Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

19

Transcript of Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Page 1: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices
Page 2: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Las soluciones de la Ecuación de segundo de la forma ax2 + bx + c = 0, están dadas por la fórmula general.

Donde la expresión sub-radical ,

Recibe el nombre de “Discriminante de la ecuación” y suele denotarse por la letra griega “Delta”

Como podemos observar el discriminante, depende de los coeficientes a, b y c, permitiéndonos determinar la cantidad de soluciones reales que tiene la ecuación de segundo grado.

Page 3: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Caso1: Si , la ecuación tiene dos soluciones Reales y Distintas .

Page 4: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Consideremos las siguientes ecuaciones .

3.X2 - 8x + 12= 0 Como a=1 , b= - 8 , c= 12 , entonces b2- 4 a c = (-8)2-4* 1*12

= 64 – 48 = 16 > 0

Luego b2- 4 a c > 0 por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones Reales y Distintas .

y

X

X2 - 8x + 12= 0

x1 x2

Gráficamente:

Page 5: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

2. 3X2 + 5x -8= 0 Como a=3, b=5 , c=-8 entonces b2- 4 a c = (5)2-4* 3*-8

= 25 + 96= 121 > 0

Luego b2- 4 a c > 0 por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones reales y distintas . Como el discriminante y además es cuadrado perfecto las soluciones de esta ecuación

son Racionales y distintas .

Observación :Si el discriminante de la ecuación es cuadrado perfecto entonces las soluciones son Racionales y distintas .Si el discrimínate de la ecuación no es un cuadrado perfecto las soluciones son irracionales y distintas

Page 6: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Análisis del discriminante de la ecuación cuadrática :

Caso 2. Si , la ecuación tiene dos soluciones

Reales e iguales, es decir:

Page 7: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Consideremos las siguientes ecuaciones .

3.X2 + 6x + 9 = 0 Como a=1 , b= 6 , c= 9 , entonces b2- 4 a c = 62-4* 1*9

= 36 – 36 = 0=0

Luego b2- 4 a c = 0 por lo tanto esta ecuación dos tieneDos soluciones

Reales e Iguales

Y

X

Gráficamente:

X2 + 6x + 9 = 0

Page 8: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

2. 4X2 + 4x +1= 0 Como a=4, b=4 , c=1 entonces b2- 4 a c = 42-4*4*1

= 16-16= 0= 0

Luego b2- 4 a c= 0

por lo tanto esta ecuación dos tieneDos soluciones

Reales e Iguales

Page 9: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Si , la ecuación tiene dos soluciones complejas y conjugadas, es decir, no tiene soluciones reales

Page 10: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Consideremos las siguientes ecuaciones .

3.X2 +2x + 6= 0 Como a=1 , b=2 , c= 6 , entonces b2- 4 a c = 22-4* 1*6

= 4 – 24 = -20< 0

Luego b2- 4 a c < 0 por lo tanto esta ecuación NO tiene Soluciones Reales ya que la , no pertenece a los reales.

X2 +2x + 6= 0

Page 11: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Consideremos las siguientes ecuaciones .

2. X2 -2x +2= 0 Como a=1, b=-2 , c=2 entonces b2- 4 a c = (-2)2-4*1*2

= 4-8= - 4 < 0

Luego b2- 4 a c < 0 por lo tanto esta ecuación NO tiene soluciones reales .

Page 12: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Determina la naturaleza de las soluciones utilizando el discriminante

Page 13: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Hemos visto que toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces que en función de coeficientes se expresan como :

Y

Y estas cumplen las siguientes propiedades .

Page 14: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Propiedad de la suma de las raíces

Por lo tanto :

Demostración

Page 15: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Dada las siguientes ecuaciones, hallar la suma de sus raíces

3.X2 -7x +6 = 0Como a=1, b=-7, c=6 , entonces, es cierto que :

Luego

2. 7 X2 + x +2 = 0Como a=7, b=1, c=2 , entonces, es cierto que : Luego :

Page 16: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

2: Propiedad del producto de las raíces ,  x1 × x2, es:

Demostración

Por lo tanto:

Page 17: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Dada las siguientes ecuaciones, hallar el producto de sus raíces:

3.2X2 -5x +3 = 0Como a=2, b=-5, c=3 , entonces es cierto que :

Luego

9.4X2 -3x -22 = 0Como a=4, b=-3, c=-22 , entonces es cierto que :

Luego

Page 18: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Determinar la ecuación, dada la suma (S) y el producto (P) de sus raíces

3.S =3 y P=-18 se tiene que X2 - S x + P = 0 , entonces La ecuación será : X2 -3x -18 = 0

2. S =5/3 y P=- 26 se tiene que X2 - S x + P = 0 , entonces La ecuación será : X2 -5/3 x - 26 = 0

Page 19: Ecu Segundo Grado Propiedades Raices

Determinar la ecuación de segundo grado, dadas sus soluciones

3.x1 =1 y x2=-5

X2 -4 x -5 = 0

2. x1 =3/2 y x2=1/3

X2 - 11/6 x + 1/2 = 0