UNIDAD 2LGEBRAEcuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones Dr. Daniel Tapia Snchez

Resolver ecuaciones de primer grado con una incgnita, sean stas numricas, literales o fraccionarias .Reconocer los mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones, estableciendo las diferencias entre un procedimiento y otro.Aplicar los mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones en problemas de planteo.Reconocer cundo un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y cundo no tiene solucin.En esta actividad aprenders a:

Contenidos2.5 Ecuacin de primer grado con una incgnita2.5.1 Ecuaciones numricas2.5.2 Ecuaciones literales2.6 Sistemas de ecuaciones2.6.1 Mtodos de resolucin2.5.3 Ecuaciones fraccionarias2.6.1.1 Igualacin2.6.1.1 Sustitucin2.6.1.1 Reduccin

2.7. Ecuacin de primer gradoEs aquella, en que el mayor exponente de la incgnita es 1 y, por lo tanto, tiene una solucin.

2.7.1 Ecuaciones numricasEjemplos:5x - 2x +10 = 2x + 22 -2x3x + 10 = 223x + 10 10 = 22 - 103x = 12x = 4/ Restando 2x/ Restando 10 / Dividiendo por 3

/ Reduciendo trminos semejantes 4x + 16 = 4x + 16/ Restando 164x + 16 16 = 4x + 16 - 164x = 4xCuando en una ecuacin, las incgnitas se eliminan y se llega a una igualdad, la ecuacin tiene INFINITAS SOLUCIONES, es decir, para cualquier valor de x se cumple la igualdad./ Restando 4x4x 4x = 4x 4x0 = 0

/ Reduciendo trminos semejantes 11x + 2 = 11x + 12/ Restando 211x = 11x + 10/ Restando 11x0 = 1011x + 2 -2 = 11x + 12 -211x 11x = 11x + 10 11xCuando en una ecuacin, las incgnitas se eliminan yNO se llega a una igualdad, la ecuacin NO TIENE SOLUCIN, es decir, no existe un valor para x que cumpla la igualdad.

2.7.2 Ecuaciones literalesEjemplos:/ - qx Determinar el valor de x en las siguientes ecuaciones:px + q qx = qx + p - qxpx + q qx = p/ - qpx + q qx - q = p - qpx qx = p - q/ Factorizando por xx(p q) = p - qx = 1

/ Multiplicando ax + ab = ac - ax/ Sumando ax ax + ax + ab = ac - ax + ax2ax + ab = ac/ Restando ab 2ax + ab - ab = ac - ab2ax = ac - ab/ Factorizando por a 2ax = a(c b)

2.7.3 Ecuaciones fraccionariasUn mtodo muy til para resolverlas es eliminar los denominadores y dejarlas lineales. Ejemplo:Determine el valor de x en la siguiente ecuacin:23x + 21 = 13x - 206x + 2 = 3x - 20/ Simplificando/ Multiplicando por 10/ Simplificando

3x + 2= -203x = -226x - 3x + 2= 3x 3x - 20/ Restando 23x + 2 - 2 = -20 - 2/ Dividiendo por 36x + 2 = 3x -20/ Restando 3x

2.8. Sistemas de EcuacionesEs un conjunto de ecuaciones donde hay ms de una incgnita.

Para determinar el valor numrico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incgnitas, es decir, si hay 3 incgnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas.

2.8.1. Mtodos de resolucin de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas Igualacin:Una vez despejada, se igualan los resultados. Consiste en despejar la misma incgnita en ambas ecuaciones del sistema.El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo:Despejando x en ambas ecuaciones:1) 2x + 3y = 72x = 7 - 3y2) x - 4y = -2x = -2 + 4yIgualando ambas ecuaciones:

7 3y = -4 + 8y7 3y + 3y = -4 + 8y + 3y7 = -4 + 11y7 + 4= -4 + 11y + 411= 11y1= y/ Multiplicando por 2/ + 3y/ + 4/ :11Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x.

x = -2 + 4yReemplazando y = 1 en la ecuacin 2) :x = -2 + 4 (1)x = -2 + 4x = 2La solucin corresponde al punto de interseccinde 2 rectas.Las rectas se intersectan en el punto (x,y), en este caso,(2,1).

Si las rectas son paralelas, no existe solucin. Si las rectas son coincidentes, tiene infinitas soluciones.

Sustitucin:Consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuacin, despejando la nica variable que queda. El resultado que se obtiene se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.Ejemplo:

Despejando x en la ecuacin 2)x = -2 + 4y2) x - 4y = -2Reemplazando x en la ecuacin 1)1) 2x + 3y = 72(-2 + 4y) + 3y = 7-4 + 8y + 3y = 711y = 7 + 411y = 11y = 1Como x = -2 + 4yx = -2 + 4 (1)x = 2/ Multiplicando/ Sumando 4/ Dividiendo por 11

Reduccin:Consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones del sistema Luego, se suman o restan ambas ecuaciones, de modo que se eliminen los trminos cuyos coeficientes se igualaron.Ejemplo:

Para eliminar x, multiplicaremos la ecuacin 2) por -2/ (-2)/ Sumando ambas ecuaciones(+)11y = 11y = 1/ Reemplazando y=1 en la ec. 2)2) x - 4y = -2x - 4 (1) = -2x = 2x = -2 + 4/ Dividiendo por 11

Ejercicios de Aplicacin1. Se tienen canguros y koalas, si hay 55 cabezas y 170 patas, cuntos canguros y koalas hay?Sea c: N de canguros y k: N de koalas Solucin:Como los canguros tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad total de patas de canguro ser 2c y el total de patas de koala 4k.

Con estas dos ecuaciones se forma el siguiente sistema de ecuaciones: /(-2)/ Sumando ambas ecuaciones(+)2k = 60 k = 30/ Reemplazando K=30 en la ec. 1)1) c + k = 55c + 30 = 55c = 55 - 30c = 25 Por lo tanto, hay 25 canguros y 30 koalas.

Solucin:/(-3)/ Sumando ambas ecuaciones(+)0 = 0Se eliminaron las incgnitas y llegamos a una igualdad, por lo tanto, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.Determinar x e y.

3.Determinar: a + b + c./ Sumando las tres ecuaciones(+)6a + 6b + 6c = 1806(a + b + c) = 180(a + b + c) = 30/ Factorizando por 6/ Dividiendo por 6