Capítulo IIPrincipio de Funcionamiento de

las Turbomaquinaslas Turbomaquinas

Sergio Galván Ph.D.FAC. DE ING. MECÁNICA

UMSNH

Temario• Ecuaciones gobernantes

– Termodinámica • 1er Ley• 2da. Ley

– Mecánica de Fluidos• Continuidad• 2da ley de Newton

• Componentes de las velocidades• Componentes de las velocidades• Ecuación de transferencia de Energía

– Euler– Componentes energéticas del triángulo de velocidades

• Teoría turbomáquinas centrífugas• Teoría turbomáquinas axiales.• Grado de reacción• Carga teórica, neta y rendimientos

• Principales Leyes de la Termodinámicay Mecánica de Fluidos que son usadas en Turbomáquinas:– El principio de conservación de la masa– 1er Ley de la Termodinámica– 2da Ley de Newton de movimiento– 2da Ley de Newton de movimiento– 2da Ley de la Termodinámica

CONTINUIDADConsiderar un flujo de fluido con una densidad ρ a través de un elemento de área dA durante un intervalo de tiempo dt.

V Velocidad de la corrientedmMasa elementalVn Componente de la velocidad perpendicular al áreadV Volumen del elemento de masa

( ) ( )= ρ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ θdm dV l a l dAcos( ) ( )= ρ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ θdm dV l a l dAcos

( ) ( )ρ θ ρ θθ

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

nVdm V dt dAcos dt dAcos

cos

θθ

= = ∴ =n nV Vdonde : l Vdt y cos V

V cos

( )cos cosa

a dAdA

θ = → = θ

dAdtVdm n ⋅⋅⋅= ρ dAVmddt

dmn ⋅⋅== ρɺ

Si A1 y A2 son las áreas de flujo en los puntos 1 y 2 entonces:

AVAVAVm nnn ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ρρρ 2211ɺ

Ya que no hay acumulación de fluido dentro del volumen de control

2da Ley de NewtonEcuación de momentum

• Con un balance de energía se puede calcular latransformación de energía térmica en potencial y encinética.

• Para completar esta cascada de energía se puede• Para completar esta cascada de energía se puedecalcular la transformación de energía cinética en energíamecánica en el eje de la máquina.

• La acción del fluido sobre los álabes es un intercambioen la cantidad de movimiento.

Volumen de control para uno turbomáquina generalizada

Rotor generalizado de una turbomáquina

•El fluido a su paso por entre los álabes ejerce sobre ellos accionesreductibles a fuerzas en virtud de los cambios de cantidades de movimientocon el tiempo.

•Cada dos álabes consecutivos forman un ducto por los que circula el fluidoque provoca empujes sobre los contornos cediendo o tomando energía .

•El ducto se haya limitado por las superficies de revolución que definen losbordes de entrada y de salida cuyas áreas son A1 y A2.

Vistas de un impulsor radial

• El cálculo de energía transferida va a hacerse bajo las condiciones deflujo estable.

• La fuerza ejercida entre fluido y álabe va a se definida por trescomponentes espaciales ortogonales: Axial, Radial y Tangencial

Si se aplica la 2da. Ley de Newton a una cantidad de masa entonces:

2 1( )dma a aF V V= − V es la velocidad axial del fluido2 1( )a a adtF V V= −

2 1( )dmr r rdtF V V= −

2 1( )dmu u udtF V V= −

Va es la velocidad axial del fluido

Vr es la velocidad radial del fluido

Vu es la velocidad tangencial del fluido

• El empuje axial sería útil en caso de que se quiera producirarrastre axial y en máquinas fijas es contraproducente, yconviene reducirlo o eliminarlo.

• La acción radial queda neutralizada en el eje. La simetríadel rotor evita empujes perjudiciales sobre los cojinetes.del rotor evita empujes perjudiciales sobre los cojinetes.

• Toda la transferencia de energía útil entre fluido y rotor selogra a través de la componente tangencial, la cual produceel momento máximo sobre el eje de giro de la máquina.

Componentes de la velocidad para el análisis del momento angular

Donde Vr =Vn

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

ρρ

== −

n u

n u

dM ( V dA )V R

dM ( V dA )V R

Entrando al plano (1)

Dejando el plano (2)

( ) = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅

V mF ma F ma M m R M V R

t tR R

Ya que el momentum cambia en la dirección tangencial origina un

torque y así trabajo

dFms

mKg ⋅

⋅⋅2

22222

11111

)(

)(

RVdAVM

RVdAVM

un

un

ρρ

∫=

∫=

1 2= +:T M MEl torque será22221111 )()( RVdAVRVdAVT unun ρρ ∫−∫=

• El torque ejercido sobre un fluido en movimiento angular es el flujo másico por el cambio de Vu R.

=⋅⋅⇒=⋅ ∫ s

KgdAVcteRV nu ρ Como

• Esto se conoce como Free Vortex Flow .

• Este concepto es importante para entender el flujo en un difusor, volutas y en dispositivos sin álabes .

En ausencia de fuerzas externas un vórtice sedesarrolla con un patrón de flujo irrotacional , dondela velocidad de flujo Vu es inversamenteproporcional a la distancia r.

Por esta razón también se conocen como vórticeslibres.

1 2= =ɺ ɺ ɺm m m

PotenciaTiempo

Trabajo⇒

s

mN

s

m

s

mKg

sm

s

m

sm

s

m

s

Kgm

s

mKg

s

⋅=⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅

=

⋅⋅

22

111

1 1 2 2( )= −ɺ u uT m V R V R

1 1 2 2( )ω= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ɺ u uU R T m V R V Rω ω ω

CONTINUIDAD:

Velocidad periférica del rotor:

==

−= Watts

J

s

m

s

m

s

KgUVUVmP uu )( 2211 ɺɺ

Tiempo

2

1 1 2 2 2 2 2

1 − = = = − = = ɺ

u u

P Kg m s m mE gH V U V U m m

m s s Kg s s

Cambio de energía experimentada por el fluido

1 1 2 2 = = −u uE gH V U V U

Ecuación de Euler : Tiene su origen en elcambio que sufren las velocidadestangenciales del fluido y del álabe entre la

2 2 1 1 = = −u uE gH V U V U

Receptora de la energía del fluido

Generadora de energía al fluido

tangenciales del fluido y del álabe entre laentrada y salida del rotor y sirve paracualquier clase de fluido: compresible eincompresible.

DIAGRAMAS VECTORIALESEn las turbomáquinas las trayectorias se inscriben sobre ejes de revolución cuyoeje es el de rotación de la máquina.

Considerar el caso más general de una superficie de revolución en donde sedibuja una trayectoria T.

S- Superficie de revolución

T- trayectoria de una partícula de fluido

V- velocidad absoluta de la partículaV- velocidad absoluta de la partícula

M- Punto tangente a la trayectoria

Vm -Velocidad meridiana en el plano ZOM

Vu -Componente giratorio o tangente

U- Velocidad tangencial del álabe

VR -Velocidad relativa del fluido respecto al álabe.

β- Ángulo del álabe. + = ⇒ + = + =� � � � � � � � �

R r a m u mU V V V V V ; V V V

0= = ⇒ + =� � �

r m a u mV V V V V VSi entonces

Ecuación de transferencia en forma de componentes energéticas

2 2 2 2 2 2= + ∴ = −m u m uV V V V V V

2 2 2= + −R m uV V (U V )

2 2 2= − −m R uV V (U V )

Diagrama vectorial del triángulo develocidades contenido en el planotangente a M.

2 2 2 22 = − + − + m R u uV V U U( V ) V

2 2 2 22= − + −m R u uV V U UV V

2 2 2 2 2 22= − = − + −m u R u uV V V V U UV V

2 2 2− +V V U

2 2 2 2 22 ⋅ = − − + +u u R uU V V V V U V

2 2 2

2

− +⋅ = Ru

V V UU V

2 2 21 1 1

1 1 2

− +⋅ = Ru

V V UU VA la entrada se tiene:

2 2 22 2 2

2 2 2

− +⋅ = Ru

V V UU VA la salida se tiene:

( )

−+−+−=

+−−

+−=−=

UVVUVVE

UVVUVVVUVUE

RR

RRuu

2

22

:Euler deEcuación laen ndoSubstituye

21

21

21

22

22

22

21

21

21

22

22

22

1122

⋅=

⋅⋅=

⋅=

⋅⋅=

−+−+−=

Kg

mN

Kgm

s

mKgE

Kg

Kgm

s

mm

s

mHgE

VVUUVVE RR

1

Como

222

2

22

22

21

21

22

21

22

=−+−+−= ms

mVVUUVV

H RR2

2

22

21

21

22

21

22

Ecuación de Euler en forma decomponentes energéticas

=−+−+−= m

s

ms

g

VV

g

UU

g

VVH RR

2

211212

222

De acuerdo a la 1er Ley de la termodinámica aplicada a un sistema abierto adiabático, flujo estable, el trabajo viene dado por la ecuación:

( ) ( )

⋅⋅+⋅++

⋅=

−+−+−+

−=

Kg

Kgm

s

m

Kg

m

m

N

Kg

J

Kg

Kg

s

m

zzgppuuVV

E

2

3

22

2

12

Entalpía

112212

21

22 )(vv

2

���� ����� ��

Buscando analogía con la ecuación de transferencia bajo componentes energéticos:

2

2

22

2

22

21

21

22

22

21

21

22

21

22

RR

RR

VV

UU

VVUU

VV

−

−

−+−

− Representa el cambio de energía cinética transferida (cargadinámica)

Representa el cambio de energía estática o carga estáticaganada o perdida por el fluido a su paso por el rodete

Carga estática debido a la acción centrífuga producida por laaceleración normal, (Arrastre del fluido por los álabes en surotación alrededor del eje de la máquina)

Carga estática por el cambio de magnitud de la velocidadrelativa del fluido respecto al álabe entre la salida y entradadel rotor.

Fout

F

2

21

22 UU −

Acción centrífuga

Éste término constituye la carga estática debidaal acción centrífuga o reacción inercial del fluidoproducida por la aceleración normal creada por elarrastre del fluido por los álabes en su rotaciónalrededor del eje de la máquina.

dm– masa elemental que se mueve arrastrada Fin

dm– masa elemental que se mueve arrastrada por los alabes en su movimiento giratorio

En virtud del cambio de dirección de la velocidad tangencial se crea la aceleración normal ω2·R dirigida hacia adentro y la fuerza ω2

·R·dm de reacción inercial con sentido hacia fuera originándose un gradiente de presión dinámica entre las dos caras dA de la masa dmseparadas dR .

El equilibrio de fuerzas en la dirección radial es:

Rm

UmamdAdP

FFωtt

R

t

Ua

admdAdPadmdF

outin

⋅==⋅=⋅

=⇒=⋅==

⋅=⋅=⋅=

1y :Como

ω

ω

dRdAρdAdlddm

dmRRmdAdP

tm

tmamdAdP

⋅⋅=⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=⋅

==⋅=⋅

)(V

)(

:radialdirección en fuerzas de Equilibrio

2

ρρ

ωωω

vv1

como 22

22

2

RdRdPRdRdP

RdRRdRdP

RdRdAdAdP

⋅=⇒=⋅=

⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=⋅

ωρ

ωρ

ρωωρ

ωρ

222v

v

21

22

21

222

221

2222

1

2

1

22

1

UURRRRdP

RdRdP

−=−=−=⋅

=⋅

∫

∫∫

ωωω

ω

Es el trabajo en un sistema abierto, flujo estable sin fricción por unidad de gasto debido a la acción centrífuga.

Acción Axial• Todas las turbomáquinas están equipadas ya sea con una

hélice rotatoria o con paletas rotatorias que cambian la velocidad del flujo y/o la presión dentro del fluido.

• Las Turbomáquinas axiales no utilizan las fuerzas centrífugas.

• Los álabes del impulsor se comportan como una ala de aeroplano produciendo empuje por el cambio de momentum del fluido como este rota, estableciendo fuerzas entre la fila de álabes y el fluido

• Las componentes de esas fuerzas, en la dirección del movimiento del álabe, dan lugar a la transferencia de energía entre los álabes y el fluido.

• La superficie de sustentación o plano aerodinámico (Airfoil) es definida como forma de línea de corriente rodeada principalmente por dos curvas planas cuya longitud y ancho son muy grandes en relación a su espesor y se clasifican como simétricos y no simétricos.

Simétrico

No-Simétrico

i= ángulo de ataque

• La fuerza normal resultante al aerfoil consiste de dos componentes: arrastre y sustentación

Álabe de un compresor Álabe de una turbina

• La fuerza de arrastre es debida a los esfuerzos cortantes en la superficie del álabe como consecuencia de la capa límite.

• La fuerza de sustentación se debe al imbalance de fuerzas causada por la distribución de presión sobre la superficie del álabe.

En los alabes delcompresor el área a laentrada es menor que lasalida y por lo tanto elfluido es desaceleradoen el ducto.

En los alabes de laturbina el área a laentrada es mayor que alde la salida y el fluido esacelerado en el ducto

NOMENCLATURA DEL ALABE

Fuerzas sobre el álabe de la turbina

Para que la turbina produzca una potencia útil se debe deproducir una fuerza en la dirección tangencial .

Las fuerzas de sustentación y arrastre se convierten en fuerzascomponentes Fθ y Fx

Las fuerzas L y D son perpendiculares y paralelas a la velocidadVR

Transferencia de energía

Fuerzas de arrastre y sustentación sobre el álabe de uncompresor

)( donde cos

cos clAV

VV

V

m

aRm

Rm

am ==∴=

ββ

Fuerzas sobre el álabe colocadas en ladirección de rotación donde R es lafuerza resultante.

2

cos sencos sen cos cos

cos cos

senComo (0.5 ) y tan

cos

cos tan cos cos 1 tan

m mm m m m

m m

mDRm m

L D L m

D Dm m m m m

L L

L DF L D L L

L L

CL D DV A

C C L C

C CF L L L

C C

θ

θ

β ββ β β ββ β

βρ ββ

β β β β β

= + = +

= = ∴ = =

= + = +

( )

2

2

2

cos donde ( )cos

(0.5 )

(0.5 ) cos 1 tan

0.5 ( )cos 1 tancos

a am Rm

Rm m

L Rm

DL Rm m m

L

a DL m m

V VV A cb

V

L C V A

CF C V A

C

V CF C cb

C

θ

θ

ββ

ρ

ρ β β

ρ β ββ

= ∴ = =

=

= +

= +

2

0.5 ( )cos 1 tancos

10.5 ( ) 1

cos

L m mm L

DL a

m

F C cbC

CF C V cb

θ

θ

ρ β ββ

ρβ

= +

= +

2

tan

1( )sec 1 tan

2

mL

DL a m m

L

C

CF C V cb

Cθ

β

ρ β β

= +

( )2

1Sacando facor común 2, y tan y ec tenemos :

cos cos

sec 1 tan

2

mm m

m m

Da L m m

L

sens

CV A C

CFθ

ββ ββ β

ρ β β

= =

+ =

y ( )

sec 1 tan

2

a

Da L m m

L

A cb m V cb

CmV C

CFθ

ρ

β β

= = ∴

+ =

ɺ

ɺ

Coeficientes de sustentación y arrastre contra el ángulode ataque una sección de álabe

El coeficiente de sustentación es una medida de lacapacidad de una sección dada para soportar un pesocuando es inducido a moverse a través de un fluido.

)5.0( 2 AV

LC

RmL ρ

=

El coeficiente de arrastre es una medida de la pérdida deEl coeficiente de arrastre es una medida de la pérdida deenergía asociada con la útil tarea de producir arrastre.

)5.0( 2 AV

DC

RmD ρ

=

dinámicapresión la es )5.0( Donde 2RmVρ

( ) ( )

0 1 1 2 2

Potencia entregada ( )

Potencia entregada h ( )u u

T U F r U F r r

m(∆ ) m V U V U

N m m Kg J Kg m m J

θ θ ω= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

= = −

−

ɺɺ ɺ

2

N m m Kg J Kg m m JWatt

s s s Kg s s s s

− = = = =

GRADO DE REACCIÓN• Proporción relativa de energía transferida por el cambio en la

carga dinámica o en la carga estática.

• Relación de la carga estática a la carga total transferida.

( )222222

22

21

21

22

21

22

222)( RR

VVUUVV

VVUUVVtotalE

−−−

−+−+−=

( )

22

21

21

22

21

22

22

21

21

22

22

21

21

22

21

22

22

21

21

22

22

21

21

22

21

22

222

22)(

)(

22)(

2

RR

RRR

RR

RR

R

RR

VVUUVV

VVUUG

VVUUVV

VVUU

totalE

estáticaEG

VVUUEstáticaE

VVdinámicaE

−+−+−−+−=

−+−+−

−+−

==

−+−=−=

• Una turbomáquina de reacción se caracterizapor producir un gradiente de presión entre lasalida del rotor y deben trabajar en un ductocerrado.

• La reacción tiene generalmente valores entre• La reacción tiene generalmente valores entrecero y uno, sin embargo:– Compresores axiales de varios pasos GR>1– Turbomáquinas de impulso, como la turbina

Pelton GR=0.– En turbinas axiales de vapor -1 ≤ GR ≤ +1

Carga teórica y carga neta• En condiciones ideales:

– toda la energía del fluido puede ser cedida a supaso por la turbina y ser tomada por los álabes,

– toda la energía de los álabes puede ser comunicadaal fluido en una bomba.

• En condiciones reales siempre hay una• En condiciones reales siempre hay unadiferencia entre esas energías que cuantifica laspérdidas en la máquina:– Hidráulicas– De Fricción– De choque– De turbulencia– Etc.

• Carga teórica H es la energía teóricamente transferida entre fluido y los álabes.

VVUUVVVUVU

g

VV

g

UU

g

VV

g

VUVUH RRuu

−+−+−=−=

−+−+−=−=

222222

21

22

22

21

22

212211 sen turbina

222

m

s

ms

m

g

VV

g

UU

g

VV

g

VUVUH RRuu

=

=

−+−+−=−=

2

2

2

22

21

21

22

21

221122 bombasen

222

•Carga neta Hn es la gradiente de carga dinámica entre la entrada y la salida de la máquina.

•Para una turbina hidráulica, entre la entrada al caracol y la salida al tubo de aspiración.

•Para una bomba, entre la entrada a la carcasa y la salida a la voluta.

( )zzpp

g

VVHHH se

sesesen −+−+−=−=

22

sen turbina2 γ

( )

mmmm

m

Nm

N

s

ms

m

zzpp

g

VVHHH es

esesesn

++=

++=

−+−+−=−=

2

2

2

2

2

22

bombasen 2 γ

• Los factores de pérdida de Energíaa) Por fricción sobre las paredes de los contornos

bombas

turbinas

espn

sepn

HHHHH

HHHHH

−=−=

−=+=

a) Por fricción sobre las paredes de los contornos de los álabes.

b) Por separación del fluido de los contornos de los álabes.

c) Por recirculación del fluido contra el rotor y la carcaza.

d) Por fugas.

DIFERENTES TIPOS DE PÉRDIDAS HIDRÁULICAS

RENDIMIENTOS

a) Rendimiento hidráulico: Muestra la relación existente entre lacarga teórica y la carga neta y caracteriza la capacidad de lamáquina de para intercambiar energía con el fluido.

Hturbinas

teóricaCarga ==η

ombasH

H

H

H

nh

nh

b teóricaCarga

neta Carga

turbinasneta Carga

teóricaCarga

==

==

η

η

b) Rendimiento volumétrico: No todo el fluido que entra a lamáquina está en posibilidad de intercambiar energía con losálabes del rotor. Parte del mismo se fuga por sellos, estoperos oretenes.

maquina laen entra que Caudal

disponible real Caudal=−=Q

qQvη

c) Rendimiento mecánico: Tiene en cuenta las pérdidas porc) Rendimiento mecánico: Tiene en cuenta las pérdidas porrozamiento mecánico en chumaceras, cojinetes y órganos deregulación como servomotores.

T

Pfm ⋅

==ω

ηflecha laen teóricaPotencia

mecánicafricción la a debido real Potencia

d) Rendimiento global: Llamado también rendimientoenergético total y es la relación entre la potencia en la flecha dela máquina y la potencia cedida o tomada por el fluido.

nt HQ

T

γωη

⋅⋅⋅==

fluido elpor cedida Potencia

turbinala de flecha laen Potencia

mvht

nt T

HQ

ηηηη

ωγη

⋅⋅=⇒

⋅⋅⋅==

Finalmente

bomba la de flecha laen Potencia

fluido elpor tomadaPotencia

ANEXOS

La entalpía (H) es la suma de la energía interna (U), energía que posee una sustanciadebida al movimiento y posición de sus partículas a nivel atómico, y la energíamecánica asociada a la presión (p).

superficie de revolución• Una superficie de revolución se genera cuando una curva se hace girar

alrededor de un eje.

• En las dos figuras que se anexan se observa la curva que se ha hecho girary las superficie que se genera, en este caso girando sobre el eje y.

• Si esa curva delimita un área bajo o sobre ella –dependiendo de cómo sehaga girar– entonces al girar esa superficie se obtiene un sólidoo volumen de revolución .