ESTADSTICA APLICADA I*DISTRIBUCIONES MUESTRALES

**Sea X una variable aleatoria (poblacin), que tiene funcin de probabilidad f(x) con media y varianza 2Se dice que X1, X2,., Xn es una muestra aleatoria de tamao n, tomada de la poblacin X, si se cumple que:

i) Cada Xi es una v.a. con funcin de probabilidad f(x) ii) X1, X2,., Xn es una sucesin de v.a. independientesiii) El valor esperado de cada uno de los elementos de la muestra tiene un promedio igual al de la poblacin de la cual fue elegida

iv) La varianza de cada uno de los elementos de la muestra aleatoria es igual a la varianza de la poblacin de la cual fue elegidaMUESTRA ALEATORIA

Distribuciones MuestralesDefinicin: Una estadstica T es una funcin t(x1, ..., xn ) de los valores de las observaciones de una muestra de tamao n; es decir:T= t(x1, ..., xn )Para una poblacin de N elementos, se puede obtener: Nn P(N, n) muestras posibles de tamao n, dependiendo de la seleccin de la muestra (con reemplazo o sin reemplazo respectivamente). En este sentido, la Distribucin Muestral o de Muestreo es la distribucin de probabilidad de la estadstica muestral T, que tiene tantos valores diferentes como muestras posibles de tamao n se pueden obtener. Para determinar la distribucin muestral de una estadstica, es necesario conocer: La poblacin y el parmetro,Todas la muestras posibles yTodos los valores posibles.**

Distribuciones MuestralesCuando la poblacin es infinita, la distribucin muestral se debe considerar como una distribucin muestral terica, dado que no es posible conocer todas las muestras posibles.Cuando la poblacin es finita y de un tamao moderado, se puede construir la distribucin muestral, que se debe considerar como una distribucin muestral experimental.En este ltimo caso, se puede obtener todas las muestras posibles de tamao n, calculando sus respectivas estadsticas, as como sus probabilidades de ocurrencia.Cuando estudiamos una distribucin muestral es necesario conocer:Su forma funcional,Su valor esperado ySu varianza.**

Teorema del Limite Central**Al aumentar el tamao de la muestra, la distribucin de las estadsticas muestrales se aproxima a una distribucin normal, sin importar la forma de la distribucin de la poblacin de donde proviene la muestra.

Como vimos, una estadstica muestral T, es una funcin t(x1, ..., xn) de los valores observados de la muestra. Por ejemplo:

Distribucin de la Media Muestral**Sea X una poblacin que tiene distribucin normal con media y varianza 2 y sea x1, ..., xn una muestra aleatoria extrada de esta poblacin.Tiene un valor esperado y una varianza que estn dados por:Luego la estadstica media muestral, que esta dada por:

**Suponga que se tiene una poblacin, cuyos elementos son: { 1, 2, 3, 4 } En este caso, el tamao de la poblacin es N = 4. EjemploSi se extrae una muestra de tamao n = 2, es posible obtener:La Media de la poblacin:La Varianza de la Poblacin:En cuanto a los parmetros poblacionales, sus valores son: Intentaremos probar, a partir de informacin muestral, que:

**Luego, la media muestral tiene los siguientes valores posibles:Ejemplo: Caso de muestreo con reemplazo (k = 42 = 16 muestras) PoblacinMuestra

Muestra Media Muestra Media Muestra Media Muestra Media { 1, 1 } 1{ 1, 2 } 1.5{ 1, 3 } 2{ 1, 4 } 2.5{ 2, 1 } 1.5{ 2, 2 } 2{ 2, 3 } 2.5{ 2, 4 } 3{ 3, 1 }2{ 3, 2 }2.5{ 3, 3 }3{ 3, 4 }3.5{ 4, 1 }2.5{ 4, 2 }3{ 4, 3 }3.5{ 4, 4 }4

11.522.533.541/162/163/164/163/162/161/16

**El valor esperado de la media muestral, esta dado por:Luego, la distribucin muestral de la media muestral, esta dada por:EjemploLa varianza de la media muestral, esta dada por:De este modo, y tal como esperbamos:

Distribucin Muestral de la MediaCaso de varianza 2 conocidaSi X tiene una distribucin con varianza conocida 2, se puede afirmar que la Distribucin Muestral de la Media esta dada por:**Si el tamao de la poblacin es conocido, se puede afirmar que la Distribucin Muestral de la Media estara dada por:Error Estndar de la media muestralError Estndar de la media muestral

Distribucin Muestral de la MediaCaso de varianza 2 desconocida Si la varianza 2 es desconocida y el tamao de muestra es moderado, se puede afirmar que la Distribucin Muestral de la Media esta dada por:**Si el tamao de la poblacin es conocido, se puede afirmar que la Distribucin Muestral de la Media estara dada por:Error Estndar Estimado de la media muestralError Estndar Estimado de la media muestral

De acuerdo a los registros de calificaciones de la universidad, los resultados de los exmenes del curso de marketing, siguen una distribucin normal con una media de 78 y una varianza de 36. a) Qu calificacin mnima debe obtener un alumno, para ser considerado dentro del quinto superior del curso?b) Si se selecciona al azar una muestra de 30 exmenes correspondientes al parcial de Marketing en este ciclo Cul debe ser la calificacin promedio mnima en dicha muestra, para que sea considerada dentro del quinto superior de los promedios de todas las muestras posibles del mismo tamao? Ejemplo 1.-Solucin .- a) La poblacin o variable aleatoria X, est formada por los resultados o calificaciones de los exmenes de marketing, de modo que: X ~ N(78, 36).*Y, la calificacin mnima A, del 20% superior del curso, se obtiene de:

***Y, La calificacin promedio minina A, del 20% superior de los promedios de todas las muestras de tamao 30, se obtiene de:b) En este caso, la muestra es de tamao: n=30, y = { Resultados o calificaciones promedio de las muestras de tamao 30}, de modo que:

**El gerente de produccin de una fbrica de productos marinos envasados asegura que el producto presentado en el nuevo envase tiene un peso promedio de 100 gramos. La gerencia antes de lanzar el producto al mercado, exige al jefe del rea de control de calidad que someta a una prueba de pesos y medidas a dicho producto. El jefe del Area de CC, selecciona al azar 10 envases y obtienen los siguientes resultados: 97; 102; 103; 92; 103; 96; 98; 97; 99; y 95.Cul ser la probabilidad de que el peso promedio de la muestra supere los 102 gramos? Solucin .-De los datos se obtiene que: = 100; n = 10; s = 3,6148Ejemplo 2.-En este caso no se conoce la varianza de la poblacin y la muestra es pequea ya que n 30. Adems se tiene que: t~t(9). Por tanto, se tiene que calcular:

Distribucin de la Proporcin Muestral**Sea X una poblacin donde una parte de sus elementos satisfacen cierta caracterstica. Esto quiere decir que:La proporcin de la proporcin de la poblacin que satisface cierta caracterstica est dada por:K es nmero de observaciones que satisfacen la caracterstica y es el tamao de la poblacinSi se tiene una muestra aleatoria extrada de esta poblacin, x1, ..., xn, la proporcin de la muestra est definida por:k es nmero de observaciones que satisfacen la caracterstica, y n es el tamao de la muestra

Distrib. Muestral de la Proporcin Muestral**Cuando n >30, la distribucin muestral de proporcin de la muestra est dada por:Cuando el tamao de la Poblacin es conocido se tiene que:Error Estndar de la proporcin muestralError Estndar de la proporcin muestral

**El fabricante de maquinas despachadoras de caf indica que de cada 1000 vasos servidos, slo 15 vasos tienen una cantidad de caf por debajo de las 8 onzas (medida estndar establecida). Una empresa que va comprar este tipo de mquina quiere evaluar si esto es verdad. Esto es, desea estimar la proporcin de vasos servidos con cantidad de caf por debajo de las 8 onzas, en base a los datos de una muestra aleatoria de 100 vasos de caf que ha servido esta mquina. Cul es la probabilidad que esta proporcin en la muestra se encuentre entre 1,2% y 2,0%?

Solucin.-X: Vasos que tienen un contenido de caf por debajo de las 8 onzas. = 0,015 prop. de vasos con un contenido menor que 8 onzas.n = 100 muestra de vasos observadosEjemplo

**Ejemplo

Distribucin de la Varianza Muestral **Sea X una poblacin que tiene una distribucin normal; si se toma una muestra aleatoria x1, ..., xn se puede calcular la estadstica varianza muestral, que esta dada por:de donde se puede deducir:As se puede afirmar que:

**Un investigador afirma que la varianza de una determinada poblacin, que sigue una distribucin normal, es igual a 21.3. Sin embargo, podra rechazar tal afirmacin si la varianza de una muestra aleatoria de tamao 15 excede a 39,74. Cul es la probabilidad de que dicha afirmacin sea rechazad?Solucin.- La probabilidad de rechazar la afirmacin est dada por:Ejemplo

**Ejemplo:Se sabe que la duracin de paneles luminosos fabricados por una compaa tiene una media de 2000 horas y una desviacin tpica de 60 horas. Si se seleccionan al azar 10 paneles, Cul ser la probabilidad que la desviacin estndar muestral:No supere las 50 horas?Se encuentre entre 50 y 70 horas?Ejemplo:Las bolsas de plstico empleadas para empaquetar productos se fabrican de forma que la resistencia a la rotura tenga una distribucin normal con = 5 kg/cm2 . Si se toma una muestra al azar de 16 bolsas. Qu valor mximo tendr la desviacin estndar de la muestra con probabilidad 0.95?

Distribucin de la Diferencia Proporciones **Sean dos poblaciones independientes, X e Y, cuyas proporciones poblacionales son 1 y 2, respectivamente. Si se toma muestras independientes en cada una de estas poblaciones de tamaos n1 y n2, respectivamente, se podra obtener las dos proporciones muestrales siguientes:Si los tamaos de muestras son grandes, esto es n1 + n2 >30, se puede decir que la Distribucin Muestral de la Diferencia de las Proporciones Muestrales esta dada de la siguiente forma:

**Un analista de mercado considera que el 85% de los consumidores potenciales en Piura y el 95% de la ciudad de Tacna prefieren beber cerveza rubia. Para validar su opinin, levanto una encuesta de opinin independiente en cada ciudad. Comprob que 240, de 300 personas entrevistadas en Piura y 340 de las 400 personas entrevistadas en Tacna prefiere beber cerveza rubia. Cul es probabilidad de observar una diferencia mayor que 5% entre ambas proporciones muestrales? Solucin.- En ambas poblaciones se observa la proporcin de preferencia para beber cerveza rubia. Ejemplo

**Ejemplo

Distribucin de la Razn de Varianzas**Sean X e Y poblaciones independientes que tienen distribuciones normales. Si se toman muestras independientes de tamaos n1 y n2, respectivamente, entonces la variable F tendr una distribucin F con n1 -1 y n2 -1 grados de libertad, si est definida de la siguiente forma:En el caso que las varianzas poblacionales sean iguales: 12 = 12 , se tiene que:

**Se desea saber si se puede comparar dos procesos en relacin con la variabilidad de la resistencia que tiene un producto respecto a la traccin. Se considera que los procesos producirn plsticos con igual resistencia a la traccin, si la razn entre la varianzas muestrales no es demasiado grande. sta ser demasiado grande si la probabilidad, de obtener un valor mayor o igual que el cociente de las varianzas muestrales, es menor que 0,04. De dos muestras aleatorias independientes de 25 especimenes cada una, se observ que las varianzas muestrales fueron 540 y 256. Asumiendo que ambos procesos de produccin se ajustan a una distribucin normal con igual variabilidad, a qu conclusin debera llegar el gerente en este caso?. Solucin.- De los datos se tiene lo siguiente:Ejemplo

**Ejemplo:Dadas dos muestras aleatorias de poblaciones normales con varianzas iguales, de tamao 10 cada una, cul es la probabilidad de observar que la varianza de la primera muestra sea por lo menos cuatro veces la varianza de la segunda muestra?Ejemplo:Segn estudios realizados anteriormente, la varianza en el llenado de las botellas de Pilsen y Cristal son de 2.8 y 3.4 ml, si se toman muestras de 12 y 15 botellas, de Pilsen y Cristal,Cul es la probabilidad de que la varianza en la muestra de Pilsen sean inferiores a las de Cristal?

Distribucin de la Diferencia de Medias**Sean X1 y X2 , dos poblaciones independientes que tienen distribuciones normales. Si se toman muestras independientes de tamaos n1 y n2, respectivamente, se puede obtener las medias muestrales mediante: Caso de varianzas 12 y 22 , conocidasSi X1 y X2 tienen distribuciones con varianzas (poblacionales) conocidas, se puede afirmar que la Distribucin Muestral de la Diferencia de Medias Muestrales de Poblaciones Independientes esta dada por:

Dist. Muestral de la Diferencia de Medias**Cuando n1 + n2 30 y adems se sabe que las varianzas son desconocidas pero iguales se puede decir que la Distribucin Muestral de la Diferencia de Medias Muestrales de Poblaciones Independientes esta dada por la distribucin de la variable t. Esto es: Caso de varianzas 12 y 22 , desconocidas

Dist. Muestral de la Diferencia de Medias**Cuando n1 + n2 30 y adems se sabe que las varianzas son desconocidas pero diferentes se puede decir que la Distribucin Muestral de la Diferencia de Medias Muestrales de Poblaciones Independientes esta dada por la distribucin de la variable t. Esto es:

**Tradicionalmente, se puede afirmar que las calificaciones de los exmenes finales de los estudiantes de ingeniera tienen una puntacin promedio d de 12 con una desviacin estndar de 1,2 puntos. Mientras que la de los estudiantes de negocios, tienen una calificacin promedio de 15 con una desviacin estndar de 1,6. Si se asume que las calificaciones de los estudiantes se ajustan a una normal, y si en el ciclo pasado se eligen al azar los exmenes de 40 estudiantes de ingeniera y 30 de negocios. Cul ser la probabilidad de observar una diferencia de a lo ms 2,0 puntos entre las calificaciones promedio entre ambas escuelas? Solucin.-Estamos en un caso de varianzas conocidasEjemplo 1.-

**El gerente ventas quiere implementar una de las dos nuevas tcnicas de ventas para la prxima campaa. Considera que primero debera probarlas. La primera tcnica la prueba con 12 vendedores y la segunda tcnica con 15 vendedores. Al finalizar la semana de prueba, comprob que con la primera tcnica, las ventas promedio fueron de 68 con una desviacin estndar de 7,071. Mientras que con la segunda tcnica, las ventas promedio fueron de 72 con una desviacin estndar de 8,68. Asumiendo que las ventas obtenidas se aproximan a una distribucin normal con el mismo promedio y la misma variabilidad, en ambas tcnicas. Cree usted que es probable que la segunda tcnica sea mejor que la primera en ms de 4 ventas? Solucin.- Segn los datos se debe asumir que: 1 - 2 = 0 y 12 = 22. Estamos en un caso de varianzas desconocidas muestras pequeas, pero varianzas iguales.Ejemplo 2.-

**Ejemplo 2.-De modo que:

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