Disribuciones Discretas Bernoulli y Binomial

Distribucin de BernoulliConsiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar sicierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea as(xito) y q = 1p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata ms quede una variable dicotmica, es decir que nicamente puede tomar dosmodalidades. Podramos por tanto definir este experimento mediante unav.a. discreta X que toma los valores X = 0 si el suceso no ocurre, y X = 1 encaso contrario, y que se denota X ~ Ber (p)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

FUNCIONES DE PROBABILIDAD

Sexo: Macho, HembraViabilidad: Vivo, MuertoGerminacin: S, NoEvaluacin de una variacin somaclonal: Positiva, NegativaEstado de la vaca: Llena, VacaResultado de un examen: Gana (resultado 3.0), Pierde (resultado < 3.0)Tamao de una semilla: Grande (dimetro 5mm), Pequea (dimetro < 5mm)

Los eventos se definen en trminos del resultado que el investigador estinteresado en evaluar.Evento: Que una semilla a la que se le realiza una prueba de viabilidad estmuerta.Evento: Que una vaca est llena



Si se satisface la condicin definida en el evento, se dice que seobtuvo xito; en caso contrario, se habla de un Fracaso. El usode estas dos etiquetas tiene que ver exclusivamente con la forma enque se haya definido el evento de inters y est por encima decualquier concepcin tica.



p: Probabilidad de xito en un experimento Bernoulliq: Probabilidad de fracaso en un experimento Bernoulli (q=1-p)

La funcin de probabilidad de la variables aleatoria Bernoullipuede expresarse as:



Esta funcin puede expresarse mediante la siguiente expresin general:

Para indicar que la variable aleatoria X sigue una distribucin de Bernoulli conparmetro p, se utiliza la siguiente notacin:

X ~ Bernoulli (p)



pqppppXEXEXV

pppXE

pppXE

)1()]([)()(

)1(01)(

)1(01)(

222

222



DISTRIBUCIN BINOMIALUn experimento binomial est conformado por n experimentos Bernoullirealizados de manera independiente. La variable aleatoria binomialcontabiliza el nmero de xitos.

El supuesto de independencia se requiere para garantizar que laprobabilidad p se mantenga constante a lo largo de los diferentesexperimentos

Considrese un experimento consistente en extraer una bola al azar de unabolsa y anotar el resultado

xito: Bola blancaFracaso: Bola negraX: Nmero de bolas blancas al realizar n extracciones



Antes de iniciar las extracciones:p0= 7/10=0.7q0= 3/10=0.3

Primera extraccin (sin reemplazo):

Bola blanca Bola negrap1= 6/9=0.66 p1= 7/9=0.77q1= 3/9=0.33 q1= 2/9=0.22

Sera necesario realizar un muestreo con reemplazo, con lo cualse garantizara la independencia, manteniendo, por tanto, lasprobabilidades constantes entre extracciones



Si las poblaciones son muy grandes, el hecho de que el muestreo se hayarealizado con reemplazo o sin reemplazo se torna irrelevante.Supngase la mismo proporcin inicial de colores del presente ejemplo,pero con 7000 bolas blancas y 3000 negras

Antes de iniciar las extracciones:p0= 7000/10000=0.7q0= 3000/10000=0.3

Primera extraccin (sin reemplazo):

Bola blanca Bola negrap1= 6999/9999=0.6999 p1= 7000/9999=0.70007q1= 3000/9999=0.30003 q1= 2999/9999=0.2999

En la prctica, se trata de garantizar la independencia, evitando que la respuesta de una unidad experimental est ligada a la respuesta de otras unidades



Ejemplo: se someten 3 insectos a la accin de un insecticida y se evalan suscorrespondientes estados (vivo, muerto) despus de 10 minutos.

xito: vivo Fracaso: muerto

El espacio muestral de este experimento es:

S={vvv, vvm, vmv, mvv, vmm, mvm, mmv, mmm}

Se sabe por informacin de la casa productora del insecticida que la probabilidadde xito es p; luego, la probabilidad de fracaso ser q=1-p.



La variable aleatoria binomial es aquella que contabiliza el nmero de xitos.

X: Nmero de insectos muertos

El coeficiente de cada uno de los resultadospuede presentarse en trminos de lascombinaciones de n en x, as:



Luego, una expresin general para calcular la probabilidad de que lavariable X tome un valor determinado x est dada por:

Si la variable aleatoria X tiene una funcin masa de probabilidad comola presentada esto se denota as:



npqXV

nxpqxV

xVxVXV

npXE

nxpxE

xnExExEXE

xX

ii

n

i

i

n

i

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

)(

,......,2,1)(

)()(

)(

,......,2,1)(

)()()(

11

11

1



Ejemplo: Se sabe que el 40% de los mosquitos de una poblacin estninfectados con un virus. Si se seleccionan 5 zancudos y se chequean uno a unopara observar la presencia del virus tendramos un experimento binomial en elcual la v.a.:

X: nmero de zancudos con el virus en muestras de a 5.

Se distribuye X ~ b(x,5,0.4)

5

0

5

5

)6.0()4.0(5

)(

)6.0()4.0(5

)(

x

xx

xx

xXP

xxf



Ejemplo: Suponga que X es una variable aleatoria Binomial con parmetros n y P.Para calcular una probabilidad especfica, por ejemplo P(a X b) , observe que

b

ax

xnx Zbaqpx

nbxaP }0{,;)(



Ejemplo: Suponga que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una lnea deensamble es de 0.05.

a) Cul es la probabilidad de que entre 20 unidades seleccionadas al azar, dos seandefectuosas?

b) Cul es la probabilidad de que a lo ms dos de las 20 unidades estn defectuosas?

c) Cul es la probabilidad de que por lo menos 2 unidades estn defectuosas?



Solucin:Sea X : el # de unidades defectuosas de las 20 unidades seleccionadas

1

0

20

2

0

20

2202

20

2642,07358,01)95.0()05.0(20

1))1()0((1)2(1)2()

9245,0)95.0()05.0(20

)2()1()0()2()

1887.0)95.0()05.0(2

20)2()2()

20,...,2,1,0;)95.0()05.0(20

)(),05.0,20(~

x

xx

x

xx

xx

xPPXPXPc

xPPPxPb

PxPa

xx

xPbinX



Ejemplo: Un examen de opcin mltiple contiene 10 preguntas. Cada preguntatiene cuatro opciones de las cules solo una es la correcta. El examen seaprueba si se responden correctamente al menos seis preguntas. Si elestudiante adivina las preguntas, conteste las siguientes preguntas:

a) Cul es la probabilidad de aprobar el examen?

b) Si el estudiante adivina al menos tres de las preguntas, Cul es laprobabilidad de reprobar el examen?

c) Halle E[X] y V[X]



Solucin: Sea X : # preguntas con respuesta correcta de las 10



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