MODULO DE APRENDIZAJE CINETICA PLANA DE CUERPO RIGIDO: MÉTODOS ENERGETICOS

1.- ENERGÍA CINETICA

Consideramos los métodos energéticos a problemas que implican fuerza, velocidad y desplazamiento relacionados con el movimiento plano de un cuerpo rígido. Se analiza el movimiento de un cuerpo rígido plano para obtener la energía cinética del cuerpo cuando está sometido a traslación, rotación con respecto a un eje fijo, o movimiento plano general.

2.- Traslación. Cuando un cuerpo rígido de masa m está sometido a traslación rectilínea o curvilínea, la energía cinética debida a la rotación es cero, ya que = 0. A partir de la, la energía cinética del cuerpo es:

T = ½ mv2G

donde vG es la magnitud de la velocidad de traslación en el instante considerado.

3.- Rotación con respecto a un eje fijo.

Cuando un cuerpo rígido esta girando con respecto a un eje fijo que pasa por el punto O. el cuerpo tiene energía cinética trasnacional y rotacional como esta definida por la ecuación

T = ½ mv2G + ½ IG2

Para el caso de rotación alrededor de un eje fijo se cumple que: vG = rGla energía cinética del cuerpo puede ser reformulada:

T = ½ (IG + mr2G)2

de acuerdo al teorema de los ejes paralelos, los términos dentro del paréntesis representan el momento de inercia IO del cuerpo con respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por el punto O. Por consiguiente:

T = ½ IO2

4.- Movimiento plano general.

Cuando un cuerpo rígido está sometido a movimiento plano general tiene velocidad angular y su centro de masa tiene velocidad vG. Por consiguiente, la energía cinética

T = ½ mv2G + ½ IG2

La energía cinética total del cuerpo consta de la suma escalar de la energía cinética trasnacional del cuerpo, ½ mv2

G, y que la energía cinética rotacional con respecto a su centro de masa, ½ IG2.

5.- El trabajo de una fuerza

En problemas de cinética plana que implican un cuerpo rígido, a menudo son encontrados varios tipos de fuerzas. Se presentan el trabajo de cada una de las fuerzas.

5.1.- Trabajo de una fuerza variable.

Si una fuerza externa F actúa sobre un cuerpo rígido, el trabajo realizado por la fuerza cuando se mueve a lo largo de la trayectoria s, se define como

U=F.dr =∫r

F cos θ ds

Aquí es el ángulo entre las “colas” del vector fuerza y del diferencial dedesplazamiento. En general, la integración debe tener en cuenta la variación de la dirección y la magnitud de la fuerza.

5.2 Trabajo de una fuerza constante.

Si una fuerza externa Fc actúa sobre un cuerpo rígido, y mantiene una magnitud constante Fc y una dirección constante ,mientras el cuerpo experimenta una traslación s, la expresión anterior puede ser integrada:

UFc = (Fc cos) s 5.3.- Trabajo de un peso.

El peso de un cuerpo efectúa trabajo solo cuando el centro de masa G del cuerpo experimenta un desplazamiento vertical y. Si este desplazamiento es hacia arriba, el trabajo es negativo puesto que el peso y el desplazamiento están en direcciones opuestas.

UW = -Wy

Si el desplazamiento es hacia abajo el trabajo resulta positivo.

5.4.- Trabajo de una fuerza de resorte.

Si un resorte elástico lineal está unido a un cuerpo, la fuerza en el resorte Fs = ks que actúa sobre el cuerpo efectúa trabajo cuando el resorte se alarga o comprime desde s1 hasta otra posición s2.

US = - ( ½ k s22 - ½ k s2

1 )

En ambos casos el trabajo será negativo ya que el desplazamiento del cuerpo es en la dirección opuesta a la fuerza.

6.- El trabajo de un par

Si el cuerpo experimenta una rotación diferencia d con respecto a un eje que es perpendicular al plano del par e interseca el plano en el punto O, entonces cada fuerza tendrá un desplazamiento ds = (r/2)d en la dirección de la fuerza. Por consiguiente, el trabajo total realizado es

dUM = F(

r2 d) + F(

r2 d) =( Fr) d

= M d

Cuando el cuerpo gira en el plano un ángulo finito medido en radianes, desde 1 hasta 2, el trabajo de un par es

UM = ∫θ1

θ2

Md θ

si el momento de par M tiene magnitud constante, entonces

UM = M (2 -1)

Aquí el trabajo es positivo si M y (2 -1) están en la misma dirección.

7.- Principio del trabajo y la energía

El principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido:

T1 + U1-2 = T2

Esta ecuación establece que la energía cinética de traslación y rotatoria inicial del cuerpo, más el trabajo realizado por todas la fuerzas y momentos de par externos que actúan sobre el cuerpo cuando este se mueve desde su posición inicial hasta su posición final, es igual a la energía cinética traslación y rotacional final del cuerpo.

8.- Conservación de la energíaCuando un sistema de fuerzas qué actúa sobre un cuerpo rígido está constituido solo por fuerzas conservativas, el teorema de la conservación de la energía puede ser usado para resolver un problema. Este teorema resulta más fácil de aplicar ya que el trabajo de una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y depende solo de las posiciones inicial y final del cuerpo.

8.1.- Energía potencial gravitatoria.

Como el peso total de un cuerpo puede considerarse concentrado en su centro de gravedad, la energía potencial gravitatoria del cuerpo es determinada conociendo la altura del centro de gravedad del cuerpo por arriba o por debajo de un plano de referencia. Midiendo yG como positiva hacia arriba, la energía potencial gravitatoria del cuerpo es entonces.

Vg = W yG

Plano de referencia

Aquí la energía potencial es positiva cuando yG es positiva, si el cuerpo está ubicado por debajo del plano de referencia (-yG), la energía potencial gravitatoria es negativa,

8.2.- Energía potencial elástica.

La fuerza desarrollada por un resorte elástico es también una fuerza conservativa. La energía potencial elástica que un resorte imparte a un cuerpo unido a el cuándo el resorte es alargado o comprimido desde una posición inicial no deformada (s = 0) hasta una posición final s, es

Ve = + ½ ks2

9.- Conservación de la energía.

En general, si un cuerpo esta sometido a fuerzas gravitatorias y elásticas, la energía potencial total es expresada como una función potencial V representada como la suma algebraica

V = Vg + Ve

Aquí la medición de V depende de la ubicación del cuerpo con respecto al plano de referencia seleccionado.El trabajo de fuerzas conservativas puede ser escrito como una diferencia en sus energías potenciales, esto es: ( U1-2 )cons = V1 - V2

Reemplazando en el principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido:

T1 + V1 = T2 + V2

Esta ecuación representa la conservación de la energía mecánica; y establece que la suma de las energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante cuando el cuerpo se mueve de una posición a otra.

METODOLOGÍA DE ANALISIS

La ecuación de la conservación de la energía se usa para resolver problemas que implican velocidad, desplazamiento y sistemas de fuerzas conservativas. En aplicaciones se sugiere usar el siguiente procedimiento.

Energía potencial Dibuje los diagramas que muestren al cuerpo en sus posiciones inicial y final a lo largo de la

trayectoria. Si el centro de gravedad, G, está sometido a un desplazamiento vertical establezca un plano

de referencia horizontal fijo desde el cual se mida la energía potencial Vg gravitatoria del cuerpo.

Los datos pertinentes a la elevación yG del centro de gravedad del cuerpo desde el plano de referencia y la extensión o compresión de cualquier resorte conectado pueden ser determinados a partir de la geometría del problema y anotados en los dos diagramas.

Recuerde que la energía potencial V = Vg+Ve Aquí Vg = WyG, que puede ser positiva o negativa, y Ve = ½ ks2, la cual es siempre positiva.

Energía cinética. La energía cinética del cuerpo consta de dos partes: la energía cinética de traslación, T = ½

mv2G, y la energía cinética rotatoria, T = ½ IG2.

Los diagramas cinéticos para la velocidad pueden ser útiles para determinar vG, y y establecer una relación entre estas cantidades.

Conservación de la energía Aplique la ecuación de la conservación de la energía T1 + V1 = T2 + V2.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Si la esquina A de la placa de 60 kg se aplica unafuerza vertical P = 500 N y la placa está en reposocuando Ө= 0°, determine su velocidad angularcuando Ө = 60

2.- Dos barras ligeras AB y BC, de masa “m”, sesueldan entre si para formar un mecanismo en formade L, el cual se presiona contra un resorte en D y sesuelta desde la posición indicada. Si se sabe que elángulo máximo de rotación es de 900 en sentidoanti horario, determine la velocidad angular delmecanismo cuando pasa por la posición en que labarra AB forma un ángulo de 600 con la horizontal

3.- Una barra uniforme, que pesa 25 N y tiene unalongitud de 90 cm gira en un plano vertical bajo laaccion de un par M = 3,75 m.N. Si se suelta labarra partiendo del reposo, determine: a) la velocidad angular de la barra cuando esta en la posicion vertical.b)Las reacciones que el pasador B ejerce sobrela barra en esa posicion

4.- El disco de 20 kg esta originalmente en reposo y el resorte en estado de reposo. Un momento depar de M = 35 N.m es aplicado al disco como semuestra en la figura. Determine la velocidadangular en el instante que el centro de masa Gse ha movido 0.5 m a lo largo del plano inclinado.El disco se nueve sin deslizar. K= 150 N/m

5.- La barra AB tiene una masa de 5 kg y la barra BC una masa de 3 kg. Si el sistema se suelta del reposo en laposición mostrada, determine lasvelocidades angulares de las barras en el instante inmediato anterior en que la junta B toca el piso.

6.- El movimiento de la barra AB de 10 kg seguía mediante collarines de masa despreciable,los cuales se deslizan libremente sobre las barrashorizontal y vertical. Si la barra suelta desde elreposo cuando θ = 200 , determine la velocidad de los collarines A y B cuando θ = 600.

7.- Los extremos de la barra AB de 4 kg están obligados a moverse, como se muestra, por lasranuras abiertas en la vertical. Al extremo A sesujeta a un resorte de constante k = 525 N/m ,de tal modo que su longitud no alargada es cuando θ = 00.Si la barra se suelta desde el reposo cuando θ = 00,hallar su velocidad angular y la velocidad delextremo B cuando θ = 300.