INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se explica el origen uso y metodología para la distribución t de Student intentando procesar los datos de manera ordenada y estructurando de forma sistemática con el fin que sea entendible con el fin de facilitar la inducción al tema.

Para realizar esta actividad fue necesaria una investigación detallada con varias bibliografías y sitios electrónicos con el fin de extraer la información más relevante en cada documento.

se conoce el origen del nombre de esta distribución “Student” dada la limitación de Gosset por el área laboral donde se localizaba.

Como se puede apreciar en este tema se designa la utilidad que se cuenta con esta distribución que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño dado que el conocer la varianza de una población es una tarea muy difícil de realizar, así mismo que aumentando el grado de libertad de la muestra la distribución tiende a una distribucional normal, así mismo se describen fórmulas que permiten demostrar estos aspectos, se hace una presentación de la tabla y se explica el método utilizado para localizar los datos con algunos ejemplos. Finalmente se describen algunos ejemplos como medio para estimar el grado de conocimiento del trabajo.

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset quien trabajaba en una fábrica de cerveza de la marca “Guiness” que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales razón por la cual Gosset publico el artículo bajo el seudónimo Student.

Esta distribución se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una Gi cuadrado independientes. De modo preciso, llamamos Distribucion t-Student con n grados de libertad, a la de una v.a. tn.

Dos funciones de densidad con diferentes grados de libertad n=5 y n=50, con media=0.

Media

Varianza

Distribución t-Student

IMPORTANCIA DE ESTA DISTRIBUCIÓN

Si Ẋ y S son la media y la desviación típica de una muestra de tamaño N extraída de una población normal (m, σ2), el estadístico

Analogía entre

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT.

1. Es una distribución continua. 2. La distribución t tienen una media de cero, es simétrica respecto de la media y

se extiende de -∞ a +∞, la varianza de t para n >2 cuando los grados de libertad son suficientemente grandes. La varianza de la distribución t tiende a 1.

3. Tienen forma acampanada y simétrica. 4. No existe una distribución t, sino una FAMILIA de distribuciones t. todas con la

misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo al tamaño de la muestra n. Existe una distribución t para una muestra de 20 otra para una muestra de 22 y así sucesivamente.

5. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que l distribución normal estándar como resultado de ello se tienen una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas, sin embargo a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución T se aproxima a la distribución normal estándar.

FORMULA

Donde el parámetro n se denomina grados de libertad de la distribución.

Grados de libertad; número de valores que podemos elegir libremente. Como regla general sabemos que ante el valor de n, se debe restar una unidad (n-1) el valor dado para buscarlo en la tabla.

TABLA T DE STUDENT

Dada la fórmula se pueden localizar los datos correspondientes pero debido a que existen gran cantidad de datos se crearon tablas que permiten localizar la variable y el resultado de forma sencilla.

COMO BUSCAR VALORES EN LA TABLA

Para los valores de T iguales o mayores que cero se puede encontrar el valor

directamente en la tabla debido a que el ser positivos les correponde el valor del área

de cola critica mostrado en la tabla.

Para los valores menores que cero se deben hacer un paso extra ya que las tablas no

muestran áreas negativas razón por la cual se hace uso de dos principios de la tabla:

1. La suma de probabilidades acumuladas menores y mayores que x es 1.

2. La distribución T de Student es simétrica.

EJERCICIOS

Si n=7, calcular P(t>1.3.14)

P(t>1.3.14)=0.15

Si n=7, calcular P(t<1.1314)

(1-0,15))0.85

Si n=21, calcular P(t<-0.687 ó t>1.725)

P(t<-0.687 ó t>1.725)=0.30

EJEMPLO DE CALIBRACIÓN

Se desea saber si un instrumento de medición cualquiera esta calibrado, desde el

punto de vista de la exactitud. Para ello se consigue un valor patrón y se le mide 10

veces (por ejemplo: una pesa patrón para una balanza, un suero control para un

método clínico, etc) suponiendo que en el resultado de estas mediciones arroja una

media de 52.9 y una desviación de 3, usando un patrón de valor 50, se debe

determinar si el instrumento esta calibrado y la estimación de su error sistemático, si

es que se prueba su existencia (no se usan unidades para generalizar este ejemplo).

Solución Datos y nomenclatura

H0:µ=50 el instrumento esta calibrado en exactitud. H1:µ≠50 no está calibrado hay un error sistemático.

Se trata de un ensayo de dos colas donde hay k=10-1=9 grados de libertad. De la tabla t-Student se obtienen los valores críticos para el 95% de t0,05,9 =2,262, para el 99% el t0,01,9=3,25 y para un nivel del 99% es t0,001,9=4,718. Lo que permite establecer las zonas de aceptación y rechazo:

Mirando las zonas con los valores críticos, el valor de t cae en la de rechazo para el 95% y no alcanza para las otras. La conclusión es que se ha probado la existencia de un error sistemático con una confianza del 95%

Puede apreciarse como la distribución se aproxima a la distribución de Gauus ara medias mayores a 30.

CONCLUSIONES

En conclusión podemos apreciar la importancia que tienen la distribución t de Student dentro de la estadística inferencia ya que se puede describir como un medio auxiliar de la distribución normal dadas sus características.

El uso del TLC y la Distribución normal Es ciertamente Útil en Aplicaciones que Giran alrededor De las inferencias sobre la media de la población o la diferencia entre dos medias de población.

Sin embargo se supuso que la desviación estándar de la población se conoce.

Esta suposición puede ser racional en situaciones donde el ingeniero está bastante familiarizado con el sistema o proceso. Sin embargo, en muchos escenarios experimentales el conocimiento de σ no es más razonable que el conocimiento de la

media de la población. Frecuentemente, de hecho, una estimación de σ la debe proporcionar la misma

información muestral que produce la media muestral. Como consecuencia, una estadística natural a considerar para tratar con las inferencias

BIBLIOGRAFÍA http://www.youtube.com/watch?v=nhxMLs5fwHU http://www.youtube.com/watch?v=cnrpYAsM9kI http://fisica.udea.edu.co/~lab-gicm/Laboratorio%20Fisica%201_2011/2010_teoria%20de%20errores/Distribucion%20de%20t%20Student.pdf http://www.mat.ucm.es/~luispozo/pdfs/est2-tablas-imp.pdf http://www.uv.es/disepsic/tablas/distri_t.pdf http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/tstudent.pdf http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2011/2do/clase8.pdf