Ing. Yacimientos II - Mod III Ecuaciones de Flujo de Fluidos

Ingeniería de Yacimientos II - 2009-II

Modulo IIIFUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIO POROSO


Dependiendo de la variación en volumen con presión (compresibilidad isotérmica), los fluidos de yacimientos se clasifican en tres grupos:

TIPOS DE FLUIDOS

- Fluidos Incompresibles: Para estos se cumple que no hay cambio en elvolumen con la presión. Ej. Yacimientos de petróleo con muy baja Rs

- Fluidos Ligeramente Compresibles: Pequeños cambios en volumen congrandes cambios en presión (c es pequeña). Ej: Petróleo negro y aguaentran en esta clasificación

Si c es pequeña, se puede aproximar a

, quedando


TIPOS DE FLUIDOS (Cont.)- Fluidos Compresibles: La variación en volumen con cambios de presión esmuy grande. Ej. Gases.


REGIMENES DE FLUJOExisten tres tipos de regimenes de flujo:

- Flujo de Estado Estable: En este caso la presión del yacimiento, encualquier punto, se mantiene constante en el tiempo. Matemáticamente seexpresa asi:

- Flujo de Estado No Estable: Es el regimen de flujo en el cual la variación dela presión con el tiempo es una función tanto de la posición en elyacimiento, como del tiempo. Es llamado tambien Flujo Transiente


REGIMENES DE FLUJO (Cont.)Flujo de Estado Pseudo-Estable: En este caso la presión del yacimiento declinalinealmente con el tiempo, para cualquier posición dentro del yacimiento.También es denominado Flujo de Estado Semi-estable. Matemáticamente seexpresa asi:


REGIMENES DE FLUJO (Cont.)Comportamiento de la Presión dependiendo del Regimen de Flujo

Estado No Estable

Estado Estable

Estado Pseudo-Estable


ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSDependiendo del tipo de fluido y el regimen de flujo, las ecuaciones quegobiernan el movimiento de fluidos en el medio poroso serán diferentes. Sinembargo, la mayor parte de ellas están basadas en la Ley de Darcy, combinadacon ecuaciones de estado y de conservación de la masa

En el caso de flujo radial y horizontal, el gradiente de presión es positivo y laecuación de Darcy queda asi:


ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS

)/rln(rµ Pw)7.082hk(PeQ

we

Q en barriles por día (Bls/dia)

h en pies

Pe , Pw Presión en los límites (lpca)

re , rw Radios externo e interno,

en unidades consistentes

Flujo de Estado Estable:

Para flujo radial, Fluido Incompresible


ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSFlujo de Estado Estable:

Craft y Hawkins establecieron que la presión promedio de un yacimiento seubica a un 61% del radio de drenaje (re)

)/rln(0.61rBµ Pw)7.082hk(PrQ

weoo

0.5)/rln(rBµ Pw)7.082hk(PeQ

weoo

Solo para Flujo de Estado Estable

r = 0.61re

Pr


ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSFlujo de Estado No Estable (Transiente):

Si se supone que se tiene un pozo en el centro de un yacimiento circular, deradio re , homogéneo, con una Pi uniforme.

El pozo se empieza a producir a una tasa constante “q”, con lo cual se crea unadisturbancia de presión. La presión en el pozo caerá instantáneamente y ladisturbancia se moverá alejandose del pozo.


ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSFlujo de Estado No Estable (Transiente):

Mientras la disturbancia de presión se mantenga lejos del límite externo delyacimiento, se puede considerar que el yacimiento actúa como si fuese infinitoen tamaño (re =∞ ).

Se denomina entonces Flujo Transiente como aquel período de tiempo durante elcual ell borde externo del yacimiento no afecta el comportamiento de la presión yel yacimiento actuará como si fuese infinito.


ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTEEsta derivación matemática toma en cuenta tres ecuaciones independientes:

-Ecuación de continuidad (Balance de masa)

-Ecuación de transporte (Darcy generalizada)

-Ecuación de compresibilidad (Ec. de Estado)

Adicionalmente, deben existir una (1) condición inicial y dos (2) condiciones deborde

Condición Inicial: Presión uniforme en todo el yacimiento para t=0

Condiciones de Borde:

a) El yacimiento produce con una tasa de flujo constante hacia el pozo

b) No existe flujo a través del límite externo y el yacimiento se comporta comoinfinito (Estado No Estable, re =∞ )


ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE

- Ecuación de Continuidad

Masa que entra al volumen durante un

tiempo t

Masa acumulada dentro del volumen de

control

- =Masa que sale del

volumen durante un tiempo t

(q)r+dr

(q)r



Masa que entra al volumen durante un tiempo t =

Masa que sale del volumen durante un tiempo t =

t[Av]r+dr

Donde:

A: Area a un radio r+dr, pies2

: Densidad del fluido a un radio r+dr, lb/pie3

t:Tiempo, dias

v: Velocidad de flujo, pies/dia

t[Av]r

Ar+dr=2(r+dr)h

Masa Entra = 2t (r+dr)h(v)r+dr

Masa Sale = 2t rh(v)r

Ar=2rh



Masa acumulada en volumen de control durante un tiempo t

El balance de materiales para un tiempo t quedaría así

DondeMasa Acumulada = dV[(tt()t] dV=(2rh)dr

= (2rh)dr[(tt()t]

2t (r+dr)h(v)r+dr - 2t rh(v)r = (2rh)dr[(tt()t]

Dividiendo por (2rh)dr

]ρ)(ρ)[(Δt1]r(vρ(dr)(vρr[(r

rdr1

tΔttrdrr

ρ)(t

)][r(vrr

1

Ecuación de Continuidad (1)



Combinando las Ecs. (1) y (2), se obtiene:

El término de la derecha

rpv

k006328.0

ρ)(tr

)(krr

0.006328

pr

t

tρ)(

t

Pero, por la definición de compresibilidad

- Ecuación de Transporte (Ec. de Darcy): Se requiere para relacionar la velocidad deflujo con el gradiente de presión dentro del volumen de control (dV)

Ecuación de Transporte (2)

ff cpp

1c

Aplicando regla de la cadena al termino d/dt

tc

tpt f

pp



Sustituyendo

La ecuación variará dependiendo del tipo de fluido a la que se aplique

tc

tr)(k

rr0.006328

f

ppr

tc

tρ)(

t f

p

Esta es la ecuación general que describe el flujo radial de cualquier fluido en un medio poroso

-Fluidos Ligeramente Compresibles

-Fluidos Compresibles



Luego de realizar simplificaciones y reordenando la ecuación general, se obtiene

La mayoría de los análisis de pruebas de pozo se toma el tiempo en hora, por lo que la Ec queda asi:

t0.006328krr1

r2

2

pcpp t Ecuación de

Difusividad para fluidos ligeramente

compresibles


Donde:

k: Permeabilidad, md

t: Tiempo, dias

ct: Compresibilidad Total, lpc-1

t0.0002637krr1

r2

2

pcpp t Donde:

t: Tiempo, horas



Si en el yacimiento existe más de un fluido, la compresibilidad total (ct) se puede expresar asi:

Adicionalmente, se define la Constante de Difusividad, denotada como

tc 0.0002637k


fggwwoot cScScScc

Por lo cual la Ecuación de Difusividad queda así:

t1

rr1

r2

2

ppp



Existen dos soluciones generales:

-Solución de Presión Terminal Constante: Se considera la presión constante en el limite externo, y se cuantifica el flujo acumulado para un tiempo “t”. Se usa frecuentemente para cálculos de influjo de agua.

-Solución de Tasa Terminal Constante: En este caso se considera una tasa constante a un determinado radio (rw), y se hallan los cambios en la presión (Pwf) con el tiempo. Hay dos formas de solución comunmente usadas:

- Solución de la Función Ei: Propuesta por Matthews y Russell en 1967

Soluciones a la Ecuación de Difusividad

Supone:

-Yacimiento Infinito

-Tasa de flujo constante

-Presión Uniforme Pi para t=0

-El pozo productor se encuentra en el centro de un yacimiento cilíndrico de radio re

-No existe flujo a través del límite externo



t: Tiempo, horas

Donde:

p (r,t): Presión al radio “r” desde el pozo, para un tiempo “t”, lpc

Solución de la Función Ei

k: Permeabilidad, mdQo: Tasa de Flujo, BND

Ei es una función llamada Integral Exponencial y esta definida como



Solución de la Función Ei

Para valores de x<0.01, la Integral Exponencial se puede aproximar a la siguiente expresión:

Donde



Ejercicio 1

Un pozo produce con una tasa constante de 300 BND, bajo flujo no estable. Se conocen las siguientes propiedades:

Bo= 1.25 BY/BN o= 1.5 cp ct= 12x10-6 psi-1

ko= 60 md h= 15 ft pi= 4000 lpc

= 15% rw=0.25 ft

Calcular:

1.- Presiones a radios de 0.25, 5,10,50,100,500,1000,1500, 2000 y 2500 pies, para un t= 1 h. Graficar P(r,t) vs. R

2.- Repetir el paso 1 para t= 12 h y t= 24 h

Ver ejercicio en el Ahmed Tarek, pag 376; usar Tabla 6.1 para valores de Ei



Para valores de x < 0.01, la solución de la ecuación de difusividad se puede obtener empleando la aproximación logarítmica a la función Ei, resultando:

Aplicando la ecuación para determinar la presión de fondo fluyente (p(rw,t)), se obtiene:



Ejercicio 2

Resolver el ejercicio 1 estimando la presión de fondo para un tiempo de 10 horas:

Bo= 1.25 BY/BN o= 1.5 cp ct= 12x10-6 psi-1

ko= 60 md h= 15 ft pi= 4000 lpc

= 15% rw=0.25 ft



Rearreglándola

Solución de la Caída de Presión Adimensional

Ambos términos son adimensionales, quedando la ecuación

Supongamos la Ec. de Darcy en su forma radial

donde pD: Caida de Presión Adimensional

reD: Radio Externo Adimensional



Solución de la Caída de Presión Adimensional

Extendiendo esta solución para los cambios de presión en flujo no estable

donde pD: Caida de Presión Adimensional

reD: Radio Externo Adimensional

Como en flujo transiente, la presión es función del tiempo y localización, es común expresar pD en función de tiempo y radios adimensionales

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