Ecuaciones de la Dinámica de Lagrange
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7/26/2019 Ecuaciones de la Dinmica de Lagrange
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Captulo 2
Dinamica de Lagrange
2.1. Ecuaciones de Lagrange
Sea el sistema deNpartculas de masasm1, . . . , mNafectadas de las fuerzasF1, . . . , FN, respectivamente, como se ilustra en la Figura 2.1.
Con la finalidad de facilitar el estudio del movimiento del sistema de partcu-las empleamos un sistema coordenado de orientacion fija con origen un punto
fijo en un sistema coordenado inercial o en el centro de masa del sistema de17
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18 CAP ITULO 2. DIN AMICA DE LAGRANGE
Figura 2.1: Sistema de partculas.
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE 19
partculas.Siendo q1, . . . , q n las coordenadas generalizadas del sistema, esto es, can-
tidades independientes en el menor numero posible que especifican en todoinstante la posicion de las partculas del sistema, se tiene:
rl= rl(q1, . . . , q n), l= 1, . . . , N
o, equivalentemente,
xl = xl(q1, . . . , q n)
yl = yl(q1, . . . , q n)
zl = zl(q1, . . . , q n)
Entonces, el trabajo realizado por todas lafuerzasen un intervalo diferencial detiempo es
dW =N
l=1
Fl.drl=N
l=1
Fl. n
=1
rl
qdq
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20 CAP ITULO 2. DIN AMICA DE LAGRANGE
=n
=1
Nl=1
Fl.rl
q
dq (2.1)
Definiendo la fuerza generalizada como
=N
l=1
Fl.rl
q, (2.2)
con una relacion fuerza generalizada-diferencial de coordenada generalizada
corespondiente como se indica en la tabla siguiente, dq
Fuerza Distancia
Torque Angulo
. . . . . .la ecuacion (2.1) se escribe como
dW =n
=1
dq
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE 21
Notese que
dW =n
=1
W
qdq=
n=1
dq
o n=1
W
q
dq= 0
Como las cantidades dq son linealmente independientes, la expresion anteriorimplica unicamente lo siquiente:
=W
q, = 1, . . . , n (2.3)
Ahora bien, ya que Fl=mlrl,
N
l=1
Fl.rl
q=
N
l=1
mlrl.rl
q(2.4)
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22 CAP ITULO 2. DIN AMICA DE LAGRANGE
donder.
rl
q=
d
dt
rl.
rl
q
rl.
d
dt
rl
q
(2.5)
pero
d
dt
rl
q
=
2rl
q1qq1+. . .+
2rl
qnqqn+
2rl
tq
=
qrl
q1
q1+. . .+ rl
qn
qn+rl
t
od
dtrl
q=
rlq
(2.6)
Reemplazando las ecuaciones (2.5) y (2.6) en (2.4), se obtiene (mles constante!):
N
l=1
Fl.rl
q=
d
dt N
l=1
ml rl.rl
qN
l=1
ml rl.rlq
(2.7)
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE 23
Notese que
rlq
=
q
rl
q1q1+. . .+
rl
qnqn+
rl
t
=
rl
q(2.8)
Entonces, siendo Ek =1
2
Nl=1
ml rl. rl y considerando la ecuacion (2.8), se tiene
Ekq
= q
12
Nl=1
ml rl. rl
=
Nl=1
ml rl.rq
=N
l=1
ml rl.r
q(2.9)
Tambien,
Ek
q=
q 1
2
N
l=1
ml rl. rl =N
l=1
ml rl.rlq
(2.10)
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Reemplazando (2.7), (2.9), (2.10), y (2.3) en (2.2), obtenemos la llamada ecuacionde Lagrange:
d
dt
Ek
q
Ek
q= =
W
q(2.11)
Aqu,
=N
l=1Fl.
rl
q
es la fuerza generalizada del sistema asociada a la coordenada generalizada q,y
Ek
q=p
es el momentum generalizado asociado con la coordenada generalizada q.
Si el sistema es conservativo,
W = Ep
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yW
q=
Ep
q,
dondeEp depende de las qs, y, posiblemente de t(no depende de las qs!!).
En (2.11), con la funcion de Lagrange Ldefinida por
L=Ek Ep,
y notando que
L
q =
Ek
q , obtenemos
d
dt
L
q
L
q= 0
Si alguna fuerza no es conservativa, con Epla energa potencial de las fuerzasconservativas, se tiene
d
dtL
q
L
q
=
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donde
L = Ek E
p
: fuerzas generalizadas
asociadas a las fuerzasno conservativas delsistema
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