DISEÑO EXPERIMENTAL FACTORIAL

Conceptos Generales

Factor: es un conjunto de tratamientos de una misma clase o característica. Ejemplo: tipos de riego, dosis de fertilización, variedades de cultivo, manejo de crianzas, métodos de enseñanza, tipos de liderazgo, tipos raciales, etc.

Factorial: es una combinación de factores para formar tratamientos.

Niveles de un factor: son los diferentes tratamientos que pertenecen a un determinado factor. Se acostumbra simbolizar algún elemento "i" por la letra minúscula que representa al factor y el valor del respectivo subíndice.

Tipos de Factor

Factores cuantitativos: son aquellos factores cuyos niveles son cantidades numéricas.

Factores cualitativos: son aquellos factores cuyos niveles son procedimientos, o cualidades o atributos.

Los experimentos factoriales permiten manipulaciones sutiles de un número mayor de variables interdependientes.

Si bien el método presenta limitaciones, es útil para una investigación más eficiente y para permitir que los métodos estadísticos fuertes expongan todas las correlaciones.

En el experimento factorial o arreglo factorial, se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento.

El experimento factorial afecta a los diseños de tratamientos, que se refiere a la elección de los factores a estudiar, sus niveles y la combinación de ellos.

No es usual tener diseños experimentales muy complicados en los experimentos factoriales por la dificultad que involucra el análisis y la interpretación.

Razones para estudiar conjuntamente varios factores

Encontrar un modelo que describa el comportamiento general del fenómeno en estudio. Por ello son muy usados en experimentos exploratorios.

Optimizar la respuesta o variable dependiente; es decir, encontrar la combinación de niveles que optimizan la variable dependiente.

La característica general y esencial que hace necesario el estudio conjunto de factores es que el efecto de un factor cambie según sean los niveles de otros factores o sea que exista interacción.

Ventajas de los Experimentos Factoriales

Economía en el material experimental ya que se obtiene información sobre varios factores sin incrementar el tamaño del experimento.

Permitir el estudio de la interacción, o sea determinar el grado y la forma en la cual se modifica el efecto de un factor por los niveles de otro factor

Desventajas de los Experimentos Factoriales

Una desventaja de los experimentos factoriales es que requieren un gran número de tratamientos, especialmente cuando se tienen muchos factores o muchos niveles de un mismo factor

Si se desea usar bloques completos es difícil encontrar grupos de unidades experimentales homogéneas para aplicar todos los tratamientos.

Se aumenta el costo del experimento al tener muchas unidades experimentales; esto se minimiza usando factoriales fraccionados donde se prueba una sola parte de todo el conjunto de tratamientos.

Un diseño factorial es un tipo de experimento diseñado que permite estudiar los efectos que pueden tener varios factores sobre una respuesta. Al realizar un experimento, el hecho de variar los niveles de todos los factores al mismo tiempo en lugar de uno a la vez permite estudiar las interacciones entre los factores.

En las siguientes gráficas, cada punto representa una combinación única de niveles de los factores.

Diseños de dos factores

2 niveles del factor A 3 niveles del factor B

Diseños de tres factores

2 niveles de cada factor

Cuando usted tiene un diseño factorial con puntos centrales, puede evaluar si existe curvatura en la superficie de respuesta. Sin embargo, no puede modelar el efecto de esa curvatura en otro lugar que no sea el punto central. En otras palabras, solo puede calcular los valores ajustados en los puntos de vértice y el punto central del diseño y, por lo tanto, no puede crear una gráfica de contorno. Debe tener términos cuadráticos (por ejemplo, términos cuadrados) en el modelo para modelar la curvatura en toda la superficie de respuesta. Esto es posible con un diseño de superficie de respuesta. Puede ampliar el diseño factorial con puntos axiales para crear un diseño central compuesto de superficie de respuesta a partir de un diseño factorial.

¿Qué es un diseño factorial completo y factorial fraccionado?

Diseños factoriales completos

Un diseño factorial completo es un diseño en el cual los investigadores miden las respuestas con todas las combinaciones de los niveles de los factores. Minitab ofrece dos tipos de diseños factoriales completos:

diseños factoriales completos de 2 niveles que solo contienen factores de 2 niveles.

diseños factoriales completos generales que contienen factores con más de dos niveles.

El número de corridas necesarias para un diseño factorial completo de 2 niveles es 2 k, donde k es el número de factores. A medida que aumenta el número de factores en un diseño factorial de 2 niveles, el número de corridas necesarias para ejecutar un diseño factorial completo aumenta rápidamente. Por ejemplo, un diseño factorial completo de 2 niveles con 6 factores requiere 64 corridas; un diseño con 9 factores requiere 512 corridas. Un diseño factorial fraccionado de fracción de un medio requeriría solo la mitad de esas corridas.

Diseños factoriales fraccionados

Un diseño fraccionado es un diseño en el cual los investigadores solo realizan un subconjunto seleccionado o "fracción" de las corridas del diseño factorial completo. Los diseños factoriales fraccionados son una opción adecuada cuando los recursos son limitados o el número de factores incluidos en el diseño es grande, porque usan menos corridas que los diseños factoriales completos.

Un diseño factorial fraccionado utiliza un subconjunto de un diseño factorial completo, así que algunos de los efectos principales e interacciones de 2 factores se confunden y no pueden separarse de los efectos de otras interacciones de orden superior. Para obtener información sobre los efectos principales y las interacciones de orden inferior con menos corridas, los investigadores generalmente están dispuestos a presuponer que los efectos de orden superior son insignificantes.

¿Qué es un diseño factorial completo de 2 niveles?

En un diseño factorial completo de 2 niveles, cada factor experimental tiene solo dos niveles. Las corridas experimentales incluyen todas las combinaciones de estos niveles de los factores. Aunque los diseños factoriales de 2 niveles no pueden explorar completamente una región amplia en el espacio de factores, proporcionan información útil con relativamente pocas corridas por factor. Puesto que los diseños factoriales de 2 niveles pueden identificar tendencias importantes, puede utilizarlos para obtener orientación para experimentación adicional. Por ejemplo, cuando necesite explorar una región en la que usted crea que pueden existir configuraciones óptimas, puede ampliar un diseño factorial para formar un diseño central compuesto.

Comparaciones

Los siguientes diagramas muestran un diseño factorial completo en comparación con un diseño factorial fraccionado de ½.

Diseño factorial completo

Diseño factorial fraccionado de ½

El diseño factorial completo contiene el doble de puntos de diseño que el diseño fraccionado de ½. La respuesta solo se mide en cuatro de los ocho puntos de vértice posibles de la porción factorial del diseño. Sin embargo, con este diseño, los efectos principales se confundirán con las interacciones de 2 factores.

Modelo Estadístico para efectos Fijos

Caso de dos factores en un DCA

El modelo de efectos fijos se supone cuando el investigador está interesado únicamente en los a niveles del factor A y en los B niveles del factor b, presentes en el experimento.

Los datos de este experimento factorial se pueden presentar en un cuadro como el siguiente:

El modelo estadístico asociado a este experimento es dado por:

Donde μ es la constante que representa el promedio global.

A es el efecto verdadero del i- ésimo nivel del factor A.

Bj es el efecto verdadero del i- ésimo nivel del factor B,

(AB)ij es efecto verdadero de la interacción del i- ésimo nivel del factor A con el j- ésimo nivel del factor B.

ε yk es el error experimental asociado con la k- ésima unidad experimental sujeta a la ij- ésima combinación de tratamiento.

Se supone que μ es una constante y que las variables aleatorias ε yk están distribuidas normal

independiente con media cero y varianza constante σ 2.

Las restricciones del modelo son:

Estimación de Parámetros

Al aplicar el método de mínimos cuadrados se obtienen los estimadores de los parámetros:

Análisis de Varianza

La tabla de ANOVA para este caso está dada por:

Para el factor A:

Ho : A1=A 2=….=Aa=0 Ai=μ Ai−μ donde μ es la media global y μAi es la media poblacional del nivel Ai (i=1,2,…a)

Como E [CM A ]=σ2+nb∑i=1

a A i2

a−1 y si Ho es cierta E [CM A ]=σ2

Y comoE [CM EE ]=σ 2 entonces se tienen dos estimadores insesgados de σ 2 que son CM A

y CM EE, por ello se utiliza como prueba F=CM A

CMEE

el cual debe tomar valores cercanos a

uno estadísticamente.

Para el factor B:

Ho :B1=B2=….=Ba=0 Bj=μBj−μ donde μ es la media global y μBj es la media poblacional del nivel Bj

Como E [CMB ]=σ2+nb∑i=1

b B j2

b−1 y si Ho es cierta E [CMB ]=σ2

Y comoE [CM EE ]=σ 2 entonces se tienen dos estimadores insesgados de σ 2 que son CM A

y CM EE, por ello se utiliza como prueba F=CMB

CMEE

para probar la hipótesis.

Esta estadística de prueba debe tomar valores estadísticamente cercanos a uno cuando Ho es cierta.

Para la interacción de los factores

Ho : (AB )11= (AB )12=….=(AB )1b= (AB )21=( AB )22=…=(AB )2b=…= (AB )a1=( AB )a2=( AB )ab

Escrita de una forma más sencilla tendremos:

Ho : (AB ) ij=0i=1,…,a ; j=1 ,…,b

Como E [CM AB ]=σ2+nb∑j=1

b

∑i=1

a (AB ) y2

(a−1)(b−1).

Si Ho es cierta E [CM AB ]=σ2 razonando como en los casos anteriores se tiene que la

estadística de prueba para esta hipótesis es F=CM AB

CMEE

En los métodos de aplicación múltiple:

Si la hipótesis de interacción es significativa (se rechaza la hipótesis nula), se deben realizar comparaciones múltiples entre los niveles de un factor pero en cada nivel del otro factor.

Si la hipótesis de interacción es no significativa (no se rechaza la hipótesis nula), y algún factor es significativo, se debe realizar comparaciones múltiples para los niveles de este factor como si fuese un DCA sin estructura factorial.

Para probar los supuestos:

Primero se deben obtener los residuales, los cuales para el caso de dos factores se determina de la siguiente manera:

El residual es dado por

La respuesta estimada y yk es

Y así el residual es determinado por

La prueba de los supuestos se hace de manera similar a un DCA sin estructura factorial

Experimento Factorial con tres factores

Tomando un factorial de tres factores asociado con un DCA el modelo estadístico apropiado es:

Donde

Ai=¿ efecto del i- ésimo nivel del factor A.

Bi=¿ efecto del i- ésimo nivel del factor B.

Este modelo se supone cuando el investigador se interesa únicamente en los a niveles del factor a, en los b niveles del factor b y en los c niveles del factor c presentes en el experimento. Estas suposiciones están sintetizadas en:

La tabla ANOVA será:

Los valores F se calcularán mediante la relación del cuadrado medio para el efecto en investigación y el cuadrado medio del error experimental.

Diseño de Fracciones Factoriales (Cuadrado Latino)

En el diseño de cuadrado latino se bloquea más de una variable extraña muy relacionada con la variable dependiente. Estas variables de bloqueo pueden ser de sujeto o ambientales e incluso una de ellas puede ser la misma variable dependiente.

La denominación simbólica de estos diseños es igual que las de los diseños factoriales que veremos en un tema posterior, pero con distinto significado: un diseño de cuadrado latino 2x2 significa que tiene dos variables de bloqueo con dos valores cada una y el número de condiciones experimentales es 2. En cambio, un diseño factorial 2x2 significa que tiene dos variables independientes con dos niveles cada una y el número de tratamientos es 4.

Los diseños de cuadrado latino pueden ser unifactoriales y factoriales y en ambos casos se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

Las variables de bloqueo tienen que estar muy relacionadas con la variable dependiente y no pueden interactuar entre sí, ni con la variable independiente.

El número de bloques de cada variable de bloqueo y de tratamientos tiene que ser el mismo.

Las variables bloqueadas se ordenan dentro de una matriz, matriz de bloqueo, con tantas filas y columnas como bloque se hayan formado en las variables de bloqueo. Una de las variables se sitúa en el sentido de las filas y la otra en el de las columnas. El número de celdillas tiene que ser igual al producto del número de valores o bloques de cada variable de bloqueo. Así, por ejemplo, en el caso de un diseño 2x2, el número de celdillas sea cuatro.

Los tratamientos se suelen representar dentro de cada celdilla con diferentes letras del alfabeto latino. La disposición del cuadrado latino puede ser utilizada también en los diseños intrasujeto para el control del efecto del orden o en la aplicación de diseños factoriales incompletos.

El número de sujetos tiene que ser igual o múltiplo del número de celdillas, ya que cada celdilla tiene que tener el mismo número de sujetos.

El número de sujetos en cada celdilla tiene que ser el mismo, para que el efecto de las variables de bloqueo se mantenga constante en cada tratamiento experimental.

A cada celdilla se le aplica aleatoriamente un tratamiento, teniendo en cuenta que cada condición experimental debe aparecer una sola vez en cada fila y en cada columna, siendo cada fila y cada columna una réplica completa del experimento.

El proceso que tenemos que seguir para aplicar este diseño es el siguiente:

Determinar cuáles van a ser las variables de bloqueo y medirlas en todos los sujetos de la muestra antes de la formación de los grupos.

En función del número de tratamientos decidimos cuántos bloques vamos a formar.

Construimos la matriz de datos, colocando los bloques de cada una variable de bloqueo en las firmas y los de la otra variable de bloqueo en las columnas.

Asignamos aleatoriamente los tratamientos a las celdillas teniendo en cuenta que cada tratamiento debe aparecer una sola vez en cada fila y en cada columna y cada fila y cada columna tiene que ser una réplica del experimento. En cada fila y cada columna tiene que haber todas las condiciones experimentales.

Si las variables de bloqueo no son de sujeto asignamos aleatoriamente los sujetos a las celdillas.

Aplicamos los tratamientos experimentales a todos los sujetos y medimos la variable dependiente, analizamos los datos con un análisis de varianza, interpretamos los resultados, extraemos conclusiones y generalizamos a la población de la que hemos extraído la muestra. Finalmente redactamos el informe de la investigación.

A continuación tenemos la representación simbólica del diseño de cuadrado latino 2x2:

GruposFormación de grupos

Medida pretratamiento

Tratamiento experimental

Medida postratamiento

Experimental 2BA - X1 O1

Experimental 2BA - X2 O2

Este diseño, al bloquear dos variables posee mayor validez interna que los diseños anteriores, pero la validez externa es muy pequeña debido a la eliminación de sujetos y a la sensibilización de los sujetos a las medidas de las variables de bloqueo.

Modelo del Cuadrado Latino

En un diseño de experimentos completo de tres factores, todos ellos con K niveles, necesita K3 observaciones, número elevado si K es grande. Un diseño más eficaz que solo utiliza K2 observaciones para el mismo problema es el cuadrado latino. Este modelo se basa en aprovechar la simetría del experimento factorial seleccionando un conjunto de condiciones experimentales con la condición de que cada nivel de un factor aparezca una vez con cada uno de los niveles de los otros factores. Por tanto, el diseño de cuadrado latino se puede utilizar si se verifican las siguientes condiciones:

1. Es un diseño de experimentos con tres factores.

2. Los tres factores tienen el mismo número de niveles: K.

3. No hay interacciones entre los tres factores.

El diseño en cuadrado latino está especialmente indicado para estudiar un factor-tratamiento con K niveles y con dos factores-bloque de K bloques cada uno. Este diseño se basa en el concepto de cuadrado latino que es el siguiente

“Un cuadrado latino K × K es una disposición de K letras en una matriz K × K de forma que todas las letras aparecen una vez en cada fila y una vez en cada columna.

Por ejemplo, un cuadrado latino 3 × 3 es el siguiente

A B C

B C A

C A B

Un cuadrado latino es un cuadrado latino estándar cuando las letras de la primera fila y de la primera columna están dispuestas en orden alfabético.

Un cuadrado latino es un cuadrado latino cíclico si las letras de cada fila se generan cíclicamente de la anterior según el orden alfabético.

El cuadrado latino 3 × 3 de la tabla es estándar y cíclico.

Existe un único cuadrado latino 3 × 3 estándar, sin embargo hay cuatro cuadrados latinos 4 × 4 estándar que se presentan en la siguiente tabla.

Cuadro 1 Cuadro 2 Cuadro 3 Cuadro 4

A B C D A B C D A B C D A B C D

B C D A B A D C B A D C B D A C

C D A B C D A B C D B A C A D B

D A B C D C B A D C A B D C B A

“Un diseño en cuadrado latino es un diseño de un factor tratamiento con K niveles y K2 unidades experimentales agrupadas en K bloques fila y K bloques columna, de forma que unidades experimentales de un mismo bloque fila son semejantes, unidades experimentales de un mismo bloque columna son semejantes y unidades experimentales de distintos bloques fila y distintos bloques columna son sustancialmente diferentes”.

Para cualquier número de tratamientos K existe siempre al menos un diseño en cuadrado latino estándar cíclico.

Obsérvese que si en un diseño en cuadrado latino se ignora el bloque columna se tiene un diseño en bloques completamente aleatorizado (el bloque fila es el factor bloque) y, análogamente, si se ignora el bloque fila se tiene un diseño en bloques completamente aleatorizado (el bloque columna es el factor bloque). Además se trata de un diseño equirreplicado: cada tratamiento aparece un mismo número K de veces en el diseño.

Se tiene un diseño en cuadrado latino de dos factores bloque y un factor tratamiento, el primer factor bloque se denota por B y se coloca en filas, el segundo factor bloque se denota por B y se coloca en columnas, el factor tratamiento se denota por T y sus niveles se colocan según el cuadrado latino. Por tanto, el cuadrado latino condiciona el nivel de T que se utiliza en la casilla ij(bloque i de B y bloque j de B ) y este nivel no se elige.

La formulación matemática del modelo es la siguiente:

Para cada i = 1,...,K, j = 1,...,K, (el índice k lo impone el diseño en cuadrado latino) se tiene

Donde:

* Y ij es el resultado del bloque i-ésimo, i = 1,...,K del factor bloque B y del bloque j-ésimo, j = 1,...,J del factor-bloque B , y del nivel k-ésimo del factor T . Se denota la k entre paréntesis, para indicar que este índice no se elige sino que viene condicionado por el par ij.

* es el efecto global que mide el nivel medio de todos los resultados,

* i es el efecto (positivo o negativo) sobre la media global debido al bloque i de B . Se verifica que i = 1

Ii = 0,

* j es el efecto (positivo o negativo) sobre la media global debido al bloque j de B . Se verifica que j = 1

Jj = 0,

* k es el efecto (positivo o negativo) sobre la media global debido al nivel k del factor F . Se verifica que k = 1

Kk = 0,

* ij es el error experimental, son variables aleatorias i.i.d. con distribución N .

Estimación de los parámetros.

La técnica de mínimos cuadrados proporciona los siguientes estimadores:

Diseño de Cuadrado Grecolatino

El diseño de cuadrado grecolatino se caracteriza porque utiliza dos variables de bloque si tiene dos variables independientes (diseño factorial) y tres variables de bloqueo si sólo tiene una variable independiente (diseño unifactorial) ya que es imprescindible en este diseño que el número total de variables entre variables independientes y bloqueadas sea 4.

Experimentos Factoriales

El diseño factorial es aquel en el que el conjunto de tratamientos consiste en todas las combinaciones posibles de los niveles de varios factores. El factor, es una clase de tratamiento, y en experimentos factoriales, todo factor proporcionara varios tratamientos. Nivel, se refiere a los diferentes tratamientos dentro de un factor. El número de factores y niveles que pueden compararse en un solo experimento solo se limita por consideraciones prácticas. En general un experimento factorial permite la separación y la evaluación de los efectos de cada uno de 2 o más factores que afectan solo a una unidad experimental, además permite la detección de los efectos de interacción entre 2 o más factores.

En experimentos factorial es necesario considerar el arreglo y la distribución. Arreglos más utilizados: combinatorio, en parcelas divididas y en franjas.

Distribuciones más utilizadas. Completamente al azar, bloques al azar y cuadro latino.

Utilidad de los Experimentos Factoriales

1. En trabajos de exploración, donde el objeto es determinar rápidamente los efectos de cada uno de cierto número de factores dentro de un intervalo especifico.

2. En investigaciones de las interacciones entre los efectos de varios factores. Por su naturaleza las interacciones no se pueden estudiar sin probar algunas de las combinaciones que se forman de los diferentes factores. Frecuentemente la información se obtiene mejor probando todas las combinaciones.

3. En experimentos diseñados para poder llegar a recomendaciones que deben aplicarse a una gran variedad de condiciones. Se pueden introducir factores auxiliares en un experimento para probar los factores principales bajo una variedad de condiciones similares a las encontradas en la población a la cual se van a aplicar dichas recomendaciones.