Ecuaciones de Continuidad - Ing. Farras

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE HIDRULICA

CTEDRA DE HIDRULICA GENERAL (69.01)

ECUACIONES DE CONTINUIDAD

Ing. Luis E. Prez Farrs

Edicin: Ing. Andrea Bonafine

- Julio 2002 -

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESFacultad de IngenieraDepartamento de Hidrulica

Ecuaciones de ContinuidadPag.1


INDICE

1- GENERALIDADES 2

2. ECUACIN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO 3

3- ECUACIN DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE 5

3.1- PARA CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO 53.2- PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO 8




111--- GGGEEENNNEEERRRAAALLLIIIDDDAAADDDEEESSS

Estudiaremos las ecuaciones de continuidad, las que se obtienen del Principio de laConservacin de la Masa aplicada al escurrimiento de fluidos, a travs de un volumen de control.

En efecto, considerando un volumen arbitrario, fijo en el espacio e inmerso en un mediocontinuo en movimiento que lo ocupa en cada punto y en todo instante (tal como se esquematiza enla Figura 1) es evidente que; el balance entre la masa entrante y saliente a travs de la superficie delmismo y en un instante dado, ms la variacin de la masa en su interior y con la variable tiempotendiendo a cero, da inexorablemente una masa resultante nula, puesto que sta no puede crearse nidesaparecer.

El principio enunciado seresume simblica y escuetamentecomo:

( ) 0mmm ies =+En la expresin anterior m

simboliza la masa y los subndicesindican, "saliente, "entrante" einterior.

Obviamente, el smbolo implica la "variacin" de la masa enel tiempo, y es la diferencia entremasa final y masa inicial en el tiempoelemental considerado.

Al escribir la expresin, despejando el parntesis que implica el balance de masa a travs de lasuperficie lateral, la interpretacin del principio de la masa puede interpretarse en forma msdirecta, puesto que el balance entre masa entrante y saliente por la superficie de control, escompensado por la variacin de la masa en el interior del volumen de control. En smbolos:

( ) ies mmm =Las ecuaciones a obtener dependen de la forma del Volumen de control adoptada. Si sta es el

cubo elemental de lados diferenciales, se obtiene la Ecuacin Diferencial de Continuidad en unPunto, en cambio si el volumen de control elegido es el Tubo de corriente, la que se obtiene es laEcuacin Diferencial de Continuidad en el mismo, de suma utilidad para la consideracin de losEscurrimientos Unidimensionales.

S

Volumen de control

Escurrimiento del fluido

(configuracion de l.d.c. instantaneas)

Elemento de Superficie

Figura 1Volumen de control



222... EEECCCUUUAAACCCIIINNN DDDEEE CCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD EEENNN UUUNNN PPPUUUNNNTTTOOO

Es la que se obtiene, al considerar como volumen de control al elemento diferencial de ladosdx, dy y dz.

Consecuentemente para obtener laecuacin buscada, se considera el cubo delados diferenciales dx, dy, dz, es decir elpunto material (ver Figura 2) fijo en elespacio cartesiano

Para las tres coordenadas z; y; x;desarrollaremos el parntesis que implica el"balance total de masa en un instante dado".

La masa entrante segn el eje x resultade multiplicar el "caudal de masa" segn xpor dt, en efecto:

dq dq u dx dy dtm = = = m ex

La masa saliente resulta:

( )m mxm dxsx ex ex= +

Es decir:

( )dxdtdydxux

dtdydxu

+

El balance o diferencia entre masa saliente y masa entrante resulta:

( )m mx

udydzdtdxsx ex =

Extrapolando el mismo procedimiento a los ejes y, z, se tiene:

( )( )

m my

vdzdxdtdy

m mz

wdxdydtdz

sy ey

sz ez

=

=

x

u + u/ x dxu

dy

dx

dz

z

y

Figura 2Volumen de control: elemento diferencial



Por lo que, el balance total en un instante dado, es decir la diferencia ( )m ms e ser:( ) ( ) ( )m m

xudydzdtdx

yvdxdzdtdy

zdxdydtdzs e = + +

Para evaluar la variacin de la masa en el tiempo, se tiene que:

[ ]m dxdydzt

dxdydzdt dxdydzi = +

por lo que:

( )mt

dxdydzdti =

Sumando ahora e igualando a 0, con el propsito de obtener la ecuacin resultante delprincipio de la conservacin de la masa aplicada al volumen elemental de lados dx, dy, dz, yeliminando adems los diferenciales comunes, se tiene:

( ) ( ) ( )

x u y v z t+ + + = 0

La que escrita en notacin vectorial resulta:

( )div Vt

+ = 0

Si se considera =cte. en el espacio y el tiempo, la anterior se reduce a:

divVu

x

v

yw

z= + +

= 0

Que es la ecuacin de continuidad para la masa especfica considerada como constante, esdecir que su cumplimiento, implica de por s, una "Condicin de Incompresibilidad".

Nota: es de destacar que la condicin anterior, sumada a la imposicin de Rotor Nulo (escurrimiento irrotacional) dalugar al modelo matemtico conocido como Red de escurrimiento la que posibilita conocer el vector velocidad encada punto de un escurrimiento unidimensional. El tema se retomar en el Capitulo correspondiente.



333--- EEECCCUUUAAACCCIIINNN DDDEEE CCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD EEENNN EEELLL TTTUUUBBBOOO DDDEEE CCCOOORRRRRRIIIEEENNNTTTEEE

Es la que se obtiene, cuando el volumen de control es el Tubo de Corriente (ver Figura 3) esdecir cuando el escurrimiento es Unidimensional, caso que cubre el vasto campo de aplicacin delas Conducciones a Presin y a Superficie Libre (Canales).

3.1- PARA CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO

A continuacin se realizar ladeduccin, en forma similar a laanterior, y destacando que por ser eltubo de corriente impermeable (pordefinicin no puede admitirvelocidades normales) el balance demasas entrante y saliente solo tendrlugar entre las secciones de inicio yfinal, caracterizadas, por lossubndices 1 y 2 respectivamente.

A ste tipo de escurrimiento,cuando la variacin de la masa esnula en el tiempo y variable en elrecorrido, se lo denominasemipermanente

Con estas consideraciones se obtendr la Ecuacin de Continuidad, en la forma de mayor usoen las aplicaciones que constituyen los objetivos fundamentales de nuestra asignatura.

El desarrollo consiste en elaborar la expresin que sintetiza la interpretacin del Principio deConservacin de la Masa, aplicado ahora al volumen de control Tubo de corriente y teniendo encuenta la variacin del mismo en el tiempo, como consecuencia de la variacin de masa en elrecorrido.

( )m m ms e i + = 0El proceso es anlogo al anterior, pero simplificado dado que ahora el espacio est expresado

en una sola coordenada l, puesto que como es lo habitual y obligado en conduccionesunidimensionales, el sistema de referencia adoptado es la terna intrnseca. La velocidad U es ladefinida como Velocidad media en la seccin, segn se analiz oportunamente en Cinemtica.

Considerado el elemento diferencial dl del tubo de corriente, se tiene que la masa entranteresulta de multiplicar el Caudal de masa entrante por el tiempo diferencial dt, en efecto:

Tubo de corriente

l.d.c.

Qe Qs

de

Figura 3Tubo de corriente



dtUdtQme ==

La masa saliente, resulta de sumar a la anterior, su variacin en el espacio dl, es decir:

( )dldtUl

dtUms

+=

Por lo que el balance entre Masa Saliente y Masa Entrante, resulta:

( )dldtUl

mm es

=

Para completar la ecuacin, se debe considerar ahora la variacin en el tiempo, de la masacontenida dentro del volumen de control. La masa inicial es:

dlmi =

La masa final, luego de un instante dt, es:

( ) dtdlt

dlmf

+=

La diferencia entre masa final y masa inicial resulta, en consecuencia

( ) dtdlt

mi

=

Para obtener la expresin final, slo resta concretar la suma entre el balance da masa entrantey saliente y la variacin de masa en el interior del volumen de control (tubo de corriente en stecaso) lo que resulta:

( ) +

dldtUl

( ) 0dtdlt

=

Dividiendo por los diferenciales comunes, finalmente se obtiene:

( ) ( ) 0t

Ul

=

+

La anterior constituye la Ecuacin diferencial de continuidad, para EscurrimientosUnidimensionales (en tubo de corriente) en la que el Caudal de Masa Entrante no vara con eltiempo.



Su aplicacin es trascendente en la problemtica de escurrimientos impermanentes(transitorios) tanto en conducciones a presin como a superficie libre.

Nota: En particular, en el desarrollo de nuestra asignatura, ser convenientemente aplicada y elaborada, para desarrollarla Segunda Ecuacin de Saint Venant, la que en conjunto con la primera (que tambin ser oportunamente deducida)posibilitan el encare del estudio y clculo de los Escurrimientos Impermanentes a Presin (un caso particular delmismo, de gran importancia en la Hidrulica de las Conducciones a Presin, es el denominado y temido Golpe deAriete).

La Ecuacin diferencial de Continuidad, para cte= en el espacio y el tiempo, se reduce a

( ) ( ) 0t

Ul

=

+

Para el rgimen permanente y desde que el primer parntesis es el caudal que atraviesa laseccin, la anterior se reduce a:

( ) 0Ull

Q=

=

En consecuencia:

cteUQ ==

La anterior es la expresin de la Ecuacin de Continuidad para Escurrimiento permanente,Unidimensional (en tubo de corriente) de un fluido Incompresible.

Constituye una ecuacin de vital importancia en el Diseo y Clculo de Conducciones apresin, a Superficie libre (canales) y en general para la Hidrulica unidimensional del rgimenpermanente.

Nota: Incluso, forma parte fundamental de la metodologa de clculo aplicable a escurrimientos bidimensionales,precisamente en el tema Red de Escurrimiento. En efecto, entre cada par de lneas de corriente de la red, se estableceun escurrimiento en tubo de corriente bidimensional en el que es vlida la ecuacin de referencia. El tema se estudiarespecficamente en el captulo relativo a Red de Escurrimiento pero se adelanta que la Ecuacin de Continuidadposibilita su uso.



3.2- PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO

En este caso, conocido tambin como de Impermanencia Total, la ecuacin cuenta con unsumando ms, y tal como puede obtenerse del texto de la materia Fundamentos, la deduccin paraese caso lleva a la ecuacin ms general

( ) ( ) ( ) 0t

UtU

1U

l=

+

+

Es de destacar que, de considerar que el caudal no vara con el tiempo y slo lo hace con elespacio, el segundo sumando resulta nulo, obtenindose la ecuacin anterior que, obviamente, es uncaso particular de esta ltima.

Se remite al alumno a su lectura y seguimiento de la deduccin, sin que sea necesariomemorizar la misma (a pesar que no es dificultosa).

La deduccin ser exigida para las dos formas precedentes de la ecuacin de Continuidad, lasque se obtienen de forma totalmente anloga, las que son de aplicacin inmediata, no solo en lamateria, sino que tambin, en muchsimos temas de la Especialidad Hidrulica.

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