La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática

1) Introducción

En la actualidad, los estudios sobre la enseñanza de la matemática nos presentan un panorama en el que los sistemas educativos que consiguen mejores resultados en sus estudiantes vienen trabajando el área de una manera muy distinta a la tradicional y que aún persiste en nuestro país. Así, se tienen propuestas como las del NCTM1 (el enfoque centrado en la resolución de problemas), la de la prueba PISA (enfoque fenomenológico de Freudenthal), el EOS2, de Godino, entre otros.

Estas propuestas tienen como denominador común el entendimiento de la educación matemática de una manera más compleja, más allá de los contenidos involucrados. Así, toman el concepto de proceso cognitivo (con diferentes nombres), consideran la importancia de la relevancia de las situaciones propuestas a los estudiantes e incorporan una diferente concepción de matemática a la tradicional.

En particular, toman a la matemática como una ciencia en permanente cambio y expansión. Y, a la educación matemática como una propuesta para que los estudiantes desarrollen procesos de pensamiento. Asimismo, en sus bases se identifica una manera de entender el aprendizaje como un proceso en el que el estudiante (o el grupo de estudiantes) tiene un rol activo (dejando de lado posiciones más bien neoconductistas).

La siguiente propuesta se formula desde lo que Skemp3 llama “matemática relacional” (una matemática que privilegia los procesos de pensamiento para que el estudiante pueda “apropiarse” de ellos y paulatinamente usarlos en las vastas y muy variadas situaciones que le demanda el mundo actual. Y que se propone en contraposición de la concepción “tradicional” de la matemática (matemática instrumental) que la considera un conjunto ordenado de conocimientos (más que todo procedimientos) que el estudiante debe “aprender” para emplearlos en las situaciones ad hoc que se le plantean en la clase.

2) La ODA

Los estudios realizados en el TIMSS (1996) presentan a las Oportunidades de Aprendizaje (ODA) como un factor importante a considerar para conocer la calidad de un sistema educativo (entendida ésta como la medida en la que la totalidad de estudiantes alcanzan las metas de aprendizaje propuestas). La ODA, entonces, puede ser entendida como el conjunto de situaciones de aprendizaje a las que ha tenido acceso el estudiante.

Para presentar el modelo, se apela a la definición de tres tipos de currículo:

1 National Council of Teacher of Mathematics (NCTM)

2 Enfoque Ontoseniótico del conocimiento y la instrucción Matemática. Disponible en Internet en:

http://www.ugr.es/~jgodino/indice_eos.htm 3 Citado por Vilanova.

Cruz Ampuero, Gustavo. (2011).XIV Congreso Nacional de Educadores UPC, Lima, Perú.

La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática 2

C. Intencional

C. Implementado

C. Aprendido

1) el currículo intencional: viene a ser el currículo que se planifica, el propuesto.

2) el currículo implementado: es el currículo que se desarrolla a lo largo del año escolar, con los estudiantes.

3) el currículo aprendido: viene a ser el currículo que muestra las capacidades y competencias que el estudiante ha desarrollado en el año escolar.

Es importante, entonces entender la ODA en su actual sentido:

“Inicialmente, las ODAs se veían solamente relacionadas al contenido de las pruebas al los cuales el estudiante había tenido la oportunidad de aprender. Como tal buscaban establecer si el estudiante que respondía las preguntas de la prueba incorrectamente había tenido la oportunidad de aprender el material en el aula, o si su bajo rendimiento personal era resultado de su desconocimiento del contenido por no haberlo visto en clase. Con el tiempo el concepto a evolucionado a incluir aspectos socio-culturales percibidos como determinantes en el logro estudiantil (Moss et al .2008)”4

En este sentido, en la ODA se reconocen factores considerados como importantes en diversos estudios (Zambrano, Cueto, UMC). Estos factores son: la cobertura curricular y la demanda cognitiva.

La cobertura curricular: “se refiere al grado en que los docentes desarrollan las competencias, capacidades y contenidos de la estructura curricular.”5

La demanda cognitiva: “Nivel de complejidad que demanda una tarea a partir del tipo de habilidad cognitiva que se exige al estudiante.”6

3) La demanda cognitiva

En el presente documento, se propone desarrollar el concepto de demanda cognitiva como una oportunidad de aprendizaje, en el área de matemática. En este sentido, se entiende la demanda cognitiva como la caracterización que se hace de las tareas7 que se proponen al estudiante, según la complejidad de los procesos cognitivos involucrados en la resolución de dicha tarea. Es decir, según los procesos intelectuales que debe emplear el alumno para resolver una tarea.

4 Juarez & Associates. Definición de Estándares de Oportunidad de Aprendizaje para Guatemala. USAID, 2009.

5 UMC- MED Presentación de la Evaluación Nacional 2004. Disponible en Internet en:

http://www.minedu.gob.pe/institucional/xtras/PresentacionEN2004.pdf 6 Asmad, U. Cruz, G. Evaluación Nacional del Rendimiento Estudiantil 2004. Informe pedagógico de resultados.

Formación matemática- Tercer grado de Secundaria- Quinto grado de Secundaria. Pág., 231 7 Entiéndase aquí por “tarea” a la actividad que se le propone al estudiante dentro del desarrollo del área

curricular de matemática (no se refiere en específico a las “tareas para la casa” o a las “tareas para el cuaderno”, aunque quedan incluidas).

Gustavo Cruz Ampuero 3

3.1 Propuesta de Stein:

Se tiene que “La demanda cognitiva es definida por Stein, et al., (1996) como los tipos de procesos cognitivos que están implicados en la solución de un problema matemático, tanto en su primera fase de comprensión de la tarea, así como en su etapa de realización.”8 Es a partir de esta definición que Stein propone la siguiente clasificación de las actividades en el área de matemática9:

Nivel de Baja Demanda Cognitiva

Tareas de memorización Procedimientos sin conexiones

Involucran tanto la reproducción de datos, reglas, fórmulas o definiciones previamente aprendidas como la asignación de datos, reglas, fórmulas o definiciones de memoria.

No pueden ser resueltas utilizando procedimientos, ya que el procedimiento no existe o porque el tiempo requerido para la resolución es demasiado corto como para usar un procedimiento.

No son ambiguas: p. ej., tareas que incluyen una reproducción exacta de material visto previamente y que es reproducido clara y directamente según el enunciado.

No tienen conexiones con conceptos o significados subyacentes a los datos, reglas, fórmulas o definiciones aprendidos o evocados.

Son algoritmos. El uso de procedimientos es igualmente requerido por la tarea o su uso está evidentemente basado en aprendizajes previos, experiencias o dado por la tarea.

Requieren una limitada demanda cognitiva para ser completados exitosamente. Existe una pequeña ambigüedad acerca de lo que se requiere hacer y sobre cómo hacerlo.

No tienen conexión con conceptos o significados subyacentes a los procedimientos usados.

Se centran en obtener una respuesta correcta más que en desarrollar la comprensión de las matemáticas.

Requieren explicaciones que se enfocan únicamente en descubrir el proceso usado.

8 Ponce, L. Preiss, D. Núñez, M. Demanda cognitiva en la clase de matemáticas chilena.

9 Cueto et al. Documento de Trabajo 43: Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en matemática en una

muestra de estudiantes de sexto grado de primaria de Lima, 2003. Pág. 61.

La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática 4

Nivel de Alta Demanda Cognitiva

Procedimientos con conexiones Tareas “Haciendo matemáticas”

Enfocan la atención de los estudiantes en el uso de procedimientos destinados a desarrollar niveles más profundos de comprensión de conceptos e ideas matemáticas.

Sugieren vías (explícitas o implícitas) que constituyen una extensión de procedimientos generales con conexiones cercanas a ideas conceptuales subyacentes, en oposición a los limitados algoritmos.

Usualmente se representan de múltiples formas (por ejemplo: diagramas visuales, manipulativos, símbolos, situaciones problemáticas). Hacer conexiones a través de múltiples representaciones ayuda a desarrollar el significado.

Requieren cierto grado de esfuerzo cognitivo. A pesar de que se sigan procesos generales, no pueden ser resueltos descuidadamente. Los estudiantes necesitan conectar las ideas conceptuales que subyacen a los procedimientos, a fin de completar exitosamente la tarea y desarrollar su compresión.

Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico (por ejemplo, no existe una vía predecible, una aproximación bien realizada, una vía dada por la tarea, la instrucción o un ejemplo trabajado).

Llevan a los estudiantes a explorar y entender la naturaleza de los conceptos, procedimientos o relaciones matemáticas.

Demandan que el individuo monitoree y autoregule sus procesos cognitivos.

Llevan a los estudiantes a acceder a conocimientos y experiencias relevantes, y a hacer un uso adecuado de ellos a través de la tarea.

Requieren que los estudiantes analicen la tarea y examinen activamente las demandas que ella plantea a fin de que delimiten las posibles estrategias de solución.

Demandan considerable esfuerzo cognitivo y pueden involucrar cierto nivel de ansiedad para el estudiante, debido a la naturaleza impredecible del proceso de solución que se necesita.

A continuación, se presenta una breve explicación de la clasificación presentada10:

- Las tareas de baja demanda cognitiva están constituidas tanto por la memorización/evocación de datos, símbolos, terminología, como por la ejecución

10 Adaptado de: http://blog.pucp.edu.pe/item/15934 y de: http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf

Gustavo Cruz Ampuero 5

de los llamados procedimientos sin conexiones. Por lo común, son las tareas rutinarias que se aprenden por repetición. Por ejemplo, el aprendizaje —mediante la “ejercitación”— del algoritmo para calcular por escrito la suma de varios números presentados uno bajo el otro (sin contexto) u otros procedimientos, generalmente de cálculo. En todo este conjunto de tareas, la característica común es que para su ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones matemáticas involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso. Solo es necesario “aprender el procedimiento” para ejecutarlas.

- Las tareas de alta demanda cognitiva son aquellas que implican, por parte del estudiante, la comprensión de las situaciones propuestas, relacionarlas con aprendizajes anteriores, representarlas de alguna otra manera, adaptar lo aprendido, evaluar la pertinencia de aplicar algún procedimiento, elaborar un nuevo producto (o forma de hacer algo), etc. Dentro de este tipo de tareas se incluyen: los procedimientos con conexiones (con contexto), la resolución de problemas no rutinarios, el establecimiento y verificación de conjeturas, la generalización, la construcción de definiciones o propiedades y el “hacer matemática” (usar la matemática en situaciones, según los propios fines del estudiante).

3.2 Propuesta de PISA

En el marco de trabajo de la prueba PISA11, para el área de matemática, se presentan los “grupos de competencia” entendiéndose este concepto del siguiente modo:

“Estos grupos reflejan el modo en que los estudiantes utilizan normalmente los procesos matemáticos al resolver los problemas que surgen mientras se relacionan con su mundo”12.

“Para describir y transmitir de manera productiva las capacidades de los estudiantes, así como sus puntos fuertes y sus puntos débiles desde una perspectiva internacional, es necesaria cierta estructura. Un modo de ofrecerla de una manera comprensible y manejable es describir grupos de competencias a partir de los tipos de requisitos cognitivos necesarios para resolver diferentes problemas matemáticos”13.

“El proyecto OCDE/PISA ha elegido describir las acciones cognitivas que estas competencias engloban de acuerdo a tres grupos de competencia: el grupo de reproducción, el grupo de conexión y el grupo de reflexión”14.

A partir del entendimiento de concepto, es posible afirmar que va en el mismo sentido de lo que hemos definido como demanda cognitiva, a partir de dos elementos: los procesos cognitivos involucrados (en los que la complejidad de los mismos, será la gradiente) y la tarea presentada al estudiantes (en el caso de la Prueba PISA, se trata de cada problema).

11

OECD. Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de problemas. 12

Op. Cit. Pág. 34 13

Op. Cit. Pág. 42 14

Op. Cit. Pág. 42

La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática 6

Es por ello, que se presenta de la siguiente manera la descripción de los grupos de competencia propuestos por PISA15:

Grupo Reproducción (Tareas de Baja demanda Cognitiva)

Este grupo de competencia está referido tanto a la memorización como a la evocación de información (datos, hechos, terminología). Asimismo, a la repetición de ejecuciones. Están constituidas por actividades rutinarias, en las que el estudiante no debe hacer ninguna adaptación al contenido involucrado. Lo componen procedimientos sin contexto y sin conexiones, tal como fueron “enseñados”. Son aprendizajes que no implican la posibilidad de ser adaptados o transferidos.

Ejemplos:

Calcula: 5 +3 x 7

Resuelve la ecuación 7x – 3 = 13x + 15

Halla el promedio de: 7; 12; 8; 14; 15; 9.

Escribe 69% como una fracción.

Si se depositan S/. 1 000 en una cuenta de ahorros de un banco, a una tasa de interés del 4%. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de un año?

Grupo Conexiones (Tareas de Media demanda Cognitiva)

Referidas a situaciones en las que el estudiante debe hacer ligeras adaptaciones o establecer alguna relación del contenido aprendido, con otros aprendizajes. Por lo general estas situaciones se presentan en un contexto algo distinto al contexto en el que se aprendió. Aplicar definiciones, clasificar, identificar elementos o características, problemas rutinarios que demandan establecer ciertas relaciones entre el contenido involucrado.

Ejemplos:

María vive a dos kilómetros del centro educativo y Martín a cinco. ¿A qué distancia viven uno del otro?

Una pizzería sirve dos tipos de pizza del mismo grosor pero de distinto tamaño. La más pequeña tiene un diámetro de 30 cm, y cuesta 30 soles. La más grande tiene un diámetro de 40 cm, y cuesta 40 soles. ¿Cuál de las pizzas cuesta menos? ¿Por qué?

En el salón 9 niños llevaron chompa y 11 trajeron su tarea. Si hay 14 en el salón, ¿es esto posible? Explica.

15

La sección que sigue es una adaptación del documento citado. Págs. 43 - 48

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Grupo Reflexión (Tareas de Alta demanda Cognitiva)

Referidas a situaciones novedosas y/o complejas en las que se debe producir una transformación o nuevas relaciones de lo aprendido. Por lo general, se presentan en un contexto a partir del cual el estudiante debe seleccionar la información relevante y trabajar estableciendo nuevas relaciones entre los conceptos o sus representaciones. Resolver problemas novedosos y complejos, evaluar, proponer alternativas, producir un nuevo objeto, sintetizar, definir, justificar.

Ejemplo

En cierto país, el presupuesto nacional de defensa es de $30 millones para 1980. El presupuesto total de ese año es de $500 millones. El siguiente año, el presupuesto de defensa es de $35 millones, mientras que el presupuesto total es de $605 millones. La inflación durante el periodo cubierto por los dos presupuestos asciende al 10 por ciento.

a) Ha sido invitado a dar una conferencia para una sociedad pacifista. Usted trata de explicar que el presupuesto de defensa disminuyó durante este periodo. Explique cómo haría esto.

b) Ha sido invitado a dar una conferencia para una academia militar. Usted trata de explicar que el presupuesto de defensa aumentó durante este periodo. Explique cómo haría esto.

Se presenta, a continuación a modo de resumen, el diagrama de la Representación sintética de los grupos de competencia16:

16

Op. Cit. Pág. 49

Competencia Matemática

Grupo Reproducción

- Representaciones y definiciones estándar

- Cálculos rutinarios

- Procedimientos rutinarios

- Solución de problemas de rutina

Grupo Conexiones

- Construcción de modelos

- Traducción, Interpretación y solución de problemas estándar

- Métodos múltiples bien definidos

Grupo Reflexión

- Formulación y solución de problemas complejos

- Reflexión y comprensión en profundidad

- Aproximación matemática original

- Múltiples métodos complejos

- Generalización

La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática 8

4) Hallazgos y necesidad de inclusión de la demanda cognitiva en el bagaje profesional del docente del área de matemática en el Perú

En los estudios ya mencionados, se han tenido hallazgos respecto de la demanda cognitiva para el área de matemática en nuestro país. Por ejemplo, los estudios de Cueto (2003), de carácter cuantitativo, llegan a los siguientes hallazgos empleando las categorías de Stein:

Porcentaje de ejercicios resueltos por los estudiantes en el cuaderno de trabajo y en los cuadernos de clase, según el nivel de demanda cognitiva17

Cuadernos de trabajo

Cuadernos de los estudiantes

Ejercicios

Memorización 24% 23% Procedimientos sin conexiones 62% 66% Procedimientos con conexiones 8% 1% “Haciendo matemática” 0% 0%

Problemas*

Procedimientos sin conexiones 5% 10% Procedimientos con conexiones 0% 0% “Haciendo matemática” 0% 0%

Total (786) 100% (715) 100% *Debe tenerse presente que por definición, un problema no puede ser de memorización.

Si se agrupan los resultados del cuadro precedente según los dos niveles de demanda cognitiva, entonces se tiene:

Cuadernos de trabajo

Cuadernos de los estudiantes

Baja demanda cognitiva

Memorización 24%

92%

23%

99% Procedimientos sin conexiones 67% 76%

Alta demanda cognitiva

Procedimientos con conexiones 8%

8%

1%

1% “Haciendo matemática” 0% 0%

Total (786) 100% (715) 100%

De estos cuadros, se puede concluir que es evidente que las tareas de baja demanda cognitiva predominan en las escuelas estudiadas.

La situación, para el caso de estudios cualitativos (Cuglievan, 2006) no es muy diferente. Así, los porcentajes encontrados en las 5 escuelas que se estudian, en este estudio, empleando tres niveles de clasificación de las tareas, se pueden apreciar en el siguiente diagrama:

17

Adaptado del Cuadro 6. Pág. 33 Cueto, 2003.

9

Demanda cognitiva de los ejercicios/problemas

Sin embargo, el carácter de este segundo estudio –cualitativo- nos permite conocer sobre las razones que estarían llevando a los docentes a proponer a sus estudiantes, para el área de matemática, este tipo de tareas que, finalmente no llega a correlacionar con el desarrollo de las competencias propuestas en el DCN.

Así, se mencionan como posibles razones de la persistencia en el Perú de una matemática “tradicional”:

- La concepción instrumental acerca de la matemática, que tienen los docentes y que se evidencia a partir de la reiterada práctica de procedimientos que le proponen a sus estudiantes.

- La aún incipiente comprensión de lo que actualmente se entiende por problema (la persistencia de entender el problema como una situación de aplicación de un procedimiento).

- La falta de cuestionamiento a su propia concepción de matemática que lo lleva a reproducir las formas de aprender que el docente usó en su escolaridad, por sobre las propuestas que se proponen actualmente (o que se le ha propuesto durante su formación profesional).

- La concepción del aprendizaje como un proceso más bien repetitivo y pasivo, que debe seguir el estudiante (por sobre la actividad intelectual y la reflexión).

Todas estas consideraciones, nos llevan a proponer la importancia (y urgencia) de la inclusión de la demanda cognitiva como una categoría a tener en cuenta por los docente que enseñan el área de matemática (en los tres niveles de EBR: inicial, primaria y secundaria), en los procesos de planificación, implementación y evaluación del área de matemática, a fin de mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la misma, para nuestros estudiantes.

Baja, 0.89%

Media, 0.11%

Alta, 0.00%

Baja

Media

Alta

La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática 10

5) Referencias:

Asmad, U. Cruz, G. Evaluación Nacional del Rendimiento Estudiantil 2004. Informe pedagógico de resultados. Formación matemática- Tercer grado de Secundaria- Quinto grado de Secundaria. MED 2005.

Cueto, S. et al. Las Oportunidades de Aprendizaje en lógico-matemática: un estudio para cuarto grado de primaria. En http://redalyc.uaemex.mx/pdf/551/55160103.pdf

Cueto, S. et al. Documento de Trabajo 43: Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en matemática en una muestra de estudiantes de sexto grado de primaria de Lima, 2003. Disponible en Internet: http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf

Cuglievan, G.et al. Comprendiendo la escuela desde su realidad cotidiana. Estudio Cualitativo en 5 escuelas estatales de Lima. UMC- MED 2006

Juarez & Associates. Definición de Estándares de Oportunidad de Aprendizaje para Guatemala. USAID, 2009. Disponible en Internet: http://pdf.usaid.gov/pdf_docs/PNADR966.pdf

NCTM, 2000. Principios y Estándares para la Educación Matemática. SAEM THALES.

OECD 2004. Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de problemas. Disponible en Internet: http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/58/25/39732603.pdf

Ponce, L. Preiss, D. Núñez, M. Demanda cognitiva en la clase de matemáticas chilena. Disponible en Internet: http://www.ciie2010.cl/docs/doc/sesiones/190_LPonce_Demanda_cognitiva_mat.pdf

Saz, M. Explorando Oportunidades de Aprendizaje en Matemáticas. Análisis de dos grupos de alumnos de sexto grado del nivel primario. Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa, DIGEDUCA Ministerio de Educación de Guatemala, 2010. Disponible en Internet: http://www.mineduc.edu.gt/recursoseducativos/Descarga/digeduca/papers/ficha_37.pdf

UMC- MED Presentación de la Evaluación Nacional 2004. Disponible en Internet en: http://www.minedu.gob.pe/institucional/xtras/PresentacionEN2004.pdf

Vilanova, S. et al. 2001. Concepciones y creencias sobre la matemática. Una experiencia con docentes de 3er. Ciclo de la Educación General Básica. Disponible en Internet en: http://www.rieoei.org/experiencias9.htm

Zambrano, G. Boletín UMC Nº 22: Las Oportunidades de Aprendizaje en lógico-matemática: un estudio para cuarto grado de primaria. Ministerio de Educación. 2002