UNIVERSIDAD DISTRITALFrancisco Jose de Caldas

FACULTAD DE INGENIERIAEXAMEN FINAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES

2010 III

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Codigo: Grupo:

Marque una sola respuesta en cada una de las preguntas.

Conteste las preguntas del punto 1 y 2 de acuerdocon el siguiente enunciado.

En el problema resolver

{x′ = −x + y

y′ − 2x = 0, sujeto a x(0) = 0,

y(0)=1, se tiene que:

1) a) X(s) =s + 1

s2 + s− 2, Y (s) =

s

s2 + s− 2.

b) X(s) =1

s2 + s− 1, Y (s) =

s

s2 + s− 1.

c) X(s) =s + 1

s2 + 2s− 3, Y (s) =

1s2 + 2s− 3

.

d) X(s) =1

s2 + s− 2, Y (s) =

s + 1s2 + s− 2

.

2) a) x(t) = e−t/2[cosh(3t/2) + (1/3)senh(3t/2)],y(t) = (2/3)e−t/2senh(3t/2).

b) x(t) = (2/3)e−t/2senh(3t/2),y(t) = e−t/2[cosh(3t/2) + (1/3)senh(3t/2)].

c) x(t) = e−t cosh(2t), y(t) = e−tsenh(2t).

d) x(t) = e−tsenh(2t), y(t) = e−t cosh(2t).

3) Sea la ecuacion diferenciald2y

dx2− 4y =

e2x

x, luego es falso

afirmar que:

a) y = senh(2x) es una solucion particular de yh.

b) y = x cosh(2x) es solucion particular de yh.

c) yp = (1/4)e2x ln x− (1/4)e−2x∞∑

n=0

4nxn

nn!.

d) La solucion general de la homogenea asociada esy = C1 cosh(2x) + C2senh(2x).

Conteste las preguntas del 4 al 7 de acuerdo con el siguienteenunciado.

Un termometro se saca de una habitacion donde la temperatu-ra es de 70◦F al exterior, donde la temperatura es de 10◦F .Despues de 1/2 minuto el termometro marca 50◦F .

4. Si T (t) es la temperatura que marca el termometro a los tminutos, entonces es cierto afirmar que:

a)dT

dt= T − 10. b)

dT

dt=

k

T − 10.

c)dT

dt= k(T − 10). d)

dT

dt= kT .

5. La familia de funciones que satisfacen la ecuacion diferencialdel problema es:

a) T (t) = Cet + 10. b) T (t) = Cekt + 70.

c) T (t) = Cekt. d) T (t) = Cekt + 10.

6. La temperatura que marca el termometro despues de untiempo t es:

a) T (t) = 60(4/9)t + 10. b) T (t) = (4/9)t + 10.

c) T (t) = 60(4/9)t. d) T (t) = 60e−t + 10.

7. El tiempo en segundos que pasa para que el termometromarque 15◦F es:

a)ln 12ln 2

. b)ln 12

2(ln 3− ln 2). c)

ln 12ln 3

. d)ln 12

(ln 3− ln 2).

Conteste las preguntas 8 y 9 de acuerdo con el siguiente enun-ciado.

Sea la ecuacion diferencial x2 d2y

dx2− x

dy

dx+ y = 2x.

8. La solucion de la ecuacion diferencial homogenea asociadaes:

a) yh = C1x + C2 ln x. b) yh = C1x + C2x2.

c) yh = C1 + C2x ln x. d) yh = C1x + C2x ln x.

9. La solucion general de la ecuacion diferencial es:

a) y = C1x+C2x ln x+ln x. b) y = C1+C2x ln x+x(lnx)2

c) y = C1x+C2x ln x+x(lnx)2 d) y = C1 +C2x ln x+(ln x)2

10. De la ecuacion diferencial autonoma x′ = x3(x2 − 4), escierto que :

a) la solucion x decrece para −2 < x < 0.

b) la solucion x tiene un punto de inflexion en x = 12/5.

c) si x(0) = −1, entonces x(t) → 0 cuando t →∞.

d) la solucion x tiene dos puntos estables y uno inestable.

Conteste las preguntas 11 y 12 de acuerdo con el siguiente enun-ciado.

Sidy

dx= cos t +

∫ t

0y(z) cos(t− z)dz, y(0) = 1.

11. Se puede afirmar que Y (s) es igual a:

a)s2 + 1

s3. b)

s2 + s

s3. c)

s + 1s3

. d)s2 + s + 1

s3.

12. Se afirma que y(t) es igual a:

a) 1+t2/2. b) 1+t+t2/2. c) 1+t+t2. d) 1+t+5t2.

TABLA DE RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

abcd

1