CAPÍTULO 5 EJEMPLOS NUMÉRICOS

Evaluación de Cotas Estrictas en Estado Límite Capítulo 5. Ejemplos Numéricos

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CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 EEJJEEMMPPLLOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS A lo largo del presente capítulo se demostrará a partir de ejemplos numéricos

prácticos la funcionalidad y eficiencia del método explicado a lo largo del capítulo 4. Para simplificar todo el proceso de cálculo y para poder comparar con ejemplos prácticos ya calculados, se ha decidido obviar en todos los cálculos las fuerzas de volumen provocadas por el peso del material. En cuanto a los parámetros del modelo empleados c,Φ ,α yβ , se detallará y justificará en cada ejemplo en particular, que valores se han supuesto. La estructura del capítulo se diferencia en tres fases claramente diferenciadas:

1- Recuperación del modelo de Von Mises en deformación plana de [1] a partir

del modelo de Drucker-Prager implementado en el capítulo 4.

2- Evolución del modelo de Von Mises en deformación plana hacia el modelo de Drucker-Prager implementado en esta tesina, evolucionando para diferentes ángulos de rozamiento.

3- Validación del modelo de Drucker-Prager implementado en el capítulo 4, para hormigones, mediante el ensayo brasileño.

5.1 EJEMPLO 1. PLACA A TRACCIÓN CON Ф=0º. En este ejemplo se estudiará una placa cuadrada sometida a una carga uniforme de

tracción en deformación plana. La placa objeto de estudio tiene dos huecos rectangulares colocados de forma simétrica como se puede ver en la figura 5-1.

Se ha elegido este ejemplo para comprobar que nuestro modelo implantado

recupera el modelo de colapso de Von Mises para determinados valores de sus parámetros a modo de validación. Para este ejemplo tenemos resultados en [1]

Figura 5-1: Geometría y sistema de cargas de la placa sometida a tracción.


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calculados con la misma técnica desarrollada en este trabajo. Por tanto tenemos ya unos resultados obtenidos para el modelo de Von Mises totalmente fiables para ser

comparados. Como se ha comentado anteriormente, si suponemos c=2

yσ y Φ =0º

recuperamos teóricamente, el modelo de Von Mises a partir de Drucker-Prager como un caso particular del mismo, siendo yσ la resistencia última característica a tracción o compresión del material.

En [1] se emplearon valores de 3=yσ , por lo que en nuestro caso para

recuperar su modelo se han empleado los valores c=23 y Φ =0º.

Imponiendo estos valores obtenemos los valores expuestos en la tabla 5.1.

Además también podemos ver en las figuras 5-2 y 5-3 como evolucionan tanto las cotas como el error en el cálculo. En las figuras 5-4 a 5-6 se pueden ver diferentes mallas refinadas para observar como va trabajando la adaptatividad en aquellas zonas críticas donde se concentra el error de cálculo.

Resultados

Refinamiento Numero de elementos

Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ

Diferencia entre cotas

Error Relativo

Máximo (%) Malla inicial 108 1.2913 1.4151 0.12379 4.574

1 251 1.3128 1.3837 0.070877 2.6285 2 645 1.3208 1.3632 0.042463 1.5821 3 1362 1.3216 1.3493 0.027625 1.0343 4 2484 1.3218 1.3402 0.018471 0.69387

Si comparamos los valores obtenidos en la tabla 5-1 con los obtenidos en [1],

comprobamos que son idénticos. Por tanto nuestro modelo recupera como preveíamos, los resultados del modelo de Von Mises. Como datos complementarios de interés, cabe comentar que en este caso la cota superior converge más rápido que la cota inferior, haciéndolo de forma lineal y pseudo-lineal respectivamente. Además se ve como la adaptatividad trabaja de forma muy eficiente en aquellas zonas donde existe más error, consiguiendo un error menor al 1% en tan sólo 4 refinamientos. A continuación veremos como evoluciona este ejemplo al introducir pequeños ángulos de rozamiento manteniendo su cohesión. En este caso no se ha realizado la distinción de los dos casos posibles de valores para los parámetros α y β del modelo de Drucker-Prager, ya que en este caso coinciden.

Tabla 5-1: Resultados para el problema de la placa sometida a tracción recuperando el modelo de Von Mises.


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Figura 5-2: Evolución de cotas para el problema de la placa sometida a tracción recuperando el modelo de Von Mises.

Figura 5-3: Convergencia para el problema de la placa sometida a tracción recuperando el modelo de Von Mises.


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Figura 5-4: Malla inicial deformada para el problema de la placa sometida a tracción recuperando el modelo de Von Mises.

Figura 5-5: Malla deformada después de 2 refinamientos para el problema de la placa sometida a tracción recuperando el modelo de Von Mises.


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5.2 EJEMPLO 2. PLACA A TRACCIÓN CON Ф=2º. Ahora se calculará el mismo problema, introduciendo un pequeño ángulo de

rozamiento de 2 grados, manteniendo su cohesión para ver la evolución entre el modelo de Von Mises hacia Drucker-Prager. Al tratarse de una placa sometida a tracción, es de esperar que al introducir un pequeño ángulo de rozamiento, la carga última descienda al reducir en cierto grado la resistencia del material a tracción. Además deberíamos obtener resultados mayores de la carga de colapso haciendo pasar el modelo de Drucker-Prager por el meridiano compresivo que haciéndolo pasar por el traccional, ya que éste lo envuelve y permite una mayor resistencia. Los resultados obtenidos para este caso se pueden observar en la tabla 5-2. De la misma manera que antes, también se exponen los gráficos de convergencia en las figuras 5-7 y 5-8 y la malla deformada después del 4º refinamiento en la figura 5-9.

Resultados pasando por el meridiano compresivo 0=θ . Modelo Circunscrito.


Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 316 1.2873 1.353 0.065713 2.4888 2 689 1.2935 1.3335 0.040037 1.5241 3 1423 1.2941 1.3202 0.026119 0.9991 4 2694 1.2942 1.3115 0.017273 0.66289

Figura 5-6: Malla deformada después de 4 refinamientos para el problema de la placa sometida a tracción recuperando el modelo de Von Mises.


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Resultados pasando por el meridiano traccional 60=θ . Modelo Semi-Inscrito.


Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 316 1.2586 1.3229 0.064321 2.4917 2 689 1.2646 1.3038 0.039172 1.5251 3 1385 1.2652 1.2908 0.025572 1.0004 4 2586 1.2653 1.2823 0.01697 0.66609

Figura 5-7: Evolución de cotas para el problema de la placa sometida a tracción con Ф=2º; a) Meridiano Compresivo; b) Meridiano Traccional.

Figura 5-8: Convergencia para el problema de la placa sometida a tracción con Ф=2º.

Tabla 5-2: Resultados para el problema de la placa sometida a tracción con Ф=2º.


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Como era de esperar el comportamiento del problema es prácticamente idéntico en

cuanto a deformación y convergencia ya que la naturaleza del material y su comportamiento cambia muy poco con la introducción de un ángulo de rozamiento tan pequeño. Aún así la carga límite baja sutilmente como era de esperar con respecto al caso sin ángulo de rozamiento en ambos casos. A continuación seguiremos evolucionando el ángulo de rozamiento y lo aumentaremos hasta Ф=5º, para comprobar como sigue la evolución del descenso en la carga de colapso.

5.3 EJEMPLO 3. PLACA A TRACCIÓN CON Ф=5º. Siguiendo con lo anterior, aumentamos el ángulo de rozamiento hasta los 5º y

mantenemos la cohesión inicial, obteniendo para este caso los resultados de la tabla 5-3. De la misma manera que antes, también se exponen los gráficos de convergencia en las figuras 5-10 y 5-11 y la malla deformada después del 4º refinamiento en la figura 5-12.



Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 292 1.2499 1.3089 0.059046 2.3076 2 703 1.2537 1.2907 0.037049 1.4561 3 1781 1.2541 1.2783 0.024136 0.95307 4 4235 1.2543 1.2698 0.015502 0.61418

Figura 5-9: Malla deformada después de 4 refinamientos para el problema de la placa sometida a tracción con Ф=2º.


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Resultados pasando por el meridiano compresivo 60=θ . Modelo Semi-Inscrito.


Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 301 1.184 1.2403 0.056277 2.3214 2 731 1.1877 1.223 0.035228 1.4613 3 1749 1.1882 1.2111 0.022958 0.95686 4 4068 1.1883 1.2031 0.01475 0.61679





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Una vez más el comportamiento del problema es el esperado. En este caso se

empieza a notar la introducción del ángulo de rozamiento. Vemos como la carga última vuelve a descender como era de esperar en ambos casos. En este caso se refina con mayor intensidad, ya que en el 4º refinamiento tenemos 4000 elementos a diferencia de los 2600 del caso anterior. Esto se debe a que el efecto del ángulo provoca que existan una mayor cantidad de puntos sometidos a tracción que dejan de resistir antes. Si miramos en la parte superior de la figura 5-12 vemos como los elementos de la parte sometida a tracción similar a la tracción pura se refinan con mayor intensidad. Algo similar ocurre con la otra zona de gran refinamiento. Ahora hay una mayor cantidad de puntos que plastifican con lo que también existen una mayor cantidad de puntos que aportan gran error de cálculo, refinando con mayor intensidad. Llegará un momento que el material dejará de doblarse, para extenderse simplemente por efecto de la tracción. Este cambio de comportamiento se produce en ángulos cercanos a los 10º. En el siguiente ejemplo ilustrado veremos como al aumentar el ángulo de rozamiento hasta los 10º, el comportamiento cambia radicalmente.

5.4 EJEMPLO 4. PLACA A TRACCIÓN CON Ф=10º. Como se acaba de comentar, ahora se aumentará el ángulo de rozamiento hasta los

10º manteniendo como siempre la cohesión inicial, obteniendo para este caso los resultados de la tabla 5-4. De la misma manera que antes, también se exponen los gráficos de convergencia en las figuras 5-13 y 5-14 y la malla deformada después del 4º refinamiento en la figura 5-15.



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Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 271 1.1799 1.2257 0.045792 1.9036 2 837 1.1825 1.221 0.038433 1.599 3 2937 1.1857 1.218 0.032333 1.3451



Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 234 1.0655 1.1127 0.047291 2.1711 2 690 1.0677 1.1081 0.040428 1.8581 3 2246 1.0703 1.1051 0.034847 1.6018





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Como se puede observar el cambio de comportamiento ya es evidente pasando a

ser un material con poca resistencia a la tracción que literalmente se despega en dos trozos. Un problema como este, sometido a tracción para ángulos de este tipo comienza a perder el sentido, aunque nos es muy interesante de cara a detectar como va cambiando el comportamiento del material a medida que va perdiendo resistencia a la tracción. Vemos como el refinamiento y la deformada cambian ahora considerablemente, pasando a romper a través de una línea casi vertical sin doblarse como en los casos anteriores. Vemos como en este caso se tienen más problemas de error, convergiendo más lentamente, de forma lineal pero con muy poca pendiente como se puede ver en la figura 5-14 para ambos casos.

Para ángulos tan grandes, este problema pierde el sentido práctico por tratarse de

un modelo preparado para materiales con resistencia a compresión. Por esto ahora se calculará el mismo problema para ángulos más grandes pero con carga de compresión. Este caso se adapta mucho mejor al tipo de material que se intenta modelar mediante la condición de rotura de Drucker-Prager y será el último paso de validación antes de abordar el ensayo brasileño.

A continuación se muestra en la figura 5-16, la geometría deformada para un valor

del ángulo de rozamiento intermedio, de Ф=8º, donde se aprecia muy bien un estado mixto a camino entre las deformadas para Ф=5º Y Ф=10º, detectándose muy bien la transición de un estado a otro. Finalmente se muestra en la figura 5-17 una gráfica de cómo evolucionan las cotas en función del ángulo de rozamiento interno. Todos los valores de la gráfica están obtenidos para el tercer refinamiento habiendo en todos ellos un error relativo muy cercano al 1% y la cohesión empleada en todos los casos de valor

c=23 .



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Evolución de la carga de colapso

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

0 2 4 6 8 10

Ángulo de Rozamiento

Carg

a de

col

apso

Cota Superior Meridiano Traccional Cota Inferior Meridiano Traccional

Cota Superior Meridiano Compresivo Cota Inferior Meridiano Compresivo

Valor Estimado Valor Estimado


Figura 5-17: Evolución de las cotas en función del ángulo de rozamiento para el caso de placa sometida

a tracción (c=23 ).


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5.5 EJEMPLO 5. PLACA A COMPRESIÓN CON Ф=20º. Ahora pasaremos a estudiar la misma placa cuadrada sometida a una carga

uniforme en deformación plana a compresión. La placa objeto de estudio tiene la misma geometría y malla inicial que en el caso anterior como se puede ver en la figura 5-18.

Para realizar un análisis a compresión se han empleado los valores c=23 y

Φ =20º, empleando un ángulo más elevado para ver el efecto en cuanto al aumento de resistencia a la compresión que provoca. Imponiendo estos valores obtenemos los valores expuestos en la tabla 5.5. Además también podemos ver en las figuras 5-19 y 5-20 como evolucionan tanto las cotas como el error en el cálculo. En las figuras 5-21 a 5-23 se pueden ver diferentes mallas refinadas.



Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 322 2.3272 2.6049 0.27768 5.63 2 884 2.3819 2.5535 0.17159 3.4767 3 2610 2.3958 2.5174 0.12159 2.4748



Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 301 1.5922 1.7605 0.16828 5.0193 2 861 1.6399 1.7285 0.088649 2.6318 3 2508 1.645 1.7058 0.060845 1.8458

Figura 5-18: Geometría y sistema de cargas de la placa sometida a compresión.

Tabla 5-5: Resultados para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=20º.


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Figura 5-19: Evolución de cotas para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=20º; a) Meridiano Compresivo; b) Meridiano Traccional.

Figura 5-20: Convergencia para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=20º.


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Figura 5-21: Malla deformada con la malla inicial para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=20º.

Figura 5-22: Malla deformada después de 2 refinamientos para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=20º.


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Nuevamente obtenemos una evolución lógica en el valor de la carga de colapso.

Vemos como aumenta la carga de colapso al introducir ángulo, al mejorar el comportamiento del material a compresión con respecto al modelo de Von Mises. Además ahora la deformada tiene una cierta simetría con respecto al caso a tracción de Von Mises ya que ahora el material tiene un comportamiento similar a compresión (añadiendo el efecto de la presión media) al que antes tenía a tracción. La convergencia sigue siendo lineal para la cota superior y casi lineal para la cota inferior como anteriormente.

A continuación aumentaremos en 5º el ángulo de rozamiento para comprobar

como aumenta la resistencia a compresión del material y por tanto su carga de colapso, manteniendo el valor usado siempre para la cohesión.

5.6 EJEMPLO 6. PLACA A COMPRESIÓN CON Ф=25º. En este caso se aumenta el ángulo de rozamiento del material hasta los 25º. A

partir de estos valores obtenemos los resultados para las cotas expuestos en la tabla 5.5. Se expone a continuación en la figura 5-24 como evolucionan las cotas. En la figura 5-25 se puede ver la malla refinada deformada en la tercera iteración.



Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 339 2.8795 3.4651 0.58563 9.2305 2 950 2.9877 3.3842 0.39651 6.2227 3 2690 3.033 3.3277 0.29467 4.6327



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Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 319 1.6909 1.884 0.1931 5.4016 2 880 1.731 1.8473 0.11632 3.2508 3 2584 1.7404 1.8216 0.081172 2.2788

De nuevo vemos como el valor de la carga de colapso ha aumentado al aumentar

el ángulo de rozamiento. Vemos que al aumentar el ángulo de rozamiento el cálculo de cotas tiene también un mayor error relativo.

Tabla 5-6: Resultados para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=25º.

Figura 5-24: Evolución de cotas para el problema de la placa sometida a compresión con Ф=25º; a) Meridiano Compresivo; b) Meridiano Traccional.



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Evolución de la carga de colapso

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

20 22 24 26 28 30

Ángulo de Rozamiento

Car

ga d

e co

laps

o

Cota Superior Meridiano Traccional Cota Inferior Meridiano Traccional

Cota Superior Meridiano Compresivo Cota Inferior Meridiano Compresivo

Valor Estimado Valor Estimado

Finalmente se muestra en la figura 5-26 una gráfica de cómo evolucionan las cotas en función del ángulo de rozamiento interno. Todos los valores de la gráfica están obtenidos para el tercer refinamiento con el valor siempre empleado de la cohesión de

c=23 .

Es muy importante comentar que en el caso de compresión el error que se comete

al aumentar el ángulo de rozamiento suponiendo que pasamos por el meridiano compresivo es grande y va aumentando a medida que aumenta el ángulo de rozamiento. Por el contrario el comportamiento del problema suponiendo que pasamos por el meridiano de tracción es mucho mejor, cometiendo errores muy pequeños y cercanos siempre al 2% o 3% en la tercera iteración.

Por lo visto hasta ahora, parece que ambas suposiciones se parecen mucho para

ángulos pequeños en cuanto a valores de carga de colapso y convergencia. A medida que vamos empleando ángulos de rozamiento grandes, la suposición de paso por el meridiano compresivo va funcionando peor. Según [25] ó [26] para ángulos de

Figura 5-26: Evolución de las cotas en función del ángulo de rozamiento para el caso de placa sometida

a compresión (c=23 ).


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BRPf u

t π=

rozamiento elevados, como sería el caso, el modelo de Drucker-Prager pasando por el meridiano compresivo puede dar resultados poco realistas.

5.7 ENSAYO BRASILEÑO. El ensayo brasileño es un método ampliamente utilizado para determinar la

resistencia a la tracción del hormigón a partir de probetas de sección circular. La probeta en cuestión se confina superior e inferiormente a compresión. Este confinamiento provoca que la probeta se abra lateralmente generándose en determinadas zonas, esfuerzos de tracción pura como se puede ver en la figura 5-27. Gracias a esto, puede relacionarse la carga última que soporta la probeta con la resistencia a tracción de la misma.

A partir de la carga última Pu de rotura de la probeta se puede determinar

fácilmente la resistencia característica a la tracción ft del hormigón como: (5.1)

siendo Pu la carga última de rotura, B el ancho de carga y R el diámetro de la probeta. A continuación se deducirán valores lógicos para la cohesión y el ángulo de rozamiento interno para el hormigón a partir de los datos utilizados en el modelo de daño elásto-plástico de Mazars (E, Y0 y υ ) empleado para el ensayo brasileño en [27]. Esta elección de parámetros la efectuaremos a partir de la comparación de dos estados tensionales sencillos a partir del modelo de Mohr-Coulomb en dos dimensiones. En la figura 5-28 se muestra la condición de rotura del modelo de Mazars representada en color rojo, en tensiones principales y como se pretende aproximar la misma mediante la condición de rotura cónica de Mohr-Coulomb en deformación plana. A partir del modelo de rotura de Mohr-Coulomb en deformación plana se impondrá que el cono de rotura pase por los puntos E1 y E2, donde E1 podrá desplazarse libremente por el eje hidrostático de tensiones principales. De esta forma podremos obtener valores razonables de los parámetros básicos del modelo de Drucker-Prager a partir de los parámetros del modelo de daño de Mazars empleados en [27]. De esta forma podremos realizar una comparación de resultados entre ambos.

Figura 5-27: Ensayo brasileño: a) Configuración de carga; b) Distribución de tensiones; c) Modo ideal de rotura a tracción pura.

tσ


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1σ

3σ

0EY

0EY

1σ 3σ ≡

E1 E2

0EY⋅γ

{ }22211

212

22211 )sin)(cos2(4)/( Φ+−Φ≤+−∈= σσσσσσ cXBMC

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2212

1211

0

0

3

1

20

02

00

00

σσσσ

γ

γ

σσ

σσ

EY

EY

2sin

22cos2 00 Φ⋅

=⇒Φ⋅

⋅=ΦtgEYcEYc γγ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2212

1211

03 000

000

000

σσσσ

σσ EY

Como se puede ver en la figura 5-28, lo que hacemos es hacer que el cono pase por el estado tensional E2, al mismo tiempo que E1 puede moverse libremente por eje hidrostático. De esta forma podremos dar diferentes ajustes de los parámetros para intentar obtener los valores óptimos que nos aproximen mejor el modelo de Mazars. El estado tensional E1 sería:

(5.2) Si introducimos los valores de 11σ , 22σ en la expresión conocida de la condición

de rotura de Mohr-Coulomb (5.3) en deformación plana obtenemos: (5.3)

(5.4) Ahora, el estado tensional E2 se escribiría:

(5.5)

Figura 5-28: Ajuste de la condición de rotura del modelo de Mazars mediante el cono de rotura de Mohr-Coulomb.


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Φ+Φ

=⇒+Φ⋅=Φcos2

)1(sinsin2cos2 000

EYcEYEYc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=Φ

222arcsin

γ

20 Φ⋅

=tgEYc γ

Si introducimos los valores de 11σ , 22σ en la expresión conocida de la condición de rotura de Mohr-Coulomb (5.3) en deformación plana obtenemos:

(5.6) Igualando las expresiones para la cohesión (5.4) y (5.6) podemos obtener una

expresión para el valor del ángulo de rozamiento y para la cohesión:

(5.7)

(5.8)

A partir de las expresiones (5.7) y (5.8) vemos como podemos obtener valores diferentes para los parámetros del modelo de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager a medida que vamos moviendo el vértice del cono a través del eje hidrostático. Es evidente que a medida que vayamos alejando el vértice del cono iremos cometiendo un mayor error en la aproximación del modelo de Mazars. Así debemos encontrar un valor de alejamientoγ óptimo que nos aproxime bien el modelo de Mazars a partir del cono de Mohr-Coulomb o Drucker-Prager.

De cara a realizar el cálculo del ensayo brasileño, se ha tomado como referencia el

cálculo realizado en [27], tomando los siguientes valores de referencia:

Parámetro Símbolo Valor Radio de la probeta R 40 mm

Ancho de carga B 10 mm Modulo de Young E 37700 MPa Parámetro de daño Y0 0.0001 A partir de estos valores se obtiene en [27], un valor de referencia para la carga de

colapso de unos 345 N/mm. Este valor de la carga de colapso viene dado por unidad de longitud de la probeta cilíndrica.

A partir de los parámetros E, Y0 empleados en [27] y a partir de las expresiones

(5.7) y (5.8) los valores ajustados de los parámetros del modelo de Mohr-Coulomb c y Φ se muestran en las figuras 5-29 y 5-30. Si miramos estas figuras, vemos como para ajustar la cohesión, existe una asíntota hacia infinito, para un factor de alejamiento de 1,4ExY0. Esto quiere decir, que si aproximamos la condición de rotura de Mazars mediante un cono, el vértice del cono no puede acercarse más allá de 1,4ExY0 al origen de coordenadas. Si nos acercamos más de este valor, el ángulo de rozamiento comienza a tener valores mayores de 90º perdiendo todo el sentido físico. Para ajustar correctamente los modelos parece lógico que cojamos valores para la cohesión alejados de la asíntota, donde exista una menor variabilidad del parámetro, en una zona más

Tabla 5-7: Parámetros empleados para el cálculo del ensayo brasileño.


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AJUSTE DE LA COHESIÓN

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Distancia al Vértice de Mazars (xEYo)

Coh

esió

n

AJUSTE DE PHI

010

2030

4050

6070

80

1 2 3 4 5 6

Distancia al Vértice de Mazars (xEYo)

Phi

estabilizada. Además de esto deberemos procurar alejarnos lo menos posible del vértice de Mazars para intentar cometer el menor error posible en la aproximación. Así parece que la zona ideal de alejamiento para ajustar el modelo de Mazars, a la vista de la figura 5-29, se trata de un alejamiento al origen de [1,75ExY0 , 1,85ExY0]. De esta forma nos quedamos lo más cerca posible del origen de coordenadas y a la vez estamos en una zona estabilizada para la cohesión, lejos de la asíntota vertical.

Como se puede apreciar en la figura 5-30 el rango de valores para el ángulo de

rozamiento está entre los 30º y 50º. Para este problema en concreto y para este rango de valores tan elevados del ángulo de rozamiento sólo hemos obtenido resultados

Figura 5-29: Ajuste de la cohesión empleada en el modelo de Drucker-Prager y Mohr-Coulomb a partir de los parámetros del modelo de daño de Mazars. En trazado azul se marca la zona más adecuada para

ajustar los valores del modelo.

Figura 5-30: Ajuste del ángulo de rozamiento interno empleado en el modelo de Drucker-Prager y Mohr-Coulomb a partir de los parámetros del modelo de daño de Mazars. En trazado azul se marca la

zona más adecuada para ajustar los valores del modelo.


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razonables para la suposición de meridiano traccional. Si suponemos que el modelo de Drucker-Prager pasa por el meridiano compresivo obtenemos valores poco realistas y en ocasiones absurdos. Así para este problema en concreto obtenemos valores muy buenos únicamente si suponemos que el modelo de Drucker-Prager pasa por el meridiano traccional. Así, las expresiones empleadas para calcular los parámetros del modelo en todos los ejemplos que veremos a continuación para el ensayo brasileño son las ya conocidas para el meridiano traccional:

( )Φ+⋅Φ

=sin33

sin2α y ( )Φ+⋅

Φ=

sin33cos6cβ (5.9)

A continuación se presentarán los resultados obtenidos para la carga de colapso en

función de tres valores diferentes para el factor de alejamiento dentro de la zona óptima antes mencionada. En la tabla 5-8 se muestran los tres valores de ajuste empleados para el factor de alejamiento y los parámetros que se derivan a partir de ellos usados en el cálculo del ensayo brasileño mediante el modelo de rotura de Drucker-Prager.

Alejamientoγ (xEY0) Parámetros de ajuste para Mohr-Coulomb

Parámetros de ajuste para Drucker-Prager

c 4.3 α 0.2129 1.75

Φ 42.69 β 2.9768 c 4.07 α 0.2049

1.8 Φ 40.32 β 2.9475 c 3.88 α 0.1974

1.85 Φ 38.22 β 2.918

5.7.1 EJEMPLO 7. ENSAYO BRASILEÑO CON FACTOR DE ALEJAMIENTO 1.75. Si empleamos los valores de ajuste de la tabla 5-8 para un factor de alejamiento de

1.75 obtenemos los resultados de la tabla 5-9. Además se exponen en la figura 5-32 los resultados de convergencia y error. En las figuras 5-31, 5-33 y 5-34 se muestran la malla inicial, la deformada sobre la malla inicial y la deformada sobre el último estado de refinamiento.

Resultados


Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 241 340.92 410.96 70.039 9.3152 2 599 358.93 396.13 37.199 4.9266 3 1595 368.4 387.94 19.54 2.5835 4 4415 372.92 383.38 10.466 1.3839

Tabla 5-8: Parámetros empleados para el cálculo del ensayo brasileño mediante el modelo de rotura de Drucker-Prager.

Tabla 5-9: Resultados obtenidos para el ensayo brasileño para un factor de alejamiento de 1.75EY0 empleando el modelo de rotura de Drucker-Prager.


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Figura 5-31: Malla inicial empleada en el cálculo del ensayo brasileño.

Figura 5-32: a) Evolución de cotas para el ensayo brasileño con 1.75 de factor de alejamiento. b) Convergencia para el ensayo brasileño con 1.75 de factor de alejamiento.

Figura 5-33: Malla deformada después del primer refinamiento para el ensayo brasileño con 1.75 de factor de alejamiento.


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Como se puede apreciar en la figura 5-32 la evolución de las cotas es muy buena,

convergiendo de forma lineal e idéntica tanto para la cota inferior como para la superior. En el 4º refinamiento conseguimos errores de tan solo el 1%. Además vemos como el refinamiento actúa correctamente, en la zona vertical crítica donde está aplicada la carga vertical, por donde rompe la probeta a tracción pura.

Para un factor de alejamiento de 1.75 la carga de colapso estaría, como vemos en

la figura 5-32, sobre los 378 N/mm, muy cercano a los 345 N/mm obtenidos en [27] para el modelo de Mazars. Por tanto estamos realizando una aproximación bastante correcta con este factor de alejamiento. A continuación probaremos con un factor de alejamiento algo mayor para observar como evoluciona la aproximación de la carga de colapso al aumentar dicho factor.


1.8 obtenemos los resultados de la tabla 5-10. Además se exponen en la figura 5-35 los resultados de convergencia y error. Las mallas deformadas no se exponen al ser prácticamente idénticas al caso anterior.

Resultados


Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 241 319.12 379.66 60.534 8.6628 2 609 335.28 367.37 32.09 4.5669 3 1648 343.76 360.47 16.71 2.3728 4 4532 347.59 356.57 8.9727 1.2742

Figura 5-34: Malla deformada después del cuarto refinamiento para el ensayo brasileño con 1.75 de factor de alejamiento.



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Al igual que en el caso anterior, se puede apreciar en la figura 5-35 que la

evolución de las cotas continúa siendo muy buena, convergiendo de forma lineal e idéntica tanto para la cota inferior como para la superior. En el 4º refinamiento seguimos obteniendo al igual que antes errores de tan solo el 1%. Ahora la carga de colapso estaría, sobre los 352 N/mm, más cercano aún que el caso anterior a los 345 N/mm obtenidos en [27] para el modelo de Mazars. Para finalizar probaremos con un factor de alejamiento de 1.85.


1.85 obtenemos los resultados de la tabla 5-11. Además se exponen en la figura 5-36 los resultados de convergencia y error.

Resultados


Cota inferior LB

h*λ

Cota superior UB

h*λ


Error Relativo


1 253 301.16 354.98 53.821 8.2027 2 627 315.97 344.53 28.564 4.3247 3 1720 323.73 338.51 14.78 2.2319 4 4728 327.12 335.04 7.9284 1.1974

Ahora la carga de colapso estaría, sobre los 331 N/mm, alejándose por defecto a

los 345 N/mm obtenidos en [27] para el modelo de Mazars pero quedando también muy cerca. Por tanto podemos concluir que para factores de alejamiento al origen entre 1.75 y 1.85 podemos aproximar bastante bien la condición de rotura de Mazars, obteniendo resultados muy aproximados. Está claro que no tiene sentido buscar la igualdad de




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resultados ya que estamos intentando desde el principio aproximar modelos de naturalezas completamente diferentes. Aún así, estas aproximaciones nos son de gran utilidad de cara a validar la implementación del modelo de Drucker-Prager.


CAPÍTULO 5 EJEMPLOS NUMÉRICOS

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