Universidad Tecnológica de Torreón

Ejercicio: Distribución Bernoulli Distribución Binomial

Distribución Poisson Distribución Normal

Distribución Gamma Distribución T de student

Víctor Hugo Franco García

Procesos Industriales Área de Manufactura

2º “A” Matricula: 1110167

Prof. Lic. Edgar Mata Ortiz

Índice

Distribución Bernoulli…………………………...3-4-5

Distribución Binomial……………………………6-7-8

Distribución Poisson………………………………9-10

Distribución Gamma…………………………11-12-13

Distribución Normal……………………..…..14-15-16

Distribución T de student…………………….17-18-19

Bibliografía………………………………………..20

Distribuciones Página 2

La distribución Bernoulli

Imagine un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama “éxito” y al otro “fracaso”. La probabilidad de éxito se denota por p. por consecuencia, la probabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito p. el más sencillo de este tipo es el lanzamiento al aire de una moneda. Los posibles resultados son “cara” o “cruz”. Si “cara” se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad. En una moneda p = ½.

Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así: si el experimento propicia “éxito”, entonces X=1. De lo contrario, X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(x) definida por

p (0)= p (X = 0) = 1 – p

p (1)= p (X = 1) = p

Ejemplo:

Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1 si el dado cae seis y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

SOLUCIÓN:

La probabilidad de éxito es p = p (x = 1) = 1 / 6. Por lo que X – Bernoulli (1 / 6)

EJERCICIOS:

1. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55

a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.Ux = (0) (1 – 0.55) + (1) (0.55) = 0.55 MEDIA = (0 - P)ˆ2 (1-P) + (1 - P)ˆ2 (P)= P (1 - P)= 0.2475 VARIANZA

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué.

P + = 1

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= 1 – P = 1 – 0.55= 0.45 ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Sí, porque nos plantean un ejemplo donde nos presentan 2 opciones de éxito o fracaso., donde si anota ganan 2 puntos y si no anotan no gana nada

c) Determina la media y varianza de Y. Ux = (0) (1 - 2) + (1) (2) = 2 MEDIA = (0 - P) ˆ2 (1 – P) + (1 - P) ˆ2 (P)=P (1 - P)= -2 VARIANZA

2. En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea Y=1 si la orden es una bebida pequeña p mediana y Z=0 para cualquier otro caso.

a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine PxX – (Y + Z)1 – (35 + 40)1 – (0.75) = 0.25 25%

b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine PyY - (X + Z)1 – (25 + 40)1 – (65) = 0.35 35%

c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine PzZ – (X + Y)1 – (25 + 35)1 – (60) = 0.40 40%

d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?No, porque la suma de sus porcentajes es menos a 1

e) ¿Es pz = Px + Py?No, porque Z = 40% y X + Y = 70%

3. X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = X + Y. a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de

Bernoulli.DATOS: X = 1 Y = 1 Z = X + Y Z = 2X = 1 X = 0 Z = 0 + 0 Z = 0 No es un variable de BernoulliY = 1 Y = 0

b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Pz = Px + PyPz = Px + Py

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1 = 0 + 0 1 = 0 No son igualesc) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria

de Bernoulli. X = 1 Z = X + Y Z = 2 No es una variable de Bernoulli Y = 1

4. Se lanza al aire una moneda de 1 y 5 centavos. Sea X = 1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara, en ambas monedas y Z = 0 en cualquier otro casoa) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px

Monda de 1 centavo X P 1 0.5 – 0.5

0 0.5 - 0

0.5

b) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Py X P

1 0.5 – 0.5

0 0.5 - 0

0.5

c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine PzZ P 1 (0.33) – 0.5 0 (0.66) - 0 0.5

d) ¿son X y Y independientes?Si, porque cada una tiene el mismo resultado y no depende una de la otra

e) ¿Es pz = Px Py?No, porque los 3 resultados son independientes

f) ¿Es Z = XY? Explique Si, porque Z = 1, X = 1, Y = 1 por lo tanto 1 = 1 x 1 1 = 1

5. Sea X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY. a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.

Si X y Y son variables de BernoulliX = 1Y = 1

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Sea Z = XY Z = (1) (1) Z = 1 b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz = PxPy

X = 1 Pz = 1 = Px = 1 = Py = 1 Y = 1 Pz = Px Py Z = 1 1 = (1) (1) 1 = 1

La distribución binomial

Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no defectuoso es ejemplo de un ensayo de Bernoulli. En la práctica es posible extraer varios componentes de una gran población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de Bernoulli independientes y contar con el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, que tiene una distribución binomial. Sea la variable aleatoria X igual al número de éxitos en N ensayos, entonces X tiene la distribución binomial con parámetros n y p. la notación es X-Bin (n, p). X es una variable aleatoria discreta y sus posibles valores son 0,1,…..n.

Ejemplo:

Un loe contiene varios miles de componentes, de estos 10% están defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es la distribución de X?

SOLUCION:

Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir, menos a 5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial Bin (7, 0.1).

1. Sea X – Bin (8, 0.4). Determinea) P(X = 2)

P (X = 2) 8! 2 (8 - 2) (0.4) ˆ2 (0.6) ˆ6 = 0.20901888

b) P(X = 4)P (X = 4) 8! 4 (8 - 4) (0.4) ˆ4 (0.6) ˆ4 = 0.2322432

c) P(X < 2)P (X <2) 8! 1 (8 - 1) (0.4) ˆ1 (0.6) ˆ5 = 0.08957952

d) P(X > 6)P (X > 6) 8!

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7 (8 - 7) (0.7) ˆ7 (0.3) ˆ1 = 0.19765032e) Ux

X P X (P) 3 0.15 0. 45 0 0.85 0 MEDIA: 0 .45

f)(X - M) ˆ2 (P)(3 – 0.45) ˆ2 (0.15) = 0.975375(0 – 0.45) ˆ2 (0.85) = 0.172125 VARIANZA: 1. 1475

2. Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos está defectuoso. a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté

defectuoso. 5!0! (5 - 0)! (0.9) ˆ0 (0.1) ˆ5 = 0.00001

b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos. 5!1! (5 - 1) (0.9) ˆ1 (0.1) ˆ4 = 0.00045

c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén defectuosos5!2! (5 - 2)! (0.9) ˆ2 (0.1) ˆ3 = 0.0081 + 0.00045 = 0.00855

d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tenga defectos0.000010.000450.00046

3. Se lanza al aire una moneda diez veces. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces “cara”?

10! 3! (10 - 3)! (0.5) ˆ3 (0.5) ˆ7 = 0.1171875

b) Determine la media del número de caras obtenidasU = (10) (0.5) = 5

c) Determine la varianza del número de caras obtenidas

= 5 (1 - 0.5) = 2.5

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d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas

= 1.581138834. En un cargamentos grande de llantas de automóvil. 5% tiene cierta imperfección. Se eligen

aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?

4!0 (4 - 0) (0.95) ˆ0 (0.05) ˆ4 = 0.00000625

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección? 4!1 (4 - 1) (0.95) ˆ1 (0.05) ˆ3 = 0.000475

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga imperfección? 4! 2 (4 - 2) (0.95) ˆ2 (0.05) ˆ2 = 0.0135375 + 0.000475 = 0.0140125

5. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito. Cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?

8! 1 (8 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ7 = 0.03125

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1? 3! 1 (3 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ2 = 0.375

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1? 6!1 (6 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ5 = 0.09375

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1? 2!1(2 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ1 = 0.5

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La distribución de Poisson

La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una

manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial

cuando n es grande y p es pequeña. Si una variable aleatoria discreta X definida en

un espacio de probabilidad <m> (Omega, Lambda, P (.)) es el numero de éxitos en

n repeticiones de un experimento de Bernoulli.

Donde lambda es igual a n * P (tamaño de muestra multiplicado por la probabilidad

de éxito) n = Tamaño

de muestra

x = Cantidad de éxitos

P = Probabilidad de éxito

e = base de logaritmos = 2.718281828

1. Sea X ~ Poisson (4). Determine

a) P (x = 1)

e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555

b) P (x = 0)

e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638

c) P (x = <2)

e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638

e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 = 0.091578193

d) P (x > 1)

P (x = 2)

e – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111

P (x = 3)

e – 4 (4^3, 3!) = 0.195366814 = 0.3418919225

e) U MEDIA: 4

f) VARIANZA: 4

2. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por

completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 Ml. Sea X el

número de partículas que son retiradas. Determine

a) P (x = 5)

e – 2 (2^5, 5!) = 0.036089408

b) P (x = < 2)

e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566

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e – 2 (2^1, 1!) = 0.270670566 = 0.541341132

c) P (x > 1)

e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566

3. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto

proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el

número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen

este defecto. Determine

a) P (X = 3)

e – 3 (3^3, 3!) = 0.224041807

b) P (X < 2)

e – 3 (3^2, 2!) = 0.224041807

e – 3 (3^1, 1!) = 0.149361205 = 0.373403075

c) P (1 < X <4)

e – 3(3^3, 3!) = 0.224041807

d) U MEDIA: 3

e) VARIANZA: 3 4. Si Poisson (3), calcule

a) P (X = 2)e – 3 (3^2, 2!) = 0.2240

b) P (X = 10)e – 3 (3^10, 10!) = 0. 00081

c) P (X = 0)e – 3 (3^0, 0!) = 0. 0498

5. Si X ~ Poisson (4). Calcule a) P (X < 2)

E – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111b) P (X > 1)

E – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555

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La distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de

Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de

variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos

reales. La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una

variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor

positivo. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia

estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es

aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se

extrae la muestra no es normal.

Ejercicios:

1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

2. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

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3. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

4. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P (4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0 .5934

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5. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N (µ, σ), hallar:

P (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

Es decir, que aproximadamente el 9 9 . 7 4 % de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

 

 

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La Distribución Gamma

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables

aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una

mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su

expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que

depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α),

responsable de la convergencia de la distribución

el valor de la función Gamma se obtiene a partir de:

Ejercicios:

1.  En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora,

puede considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros   = 3

y   = 0.5.La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea:

a. Insuficiente en un día cualquiera?.b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?c. Encuentre E(x) y V(x).

Solución:

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2. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.

b. A más de dos desviaciones por encima de la media.

Solución:

3. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

4. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

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1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

5. suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos siclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a) dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio

b) A más de dos desviaciones por encima de la media

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La distribución T de Student

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. En estos casos calculamos el estadístico T:

Ejercicios:

1. S e   s e l e c c i o n o   u n a   m u e s t r a   a l e a t o r i a   d e   2 5   c u e n t a s  p o r   c o b r a r   d e   u n registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio una media de x = 2.435colones y una desviación típica de S = 335 colones. Obténgase un intervalo de confianza del 90% para estimar la media de las 96 cuentas del registro.

2. El auditor de una empresa al examinar los  registros de facturación mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no p a g a d a s   e n c o n t r ó   q u e   l a   m e d i a   a r i t m é t i c a   f u e   d e   x   =  $ 9 5 0 0   c o n u n a desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional.

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3. U n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e l p r o c e s o d e   p r o d u c c i ó n d e 1 7   b o m b i l l o s , d i o u n a media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso

4. U n a e m p r e s a c o n s t r u c t o r a d e s e a c o n o c e r e l p r o m e d i o d e   a r r e n d a m i e n t o mensual de casas en cierta ciudad (casas tipo clase media). Una muestraa l e a t o r i a   d e   2 6   a r r e n d a m i e n t o s   d i o   u n   p r o m e d i o  d e   x   =   $ 2 8 0   y   u n a desviación típica de s = $55. Estime el promedio verdadero con un intervalo de confianza del 0.99

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5. E l   p r o p i e t a r i o   d e   u n a   p a p e l e r í a   d e s e a   e s t i m a r   l a   m e d i a d e l   v a l o r   a l menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su inventario. U n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 0 t a r j e t a s d e f e l i c i t a c i ó n i n d i c a u n a m e d i a d e v a l o r   d e   $ 1 . 6 7   y   u n a   d e s v i a c i ó n   e s t á n d a r   d e   $ 0 . 3 2 .  S u p o n i e n d o   u n a distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza del9 5 % p a r a l a m e d i a d e l v a l o r d e t o d a s l a s t a r j e t a s d e f e l i c i t a c i ó n e n e l inventario de la tienda

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Bibliografía:

Autor: William Navidi Libro: estadística para ingenieros Y científicos Titulo: Distribución Bernoulli

Distribución binomial Distribución Poisson Distribución normal Distribución gamma Distribución T de student

Editorial: Mc Graw Hill

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Saludos

¡Gracias por tu atención!

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