PROBABILIDAD Y

ESTADISTICA

DISTRIBUCION DE BERNOULLI…

Es una distribución de probabilidad discreta donde se obtienen dos resultados. Al primero se le llama éxito y al otro fracaso.

Donde la probabilidad de éxito es 1 y el fracaso es 0.

EJEMPLO 1.

Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6.

sea X=1 si el dado cae 6 y X=0 en cualquier otro caso.

¿Cuál es la distribución de X?

Solución

La probabilidad de éxito es p P(X 1) 1/6. Por lo que X Bernoulli(1/6).

EJEMPLO 2.

Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso está defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X 1 si el componente está defectuoso y X 0 en cualquier otro caso.

¿Cuál es la distribución de X?

Solución

La probabilidad de éxito es p P(X 1) 0.1. Por lo que X Bernoulli(0.1).

EJEMPLO 3.

Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea X=1 si la moneda cae en “cara” y X=0 si cae en “cruz”.

¿Cuál es la distribución de X?

Solución

Puesto que X 1 cuando cae “cara”, ésta es resultado de éxito. La probabilidad de éxito,P(X 1), es igual a 0.5. Por tanto, X Bernoulli(0.5).

DISTIBUCION BINOMIAL…

Se toma un solo componente de una población para ver si esta o no defectuoso, es ejemplo de un ensayo de Bernoulli.

En la practica es posible tomar varios componentes de una población y contar el numero de elementos defectuosos.

Esto implica realizar ensayos de Bernoulli independientes y contar el numero de éxitos, que es una variable aleatoria y también tiene una distribución binomial.

Formula:

EJEMPLO 1.

Una gran compañía industrial hace un descuento en cualquier factura que se pague en un lapso de 30 días. De todas las facturas, 10% recibió el descuento. En una auditoría de la compañía se seleccionó aleatoriamente 12 facturas.

¿Cuál es la probabilidad de que menos de cuatro de las 12 facturas de la muestra tengan descuento?

Solución:

Sea X el número de facturas en la muestra que recibe descuento. Entonces X Bin(12, 0.1).La probabilidad de que menos de cuatro facturas tengan descuento es P(X 3). Se consúltala tabla A.1 con n 12, p 0.1 y x 3. Se encuentra que P(X 3) 0.974.

EJEMPLO 2.

Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que aparecen.

¿Cuál es la distribución de X?

Solución

Hay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito de p 0.5.La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los diez ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).

EJEMPLO 3.

Un ingeniero que supervisa el control de calidad está probando la calibración de una máquina que empaca helado en contenedores. En una muestra de 20 de éstos, tres no están del todo llenos. Estime la probabilidad p de que la máquina no llene bien un contenedor.

Solución

La proporción muestral de contenedores no llenos es ˆp 3/20 0.15. Se estima que la probabilidad p de que la máquina no llene bien un contenedor es también igual a 0.15.

DISTRIBUCION DE POISSON…

 es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. 

se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeña.

Formula:

EJEMPLO 1.

La abuela hornea galletas de chispas de chocolates en grupos de 100. Ella agrega 300 chispas en la masa. Cuando las galletas están hechas, le ofrece una.

¿Cuál es la probabilidad de que su galleta no tenga chispas de chocolate?

Solución

Éste es otro caso de partículas en suspensión. Sea X el número de chispas en su galleta. La media del número de chispas es tres en cada galleta, de forma que X Poisson(3). De ahí que P(X 0) e 330/0! 0.0498.

EJEMPLO 2.

Suponga que el número de visitas a cierto sitio web durante un intervalo fijo sigue una distribución de Poisson. Suponga que la media de la razón de visitas es de cinco en cada minuto. Determine la probabilidad de que haya sólo 17 visitas en los siguientes tres minutos.

Solución

Sea X el número de visitas en tres minutos. La media del número de visitas en tres minutos es (5)(3) 15, por lo que X Poisson(15). Utilizando la función de masa de probabilidad de Poisson(15), En el ejemplo 4.21, sea X el número de visitas en t minutos. Determine la función de masa de probabilidad de X, en función de t.

P(X = 17) = e

−15 1517

17!

= 0.0847

EJERCICIO 3.

El número de imperfecciones en una lámina de aluminio fabricada por determinado proceso sigue una distribución de Poisson. En una muestra de 100 m2 de aluminio, se encuentran 200 imperfecciones. Estime la probabilidad de que un metro cuadrado de aluminio no tenga imperfecciones y determine la incertidumbre en la estimación.

Solución

Sea λ el número promedio de imperfecciones por metro cuadrado. Se iniciará calculando ˆλ y su incertidumbre. Se ha observado que X 200 imperfecciones en t 100 m2 de aluminio. Por tanto, ˆλ 200100 2.00. La incertidumbre en ˆλ es.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL…

es una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. A menudo, a aquél se le llama tiempo de espera. En algunas ocasiones la distribución exponencial se utiliza para modelar el tiempo de vida de un componente.

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene un parámetro, que representa una constante positiva λ cuyo valor determina la localización y forma de la función.

Formula:

EJEMPLO 1. Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de

Poisson a una media de razón de 15 partículas por minuto. En algún punto inicia un reloj. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran cinco segundos antes de la siguiente emisión? ¿Cuál es la media del tiempo de espera hasta que se emite la siguiente partícula?

Solución

El tiempo se medirá en segundos. T denota el tiempo en segundos que transcurre antes de que se emita la siguiente partícula. La media de la razón de las emisiones es de 0.25 por segundo, por lo que el parámetro de razón es λ 0.25 y T Exp(0.25). La probabilidad de que transcurran más de cinco segundos antes de la siguiente emisión es igual a

EJERCICIO 2.

El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una distribución exponencial con media de dos años. Encuentre la probabilidad de que el circuito dure más de tres años.

Solución

Sea T el tiempo de vida del circuito. Dado que mT 2, λ 0.5. Se necesita encontrar P(T > 3).

EJERCICIO 3.

Se toma una muestra aleatoria de tamaño 5 de una distribución Exp(λ). Los valores son 7.71,1.32, 7.46, 6.53 y 0.44. Encuentre un estimador con corrección de sesgo de λ.

Solución

La media muestral es X = 4.6920. El tamaño muestral es n 5. El estimador con corrección de sesgo de λ es 5/[6(4.6920)] 0.178.

EJERCICIOS BERNOULLI…Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.

Sea X=1 si anota el tiro. Si no lo hace entonces x=0. determine la media varianza de X.

Si anota el80 tiro, su equipo obtiee 2 puntos. Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados ¿Tiene una probabilidad de Bernoulli? ¿Si es asi encuentre la probabilidad de éxito, si no explique.

Determine la media y varianza de Y.

RESPUESTA.

Media Px=(0) (1-0.55)+(1) (0.55)= PX= 0.55

Varianza: V 2M= (0-0.55)2 (0.55)(0-0.55)2 (0.45) =v2x = 0.2475

No; una variable de Bernoulli tiene valores positivos de 0 y 1 mientras que los valores de Y son 0 y 2.

XP XP

10.551.1

00.450

(Y-M)2*P

(2-1.1)2(0.55)(0-1.1)2(0.45)=0.99

PROBLEMA 2En un restaurante la comida rápida .25% de las ordenes para saber es una bebida pequeña, .35% una mediana y .40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso.

Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX.

Sea PY la probabilidad de éxito de y. determine PY.

¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?

¿Es PZ=Px+Py?

¿Es Z=X+Y? explique.

RESPUESTA

PX=(0)(1-0.25)+(1)(0.25)=0.25

PY=(0)(1-0.35)+(1)(0.35)=0.35

PZ=(0)(1-0.40)+(1)(0.40)=0.40

SI

NO

No porque los valores son totalmente distintos

PROBLEMA 3.

Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es de probabilidad de que se decolore o no se agriete. O ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro caso: Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso: Z=1 si hay decoloración grieta o ambas, y Z=0 en cualquier otro caso.

Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX

Sea PY la probabilidad de éxito de Y. determine PY

Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. determine Pz

¿Es posible que X Y Y sea igual a 1?

¿Es PZ=PX+PY?

¿Es Z= X+Y? explique.

RESPESTA.

PX=(0)(1-0.05)+(1)(0.05)=0.05

PY=(0)(1-0.20)+(1)(0.20)=0.20

PZ=(0)(1-0.23)+(1)(0.23)=0.23

SI

NO

Si porque la superficie de decoloración y agrieta entonces X=1, Y=1 y Z=1 pero Y+Y=2.

PROBLEMA 4.Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale cara en la moneda de un centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.

Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX

Sea PY la probabilidad de éxito de Y. determine PY

Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. determine PZ

¿Son X y E independientes?

¿Es PZ=PX PY?

¿Es Z=xy? Explique.

RESPUESTA.

PX= ½

PY=1/2

PZ= ¼

SI

SI

Si porque tiene las mismas posibilidades de que salgan los mismos resultads.

PROBLEMA 5.Se lanzan dos dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la suma es 6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo numero en los dados y ambas suman 6 es decir, que salga 3 en los dos dados y Z=0 en cualquier otro caso.

Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX

Sea PY la probabilidad de éxito de Y. determine PY

Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. determine PZ

¿Son X y Y independientes?

¿Es PZ= PXPY?

¿Es Z=XY? Explique

Respuesta

PX=

PY=

PZ=

Si

Si

Si porque puede salir los números que se necesiten para formar un 6.

EJERCIOS BINOMIALES…

Ejercicio 1

Sea X~Bin (8, 0.4). Determine

P(X=2)

P(X=4)

P(X=2)

P(X<2)

P(X>2)

µx

σ2x

Repuesta

P (X=x) =nx

P (X=2) = 0.2090

P (X=4) = 0.2322

P (X=2) = 0.1064

P (X=2) = 0.0085

µx=3.2

σ2x =1.92

PROBLEMA 2Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos están defectuosos.

Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuosos.

Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectuosos.

Determine la probabilidad de que uno o mas de los elementos de la muestra esté defectuosos.

Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra esté defectuosos

Repuesta

 

P (X=0) = 0.59049

P (X=1) = 1

P (X=3) = 0.1172

P (X=2) = 0.49

PROBLEMA 3

Se lanza al aire una moneda diez veces.

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?

Determine la media del número de caras obtenidas.

Determine la varianza del número de caras obtenidas.

Determine la desviación estándar del número de caras obtenida

 

Repuesta

P (X=3) = 0.1172

µx=5

σ2x =np (1-p)= 5(1-0.5)= 2.5

(Ẑ-xi) fi =1.58

 

PROBLEMA 4 En un cargamento grande de llantas de automóviles, 5% tiene cierta

imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.

¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?

¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las llantas tenga imperfección?

¿Cuál es la probabilidad de que una o mas de las llantas tenga imperfección?

Repuesta

 

P (X=0) = 0.0625

P (X=1) = 0.75

P (X=2) = 0.25

PROBLEMA 5 Unas figurillas de porcelana se venden a 10 dólares si no tienen imperfecciones y a 3

dólares si la presentan. Entre las figurillas de cierta compañía, 90% no tiene imperfecciones y 10% si lo tienen. En una muestra de 100 figurillas ya vendidas, sea Y el ingreso por su venta y X el número de éstas que no presentan imperfecciones.

Repuesta

 

Exprese Y como una función de X

Y =7x + 300

Determine µy.

Y = 900+30 = 930

Determine σ2y

21

 

EJERCICIOS POISSON

El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

n = 40

p = 0.08

lambda =3.2

X = 5

PROBLEMA 2 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la

vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.

n = 50

p = 0.2

lambda =10

PROBLEMA 3

En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.

n = 20

p = 0.15

X = 3

lambda =3

PROBLEMA 4

La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.

n = 85

P = 0.02

X = 4

lambda = 1.7

PROBLEMA 5

Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes ¿calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

n = 100

P = 0.03

lambda = 100 * 0.03 = 3

x = 5

e = 2.718281828

EJERCICIOS EXPONENCIALES.

El tiempo durante el cual las baterías para un teléfono celular trabajan en forma efectiva hasta que fallan se distribuyen según un modelo exponencial, con un tiempo promedio de falla de 500horas.

a)Calcular la probabilidad de una batería funcione por más de 600horas.

b)Si una batería ha trabajando 350 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje más de 300 horas adicionales.

Solución:

X = tiempo que dura la batería hasta que falla

Entonces como E(x) = 500, entonces λ=1/500 con lo que E(1/500).

Por tanto su función de distribución seria:

PROBLEMA 2

Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de atención al público para ser atendido por un asesor es una variable aleatoria exponencial con μ = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar:

a) A lo mucho 5 minutos:

b) Al menos 10 minutos:

c) Entre 3 y 10 minutos:

PROBLEMA 3

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de Po sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de Po es una v.a. de distribución exponencial:

u = 1 / λ λ = 1/140

PROBLEMA 4 El tiempo en que una computadora comercial permanece

actualizada, se distribuye exponencialmente con una valor promedio de 2 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una computadora comercial que se compra el día de hoy, permanezca actualizada dentro de 3 años? 

PROBLEMA 5 El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una

distribución exponencial con un promedio de falla de μ=2 años ¿Cuál es la probabilidad de que un interruptor falle después del 2do año?