Ecuaciones Cap 3

5/13/2018 Ecuaciones Cap 3 - slidepdf.com

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CAPITULO 3. ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR

CAPITULO 3.

ECUACIONES

DIFERENCIALES

DE ORDEN SUPERIOR

Ahora se estudiaran las ecuaciones diferenciales (ED) de segundo orden o orden superior. En este

capítulo se examinara una parte de la teoría en que se basan las ecuaciones diferenciales lineales.Después, se aprenderá como resolver ecuaciones diferenciales de orden superior.

CONTENIDO DEL CAPITULO

3.1 TEORIA PRELIMINAR

Problemas de Valor Inicial (PVI) y de Valores en la Frontera

TEOREMA: Existencia de una Solución Única

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

TEOREMA: Criterio para soluciones Linealmente Independientes (LI)

TEOREMA: Solución general para ED homogéneas.

3.2 PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN

3.3 EDOL HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

3.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS

3.5 METODO DEL ANULADOR

3.6 VARIACION DE PARAMETROS

3.7 ECUACION DE CAUCHY-EULER






3.1. TEORIA PRELIMINAR

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE VALORES EN LA FRONTERA

Para una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden, un problema de valor inicial seria:

Resolver

Sujeta:

Recuerde que para un problema como este se busca una función definida en algún intervalo I que

contenga una que satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especificadas en

Conociendo que para un problema de valor inicial de segundo orden, una curva de solucióndeberá atravesar el punto y tener una pendiente en ese punto.

TEOREMA: EXISTENCIA DE SOLUCION UNICA

Sean continuas en un intervalo I, sea para todo

.

Si es cualquier punto en el intervalo existe una solución en dicho intervalo del

problema de valor inicial representado por y y esta solución esUNICA.

Ejemplo 1. Solución Única de un PVI

El problema de valor inicial

Posee la solución trivial y=0. Dado que la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes

constantes, se deduce que todas las condiciones del teorema anterior se cumplen. Por lo tantoY=0 será la UNICA solución en cualquier intervalo que contenga x=1.






NOTAS:

Para todos los enunciados siguientes se cumple:i. Todos los coeficientes son continuos

ii. es continuaiii.

Un OPERADOR DIFERENCIAL es una TRANSFORMACION LINEAL

NOTACIONES

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Sean soluciones de la EDO de orden n en un intervalo I. entonces la combinaciónlineal de las tambien es una solución en el intervalo.

Combinación Lineal: Son ctes arbitrarias con i= 1, 2, … , k

Corolario a) Un múltiplo constante

de una solución

de una EDOL homogénea

también es una solución.

b) y=0 es una solución trivial para una EDOL homogénea.

DEFINICION. Independencia o Dependencia Lineal

Son vectores

Combinación Lineal con escalares.

Todos los

son 0 Linealmente Independientes L.I

Sí Existe al menos un Linealmente Dependientes L.D

Dos funciones son L.D, si una es múltiplo escalar de la otra.






TEOREMA: CRITERIO PARA SOLUCIONES L.I

Sean ; n soluciones de la EDOL Homogénea de orden en un intervalo I . entonces elconjunto de soluciones es L.I. en el intervalo I, sí y solo sí el WRONSKIANO es

diferente de cero para todo x.

TEOREMA: SOLUCION GENERAL PARA E.D HOMOGENEAS

Sean

) un conjunto fundamental de soluciones de las EDOL Homogénea de orden n

en un intervalo I. Entonces la solución general en el intervalo es:

TEOREMA: SOLUCION GENERAL PARA E.D NO HOMOGENEAS

Sea cualquier solución particular de la EDOL NO Homogénea de orden n en un intervalo I y sea ) un conjunto fundamental de soluciones de la EDOL Homogénea asociada; entoncesla solución general es igual:






0

3.2. PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN

A continuación se examinara un método para determinar soluciones cuando los coeficientes de laED de (1) son constantes. Este método que es un sencillo ejercicio de algebra, se descompone enalgunos casos y solo produce una solución única de la ED. Resulta que se puede construir unasegunda solución de una ecuación homogénea (1) (aunque los Coeficientes de (1) seanvariables) siempre y cuando se conozca una solución no trivial de de la ED.

La idea básica de esta sección es que la ecuación lineal de segundo orden (1) se puede reducir auna ED de primer orden mediante una sustitución que involucre la solución conocida . Unasegunda solución de (1) aparece después que esta ED de primer orden se resuelve.

PROCEDIMIENTO:

Supongamos es una solución conocida.

Sustituyendo en (2), se tiene:

Sea

Reemplazando:






Luego es decir:

Ejemplo.

Resolver:






3.3. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Se ha visto que la ecuación que la ED lineal de primer orden , donde a es unaconstante, posee la solución exponencial

en el intervalo (-

). Por lo tanto, es

natural pensar si existen soluciones exponenciales para las ecuaciones lineales homogéneas deorden superior.

Donde los coeficientes , i = 0, 1,…, n son constantes reales y . Lo sorprendente es quetodas las soluciones de estas ecuaciones de orden superior son funciones exponenciales o estánconstruidas a partir de funciones exponenciales.

ECUACION AUXILIAR. Comencemos por considerar el caso especial de una ecuación de segundoorden:

Supongamos: es solución de

Sustituyendo en se tiene:

Entonces se tiene:

Analizando el discriminante se obtiene 3 casos que se estudiaran a continuación.

CASO 1. Raíces Reales Distintas

Bajo el supuesto que la ecuación tienes 2 raíces reales distintasy , encontramos 2soluciones

CASO 2. Raíces Reales Repetidas

Cuando , se obtiene solo una solución exponencial . Del análisis efectuado en

la seecion anterior del PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN se deduce una segunda solución de laecuación:

Entonces la solución general es:






CASO 3. Raíces Conjugadas Complejas

Si y son complejas, entonces podemos escribir: y obtenemos dos soluciones:

Aplicando la formula de Euler:

Reemplazando:

Ejemplo.

Resolver:






3.4. COEFICIENTES INDETERMINADOS

Para resolver una ecuación diferencial no homogénea

i. Encontrar la función complementaria ; para esto se debe solucionar la ecuaciónhomogénea asociada como si se tratara de coeficientes constantes.

ii. Encontrar cualquier solución de la ecuación no homogénea

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR

1. Suponer que tiene la misma forma de 2. Escribir

3. Derivar tantas veces como el orden de la ecuación.4. Reemplazar el ecuación.5. Por igualación de coeficientes de potencias iguales encontramos el valor de los

parámetros.6. Reescribir con los valores de los parámetros encontrados.7. Escribir la solución general:

Ejemplo.

Resolver: Solución:

1. Resolver la Ec. Homogénea asociada

2. Encontrar la solución particular, suponemos de la forma:

Reemplazando:






Igualamos términos semejantes:

3. Escribimos la solución general:

En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos de g(x) junto con la formacorrespondiente de la solución particular. Dando por hecho que en la solución particular asumida

ninguna función es duplicada por una función en la función complementaria.

g(x) Forma de

Constante A

5x+7






Forma de

3.5. MÉTODO DEL ANULADOR

Reescribiendo:

OPERADORES ANULADORES

Ejemplo. Resolver

1. Resolver la homogénea asociada.

2. Reescribir la Ec. en términos de Operadores

Operador anulador=

Donde: m=0 es una raíz de multiplicidad algebraica =3m=-2 es una raíz de multiplicidad algebraica =1m=-1 es una raíz de multiplicidad algebraica =1

Luego:






Sustituyendo en la Ec.

Igualando términos semejantes:

3.6. VARIACION DE PARAMETROS

El método de variación de parámetros usado, en el capítulo 2 para encontrar una solución

particular de una ecuación diferencial lineal de primer orden, es aplicable también a ecuaciones de

orden superior. La variación de parámetros tiene una ventaja clara sobre los demás métodos en

cuanto a que siempre produce una solución particular de a condición de que la ecuación

homogénea asociada se pueda resolver. Además este método a diferencia de los coeficientes

indeterminados no está limitado a casos donde la función de entrada es una combinación de las

funciones enunciadas anteriormente, ni se circunscribe a ecuaciones diferenciales con coeficientes

constantes.

se obtienen por la complementaria

Por la regla de Cramer, la solución del sistema seria: Puede expresarse en términos de determinantes:

Las funciones y se encuentran integrando los resultado de . El determinante w sereconoce como el WRONSKIANO de . Por independencia lineal de en el intervalo I,

sabemos que para toda x en el intervalo.






Ejemplo. Resolver:

1. Resolver la Ec. Homogénea Asociada

2. Encontrar la solución particular

3. Escribimos la solución general






Igual Igual

3.7. ECUACION DE CAUCHY – EULER

La relativa facilidad con que se encontraron soluciones explicitas de ecuaciones diferencialeslineales de orden superior con coeficientes constantes no se puede aplicar a ecuaciones

diferenciales lineales con COEFICIENTES VARIABLES. Más adelante se verá que cuando unaecuación diferencial lineal tiene coeficientes variables, generalmente lo mejor que se puedeesperar es encontrar una solución en forma de serie infinita.

No obstante, el tipo de ecuación diferencial considerada en esta sección es una excepción a estaregla; es una ecuación con coeficientes variables cuya solución general puede expresarse siempreen términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas y exponenciales. Ademássu método de solución es muy similar al que se usa en las ecuaciones con coeficientes constantes.

Cualquier ecuación diferencial de la forma:

Donde los coeficientes son constantes se conoce como Ecuación de Cauchy-Euler ,ecuación de Euler o Ecuación Equidimensional . La característica observable de este tipo de

ecuación es que el grado k=n, n-1,…, 1, 0 de los coeficientes nominales coincide con el orden k

de diferenciación .

El procedimiento se inicia con un análisis detallado de las formas de las soluciones generales de laecuación homogénea.

Supongamos una solución Reemplazando en






Como se vio en el método de coeficientes constantes, la solución de esta ecuación cuadráticamediante el análisis del discriminante presenta 3 casos:

CASO 1. Raíces Reales Distintas

CASO 2. Raíces Reales Repetidas

CASO3. Raíces Complejas Conjugadas

SOLUCION PARTICULAR.

También se puede resolver la ecuación no homogénea por

variación de parámetros, una vez determinada la función complementaria

Ejemplo. Resolver: Multiplicar por x o una potencia de x para llevarlaa Cauchy-Euler.

1. Resolver la Ec. Homogénea Asociada

Reemplazando:






2. Solución Particular [Aplicando Variación de Parámetros]

3. Escribir la solución general

De este modo se da por terminado el capitulo 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR.

BIBLIOGRAFIA:

ZILL. Dennis, CULLEN. Michael. ECUACIONES DIFERENCIALES. Séptima Edición. McGraw Hill.


REALIZADO: JAVIER O. GUERRERO R.

I SEMESTRE 2010

Ecuaciones Cap 3

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