Ecu Segundo Grado Propiedades Raices
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Las soluciones de la Ecuación de segundo de la forma ax2 + bx + c = 0, están dadas por la fórmula general.
Donde la expresión sub-radical ,
Recibe el nombre de “Discriminante de la ecuación” y suele denotarse por la letra griega “Delta”
Como podemos observar el discriminante, depende de los coeficientes a, b y c, permitiéndonos determinar la cantidad de soluciones reales que tiene la ecuación de segundo grado.
Caso1: Si , la ecuación tiene dos soluciones Reales y Distintas .
Consideremos las siguientes ecuaciones .
3.X2 - 8x + 12= 0 Como a=1 , b= - 8 , c= 12 , entonces b2- 4 a c = (-8)2-4* 1*12
= 64 – 48 = 16 > 0
Luego b2- 4 a c > 0 por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones Reales y Distintas .
y
X
X2 - 8x + 12= 0
x1 x2
Gráficamente:
2. 3X2 + 5x -8= 0 Como a=3, b=5 , c=-8 entonces b2- 4 a c = (5)2-4* 3*-8
= 25 + 96= 121 > 0
Luego b2- 4 a c > 0 por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones reales y distintas . Como el discriminante y además es cuadrado perfecto las soluciones de esta ecuación
son Racionales y distintas .
Observación :Si el discriminante de la ecuación es cuadrado perfecto entonces las soluciones son Racionales y distintas .Si el discrimínate de la ecuación no es un cuadrado perfecto las soluciones son irracionales y distintas
Análisis del discriminante de la ecuación cuadrática :
Caso 2. Si , la ecuación tiene dos soluciones
Reales e iguales, es decir:
Consideremos las siguientes ecuaciones .
3.X2 + 6x + 9 = 0 Como a=1 , b= 6 , c= 9 , entonces b2- 4 a c = 62-4* 1*9
= 36 – 36 = 0=0
Luego b2- 4 a c = 0 por lo tanto esta ecuación dos tieneDos soluciones
Reales e Iguales
Y
X
Gráficamente:
X2 + 6x + 9 = 0
2. 4X2 + 4x +1= 0 Como a=4, b=4 , c=1 entonces b2- 4 a c = 42-4*4*1
= 16-16= 0= 0
Luego b2- 4 a c= 0
por lo tanto esta ecuación dos tieneDos soluciones
Reales e Iguales
Si , la ecuación tiene dos soluciones complejas y conjugadas, es decir, no tiene soluciones reales
Consideremos las siguientes ecuaciones .
3.X2 +2x + 6= 0 Como a=1 , b=2 , c= 6 , entonces b2- 4 a c = 22-4* 1*6
= 4 – 24 = -20< 0
Luego b2- 4 a c < 0 por lo tanto esta ecuación NO tiene Soluciones Reales ya que la , no pertenece a los reales.
X2 +2x + 6= 0
Consideremos las siguientes ecuaciones .
2. X2 -2x +2= 0 Como a=1, b=-2 , c=2 entonces b2- 4 a c = (-2)2-4*1*2
= 4-8= - 4 < 0
Luego b2- 4 a c < 0 por lo tanto esta ecuación NO tiene soluciones reales .
Determina la naturaleza de las soluciones utilizando el discriminante
Hemos visto que toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces que en función de coeficientes se expresan como :
Y
Y estas cumplen las siguientes propiedades .
Propiedad de la suma de las raíces
Por lo tanto :
Demostración
Dada las siguientes ecuaciones, hallar la suma de sus raíces
3.X2 -7x +6 = 0Como a=1, b=-7, c=6 , entonces, es cierto que :
Luego
2. 7 X2 + x +2 = 0Como a=7, b=1, c=2 , entonces, es cierto que : Luego :
2: Propiedad del producto de las raíces , x1 × x2, es:
Demostración
Por lo tanto:
Dada las siguientes ecuaciones, hallar el producto de sus raíces:
3.2X2 -5x +3 = 0Como a=2, b=-5, c=3 , entonces es cierto que :
Luego
9.4X2 -3x -22 = 0Como a=4, b=-3, c=-22 , entonces es cierto que :
Luego
Determinar la ecuación, dada la suma (S) y el producto (P) de sus raíces
3.S =3 y P=-18 se tiene que X2 - S x + P = 0 , entonces La ecuación será : X2 -3x -18 = 0
2. S =5/3 y P=- 26 se tiene que X2 - S x + P = 0 , entonces La ecuación será : X2 -5/3 x - 26 = 0
Determinar la ecuación de segundo grado, dadas sus soluciones
3.x1 =1 y x2=-5
X2 -4 x -5 = 0
2. x1 =3/2 y x2=1/3
X2 - 11/6 x + 1/2 = 0