Ecuaciones de Grado 3 y mayor.Ecuaciones con raices
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Página 1 de 4 www.estudia2ciencias.blogspot.com STUDIA 2 2 CIENCIAS E E Ecuaciones bicuadradas Las ecuaciones bicuadradas tienen la siguiente forma: ax 4 + bx 2 + c = 0 Si sabemos resolver las ecuaciones de segundo grado, también sabremos resolver estas con un simple cambio. Vamos a ver como se resuelven con un ejemplo: x 4 -13x 2 +36=0 ⇒ (x 2 ) 2 -13x 2 +36=0 Hacemos el siguiente cambio x 2 =z y sustituimos en la ecuación: z 2 -13z+36=0 resolvemos la ecuación de segundo grado como sabemos 4 2 5 13 9 2 5 13 2 5 13 2 25 13 2 144 169 13 1 2 36 1 4 13 13 2 = - = + = ± = ± = - ± = ⋅ ⋅ ⋅ - ± = z Hemos obtenido dos valores de z y lo único que nos queda es deshacer el cambio que hemos hecho al principio, x 2 =z: x 2 =9 ⇒ x=±3 x 2 =4⇒ x=±2 Obtenemos cuatro soluciones: x 1 =3,x 2 =-3,x 3 =2 y x 4 =-2 Ejercicios: a) x 4 -10x 2 +9=0 b) x 4 -26x 2 +25=0 c) 4x 4 -17x 2 +4=0 d) 4x 4 -37x 2 +9=0 e) x 4 -25x 2 +144=0 f) x 4 -97x 2 +1296=0 g) x 4 -16=0 h) x 4 -8x 2 -9=0 i) x 4 -24x 2 -25=0 j) x 4 -x 2 =600 k) 2x 4 +9x 2 =68 f) 3x 4 -5x 2 +0=
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Ecuaciones bicuadradas Las ecuaciones bicuadradas tienen la siguiente forma: ax4 + bx2 + c = 0 Si sabemos resolver las ecuaciones de segundo grado, también sabremos resolver estas con un simple cambio. Vamos a ver como se resuelven con un ejemplo: x4-13x2+36=0 ⇒ (x2)2 -13x2 +36=0 Hacemos el siguiente cambio x2=z y sustituimos en la ecuación: z2-13z+36=0 resolvemos la ecuación de segundo grado como sabemos
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=−
=+
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−±=z
Hemos obtenido dos valores de z y lo único que nos queda es deshacer el cambio que hemos hecho al principio, x2=z: x2=9 ⇒ x=±3 x2=4⇒ x=±2 Obtenemos cuatro soluciones: x1=3,x2=-3,x3=2 y x4=-2 Ejercicios: a) x4-10x2+9=0 b) x4-26x2+25=0 c) 4x4-17x2+4=0 d) 4x4-37x2+9=0 e) x4-25x2+144=0 f) x4-97x2+1296=0 g) x4-16=0 h) x4-8x2-9=0 i) x4-24x2-25=0 j) x4-x2=600 k) 2x4+9x2=68 f) 3x4-5x2+0=
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Ecuaciones de grado 3 y superior: Para resolver ese tipo de ecuaciones utilizamos la factorización de polinomios, pero en lugar de poner el resultado en forma de producto de factores, lo que hacemos es dar solamente el valor de x Lo veremos con un ejemplo: x4+2x3-3x2-4x+4=0 Lo que hacemos es factorizar el polinomio (ver los apuntes de COMO FACTORIZAR POLINOMIOS) y obtenemos los siguientes resultados:
Raíz Factor
x=+1 (x-1)
x=+1 (x-1)
x=-2 (x+2)
x=-2 (x+2)
La soluciones de nuestra ecuación son las raíces, x1=+1 (solución doble),x2=-2 (solución doble) Ejercicios: a) x3-x2-4=0 b) x3-x2-x+1=0 c) x3+3x2-4x-12=0 d) 6x3+x2-26x-21=0 e) x3+3x2-x-3=0 f) x3-7x2-2x+14=0 g) x4-x3-16x2-20x=0 h) x4-6x3-11x2+96x-80=0 i) 2x4-5x3+5x-2=0 j) 6x4-17x3+7x2+8x-4=0 k) x4-2x3-10x2+4x+16=0
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Ecuaciones con radicales Como siempre veremos como se resuelven con un ejemplo:
x +2=x
� Hemos de aislar la raíz, es decir tenemos que dejar sola la raíz en una parte del igual:
x = x - 2 � Ahora lo que hacemos es elevar al cuadrado cada parte del
igual:
( x )2= (x – 2)2 � Operamos y resolvemos: x= x2-4x+4 0= x2-5x+4
x=1
4
2
35
12
41455 2
==
=±=⋅
⋅⋅−±x
x
� Comprobamos si los resultados son correctos, sustituyendo los
valores en la ecuación inicial. Si la cumple es un resultado válido y si no la cumple es un resultado no válido. Para x=4 Para x=1
4 +2=4 1+ 2 = 1 2+2=4 1 + 2 = 1
4 = 4 3 ≠ 1 Solución válida Solución no válida
En el caso que tengamos dos raíces en la ecuación:
6412 =++− xx
� Aislamos cada raíz en un lado del igual:
4612 +−=− xx
� Elevamos al cuadrado cada parte de la igualdad
22 )46()12( +−=− xx
� Operamos:
)4(4123612 +++−=− xxx
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� Aislamos la raíz que nos queda:
41241
41243612
+−=−
+−=−−−−
xx
xxx
� Elevamos al cuadrado cada parte de la igualdad
22 )412()41( +−=− xx
� Operamos y resolvemos:
01105226
)4(1441681822
2
=+−+=+−
xx
xxx
221
5
12
110514226226 2
==
=⋅
⋅⋅−±=x
xx
� Comprobamos:
Para x=5 633
645152
=+=++−⋅ solución válida
Para x=221 61521
6422112212
≠+=++−⋅ solución no válida
Ejercicios:
a) 74 =+x
b) 125 2 =−− xx
c) 17169 2 =−− xx
d) 8105 =++ xx
e) 022 2 =−−+ xxx
f) 0412 =−−− xx
g) xx +=+ 236
h) 55 =++ xx
i) 7825 =+++ xx
j) 1327 =+−+ xx
k) 6113 ++=+ xx
l) 4732 =+−− xx
