Diseno y Analisis de Experimentos M Parte52
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498
CAPTULO 11
MTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA
bl
11 23
Experimento de arreglo combinado con dos variables controlables y tres variables de ruido ejemplo 11 7
Nmero de corrida
Z
Z3
1
1.00
1 00
1 00
1 00
1.00
44.2
2
1.00 1 00
1 00 1 00
1.00
30.0
3 1.00 1.00
1 00 1 00 1 00
30.0
4
1.00
1.00
1 00
1 00
1.00
35.4
5
1.00
1.00 1.00
1.00 1 00
49.8
6
1.00
1 00 1.00 1 00 1.00
36.3
7
1.00
1.00 1.00
1 00
1.00
41 3
8
1.00
1.00
1.00
1 00 1 00
31.4
9
1.00 1.00 1 00
1.00
1 00
43 5
1 1.00
1 00 1 00 1.00
1.00
36.1
11
1.00
1.00
1 00
1.00 1.00
22.7
12
1.00 1.00
1 00
1.00
1 00
16.0
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
43.2
14
1.00
1 00
1.00
1.00 1.00
30.3
15 1.00
1.00 1.00
1.00 1.00
30.1
16
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
39.2
17 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00
46 1
18 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00
36.1
19
0.00
2 00
0.00 0.00 0.00
47.4
20
0.00 2.00 0.00
0.00
0.00
31.5
21 0.00
0.00 0.00
0.00
0.00
30.8
22
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
30.7
23
0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
31.0
1.00 . . . . : : ::=o
1.00
3
0.50.000.50
0.50
0.50
1 00
L _ : :
_ _
__....::I...._
_ _ L _ _
1.00
t
Figura 1145 Grfica de contorno del modelo de la media ejemplo 11 7.
-
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11 7 DISEO ROBUSTO
1.00
.50
.00
0 50
1.00
r O;;:::
0.50
1 00
LL l . . L ~ _ _ l
1 00
0 50
0 00
Xl
Figura 11 46
Grfica de contorno de la POE ejemplo 11 7.
Figura 11 47
Superposicin de los contornos de la media
la
POE
para el ejem-
plo 11 7 con la regin en blanco indicando condiciones de operacin satisfactorias
para la media
y
la varianza.
1.00
0.50
}iN
0 50
- 1 . 0 0 1 . - ~ ~ ~ =
1 00
0 50 0.00
.50
1.00
-
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500 CAPTULO
11
MTODOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA
n este problema es deseable mantener la media del proceso abajo de
30.
Al inspeccionar las figuras
11 45 y 11 46 es claro que se necesitar hacer un ajuste si se quiere hacer
pequea
la varianza del proce-
so. Puesto que slo hay dos variables controlables
una
forma lgica de llegar a este arreglo es superponer
los contornos de la respuesta media constante y lavarianza constante como se muestra en la figura
11-47.
sta
grfica muestra los contornos para los que la media del proceso es menor o igual que 30 y la desvia-
cinestndar
del proceso es
menor
o igual que
5. a
regin delimitada
por
estos contornos representara
una
zona de operacin tpica de respuesta media baja y varianza del proceso baja.
.........................................................................
PROBLEMAS
11 1. n
una
planta qumica se produce oxgeno licuando aire y separndolopor destilacin fraccionada en sus ga
ses componentes. La pureza del oxgeno es una funcin de la temperatura del condensador principal y de la
relacin de la presin entre las columnas superior e inferior. Las condiciones de operacin actuales son tem-
peratura
s 220C y la relacin de la presin
S2
1.2. Utilizando los datos siguientes encontrar la tra-
yectoria del ascenso ms pronunciado:
Temperatura s ndice de la presin
S2
Pureza
225 1.1
82.8
225
1.3 83.5
215 1.1 84.7
215 1.3 85.0
220 1.2 84.1
220 1.2 84.5
220 1.2 83.9
220 1.2
84.3
11 2. Un ingeniero industrial
ha
desarrollado un modelo de simulacin por computadorapara
un
sistema de in-
ventario de dos artculos. Las variables de decisin son la cantidad del pedido y el punto de reorden de cada
artculo. a respuesta que debe minimizarse
es
el costo total del inventario. El modelo de simulacin se usa
para producir los datos que se muestran en la tabla siguiente. Identificar el diseo experimental. Encontrar
la trayectoria del descenso ms pronunciado.
Artculo 1 Artculo 2
Cantidad del
Punto de Cantidad del Punto de Costo
pedido
s
reorden S2
pedido S3
reorden S4
total
100 25 250 40
625
140
45 250
40 670
140 25
300
40 663
140
25
250 80
654
100
45
300 40
648
100
45 250 80
634
100
25
300
80
692
140
45 300 80
686
120
35 275 60
680
120
35
275
60
674
120
35
275
60
681
-
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11-8
PROBLEMAS
5
y= 30 5x 2.5x
2
3.5x
3
y
lS.5
19.5
17.4
22.5
1
J2
O
-J2
O
y=
60 1.5x 0.Sx
2
2.0x
3
X
o
-J2
O
J2
11-4. Para el modelo de primer orden
encontrar la trayectoria del ascenso ms pronunciado. Las variables estn codificadas como
-1::5 Xi 1.
11-5. La
regin de experimentacin de tres factores son el tiempo
40
T
SO
min , la temperatura
200
T
z
300C y la presin 20 50 psig . Se ha ajustado un modelo de primer orden envariables codificadas a
los datos del rendimiento de un diseo 2
3
El modelo es
11-3.
Verificar que el siguiente diseo es smplex.Ajustar elmodelo de primer ordeny encontrarla trayectoria del
ascenso ms pronunciado.
El punto T = S5, T
z
=
325,
=
60
est en la trayectoria del ascenso ms pronunciado?
11-6.
La regin de experimentacin de dos factores son la temperatura 100::5 T::
300F
y la velocidad de ali
mentacin del catalizador
10
e 30 lb/pulg . Un modelo de primer orden con las variables codificadas
usuales
se
ha ajustado a la respuesta peso molecular, obtenindose
el
modelo siguiente:
y=
2000
25x
40x
2
a
Encontrar la trayectoria del ascenso ms pronunciado.
b
Se desea mover a una regin donde los pesos moleculares rebasen
2500.
Con base en la informacin que
se tiene por la experimentacinen esta regin, aproximadamente cuntos pasos en la trayectoria del as
censo ms pronunciado se necesitan para moverse a la regin de inters?
11-7.
La trayectoria del ascenso mspronunciado suele calcularse suponiendo que elmodelo es en realidad de pri
mer orden;
es
decir, que no hay interaccin. Sin embargo, incluso
si
hay interaccin,
el
ascenso ms pronun
ciado que se determina ignorando la interaccin seguir produciendopor
lo
general buenos resultados. Para
ilustrar, suponga que
se
ha ajustado
el
modelo
utilizando variables codificadas
-1 Xi 1 .
a Trazar la trayectoria del ascenso ms pronunciado que se obtendra
si
se ignorara la interaccin.
b Trazar la trayectoria del ascenso ms pronunciado que se obtendra incluyendo la interaccin en el mo
delo. Compararla con la trayectoria que
se
encontr en el inciso a
l1-S. Los datos que se muestran en la siguiente tabla se recolectaron en un experimento para optimizar
el
creci
miento de un cristal como una funcin de tres variablesx,xzY
X
3
Son deseables los valores grandes dey ren
dimiento en gramos . Ajustar un modelo de segundo orden y analizar
la
superficie ajustada. Bajo qu
conjunto de condiciones se alcanza
el
crecimiento mximo?
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5 2 CAPTULO MTODOS
DE
SUPERFICIES
DE
RESPUESTA
1
1
1
1
1.682
1.682
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
1
1
1
O
O
1.682
1.682
O
O
O
O
O
O
O
O
1
1
1
1
O
O
O
O
1.682
1.682
O
O
O
O
O
O
66
7
78
6
8
7
75
8
68
63
65
82
3
8
88
85
11 9. Un ingeniero qumico recolect los siguientes datos. La respuesta es el tiempo de filtracin x es la tempe-
ratura y
X
z
es la presin. Ajustar un modelo de segundo orden.
x
X
z
54
1
45
1
32
1 1
47
1.414
O
5
1.414
O
53
O
1.414
47
O
1.414 5
O O
4
O
O
39
O O
44
O O
42
O O
4
a Qu condiciones de operacin se recomendaran
si
el objetivo esminimizarel tiempo de filtracin?
Qu condiciones de operacin se recomendaran si el objetivo es operar el proceso con una velocidad
de filtracin media muy prxima a 46?
11 10. El diseo hexagonal que se presenta a continuacin se usa en
un
experimento que tiene como objetivo ajus-
tar un modelo de segundo orden:
-
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Xl
1
5
-0.5
-0.5
5
O
O
O
O
O
X
O
Jo 7
Jo 7
O
J0 75
J
75
O
O
O
O
O
y
68
74
65
6
63
7
58
6
57
55
69
11-8 PROBLEMAS
503
a
Ajustar el modelo de segundo orden.
b
Efectuar el anlisis cannico. Qu tipo de superficie se ha encontrado?
e Qu condiciones de operacin para
Xl
X
llevan al punto estacionario?
d
Dnde se correra este proceso si el objetivo eS obtener
una
respuesta que est tan cerca de 65 como sea
posible?
11-11.
Un
experimentador corri
un
diseo de Box-Behnken obtuvo los siguientes resultados, donde la variable
de respuesta es la viscosidad de un polmero:
Velocidad de
Nivel
Temperatura
agitacin Presin
Xl
X
X
3
Alto 2
1
25
1
1
1
Intermedio
175 7 5
2
O O O
Bajo
15 5 15
-1 -1
-1
Corrida
Xl
X
X
3 Yl
1
-1 -1
O 535
2
-1
O
58
3 -1 1
O
596
4 1
1 O 563
5
-1
O -1
645
6 1 O -1
458
7 -1
O 1 35
8
1 O 1 6
9 O -1 -1
595
1 O
1 -1
648
11 O
-1
1
532
12 O 1 1
656
O
O O
653
14
O O O
599
15 O O O
62
a
Ajustar el modelo de segundo orden.
b
Efectuar el anlisis cannico. Qu tipo de superficie se
ha
encontrado?
-
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5
11-12.
CAPTULO 11 MTODOS DE SUPERFiCiES DE RESPUESTA
e) Qu condiciones de operacin para
XI
X
YX
llevan al punto estacionario?
d Qu condiciones de operacin se recomendaran si es importante obtener una viscosidad que est t
cerca de
600
como sea posible?
Considere el diseo central compuesto de tres variables que semuestra a continuacin. Analizar los dato
sacar
conclusiones, suponiendo que se quiere maximizar la conversin
0 1)
con la actividad
0 2)
entre
55
y
6
Conversin
Tiempo Temperatura Catalizador
) Activid
Corrida
min)
)
YI
1
-1.000 -1.000 -1.000 74.00
53.20
2 1.000 -1.000
-1.000
51.00
62.90
3
-1.000
1.000
-1.000 88.00
53.40
4
1.000 1.000
-1.000
70.00
62.60
5
-1.000
-1.000 1.000 71.00
57.30
6 1.000 -1.000 1.000 90.00 67.90
7
-1.000
1.000 1.000
66.00
59.80
8 1.000
1.000
1.000 97.00
67.80
9 0.000 0.000 0.000 81.00 59.20
10 0.000 0.000
0.000 75.00
60.40
11 0.000
0.000
0.000 76.00 59.10
12
0.000 0.000 0.000
83.00
60.60
13 -1.682
0.000
0.000 76.00 59.10
14 1.682 0.000 0.000 79.00 65.90
15 0.000
-1.682
0.000
85.00
60.00
16 0.000 1.682 0.000 97.00 60.70
17 0.000 0.000
-1.682 55.00
57.40
18
0.000 0.000
1.682 81.00 63.20
19 0.000 0.000 0.000 80.00 60.80
20
0.000 0.000 0.000
91.00
58.90
11-13.
Un
fabricante de herramientas de corte ha desarrollado dos ecuaciones empricas para la vida de la
h r r
mienta en horas 0 1) y para el costo de la herramienta en dlares
0 2)
Ambosmodelos son funciones linea
de la dureza del acero
XI )
y de la fecha de fabricacin
x
). Las dos ecuaciones son
= l 5x +2x
=
23+
+
4x
y ambas ecuaciones sonvlidas en elrango
1.5
:s; Xi :s;
1.5.
El costo unitario de laherramienta debe estar ab
jo de
27.50
y la vida debe exceder
12
horas para que el producto sea competitivo. Existe algn conjunto
condiciones de operacin factible para este proceso? Dnde se recomendara correr este proceso?
11-14. Se
corre un diseo central compuesto eh un proceso de deposicin qumica por vapor y se obtienen los dat
experimentales que se muestran a continuacin. Se procesaron simultneamente cuatro unidades expe
mentales en cada corrida del diseo, y las respuestas son la media y la varianza del espesor, calculadas en
cuatro unidades.
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11-8 PROBLEMAS
505
Xl
X
2 Y
S2
360.6 6.689
1
445.2 14.230
1
412.1 7.088
1 1 601.7
8.586
1.414
O
518.0 13.130
-1.414
O
411.4 6.644
O 1.414
497.6 7.649
O
-1.414
397.6
11.740
O
O
530.6 7.836
O
O
495.4
9.306
O
O
510.2 7.956
O
O 487.3
9.127
a Ajustar un modelo a la respuesta media. Analizar los residuales.
b Ajustar un modelo a la respuesta varianza. Analizar los residuales.
e Ajustar un modelo a ln S2 . Este modelo es superior al que se encontr en el inciso b?
d
Suponga que se quiere que el espesor medio est en el intervalo
450
25. Encontrar un conjunto de con
diciones de operacin que consiga este objetivo y que al mismo tiempo minimice la varianza.
e Comentar los aspectos de la minimizacin de la varianza del inciso Se ha minimizado tambin la va
rianza
total
del proceso?
11-15. Verificar que el diseo de primer orden ortogonal es tambin un diseo de primer orden rotable.
11-16. Demostrar que aumentar un diseo
2
k
conn
e
puntos centrales no afecta las estimaciones
de/3
i
1,2,
oo k
pero que la estimacin de la ordenada al origen
/30 es
el promedio de las 2
k
n
e
observaciones.
11 17. El diseo central compuesto rotable. Puede demostrarse que un diseo de segundo orden es rotable si
L7t=IX:XJ O
si
a o
b
o ambas son impares y
si L : : = I X ~
3 L : : = I X ~ X J Demostrar que para el diseo central
compuesto estas condiciones llevan a a /lF 1/4 para la rotabilidad, donde /lF es el nmero de puntos en la
porcin factoriaL
11-18. Verificar que el diseo central compuesto que se muestra abajo est separado en bloques ortogonales:
Bloque 1
Bloque 2 Bloque 3
X
X
2
X
3
Xl
X
2
X
3
Xl
X
2
X
3
O O
O
O
O
O
-1.633
O O
O O O O O O
1.633
O O
1
1 1
1
1
O
-1.633
O
1
1
1
O
1.633
O
1
1 1
O
O -1.633
1
O O
1.633
O O O
O O O
11 19. Formacin de bloques del diseo central compuesto. Considere
un
diseo central compuesto para k
4 varia
bles en dos bloques. Puede encontrarse siempre un diseo rotable formado de bloques ortogonales?
11-20. Cmo puede correrse un diseo hexagonal en dos bloques ortogonales?
-
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6 CAPTULO
11
MTODOS
DE
SUPERFICIES
DE
RESPUESTA
11-21.
En
la tabla siguiente se muestra el rendimiento durante los cuatro primeros ciclos de un proceso qumico
Las variables son el porcentaje de concentracin
x en
los niveles
30 31
Y32 Yla temperatura
x
2
en
140
142 Y
144F.
Hacer el anlisis utilizando mtodos EVOP.
Condiciones
Ciclo 1) 2)
3) 4) 5)
1
60.7
59.8
60.2 64.2 57.5
2 59.1 62.8
62.5 64.6 58.3
3
56.6
59.1 59.0
62.3
61.1
4 60.5 59.8
64.5 61.0 60.1
11-22. Suponga que se aproxima una superficie de respuesta con un modelo de orden
di,
tal como y
=
XJJ +
cuando laverdadera superficie est descritaporunmodelo de
orden d
2
>
di;
es decir,E y) = XJJ
XJJ2
a
Demostrar que los coeficientes de regresin son sesgados, es decir, que E JJ)
=
AfJ2 donde A
=
X X)-X X
2
Es comn llamar a A la matriz alias.
b Sid = 1Yd
2
= 2, Yse utiliza un diseo 2
k
completo para ajustar elmodelo, usar el resultado del incisoa
para determinar la estructura de los alias.
e) Si
d
=
1, d
2
= 2Y
k
= 3, encontrar la estructura de los alias, suponiendo que se usa un diseo 2
3
-
par
ajustar el modelo.
d
Si
= 1,
d
2
= 2
Yk
= 3,
Yse utiliza el diseo smplex del problema
11-3 para
ajustar el modelo, determi
nar la estructura de los alias
y
comparar los resultados con el inciso e.
11-23.
En un
artculo Conozcamos todos el cuadrado latino ,
en
Quality Engineeling, vol.
1,
pp. 453-465), J.S
Hunter ilustra algunos de los problemas asociados con los diseos factoriales fraccionados 3
k
p El
factorA
es
la
cantidad de etanol agregada a un combustible
estndar y
elfactor B
representa
la: relacin aire/com
bustible.
La
variable de respuesta es
la
emisin
de
monxido de carbono CO)
en
g/m
El
diseo se mues
tra abajo:
Diseo
Observaciones
A B
X
2
y
O O
-1
-1 66 62
1
O O
-1
78 81
2
O
1
-1
90
94
O
1
-1
O
67
1
1
O O
80
81
2 1
1
O
75 78
O 2
-1
1
68 66
1 2 O
1
66 69
2 2
1
60 58
Observe que se
ha
usado el sistema de notacin de
1Y2
para
representar los niveles bajo, intermedio
y
alto
de los factores. Se
ha
usado tambin
una
notacin geomtrica de
-1 O
Y
1.
Se hacen dos rplicas de cad
corrida del diseo.
a) Verificar que el modelo de segundo orden
y=
78.5 4.5x 7.0x
2
-
4.5x
-
4.0xi
-
9.0xx
2
es un modelo razonable
para
este experimento. Trazar los contornos de la concentracin de CO en el es
pacio Xl
X
2
.
