DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variables AleatoriasUna variable aleatoria es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por las ltimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es una funcin cuyo dominio es la coleccin de eventos del espacio muestral S y cuyo rango Rx, es un subconjunto de los nmeros reales.

EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASSi el rango X es el conjunto de los nmeros enteros Z o un subconjunto de Z, la variable aleatoria de denomina discreta

ExperimentoVariable aleatoriaValores posibles V.Alanzamiento de un dado dos vecesL a suma de puntos 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12lanzamiento de una moneda dos vecesEl nmero de caras0,1,2Inspeccionar un embarque de 20 chipsCantidad de chips defectuosos0,1,2,.,20Funcionamiento de un restaurante durante un da Cantidad de clientes0,1,2,3.

Ejemplos variable aleatoria continuaSi el rango X es el conjunto de los nmeros reales R o un subconjunto de R, la variable aleatoria se denomina continua

ExperimentoVariable aleatoriaValores posibles V.AFuncionamiento de la caja de la universidadTiempo en minutos, destinado por cada usuarioX>=0Envasado de una botella de bebida gaseosaCantidad de onzas0

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETASFuncin de probabilidadUna vez definida una variable aleatoria X, podemosdefinir una funcin de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:La funcin de probabilidad debe cumplir:

Funcin de probabilidad discreta

Valores Probabilidad 01/4 = 0,2512/4 = 0,5021/4 = 0,25EJEMPLO. Sea X: Nmero de caras al lanzar una moneda dos vecessssccsc

Sea el experimento lanzar dos dados. Definamos el espacio muestral S como:S = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como: La suma de puntos.Una posible funcin de probabilidad es:

Funcin de distribucinDada una variable aleatoria discreta X se llama funcin de distribucin a la funcin F definida como:En nuestro ejemplo de los dos dados:

F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

Ejemplo: Dibuje la funcin de probabilidad f(x) y la funcin de distribucin F(x) de una variable discreta definida como:X = Nmero mostrado al lanzar un dado.X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

Algunos problemas de probabilidad estn relacionados con la probabilidad P(a

Esperanza matemtica, valor esperado o media de una distribucin discretaX-10123P(X)0,10,20,40,20,1-0,10.00,40,40,31,0 X P(X)

Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

Varianza y desviacin estndar o tpica de una distribucin discretaVarianzaDesviacin estndar o tpicaAmbas miden la dispersin de los datos. Observe que la desviacin tpica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.

Existen slo dos resultados posibles para cada ensayo xito o fracaso La probabilidad de un xito es la misma para cada ensayo Existen n ensayos donde n es una constante Los n ensayos son independientes.Los ensayos que satisfacen estos supuestos se llaman ensayos de Bernoulli.

DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria Binomial est dada por:

para x=0,1,2....nDonde:p: Probabilidad de xito para cada ensayoq = 1-p : Probabilidad de fracason: nmero de pruebasX: Nmero de xitos en n pruebasLa media y varianza la definimos por:

EjemploSe dice que el 75% de los accidentes en una planta se atribuyen a errores humanos, determine la probabilidad de que se atribuyan a errores humanos dos de los cuatro prximos accidentes:

n = 4x = 2p = 0,75q = 0,25f (2) = ?

Ejemplo.Suponga que un vendedor a domicilio de un determinado producto Llevar a cabo 10 entrevistas en forma independiente.por experiencias anteriores cree que puede efectuar 1 venta por cada 5 entrevistas. Cul es la probabilidad de que haga dos o ms ventas?p =1/5q = 4/5n=10= ?

EjemploUn estudiante responde al azar 10 preguntas, cada pregunta contiene5 respuestas de las cuales 1 slo es la respuesta correcta.Calcule La probabilidad de que el estudiante conteste correctamente:Menos de 3 preguntasMs de 4 preguntasDe 2 a 4 preguntasn =10p =1/5q=4/5

Ejemplo.Un examen consiste de 20 preguntas donde c/u tiene cuatro respuestas de las cuales slo una es correcta. Un estudiante que no ha estudiado el curso contesta el examen al azar.a)Cul es el nmero esperado de respuestas correctas?b)Cul es la probabilidad de que acierte al menos una respuesta?c)Cul es la probabilidad de que todas sean incorrectas?d)Cul es la probabilidad de que acierte por lo menos 5?

n=20p=1/4q=3/4E(x)==np

DISTRIBUCIN MULTINOMIALLa distribucin binomial es un caso particular de la distribucin multinomial. Muchos experimentos producen observaciones de una variable cualitativa con ms de dos posibles resultados

EjemploSupongamos que cierto microscopio T se fabrica en una de cinco lneas de produccin distintas, A, B, C, D o E. A fin de comparar las proporciones de microscopios defectuosos que se pueden atribuir a las cinco lneas de produccin, todos los microscopios defectuosos detectados por los ingenieros de control de calidad se clasifican diariamente segn la lnea en la que se produjeron.

Cada microscopio es una unidad experimental y la observacin es una letra que identifica la lnea de produccin en la que se produjo. Evidentemente la lnea de produccin es una variable cualitativa. EL experimento que acabamos de mencionar se denomina experimento multinomial

Caractersticas: El experimento consiste en n pruebas idnticas Existen k resultados posibles de cada prueba Las probabilidades de los k resultados son denotados por p1, p2...pk se mantienen constantes a lo largo de todos las pruebas donde p1+p2+...+pk=1 Las pruebas son independientes Las variables aleatorias de inters son x1,x2,.....xk en cada una de las k categoras de clasificacin.La distribucin de probabilidad multinomial est dada por:

Donde: nmero de pruebas nmero de ocurrencias del resultado k en n pruebas

La media y la varianza de la variable aleatoria multinomial xk son respectivamente:

DISTRIBUCIN HIPERGEOMETRICA

Cuando se extrae una muestra de una poblacin finita, constituida por xitos y fracasos, tal es el caso de observaciones referentes a un lote de piezas defectuosas o sin defectos, los supuestos de un experimento Binomial se satisfacen siempre que el elemento extrado para ser observado, se reincorpore a la poblacin antes de hacerse la segunda observacin. Este mtodo de muestreo se denomina muestreo con reemplazo. Sin embargo en la prctica usualmente utilizamos el muestreo sin reemplazo, esto es seleccionar aleatoriamente n elementos diferentes de N elementos de la poblacin.

Consideremos una poblacin de N unidades, de los cuales a poseen ciertas caractersticas y N-a no la poseen. Si se hacen n extracciones al azar, sin reemplazo entre la poblacin, cada extraccin es subsecuente es dependiente y la probabilidad de xito cambia en cada extraccin. En estas condiciones si deseamos obtener x unidades del tipo a( xitos) en la muestra al azar de tamao n, el nmero de xitos en este caso se llama variable hipergeomtrica .

Media y varianza

EjemploUna urna contiene 12 fichas de las cuales tres estn premiadas. Si una persona selecciona aleatoriamente 5 fichas al azar Cul es la probabilidad de que 3 de las fichas seleccionadas estn premiadas?P=3?

Ejemplo Un embarque de 120 alarmas contra robo contiene 5 defectuosas. Si tres de estas alarmas se seleccionan aleatoriamente y se le envan a un cliente. Determine la probabilidad de que el cliente reciba una en mal estado.

DISTRIBUCIN DE POISSONProporciona un modelo para la frecuencia relativa del nmero de eventos poco comunes que ocurren en una unidad de tiempo, rea, volumen, etc. Como por ejemplo el ejemplo el nmero de accidentes fatales por mes en una planta de produccin, el nmero de defectos visibles en un diamante, etc.

Entre otras caractersticas tenemos: La probabilidad de un evento que ocurra en una unidad de tiempo, rea o volumen es la misma para todas las unidades El nmero de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, rea o volumen es independiente del nmero de los que ocurren en otras unidades. El nmero medio (o esperado ) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega lambda , .

La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria e Poisson est dada por: , x=0,1,2,3,.....Donde

: es el nmero medio de eventos en una unidad de tiempo, rea o volumen=2.71828......

La media y la varianza de una variable aleatoria de Poisson son, respectivamente

DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVAEn muchos casos nos interesar medir el tiempo transcurrido antes de que ocurra un evento, por ejemplo el tiempo que un cliente debe esperar en una cola para ser atendido , el tiempo que tarda en fallar un equipo, etc.

Para esta aplicacin consideramos cada unidad de tiempo como una prueba de bernoulli que puede tener como resultado un xito o un fracaso. A diferencia de los experimentos binomiales en los que x es el total de xitos, la variable de inters ahora es el nmero de pruebas (unidades de tiempo) hasta que se observa el a-simo xito.

Donde:p:Probabilidad de xitoq:1-px:Nmero de pruebas hasta que se observa el x-simo xitoMedia y varianza

La distribucin de probabilidad para la variable aleatoria x est dada por:x=a,a+1,a+2....

Ejemplo:S la probabilidad de que un cierto dispositivo de medicin muestre una desviacin excesiva es de 0,05, cul es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medicin sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviacin excesiva?, b) el sptimo de estos dispositivos de medicin sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviacin excesiva?.

EjemploUn fabricante utiliza fusibles en un sistema electrnico, los fusibles se compran en lotes grandes y se prueban secuencialmente hasta que se observa el primer fusible defectuoso. Suponga que el lote contiene el 10% de fusibles defectuosos.a)Qu probabilidad hay de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros cinco fusibles probados.?

DISTRIBUCIN GEOMTRICAEs un caso especial de la distribucin de probabilidad negativa, cuando a es igual a 1. La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria geomtrica est dada por: (x=1,2.....)

Donde x nmero de ensayos hasta que se observa el primer xitoMedia y varianza

*9*10