Variables aleatorias y sus Variables aleatorias y sus distribucionesdistribuciones

1.1. Variables aleatorias discretasVariables aleatorias discretas

2.2. Media y varianzaMedia y varianza

3.3. La distribución binomialLa distribución binomial

4.4. Distribuciones continuasDistribuciones continuas

5.5. La distribución normalLa distribución normal

6.6. Una función de una variable Una función de una variable aleatoriaaleatoria

CaracterísticasCaracterísticas Una Una variable aleatoriavariable aleatoria es una función con valores es una función con valores

numéricos y definida sobre un espacio muestral numéricos y definida sobre un espacio muestral Una variable aleatoria Una variable aleatoria discretadiscreta toma diversos toma diversos

valores con probabilidades especificadas por su valores con probabilidades especificadas por su distribución de probabilidaddistribución de probabilidad

Utilidad de una v.a.: Utilidad de una v.a.: reduce reduce el espacio de muestra el espacio de muestra a uno más fácil de manejara uno más fácil de manejar

Ejemplo: En una familia de 3 hijos, cuál es la Ejemplo: En una familia de 3 hijos, cuál es la probabilidad de que haya un varón o menos?probabilidad de que haya un varón o menos?

21

83

81

)1()0()1Pr( ppX

a) Variable aleatoria X= “Cantidad de varones”a) Variable aleatoria X= “Cantidad de varones”b) Diagrama de su distribución de probabilidadb) Diagrama de su distribución de probabilidad

Variable aleatoria general XVariable aleatoria general X

Variable aleatoriaVariable aleatoria

Frecuentemente interesa conocer más que el Frecuentemente interesa conocer más que el resultado de un experimento aleatorio, una resultado de un experimento aleatorio, una función de dicho resultado.función de dicho resultado.

Una variable aleatoria es una función con valores Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y definida sobre un espacio muestralnuméricos y definida sobre un espacio muestral

Si lanzamos al aire tres monedas, podemos Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir la función como X: definir la función como X:

X: número de caras que resultan del X: número de caras que resultan del experimento.experimento.

Variable aleatoriaVariable aleatoria Hemos definido una función del espacio muestral Hemos definido una función del espacio muestral

en la recta. Tales funciones X, cuyos valores en la recta. Tales funciones X, cuyos valores dependen del resultado de un experimento dependen del resultado de un experimento aleatorioaleatorio se llaman variables aleatorias. se llaman variables aleatorias.

Si toma ciertos valores aislados de un intervalo, Si toma ciertos valores aislados de un intervalo, es v.a. es v.a. discretadiscreta, sino , sino continuacontinua..

La distribución se puede representar como:La distribución se puede representar como:– TablaTabla– DiagramaDiagrama– FórmulaFórmula

Distribución de probabilidad de una Distribución de probabilidad de una variable aleatoriavariable aleatoria

La distribución de probabilidad de una La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es el conjunto de sus variable aleatoria X es el conjunto de sus posibles valores numéricos xposibles valores numéricos x11, x, x22,…,x,…,xnn y las y las probabilidades correspondientes Pprobabilidades correspondientes Pii, i=1,2,, i=1,2,…,n tal que:…,n tal que:

La colección de pares (xLa colección de pares (xii,p(x,p(xii)) es llamada )) es llamada distribución de probabilidad.distribución de probabilidad.

1

1)(

,0)(

ii

i

xp

ixp

Media y VarianzaMedia y Varianza

Si el tamaño de la muestra aumentara Si el tamaño de la muestra aumentara ilimitadamente, la ilimitadamente, la distribución de distribución de frecuencia relativafrecuencia relativa se fijaría en la se fijaría en la distribución de probabilidad.distribución de probabilidad.

A partir de la distribución de frecuencia A partir de la distribución de frecuencia relativa, se puede calcular la media y la relativa, se puede calcular la media y la varianza de la muestra (Cap. 2)varianza de la muestra (Cap. 2)

Es natural que a partir de la distribución Es natural que a partir de la distribución de probabilidad se calculen los valores de probabilidad se calculen los valores análogos con las siguientes definiciones: análogos con las siguientes definiciones:

DefinicionesDefiniciones

222

22

)(

:como simplifica Se

)()(

Varianza

)(

población de Media

xpx

xpx

xpx

x

x

x

Cálculo de la media y la varianza de X= número de varonesCálculo de la media y la varianza de X= número de varones

Función de densidad de Función de densidad de probabilidadprobabilidad

La función de densidad de probabilidad de La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X se denota como:una variable aleatoria X se denota como:

Se define de modo tal que:Se define de modo tal que:

representa la probabilidad de ocurrencia de X en representa la probabilidad de ocurrencia de X en el intervalo:el intervalo:

)(xf X

xxf X )(

2,

2x

xx

x

Función de densidad de una Función de densidad de una Variable aleatoriaVariable aleatoria

PropiedadesPropiedades

][)( iix xXPxf

0)( ix xf

1)( i

ix xf

Esperanza de una variable Esperanza de una variable aleatoriaaleatoria

Sea X una V.A. continua que toma los valores Sea X una V.A. continua que toma los valores xx11,x,x22,…x,…xnn con f.d. f con f.d. fxx(x(xii), entonces:), entonces:

Si X es una V.A continua entonces:Si X es una V.A continua entonces:

E(X) también se la conoce como media de X, E(X) también se la conoce como media de X, o media de la población y se la nota E(X)=o media de la población y se la nota E(X)=μμ

)()(1

ix

n

ii xfxXE

dxxXfXE x )()(

Varianza de una variable aleatoriaVarianza de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria con función de Sea X una variable aleatoria con función de densidad fdensidad fxx(x), definimos varianza de X:(x), definimos varianza de X:

Si X es una variable discretaSi X es una variable discreta

Si X es una variable continuaSi X es una variable continua

])[(]))([( 222 XEXEXE

)()()(2

ixX

i xfxXVar

dxxfXxVar x )()()(2

Varianza de una variable aleatoriaVarianza de una variable aleatoria

La varianza sigma cuadrado es una medida de La varianza sigma cuadrado es una medida de dispersión de los valores de la variable aleatoria con dispersión de los valores de la variable aleatoria con respecto a su centro de gravedad respecto a su centro de gravedad μμ. .

Consideremos una variable aleatoria con la Consideremos una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad.siguiente distribución de probabilidad.

E(X)=6*0.4+7*0.4+8*0.2=6.8E(X)=6*0.4+7*0.4+8*0.2=6.8 Var(X)=(6-6.8)^2*0.4+(7-6.8)^2*0.4+Var(X)=(6-6.8)^2*0.4+(7-6.8)^2*0.4+

(8-6.8)^2*0.2=0.56(8-6.8)^2*0.2=0.56

XX 66 77 88

f(x)f(x) 0.40.4 0.40.4 0.20.2

Transformación lineal Y de una v.a. XTransformación lineal Y de una v.a. X

AsimetríaAsimetría

3

3

1

)(1

1

sesgo

:asimetría de eCoeficient

Sesgo

n

ii Xx

n

que igual o menor de

valor el tener de adprobabilid la Es

:es acumulada óndistribuci de

función la continua, a. v. una Para

xX

xdxfxXPxFx

XX )(][)(

Distribuciones

Función de distribución acumuladaFunción de distribución acumulada

Se define como la probabilidad de que la Se define como la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual variable aleatoria X sea menor o igual que algún valor particular.que algún valor particular.

F(x)=P[XF(x)=P[X≤x≤x]] Si X es una variable aleatoria discretaSi X es una variable aleatoria discreta

Como F(x) representa una probabilidad Como F(x) representa una probabilidad es claro que 0es claro que 0≤F(x)≤1 además:≤F(x)≤1 además:

xx

iX

i

xXPxF ][)(

Función de distribución acumuladaFunción de distribución acumulada

a.a. Limite FLimite Fxx=0 =0

XX→→--oooo

b.b. Limite FLimite Fxx=1 =1

XX→→++oooo

c.c. Si xSi x11 < x < x22 entonces F entonces Fxx(x(x11) ≤ F) ≤ Fxx(x(x22) )

La función acumulada para la variable La función acumulada para la variable aleatoria continua X será:aleatoria continua X será:

x

X dhhfxXPxF )(][)(

Distribuciones de variable discreta Distribuciones de variable discreta

(Probability Density Functions(Probability Density Functions))

Distribuciones de variable Distribuciones de variable continuacontinua

Procesos de BernoulliProcesos de Bernoulli Hay un cierto número de fenómenos aleatorios Hay un cierto número de fenómenos aleatorios

conocidos como procesos de Bernoulli.conocidos como procesos de Bernoulli. Se denominan ensayos de Bernoulli, a aquellos Se denominan ensayos de Bernoulli, a aquellos

ensayos ensayos independientesindependientes que repetidos un que repetidos un número fijo de veces tienen las siguientes número fijo de veces tienen las siguientes características:características:

1)1) Hay sólo dos resultados posibles: éxito o Hay sólo dos resultados posibles: éxito o fracasofracaso

2)2) La probabilidad de éxito es la misma en cada La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Independencia.ensayo. Independencia.

Ensayos de BernoulliEnsayos de Bernoulli Tirar una moneda, suponiendo que la Tirar una moneda, suponiendo que la

moneda es perfecta, cada tirada se moneda es perfecta, cada tirada se denomina un ensayo y tiene dos posibles denomina un ensayo y tiene dos posibles resultados: uno de ellos se considera resultados: uno de ellos se considera éxito. P(E)=p y P(F)=qéxito. P(E)=p y P(F)=q

Extraemos de una urna con 4 fichas rojas Extraemos de una urna con 4 fichas rojas y 3 azules una bolilla; anotamos su color y y 3 azules una bolilla; anotamos su color y la devolvemos a la urna. P(roja)=4/7 y la devolvemos a la urna. P(roja)=4/7 y P(azul)=3/7P(azul)=3/7

Proceso de fabricación de artículos Proceso de fabricación de artículos electrónicos: elección de una muestra, electrónicos: elección de una muestra, defectuoso o no defectuoso.defectuoso o no defectuoso.

Distribución Binomial: para v.a. Distribución Binomial: para v.a. discretasdiscretas

En general, para n repeticiones En general, para n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli, independientes de un ensayo de Bernoulli, la probabilidad de obtener v éxitos está la probabilidad de obtener v éxitos está dada por:dada por:

Coeficientes binomiales:Coeficientes binomiales:

P X v nv

. p v . q n v

Distribución BinomialDistribución Binomial

Se define la variable aleatoria :Se define la variable aleatoria :

X= “número de éxitos en las n repeticiones”,X= “número de éxitos en las n repeticiones”, Se dice Se dice queque sigue una sigue una distribucióndistribución binomial o binomial o

sigue un Modelo Binomial con parámetros n y p.sigue un Modelo Binomial con parámetros n y p. E(X)=npE(X)=np Var(X)=npqVar(X)=npq La distribución acumulada es:La distribución acumulada es:

P X kv 0

knv

. p v . q n v

Ejemplos de variables binomialesEjemplos de variables binomiales

Consideremos el experimento de Consideremos el experimento de lanzamiento de dos dadoslanzamiento de dos dados::

11 22 33 44 55 66

11 (1,1)(1,1) (1,2)(1,2) (1,3)(1,3) (1,4)(1,4) (1,5)(1,5) (1,6)(1,6)

22 (2,1)(2,1) (2,2)(2,2) (2,3)(2,3) (2,4)(2,4) (2,5)(2,5) (2,6)(2,6)

33 (3,1)(3,1) (3,2)(3,2) (3,3)(3,3) (3,4)(3,4) (3,5)(3,5) (3,6)(3,6)

44 (4,1)(4,1) (4,2)(4,2) (4,3)(4,3) (4,4)(4,4) (4,5)(4,5) (4,6)(4,6)

55 (5,1)(5,1) (5,2)(5,2) (5,3)(5,3) (5,4)(5,4) (5,5)(5,5) (5,6)(5,6)

66 (6,1)(6,1) (6,2)(6,2) (6,3)(6,3) (6,4)(6,4) (6,5)(6,5) (6,6)(6,6)

Distribuciones de variable Distribuciones de variable continuacontinua

a)a) Histograma de frecuencia relativaHistograma de frecuencia relativab) Trazado a nueva escala en la densidad de f.r.b) Trazado a nueva escala en la densidad de f.r.

La suma de frec relativas es 1

Cubre un área total igual a 1

Qué sucede con la densidad de Qué sucede con la densidad de frecuencia relativa de una v.a. frecuencia relativa de una v.a. continua a medida que aumenta el continua a medida que aumenta el tamaño de la muestra? tamaño de la muestra?

Influyen menos las fluctuaciones de la suerte.Influyen menos las fluctuaciones de la suerte.Permite una definición más clara de las célulasPermite una definición más clara de las célulasMientras el área permanece fija, la densidad Mientras el área permanece fija, la densidad

de frecuencia relativa tiende a la función de de frecuencia relativa tiende a la función de densidad de probabilidad. densidad de probabilidad.

Relación entre la densidad de frecuencia relativa y Relación entre la densidad de frecuencia relativa y la densidad de probabilidadla densidad de probabilidad

Distribución normal (curva de Gauss)Distribución normal (curva de Gauss)

xZ

exfx

X

2

2

1

2

1)(

Curva campana simétrica

Distribución Normal StandardDistribución Normal Standard

Una variable con distribución normal estándar Una variable con distribución normal estándar ((μμ=0 =0 σσ=1=1) se nota con la letra Z.) se nota con la letra Z.

Si:Si:

Conversión: la variable Z se define como: Conversión: la variable Z se define como:

Para que tenga una distribución Normal estándar. Para que tenga una distribución Normal estándar.

),( 2NX

X

Z

Efectos de escalaEfectos de escala

Distribución NormalDistribución Normal

Se ve que -como Se ve que -como en cualquier en cualquier distribución distribución continua- la continua- la probabilidad de probabilidad de que P(X=a)=0 para que P(X=a)=0 para cualquier a. Luego cualquier a. Luego lo que se calculan lo que se calculan son áreas (gráfico).son áreas (gráfico).

Distribución NormalDistribución Normal

EjemplosEjemplos

1775.00968.02743.0

)3.1Pr()6.0Pr(

)3.16.0Pr(

2743.0)6.0Pr(

ZZ

Z

Z

EjemploEjemplo

8185.00228.01587.01

1587.0)1Pr()1Pr(

0228.0)2Pr(

)2Pr()1Pr(1

)21Pr(

ZZ

Z

ZZ

Z

Distribución Normal Distribución Normal Es la más usada de las distribuciones continuas de Es la más usada de las distribuciones continuas de

probabilidad, ya que es la distribución límite de varios probabilidad, ya que es la distribución límite de varios modelos, incluso discretos y ajusta muy bien a muchas modelos, incluso discretos y ajusta muy bien a muchas situaciones reales. Su función de densidad es la siguiente: situaciones reales. Su función de densidad es la siguiente:

Su forma es la conocida campana de Gauss. Una vez que se Su forma es la conocida campana de Gauss. Una vez que se especifican la media μ y el desvío estándar σ, la curva especifican la media μ y el desvío estándar σ, la curva normal queda completamente determinada.normal queda completamente determinada.

Si una v.a. continua X sigue una distribución Normal con Si una v.a. continua X sigue una distribución Normal con parámetros μ y σ, lo denotamos como: parámetros μ y σ, lo denotamos como:

2)(

2)(

2

1

x

exf

),( 2NX

Distribución NormalDistribución Normal

Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con distintos valores de la media y la desviación típica. La distintos valores de la media y la desviación típica. La verde es la "normal reducida", de media cero y desviación verde es la "normal reducida", de media cero y desviación típica uno. típica uno.

Distribución GeométricaDistribución Geométrica Definimos sobre Definimos sobre ΩΩ , la variable aleatoria X que , la variable aleatoria X que

denota el número de repeticiones necesarias denota el número de repeticiones necesarias hasta obtener el primer éxito. Es claro que dicha hasta obtener el primer éxito. Es claro que dicha variable asume los valores 1,2,3,….etc. Esta variable asume los valores 1,2,3,….etc. Esta variable aleatoria así definida sigue la variable aleatoria así definida sigue la distribución:distribución:

q=1-pq=1-pEsta variable con distribución geométrica tiene Esta variable con distribución geométrica tiene

las siguientes propiedades:las siguientes propiedades:

Distribución de PoissonDistribución de Poisson El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado a El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado a

menudo para variables aleatorias distribuidas en el menudo para variables aleatorias distribuidas en el tiempo o en el espacio. Por ej: Número de bacterias tiempo o en el espacio. Por ej: Número de bacterias por cmpor cm33 de agua, número de accidentes con de agua, número de accidentes con motocicletas por mes, etc.motocicletas por mes, etc.

Para que el modelo de Poisson esté presente debe Para que el modelo de Poisson esté presente debe verificar lo siguiente:verificar lo siguiente:

1)1) Los sucesos que ocurren en un intervalo (de Los sucesos que ocurren en un intervalo (de tiempo, región del espacio, etc) son independientes tiempo, región del espacio, etc) son independientes de los que ocurren en cualquier otro intervalo (de de los que ocurren en cualquier otro intervalo (de tiempo, región del espacio, etc)tiempo, región del espacio, etc)

2)2) La probabilidad de que un suceso se presente, es La probabilidad de que un suceso se presente, es proporcional a la longitud del intervalo.proporcional a la longitud del intervalo.

3)3) La probabilidad de que uno o mas sucesos se La probabilidad de que uno o mas sucesos se presenten en un intervalo muy pequeño es tan presenten en un intervalo muy pequeño es tan pequeña que puede despreciarse.pequeña que puede despreciarse.

Distribución de PoissonDistribución de Poisson

Distribución de PoissonDistribución de Poisson

La función de densidad de probabilidad es:La función de densidad de probabilidad es:

(1)(1) E(X)=λ Var(X)= λE(X)=λ Var(X)= λ La función de distribución acumulada La función de distribución acumulada

(fda) esta dada por:(fda) esta dada por:

!)(

k

ekXP

k

x

i

i

i

exF

0 !)(

Proceso de PoissonProceso de Poisson Considere eventos aleatorios tales como el arribo de Considere eventos aleatorios tales como el arribo de

aviones a un aeropuerto, el arribo de barcos a un puerto, el aviones a un aeropuerto, el arribo de barcos a un puerto, el arribo de llamadas a una central, la falla de máquinas en arribo de llamadas a una central, la falla de máquinas en una fábrica, etc.una fábrica, etc.

Estos eventos pueden ser descriptos por una función de Estos eventos pueden ser descriptos por una función de conteo N(t) definida para todos los t >=0.conteo N(t) definida para todos los t >=0.

Esta función de conteo representará el número de eventos Esta función de conteo representará el número de eventos que ocurrirán en [0,t]. que ocurrirán en [0,t].

El tiempo cero es el punto en el cual la observación El tiempo cero es el punto en el cual la observación comienza, ya sea que un arribo ocurra o no en ese instante. comienza, ya sea que un arribo ocurra o no en ese instante.

Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson, Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson, la probabilidad de que N(t)=n es:la probabilidad de que N(t)=n es:

(2)(2)

!

)())((

n

tentNP

nt

Función de DensidadFunción de Densidad

Si comparamos la ecuación (1) con (2) vemos que Si comparamos la ecuación (1) con (2) vemos que N(t) tiene una distribución de Poisson con N(t) tiene una distribución de Poisson con parámetro α=λt, por lo tanto su media y su parámetro α=λt, por lo tanto su media y su varianza son:varianza son:

E[N(t)] = α = λt = V[N(t)]E[N(t)] = α = λt = V[N(t)]

!

)())((

n

tentNP

nt

!)(

k

ekXP

k

Distribución uniforme Distribución uniforme Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un

intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. Una variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en Una variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en

el intervalo (a,b) si su función es la siguiente:el intervalo (a,b) si su función es la siguiente:

La función de distribución acumulada esta dada por: La función de distribución acumulada esta dada por:

La media y la varianza de la distribución están dadas por:La media y la varianza de la distribución están dadas por:

otro

bxaabxf

,

,0

1)(

bx

bxaab

axax

xF

,1

,

,0

)(

2)(

baXE

12

)()(

2abXV

Distribución uniformeDistribución uniforme

otro

bxaabxf

,

,0

1)(

Distribución triangular Distribución triangular

La esperanza es:La esperanza es:

otro

cxbacbc

xc

bxaacab

ax

xf

,0))((

)(2))((

)(2

)(

3)(

cbaXE

cx

cxbacbc

xc

bxaacab

axax

xF

1))((

)(1

))((

)(,0

)( 2

2

a b c x

f(x )

Distribución ExponencialDistribución Exponencial Esta distribución ha sido usada para modelar Esta distribución ha sido usada para modelar

tiempos entre arribos cuando los arribos son tiempos entre arribos cuando los arribos son totalmente aleatorios (ver relación con Poisson). totalmente aleatorios (ver relación con Poisson).

Su función de densidad de probabilidad esta dada Su función de densidad de probabilidad esta dada por:por:

La fda se define comoLa fda se define como

otro

xexf

x

0

0)(

01

00)(

0

xedte

xxF

xtt

Distribución ExponencialDistribución Exponencial

Distribución chi-cuadradoDistribución chi-cuadrado

Brinda un criterio de “bondad del ajuste”Brinda un criterio de “bondad del ajuste” Se usa para decidir si ciertas variables son Se usa para decidir si ciertas variables son

independientes o noindependientes o no Def.: sea ZDef.: sea Z11, Z, Z22, , ……ZZkk k distribuciones normales k distribuciones normales

estándar. Entoncesestándar. Entonces

es la distribución chi-cuadrado con k grados de es la distribución chi-cuadrado con k grados de libertad libertad

222

21

2 .... kZZZ

Distribución para k=1,4,6,8Distribución para k=1,4,6,8

La distribución no es La distribución no es simétricasimétrica

Es sesgada a la Es sesgada a la derechaderecha

Para valores grandes Para valores grandes de k la distribución de k la distribución se acerca a la se acerca a la distribución normaldistribución normal

K=4

K=1

Lectura obligatoriaLectura obligatoria

Cap. 4 Wonnacott - Págs 77-100Cap. 4 Wonnacott - Págs 77-100 Cap. 6 Rao – Págs 452-487Cap. 6 Rao – Págs 452-487