = − γ

3EL2

(1− 1

2

)= −γL

2

6E

8.2.4.4. Columna tronco-cónica bajo peso propio

El presente ejemplo muestra como combinar dos soluciones. Supongamos una columna similara la anterior pero truncada a una altura H.

x

γΑ

+=

γΑ

F

H

Figura 8.5: Columna tronco-cónica bajo peso propio

Dado que la ecuación diferencial es lineal, podemos obtener la solución del problema como lasuma de la solución del ejemplo anterior mas la solución del tronco de cono sometido a la fuerzaF igual al peso del cono por encima de la altura H

F = γA (H) (L−H) =γ

3(L−H) πr2

o

(1− H

L

)2

Llamando u a esta segunda solución, esta surge de resolver

N (x) = F = EAdu

dx= Eπr2

o

(1− x

L

)2 du

dx

despejandodu

dx=

F

Eπr2o

1(1− x

L

)2

8

integrando

u (x) =FL

Eπr2o

1(1− x

L

) + C

la constante C se obtiene con la condición u(x=0) = 0 con lo cual

C = − FL

Eπr2o

u (x) =FL

Eπr2o

[1(

1− xL

) − 1

]reemplazando F por su valor, sumando la solución del ejemplo anterior y reordenando

u (x) = −γL2

3E

{[x

L− 1

2

(xL

)2]

+

(1− H

L

)3[

1− 1(1− x

L

)]}

Notar que esta solución vale para el tronco de cono (x ∈ [0 : H])Por otro lado si se quisiera obtener la solución de la columna tronco-cónica bajo peso propio

pero restringida en ambos extremos, puede obtenerse de la siguiente forma, apelando nuevamentea que la ecuación diferencial es lineal y que pueden combinarse linealmente soluciones:

1. de la solución bajo peso propio con borde libre determinamos el desplazamiento del extremosuperior

u(x=H) = −γL2

3E

{[H

L− 1

2

(H

L

)2]

+

(1− H

L

)3[

1− 1(1− H

L

)]}

2. de la solución con borde bajo la acción de una carga F = 1 obtenemos el desplazamientodel borde superior

u(x=H) =L

Eπr2o

[1− 1(

1− HL

)]

3. la restricción de que el borde superior no se desplace implica una reacción R (una fuerzapuntual aplicada en x = H) tal que:

u(x=H) +Ru(x=H) = 0

de donde puede obtenerse la reacción correspondiente

R = −u(x=H)

u(x=H)

y la solución completa es la suma de la solución con el borde libre más la solución debida ala reacción R:

u (x) = −γL2

3E

{[x

L− 1

2

(xL

)2]

+

(1− H

L

)3[

1− 1(1− x

L

)]}+RL

Eπr2o

[1− 1(

1− xL

)]

= −γL2

3E

[x

L− 1

2

(xL

)2]

+L

E

[R

πr2o

− γL

3

(1− H

L

)3][

1− 1(1− x

L

)]

9

x u

εσN

P

a

−

+

+

Pa/L

P(1-a/L)

Figura 8.6: Columna con carga puntual

8.2.4.5. Columna fija en ambos extremos con una carga puntual.

Veamos ahora como considerar el caso de un carga puntual aplicada a una altura a. La columnaestá restringida de desplazarse en ambos extremos y su sección es constante.

La ecuación diferencial no tiene término independiente en todo el dominio

EAd2u

dx2= 0

Debido a que la carga puntual P implica una discontinuidad en N en x = a, para integrar laecuación diferencial resulta necesario dividir el dominio en dos partes [0 : L] = [0 : a] + [a : L],integrando en [0 : a]

N = EAdu

dx= C1 0 ≤ x < a

en a está la carga puntual que modifica el valor de N . La carga puntual puede interpretarse comosi en un entorno δ de x = a hay una carga distribuida p = P

δde tal forma que la integral en dicho

entorno δ es:

N(x=a+ δ2) = EA

du

dx= C1 +

ˆ a+ δ2

a− δ2

(−Pδ

)dx = C1 − P

de tal forma que en el segundo tramo

N = EAdu

dx= C1 − P a < x ≤ L

integrando nuevamente en cada tramo por separado

EAu = C1x+ C2 0 ≤ x < a

EAu = C1x− P (x− a) + C2 a < x ≤ L

La determinación de las constantes es muy sencilla, valuando la primera e x = 0

EAu(x=0) = C2 = 0

llevando a la segunda y valuando en x = L

EAu(x=L) = C1L− P (L− a)

C1 = P(

1− a

L

)10

La solución es entonces

u (x) =P(1− a

L

)EA

x 0 ≤ x < a

u (x) =P(1− a

L

)EA

x− P

EA(x− a)

=Pa

EA

[1− x

L

]a < x ≤ L

La variación de los desplazamientos es bi-lineal. Los esfuerzos en los extremos valen

en x = 0 N0 = C1 = P(

1− a

L

)en x = L NL = C1 − P = −P a

L

Notar que la convención positiva para P es la dirección positiva del eje x, así para una cargaP positiva el esfuerzo en el primer tramo es de tracción y el tramo superior de compresión. Lasreacciones son inversamente proporcionales a su distancia al punto de aplicación de la carga (verFigura).

8.2.4.6. Columna con movimientos de extremo

Finalmente consideremos el caso de una columna de longitud L, que no tiene carga aplicada(p (x) = 0) pero de la cual se conocen los desplazamientos u0 y uL de sus extremos. La ecuacióndiferencial es (suponiendo que la columna es de sección constante)

EAdu

dx= 0

cuya integral es sencillamente

du

dx= ε = C

u (x) = Cx+D

Lo primero que debe notarse, lo cual es sencillo e intuitivo, es que al no haber fuerzas distri-buidas el esfuerzo normal N es constante. Luego al haber supuesto AE constante, la deformaciónes también constante en toda la pieza. Las constantes de integración se calculan a partir de lascondiciones

u(x=0) = D = u0

u(x=L) = CL+D = uL

de donde

D = u0 y C =uL − u0

L= ε

u (x) =uL − u0

Lx+ u0 = u0

(1− x

L

)+ uL

x

L

donde puede verse que el desplazamiento varía linealmente con xLentre u0 y uL.

Finalmente el esfuerzo normal es

N = EAε =EA

L(uL − u0) (8.13)

11

La diferencia entre los desplazamientos de los extremos (uL − u0) es la elongación e de la barra yal cociente EA

Lse lo denomina la rigidez axial K de la barra, con dicha notación

N = Ke

que asimila el comportamiento de una barra al de un resorte de rigidez K.Recordar que debido a la hipótesis de linealidad es posible superponer las acciones y respuestas.

De esta forma es posible evaluar la respuesta de una columna bajo peso propio de la cual se conocenlos desplazamientos de sus extremos como la suma de las soluciones del primer ejemplo y de esteúltimo.

8.3. VIGAS EN FLEXIÓN

8.3.1. Teoría clásica de vigas en flexión pura

Resumiendo lo visto en los capítulos 4-6, las hipótesis más importantes del comportamientode vigas en flexión son (además de las de linealidad):

El eje de la viga es recto

La sección no cambia en todo el tramo.

La dirección normal al plano de la viga es una de las direcciones principales de inercia de lasección

Supondremos (sin ninguna perdida de generalidad) que el plano de movimiento (o plano de carga)de la viga es el plano (x− y) y que el eje x coincide con el eje de la viga. Denominaremos con v alos desplazamientos en la dirección y.

1. Las fuerzas externas actúan en la dirección y (no hay fuerzas externas en la dirección axialx, si las hubiera la solución de tal problema es lo tratado en la sección anterior).

2. Las tensiones normales en la dirección transversal a la viga (σy) son despreciables, estoincluye las tensiones de contacto debidas a las cargas aplicadas, luego es indistinto que lascargas se apliquen sobre la partes superior, inferior o sobre el eje de la viga.

3. Las secciones se mantienen planas al deformarse la viga

4. Las deformaciones debidas al corte transversal son despreciables γ = 0 . Es decir que lassecciones se mantienen normales al eje deformado.

Las últimas dos (3 y 4) conforman la hipótesis de Bernoulli-Navier, la (3) expresa que losdesplazamientos u en la dirección x (debidos a la flexión) dependerán del giro de la sección φ yvariarán linealmente en la altura de la viga con valor nulo en el eje

u (x, y) = −φ (x) y = −dv (x)

dxy (8.14)

donde la segunda igualdad resulta de (4).En base a lo anterior las únicas deformaciones relevantes son las deformaciones de flexión en la

dirección x, que denominaremos simplemente con ε. Estas deformaciones varían linealmente en elespesor en función de la distancia al baricentro de la sección y son proporcionales a la curvaturadel eje.

ε (x, y) =du

dx=

d

dx

(−dv (x)

dxy

)= −χy (8.15)

12

X

Y

y

φ

dvdx

v

u=- yφ

1

1

Figura 8.7: Desplazamientos en vigas. Plano x-y

donde la curvatura del eje originalmente recto queda entonces definida por

χ (x) =dφ (x)

dx=d2v

dx2(8.16)

Luego las tensiones en la dirección axial valen

σ(x, y) = Eε (x, y) = −E χ (x) y (8.17)

El esfuerzo normal por hipótesis vale 0, lo que se verifica ya que

N (x) =

ˆA

σ (x, y) dA =

ˆA

−Eχ (x) ydA = −Eχ (x)

ˆA

y dA (8.18)

donde la última integral indicada es 0 porque el eje pasa por el baricentro de la sección.El momento flector resulta de integrar el momento de estas tensiones en el área de la sección

M (x) = −ˆA

σ (x, y) y dA = Eχ (x)

ˆA

y2dA = Eχ (x) I (8.19)

Esta última ecuación nos provee la relación constitutiva entre el esfuerzo generalizado (M) yla deformación generalizada (χ).

La ecuación de equilibrio a la traslación (vertical) resulta

dT (x)

dx+ q (x) = 0 (8.20)

En tanto que la ecuación de equilibrio de momentos alrededor del eje normal (z) al plano demovimiento (x− y) es

T (x) +dM (x)

dx= 0 (8.21)

T (x) = −dM (x)

dx(8.22)

Llevando esta última a la expresión (8.20) de equilibrio a la traslación

−d2M (x)

dx2+ q (x) = 0 (8.23)

13

y

x

q(x)

M+ dxdMdx

T T+ dxdTdx

M

dx

Figura 8.8: Equilibrio en vigas

a su vez reemplazando la expresión del momento en función de la curvatura (8.19)

−d2EIχ (x)

dx2+ q (x) = 0 (8.24)

y en base a la hipótesis de que la sección es constante en toda la pieza

−EI d2χ (x)

dx2+ q (x) = 0 (8.25)

finalmente reemplazando aquí la curvatura en función de los desplazamientos (8.16)

−EI d4v (x)

dx4+ q (x) = 0 (8.26)

tenemos la ecuación diferencial de equilibrio de la viga a flexión en función de los desplazamientos.Esta ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 4 orden requiere de 4 condiciones de borde, en general2 por extremo. Estas condiciones pueden ser de dos tipos:

de Dirichlet, esenciales, cinemáticas o geométricas. Físicamente podemos imponerlos desplazamientos en un extremo. Estos desplazamientos pueden ser en la dirección y, (esdecir podemos imponer v), o en la dirección x, en este último caso como u depende del giroφ (8.14) lo que podemos imponer es dv

dx.

de Neumann, naturales o de fuerzas. Físicamente podemos imponer las fuerzas en unextremo. Estas fuerzas pueden ser el esfuerzo de corte T o el momento flector M energéti-camente asociados respectivamente al desplazamiento vertical v y al giro φ.

Naturalmente en un mismo extremo pueden tenerse simultáneamente una condición de cada unapero no las conjugadas, es decir puedo simultáneamente imponer el desplazamiento y el momentoflector (borde simplemente apoyado) o imponer el giro y el corte (condición de simetría), perono simultáneamente el desplazamiento y el corte, o el giro y el momento. Las combinaciones decondiciones de contorno más comunes son

14

Empotramiento v = 0 φ =dv

dx= 0

Articulación v = 0M

EI= χ =

d2v

dx2= 0

Extremo libreT

EI= − 1

EI

dM

dx= −d

3v

dx3= 0

M

EI= χ =

d2v

dx2= 0

SimetríaT

EI= − 1

EI

dM

dx= −d

3v

dx3= 0 φ =

dv

dx= 0

En las expresiones anteriores se indican condiciones de contorno nulas, pero debe entenderseque una condición de contorno no nula es igualmente tratable.

Resulta importante destacar la convención de signos utilizada para giros (φ), curvaturas (χ) ymomentos (M). Las variables giro φ, y momento flector M son, desde el punto de vista espacial,las componentes sobre la normal al plano de flexión (eje z), de los vectores φ y M . La convenciónutilizada corresponde entonces a que dichos vectores tengan una componente positiva sobre el ejez . De esta forma resulta que un giro positivo (sentido anti-horario) conduce a desplazamientosu positivos en la parte donde y es negativo (ecuación 8.14). Esta opción se hace extensiva almomento flector, de forma que el momento flector es positivo si tracciona las fibras donde y esnegativo (las inferiores en este caso) de donde resulta el signo en la definición usual del momento(ecuación 8.19) y en la expresión de las tensiones en función del momento flector

σx (x, y) = −M (x)

Iy (8.27)

Finalmente la elección de la convención positiva para la curvatura χ coincide con la del momento.Desde el punto de vista de un problema exclusivamente bi-dimensional a menudo se utiliza unaconvención contraria a la indicada, esto no acarrea ningún problema en tal caso, pero al estudiarproblemas tridimensionales resulta conveniente que estas variables, que son componentes de unvector, tengan signo positivo si su sentido coincide con la dirección positiva del eje correspondiente.De esta forma naturalmente a las variables que hemos definido como φ, χ y M les agregaremosun subíndice z para distinguirlas de las restantes componentes. Además será necesario distinguirlos diferentes momentos de inercia, luego a I le agregaremos un subíndice indicando alrededor deque eje estamos tomando momento

Iz =

ˆA

y2dA (8.28)

Finalmente a las fuerzas externas y a los esfuerzos internos se les agregará un subíndice indicandola dirección en la cual actúan, es decir

q(x) = qy (x)

T (x) = Ty (x)

Recordar además que la distribución de tensiones de corte transversales al eje de la viga secalcula a partir de la expresión de Jourasky (teoría de Collignon). Aquí se incluye la hipótesis deque no hay fuerzas tangenciales aplicadas sobre las caras de la viga, luego por reciprocidad detensiones tangenciales el valor de las tensiones de corte es cero en las caras superior e inferior.Además notar que al haber despreciado las deformaciones transversales de corte (γ = 0) no hayuna relación constitutiva que pueda ligar T con γ, por lo cual el corte T se obtiene de la condiciónde equilibrio de momentos (ecuación 8.22)

15

8.3.2. Problemas isostáticos

Para que un problema sea isostático es necesario que dos de las condiciones de contorno seande fuerza (naturales) y dos de desplazamientos (esenciales). Entonces es posible:

1. Determinar reacciones y diagramas de esfuerzos en particular el momento flector como fun-ción de x (M (x)) usando las dos condiciones de contorno de fuerzas:

2. Utilizar la relación constitutiva generalizada para obtener la curvatura

χ (x) =M (x)

EI

3. Integrar la ecuación cinemática para obtener giros y desplazamientos

d2v

dx2= χ (x) =

M (x)

EIdv

dx= φ (x) =

ˆ x

0

M (x)

EIdx+ C1

v (x) =

ˆ x

0

ˆ x

0

M (x)

EIdx2 + C1x+ C2

4. Usar las condiciones de contorno de desplazamientos para determinar las constantes C1 yC2.

8.3.3. Ejemplos.

8.3.3.1. Viga bi-empotrada

Como un primer ejemplo sencillo observemos como obtener la solución de una viga bi-empotradacon carga uniforme.

d4v (x)

dx4=

q

EI

Lx

q

Figura 8.9: Viga empotrada bajo carga uniforme

cuyas condiciones de contorno son

v(x=0) = 0 v(x=L) = 0

dv

dx (x=0)= 0

dv

dx (x=L)= 0

16

Integrando esta ecuación diferencial se obtiene

una vezd3v

dx3= 1

EI

´ x0q (x) dx+ A = −T (x)

EI

dos vecesd2v

dx2= 1

EI

´ ´ x0q (x) dxdx+ Ax+B = M(x)

EI

tres vecesdv

dx= 1

EI

´ ´ ´ x0q (x) dxdxdx+

Ax2

2+Bx+ C = φ

cuatro veces v = 1EI

´ ´ ´ ´ x0q (x) dxdxdxdx+

Ax3

6+Bx2

2+ Cx+D

(8.29)

Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de biempotramiento tendremos0 0 0 10 0 1 0L3

6L2

2L 1

L2

2L 1 0

ABCD

= −

00vq

φq

Donde hemos denominado con

vq =q

EI

ˆ L

x=0

dx4 =qx4

24EI

∣∣∣∣L0

=qL4

24EI

φq =q

EI

ˆ L

x=0

dx3 =qx3

6EI

∣∣∣∣L0

=qL3

6EI

En el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas resultante, las dos primeras ecuaciones son deresolución inmediata, [

CD

]=

[00

]lo que puede llevarse a las dos restantes, resultando entonces[

L3

6L2

2L2

2L

] [AB

]= −

[vq

φq

]= − qL

3

6EI

[L/4

1

]de donde

A = − qL

2EIB =

qL2

12EIEn consecuencia el momento flector vale

M(x) = q

ˆ ˆ x

0

dxdx+ EI Ax+ EI B = qx2

2− qL

2x+

qL2

12

=qL2

12

[6(xL

)2

− 6x

L+ 1

]que valuado en los extremos y el centro vale

M(x=0) =qL2

12M(x=L

2 ) = −qL2

24M(x=L) = +

qL2

12

Para ver el valor de los momentos sobre los empotramientos debe recordarse que hay quecambiar el signo al que actúa en el extremo izquierdo (cara negativa). El corte puede obtenersederivando el momento o

T (x) = −ˆ x

0

q (x) dx− EI A = −qx+qL

2

17

nuevamente, las reacciones verticales de apoyo resultan de evaluar el corte en los extremos

Ry(x=0) = −T(x=0) = −qL2

Ry(x=L) = T(x=L) = −qL2

En tanto que los desplazamientos son

v (x) =qL4

24EI

(xL

)4

− qL4

12EI

(xL

)3

+qL4

24EI

(xL

)2

=qL4

24EI

[(xL

)4

− 2(xL

)3

+(xL

)2]

El máximo desplazamiento es en el centro y vale

v(x=L2 ) = vmax =

qL4

384EI

8.3.3.2. Viga simplemente apoyada bajo carga uniforme

La solución general es idéntica al caso anterior (8.29), cambian las condiciones de borde. Ahoraen vez de anular el giro en los extremos hay que anular las curvaturas

χ (x) =q

EI

ˆ x

0

ˆ x

0

dxdx+ Ax+B

χ(x=0) = B

χ(x=L) =qL2

2EI+ AL+B

Las cuatro ecuaciones para obtener las constantes resultan ahora0 0 0 10 1 0 0L3

6L2

2L 1

L 1 0 0

ABCD

= − qL2

24EI

00L2

12

de las dos primeras

B = D = 0

de la cuarta puede despejarse A

A = − qL

2EI

y de la tercera C

C =1

L

{− qL4

24EI+L3

6

qL

2EI

}=

qL3

24EI

finalmente el desplazamiento y el momento resultan

v (x) =qx4

24EI− qL

12EIx3 +

qL3

24EIx =

qL4

24EI

[(xL

)4

− 2(xL

)3

+(xL

)]M (x) =

qx2

2− qL

2x =

qL2

2

[(xL

)2

−(xL

)]

18

En este caso, que es posible evaluar los esfuerzos a partir exclusivamente de las condiciones deequilibrio (estructura isostática), se puede hacer:

R0 = −qL2

T (x) = −R0 −ˆ x

0

q dx =qL

2− qx

M (x) = −ˆ x

0

T (x) dx = −qˆ x

0

(L

2− x)dx = −q

(Lx

2− x2

2

)y obtener los desplazamientos integrando la deformación generalizada:

d2v

dx2=M (x)

EI=qL2

2EI

[(xL

)2

−(xL

)]dv

dx=qL2

2EI

ˆ x

0

[(xL

)2

−(xL

)]dx =

qL3

2EI

[1

3

(xL

)3

− 1

2

(xL

)2

+C1

L

]v =

qL3

2EI

ˆ x

0

[1

3

(xL

)3

− 1

2

(xL

)2

+ C1

]dx =

qL4

2EI

[1

12

(xL

)4

− 1

6

(xL

)3

+ C1

(xL

)+ C2

]El cálculo de las constantes C1 y C2 se hace valuando las condiciones de contorno de desplaza-mientos en ambos extremos (v(x=0) = 0, v(x=L) = 0), lo cual conduce a

C2 = 0 C1 =1

12

luego

v (x) =qL4

24EI

[(xL

)4

− 2(xL

)3

+(xL

)]El máximo desplazamiento es en el centro y vale

v(x=L2 ) = vmax =

5qL4

384EI

que es 5 veces el desplazamiento máximo del caso biempotrado.

Simp. Apoy.

Empotr.

Figura 8.10: Elástica de la viga bajo carga uniforme

8.3.3.3. Viga simplemente apoyada bajo carga puntual

La viga es de longitud L y la carga puntual está aplicada a una distancia aL del apoyo izquierdoDado que la estructura es isostática, podemos directamente escribir

d3v

dx3= −T (x)

EI=

{PEI

(1− a) 0 < xL< a

− PEIa a < x

L< 1

}19

aL

L

PP(1-a)

Pax

T(x)

M(x)

Figura 8.11: Viga simplemente apoyada bajo carga puntual

χ (x) =M (x)

EI=

{PLEI

(1− a) xL

0 ≤ x ≤ aPLEIa(1− x

L

)a ≤ x ≤ 1

}para evaluar el giro integramos una vez, en el primer tramo [0, aL] es

φ1 (x) =PL

EI

ˆ x

0

(1− a)x

Ldx+ C1 =

1

2

PL2

EI(1− a)

x2

L2+ C1

para el segundo tramo hay que partir de esta solución evaluada en xa = aL e integrar la curvaturaen esta segunda parte [aL, L]

φ2 (x) =1

2

PL2

EI(1− a) a2 + C1 +

PL

EI

ˆ x

aL

a(

1− x

L

)dx

=1

2

PL2

EI(1− a) a2 + C1 +

1

2

PL2

EIa

(2x

L− x2

L2

)∣∣∣∣xaL

operando y ordenando

φ (x) =

{12PL2

EI(1− a) x2

L2 + C1 0 ≤ xL≤ a

12PL2

EIa(−a+ 2 x

L− x2

L2

)+ C1 a ≤ x

L≤ 1

}

integrando una segunda vez en forma similar

v (x) =

{16PL3

EI(1− a) x3

L3 + C1LxL

+ C2 0 ≤ xL≤ a

16PL3

EIa(a2 − 3a x

L+ 3 x

2

L2 − x3

L3

)+ C1L

xL

+ C2 a ≤ xL≤ 1

}

Las constantes C1 y C2 resultan de aplicar las condiciones de contorno. La primera condición decontorno ocurre en x = 0, que corresponde al primer tramo, valuando entonces la primera en x = 0resulta C2 = 0. La segunda condición de contorno ocurre en x = L, que corresponde al segundotramo, valuando entonces la segunda en x = L

v(x=L) =1

6

PL3

EIa(a2 − 3a+ 3− 1

)+ C1L = 0

C1 = −1

6

PL2

EIa(a2 − 3a+ 2

)de donde

v (x) =

PL3

6EI(1− a)

[x3

L3 − a (2− a) xL

]0 ≤ x

L≤ a

PL3

6EIa[a2 − (a2 + 2) x

L+ 3 x

2

L2 − x3

L3

]a ≤ x

L≤ 1

20

para xL

= a puede comprobarse que las expresiones de desplazamiento, giro y curvatura coinciden.Otra forma de expresar lo anterior es:

v (x) =

{PL3

6EI(1− a)

[x3

L3− a (2− a)

x

L+

⟨(xL− a)3⟩]}

donde el término entre 〈〉 sólo se considera en la segunda part ([a : 1])En este caso en que la carga no está centrada, el máximo desplazamiento no se produce bajo la

carga, para determinarlo hay que encontrar el punto donde se anula el giro, por ejemplo si a = 0,4(se aplica en la primera mitad) el desplazamiento máximo ocurre en el segundo tramo, trabajandoentoces con la segunda expresión:

φ2 (x) =1

6

PL

EIa

[(a2 + 2

)+ 6

x

L− 3

x2

L2

]= 0(x

L

)max

= 1−√

1− (a2 + 2) /3 = 0,471

vmax = −(0,01975)PL3

EI(para a = 0,4)

Para el caso particular de a = 12(carga en el centro de la viga), el desplazamiento del centro

es máximo y vale

vmax = − 1

48

PL3

EI

NOTA: La integración de las ecuaciones diferenciales a los fines de calcular los desplazamientospuede resultar muy engorrosa, en particular si las acciones externas no pueden definirse por unaúnica curva suave sobre todo el dominio, por ejemplo cargas lineales por tramos o cargas puntuales.El método planteado aquí está orientado a mostrar que es posible realizar tales cálculos y nocon el objetivo de establecerlo como un método práctico de aplicación habitual. Para el caso deestructuras isostáticas o cuando de alguna forma se conocen los esfuerzos existen formas mássencillas para evaluar desplazamientos. Así en algunas estructuras isostáticas particulares puedeutilizarse el Método de la Viga Conjugada o con mayor generalidad una técnica denominada elMétodo de la Carga Unitaria basada en el Principio de Fuerzas Virtuales que permite evaluardesplazamientos y giros en puntos seleccionados.

8.3.3.4. Viga bi-empotrada bajo carga puntual

Supongamos ahora el mismo ejemplo anterior pero con ambos extremos empotrados. La dife-rencia con el caso simplemente apoyado es que los extremos están impedidos de girar. La principalventaja de la hipótesis de linealidad es que permite combinar soluciones. En este caso vamosa combinar dos soluciones, la anterior (que indicaremos con el subíndice SA) con la definida acontinuación:

Supongamos una viga sin carga en el interior q = 0

d4v (x)

dx4= 0

cuyas condiciones de borde son desplazamientos nulos en los extremos y giros no nulos conoci-dos iguales y opuestos a los que se obtienen con la solución simplemente apoyada:

v(x=0) = 0dv

dx (x=0)= φ1 = −φSA(x=0) =

1

6

PL2

EI

(a3 − 3a2 + 2a

)v(x=L) = 0

dv

dx (x=L)= φ2 = −φSA(x=L) =

1

6

PL2

EIa(a2 − 1

)21

Como ya vimos antes, integrando esta ecuación diferencial se obtiene (idéntica a (8.29) perosin q)

una vezd3v

dx3= A = −T (x)

EI

dos vecesd2v

dx2= Ax+B = M(x)

EI

tres vecesdv

dx=Ax2

2+Bx+ C = φ

cuatro veces v =Ax3

6+Bx2

2+ Cx+D

Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de contorno tendremos0 0 0 10 0 1 0L3

6L2

2L 1

L2

2L 1 0

ABCD

=

0φ1

0φ2

con lo cual de las dos primeras se tiene

C = φ1

D = 0

llevando a las dos últimas [L3

6L2

2L2

2L

] [AB

]=

[−φ1Lφ2 − φ1

]resolviendo

A =6

L2(φ1 + φ2)

B = − 2

L(2φ1 + φ2)

y con ello

v (x) = L (φ1 + φ2)(xL

)3

− L (2φ1 + φ2)(xL

)2

+ Lφ1x

L

φ (x) = 3 (φ1 + φ2)(xL

)2

− 2 (2φ1 + φ2)(xL

)+ φ1

M (x) =EI

L

{6 (φ1 + φ2)

x

L− 2 (2φ1 + φ2)

}=EI

L

{φ1

[6x

L− 4]

+ φ2

[6x

L− 2]}

T (x) = −6EI

L2{φ1 + φ2}

Si ahora sumamos ambas soluciones reemplazando φ1 y φ2 por los valores definidos antes, seobtiene la solución de una viga con una carga puntual cuyos extremos no se desplazan y no giran.El perfil de desplazamiento transversal para el caso particular a = 0,4 se muestra en la Figura.Puede notarse la fuerte disminución de los desplazamientos al cambiar las condiciones de contorno.

22

a=0.4L P

Simp. Apoy.Empotr.

φ1−φ2

Figura 8.12: Elástica de la viga bajo carga puntual.

X

Z

z

−φ

dwdx

w

u= zφ

1

1

yy

Figura 8.13: Deformaciones en vigas. Plano x-z

8.3.4. Flexión en el plano x− zCuando la flexión no se restringe a un plano principal de inercia, es necesario analizar separa-

damente lo que ocurre en cada uno de dichos planos. Para ello hay que utilizar un segundo grupode ecuaciones, que no difieren sustancialmente de las anteriores, sólo cambian las denominacionesy el hecho de que el eje normal al plano (y) es entrante al plano en este caso

u (x, z) = φy (x) z = −dw (x)

dxz (8.30)

ε (x, z) =du

dx=

d

dx

(−dw (x)

dxz

)= χyz (8.31)

χy (x) =dφydx

= −d2w

dx2(8.32)

σ(x, z) = Eε (x, z) = Eχyz (8.33)

My (x) =

ˆA

σ (x, z) z dA = Eχy (x)

ˆA

z2dA = Eχy (x) Iy (8.34)

dTz (x)

dx+ qz (x) = 0 (8.35)

Tz (x) =dMy (x)

dx(8.36)

23

d2My (x)

dx2+ qz (x) = 0 (8.37)

EId2χy (x)

dx2+ qz (x) = 0 (8.38)

−EI d4w (x)

dx4+ qz (x) = 0 (8.39)

Notar que en este caso la definición de giros y momentos en el plano x− z conduce a despla-zamientos y tensiones longitudinales positivos en la parte donde la coordenada z es positiva.

8.4. VIGAS SOMETIDAS A TORSIÓNRespecto a la torsión, usando el mismo criterio anterior, consideraremos como positivos los

momentos torsores que vectorialmente coincidan con la dirección positiva del eje x; lo mismodiremos del giro correspondiente. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la torsión de SaintVenant (sin restricción de alabeo) se dividen en: a) una ecuación diferencial ordinaria que, conocidala rigidez a torsión, gobierna el comportamiento global de la pieza en función de esfuerzos ydeformaciones generalizadas; y b)una ecuación diferencial en derivadas parciales cuya soluciónpermite conocer la distribución de tensiones de corte sobre la sección transversal y evaluar larigidez a torsión.

8.4.1. Comportamiento a lo largo del eje de la viga

Conduce a una ecuación diferencial similar (formalmente idéntica) a la de la barra con esfuerzosaxiales. Observando la Figura 8.4.1, el equilibrio entre los momentos actuando en dos seccionestransversales separadas dx y un momento torsor distribuido es

dMx

dx+mx (x) = 0 (8.40)

donde Mx (x) es el momento torsor (esfuerzo interno)

Mx (x) =

ˆA

(−τxy z + τxz y) dA (8.41)

y mx (x) es el momento torsor distribuido aplicado a lo largo del eje.La ecuación constitutiva asociada es

Mx = GρJθ = GItθ (8.42)

donde J es el momento polar de inercia, ρ es un factor que depende de la forma de la sección (quesólo es 1 para secciones circulares o anulares cerradas) y de otras condiciones geométricas asociadasa la restricción de alabeo y la longitud de la pieza, G es el módulo de elasticidad transversal y θes el ángulo específico de giro (deformación generalizada asociada)

θ =dφxdx

(8.43)

El reemplazo de estas últimas dos ecuaciones en la primera conduce a (para secciones uniformes)

GItd2φxdx2

+mx (x) = 0 (8.44)

24

Mx

Mx +

dxdM

xdx

mx

dx

Figura 8.14: Equilibrio de un elemento de barra sometida a momentos torsores

La determinación de la rigidez a la torsión GIt no puede hacerse en general en forma exacta(salvo para secciones circulares). En algunos casos pueden utilizarse fórmulas aproximadas o deberecurrirse a una técnica numérica como se verá más adelante.

Las condiciones de contorno que pueden imponerse aquí son (normalmente una en cada extre-mo)

el giro φx , o

el momento torsor Mx

8.4.1.1. Ejemplo de torsión con flexión

Supongamos un eje circular bajo una carga distribuida qz excéntrica que (además de flexiónen el plano x − z) produce un momento torsor distribuido mx = −qz e (ver Figura 8.4.1.1). Esimportante recordar que los distintos esfuerzos están desacoplados, por lo cual la solución de esteproblema consiste en resolver en forma independiente: a) la flexión en el plano x − z debida ala carga distribuida y las condiciones de contorno a flexión que tenga (no están indicadas en lafigura) b) la torsión debida a la aplicación excéntrica de la carga que es lo que interesa en estepunto.

Respecto a las condiciones de borde supongamos que los giros en los extremos están impuestosde valor φ1 y φ2

φ1

φ2

e

q

Figura 8.15: torsión de un eje

25

La ecuación diferencial a resolver es (con ρ = 1 e It = J)

d2φxdx2

=qze

GJdφx (x)

dx=qze

GJx+ C = θ (x)

φx (x) =qze

GJ

x2

2+ Cx+D

Las constantes de integración se determinan en función de las condiciones de contorno

φx (x = 0) = D = φ1

φx (x = L) =qze

GJ

L2

2+ CL+D = φ2

de donde

D = φ1

C = − qzeGJ

L

2+

(φ2 − φ1)

L

con lo cual (reordenando)

φx (x) =qze

GJ

x

2(x− L) + φ1 +

x

L(φ2 − φ1)

θ (x) =qze

GJ

(x− L

2

)+

(φ2 − φ1)

L

Mt (x) = qze

(x− L

2

)+GJ

(φ2 − φ1)

L

Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, al mismo resultado se llega si se analizan porseparado la influencia de la carga y de las condiciones de contorno de giros impuestos. La soluciónencontrada puede verse como la combinación (suma) de las siguientes soluciones

debido al momento torsor distribuido con condiciones de contorno de giros nulos en losextremos. Esto se conoce como solución de la ecuación diferencial no-homogénea (con términoindependiente no nulo) y condiciones de contorno homogéneas (giros nulos), y se la denomina“solución particular” porque depende de la distribución de carga. En este caso vale

φPx (x) =qze

GJ

x

2(x− L)

MPt (x) = qze

(x− L

2

)debido a cada una de las condiciones de contorno (en forma separada) y sin carga de tramo.Esto se conoce como “solución general de la ecuación diferencial homogénea” (termino inde-pendiente nulo) y condiciones de contorno no-homogéneas (giros no nulos en general). Quevale

φHx (x) = φ1 +x

L(φ2 − φ1)

MHt (x) = GJ

(φ2 − φ1)

L

La última expresión es similar a (8.13) y define la rigidéz torsional de la viga GJL, como la relación

entre el momento torsor aplicado y la diferencia entre los giros de sus extremos

26

8.5. Combinación de accionesEn las secciones anteriores se ha mostrado como determinar los desplazamientos en una viga

sometida a las distintas acciones en forma separada. Cuando las acciones actúan en forma simultá-nea sólo resta aplicar el principio de linealidad (superposición de acciones y efectos). Recordemosque los desplazamientos que aparecen para cada acción son:

Esfuerzo axial N : desplazamientos axiales u(x) constantes en el plano de la sección

Flexión en el plano x − y (Mz): desplazamientos v (x) del eje de la viga y desplazamientosu (x.y) = −dv(x)

dxy

Flexión en el plano x− z (My): desplazamientos w (x) del eje de la viga y desplazamientosu (x.z) = −dw(x)

dxz

Torsión Mx:

• rotación φx de las secciones alrededor del eje de torsión con desplazamientos(vw

)=

φx

(−zy

)• alabeo de la sección (torsión uniforme de Saint Venant) u (y, z)

La suma de los distintos efectos permite escribir los desplazamientos de un punto cualquiera de lapieza como

u (x) =

uvw

(x, y, z) =

u (x)00

N

+

−dv(x)dx

yv (x)

0

Mz

+

−dw(x)dx

z0

w (x)

My

+

u (y, z)−φxzφxy

Mx

27