Dosier módulo I

Dosier módulo IV

Módulo IV

4Introducción

1. Análisis Cualita vo del Comportamiento de Funciones. 81.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Generalidades sobre Funciones, Funciones Asociadas y Funciones Básicas. 222.1. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Definición, Dominio y Rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Paridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3. Monotonía y valores extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4. Tasa de variación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.5. Funciones Periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.6. Convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.7. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Funciones Asociadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1. Traslaciones Ver cales y Horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2. Reflexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3. Contracciones y Dilataciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Funciones Básicas y sus Asociadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1. Función Lineal, Cuadrá ca, Cúbica, y = xn, y = n

√x (n ∈ N). . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2. Funciones Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.3. Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Operaciones Con Funciones. Función Inversa 493.1. Operaciones algebraicas: suma, producto y cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Comparación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1. Funciones inyec vas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.2. Funciones sobreyec vas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.3. Funciones biyec vas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.4. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.2. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.3. Comparación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.4. Funciones biyec vas e inversa de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2. Derivada de una función en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3. Función derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4. Álgebra de derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5. Derivada de la composición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6. Derivadas sucesivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7.1. Interpretación Geométrica y Física de la Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7.2. Derivada de una función en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7.3. Derivadas de las funciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7.4. Álgebra de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7.5. Derivada de la composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.7.6. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.8. Aplicaciones de la Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8.1. Punto Crí co y Valores Extremos de una Función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8.2. Teorema de Rolle y Teorema del Valore Medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.8.3. Monotonía de una función. Extremos rela vos: criterio de la primera derivada. . . . 874.8.4. Concavidad de una función. Extremos rela vos: criterio de la segunda derivada. . . 904.8.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5. Referencias 104

4. La Derivada de una Función. 654.1. Interpretación Geométrica y Física de la Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.1. Rectas secantes y tangentes al gráfico de una función en un punto. . . . . . . . . . 664.1.2. Aproximación de una función por una función a n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.3. Velocidad Instantánea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Metodología y obje vos del módulo

Los objetos, conceptos y procesos matemá cos pueden admi r dis ntas representaciones. Y dado que se considera que el conocimiento matemá co es como el invariante de múl ples representaciones, ellas juegan un papel fundamental tanto en la ac vidad matemá ca como en su proceso de enseñanza y aprendizaje. Por tanto, la coordinación de estas representaciones y el desarrollo de las habilidades cogni vas para conver r una representación en otra se vuelven ac vidades sumamente importantes para no llegar a confundir los objetos con sus representaciones, por un lado, y poder reconocer el objeto en cada una de ellas, por otro. También los procesos de representación y abstracción son procesos complementarios: por un lado, un concepto se abstrae a par r de varias de sus representaciones y, por otro, las representaciones son siempre representaciones de algún concepto más abstracto. En consecuencia, si se u liza una sola representación del concepto, puede suceder que la atención se centre en la representación en lugar del objeto abstracto representado. Sin embargo, cuando se consideran simultáneamente varias representaciones, la relación con el concepto abstracto subyacente se vuelve importante.

Este es el caso del concepto de función 1 el cual admite representaciones en diferentes registros, con diversos alcances y limitaciones. Un registro da la posibilidad de representar un objeto, una idea o un concepto, no necesariamente matemá co. La noción de función puede representarse en diferentes registros:

Registro verbal: En este registro la función admite como representación una descripción verbal queu liza el lenguaje natural para darnos una visión descrip va y generalmente cualita va de la relacioón funcional. Si se quiere estudiar un fenómeno u lizando una función como modelo, se cuenta generalmente, en principio, con una descripción de este po. También usamos este registro cuando queremos interpretar los restantes registros, de un nivel simbólico mayor.

Registro tabla: En este registro, una función se representa con una tabla de valores que pone en juegola relación de correspondencia. Este registro nos da una visión cuan ta va y eneḁ limitaciones ya que en una tabla sólo puede incluirse un número finito de pares de valores, y di cilmente podemos extraer las caracterís cas globales de la función.

1Su orígen está en el momento en que se considera la dependencia entre variables. Por ejemplo: el precio de los alimentos, lavariación de los impuestos, la temperatura que oscila, etc. son casos de fenómenos sicos, sociales o mentales que percibimos oimaginamos que están cambiando. La variabilidad que se representa es, en principio, cualita va y más adelante, cuan ta va. Losfenómenos variables pueden ser discretos o con nuos.

4

Registro algorítmico: en este registro, la representación de una función es un programa o un procedimiento,como los que u lizan las calculadoras o computadoras. Representa el proceso para calcular la imagena par r de los valores del dominio.

Cada una de estas representaciones permite expresar un fenómeno de cambio, una dependencia entrevariables. Y el aprendizaje de las funciones pasa, en primer lugar, por un conocimiento de cada uno de estoslenguajes de representación o registros, es decir, por la adquisición de la capacidad de leer e interpretarcada uno de ellos y posteriormente traducir de uno en otro. La siguiente tabla muestra la variedad de todaslas posibles traducciones.

PPPPPPPPPDesdeHacia

Descripción verbal Tabla Gráfica Fórmula

Descripción verbal X Medida Boceto ModeloTabla Lectura X Trazado AjusteGráfica Interpretación Lectura X AjusteFórmula Interpretación Cómputo Gráfica X

Los procesos de traducción de una representación en otra no es una tarea trivial. Las diferentes representaciones se complementan y enriquecen el tratamiento y análisis de un mismo fenómeno. Las situaciones y los enunciados, a través del lenguaje común, proporcionan una visión descripvaȁ y generalmente cualitavaȁ de la relación funcional. La tabla de valores visualiza la relación entre parejas de datos, proporcionando una visión cuan ta va de fácil interpretación. En muchos casos, ésta es parcial e insuficiente puesto que de ella dicilmenteḁ de ella se extraen las caracterís cas globales de la dependencia. Las gráficas y las fórmulas cons tuyen lenguajes más completos. Propician una visión general de la dependencia (tanto cualitavaȁ como cuan ta va ) y posibilitan las caracterización de los modelos que sustentan las dis ntas relaciones entre variables. Mediante las gráficas se pueden intuir, ver y expresar las caracterís cas globales de la dependencia. Las fórmulas permiten obtener la misma información con mayor grado de precisión, pero con mayor dificultad.

Los dos lenguajes de mayor abstracción y por tanto más di ciles de interpretar son la gráfica y la fórmula expresión algebraica. Ambos permiten obtener una visión general y completa de la función estudiada, tanto cualita va como cuan ta va. La diferencia entre ambos lenguajes es evidente: la gráfica permite

o Registro gráfico: En este registro, una función se puede representar por medio de una curva(con nuano) en el plano cartesiano. Se pone en juego la noción de grafo de una función. Este registropermite obtener una visión general y completa de la función bajo estudio, tanto cualitavaȁ comocuan ta va (aunque aproximada), proporcionando mayor y mejor información que los registrosanteriores. También presenta limitaciones, ya que como en el caso de la tabla, es necesario imaginarque connúaȁ más allá de lo que es posible observar.

Registro algebraico: En este registro, una función se puede representar por una expresión algebraicao fórmula, que permite calcular la imagen f (x) para toda x perteneciente al dominio de la función.Esta representación supone el conocimiento de los símbolos u lizados y la habilidad para interpretara par r de ellos conceptos abstractos.

5

El trabajo que proponemos en este módulo se basará en el uso y la ar culaciónde los lenguajes de representacióno registros del concepto de función: verbal, tabla, gráfico y algebraico, para expresar la dependencia funcionalentre variables, describir las caracterís cas de las funciones globales (con nuidad, crecimiento, valoresextremos, periodicidad, tendencia) y locales (tasa de variación media)

Los obje vos generales de este módulo son:

( ) Comprender la variación de las magnitudes que intervienen en una situación y ser capaz de expresardicha variaciónu lizando las dis ntas formas de representación de las funciones (gráfica, tabla, dibujos,expresiones verbales y algebraica), con el fin de formarse un juicio sobre la misma.

( ) Desarrollar fluidez en lau lización del lenguaje matemá co de gráficas, tablas y expresiones algebraicasde cara a describir y analizar situaciones de cambio o variación de magnitudes del mundo real.

( ) U lizar el conocimiento matemá co para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones dela realidad.

( ) Comprender e interpretar dis ntas formas de expresión matemá ca e incorporarlas al lenguaje y a losmodos de argumentación habituales.

( ) Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas suscep bles de ser formulados entérminos matemá cos, resolverlos y analizar resultados u lizando recursos apropiados.

Contenido del módulo

El contenido del presente módulo se ha estructurado teniendo como base los documentos del Curso 6: Estudio de funciones, impar do en el año 2011 bajo el Programa de Especialización para Docentes de Tercer Ciclo de Educación Básica y Bachillerato, y los Materiales de Autoformación e Innovación Docente para Matemá ca de Tercer Ciclo y Bachillerato publicados por el Viceministerio de Ciencia y Tecnología. El obje vo principal es fortalecer los conocimientos teóricos, didác cos y habilidades matemá cas las y los docentes en lo que respecta a funciones. Se trata de desarrollar capacidades para enfrentarse con pernenciaȁ y eficacia a la comprensión y solución de los problemas didác cos e involucrarse en los procesos de innovación de la enseñanza y el aprendizaje de esta disciplina. Para ello, se propone una metodología ac va, parcipaȁ va y reflexiva, que promueve la implicación de las y los par cipantes en ac vidades individuales, grupales y situaciones comunica vas, en las cuales se hace uso de los diferentes sistemas de representación (verbal, gráfica, simbólica, etc.), la resolución de problemas, la modelización matemácaȁ elemental como primer nivel.

o ver las caracterís cas globales de la función (variaciones y períodos constantes, crecimiento,con nuidad, concavidad, máximos y mínimos, periodicidad, etc.), tambíen determinables a par r de laecuación de manera precisa (cuando es posible establecerla a par r de métodos elementales), pero muchomás di ciles de interpretar. El lenguaje algebraico presupone conocer el significado de los símbolos yoperaciones que se u lizan. La ar culación entre el registro gráfico y algebraico resulta en general la másdificultosa para los alumnos. La lectura de representaciones gráficas involucra una interpretación global; yaque se trata de discriminar variables visuales y percibir las variaciones correspondientes en los símbolos dela escritura algebraica. En la enseñanza se suelen proponer ac vidades de pasaje de la representaciónalgebraica de una función a la representación gráfica construida punto por punto y es poco frecuente quese considere el pasaje inverso. En algún momento del aprendizaje del concepto de función, el alumnodebería poder dis nguir la función de sus representaciones. Las ac vidades de ar culación entre registrospodrían favorecer dicha diferenciación.

6

El curso se ha estructurado en cuatro unidades.En la primera unidad sirve como un perludio al concepto de función y su representación gráfica, se estudia ladefinición de función y los elementos necesarios para definirlas. Con ejemplos y ejercicios que se desarrollandetalladamente se pretende que lospar cipantes se familiaricen con el concepto de función para el desarrolloposterior de las unidades.En la segunda unidad se estudian algunas generalidades sobre funciones, también se enuncian algunaspropiedades y conceptos fundamentales y pos de funciones.La tercera unidad se ha reservado para hacer un estudio detallado de las operaciones con funciones y paraintroducir la noción de función inversa, en este momento hablaremos de funciones inyec vas, sobreyec vasy biyec vas, esta finaliza con una lista de ejercicios quepermi rán a lospar cipantes lograr sa sfactoriamentemadurar los contenidos desarrollados.En la cuarta unidad la derivada de funciones, dando interpretaciones geométrica y sica se pretende jus ficare introducir este concepto. En el desarrollo de la unidad se centra en el cálculo concreto de la derivada de unafunción en un punto, la función derivada, el álgebra de derivación, regla de la cadena y derivadas sucesivas,esta unidad finaliza con una lista de ejercicios donde se permite visualizar un panomara sobre las diversasaplicaciones de la derivada.

Como desarrollar el módulo

El modulo se desarrollara mediante ac vidadespresenciales,virtuales y de prác ca docente en ocho semanas.Para las ac vidades presenciales se recomienda retomar los procedimientos y los indicadores de logro decada una de las unidades; establecidos en el descriptor del módulo, ahí se indica de manera secuencial elorden en que se debe trabajar la base teórica y la resolución de problemas. Para el desarrollo de cadasesión de trabajo retomar las sugerencias metodológicas establecidas en cada una de las unidades deldescriptor del módulo, estas se complementaran con una carta didác ca semanal en donde se estableceráde manera específica los contenidos, obje vos, ac vidades a desarrollar, el empo requerido, la evaluacióny los recursos necesarios.Para la ac vidad de prác ca docente se debe entregar una copia sica o virtual de cada una de las prác casdocentes que se entregaron en el manual de prác ca correspondiente al módulo, según la secuencia establecida.En los úl mos 30 minutos de cada sábado explicar los diferentes apartados de la guía de la prác ca y atenderconsultas sobre ella.Para la ac vad virtual se creará un curso en la plataforma correspondiente al módulo de Estudio de Funciones,se habilitarán diferentes ac vidades: lecturas complementarias, ar culos para foros de discusión, materialmulmediaȁ y cues onarios que deberán completar los par cipantes.Un comentario que podría hacerse a los profesores especialistas es que el documento podría u lizarse paraimpar r cursos acerca del estudio de funciones a niveles introductorios y de consolidación, adaptando elenfoque teórico de los temas y los problemas.

Unidad I: Análisis Cualita vo del Comportamiento de Funciones.

Unidad II: Generalidades sobre Funciones, Funciones Asociadas y Funciones Básicas.

Unidad III: Operaciones Con Funciones. Función Inversa

Unidad IV: La Derivada de una Función.

El módulo consiste en un conjunto de ac vidades temá cas diseñadas para ser desarrolladas conjuntamente entre formador y docentes, y se ha estructurado en cinco unidades:

7

Análisis cualitativo del comportamiento

de funciones

8

Funciones ¿Qué son?El espacio recorrido es función de la velocidad, la presión atmosférica es función de la altura. Expresiones como estas que es común escucharlas todos los días, ilustran bastante bien, lo que entendemos por función en matemác a. Las expresiones anteriores significan que: A cada velocidad le corresponde un espacio recorrido (en un intervalo de empo determinado). A cada altura le corresponde una presión atmosférica,A esta asignación se le llama FUNCIÓN. El conjunto de elementos a los que se les asigna “algo” se llama el conjunto de definición de la función. El conjunto de esos “algo” que se les va asignando a cada elemento se llama conjunto de valores de la función.La función es por tanto, una asignación: a cada elemento del conjunto de definición le asigna un valor del conjunto de valores.Aunque se hable de valores, no ene que ser necesariamente un número (a cada persona su nombre), y tampoco es necesario que los valores sean disn tos para dos elementos del conjunto de definición (dos atletas pueden tener el mismo récord). Lo que sí es importante es que a cada cosa se le asigne una sola cosa.

Planteamientos al abordar las funciones.Las preguntas más interesantes sobre las funciones son:

¿Qué representación se les puede dar para hacernos una mejor idea de sus caracterísc as y su significado?

¿Qué pos de funciones son las que más aparecen?

¿Para qué valores de la variable independiente resulta que la variable dependiente va creciendo odecreciendo?

¿Cómo es el crecimiento de la función rápido, lento ...? ¿Cómo medir el crecimiento?.

¿Para qué valores de la variable independiente ene la función o variable dependiente su máximovalor o su mínimo valor?

¿Qué pasa con la función o variable dependiente cuando la variable independiente crece indefinidamentehaciéndose tan grande como se quiera?.

Estas preguntas serán abordadas a lo largo del módulo.

El instrumento para el estudio del cambio.La función se originó por el interés en el cambio. Hay una variable natural que está constantemente cambiando,aparentemente de modo uniforme: el empo. Y a medida que el empo pasa todas las cosas cambian.Cuando el hombre se hizo capaz de medir el cambio del empo de modo mas o menos exacto, es decir,cuando tuvo un reloj suficientemente preciso, era natural que se le ocurriera tratar de medir cómo y cuántocambian las cosas o, por lo menos, aquellas magnitudes de las cosas que se prestan a una medición adecuada.Lo primero de todo fue saber cómo se mueve un cuerpo que se mueve, es decir, se trató de analizar connúmeros los diferentes pos de movimiento (cuando se lanza una piedra hacia arriba; cuando se deja caero se lanza hacia abajo; cómo cae una bola por un riel más o menos inclinado; cómo fluye el río por su cauce,que es más estrecho en unos puntos que en otros, ...)

9

Cuando tratamos de obtener información de una gráfica, en primer lugar, debemos idenfic ar las variablesrepresentadas en cada uno de los ejes, el significado del origen, la unidad y la graduación de los ejes parapasar después a la idenfic ación de los puntos de la gráfica, es decir, dado un valor de una de las variableshallar el valor correspondiente de la otra (cálculo de imágenes y preimágenes), o bien idenfic ar si unpunto dado por sus coordenadas pertenece o no a la gráfica. Todas estas acvidades constuy en lo quellamamos lectura de la gráfica. Desde luego, su conocimiento es necesario para interpretar el gráfico, pero nosuficiente y de hecho muchos alumnos pueden leer correctamente una gráfica, sin errores de importancia,y no obstante su interpretación de la misma puede ser totalmente errónea. Por otra parte, interpretar ungráfico es una acvidad más compleja, ligada a cada situación, y que consiste en la capacidad para describirla función representada de forma global, atendiendo a las caracterísc as generales de la gráfica, es decir, alas variaciones que presenta. En lugar de puntos determinados será necesario considerar intervalos en losque se manenen o se modifica de una determinada manera la variación de la función.A connuación estudiaremos algunos ejemplos de gráficas cartesianas que representan disn tas situacionescodianas que implican ideas progresivamente más sofisc adas hasta llegar a relaciones funcionales y quepueden servir de introducción a las mismas.

Ejemplo 1.1Cada punto de este gráfico representa una bolsa de azúcar.

Figura 1

a) ¿Qué bolsa es la más pesada?

b) ¿Qué bolsa es la más barata?

c) ¿Qué bolsas enen el mismo peso?

d) ¿Qué bolsas enen el mismo precio?

e) ¿Qué bolsa sale mejor de precio: F o C?, ¿por qué?

Solución.

10

De acuerdo al gráfico que se nos presenta en el ejemplo, las variables que intervienen son el peso y el precio.El peso se ha graficado sobre el eje horizontal, esto significa que entre más a la derecha este un puntomucho más pesado es, por lo cual la bolsa con mayor peso es la D. En cuanto al precio, este se encuentrarepresentado en el eje verc al, es decir que entre más arriba esté un punto, nos dirá que la bolsa a la cualcorresponde ene mayor precio, y de manera contraria entre mas abajo le corresponderá un precio menor,de aquí que la bolsa con menor precio es la B. Las bolsas A y C enen el mismo peso.Las bolsas que enen el mismo precio son B y F así como C y E.Una pregunta nada sencilla es determinar cuál sale mejor, ya que en este caso es necesario conjugar tantoel peso como el precio, en este caso la respuesta es B, ya que su peso es muy bajo, también lo es su precio,y su crecimiento será el menor de todos, si relacionamos las dos variables.

Ejemplo 1.2En la puerta de una escuela hay un puesto de golosinas. En la gráfica que se presenta a connuación, semuestra la candad de dinero que hay en caja a lo largo de un día.

Figura 2

a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana?

b) ¿A qué hora es el recreo? ¿Cuánto dura?

c) El puesto cierra a mediodía y el dueño se lleva el dinero a casa. ¿Cuáles fueron los ingresos de estamañana?

d) ¿Cuál es el horario de tarde en la escuela?

e) ¿Hay siempre dinero en caja?

Solución.

a) Las clases comienzan a las 7 horas con 30 minutos (cuando deja de haber ingresos en la caja).

b) La hora del receso es desde las 10 de la mañana hasta las 10:30 (cuando más ingresos hay en la caja).

c) Los ingresos de toda la mañana ascienden a 16 dólares.

d) Empieza a la 1:00 pm y termina a las 4:30 pm.

11

e) No, en el intervalo de 12:00 a 1:00 pm no hay dinero en caja (existe una disconnuidad).

Ejemplo 1.3Si sacamos del congelador hielo muy frío ( a −10C por ejemplo), su temperatura va aumentando hastallegar a 0C. Esta temperatura se manene y, cuando ya no queda hielo, aumenta hasta igualarse conla temperatura ambiente. El hielo con sal se derrite a, digamos, −6C (Por eso se echa sal en las callescongeladas), y permanece a esa temperatura durante el empo que tarde en derrer se. Las siguientesgráficas muestran ambas situaciones:

Figura 3

a) ¿Cuál es la temperatura del hielo normal y cuál la del hielo salado a las 3 h?

b) ¿Cuándo empiezan a derrer se?

c) ¿Cuánto permanecen por debajo de−5C?

d) ¿Si estamos a−12C y las calles están heladas, ¿ene sendo echarles sal? ¿Por qué?

Solución.

a) La temperatura del hielo normal a las 3 horas es 0C y la del salado es−6C.

b) El normal empieza a derrer se después de haber transcurrido una hora y 15 minutos aproximadamente,el salado a los 15 minutos.

c) El salado permanece por debajo de −5C durante 4 horas y 10 minutos, mientras que el normal 40minutos.

d) No, por que el hielo se derrite a−6C; con−12C el hielo no se derrer á, tenga o no tenga sal.

12

Ejemplo 1.4Las góndolas de una Rueda de Chicago van subiendo y bajando a medida que ésta gira. A connuación semuestra la representación gráfica de la función empo - distancia al suelo de una de las góndolas.

Figura 4

a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?

b) Observa cual es la altura máxima y di cual es el radio de la rueda.

c) Explica como calcular la altura a los 130 segundos, sin necesidad de connuar la gráfica.

Solución.

a) En dar una vuelta completa tarda 40 segundos

b) De acuerdo a la información gráfica, la Chicago alcanza una altura de 16 metros. Luego el radio es de 8metros.

c) Como la altura de la góndola va a reper se en cada vuelta (cumple un período, o de manera más precisase trata de una función periódica) vuelve a bajar a los 40 segundos, 80 segundos, 120 segundos. Por tantoa los 130 segundos estará en la misma posición que a los 10 segundos. De aquí que a los 130 segundosestará a 8 metros de altura.

13

1.1. Ejercicios

1. Interpreta los siguientes puntos del gráfico, en el que se relaciona la angüedad de los coches y suvelocidad máxima:

Figura 5

a) Describe la edad y la velocidad máxima de cada coche.

b) ¿Cuál es el más anguo?

c) ¿Cuál es el más nuevo?

d) ¿Cuál es el que más velocidad alcanza?

e) ¿Cuál es el que menos velocidad alcanza?

f) ¿Cuáles enen la misma angüedad?

2. Las gráficas en la figura 6 describen dos aviones ligeros A y B. Indica el valor de verdad de las siguientesafirmaciones.

Figura 6

14

Proposición Verdadera FalsaEl avión B es más caro que el avión A VEl avión más viejo es más baratoEl avión más rápido es más pequeñoEl avión más grande es más viejoEl avión más barato transporta menos pasajeros

3. Rafael y María ponen a comper , en una carrera, a sus caracoles; uno de ellos deja un rastro de colorrojo y el otro verde.

Figura 7

El verde tarda en salir y se para antes de llegar. ¿Cuánto empo está parado en cada caso? ¿A quédistancia de la meta se para definiv amente? ¿Cuántos cenme tros y durante cuánto empo marchael rojo en dirección contraria?. Describe la carrera.

4. El gráfico de abajo representa la evolución del dinero de la paga de Ana durante la úlma semana.

Figura 8

a) Le dan la paga el viernes y no se gasta nada. ¿Cuánto le dan de paga?

b) ¿Qué día de la semana es el que más dinero ene? ¿Cuánto?

c) ¿Qué día de la semana es el que menos dinero ene? ¿Cuánto?

d) ¿Cuánto dinero ene cuando empieza la semana?

15

e) ¿Cuánto dinero ene cuando termina la semana?

f) ¿Cuánto ha ahorrado esta semana?

5. La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se enciende la calefacción(8 h) hasta 14 horas más tarde.

Figura 9

a) ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza y cuándo la alcanza?

b) Calcula el aumento de temperatura por hora entre las 8 h y las 10 h. ¿Es el mismo entre las 10 h ylas 12 h?

c) Di en que intervalo es decreciente la función.

6. Una pequeña empresa vende cajas con productos navideños. Sus ingresos y sus gastos vienen dadospor las siguientes gráficas:

Figura 10

a) ¿A parr de qué número de cajas vendidas empieza a obtener beneficios?

b) ¿Cuánto pierde si solo vende 20 cajas?

c) ¿Cuánto gana si vende 80 cajas?

16

d) ¿Cuánto gana si vende 110 cajas?

7. Las siguientes gráficas nos muestran la marcha de seis montañeros:

Figura 11

a) Describe el ritmo de cada uno.b) ¿Cuáles de ellas te parecen menos realistas?c) ¿Quién recorre más camino?d) ¿Quién camina durante menos empo?

8. Esta gráfica describe la velocidad de un bólido de carreras en cada lugar de un circuito: Di en quetramos la velocidad es creciente y en cuáles es decreciente. ¿A qué crees que se deben los aumentosy disminuciones de velocidad?

Figura 12

9. Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida,cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su desnouna hora después de haber salido.

17

a) Representa la gráfica empo-dis tancia a su casa.

b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos que la velocidad es constanteen cada etapa.)

10. Una rueda de Caballitos acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de 10 km/h. Permanecea esta velocidad durante 7 minutos y desacelera hasta parar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutosparado, comienza otra vuelta. Dibuja la gráfica empo- velocidad.

11. La dosis de un medicamento es 0.25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15gramos.

a) ¿Cuántos gramos ene que tomar un niño que pesa 10 kg? ¿Y otro de 30 kg? ¿Y una persona de70 kg?

b) ¿A parr de qué peso se toma la dosis máxima (15 g)?

c) Representa la función peso del paciente-dosis indicada.

12. La siguiente tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros mesesde vida:

Tiempo (meses) 0 3 9 15 21 27 33Perímetro (cm) 34 40 44 46 47 48 49

Cuadro 1

a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada.

b) ¿Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño?

c) ¿Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?

13. Completa la tabla que relaciona la base y la altura de los rectángulos cuya área es 24 cm2.

Base X(cm) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Altura Y(cm)

Representa gráficamente esta función.

14. Esta gráfica muestra cómo varía la velocidad de un coche al recorrer uno de los circuitos dibujadosmás abajo.

a) ¿A cuál de los dos corresponde?

b) Haz la gráfica correspondiente al otro.

18

Figura 13 Figura 14

15. Con una moldura de madera de 3 metros de largo queremos fabricar un marco para un cuadro.

a) Si la base midiera 0.5 m, ¿cuánto medirían la altura y la superficie del cuadro?

b) ¿Cuál es el valor de la superficie para una base cualquiera x ?

c) ¿Para qué valor de la base se obene la superficie máxima?

d) ¿Cuánto vale dicha superficie?

16. Dibujar los gráficos que corresponden al llenado y al vaciado de las botellas con las siguientes formas(ver figuras 15, 16, 17, 18 y 19).

Figura 15 Figura 16

19

Figura 17 Figura 18

Figura 19 Figura 20

17. Considere los gráficos siguientes, y dibuje una botella que represente tal situación al ser llenada (verfiguras 20, 21, 22, 23 y 24).

20

Figura 21 Figura 22

Figura 23 Figura 24

21

1. Aprendizaje inicial de la Lengua es

Generalidades sobre funciones, funciones

asociadas y funciones básicas

22

2.1. Generalidades.

2.1.1. Definición, Dominio y Rango.

La noción de función es fundamental en Matemác a. Una importante variedad de situaciones de la vida social o económica, de la Geometría, de la Física, de la Biología, entre otras áreas, pueden ser descritas mediante funciones. Las funciones permiten expresar las relaciones existentes entre diferentes variables. Por ejemplo podemos considerar la población de un país en función del empo; la estatura de una persona en función de su edad; la demanda de un producto en función de su precio; la evolución de una bacteria en función del empo. Con mucha frecuencia las relaciones entre las variables que intervienen se expresan en forma numérica y en este módulo nos dedicaremos a estudiar este po de funciones.De manera formal, una función f es una relación entre las variables de dos conjuntos A y B de forma tal que a todo elemento x del conjunto A corresponde un único elemento del conjunto B, que se acostumbre escribir en la forma f (x); al elemento f (x) se le denomina la imagen de x por la función f , en tanto que al elemento x se le denomina el antecedente por f de f (x). En el caso en el que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales, la función f se dirá función numérica de una variable real. El caso más simple de definir funciones es por supuesto definir explícitamente la imagen de cada elemento del conjunto A; en ciertos casos sin embargo, es posible establecer una fórmula que relacione las variables del fenómeno. El dominio o conjunto de definición de una función está formado por todos los números reales x para los cuales existe el real f (x). Cuando se analiza un fenómeno específico, el dominio está básicamente determinado por el fenómeno mismo; sin embargo cuando las funciones están definidas por fórmulas explícitas, para determinar el dominio debemos analizar los valores de la función para los cuales es posible

realizar el cálculo que exige dicha fórmula. Por ejemplo, en el dominio de la función definida por f (x) =1

x,

el valor x = 0 está excluido puesto que la división por cero no está permida; en la función numérica realdefinida por f (x) =

√x se deben considerar únicamente valores posiv os de la variable x puesto que en

el conjunto R de números reales no están definidas las raíces cuadradas de números negav os.El rango de la función f se define como el conjunto de valores del conjunto B que son imágenes de algúnelemento de A.Cuando se estudian funciones numéricas de variable real es posible representar gráficamente la función enel plano cartesiano; el gráfico de la función se define como el conjunto de puntos del plano de la forma(x, f (x)) .

Si f es una función cuyo dominio esD yA es un subconjunto deD, se denomina restricción de f al conjuntoA, a la función g que toma los mismos valores de f en el conjunto A.

2.1.2. Paridad.

Hay diversos pos de simetrías que aparecen cuando se hace la representación gráfica de una función enel plano cartesiano; una de ellas es la simetría respecto al eje de las Y que ocurre cuando, en el gráfico dela función, la existencia del punto (x, f (x)) asegura la existencia del punto (−x, f (x)); en otras palabrastanto x como−x enen la misma imagen f (x). A este po de funciones se les denomina funciones pares;es decir f es una función par si y solamente si se cumplen las dos siguientes condiciones:

1. Para todo x en el dominioD de la función,−x también está enD.

2. f (−x) = f (x) para todo x enD

23

Las funciones definidas en todo R de la forma f (x) = xn, con n par enen este po de simetría. Laventaja que se ene con las funciones pares consiste en el hecho de que podemos reducir el estudio desu comportamiento, por ejemplo, sólo para los valores posiv os de la función. Del comportamiento deella para los valores posiv os, por simetría, se deduce el comportamiento para los valores negav os de lavariable.

Otro po de simetría, es la simetría central respecto al origen en el plano cartesiano. Esto significa que si elpunto (x, f (x)) pertenece al gráfico de la función, también pertenece al gráfico el punto (−x,−f (x)); enotras palabras f (−x) = −f (x). A este po de funciones se les denomina funciones impares. Formalmente:una función f se dice que es una función impar, si sas face las dos condiciones siguientes:

1. Para todo x en el dominioD de la función,−x también está enD.

2. Para todo x enD, f (−x) = −f (x).

Las funciones definidas en todo R de la forma f (x) = xn, con n impar enen este po de simetría.De nuevo, cuando sabemos que una función es impar el análisis de su comportamiento se puede reducir, porejemplo, al comportamiento de los valores negav os de la variable x ; el comportamiento para los valoresposiv os se deduce por la simetría central.Por supuesto que hay funciones que no son ni pares ni impares.

−2 2

2

4

0

f

Figura 25: Función Par

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

3

0

fFigura 26: Función Impar

2.1.3. Monotonía y valores extremos.

Sea f : D −→ R una función numérica y sea I ⊂ D un intervalo. Decimos que f es monótona creciente enel intervalo I, si se ene que:

(x1 ≤ x2)⇒ f (x1) ≤ f (x2).

De manera similar se dice que f es monótona decreciente en el intervalo I si:

(x1 ≤ x2)⇒ f (x1) ≥ f (x2)

24

Dado un intervalo I una función definida en I puede no ser creciente ni decreciente en dicho intervalo.

Una función se dice que es estrictamente creciente en un intervalo I si

(x1 < x2)⇒ f (x1) < f (x2)

De manera similar una función es estrictamente decreciente en el intervalo I si se cumple

(x1 < x2)⇒ f (x1) > f (x2)

En los dos úlmos casos decimos que las funciones son estrictamente monótonas. Las funciones estrictamentemonótonas son las funciones que son monótonas en un intervalo y que no son constantes en ninguno desus subintervalos.

1

2

3

4

f

Figura 27: Función Estrictamente Monótona

Sea f definida en un intervalo I y sea x0 un elemento de I. Se dice que f admite un máximo en x0 si para todoelemento x de I disn to de x0 el valor de f (x) es inferior a f (x0); de forma similar, se dice que f admiteun mínimo en x0 si para todo elemento x de I disn to de x0 el valor de f (x) es superior al valor f (x0).Las funciones monótonas definidas en en intervalos cerrados y acotados, es decir de la forma I = [a, b],enen la propiedad de alcanzar su máximo y su mínimo, que justamente son alcanzados en los extremosdel intervalo I.

2.1.4. Tasa de variación.

Una herramienta uliz ada para saber si una función es monótona, es conocida como tasa de variación deuna función en el intervalo I, la que se define de la siguiente manera: Dados dos puntos disn tos x1 y x2del dominio de la función f , se denomina tasa de variación de f entre x1 y x2, al cociente: T (x1, x2) =f (x1)− f (x2)x1 − x2

. La tasa de variación de una función es también conocida como tasa de crecimiento. Desde

el punto de vista del gráfico de la función la tasa de variación de la función f es la pendiente de la recta queune los puntos de coordenadas (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)). Una función f es creciente en el intervalo I, si paracualesquiera dos puntos x1 y x2 del intervalo su tasa de variación es posiv a. De forma análoga una funciónes decreciente en el intervalo I si para cualesquiera dos puntos x1 y x2 del intervalo su tasa de variación esnegav a.

25

2.1.5. Funciones Periódicas.

Sea f una función definida sobre un conjunto D de números reales. Decimos que que f es periódica si ysolamente si existe un real no nulo t tal que para todo elemento x que pertenecen aD, los elementos x + ty x − t también pertenecen a D y además se ene que f (x + t) = f (x). Se dice entonces que t es unperíodo de la función. Si el conjunto de períodos estrictamente posiv os de f admite un elemento mínimoT , entonces se dice que T es el período de f . Los otros períodos de la función son de la forma t = kT con kun número entero. Desde el punto de vista del gráfico de la función, la periodicidad se expresa por el hechoque la gráfica es invariante por la traslación de vector v = T ∗ i , donde i es el vector unitario i = (1, 0).

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

0

f

Figura 28: Función Periódica

2.1.6. Convexidad.

Cuando hacemos la clasificación de las funciones crecientes, nos encontramos con dos pos básicos defunciones: aquellas cuyo crecimiento va decreciendo y las que enen un crecimiento que va creciendo.Haciendo uso de la tasa de variación de una función podemos disnguir tales casos; aquellas cuyo crecimientoes creciente enen tasa de variación crecientes mientras que las de crecimiento cada vez más lento enentasa de crecimiento decreciente. Una clasificación similar podemos hacer con las funciones decrecientes,según sea el decrecimiento lento o rápido de la función.Si consideramos los casos en los que la tasa de crecimiento es una función creciente sin importar si la funcióndada es creciente o decreciente tenemos las funciones denominadas funciones convexas que se definen dela siguiente forma:Sea una función f definida en un intervalo I. Decimos que la función f es convexa en el intervalo I cuando

para todo x0 ∈ I la tasa de variación T (x, x0) =f (x)− f (x0)x − x0

, es una función creciente. Observe que a

la función f no se le impone condición alguna, puede ser creciente o decreciente; a la que se le impone lacondición de ser creciente es a la función tasa de variación. Gráficamente enen la forma que se muestraen el gráfico siguiente:Gráficamente las funciones convexas se idenfic an por que el segmento que une dos puntos de su gráficaqueda sobre el gráfico de la función.

26

−2 2 4 6

2

4

6

0

(x1, f (x1))

(x2, f (x2))

f

Figura 29: Función Convexa

Una función se dice que es cóncava en el intervalo I cuando para todo x0 ∈ I la tasa de variación T (x, x0) =f (x)− f (x0)x − x0

, es una función decreciente. En este caso el segmento que une dos puntos de su gráfica queda

por debajo de la gráfica de la función. Desde el punto de vista algebraico una función es cóncava cuando lafunción−f es una función convexa.

2.1.7. Problemas.

Para cada una de las funciones dadas, determine el dominio y precise sus eventuales propiedades de paridady periodicidad.

I. Paridad

a) f (x) = 5.

b) f (x) = 12x

c) f (x) = x4 + 2x2 + 4

d) f (x) =x

x2 + 1

e) f (x) = cos(x)

f ) f (x) = sin(x)

g) f (x) = tan(x)

h) f (x) =√x − 1x − 2

i) f (x) =x2 − 1√x2 (1− x2)

II. Se considera una funciónf definida sobre el conjuntoRde números reales. En cada uno de los siguientescasos se demanda representar la restricción al intervalo [−5, 6], de la función f , cuya información sedetalla:

La función f es impar y para todo x ≥ 0, f (x) = xf es una función par y para x ≤ 0, f (x) = 1 + xLa función f es par, periódica de período 2 y para 0 ≤ x < 1, f (x) = 1− xf es periódica de período 1 y para 0 ≤ x ≤ 1

3 , f (x) = 1−3x ; para los valores de x comprendidos

en el intervalo[13 , 1

)la función está definida por: f (x) =

3

2x −1

2

27

III. Monotonía y Tasa de variaciónEstudie el sendo de variación de las siguientes funciones

1. f (x) = 2x2. f (x) = −5x3. f (x) = x2

4. f (x) =−1x

5. f (x) =1

x2

6. f (x) = cos(2x)

7. f (x) =√x + 4

8. f (x) =x + 1

x − 1

9. f (x) =−4x + 1−x + 1

10. Considere una función definida en el intervalo [−a, a]Mostrar que si f es un función par y creciente en el intervalo [0, a], entonces la función esdecreciente en el intervalo [−a, 0]. ¿Qué puede afirmarse cuando f es decreciente?Mostrar que si f es impar y decreciente en el intervalo [0, a], entonces también es decrecienteen el intervalo [−a, 0] ¿Qué se podría afirmar si la función f fuese creciente?

11. Se considera la función definida por f (x) = 2x2 − 4x + 1Calcule la tasa de variación de f entre dos números reales a y b.Pruebe que la tasa de variación es posiv a si a y b son supriores a 1 y negav a si son inferioresa 1. Deduzca el sendo de variación de la función.

12. Sean f y g dos funciones crecientes sobre un intervalo I

Probar que la función suma f + g es también una función creciente.¿Qué puede decirse de la función producto f ∗ g?

2.2. Funciones Asociadas.

2.2.1. Traslaciones Ver cales y Horizontales.

Dada una función y = f (x), si se define una nueva función y = g(x) = f (x − h), ¿qué relación existeentre la gráfica de f y la gráfica de g?

Observe que si tomamos un valor fijo y0, y decimos que x0 y x ′0 son las preimágenes respecv as de f y g, secumple:

y0 = f (x0)

y0 = g(x ′0)= f

(x ′0 − h

)Evidentemente, si x ′0 = x0 + h, las igualdades se vuelven idénc as para cualquier y0. Entonces, si (x0, y0)es un punto del gráfico de f ,

(x ′0, y0

)= (x0 + h, y0) es un punto del gráfico de g. Por lo tanto, la gráfica

representav a de g, Cg , es el resultado de desplazar horizontalmente h unidades a la gráfica representav ade f , Cf :

Cg = T−→u (Cf ) , con−→u = h−→i + 0

−→j

28

(x0, y0)(x ′0, y0

)−→u

y = f (x) y = f (x − h)

Cf Cg

h = 4.5

En este caso, la nueva función se obtuvo sustuy endo la variable x por una nueva variable x − h. ¿Quésucederá entonces si se sustuy e y mediante el cambio de variable y − k?

Se genera entonces la nueva función y − k = f (x), pero que al reescribirlo en la notación usual de funciónse obene y = f (x) + k = h(x). Si se toma un x0 fijo, y llamamos y0 y y ′0 a las imágenes correspondientesde f y h, se cumple que

y0 = f (x0)

y ′0 = h(x0) = f (x0) + k

Similarmente al caso anterior, y ′0 = y0 + k hace que las igualdades se vuelven idénc as para cualquier x0.Entonces, si (x0, y0) es un punto del gráfico de f ,

(x0, y

′0

)= (x0, y0 + k) es un punto del gráfico de h. Por

lo tanto, la gráfica representav a de h, Ch, es el resultado de desplazar verc almente k unidades a la gráficarepresentav a de f , Cf :

Ch = T−→v (Cf ) , con−→v = 0−→i + k

−→j

29

(x0, y0)

y = f (x)

Cf

(x0, y

′0

) Ch

y = f (x) + k

−→v

h = 4.5

k = 2.4

En resumen, la gráfica de la función y = f (x − h) + k es el resultado de trasladar a la gráfica de y = f (x)con un vector h

−→i + k

−→j .

(x0, y0)

−→u

Cf Cg

Ch

−→v

y = f (x − h) + k

(x ′0, y

′0

)

y = f (x)

h = 4.5

k = 2.4

2.2.2. Reflexiones.

Dada una función x → f (x), se busca descifrar el comportamiento de las funciones

x → f (−x)x → −f (x)x → −f (−x)

Reflexión con respecto al eje de las ordenadas: Si (x0, y0) es un punto sobre la gráfica de y = f (x), elpunto (−x0, y0) es un punto de la gráfica de y = f (−x), ya que y0 = f (x0) = f (− (−x0)). Así, la gráficade y = f (−x) es la reflexión de la gráfica de y = f (x) con respecto al eje de las ordenadas.

30

y = f (x) y = f (−x)

(x0, y0) (−x0, y0)

Función Par: Decimos que una función f es par si f (x) = f (−x), para cualquier x ∈ Df .

Por la discusión previa, una función par es aquella cuya gráfica representav a es simétrica con respecto aleje de las ordenadas.

Reflexión con respecto al eje de las abscisas: Para construir la función y = f (−x) a parr de y = f (x)se hizo un cambio de variable, sustuy endo x por−x ; si razonamos análogamente, la siguiente pregunta acontestar es ¿cuál es el efecto que se obene al hacer un cambio de variable sustuy endo y por−y?

Ancipándonos a una demostración, si un cambio de variable de x por −x provocó una reflexión conrespecto al eje de las ordenadas, cabría esperar que un cambio de variable de y por −y produzca unareflexión con respecto al eje de las abscisas. En esta situación, la nueva función viene dada por−y = f (x),o equivalentemente, y = −f (x). Así, si (x0, y0) es un punto sobre la gráfica de y = f (x), el punto (x0,−y0)es un punto de la gráfica de y = −f (x), ya que−f (x0) = − (y0) = −y0. Esto confirma la sospecha sobrela reflexión con respecto al eje de las abscisas.

31

y = f (x)

y = −f (x)

(x0, y0)

(x0,−y0)

Reflexión con respecto al origen: Finalmente, si aplicamos los dos cambios de variables simultáneamente,intercambiando x por−x , y por−y , se genera la nueva función y = −f (−x). Repiendo análisis similaresa los anteriores, si (x0, y0) es un punto de y = f (x), entonces (−x0,−y0) es un punto de y = −f (−x).Así, la gráfica de esta nueva función es el resultado de una reflexión puntual con respecto al origen de lagráfica original.

y = f (x)

y = −f (−x)

(x0, y0)

(−x0,−y0)

Note además que esto puede verse como composición de dos reflexiones, primero con respecto al eje delas ordenadas y luego respecto al eje de las abscisas, y es resultado conocido que la composición de dosreflexiones axiales de ejes no paralelos es una rotación, que ene por centro al punto de intersección de losejes de reflexión y ángulo igual al doble del ángulo formado por los ejes de reflexión; así, en el caso concretoque analizamos en este momento, la rotación ene por centro al origen del plano cartesiano y ángulo 180,que es una reflexión puntual con respecto al origen.

32

Función Impar: Decimos que una función f es impar si f (x) = −f (−x), para cualquier x ∈ Df .

Así, geométricamente hablando, una función es impar si es simétrica con respecto al origen del planocartesiano.

La Función Inversa: Dada una función f tal que b = f (a), si se logra construir una función g tal queg(b) = a, para todo b en el conjunto de llegada de f , se dice entonces que g es la función inversa2 def .

Intuiv amente, de lo que se trata es que g “deshace” todo lo que f hace. Si por ejemplo 2 f−→ 7, entonces7g−→ 2. Note que 2 f−→ 7 g−→ 2, y esto será igual para cualquier x ∈ Df , por lo que el efecto neto de hacer la

composición de f y g es x gf−−→ x , que es la transformación idendad ι : x → x .

Cabe preguntarse ahora cuál es el nexo, geométricamente hablando, entre las gráficas de f y g. De momentose hará caso omiso de la formalidad del concepto de función y su inversa, concentraremos nuestra atenciónen el hecho siguiente: si (a, b) es un punto de la gráfica de f , entonces (b, a) es un punto de la gráfica de g.

f

g

ι

Q (a, b)

S (b, a) P (a, a)

R (b, b)

Note que los puntos sobre la gráfica de la transformación idendad, ι(x) = x , son especiales, ya que sialguno de éstos pertenece a f también pertenece a g (es el caso cuando a = b). Además, los puntosP (a, a), Q (a, b), R (b, b) y S (b, a), forman un cuadrado, por lo que S y Q son simétricos con respecto ala recta PR, pero esta recta es justamente la gráfica de ι. Así, los puntos de la gráfica de f son simétricos alos puntos de la gráfica de g con respecto a la recta ι(x) = x .

Finalmente, observe que si expresamos f en la notación y = f (x), para conseguir g se hace un cambio devariable intercambiando la x por la y : x = f (y), pero esta expresión debe llevarse a la forma y = g(x)para obtener el mismo formato de función para g.

2No siempre será posible construir la función inversa de una función f dada, las restricciones que se imponen a f para lograrlose estudiarán más adelante.

33

Funciones Asociadas al Valor Absoluto: Sea f una función definida sobreR y sea Cf la curva respresentav aen el plano cartesiano. Se consideran las funciones g y h tales que, para todo número real x :

g(x) = |f (x)|h(x) = f (|x |)

Las curvas Cg y Ch mostradas abajo, son las representaciones gráficas respecv as de g y h.

Cf Cg Ch

1. Analizando el signo de f (x), jusfique la construcción del curva Cg .

2. Analizando la paridad de la función h, jusfique la construcción de la curva Ch.

3. Analice la la variación de la función valor absoluto v(x) = |x |.

4. Sabiendo que f es creciente en[−34 ,

310

]y[32 ,+∞

[, y que f (−1) = f

(−12

)= f (1) = f (2) = 0,

determine por composición de funciones la variación de g y h.

2.2.3. Contracciones y Dilataciones.

En esta sección, supondremos que r es un número real posiv o disn to de cero. El análisis de exende parar real negav o no nulo, simplemente haciendo la reflexión con respecto al eje coordenado que corresponda.

Homotecia: Si Cf es la curva representav a de la función f , al aplicar una homotecia de centro el origen yrazón r ,HrO, la curva imagen tras la homotecia corresponderá a una nueva función g. Se busca entonces elvínculo analíc o entre f y g sabiendo que sus curvas se relacionan geométricamente por Cg = HrO (Cf ).

34

y = f (x)

y = r f(1r x

)

(x0, y0)

(rx0, ry0)

Observe que si (x0, y0) es un punto de f , entonces (rx0, ry0) es un punto de g, es decir:

y0 = f (x0)

ry0 = g (rx0)

Haciendo dos cambios de variable: sustuy endo x por 1r x , y sustuy endo y por 1r y , se logra el efectodeseado. Así, la nueva función viene dada por 1r y = f

(1r x

), que llevándolo a la notación usual de función

se obene y = r f(1r x

)= g(x). Es fácil verificar que esta nueva función hace que las dos igualdades

anteriores sean idénc as:g(rx0) = r f

(1

rrx0

)= r f (x0) = ry0

Una manera alternav a de comprender el fenómeno descrito en esta discusión, es suponer que la curva semanene invariante mientras se hace es una contracción (o dilatación) de factor k del los ejes coordenados.Es importante tener presente que los dos ejes se contraen (o dilatan) en la misma razón, o equivalentemente,que la curva se ha dilatado (o contraído) tanto en lo ancho como en lo alto con la misma razón. Pero puedesuceder que se requiera hacer una contracción a un solo eje, o equivalentemente, una dilatación de la curvaen una sola dirección (suponga hacia arriba, por ejemplo). Sobre estos casos se discur á en seguida.

Dilatación o Contracción de un eje: Dada la función f y su curva asociada Cf , si se hace una dilatación defactor r (disn to de cero) de la curva pero sólo en la dirección horizontal, resultando la función g y la nuevacurva Cg , se cumplirá que: si (x0, y0) es un punto de Cf , entonces (rx0, y0) es un punto de Cg .

Basta con hacer un cambio de variable, sustuy endo x por 1r x para lograr el efecto deseado, y por tanto lanueva función es g(x) = f

(1r x

). Análogamente, si se hace un cambio de variable sustuy endo y por 1r y ,

el efecto generado será una dilatación de la curva, pero ahora sólo verc almente; si h es la nueva funciónobtenida en este caso y Ch su curva asociada, se cumple que (x0, ry0) pertenece a Ch siempre que (x0, y0)pertenezca a Cf , y h está dado por h(x) = r f (x).

35

y = f (x)

(x0, y0)

y = f(1r x

)y = r f (x)

(x0, ry0)

(rx0, y0)

Estos casos también se pueden visualizar de manera alternav a, imaginando que la gráfica de la funciónf queda invariante mientras se hace una contracción del eje de las abscisas, o del eje de las ordenadas,que corresponde a cada caso respecv amente. Además, note que es posible combinar estos resultados,haciendo contracciones o dilataciones con factores disn tos horizontalmente y verc almente; el análisis eneste caso se sigue dilatando o contrayendo la gráfica de f , primero horizontalmente y luego verc almente,o al revés.

2.3. Funciones Básicas y sus Asociadas.

2.3.1. Función Lineal, Cuadrá ca, Cúbica, y = xn, y = n√x (n ∈ N).

Función Lineal:3 Una función es lineal si su regla de asignación es de la forma f (x) = ax + b (o bieny = ax + b), con a y b números reales fijos. Esta ecuación recibe el nombre de lineal, porque su gráficaasociada Cf es una línea recta.

Para demostrar esto, suponga que P0 (x0, y0) es un punto fijo de Cf , y P (x, y) un punto variable sobre Cf3También se le conoce como Polinomio Lineal o Polinomio de Primer Grado siempre que a = 0.

36

disn to de P0. ConstruyendoQ (x, y0), si llamamos α al ángulo orientado ∠QP0P , se cumple que

tanα =y − y0x − x0

=ax + b − (ax0 + b)

x − x0

=a(x − x0)x − x0

= a

Que es una constante, y dado que la recta P0Q se manene horizontal, P se encuentra siempre sobre unarecta que pasa por P0 y se encuentra a un ángulo orientado α de P0Q. A la constante a se le llama lapendiente de la recta. Por otra parte, f (0) = a(0) + b = b, es decir que la recta Cf corta al eje de lasordenadas en el punto (0, b). Por ello, al parámetro b se le conoce como intercepto.

Cf

P0(x0, y0)

P (x, y)

Q(x, y0)

α

Note además que si a = 0, la recta es horizontal (P coincide conQ y la función es f (x) = b), mientras que sib = 0 la recta pasa por el origen del plano cartesiano. También es importante observar que en este formatonunca podremos generar una recta verc al (que P0 coincidiera con Q), dado que x − x0 = 0 en tal caso,impidiendo la división final de la demostración. Esto coincide perfectamente con lo establecido, porque sila recta es verc al, la regla de asignación no es función que dependa de x ; en su lugar, es una función quedepende de y , de la forma g(y) = k , con k una constante real.

Es posible interpretar una función f (x) = ax + b como función asociada a otra función más simple. Cadaparámetro ene un efecto geométrico diferente. Se tomará como base la función idendad f (x) = x , y seanalizará por separado el efecto que hace cada parámetro.

Dada la función idendad f (x) = x , la familia de rectas asociadas a dilataciones y contracciones de ejes,son de la forma g(x) = ax . Observe que esta familia está compuesta por todas las rectas que pasan porel origen del plano cartesiano, excepto el eje de las ordenadas. Note que si a > 0, la recta f (x) = axatraviesa al primer y al tercer cuadrante, a medida que a ende a +∞, su inclinación aumenta tendiendoa la recta verc al (el eje de las ordenadas); en cambio, si a ende a 0, si inclinación disminuye tendiendo ala recta horizontal (el eje de las abscisas) alcanzándolo cuando a = 0. Si en cambio a < 0, h(x) = ax esuna reflexión con respecto al eje de las abscisas de la función g(x) = −ax , con −a > 0, que es una de lasrectas que ya se analizó.4

4También puede hacerse el análisis reflejando con respecto al eje de las ordenadas. Analícelo.

37

y = x

y = 3x

y = 110x

y = −2x

y = −12x

y = 0

a = 1

Por otra parte, dada la función idendad f (x) = x , la familia de rectas asociadas a desplazamientos, son dela forma g(x) = x + b. Observe que cada recta de esta familia es el resultado de desplazar verc almenteb unidades a la recta f (x) = x . Por lo tanto, cada recta de la familia en cuesón es paralela a la recta de lafunción idendad y corta al eje de las ordenadas en el punto (0, b).5

y = x + 2

y = x

y = x − 1

y = x − 3

b = 0

(0, 2)

(0, 0)

(0,−1)

(0,−3)

Así, una función f (x) = ax + b es el resultado de modificar la inclinación de la recta idendad por el factora, y luego aplicar un desplazamiento verc al de magnitud b.

Función Cuadrá ca o Trinomio:6 Una función de la forma f (x) = ax2 + bx + c , con a, b, c , constantesreales y a = 0, es llamada cuadrá ca si es. Note que f (x) puede reescribirse como

f (x) = a

[(x +

b

2a

)2−b2 − 4ac4a2

]5También puede hacerse en análisis a través de traslaciones horizontales. Analícelo.6También conocida por Polinomio Cuadrá co o Polinomio de Segundo Grado.

38

Esta es conocida como la Forma Canónica del Trinomio. El número b2−4ac es llamado el Discriminante deltrinomio, y se simboliza generalmente por ∆. Note que si t es un número real, t2 ≥ 0 independientementedel signo de t . Así, en la forma canónica del trinomio(

x +b

2a

)2≥ 0⇒

(x +

b

2a

)2−b2 − 4ac4a2

≥ −b2 − 4ac4a2

Por lo tanto, si a > 0, f (x) ≥ −b2 − 4ac4a

, mientras que si a < 0, f (x) ≤ −b2 − 4ac4a

, con7 f

(−b

2a

)=

−b2 − 4ac4a

.

Por otra parte el trinomio ene:

Dos raíces reales disn tas, x1 = −b+√∆

2a y x2 = −b−√∆

2a , si ∆ > 0. En este caso, el trinomio admite lafactorización f (x) = a(x − x1)(x − x2).

Una raíz real x0 = − b2a (doble), si ∆ = 0. Entonces f (x) = a(x − x0)2.

Ninguna raíz real, si ∆ < 0. Por tanto, f (x) no puede factorizarse como producto de polinomioslineales (reales).

La ventaja que establece la forma canónica del trinomio, es que puede verse como una función asociadaa la parábola g(x) = x2 (por tanto, todos los trinomios enen por gráfica representav a a una parábola).Observe que el trinomio puede interpretarse como

f (x) = ag (x − α) + β, con α = −b

2ay β = −

b2 − 4ac4a

Por lo queg(x) se ha desplazadoαunidades horizontalmente, luego se ha hecho una contracción o dilataciónde factor a (si a es negav o, también hay una reflexión con respecto al eje de las abscisas) y finalmente, seha desplazado β unidades verc almente, generándose así al trinomio f (x).

Función Cúbica:8 Una función de la forma f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a, b, c , d , constantes reales ya = 0, es una Función Cúbica.

El estudio de la función cúbica es bastante más complejo que el de la cuadrác a, por lo que restringiremosnuestra a atención a casos parcular es. Un caso es cuando f (x) es función asociada a g(x) = x3, seráposible entonces, mediante métodos algebraicos, reacomodar f (x) a la forma f (x) = ag (x − α) + β; así,f (x) se obene transformando a g(x) mediante un desplazamiento horizontal de α unidades, luego unacontracción de factor a, y finalmente un desplazamiento verc al de β unidades.

Es importante aclarar que no siempre será posible escribir una función cúbica como función asociada deg(x) = x3, dado que éstas son cúbicas con una única raíz real, y existen una infinidad de funciones cúbicascon más de una raíz real (para ser precisos, con exactamente tres raíces reales9).

7Este valor funciona como minorante cuando a > 0 y como mayorante cuando a < 0.8También conocida como Polinomio Cúbico o Polinomio de Tercer Grado.9En general, un polinomio cúbico real (coeficientes reales) ene exactamente una raíz real o exactamente tres raíces reales,

dado que si ene una raíz compleja, el conjugado de dicha raíz también es raíz.

39

Si suponemos que x0, x1 y x2 son raíces de f , se cumplirá entonces que f puede factorizarse como f (x) =a (x − x0) (x − x1) (x − x2); al desarrollar esta expresión y comparar con la expresión original, se obene:

ax3 + bx2 + cx + d = a (x − x0) (x − x1) (x − x2)

a

[x3 +

b

ax2 +

c

ax +d

a

]= a

[x3 − (x0 + x1 + x2) x2 + (x0x1 + x1x2 + x2x3) x − x0x1x2

]Como estas expresiones son idénc as (la igualdad es verdadera para todo x ), los coeficientes deben seriguales, y esto genera el siguiente sistema de ecuaciones

b

a= − (x0 + x1 + x2)

c

a= x0x1 + x1x2 + x2x3

d

a= −x0x1x2

Estas son conocidas como las Relaciones de Viète o Relaciones de Vieta. Estas relaciones son muy úles ypermiten obtener información del polinomio sin necesidad de conocer los valores exactos de las raíces.10

En parcular , la úlma relación es bastante úl, porque si f (x)a es un polinomio con coeficientes enteros yresulta tener alguna raíz natural, debe ser entonces un divisor de da ; una vez que se ha conseguido una raízde una función cúbica, digamos x0, basta realizar la división f (x)

x−x0 , y el resultado es una función cuadrác a,cuyas raíces son mucho más fáciles de calcular.

Polinomio de Grado n: Un polinomio real de una variable y de grado n (natural), es una función de la formaf (x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x1 + a0x0, con an, an−1, . . . , a1, a0 constantes reales y an = 0.

Tal como el caso analizado anteriormente n = 3, los casos n > 3 son sumamente complejos de analizar,por lo se considerarán únicamente los casos parcular es siguientes:

Cuando sea una función asociada a g(x) = xn, es decir, f (x) = ang (x − α) + β.

Cuando f (x)an sea un polinomio con coeficientes enteros y tenga alguna raíz entera, digamos x0, quepor las Relaciones de Vieta (extendidas al caso general) debe ser un divisor de a0an .

Luego, el análisis es completamente análogo: en el primer caso, se trata de hacer traslaciones y dilatacionesa g para obtener f ; mientra que en el segundo caso, una vez se ha conseguido una raíz, se realiza la divisiónf (x)x−x0 para obtener un nuevo polinomio de grado n − 1, que posiblemente sea más fácil de analizar.

Por otra parte, note que la función básica g(x) = xn es una función par o una función impar, y depende dela paridad de n:

Si n es par, g(x) = xn es una función par. Verifique que g(x) = g(−x).

Si n es impar, g(x) = xn es una función impar. Verifique que g(x) = −g(−x).10Cabe mencionar que para el cálculo exacto de las raíces de una función cúbica existen métodos generales, como el Método de

Cardano, pero por lo general son muy laboriosos.

40

Además, tomando disn tos valores naturales n1 y n2 tales que n1 < n2, y definiendo las funciones g1(x) =xn1 y g2(x) = xn2 , se cumple que:

g1(x) = g2(x), si x = 0 o x = 1g1(x) > g2(x), si 0 < x < 1g1(x) < g2(x), si x > 1

y = x4

y = x3

y = x2

y = x

(1, 1)

(0, 0)

Por otra parte, al hacer la reflexión de g(x) = xn con respecto a la recta idendad y = x , se generan lasgráficas de las funciones h(x) = n

√x . Cuando n es par, es necesario restringir la gráfica a x ≥ 0 para que

corresponda a una función; asíDf = R+0 si n es par.

41

y = x y =√x y = 3

√x

y = 4√x

(1, 1)

(0, 0)(−1,−1)

2.3.2. Funciones Racionales.

Funciones Recíprocas: Llamaremos Funciones Recíprocas a las funciones de la forma f (x) =1

xn, con n

natural.

Todas estas funciones no están definidas en x = 0. Estas funciones enen comportamiento asintóc overc al a la recta x = 0, y comportamiento asintóc o horizontal, a la recta y = 0. Además, basta analizarcómo se comportan al evaluarse en x posiv os, dado que

Si n es par, f (x) =1

xnes una función par. Verifique que f (x) = f (−x).

Si n es impar, f (x) =1

xnes una función impar. Verifique que f (x) = −f (−x).

Además, tomando disn tos valores naturales n1 y n2 tales que n1 < n2, y definiendo las funciones

f1(x) =1

xn1y f2(x) =

1

xn2, se cumple que:

f1(x) = f2(x), si x = 1f1(x) < f2(x), si 0 < x < 1f1(x) > f2(x), si x > 1

42

(1, 1)(1,−1)

(−1,−1)

y =1

x

(1, 1)(1,−1)

(−1,−1)

y =1

x2

(1, 1)(1,−1)

(−1,−1)

y =1

x3

(1, 1)(1,−1)

(−1,−1)

y =1

x4

Funciones Homográficas: Una función es Homográfica si es de la forma f (x) =ax + b

cx + d, con a, b, c , d ,

constantes reales no todas nulas.

Note que si ad − bc = 0, la función puede transformarse como

f (x) =a(x + ba

)c(x + dc

) = ac

Dado que la condición impuesta es equivalente a ba =dc (claramente, la simplificación se podrá hacer

siempre que x = ba ). Entonces, la función se convierte en una función constante. Por esta razón, frecuentemente

se añade la restricción ad − bc = 0 a la definición.

43

Si ad − bc = 0, la función homográfica es equivalente a

f (x) =a(x + ba

)c(x + dc

)=a((x + dc

)+

(ba −

dc

))c(x + dc

)=a(x + dc

)c(x + dc

) + a (ba − dc )c(x + dc

)=a

c−ad − bcx + dc

Por lo que f (x) puede entenderse como una función asociada a g(x) = 1x , dado que

f (x) = α+ βg (x − γ) con α =a

c, β = −(ad − bc), γ = −

c

d

Es decir, g se desplaza γ unidades horizontalmente, luego se dilata con factor β, y finalmente se desplazaα unidades verc almente, generando así a f .

Finalmente, note que mucha de la información de las funciones homográficas radican en sus ceros, que sonaquellos valores que anulan el numerador o el denominador. Mediante los ceros es posible analizar el signode la función y concluir sobre su comportamiento asintóc o verc al.

Funciones Racionales: Las funciones Racionales son las que se pueden escribir como el cociente de dospolinomios.

El estudio de las funciones racionales se basa principalmente en el estudio de sus ceros, que tal comoen el caso de las homográficas (caso parcular de las racionales) son aquellos valores que hacen ceroel numerador o el denominador, algunos de los cuales son raíces de la función. El análisis es por tantocompletamente análogo al de las homográficas. Además, si se divide cada término por la máxima potenciade x que aparece en la función, es posible analizar su comportamiento cuando x toma valores extremadamentegrandes en posiv os y negav os.

2.3.3. Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

La primera noción de seno, coseno y tangente se encuentra como razón trigonométrica en un triángulo. Aldefinir las razones trigonométricas dentro de la circunferencia unitaria tenemos una visión más amplia deéstas.Para pasar de la definición de la razones trigonométricas en la circunferencia unitaria a la funciones trigonométricas,primero debemos recordar que los ángulos medidos en radianes son números reales y segundo que lamedida de un ángulo puede ser un número muy grade posiv o o negav o, en cualquier caso solo se estádando muchas vueltas en el circunferencia dependiendo del número. Además, recordar que para un ángulot , el punto asociado a este ángulo sobre la circunferencia es (x, y) = (cos(t), sin(t)) y que la tan(t) es laintersección de la recta que pasa por (0, 0) y (cos(t), sin(t)) con la recta x = 1.

44

t

(cos(t), sin(t))

(1, tan(t))

Figura 30: Definición de las razones trigonométricas.

La función seno

Analicemos el comportamiento de la razón seno en la circunferencia unitaria para ángulos en [0, 2π].

Recorramos la circunferencia en sendo anhor ario y grafiquemos los puntos en el plano cartesiano(t, sin(t)) (vamos a graficar los puntos con primera coordenada el ángulo y segunda coordenada elseno de ese ángulo).

Para los ángulos cuadrantales t = 0, π2 , π,3π2 , 2π, sin(t) = 0, 1, 0,−1, 0, obteniendo los puntos

(0, 0), (π2 , 1), (π, 0), (3π2 ,−1), (2π, 0).

Para t ∈]0, π2 [ el valor de sin(t) es creciente y posiv o.

Para t ∈]π2 , π[ el valor de sin(t) es decreciente y posiv o.

Para t ∈]π, 3π2 [ el valor de sin(t) es decreciente y negav o.

Para t ∈]3π2 , 2π[ el valor de sin(t) es creciente y negav o.

La relación de la definición del seno en la circunferencia unitaria con la gráfica de la función seno en elintervalo [0, 2π] se visualiza en la figura 31.

45

t

0 π2

π 3π2

2π

Figura 31: Construción de la función f (t) = sin(t).

Además, tenemos las siguientes propiedades por definición de la razón seno

Está definida para todo t real.

Es impar, ya que sin(−t) = − sin(t).

Es periódica de período 2π, ya que sin(t + 2π) = sin(t)

A parr de la úlma propiedad, extendemos la gráfica de y = sin(t) a todos los números reales, haciendocopias de la gráfica en intervalos de longitud 2π (ver fig. 32).

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−1

1

0

Figura 32: Función f (t) = sin(t).

La función coseno

Para obtener la gráfica de la función y = cos(t), recordemos que cos(t) es par y por idendades de ánguloscomplementarios tenemos:

cos(t) = cos(−t) = sin(π2− (−t)

)= sin

(π2+ t

)por lo tanto, para graficar f (t) = cos(t) lo hacemos a parr de un desplazamiento de π2 hacia la izquierdade la función sin(t) (fig. 33).

46

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−1

1

0

f g

Figura 33: Función f (t) = cos(t), g(t) = sin(t).

La función tangente

Observemos que:

La razón trigonométrica tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno, es decir, tan(t) =sin(t)cos(t) . Con lo cual la función tangente es el cociente de las funciones seno y coseno (el cociente defunciones se estudia en el siguiente capítulo).

tan(t) = tan(t + π), es decir, la función tangente es periódica de período π, con lo cual bastaráanalizar el comportamiento en un intervalo de longitud π

Para t múlplos de π2 el cociente no existe (cos(t) = 0), por lo tanto en estos valores existe asíntotasverc ales para la función tangente.

Analicemos el comportamiento de la función tangente en el intervalo ]− π2 ,π2 [.

Para t = −π4 , 0,π4 , sin(t) = −

√22 , 0,

√22 y cos(t) =

√22 , 1,

√22 , con lo cual tan(t) = −1, 0, 1. Así,

(−π4 ,−1), (0, 0), (π4 , 1) son puntos de la gráfica.

Cuando t ende a π2 por la izquierda11, el cos(t) ende a 0 y el sin(t) ende a 1, por lo que la funcióntangente ende a infinito (∞). Esto lo podemos ver también por la definición de la tangente, ya quecuando el ángulo se acerca a π2 la tangente se va haciendo cada vez más grande.

Cuando t ende a −π2 por la derecha12, el cos(t) ende a 0 y el sin(t) ende a −1, por lo quela función tangente ende a infinito negav o (−∞). Visualizar por la definición de la tangente, quecuando el ángulo se acerca a−π2 la tangente se va haciendo cada vez más grade en valores negav os.

Por la periodicidad antes mencionada, extendemos la gráfica de la función tangente a todos los reales dondeestá definida (ver figura 34)

11“t ende por la izquierda”, es acercase a π2

con valores menores a éste, pero nunca llega a ser igual al valor indicado.Simbólicamente t → π

2−.

12“t ende por la derecha”, es acercase a − π2

con valores mayores a éste, pero nunca llega a ser igual al valor indicado.Simbólicamente t → π

2+.

47

Figura 34: Función f (t) = tan(t).

2.3.4. Ejercicios

1. Representar gráficamente las siguientes funciones (funciones asociadas a sin(t), cos(t) y tan(t)):

a. y = sin(t + π2 )

b. y = sin(t + π2 ) + 2

c. y = 3 sin(t + π2 ) + 2

d. y = 3 sin(2t + π2 ) + 2

e. y = cos(t − π)f. y = cos(t − π)− 1

g. y = 3cos(t − π)− 1h. y = 3cos(12t − π)− 1i. y = tan(t + π4 )

j. y = tan(t + π4 ) + 3

k. y = 2 tan(t + π4 ) + 3

l. y = 2 tan(14t +π4 ) + 3

2. El balancín de un reloj se mueve periódicamente separándose 5cm del centro y volviendo a la posiciónoriginal cada 0.5s . La ecuación que nos da la distancia al centro en cada segundo, medida en cm, ess = 5 sin(4πt). Represéntela y diga a qué distancia del centro estará el balancín a los 10 segundos.

48

2. Aprendizaje de la lectura inicial

Operaciones con funciones.

Función inversa

49

3.1. Operaciones algebraicas: suma, producto y cociente

Definición 3.1. Sea f y g dos funciones reales tales que Df = A y Dg = B y λ ∈ R con (λ = 0)

a. Llamaremos producto de la función f por el número real λ, y lo denotaremos por λf , a la funcióndefinida para toda x ∈ Df , por (λf )(x) = λf (x).

b. Llamaremos suma de las funciones f y g, denotada por f + g, a la función definida para toda x ∈Df ∩Dg , por la regla de correspondencia (f + g)(x) = f (x) + g(x).

c. Llamaremos producto de las funciones f y g, denotada por f · g, a la función definida para todax ∈ Df ∩Dg , por la regla de correspondencia (f g)(x) = f (x)g(x).

d. Llamaremos cociente de la función f entre g, denotada por fg , a la función definida para toda x ∈Df ∩Dg − x/g(x) = 0, por la regla de correspondencia ( fg )(x) =

f (x)g(x) .

NOTA: Se define la función f − g por (f − g)(x) = (f + (−g))(x) = f (x) + (−g(x)) = f (x) − g(x),dondeDf−g = Df ∩Dg .

Sen do de variación de la función suma

Propiedades.

i. La suma de dos funciones crecientes, sobre un mismo intervalo I, es una función creciente sobre I

ii. La suma de dos funciones decrecientes, sobre un mismo intervalo I, es una función decreciente sobreI

Demostración.

i. Si x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2) y g(x1) < g(x2), luego (f + g)(x1) = f (x1) + g(x1) <f (x2) + g(x2) = (f + g)(x2).

ii. Ejercicio

NOTA: En general no se puede determinar el sendo de variación de la suma de una función creciente y unadecreciente sobre I, ni sobre el producto y cociente de dos funciones monótonas en un mismo intervalo.

Ejemplo 3.1Sea f (x) = −x + 1 y g(x) = 1

x ; Df = R y Dg = R − 0, definamos la función h(x) = f (x) + g(x) =−x +1+ 1x ,Dh = Df ∩Dg = R−0. f y g son decrecientes enDh, entonces la función h es decrecienteen su dominio.

50

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

0

f

g

h

Analice en el gráfico de la función suma h, que sucede cuando x se aproxima a cero por valores posiv os ypor valores negav os, así mismo, analizar que sucede cuando x ende a∞ y cuando ende a−∞. Además,en términos de suma ¿Qué significa que la función h corte al gráfico de g? ¿Qué significa que la gráfica de hcorte al eje x?

3.2. Comparación de funciones

Igualdad de funciones

Definición 3.2. Dos funciones f y g son iguales siempre queDf = Dg y para todo x ∈ Df , g(x) = f (x).

Ejemplo 3.2

1. Dadas f (x) = x4−1x2+1

y g(x) = x2 − 1,Df = R = Dg y f (x) = (x2−1)(x2+1)x2+1

= x2 − 1 = g(x).

2. Tomando f (x) = x2−1x+1 y g(x) = x − 1,Df = R− −1 yDg = R entonces f (x) = g(x).

Definición 3.3. Sean f y g dos funciones, Cf y Cg sus curvas representa vas, f < g siempre queDf = Dgy para toda x ∈ Df se cumple que f (x) < g(x) (Cf está por debajo de Cg).

Ejemplo 3.3Sea f (x) = x + 1 y g(x) = x + 1 + 1

x2+1, Df = Dg = R, además f (x) − g(x) = − 1

x2+1≤ 0 entonces

f (x) ≤ g(x) y por tanto la curva de f está por debajo de la curva de g.

Método: para comparar f (x) y g(x), estudiamos el signo de la diferencia f (x)−g(x) analizando los valoresde x ∈ Df ∩ Dg . Si f (x) − g(x) < 0, la curva Cf está por debajo de Cg , si f (x) − g(x) > 0, la curva Cfestá arriba de Cg .

Ejemplo 3.4Sea f (x) = 1

2x(4 − x), g(x) =x−4x−3 , Df = R y Dg = R − 3. Comparar f y g y dar una interpretación

51

gráfica.Solución: Para todo x = 3 se ene f (x)−g(x) = 1

2x(4−x)−x−4x−3 =

x(4−x)(x−3)−2(x−4)2(x−3) = (x−4)(−x2+3x−2)

2(x−3) =(x−4)(2−x)(x−1)

2(x−3) . Analicemos en cuadro de variación dicha diferencia

]−∞, 1[ ]1, 2[ ]2, 3[ ]3, 4[ ]4,∞[2− x + + − − −x − 1 − + + + +

x − 4 − − − − +

x − 3 − − − + +

f (x)− g(x) − + − + −

Además, f (1) = f (2) = f (4) = 0 y f (3) no existe.

1. Cuando x ∈]−∞, 1[∪]2, 3[∪]4,∞[ se ene que f (x) < g(x), es decir, Cf está por debajo de Cg .

2. Cuando x ∈]1, 2[∪]3, 4[ se ene que f (x) > g(x), es decir, Cf está por encima de Cg .

3. Cuando x = 1, 2, 4 se ene que f (x) = g(x), es decir, Cf y Cg se interceptan.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

0

f

g

3.3. Composición de funciones

Introdución

Sea f (x) = x − 1 y g(x) =√2x + 2, calcular

1. f (2), f (1), g(f (2)) y g(f (1))

2. ¿Por qué no se puede calcular g(f (−3))?

3. ¿Para qué valores de x no se puede calcular g(f (x))?

4. Calcular f (g(x))

52

5. ¿Es igual g(f (x)) y f (g(x))

Observar que en el cálculo de g(f (x)), x ∈ Df y f (x) ∈ Dg .

Definición 3.4. Sean f y g funciones tales queRg ∩Df = ϕ. La composición de f con g, denotada por f g(se lee: la composición de f con g), es la función cuya regla de correspondencia es (f g)(x) = f (g(x)) ycon dominioDf g = x ∈ Dg/g(x) ∈ Df

Esquemac amente

Dg

g f

x1x2

g(x2)g(x1)

x3f (x3)

f (g(x1))

Rg DfRf

Ejemplo 3.5Sea f (x) = 1

x y g(x) = x2 − 1,Df = R− 0 yDg = R

Df g = x ∈ Dg/g(x) ∈ Df = x ∈ R/x2 − 1 ∈ R− 0= x ∈ R/x2 − 1 = 0= R− ±1

(f g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 1) = 1x2−1

Dgf = x ∈ Df /f (x) ∈ Dg

= x ∈ R− 0/1

x∈ R

= R− 0

(g f )(x) = g(f (x)) = g(1x ) =1x2− 1

Nótese que en generalDf g = Dgf , y f g = g f

Ejemplo 3.6Expresar como una composición h(x) =

√x + 1. Solución: sea g(x) = x + 1 y f (x) =

√x entonces

h = f g ya que (f g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) =√x + 1.

53

Monotonía para la composición de funciones

Sean f y g dos funciones tales que g es monótona en el intervalo I y f es monótona el intervalo J, dondeg(x) ∈ J, ∀x ∈ I.

1. Si f y g enen la misma variación entonces f g es creciente.En efecto: Supongamos que f y g son decrecientes, luego, si x1 < x2 entonces g(x1) > g(x2) y siy1 < y2 entonces f (y1) > f (y2). De aquí que, tomando a y1 = g(x2) y y2 = g(x1) tenemos que six1 < x2 entonces f (g(x2)) > f (g(x1), por lo tanto, f g es creciente.Ejercicio: comprobarlo para f y g crecientes.

2. Si una de las funciones es creciente y la otra decreciente entonces la composición es decreciente.La comprobación de esta propiedad se deja como ejercicio.

Ejemplo 3.7Sea h(x) = − 1

3x2,Dh = R−0, la función h se puede descomponer en dos funciones de tal forma que la

composición sea la función h, definamos g(x) = 3x2 y f (x) = −1x , así, (f g)(x) = f (g(x)) = f (3x2) =− 13x2= h(x). Con las propiedades anteriores tenemos que:

1. Como la función g es decreciente en I1 =]−∞, 0[ y g(I1) =]0,∞[= J1, f es creciente en J1, así lafunción h es decreciente en I1.

2. Como la función g es creciente en I2 =]0,∞[ y g(I2) =]0,∞[= J2, f es creciente en J2, así, la funciónh es creciente en I2.

Aplicaciones de las operaciones al sen do de variación

Estudiar la variación de las funciones

1. f (x) = x3

2 −3x ,Df = R− 0 2. g(x) =

√x2 − 1,Dg =]−∞,−1] ∪ [1,∞[.

Método: para estudiar la variación de una función, podemos

1. Escribir esta función como suma de dos funciones de misma variación, ó

2. Descomponerla en dos funciones, donde se conozca el sendo de variación y aplicar las propiedadesde variación de una función compuesta.

Desarrollo

1. La función f (x) = x3

2 −3x es la suma de las funciones f1(x) = x3

2 y f2(x) = −3x definidas sobreR−0. La función f1 es creciente sobreR y f2 creciente enR−0, luego la función f1(x)+ f2(x) =f (x) es creciente en R− 0.

54

−6 −4 −2 2 4 6

−4

−2

2

4

0

fh

g

2. g(x) =√x2 − 1, Dg =] −∞,−1] ∪ [1,∞[. La función g se puede descomponer en dos funciones

g1(x) = x2 − 1 y g2(x) =

√x , así, g = g2 g1.

a) La función g1 es creciente en [1,∞[ y g1([1,∞[) = [0,∞[, g2 es creciente en [0,∞[, por lotanto la función g es creciente en [1,∞[.

b) La función g1 es decreciente en ] − ∞,−1] y g1(] − ∞,−1]) = [0,∞[, g2 es creciente en[0,∞[, por lo tanto, por la composición de dos funciones de variación contraria la función g esdecreciente sobre ]−∞,−1].

3.4. Función inversa

3.4.1. Funciones inyec vas

Definición 3.5. Una función f : A −→ B se dice que es inyec va si a elementos dis ntos de su dominio, leasigna imágenes dis ntas en su recorrido.

Simbólicamente:f es inyecv a si y sólo si, para x1, x2 ∈ Df con x1 = x2 se cumple que f (x1) = f (x2)

Nota: para probar que una f es inyecv a se verifica la condición anterior o el contrarecíproco (f (x1) = f (x2)entonces x1 = x2).

Criterio gráfico: f es inyecv a si para cada recta paralela al eje X, corta al gráfico de f en un único punto.En la siguiente figura se ha trazado las gráficas de dos funciones f y g.

55

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

f

g

x1 x2

Para x1 = x2 se ene que f (x1) = f (x2) y g(x1) = g(x2), por lo tanto f es inyecv a y g no lo es.

Ejemplo 3.8

1. Sea f : R −→ R definida por f (x) = −3x + 2, verificar que f es inyecv a. Solución: f (x1) =f (x2)⇒ −3x1 + 2 = −3x2 + 2⇒ x1 = x2, por lo tanto f es inyecv a.

2. Probar que g : R −→ R definida por f (x) = x2 no es inyecv a. Solución: tomemos x1 = −2 yx2 = 2, así x1 = x2 pero f (x1) = f (x2) = 4, por lo tanto g no es inyecv a.

3. Ejercicio: verifique que f : R− 2 −→ R definida por f (x) = x+2x−2 es inyecv a.

NOTA: Para verificar que no es inyecv a, basta encontrar dos valores en el dominio que no cumplan lacondición.

3.4.2. Funciones sobreyec vas

Definición 3.6. Una función f : A −→ B se dice que es sobreyec va (o sobre) si Rf = B, es decir, paracada y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y

Ejemplo 3.9

1. La función f : R −→ R definida por f (x) = −3x + 2 es sobreyecv a, ya que Rf = R, también paracada y ∈ R existe x = y−2

−3 (este valor sale de la igualdad f (x) = y ) tal que f (x) = f ( y−2−3 ) = y .

2. La función f : R −→ R definida por f (x) = x2 no es es sobreyecv a, ya queRf = R+0 = R, es decir,para todo y < 0 no existe x ∈ R tal que f (x) = y . Importante: al reducir el conjunto de llegada def , definiendo f : R −→ R+0 , f si es sobreyecv a.

3.4.3. Funciones biyec vas

Definición 3.7. Una función f : A −→ B se dice que es biyec va si y sólo si es inyec va y sobreyec va.

56

Ejemplo 3.10

1. Las funciones definidas por f1(x) = −3x + 2 y f2(x) = x3 de R en R son sobreyecv as e inyecv as(verificarlo), por lo tanto son biyecv as.

2. La función f : R − 2 −→ R definida por f (x) = 3x+1x−2 no es biyecv a, ya que es inyecv a

(verificarlo), pero Rf = R − 3 = R. Reduciendo el conjunto de llegada, tenemos que f : R −2 −→ R− 3 es biyecv a.

3. Dada la función f : R −→ R definida por f (x) = x2 − 1, restringir el conjunto de parda y el dellegada para que f se biyecv a.Solución:Df = R y Rf = [−1,∞[, tenemos dos opciones

a) Restringir el conjunto de parda a [0,∞[ y el de llegada a [−1,∞[, entonces la función f :[0,∞[−→ [−1,∞[ definida por f (x) = x2 − 1 es biyecv a.

b) Restringir el conjunto de parda a ] −∞, 0] y el de llegada a [−1,∞[, entonces la función f :]−∞, 0] −→ [−1,∞[ definida por f (x) = x2 − 1 es biyecv a.

¿Existen otras posibles restricciones?

3.4.4. Función inversa

Sea la función f : A −→ B biyecv a y consideremos la aplicación g : B −→ A definida por

g(y) = x ⇔ f (x) = y

.

x1

x2

y1

y2

f

g

f

g

A

B

Verifiquemos que g es función: en efecto, como f es biyecv a para y1, y2 ∈ B existen x1, x2 ∈ A tal quef (x1) = y1 y f (x2) = y2.Si y1 = y2 entonces f (x1) = f (x2) y como f es inyecv a se ene que x1 = x2, lo cual implica quex1 = g(y1) = g(y2) = x2, luego g es función.

La función g así definida es llamada Función Inversa de f y la denotamos por f −1. Además, por la definiciónde g = f −1 tenemos que: f (x) = y ⇔ f −1(y) = x

57

Teorema 3.1. Si f : A −→ B es biyec va, entonces existe la función inversa f −1 : B −→ A, la cualsa sface:

i. f f −1 = IB

ii. f −1 f = IA

Demostración. La existencia de f −1 ya le hemos verificado.Para probar i y i i , sea y ∈ B entonces existe x ∈ A tal que y = f (x)⇔ x = f −1(y), luego, (f f −1)(y) =f (f −1(y)) = f (x) = y = IB(y) y (f −1 f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(y) = x = IA(x).

Relación entre las gráficas de f y f −1

Sea f : A −→ B biyecv a, f −1 es una función deB enA para la cual se ene que: f (x) = y ⇔ f −1(y) = x ,en términos gráficos significa que siP (x, y) ∈ Cf entoncesQ(y , x) ∈ Cf −1 . Los puntosP yQ son simétricosrespecto a la recta L : y = x ( ya que el punto medio de A y B: ( x+y2 ,

x+y2 ) pertenece a L y la pendiente

del segmento que une a A y B por la pendiente de L es−1).

Ejemplo 3.11

1. Encontrar si existe la inversa de la función f : R −→ R definida por f (x) = −x3 + 1.Solución: esta función es inyecv a (verificarlo) y Rf = R, así f es biyecv a, luego f −1 existe, como(f f −1)(x) = x entonces f (f −1(x)) = x , luego−[f −1(x)]3 + 1 = x , así f −1(x) = 3

√1− x .

2. Encontrar la inversa de la función g : R −→ R definida por g(x) = 2x + 3. Ejercicio.

3. La función f : R −→ R tal que f (x) = x2 no es inyecv a, restringir el dominio y reducir el conjuntode llegada para redefinir una función que sea biyecv a y luego encontrar la inversa (Discur que almenos hay dos soluciones). Ejercicio.

58

4. Dada la función f : R − 2 −→ R − 1 definida por f (x) = x−3x−2 . Verificar que f es biyecv a,

encontrar f −1; indicando dominio y rango de f −1.

3.5. Ejercicios

3.5.1. Operaciones con funciones

1. Encontrar el dominio y la regla de correspondencia de f + g, f g, fg , en los casos siguientes.

a. f (x) =√x + 1, g(x) = 1√

x+2

b. f (x) = x2+2x−1 , g(x) = x3−8

x+1

c. f (x) =

x + 7, x ∈ [2, 3]4− 3x, x ∈]3, 5]

, g(x) =

2x − 3, x ∈ [1, 3]3x + 2, x ∈]3, 5]

2. Con la ayuda de la suma de funciones, determinar el sendo de variación de las funciones siguientes

a. f (x) = 1x − x + 3; x ∈]−∞, 0[

b. f (x) = x2 + 1− 1x ; x ∈]0,∞[c. f (x) = 1

x−4 − x2; x ∈]0, 4[

d. f (x) =√x − 1x ; x ∈]0,∞[

e. f (x) = x2 − 4x+3 ; x ∈]− 3, 0]

f. f (x) = x−42 −

2x−1 ; x ∈]1,∞[

3. Sean las funciones f y g definidas sobre [0,∞[, por f (x) = x2, g(x) = −x2 − x

a. Considerar la función h = f + g, definir h.

b. ¿Cuál es el sendo de variación de f y el de g? ¿Cuál es el sendo de variación de f + g?

c. Definir dos funciones f y g con sendo de variación contraria tal que la función f +g sea creciente.

4. Sea f (x) = x2 + 1 + 1x ; x ∈ R− 0 y C su curva representav a

a. Establecer las tablas de variación (monotonía) de las funciones g(x) = x2 + 1,h(x) = 1x .

b. Determinar por suma el sendo de variación de f sobre ] − ∞, 0[. ¿Podemos por operaciones,determinar el sendo de variación de f sobre ]0,∞[?

c. Trazar las curvas Cg y Ch de las funciones f y g, respecv amente.

d. La función f es la suma de g y h. Deducir punto por punto el trazo de la curva Cf . Indicar la tablade variación de la función f .

5. i. Sean f (x) = x2, g(x) = x + 1; definidas en [0,∞[a. ¿Cuál es el sendo de variación de f y g?b. Consideremos la función producto h = f · g, definir la función h.c. Demostrar mediante la definición que h es creciente.

59

ii. Sean f (x) = x2, g(x) = x − 3; definidas en [0,∞[a. ¿Cuál es el sendo de variación de f y g?b. Consideremos la función producto h = f · g, definir la función h.c. ¿Es la función h = f g creciente? ¿Por qué no se puede concluir como en i .

iii. Mostrar que el producto de dos funciones posiv as crecientes definidas sobre el mismo conjuntoD, es una función creciente.

6. Con la ayuda del producto de funciones, estudiar las variaciones de las funciones siguientes

a. f (x) = (x2 + 1)√x ; sobre [0,∞[

b. f (x) = x3(x − 1); sobre[1, 10]c. f (x) = (−5x + 3)x2; sobre ]−∞, 0]

7. i. Mostrar que si dos funciones f y g definidas sobre R son pares, entonces la suma de f + g y elproducto f · g es par.

ii. ¿Qué puede decirse de f + g y f · g si f y g son impares?

8. Sea f una función definida en R y p e i las funciones definidas para todo real por

p(x) =f (x) + f (−x)

2; i(x) =

f (x)− f (−x)2

i. Mostrar quep es par e i es impar, luego deducir que toda función definida enR, puede descomponersecomo la suma de una función par y de una función impar.

i. Aplicación: Determinar las funciones p e i sia. f (x) = 3x3 − 2x2 + 3x − 1b. f (x) = x−1

x2+1

3.5.2. Composición de funciones

1. En cada uno de los casos siguientes, encontrar las funciones f g y g f

a. f (x) = 3x + 1; g(x) = x2

b. f (x) = −2x + 3; g(x) = 1x

c. f (x) = 3x − 2; g(x) = 3x−1x+2

d. f (x) = x2 − x ; g(x) =√x

2. Sean las funciones f1(x) = x2−1; f2(x) = 1x ; f3(x) =

√x ; f4(x) = 3x−2; f5(x) = x3. Descomponer

las funciones siguientes, con la ayuda de estas funciones

a. f (x) = 3√x − 2

b. g(x) =√x2 − 1

c. h(x) = 13x−2

d. j(x) = (3x − 2)3

e. k(x) = 1x2−1

f. l(x) =√3x − 2

3. Uliz ando la variación de funciones de referencia y de las funciones afines (y = ax + b), determinarla variación de las funciones f siguientes, por descomposición sobre el intervalo considerado

60

a. f (x) =√2x − 4; sobre ]2,∞[

b. f (x) = (−2x + 1)3; sobre ]−∞,∞[c. f (x) = −4

√x + 1; sobre [0,∞[

d. f (x) = 1x2+4

; sobre ]−∞, 0] y [0,∞[

4. Estudiar la variación de las funciones f siguientes, definidas sobreD. Con la ayuda de las variación delas funciones de referencia

a. f (x) = 12(x + 1)

2 + 4;D = Rb. f (x) = 1

x3−8 ;D = R− 2

c. f (x) =√(x − 1)2 + 1;D = R

5. Sean f y g dos funciones. Estudiar la paridad de la función g f cuando

a. f y g son pares

b. f y g son impares

c. f es par y g es impar

d. f es impar y g es par

6. Sean f y g dos funciones. Mostrar que si f es par, entonces la composición g f es par.

7. Sean f y g dos funciones definidas en R por f (x) = 3x − 5 y g(x) = 2x2+1x2+1

a. Demostrar que para todo x ∈ R, se ene que 1 ≤ g(x) ≤ 2.b. ¿Es la función f acotada sobre R?

c. Demostrar que la función g f es acotada sobre Rd. Demostrar que la función f g es acotada sobre R y que para todo x ∈ R−2 ≤ (f g)(x) < 1.

8. Propiedades de la composición de funciones si f , g y h son funciones reales tales que las siguientescomposiciones están definidas. Probar que

a. (f g) h = f (g h)b. (f + g) h = (f h) + (g h)c. (f · g) h = (f h) · (g h)d. f I = I f = f , donde I(x) = x , x ∈ R

3.5.3. Comparación de funciones

1. Las funciones f y g están dadas por sus expresiones ¿Son ellas iguales?

a. f (x) = x + 1; g(x) = x2−1x−1

b. f (x) =√(x − 1)2; g(x) = |x − 1|

c. f (x) = 3x+1x−2 ; g(x) = 3 + 7

x−2

d. f (x) =√(4x + 1)2; g(x) = 4x + 1

61

e. f (x) = 2x2+2x3+x

; g(x) = 2x

f. f (x) = |x − 2|; g(x) =√(x−2)3x−2

2. Sea la función f definida sobre el intervalo [−1,∞[ por f (x) =√x + 1

a. Mostrar que para todo x ∈ [−1,∞[, f (x) ≤ 12x + 1

b. Graficar en un mismo plano la función f y la recta L de ecuación y = 12x + 1

3. Sea f definida enR por f (x) = x3+x−1x2+1

y seaC su curva representav a en el plano. Mostrar que paratodo x real; x − 1 ≤ f (x) ≤ x .

4. Sean f y g dos funciones con sus curvas representav as Cf y Cg .

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Cg

Cf

Comparar las funciones f y g sobre ]−∞, 0], sobre [0, 2] y sobre [2,∞[

5. Sea f definida por f (x) = x2

x−1 ; x ∈ R− 1 y g definida por g(x) = x + 1; x ∈ R.

a. Comparar las funciones f y g sobre los intervalos ]−∞, 1] y luego ]1,∞[b. Deducir, según los valores de x , la posición relav a de la curva C representav a de f y la recta L

de ecuación y = x + 1

6. Sea la función f definida enR−−1 por f (x) = 2x2−1x+1 , y la función g definida sobreR por g(x) =

2x − 1;

a. Comparar las funciones f y g sobre los intervalos ]−∞,−1[ y luego ]− 1,∞[b. Deducir según los valores de x , la posición relav a de la curva C representav a de f y de la rectaL de ecuación y = 2x − 1.

7. Sea la función f definida sobre R − 2 por f (x) = x3−2x2−1x−2 , y g la función definida en R por

g(x) = x2

a. Comparar las funciones f y g sobre los intervalos ]−∞, 2[ y luego ]2,∞[b. Deducir según los valores de x , la posición relav a de la curvaC representav a de f y de la parábolaP de ecuación y = x2.

62

8. Sea la función f tal que x ≤ f (x) ≤ 2x y para todo enterom, f (2m) = 2m y f (2m + 1) = 2m + 2.Precisar en que región del plano se sitúa la curva C representav a de f . Trazar una curva posible,sabiendo que la curva C es connua (no ene agujeros).

3.5.4. Funciones biyec vas e inversa de una función

1. Determinar si cada función de A en B es i . Inyecv a, i i . sobreyecv a y i i i . biyecv a

a. A = B = R, f (x) = |x |b. A = B = R+0 , f (x) = |x |c. A = B = R, f (x) = 5x − 3d. A = B = R, f (x) = 3(x − 2)2 + 5e. A = R− 1; B = R− 2, f (x) = 2x+1

x−1

f. A = [0,√3]; B = R; f (x) = (3− x2)1/2

2. A cada una de las funciones que no sea biyecv a del ejercicio anterior, restringir el conjunto de parday/o reducir el conjunto de llegada de tal forma que se obtenga una función biyecv a.

3. Demostrar que:

a. La composición de dos funciones inyecv as es una función inyecv a

b. La composición de dos funciones sobreyecv as es una función sobreyecv a

c. La composición de dos funciones biyecv as es una función biyecv a

4. En cada uno de los casos siguientes, verificar que f es biyecv a y determinar la función inversa de f .

a. f : R −→ R; f (x) = 3x + 2

b. f : R+0 −→ [3,∞[; f (x) = x2 + 3c. f : R −→ R; f (x) = 1− x3

d. f : R− 1 −→ R− 0; f (x) = 1x3+1

e. f : [−2,∞[−→ R+0 ; f (x) =√x + 2

f. f : R −→ R; f (x) = (x − 1)3 + 2

5. En cada una de las funciones siguientes de f : A ⊂ R −→ R (Df = A); restringir el dominio y/oreducir el conjunto de llegada de tal manera que la función restringida sea biyecv a. Luego encuentrala función inversa de la función restringida (indicar en cada caso dominio y rango de f −1).

a. f (x) = x2 − 2x ; encontrar dos inversas

b. f (x) = 3− x2; encontrar dos inversas

c. f (x) =√25− x2; encontrar dos inversas

d. f (x) = x+4x−3

6. Describe la gráfica de f −1 cuando

a. f es creciente y siempre posiv a

63

b. f es creciente y siempre negav a

c. f es decreciente y siempre posiv a

d. f es decreciente y siempre negav a

7. Demostrar que si f es creciente, entonces también lo es f −1, análogamente para funciones decrecientes.

8. a. Encuentre el número de funciones inyecv as del conjunto a, b, c en el conjunto 1, 2, 3, 4, .b. ¿Cuántas funciones inyecv as existen de un conjunto de n elementos en otro conjunto de m

elementos (m ≥ n)?

c. ¿Cuántas funciones inyecv as si n = m?

9. a. Hallar (f g)−1 en términos de f −1 y g−1

b. Hallar g−1 en términos de f −1 si g(x) = 1 + f (x).

64

La derivada de una función

65

4.1. Interpretación Geométrica y Física de la Derivada.

4.1.1. Rectas secantes y tangentes al gráfico de una función en un punto.

Sean I un intervalo, f una función real de variable real f : I −→ R y C su la curva representav a de la función.

Se consideran dos puntos disn tos A yM de la curva C cuyas abscisas son a y a + h, respecv amente y Tla tangente a la curva C en el punto A.

1. Determinar en función de a y h el coeficiente director de la recta secante AM y la ecuación de dicharecta

El puntoM siempre permaneciendo sobre la curva C.

2. ¿A qué recta se aproxima la recta AM cuando h se aproxima a 0?

3. Deducir que el coeficiente directorma de la tangente T a la curva C en el punto A de abscisa a,estádado por

lımh→0

f (a + h)− f (a)h

.

4. Escribir la ecuación de la tangente a la curva C en el punto A de abscisa a.

4.1.2. Aproximación de una función por una función a n.

1. Sea f la función definida por f : x →1

xy sea C su curva representav a.

66

a. Sea m un número real, A el punto de C de abscisa 1 y D la recta de coeficiente director m quepasa por A. Determinar una ecuación deD.

b. Determinar m para que la curva C y la recta D tengan un único punto de común. ¿Cuál es laposición deD en este caso?

c. Sean M y H dos puntos de abscisa 1 + h que pertenecen respecv amente a la curva C y a latangente T en el punto A a la curva C.

. ¿Cuáles son las ordenadas de los puntosM y H?

. Para valores pequeños de h se aproxima el valor de1

1 + hcon 1− h. ¿Cuál es el error que se

comete? ¿cómo se observa gráficamente este error?

d. Deducir que existe una función ϕ tal que:

1

1 + h= 1− h + h.ϕ(h)

con ϕ sas faciendo la condición:lımh→0ϕ(h) = 0

2. Sean f la función definida por f : x → x3 y C su curva representav a

a. Jusfic ar que existe una función ϕ tal que:

(1 + h)3 = 1 + 3h + h.ϕ(h)

con ϕ sas faciendo la condición:lımh→0ϕ(h) = 0

b. Sea A el punto de abscisa 1 de la curva C y sea H el punto de coordenadas (1 + h, 1 + 3h).Determine la ecuación de la recta AH

c. Trace la curva C y la recta AH. ¿Cuál es la posición de la recta AH con respecto a la curva C?

d. Determinar el número de puntos de intersección de la curva C y la recta AH. ¿Cómo se explica elresultado? ¿Cuál es el coeficiente director de la tangente a la curva C en el punto A?

4.1.3. Velocidad Instantánea.

Supongamos que vamos viajando en un vehículo de un lugar a otro. si en un instante t1 cubrimos unadistancia f (t1) del punto de parda y en un instante t2 cubrimos una distancia f (t2). El problema quedeseamos resolver es el siguiente: Determinar la velocidad del vehículo en cada instante de su movimiento.Para ello se introduce la noción de velocidad media durante un intervalo de empo , es decir, desde elinstante t1 al t2, definiéndola como el cociente:

diferencia de distancias en el intervalo de empointervalo de empo

=f (t2)− f (t1)t2 − t1

=f (t1 + h)− f (t1)

h

Para obtener la úlma expresión el la igualdad hacemos h = t2 − t1. Este cociente , llamado cocienteincremental, es un número que se puede calcular siempre que t y t + h pertenezcan al dominio de f . Elnúmero h puede ser posiv o o negav o, pero no cero. Estudiaremos lo que le ocurre al cociente incremental,

67

cuando se dan a h valores cada vez menores en valor absoluto. Esto es, cuando tomamos intervalos deempo cada vez más pequeños. En ausencia de fricción, la distancia recorrida por una masa puntual que

se deja caer en el instante t = 0, viene dada por f (t) =1

2gt2, donde t es el empo transcurrido, f (t)

es la distancia recorrida en metros y g = 9.81m

s2. La gráfica de la función es la que se muestra en la figura

adjunta.

a. Calcular la velocidad media entre los instantes t = 1 y t = 2. Compararla con el coeficiente director dela recta AB

b. V (t) representa la velocidad media entre los instantes 1 y t cuando t = 1. Completar la siguiente tabla.

empo t 1.2 1.1 1.01 0.99 0.9 0.8Velocidad V (t)

c. expresar V (t) en función de t . ¿Cuál es el límite v de V (t) cuando t ende a 1? el valor v es denominadovelocidad instantánea.

d. Calcule la velocidad instantánea cuando t = 2.

4.2. Derivada de una función en un punto.

Si elegimos un punto x0 en un intervalo abierto (a, b) y se forma el cociente de diferencias

f (x0 + h)− f (x0)h

y hacemos tender h a cero, si ende hacia un cierto valor como límite, entonces ese límite se denominaderivada de f en x0 y se indica por el símbolo f ′(x0) (se lee “f prima de x0”). Es decir,

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

.

68

Algunas notaciones alternav as para la derivada son

df

dx, o también

dy

dxcuando y = f (x)

Si queremos indicar el valor de la derivada en un número específico x0, uliz amos la notación

df

dx

∣∣∣∣x=x0

, ody

dx

∣∣∣∣x=x0

.

Una propiedad muy importante de las funciones derivables se enuncia en el próximo teorema.

Teorema 4.1. Si una función es derivable en un punto x0, entonces ella es con nua en dicho punto.

Demostración.Para demostrarlo, empleamos la idendad

f (x0 + h) = f (x0) + h

(f (x0 + h)− f (x0)

h

)que es válida para h = 0. si hacemos que h → 0, el cociente de diferencias ende a f ′(x0). Entonces:

lımh→0[f (x0 + h)− f (x0)] = f ′(x0) · lım

h→0h = 0⇒ lım

h→0f (x0 + h) = f (x0)

y por tanto f es connua en x0.Cada vez que establecemos la existencia de la derivada en x0, establecemos también, al mismo empo , laconnuidad de f en x0.Debe observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La connuidad en x0 no implica necesariamentela existencia de f ′(x0). Por ejemplo, cuando f (x) = |x |, el punto x = 0 es de connuidad de f , puesto quelımx→0f (x) = 0 = f (0) pero

f ′(0) = lımh→0

f (0 + h)− f (0)h

= lımh→0

|h|h

Éste vale 1 si h > 0 y−1 si h < 0, y por consiguiente no ene límite cuando h → 0. Por lo tanto f (x) = |x |no es diferenciable en x = 0.

4.3. Función derivada.

En la sección anterior definimos la derivada en un punto del dominio, ahora definiremos la derivada de unafunción f para todo x ∈ Df , talque el límite anterior exista, la cual a su vez será una nueva función, la cualdenotaremos como f ′(x).

Definición 4.1. Si f es una función, la derivada de f es una función con regla de correspondencia

f ′(x) = lımh→0

f (x + h)− f (x)h

.

que ene como dominio el conjunto de todos los números del dominio de f para los que existe tal límite.

69

Ejemplo 4.1Si f (x) =

√x − 5, encuentre la derivada de f y su dominio.

Solución.El dominio de f (x) es el intervalo [5,∞). Aplicando la definición de derivaba, obtenemos que para x ∈ Df :

f ′(x) =1

2√x − 5

Vemos que f ′(x) existe si x > 5. De esta manera, el dominio de f ′(x) es (5,∞), mismo que está contenidoen el dominio de f .

Teorema 4.2. Derivadas de las funciones básicas.Dadas las funciones:

1. f (x) = c

2. f (x) = mx

3. f (x) = xn (Sug.: Aplicar el teorema delbinomio)

4. f (x) =√x

5. f (x) =1

x

6. f (x) = sen(x)

7. f (x) = cos(x)

8. f (x) = n√x = x

1n (Sug.: Hacer u = (x + h)1/n

y v = x1/n)

Las derivadas respec vas son:

1. f ′(x) = 0

2. f ′(x) = m

3. f ′(x) = nxn−1 (Sug.: Aplicar el teorema delbinomio)

4. f ′(x) =1

2√x

5. f ′(x) = −1

x2

6. f ′(x) = cos(x)

7. f ′(x) = −sen(x)

8. f ′(x) = n√x (Sug.: Hacer u = (x + h)1/n y

v = x1/n)

4.4. Álgebra de derivadas.

Unos pocos teoremas nos ofrecerán un proceso mecánico para derivar una clase muy amplia de funciones,formadas a parr de funciones simples mediante el proceso de suma, mulplic ación, división y composición.El siguiente teorema nos proporciona un conjunto de reglas para el cálculo de derivadas. Las cuales, esimportante aprenderlas de memoria.

Teorema 4.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo común. Si f y g son derivables en x entonces:la suma f +g, la diferencia f −g, el producto f ·g y el cociente f /g son derivables en x . ( Para f /g hay queañadir también que g ha de ser dis nta de cero en el punto considerado). Las derivadas de estas funcionesestán dadas por las siguientes fórmulas:

1. f + g es derivable en x y se ene (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x),

70

2. f − g es derivable en x y se ene (f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x)

3. f · g es derivable en x y se ene (f · g)′(x) = f (x) · g′(x) + g(x) · f ′(x)

4.f

ges derivable en x y se ene

(f

g

)′(x) =

g(x) · f ′(x)− f (x) · g′(x)(g(x))2

en puntos x donde g(x) = 0.

Antes de demostrar este teorema, observamos que un caso parcular de 3 se ene cuando una de lasdos funciones es constante, por ejemplo, g(x) = c para todo valor de x en este caso 3 se transforma en(c · f (x))′ = c · f ′(x) Para demostrar cada una de estas afirmaciones, usamos la definición de derivada enun punto x . Esto es:

f ′(x) = lımh→0

f (x + h)− f (x)h

Veamos.Demostración de 1). Sea x un punto en el que existen ambas derivadas f ′(x) y g′(x).

(f + g)′(x) = lımh→0

(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h

= lımh→0

[f (x + h)− f (x)

h+g(x + h)− g(x)

h

]= lım

h→0

f (x + h)− f (x)h

+ lımh→0

g(x + h)− g(x)h

= f ′(x) + g′(x)Demostración de 2) es análoga.

Demostración de3). La fórmula para la derivada de un producto es agradablemente simétrica y la demostraciónrequiere solamente un truco algebraico sencillo: un número no se altera cuando se le suma y resta unamisma candad.(f · g)′(x) = lım

h→0

(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h

= lımh→0

[(f · g)(x + h)− (f · g)(x) + f (x + h) · g(x)− f (x + h) · g(x)

h

]

= lımh→0

[f (x + h)[g(x + h)− g(x)] + g(x)[f (x + h)− f (x)]

h

]= lım

h→0f (x + h) · lım

h→0

g(x + h)− g(x)h

+ g(a) lımh→0

f (x + h)− f (x)h

Como ambas derivadas f ′(x) y g′(x) existen, tendremos que(f · g)′(x) = f (x) · g′(x) + g(x) · f ′(x)

Para probar la fórmula de la derivada de un cociente probaremos primero que :(1

g

)′(x) = −

1

(g(x))2· g′(x)

71

(1

g

)′(x) = lım

h→0

1

g(x + h)−1

g(x)

h

= lımh→0

[−g(x + h)− g(x)

h·

1

g(x)g(x + h)

]

= − lımh→0

g(x + h)− g(x)h

· lımh→0

1

g(x)g(x + h)

= −g′(x)

(g(x))2

Para demostrar 3, escribimosf (x)

g(x)= f (x) ·

1

g(x)y aplicamos la fórmula del producto y obtenemos la

fórmula buscada. Veamos(f (x) ·

1

g(x)

)′= f (x) ·

(1

g(x)

)′+ (f (x))′ ·

1

g(x)

= −f (x)g′(x)

(g(x))2+f ′(x)

g(x)

=g(x) · f ′(x)− f (x) · g′(x)

(g(x))2

Ejemplo. Si f (x) = x4 y g(x) = sen(x), aplique las reglas de derivación para hallar:

1. (f + g)′(x),

2. (f − g)′(x),

3. (f · g)′(x),

4.(f

g

)′(x)

4.5. Derivada de la composición.

Las fórmulas de derivación dadas hasta ahora, no nos permiten calcular derivadas de funciones tales comoG(x) = sen(x2). Obsérvese que G es una función compuesta. Si se hace f (x) = sen(x) y g(x) = x2,entonces podemos escribir G(x) = f (g(x)), esto es , G = f g.Ejercicios.Exprese la función dada en la forma f g.

1. G(x) = (x − 9)7

2. G(x) =x2

x2 + 4

3. G(x) = tan(3x)

4. G(x) = (1 + cos(x))6

5. G(x) =√1 + x2 6. G(x) =

1√9− x2

Sabemos ya cómo diferenciar ambas funciones f y g, el teorema siguiente nos dice como encontrar laderivada de G(x) = f (g(x)) en términos de las derivadas de f y g.

Teorema 4.4. Sean f y g tales que g sea derivable en el intervalo I y f derivable sobre el intervalo g(I).Entonces la composición f g es derivable en el intervalo I y se ene:

(g h)′ (x) = f ′ (g(x)) g′ (x) .

72

Ejemplos.

1. Considere la función G(x) = (3x + 1)2. Esta puede ser expresada como la composición de lasfunciones f (x) = x2 y la función g (x) = 3x + 1; en efecto G(x) = (3x + 1)2 = (g (x))2=(g (x))2 .Por otra parte las funciones derivadas de f y g son respecv amente: f ′ (x) = 2x , g′ (x) = 3. Enconsecuencia, aplicando la regla de la cadena, tenemos:G′ (x)= (f ′ (g (x))) .g′ (x) = 2 (3x + 1)·3 =18x + 6.

Observe que el mismo resultado se obene si primero se desarrolla algebraicamente la función yposteriormente se deriva. En efecto, el desarrollo algebraico de la función es G(x) = 9x2 + 6x + 1,cuya derivada es precisamente G′ (x) = 18x + 6.

2. De nuevo con la función del ejemplo 1,G(x) = (3x + 1)2 . Esta función la podemos derivar igualmenteuliz ando la regla de derivación para el producto de funciones, en la siguiente forma: G(x) = f (x) ·f (x). En este caso se obene G′ (x) = f ′ (x) · f (x) + f (x) · f ′ (x) =. 3 · (3x + 1)+ (3x + 1) · 3 =6 · (3x) = 18x + 6

3. Analicemos la función h (x) = cos (2x) . Esta función es la composición de las funciones f (x) =cos (x) y la función g (x) = 2x . Como f ′ (x) = − sin (x) y g′ (x) = 2, la aplicación de la regla de lacadena da por resultado h′ (x) = − sin (2x) · 2 = −4 sin (x) cos (x).

4. De nuevo consideremos la función h (x) = cos (2x) . Expresándola, por ejemplo en la forma h (x) =cos (2x) = 1− 2 sin2 (x) . la función dada es la suma de la función constante c (x) = 1 y la funcióng (x) = −2 sin2 (x). Como la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas delos sumandos y la derivada de la función constante es nula, todo se reducirá a calcular la derivadade la función g (x) = −2 sin2 (x). La derivada de esta función es el producto de -2 con la derivadade la función g1 (x) = sin2 (x). Para cálculo de la derivada de esta úlma función haremos uso denuevo de la regla de la cadena. La función g1 es la composición de las funciones C(x) = x2 y lafunción S (x) = sin (x). Se verifica que g1 = (S (x))2 = C (S (x)) . En consecuencia se eneaplicando la regla de la cadena que g′1 (x) = C

′ (S (x)) · S′ (x)= 2 sin (x) · cos (x) . Finalmentetenemos h′ (x) = −4 sin (x) cos (x) . Resultado que coincide con el obtenido en el ejemplo 2.

5. Calculemos la derivada de la función C (x) =2x − 1(3x + 1)2

. Obsérvese primero que la función C es el

cociente de las funciones n (x) = 2x − 1, cuya derivada es constante e igual a 2, y la función G delejemplo 1, cuya derivada es 18x+1. Según la regla de derivación para cociente de funciones tenemos:

C′ (x) =n′ (x) · G (x)− n (x) · G′ (x)

G2 (x)=2 · (3x + 1)2 − (2x − 1) · (18x − 6)

(3x + 1)4=−12x2 + 12x − 4(3x + 1)4

4.6. Derivadas sucesivas.

La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f ′(x), dando lugar a otra función (f ′(x))′, cuyodominio consiste en todos los puntos a tales que f ′(x) es derivable en a. La función (f ′(x))′ se escribesimplemente f ′′(x) y se llama segunda derivada de f .La segunda derivada se denota comúnmente por

f ′′(x),d2f

dx2, o bien D2x f .

73

Ejemplo 4.2Obtenga la segunda derivada de la función f (x) = x sen(x)Solución.La primera derivada esf ′(x) = (x sen(x))′

= sen(x) + x cos(x)La segunda derivada resulta al derivar la primera:(f ′(x))′ = f ′′(x) = (sen(x) + x cos(x))′

= cos(x) + cos(x)− x sen(x)En general suponiendo que todas las derivadas existen, una función f (x) puede derivarse tantas veces comose quiera. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. La cuarta derivada es la derivada dela tercera derivada, y así sucesivamente. Así, si n es un entero posiv o, entonces la enésima derivada sedenota con f (n)(x). Esta notación es más fácil de manejar. Uliz ando esta notación tendremos que:

f (1) = f ′

f (2) = f ′′ = (f ′)′

f (3) = f ′′′ = (f ′′)′

f (4) = f ′′′′ = (f ′′′)′

...

f (n) =

f n−1︷︸︸︷′ · · · ′

′

Por lo general recurrimos a la notación f (n) para n ≥ 4. Además definimos f (0)(x) = f (x).

Ejemplo 4.3Obtenga las primeras cinco derivadas de f (x) = x3 − 6x2 − 5x + 3.Solución.Se ene que

f ′ = 3x2 − 12x − 5f ′′ = 6x − 12f ′′′ = 6

f (4) = 0

f (5) = 0

Ejemplo 4.4

Si f (x) =1

x, encuentre f (n)(x).

Solución.

74

Se ene que

f (x) =1

x= x−1

f ′ = −x−2

f ′′ = (−2)(−1)x−3 =2

x3f ′′′ = −3 · 2 · 1 · x−4f (4) = 4 · 3 · 2 · 1 · x−5f (5) = −5 · 4 · 3 · 2 · 1 · x−6 = −5!x−6

...f (n) = (−1)nn(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 · x−(n+1), esto es,

f (n) =(−1)nn!xn+1

4.7. Ejercicios.

4.7.1. Interpretación Geométrica y Física de la Derivada.

1. Los gráficos siguientes representan una función f .

a) Dé mediante la lectura gráfica los valores requeridos:

(a) f ′(−2), f ′(0), f ′(5) (b) f ′(−1), f ′(1), f ′(8) (c) f ′(−5), f ′(−3), f ′(2)

b) Determine la ecuación de todas las rectas tangentes presentadas en cada una de las curvasanteriores.

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva dada en el punto indicado13.Además, en un mismo plano, trace la gráfica de f y de las rectas encontradas.

a) f (x) = 1− x2, (2,−3)b) f (x) = 3

√x, (−8,−2)

c) f (x) =1

x, (2, 1/2)

d) para cualquier función f (x)diferenciable enel punto x = a.

13La recta normal a una curva C en un punto P es, por definición, la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta tangentea C en P

75

3. ¿En cuáles puntos de la curva f (x) = x2−2x+5 es la recta tangente perpendicular a la recta y = x?

Propiedades de las tangentes a la parábola

4. SeaC la parábola de ecuación y = x2, cuya representación en el sistema de coordenadas rectangulareses dada a connuación

a) Sea a un número real cualquiera.Encuentre una ecuación de la recta tangente T a la parábola en el puntoM(a, a2).Escriba esta ecuación en la forma y = mx + p dondem y p son dos números reales.

b) La recta T corta al eje de las abscisas en N y al eje de las ordenadas enQ. Muestre que N es elpunto medio del segmentoMQ.

c) Muestre que si a = 0, entonces existe un único puntoM ′ de C de abscisa a′, tal que la tangenteT ′ enM ′ a C sea ortogonal a la recta T .

d) Expresar a′ en función de a y escriba una ecuación de la recta T ′ bajo la forma y = m′x + p′,dondem′ y p′ son expresadas en función de a.

e) Calcular, en función de a, las coordenadas de un punto de intersección R de las rectas T y T ′.Muestre que R varia sobre una recta fija.

f ) La paralela a T ′ pasando porN corta al eje de ordenada F y la recta∆ de ecuación x = a en F ′.

1) Muestre que los puntos F y F ′ son simétricas con relación a la recta T .2) Muestre que la imagen de la recta ∆ por la reflexión del eje T pasa por un punto fijo, que

se nombra foco de la parábola.esta úlma propiedad se demuestra para toda la parábola.

5. La siguiente gráfica es una parábola de ecuación y = x2 y T la tangente a la parábola en el puntoMde abscisa a.

76

a) Determine la abscisa del punto A y la ordenada del punto B.

b) Demuestre que la recta que pasa por A y es perpendicular a T corta al eje y en un punto fijo F .

c) Sea N el punto de corte con el eje y de la normal a la gráfica enM y P la proyección ortogonaldeM sobre el eje y .Compare PN yOF

6. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (2,−3) y que son tangentes a laparábola f (x) = x2 + x .

7. Se lanza una pelota verc almente hacia arriba. Si la altura, medida en pies, después de t segundosestá dada por s(t) = 80t − 16t2. Determine

a) La velocidad inicial de la pelota.

b) La velocidad de la pelota cuando se encuentra a una altura de 96 pies sobre el nivel del suelo yse dirige hacia arriba.

4.7.2. Derivada de una función en un punto.

Para cada una de las siguientes funciones trace la gráfica, determine si es connua en x0 y si es diferenciableen x0 dado.

1.

f (x) =

x + 2 si x ≤ −4

−x − 6 si −4 < x, x0 = −4

.

2.

f (x) =

3− 2x si x < 2

3x − 7 si 2 ≤ x, x0 = 2

3.

f (x) =

x2 − 4 si x < 2

√x − 2 si 2 ≤ x

, x0 = 2

4. f (x) = 1 + |x + 2|, x0 = −2

77

4.7.3. Derivadas de las funciones básicas

1. Ulice la recta tangente como una aproximación a la curva y = f (x), cuando x esta cercano a x1 paraencontrar un valor aproximado al número indicado.

a)√36.1

b) 3√1.02 + 4

√1.02

c)1

10.1d) (1.97)6

e) sen(59)

f ) cos(31.5)

2. Encuentre los puntos P y Q de la parábola f (x) = 1 − x2, tales que el triángulo ABC formado porel eje X y las rectas tangentes en P yQ sea equilátero.

3. Demuestre que el triángulo formado por cualquier recta tangente a la hipérbola f (x) =1

xy los ejes

de coordenadas ene un área igual a 2.

4.7.4. Álgebra de derivadas

1. Obtenga la derivada de las siguientes funciones empleando las reglas de derivación.

a) f (x) =1

x3

b) f (x) =x3

3+3

x3

c) f (x) = (2x2+5)(4x −1)

d) f (x) =5x

1 + 2x2

e) f (x) =2x + 1

x + 5(3x − 1)

f ) f (x) = tan(x)

g) f (x) = cot(x)

h) f (x) = sec(x)

i) f (x) = csc(x)

2. Si f (3) = 4, g(3) = 2, f ′(3) = −6 y g′(3) = 5, encuentre los números siguientes:

a) (f + g)′(3) b) (f · g)′(3)c)

(f

g

)′(3) d)

(f

f − g

)′(3)

3. Si f es una función diferenciable, encuentre expresiones para las derivadas de las siguientes funciones.

a) h(x) = x2f (x) b) h(x) =f (x)

x2c) h(x) =

x2

f (x)d) h(x) =

1 + xf (x)√x

4. Determine los puntos en los que la tangente a la gráfica de la función dada es horizontal.

a) f (x) = x4 − 3x2 + 2 b) f (x) = x3 + x

5. Encuentre todos los puntos de la curva f (x) = x3 + 2x2 − 6x + 4 para los cuales la recta tangentees paralela a la recta 2x + y = 3.

6. ¿Para qué valores de b y c la curva f (x) = x2 + bx + c ene la recta y = x como tangente en elpunto con abscisa 2?

7. Sean f (x) y g(x) funciones derivables en R tales que f (0) = 0, g(0) = 0. Demuestre que esimposible la igualdad x = f (x)g(x) para todo x ∈ R.

8. Determine una función polinomial de grado seis de modo que en los puntos (1, 1), (−1, 1) la tangentesea horizontal y que además pase por el origen.

78

4.7.5. Derivada de la composición

Aplique la regla de la cadena para hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes.

1. G(x) = (x − 9)7

2. G(x) = (x − 9)130

3. G(x) =x2

x2 + 4

4. G(x) = tan(3x)

5. G(x) = (1 + cos(x))6

6. G(x) =√1 + x2

7. G(x) =1√9− x2

8. G(x) = sen(sen(x))

9. G(x) = sen(x3 + 3x2)

Derive las siguientes funciones usando las reglas (teoremas) de derivación.

1. f (x) =3x5 − 4x3 + 2x − 6x2 − 3x + 9

2. f (x) =x√1 + x2

3. f (x) = 5 + sen(π3

)4. f (x) = sen3(x)

5. f (x) = sen(x3)

6. f (x) = (x +√x2 − 1)1/3

7. f (x) =(1 + x3

1− x3

)1/38. f (x) = sec2(x) + csc2(x)

Para cada una de las funciones siguientes determine el dominio de la función y el de su derivada.

1. f (x) = x35 (x2 + 7x + 1) 2. f (x) = x +

1√x − 1

3. f (x) = 3√x +

5√x2 − 1

Encuentre los puntos de tangencia entre las curvas f (x) =1

xsen

(1

x

)y g(x) = −

1

x.

4.7.6. Derivadas sucesivas

1. Para las funciones siguientes obtenga la segunda derivada.

a) h(x) =√x2 + 1 b) g(x) =

1√1− x

c) f (x) =x

1− x

2. Obtenga una fórmula para f (n)(x), si:

a) f (x) =√x b) f (x) =

1

3x3c) f (x) =

1

(1− x)2

3. Obtenga la derivada indicada

a) f (99), cuando f (x) = sen(x)b) f (50), cuando f (x) = cos(2x)

c) f (35), cuando f (x) = x sen(x)

79

4.8. Aplicaciones de la Derivada.

4.8.1. Punto Crí co y Valores Extremos de una Función.

Sabemos que si f es connua en el intervalo cerrado [a, b], alcanza el valor máximoM y el valor mínimomen [a, b]. Es decir, existen puntos x1, x2 en [a, b] tales que f (x1) = M y f (x2) = m para los cuales

f (x) ≤ f (x1) para todo x ∈ [a, b]f (x) ≥ f (x2) para todo x ∈ [a, b]

En otras palabras, f (x1) es el valor más grande de la función en el intervalo [a, b] y se le llama máximoabsoluto y el valor más pequeño de la función, f (x2), en el intervalo [a, b] se le llama valor mínimo absoluto.Ahora, si estos valores x1 y x2 no son ni a ni b, entonces deben ser puntos interiores de [a, b], esto es,x1, x2 ∈ (a, b). Más adelante veremos que los extremos de una función pueden ocurrir solamente en losnúmeros críc os, según la siguiente definición.

Definición 4.2. Si c es un número del dominio de la función f , y si f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe, entonces ces un número crí co de f .

Para determinar los extremos de una función f , podemos usar ciertas propiedades de la derivada, comoveremos en los siguientes teoremas.

Teorema 4.5. Supongamos f definida en un intervalo I y alcanza su máximo ( o mínimo ) valor en un puntox0 en el interior del intervalo I. Si f ′(x0) existe, entonces f ′(x0) = 0.

Demostración.Consideremos el caso en que f ene un máximo en x0.Si h es un número cualquiera tal que x + h ∈ I, entonces f (x0) ≥ f (x0 + h)⇒ f (x0 + h)− f (x0) ≤ 0.Así, si h > 0

f (x0 + h)− f (x0)h

≤ 0,

Implicando que

lımh→0+

f (x0 + h)− f (x0)h

≤ 0. (α)

Por otra parte, si h < 0 tendremos que

f (x0 + h)− f (x0)h

≥ 0,

de modo que lımh→0−

f (x0 + h)− f (x0)h

≥ 0. (β)

Por hipótesis f es diferenciable en x0, de modo que

lımh→0+

f (x0 + h)− f (x0)h

= lımh→0−

f (x0 + h)− f (x0)h

= f ′(x0).

Como (α) y (β) significan que0 ≤ f ′(x0) ≤ 0

80

de lo cual se sigue que f ′(x0) = 0.La demostración del caso en el cual f ene un mínimo en x0 se sigue de manera similar.Ejercicio.Demuestre el teorema (4.5) considerando a f (x0) como valor mínimo.Observaciones

1. El recíproco del teorema (4.5) no es cierto; es posible que f ′(x0) sea 0 aunque f (x0) no sea máximoo mínimo. Por ejemplo, f (x) = x3 en el intervalo [−1, 1], en este caso f ′(0) = 0, pero f (0) no esmáximo ni mínimo.

2. Una función connua puede alcanzar su máximo o mínimo y puede que no tenga derivada en el punto.Ejemplos

a) f (x) = |x | en el intervalo [−2, 3] ene un mínimo en x0 = 0 pero f ′(0) no existe.

b) f (x) = x3 en el intervalo [−2, 1]. Máximo f (1) = 1, mínimo f (−2) = −8. Pero f ′(1) y f ′(−2)no existen.

3. Para hallar el máximo o mínimo de funciones en un intervalo cerrado [a, b] deben considerarse tresclases de puntos:

a) Puntos x en los cuales f ′(x) = 0

b) Los extremos a y b

c) Los puntos x de [a, b] tales que f no es derivable en x .

Puesto que, si x es un punto máximo o un punto mínimo de f sobre [a, b], entonces f debe estaren una de las tres clases arriba enumeradas; pues si x no está en el segundo o en el tercer conjunto,entonces x ∈ (a, b) y f es derivable en x ; en consecuencia f ′(x) = 0, por el teorema (4.5) y estosignifica que x pertenece al primer conjunto.

Ejemplo 4.5Sea f (x) = x3 − x definida en [−1, 2]. Encuentre el máximo y el mínimo de la función.SoluciónLa gráfica de f en el intervalo [−1, 2] se muestra a connuación.

81

Podemos ver que el máximo absoluto de f en el intervalo [−1, 2] lo alcanza cuando x = 1. Sin embargo, nosresulta dicil poder dar el valor de x en el cual alcanza el mínimo. Siguiendo los pasos antes mencionadospodemos hallar ambos valores. Veamos:f ′(x) = 3x2 − 1a) f ′(x) = 0 cuando 3x2 − 1 = 0, es decir, cuando x =

√1/3, o x = −

√1/3.

Como ambos están en [−1, 2], los candidatos para máximo y el mínimo son f(√1/3

), f

(−√1/3

).

b) El segundo conjunto conene los extremos del intervalo−1 y 2. Luego, los candidatos son f (−1), f (2).c) El tercer conjunto es vacío, puesto que f es dervibable en todo R.Para finalizar evaluamos y comparamos valores

f(√1/3

)=

(√1/3

)3−

√1/3 = −

2

3

√1/3

f(−√1/3

)=

(−√1/3

)3−

(−√1/3

)= −1

3

√1/3 +

√1/3 =

2

3

√1/3

f (−1) = 0f (2) = 6

El mayor valor es 6

El menor valor es−2

3

√1/3.

Con este procedimiento, es facble localizar los valores máximo y mínimo de una función connua en unintervalo cerrado. Empero, si la función que estamos tratando no es connua, o si estamos buscando elmáximo o mínimo sobre un intervalo abierto o en todoR, entonces no podemos estar seguros de antemanoque existan tales valores, dado que f ′(x) depende solamente de valores de f cerca de x , es decir, nosdescribe la función en un entorno de x . Con esta observación las definiciones siguientes nos permir ánobtener una versión más fuerte del teorema (4.5)

Definición 4.3. (Máximo rela vo) La función f ene un valor máximo rela vo en el número c si existe unintervalo abierto que con ene a c , en el que f está definida, tal que f (c) ≥ f (x) para toda x en ese intervalo.

82

Definición 4.4. (Mínimo rela vo) La función f ene un valor mínimo rela vo en el número c si existe unintervalo abierto que con ene a c , en el que f está definida, tal que f (c) ≤ f (x) para toda x en eseintervalo.

Ejemplo 4.6A connuación presentamos la gráfica de una función f en el intervalo [−7/5, 2] donde se han clasificadolos puntos x1 = −7/5, x2, x3 y x = 2.

Veamos: para x2 podemos hallar un intervalo de la forma (x2−δ, x2+δ), con δ > 0, tal que f esta definida yf (x) ≤ f (x2) para todo x ∈ (x2−δ, x2+δ), para x3 podemos hallar un intervalo de la forma (x3−δ, x3+δ),con δ > 0, tal que f esta definida y f (x) ≥ f (x3) para todo x ∈ (x3 − δ, x3 + δ). Este no es el caso de lospuntos x1 = −7/5 y x = 2, puesto que si tomamos un intervalo abierto que contenga a x1 también tendrála forma (x1−δ, x1+δ), con δ > 0, el cual no sas face la definición, pues, f no está definida en (x1−δ, x1)y por lo tanto no es un extremo relav o. Aunque, cabe mencionar que f alcanza su valor mínimo absolutoen x1. De manera similar razonamos con el punto x = 2.

Teorema 4.6. Si f está definida sobre un intervalo abierto I y ene un máximo o mínimo local en x , y f esderivable en x , entonces f ′(x) = 0.

Demostración.Aplicación directa del teorema (4.5), en cada subintervalo.

Ejemplo 4.7Demuestre que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es el cuadrado.Solución.

83

El área de un rectángulo la obtenemos mulplic ando la longitud de labase por la longitud de la altura. Denotamos por A(x, y) el valor delárea del rectángulo dado que depende del valor x de la base y un valory de la altura. Esto es,A(x, y) = x y . Debemos escoger las dimensionesx, y de tal manera que el perímetro P sea un valor fijo, es decir, P =2x + 2y . Esta condición nos ayuda a escribir la función de área en unasola variable, por ejemplo, despejando la variable y , obtenemos que

A(x) =P

2x − x2.

Ahora el problema se reduce a hallar los extremos de A(x) en el intervalo [0, P/2]. ¿Por qué?A connuación seguimos el procedimiento antes mencionado.

a) A′(x) =P

2− 2x , luego A′(x) = 0 cuando x =

P

4.

b) Los extremos del intervalo son los puntos 0, P/2c) A′(x) existe para todos los valores del intervalo ]0, P/2[.

Finalizamos evaluando todos los puntos críc os hallados: A(P

4

)=P 2

16, A(0) = 0, A

(P

2

)= 0.

El mayor valor de A(x) lo obtenemos cuando x =P

4, como y =

P

2− x ⇒ y =

P

4. Resultado que x = y ,

por lo tanto el rectángulo es un cuadrado.

4.8.2. Teorema de Rolle y Teorema del Valore Medio.

El teorema del valor medio es uno de los más importantes del cálculo, el cual se emplea en la demostraciónde muchos teoremas. La demostración del teorema del valor medio la basaremos sobre un caso especialdel Teorema de Rolle (matemác o Frances Michel Rolle 1652-1719).

Teorema 4.7. (Teorema de Rolle)Si f es con nua en [a.b] y derivable en (a, b), y f (a) = f (b), entonces existe un número c en (a, b) tal quef ′(c) = 0.

Demostración.Analizaremos las posibilidades siguientes:

1. f (x) constante en el intervalo [a, b] entonces f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a, b). Por lo tanto el teoremase cumple.

2. El máximo y el mínimo absolutos de f en [a, b] son disn tos. Como f (a) = f (b), necesariamenteuno de ellos se alcanza en un punto x0 en el intervalo (a, b). Como f es derivable en todo punto de

84

(a, b), en parcular en x0 y el teorema (4.5) nos garanz a que f ′(x0) = 0. Por lo tanto el teorema secumple.En este caso se nos pueden presentar situaciones como las siguientes:

Cabe observar que el teorema nos asegura la existencia de por lo menos un valor c que sas facef ′(c) = 0, pero, podemos tener más de un valor que sas face dicha conclusión. Como nos muestranlas dos úlmas gráficas.

El teorema de Rolle junto con el teorema del valor intermedio lo podemos usar para mostrar la unicidad yla existencia de raíces en un intervalo, especialmente para polinomios con coeficientes reales.

Ejemplo 4.8Si f (x) = x3 + px + q para x ∈ R, donde p, q ∈ R y p > 0. Muestre que f ene una única raíz real.Solución.Veamos que f (x) ene una única raíz real. Probaremos esto por contradicción.Supongamos que f ene más de una raíz real, entonces hay dos valores r1, r2 ∈ R con r1 < r2 tales quef (r1) = f (r2) = 0. Entonces por el teorema de Rolle hay por lo menos un c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.Pero f ′(x) = 3x2 + p como por hipótesis p > 0 tendremos que f ′(x) = 0 ∀x ∈ R. Lo cual es unacontradicción debida al supuesto que f ene más de una raíz real. Por otro lado f (x)→∞ cuando x →∞y f (x)→ −∞ cuando x → −∞. Por consiguiente, f toma valores posiv os y negav os por el teorema delvalor intermedio existe r ∈ R tal que f (r) = 0. Por lo tanto f ene una única raíz real.

85

Teorema 4.8. (Teorema del valor medio)Sea f una función tal que

1. es con nua en el intervalo cerrado [a, b];

2. es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)b − a [ o de manera equivalente f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a)].

Demostración.

Sean g(x) =f (b)− f (a)b − a (x − a) + f (a) y h(x) = f (x)−g(x) ambas definidas en el intervalo [a, b]. h(x)

es la función que da la longitud del segmento verc al indicado en la gráfica.

De esta manera h(x) es connua en [a, b] y derivable en (a, b), y h(a) = h(b) = 0. En consecuencia,podemos aplicar el teorema de Rolle a h(x) y deducir que existe por lo menos un valor c ∈ (a, b) tal que

h′(c) = f ′(c)−f (b)− f (a)b − a = 0.

Lo cual significa que existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)b − a .

Geométricamente este teorema significa que alguna tangente a la gráfica de f (x) es paralela a la recta queune el punto (a, f (a)) con (b, f (b)).En la mayoría de los casos no se puede determinar el valor exacto del número c garanz ado por el teoremadel valor medio. Sin embargo, el hecho crucial del teorema es que el número c existe.

Ejemplo 4.9Verifique que las hipótesis del teorema del valor medio son sas fechas por la función f dada en el intervaloindicado [a, b]. Después obtenga un valor adecuado c que sas faga la conclusión de dicho teorema. Muestre

86

gráficamente trazando en el mismo plano la gráfica de f , la recta tangente, y la recta que pasa por los puntos(a, f (a)) y (b, f (b)).

f (x) = x2 + 2x − 1; [−2, 2]

Ejemplo 4.10Verifique que las hipótesis del teorema del valor medio son sas fechas por la función f (x) =

√x , en el

intervalo [m,m + 1]m ∈ N.

Ejemplo 4.11Use el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad

4

3<√2 <3

2.

Solución.Sim ∈ N y f (x) =

√x para x ∈ [m,m+1], entonces por el teorema del valor medio, existe c ∈ (m,m+1)

tal quef (m + 1)− f (m)(m + 1)−m = f (m + 1)− f (m) = f ′(c) =

1

2√c.

Es decir,√m + 1−

√m =

1

2√c

. Comom < c < m + 1, tendremos que

1

2√m + 1

<1

2√c<1

2√m

implicando que1

2√m + 1

<√m + 1−

√m <

1

2√m

sim = 11 +

1

2√2<√2 < 1 +

1

2

y considerando que

2√2 < 3⇒

1

2√2>1

3

se sigue la desigualdad deseada.

4.8.3. Monotonía de una función. Extremos rela vos: criterio de la primera derivada.

Teorema 4.9. Sea f una función con nua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto(a, b).

1. Si f ′(x) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b].

2. Si f ′(x) < 0 para toda x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

87

Demostración.Sean x1 y x2 dos números cualesquiera del intervalo [a, b] tales que x1 < x2. Entonces f es connua en[x1, x2] y diferenciable en (x1, x2). Por el teorema del valor medio, existe un número c en (x1, x2) tal que

f ′(c) =f (x2)− f (x1)x2 − x1

como x1 < x2 entonces x2 − x1 > 0. También f ′(c) > 0 por hipótesis, por consiguiente

f (x2)− f (x1)x2 − x1

> 0,

de modo que f (x2) > f (x1). Así, se ha demostrado que f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2, paracualesquiera x1, x2 del intervalo [a, b]. Por tanto f es creciente en [a, b].La demostración en el caso de ser f ′(x) < 0 para todo x en un intervalo [a, b] se deja como ejercicio.

Ejemplo 4.12Encuentre los intervalos en los que f (x) = x3 − x es creciente o decreciente.Gráficamente tenemos:

Es decir, f (x) es creciente en los intervalos donde las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f (x)son posiv a, y es decreciente en los intervalos donde las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica def (x) son negav as. En este caso, podemos determinar estos intervalos resolviendo f ′(x) > 0 y esto secumple precisamente cuando

|x | >√1

3

y f ′(x) < 0 cuando

−√1

3< x <

√1

3.

Combinando esta información tendremos que f (x) es creciente para x ∈(−∞,−

√1/3

), decreciente

para x ∈ (−√1/3,

√1/3), y otra vez creciente cuando x ∈ (

√1/3,∞).

88

Si f ene un máximo o mínimo local en c , entonces c debe ser un número críc o de f , pero no todo númerocríc o da lugar a un valor extremo. La derivada nos proporciona un criterio que nos permite determinar sif ene o no un extremo en un número críc o.

Teorema 4.10. (Criterio de la primera derivada)Supóngase que c es un número crí co de una función f que es con nua en [a, b] y diferenciable en (a, b).

1. Si f ′(x) > 0, para a < x < c y f ′(x) < 0, para c < x < b, entonces f ene un máximo local en c .

2. Si f ′(x) < 0, para a < x < c y f ′(x) > 0, para c < x < b, entonces f ene un mínimo local en c .

3. Si f ′(x) no cambia de signo en c , entonces f no ene extremo local en c .

Ilustración gráfica del teorema.

(j) Máximo local (k) Mínimo local

(l) No hay extremo (m) No hay extremo

Demostración de 1. Ver la gráfica a)Sea x ∈ (a, b). Si a < x < c , entonces f (x) < f (c) ya que f ′(x) > 0 implica que f es creciente en elintervalo [a, c ]. Si c < x < b, entonces f (c) > f (x), ya que f ′(x) < 0 implicando que f es decreciente en[c, b]. Por lo tanto, f (c) ≥ f (x) para todo x en (a, b). Por consiguiente, f ene un máximo local en c .La demostración de 2 y 3 es de manera semejante.

Ejemplo 4.13Encuentre los extremos locales de f (x) = x(1− x)2/5.

89

Solución.Primero se encuentran los números críc os de f :

f ′(x) =5− 7x

5(1− x)3/5

f ′(x) = 0, cuando 5 − 7x = 0, esto es, x =5

7. Además, f ′(x) no existe cuando x = 1, de modo que

los números críc os son x =5

7y 1. Elaboraremos una tabla, dividiendo la recta real en intervalos con los

números críc os como extremos.

Intervalo 5− 7x (1− x)3/5 f ′(x) f es:

x < 57 + + + creciente en

(−∞,

5

7

]57 < x < 1 - + - decreciente en [57 , 1]x > 1 - - + creciente en [1,∞)

Podemos ver que f ′(x) cambia de posiv a a negav a en5

7. Por consiguiente, por el criterio de la primera

derivada , f ene un máximo local en5

7.

Puesto que f ′(x) cambia de negav a a posiv a en 1, f (1) = 0 es un mínimo local. Estos valores máximo ymínimo y la información de la tabla se uliz an para trazar la gráfica de f .

(n) Máximo local

4.8.4. Concavidad de una función. Extremos rela vos: criterio de la segunda derivada.

Al igual que la primera derivada proporciona información acerca del comportamiento de una función y sugráfica, la segunda derivada proporciona información adicional que permite hacer un mejor trazo de lagráfica. Por ejemplo, veamos las gráficas siguientes:

90

(ñ) Cóncava hacia arriba (o) Cóncava hacia abajo

Ambas gráficas nos representan funciones crecientes en [a, b], pero se ven diferentes porque se inclinan endirecciones diferentes. Veremos como la segunda derivada ayuda a disnguir entre estos pos de comportamiento.

Definición 4.5. Si la gráfica de una función f se encuentra arriba de todas sus tangentes en un intervalo I,entonces se llama cóncava hacia arriba ( o convexa ) en I. Si la gráfica de una función f se encuentra debajode todas sus tangentes, se llama cóncava hacia abajo en I.

Teorema 4.11. ( Criterio de concavidad )Supóngase que f es una función dos veces diferenciable en un intervalo I.

a) Si f ′′(x) > 0, para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.

b) Si f ′′(x) < 0, para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

Demostración de a).Sea c cualquier número en I. Debemos demostrar que la curva f (x) se encuentra arriba de la recta tangenteen el punto (c, f (c)). Según se muestra en la gráfica

La ecuación de esta recta tangente es: y = f (c) + f ′(c)(x − c). Así, debemos demostrar que

f (x) > f (c) + f ′(c)(x − c), cuando x ∈ I (x = c) y f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I.

Esto quiere decir que

QT = f (x)− [f (c) + f ′(c)(x − c)] = [f (x)− f (c)]− f ′(c)(x − c) > 0 (1)

91

Como f ′′(x) existe en I, tenemos que f (x) es connua y diferenciable en I, en parcular , si x ∈ I, f (x) esconnua en el intervalo [c, x ] y diferenciable en (c, x). Luego, por el teorema del valor medio, existe algúnnúmero d entre x y c tal que

f ′(d) =f (x)− f (c)x − c ⇒ f (x)− f (c) = f ′(d)(x − c)

sustuy endo en (1) tenemos queQT = [f ′(d)− f ′(c)](x − c)

Para mostrar que TQ > 0, bastará ver que (f ′(d)− f ′(c)) y (x − c) enen el mismo signo. Como

f ′′(c) = lımx→c

f ′(x)− f ′(c)x − c > 0

entonces, existe un intervalo J que conene a c tal quef ′(x)− f ′(c)x − c > 0 para cada x ∈ J, x = c. Si

x − c > 0, entonces x > c , como c < d < x ;

f ′(d)− f ′(c)d − c > 0 ⇒ f ′(d)− f ′(c) > 0. (2)

Si x − c < 0 ⇒ x < c,, como x < d < c ;

f ′(d)− f ′(c)d − c > 0 ⇒ f ′(d)− f ′(c) < 0. (3)

En consecuencia, por (2) y (3), (f ′(d) − f ′(c)) y (x − c) enen el mismo signo. Por lo tanto, QT > 0implicando que el puntoQ está sobre el punto T .La demostración de b) se sigue de manera similar.

Definición 4.6. Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si la curva cambia de cóncava haciaarriba a cóncava hacia abajo o viceversa en P .

Teorema 4.12. Suponga que la función f es diferenciable en algún intervalo abierto que con ene al númeroc , y (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces si f ′′(c) existe, f ′′(c) = 0.

Ejemplo 4.14Para f (x) = x4 − 4x3, encuentre.

a) intersecciones con los ejes,

b) los intervalos donde es creciente o decreciente,

c) los valores máximos y mínimos locales,

d) los intervalos de concavidad,

e) las coordenadas de los puntos de inflexión.

Uce la información para trazar la gráfica de la función.Solución.a)

92

Intersecciones con el ejeX, puntos x para los cualesf (x) = 0⇔ x4 − 4x3 = 0. Luego, x = 0 y x = 4.

Intersecciones con el eje Y , es el valor y cuando x =0. En este caso, y = 0.

b) f es creciente en los intervalos para los cuales f ′(x) > 0, como f ′(x) = 4x3 − 12x2 = 4x2(x − 3),f (x) es creciente en el intervalo [3,∞). f es decreciente en los intervalos para los cuales f ′(x) < 0. Luegotendremos que f (x) es decreciente en el intervalo (−∞, 3].c) Por el criterio de la primera derivada tenemos que f (0) no es máximo ni mínimo relav o, f (3) es mínimorelav o.d) f (x) es cóncava hacia arriba en los intervalos ] − ∞, 0[, ]2,∞[ y f (x) es cóncava hacia abajo en elintervalo ]0, 2[.e) Los puntos de inflexión son : (0, 0), (2,−16).

Otra aplicación de la segunda derivada se ene en la obtención de máximos y mínimos de una función.

Teorema 4.13. (Criterio de la segunda derivada)Supóngase que f ′′(x) es con nua en un intervalo abierto que con ene a c .

a) Si f ′(c) = 0 y f ′′(c) > 0, entonces f ene un mínimo local en c .

b) Si f ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0, entonces f ene un máximo local en c .

Prueba de a)Si f ′′(c) existe⇒ f ′ existe en el intervalo ]c − δ, c + δ[ para algún δ > 0. Ahora si f ′(c) = 0 y comof ′′(c) > 0 tendremos

f ′′(c) = lımx→c

f ′(x)− f ′(c)x − c = lım

x→c

f ′(x)

x − c > 0 ⇒ ∃ r > 0 tal quef ′(x)

x − c > 0, si x ∈ (c−r, c)∪(c, c+r)

y esta úlma desigualdad implica que f ′(x) ene igual signo que x − c . Por consiguiente,Si x ∈ (c − r, c)⇒ x − c < 0 luego f ′(x) < 0 en (c − r, c).Si x ∈ (c, c + r)⇒ x − c > 0 luego f ′(x) > 0 en (c, c + r).

Por el criterio de la primera derivada f ene un mínimo local en c .La demostración de b) se sigue de manera análoga.

93

4.8.5. Ejercicios.

Punto Crí co y Valores Extremos de una función

1. Encuentre dos números no negav os cuya suma sea 12 y tales que su producto sea máximo.

2. Una oficina de correo acepta cajas para envío solamente si la suma de las longitudes de su altura yperímetro de la base no sobrepasa las 84 pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja más grandede base cuadrada que puede enviar.

3. Los márgenes superior e inferior de un cartel a imprimir deben medir 6 cm cada uno, y los márgeneslaterales 4 cm cada uno. Si el área del material impreso en el cartel se fija en 384 cm2, determine lasdimensiones del cartel de manera que se ulice la menor candad de papel.

4. Si el alcance de un proyecl, medido en pies está dado por:

R =v20 sen (2θ)

g, 0 ≤ θ ≤

1

2π

donde v0 pies por segundo es la velocidad inicial, g pie/s2 es la aceleración debida a la gravedad, yθ es la medida en radianes del ángulo que el cañón forma con la horizontal. Determine el valor de θque hace máximo el alcance del proyecl.

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

1. Demuestre que si f es una función tal que f ′(x) = 0 para todos los valores de x en un intervaloI, entonces f es constante en I. (Sugerencia: tome dos puntos x1, x2 ∈ I con x1 < x2 y aplique elteorema del valor medio a f en el intervalo [x1, x2]).

2. Verifique que las hipótesis del teorema del valor medio son sas fechas por la función f dada en elintervalo indicado [a, b]. Luego, encuentre todos los números c que sas fagan la conclusión de dichoteorema.

a) f (x) = x2−4x +5, [1, 5] b) f (x) = 1/x, [1, 2] c) f (x) = 1+ 3√x − 1, [2, 9]

Monotonía de una función. Extremos rela vos: criterio de la primera derivadaPara cada una de las siguientes funciones encuentre (cuando sea posible):

1. Dominio,

2. intersecciones con los ejes,

3. asíntotas,

4. los intervalos en los cuales es creciente o decreciente,

5. los valores máximos y mínimos locales,

6. ulice toda la información para hacer un trazo aproximado de la gráfica de f .

94

a) f (x) = x4 − 6x2

b) f (x) =x

x2 − 9

c) f (x) = x + x2/3

d) f (x) = x(1− x)2/5

1. Encuentre los valores extremos locales y absolutos de la función dada en el intervalo indicado.

a) f (x) = x3 − 3x2 + 6x − 2, −1 ≤ x ≤ 1

b) f (x) = x +√1− x, 0 ≤ x ≤ 1

c) f (x) =x

x2 + 1, −5 ≤ x ≤ 5

d) f (x) = sin(x)−cos(x), −π/2 ≤ x ≤ π/2

2. Encuentre los valores máximos y mínimos locales de f .

a) f (x) = 2x2 − x4 b) f (x) = x +1

xc) f (x) = x3(x − 2)2

Concavidad de una función. Extremos rela vos: criterio de la segunda derivada

1. Sea la función f (x) = 8x3 − 6x − 1 y C su curva representav a en el plano

a) Calcule la derivada f ′ de f ; estudie el signo de f ′ y deduzca las variaciones de la función f .

b) Jusfique que la ecuación f (x) = 0 admite exactamente tres raíces α, β y γ en R, con 0.5 <α < 1, −0.5 < β < 0 y−1 < γ < −0.5.

c) Determine un aproximación al número real α con un error menor que 10−2

d) Trace la curva C.

2. Sea a un número real.

a) Pruebe la igualdad cos(3a) = 4cos3(a)− 3 cos(a).b) Deduzca de la igualdad anterior que los números reales x1 = cos(π/9), x2 = cos(7π/9) y x3 =cos(5π/9) son las tres soluciones de la ecuación 8X3 − 6X − 1 = 0.

c) establezca las igualdades convenientes entre x1, x2, x3 y α, β, γ.

3. La producción de una candad x de un producto provoca una serie de gastos en una empresa.La suma de todos estos es llamado coste total de producción.Denotaremos por CT la función de costo total.Supongamos que para 0 ≤ x ≤ 200, la función coste total esta definida por:

CT (x) = x3 − 300x2 + 30500x.

a) Estudie las variaciones de CT .

b) Trace la curva C representav a de CT .

4. Una empresa necesita saber lo que le costará la fabricación de una unidad suplementaria, es decir, elcosto de fabricar x + 1 unidades si lo que produce es x . Es lo que se llama el coste marginal.

a) Si denotamos por Cm la función de costo marginal, jusfique que Cm(x) =f (x + 1)− f (x)(x + 1)− x .

b) Por qué, si x es muy grande podemos comparar Cm(x) con CT ′(x).

95

c) Dé una interpretación gráfica de la derivada CT ′(x). Cómo podemos ver gráficamente el costemarginal mínimo.

d) Determine este coste marginal mínimo estudiando la variación del costo marginal.

5. Sean A y B dos puntos del plano tales que AB = 8, designamos por Γ el semicírculo limitado por Ay B, de CentroΩ punto medio del segmento AB.Un puntoM variable sobre Γ. Designemos por H la proyección ortogonal deM sobre AB.Hagamos AH = x .

a) Precisar el intervalo de variación de x ; evaluando de dos maneras−−→AM ·

−→AB, demuestre que

AM2 = 8x .

b) Muestre que el área del triángulo AMH es s(x) =1

2x√x(8− x).

c) Sea f la función definida sobre I por f (x) = x3(8− x).Estudie las variaciones de la función f .Deduzca el valor máximo del área del triángulo AMH y la posición del puntoM.

6. Determine una función polinomial f de tercer grado que admita5

6por máximo en 1, y un mínimo en

2 y que se anule en 0.

7. Para f (x) = x3 + px + q:

a) Muestre que, si p < 0, f admite un máximoM y un mínimom.

b) Calcule el productoM ·m en función de p y q.

c) Deduzca que la ecuación x3 + px + q = 0 admite tres raíces disn tas si y solamente si:

4p3 + 27q2 < 0.

8. Demuestre que la ecuación:x3 − 3λx2 − 3x + λ = 0

ene tres raíces cualquiera que sea el número real λ.

9. Para cada función f .

a) Determine el intervalo de definición y precisar la paridad.

96

b) Determine los límites de la función f en los extremos de cada uno de los intervalos de definición.c) Haga el cuadro de las variaciones de f .d) Trace la curva C que representa la función f .

a) f (x) =2x2 + x − 1x2 − x + 1

b) f (x) =x2 + 3x − 4x2 − x − 2

c) f (x) =x(3x − 4)2(x − 1)2

d) f (x) =2x

x2 + 1

e) f (x) =3x2 − 1x2

f ) f (x) = x√3− 2x

g) f (x) = (x − 2)√2− x

h) f (x) = x2√1− x

Problemas de aplicación

10. De un trozo de papel circular de radio R se va a hacer un vaso cónico cortando un sector y uniendolos lados CA y CB. Encuentre la capacidad máxima de dicho vaso.

11. Se va a construir una canaleta para agua de lluvia con lámina metálica de 30 cm de ancho, doblandola tercera parte de la hoja en cada uno de sus lados un ángulo θ. Determine el valor de tal ángulo θque permita que el canal conduzca la máxima candad de agua.

12. Sea h un número real estrictamente posiv o. En la porción del plano determinado por el arco deparábola de ecuación y = x2 y la recta y = h, inscribimos un rectángulo, como se muestra en lagráfica, de tal manera que el área sea la más grande posible. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

97

13. Considere la función f definida sobre R, por:

f (x) = 2x + cos(x)

a) Calcule f ′(x).Deduzca las variaciones de f sobre R.

b) Muestre que para todo número real x :

2x − 1 ≤ f (x) ≤ 2x + 1 .

Deduzca lımx→∞

f (x) y lımx→−∞

f (x).

c) Considere la curva C de f en el plano, y las rectas D1 y D2 de ecuaciones respecv as:

y = 2x − 1 y y = 2x + 1 .

¿Cuál es la posición relav a de C con respecto a D1 y D2?Determine los puntos de intersección de C y D1.¿Cuál es la tangente a C en cualquiera de los puntos de intersección?

d) Muestre que para todo número real x :

f(π2+ x

)+ f

(π2− x

)= 2π .

Deduzca que el punto (π/2, π) es el centro de simetría de la curva C .

14. Una boya con la forma de un cono doble debe ser construido por medio de dos sectores circularesde una placa metálica de radio r cm. Denotamos por h la altura del cono y por r el radio de la base.Fijamos la longitud de su generatriz en 3 cm. Nos proponemos determinar sus dimensiones para queel volumen de la boya sea máximo.

a) Exprese el volumen de la boya en función de r y h.

b) Muestre que el volumen puede ser escrito en la forma: V (h) =2

3π(9h − h3), para 0 ≤ h ≤ 3.

c) Estudie las variaciones de la función V sobre [0, 3]. Deduzca que V admite un máximo V0 paraun número real h0.

d) Calcular el volumen máximo de la boya.

e) Sea r0 el radio de la base correspondiente al valor máximo.Muestre que r0 = h0

√2.

98

15. Un cono recto de vérce A es inscrito en una esfera de radio r . Con altura h = AH. Según se muestraen la gráfica.

a) Muestre que el volumen del cono está dado por: V =π

3(2rh2 − h3).

b) Determine la altura del cono para que su volumen sea máximo.

16. La esquina superior izquierda de una hoja de papel de 8 pulgadas de ancho por 12 pulgadas de largo sedobla hasta el lado derecho, como se indica en la figura. ¿Cómo debe efectuarse el doblez de maneraque se minimice su longitud? En otras palabras, ¿cómo debe elegirse x para minimizar y?

99

17. Se desea transportar un tubo de acero por un corredor de 9 pies de ancho. Al final del corredor hayuna vuelta en ángulo recto hacia un corredor más estrecho de 6 pies de ancho. ¿cuál es la máximalongitud de tubo que se puede transportar horizontalmente alrededor de la esquina?

18. ABCD es un cuadrado con centroO donde I es un punto sobre la diagonal AC. Estamos interesadosen el problema siguiente: Seleccionar I de tal manera que el área total de los dos cuadrados sombreadossea mínima. Denotamos por s(I) esta área.

a) Por simetría, bastará encontrar el mínimo de s(I) cuando I pertenece al segmentoAO. Jusfiqueesta afirmación.

b) Pruebe por argumentos geométricos que cuando I ∈ AO, I = O, entonces s(I) > s(O).

c) Hagamos AM = x y AB = a (a se supone conocido).Exprese s(I) en función de x , y deduzca que s(I) es mínimo cuando x =

a

2, es decir, cuando

I = O.

100

19. ABCD es un cuadrado; AB = 1. C es el círculo de centro D y radio 1. T es un punto del cuarto decírculo disn to de A y de C.La tangente al círculo C en T corta el segmento AB enM y el segmento BC en N.Nos proponemos resolver el problema siguiente: Encontrar la posición de T tal que la distanciaMNsea mínima.Para esto, buscamos escribirMN es función de una sola variable x , por ejemplo hacemos AM = x .Pero el cálculo de MN en función de una sola variable x no parece fácil a priori. Introducimos otravariable y (hacemos CN = y ), esperando que los cálculos permitan escribir la variable y en funciónde x .

a) Muestre queMN2 = x2 + y2 − 2x − 2y + 2.b) Muestre queMN = x + y , y por tanto queMN2 = (x + y)2.

c) Deduzca que y =1− x1 + x

, luego queMN =x2 + 1

x + 1.

d) Haga la tabla de variaciones de la función : f (x) =x2 + 1

x + 1, x ∈ [0, 1].

Deduzca que la distanciaMN es mínima cuando x =√2− 1

e) Calcule el valor de la variable y cuando x =√2−1 y deduzca de esto que la posición de T para

la cual la la distanciaMN es mínima.

20. Un laboratorio farmacéuc o fabrica un producto sólido acondicionado a la forma de un pequeñoparalelepípedo rectángulo cuyo volumen es 576 cm3. Las dimensiones son conforme a la figura deadjunta (x, y en milímetros)

101

a) Escriba la variable y en función de x .

b) Calcule la superficie total s(x), enmm2 del paralelepípedo rectángulo en función de x .

c) x está necesariamente comprendido entre 3 y 12. Estudie la variación de s en el intervalo [3, 12]y deduzca el valor de x para el cual s(x) es mínima.

Problemas de Aproximación

21. En el siguiente problema nos proponemos hallar una aproximación del volumen de materia uliz adaen el revesmien to exterior de un cono.El cono interior ene como radio de la base x y ángulo π/3.El cono exterior ene como radio de la base x + h ángulo π/3.

a) Muestre que el volumen del cono interior es V (x) =π√3

3x3.

b) Sea la función f (x) = x3.El volumen de materia necesaria para la cobertura es:

v(h) = V (x + h)− V (x).

Uliz ando una aproximación an de f en un vecindario de x , muestre que π√3x2h es una

aproximación an de v(h).

102

c) Designemos por e el espesor del cono.Exprese h en función de e.Deduzca una aproximación an del volumen de materia en función de e.

d) Cuando el radio es de 10mm y el espesor es 2mm, determine un valor aproximado del volumende materia, enmm3, uliz ando la aproximación an anterior.

22. Hacer un desarrollo análogo al del ejercicio anterior para determinar una aproximación an del volumende materia uliz ada para elaborar un balón de radio interior x y radio exterior x + e.

23. Determine la aproximación lineal de la función f (x) =√1− x , en x1 = 0, y úsela para aproximar

los números√0.9 y

√0.99. Ilustre el ejercicio con una gráfica.

103

[1] Peña, Simón Alfredo (2013) Matemá caPrimero y Segundo Año de Bachillerato.Documentos MINED. El Salvador

[2] Eder Alexander Jacobo (2013) Material deAutoformación e Innovación Docente paraMatemá ca Noveno Grado. DocumentosMINED. El Salvador

[3] Azcárate, C. y Deulofeu, M. (1990). Funcionesy gráficas. Madrid: Editorial Síntesis S.A.

[4] Callejo, M., Paz, M. y Vidal, M. (1994). LaFunción de las Funciones. España: Centrode Publicaciones del MEC y Narcea, S.A. deEdiciones.

[5] Cantoral, R., Farfán, R., Cordero, F., Alanís, J.,Rodríguez, R. y Garza, A. (2003). Desarrollo delpensamiento matemá co. México: EditorialTrillas y ITESM, Universidad Virtual.

[6] Frías, V., Paz, M., del Rio, T. y Vidal, M.(1995). 3o Matemá cas, Secundaria. España:Luis Vives.

[7] Frías, V., Paz, M., del Rio, T. y Vidal, M. (1995).4o Matemá cas, Opción A, Secundaria.España: Luis Vives.

[8] Lacasta, E. y Pascual, J. (1998). Las funcionesen los gráficos cartesianos. Madrid: EditorialSíntesis S.A.

[9] Shell Centre for Mathemac al Educaon.(1990). El lenguaje de funciones y gráficas.Bilbao: Centro de Publicaciones del MEC yServicio Editorial Universidad del País Vasco.

[10] Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría.Sépma edición. México: Pearson Educación.

104