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CAPITULO 4. APLICACIONES E.D. DE ORDEN SUPERIOR

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

Revisado y complementado: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede UIS-Socorro

CAPITULO 4. APLICACIONES ECUACIONES

DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR

En este capítulo se trataran algunas de las aplicaciones de la vida cotidiana que pueden ser modeladas por medio de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Del mismo modo se estudiara un proceso para resolver ecuaciones lineales por medio de expresiones en forma de series de Taylor.

CONTENIDO DEL CAPITULO

4.1. SISTEMA MASA – RESORTE

MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

MOVIMIENTO FORZADO

4.2. CIRCUITO SERIE RLC 4.3. SOLUCIONES EN SERIE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES




SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS ORDINARIOS

SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES

4.1. SISTEMA MASA RESORTE

En esta sección consideramos diversos sistemas lineales dinámicos en los cuales cada modelo matemático es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en el tiempo .

Recuerde que g es la función de entrada, impulsora o forzadora, del sistema. La salida o respuesta del sistema es una función definida en un intervalo I que contiene y satisface tanto la ecuación diferencial como las condiciones iniciales en el intervalo I. NOTA: algunos ejemplos y ejercicios de sistemas masa – resorte se estudiaran detalladamente en otro documento, en el cual su desarrollo esta paso a paso, permitiendo una mejor comprensión de la temática a trabajar en esta sección.

MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

LEY DE HOOKE:

LEY DE NEWTON:

Reemplazando

L L L+S

S

X




Solucionando la ecuación tenemos:

T= Periodo f= frecuencia FORMA ALTERNATIVA

MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

El concepto de movimiento armónico es un tanto irreal, dado que el movimiento descrito anteriormente asume que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre la masa puesta en movimiento. A menos que la masa este suspendida en un vacio perfecto, habrá al menos una fuerza resistente debida al medio circundante. La masa podría estar suspendida en un medio viscoso o estar conectada a un dispositivo amortiguador de aceleración. Constante de Amortiguamiento β es proporcional a la velocidad instantánea dx/dt.




Para solucionar esta ecuación se procede de la misma manera que una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Como se vio en método de coeficientes constantes, por medio del análisis del discriminante se

pueden tener 3 casos:

CASO1. MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO

CASO2. MOVIMIENTO CRITICAMENTE AMORTIGUADO

CASO3. MOVIMIENTO SUB- AMORTIGUADO




MOVIMIENTO AMORTIGUADO FORZADO Ahora se debe suponer que se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa vibratoria en un resorte. Por ejemplo f(t) podría representar una fuerza conducida que ocasiona movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte. La inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial del movimiento forzado.

Al dividir entre m se tiene:

Para resolver la última ecuación no homogénea se puede usar ya sea el método de coeficientes indeterminados o la variación de parámetros.




4.2. CIRCUITO SERIE RLC

Tal como se menciono en la introducción de este capítulo, se pueden describir muchos sistemas físicos diferentes mediante una ecuación diferencial lineal de segundo orden que sea similar a la ecuación diferencial del movimiento forzado con amortiguación:

Si i(t) denota la corriente en el circuito eléctrico RLC en serie mostrado en la figura, entonces por la segunda ley de Kirchoff la suma de las caídas de voltaje a través del inductor, del resistor y del capacitor es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito, es decir:

Entonces:

La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea para describir sistemas masa-resorte. Si E(t) = 0 se dice que las vibraciones del circuito son libres . Dado que la ecuación auxiliar para

solucionar esta ecuación es

, habrá tres formas de solución con .

Dependiendo del valor del discriminante . Se dice que el circuito esta:

SOBREAMORTIGUADO

CRITICAMENTE AMORTIGUADO

SUB-AMORTIGUADO




4.3. SOLUCIONES EN SERIE PARA

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Hasta ahora se vio que resolver una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes es esencialmente un problema de algebra. Cuando se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar se puede escribir una solución general de la ecuación diferencial como una combinación de las funciones elementales. Pero como se señalo anteriormente no es posible resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes variables en términos de funciones elementales. Un método común para resolver ecuaciones de esta naturaleza es asumir una solución en la forma de series infinitas y proceder de manera similar al método de coeficientes indeterminados.

DEFINICION. PUNTO ORDINARIO Y PUNTO SINGULAR Un punto es un punto ordinario de la ecuación diferencial . Si tanto y en su forma

estándar son analíticas en . Se dice que un punto que no es ordinario es un punto singular de la ecuación.

DEFINICION. FUNCION ANALITICA Una función es analítica en si se puede representar por medio de una serie de potencias en .




es un punto ordinario de la ecuación si ( evaluado en

es ); mientras que es un punto singular.

SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS ORDINARIOS

TEOREMA Si es un punto ordinario de la ecuación siempre se pueden determinar 2 soluciones linealmente independientes (L.I) en forma de una serie de potencias centrada en , esto es:

Ejemplo. Resolver

Entonces:

Reemplazando

k=n-2 k=n+1




Entonces:

Despejando:

Tomando valores para k:

Como se puede ver ya se tienen las dos soluciones linealmente independientes. Ahora se escribe la solución general:




SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES

DEFINICION PUNTOS SINGULARES REGULARES E IRREGULARES Se dice que un punto es singular regular de la ecuación si las funciones

y son ambas analíticas en

Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular.

DEFINICION PUNTOS SINGULARES REGULARES Es un punto singular regular si aparece cuando mucho a la primera potencia en el denominador de y cuando mucho a la segunda potencia en el denominador de

Ejemplo. Clasificar los puntos




TEOREMA DE FROBENIUS. SOLUCION EN TORNO A PUNTOS SINGULARES Si es un punto singular regular de la ecuación entonces existe al menos una solución de la forma:

Donde r es una constante por determinar. Nota: * Relación de Recurrencia

* Ecuación Indicial

Ejemplo. Resolver

Aplicando el teorema de Frobenius se tiene:

Sustituyendo en la ecuación:




K=n-1 k=n

Entonces:

Despejando la relación de recurrencia para cada una de las raíces de la ecuación Indicial y

tomando valores para k, se tiene:

Para r = 0




Para r=2/3

Por último, se escribe la solución general formada por las dos soluciones LI.

El teorema de Frobenius no siempre provee dos soluciones LI, en otras palabras el método de

Frobenius solo produce una solución en serie y en estas situaciones el análisis de la naturaleza de

las raíces indíciales da como resultado tres posibles casos.

CASO I. SI son distintas y no difieren por un entero, existen dos soluciones linealmente

independientes de la forma mostrada en el ejemplo anterior.

CASO II. SI , donde N es un entero positivo, entonces existen dos soluciones

linealmente independientes de la forma siguiente ( se obtiene por medio del principio de

reducción de orden)




CASO III. Si , entonces siempre existen dos soluciones linealmente independientes de la

forma siguiente:

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