Ecuacin de la Recta Tangente, Normal e Interseccin de Curvas.Recta tangente

Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definicin no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o ms puntos, adems de ser inclinada, horizontal o vertical.

y = x3+1y = sen x

Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3

Para obtener una definicin adecuada de la recta tangente a la grfica de una funcin en un punto se emplea el concepto de lmite

Ecuacin de la recta tangente

Sea f una funcin continua en xo. La ecuacin de la recta tangente a la curva en xo es:

i) y = f '(xo) . x + b, si la funcin es derivable en xo.ii) x=xo, si la derivada, cuando x tiende a xo por la izquierda y por la derecha, es ms infinito (o menos infinito).

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre s.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la funcin en dicho punto.

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Una funcin que no es continua en un nmero, se dice que es discontinua en dicho nmero. En la grfica de una funcin que es discontinua en el nmero a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

Las discontinuidades eliminables se denominan tambin discontinuidad de "hueco": en la grfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales tambin reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los lmites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el lmite de f cuando x tiende a a es infinito.T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d LA DERIVACION COMO RAZON DEL CAMBIO La aplicacin de la "Razn del cambio", tiene muchas aplicaciones por ejemplo: Los ndices de reprobacin en Diseo Estructurado de Algoritmos, los costos de produccin.Normalmente las razones de cambio refieren a los cambios respecto al tiempo, pero se puede buscar la "razn del cambio" respecto a cualquier variable relacionada. Por ejemplo: Un basquetbolista hace un tiro al aro, cuya trayectoria est definida por la ecuacin y = -0.05x2+2x, observemos la razn del cambio de la altura "y" del baln conforme aumenta su distancia horizontal "x".Si x = 5 la altura es y = 8.75, si x = 15, la altura del baln es de y = 18.75, el cociente de incrementos de y al pasar de x = 5 a x = 15 esSupongamos que Martn Gramtica (pateador de futbol americano de los Bucaneros de Tampa Bay), tiene que anotar un gol de campo decisivo. Si la trayectoria del baln est definida por la ecuacin siguiente: y = x-0.02x2