DISEÑO DE CIRCUITOS DE FLOTACIÓNLa determinación de datos a nivel de laboratorio constituyen la base para el diseño decircuitos de flotación. La ejecución de ensayos cíclicos muestra condiciones optimas para laconcentración de la mena y los cambios en las variables del proceso. Una prueba cíclica puedetener 3 etapas en cada ciclo: una molienda, una flotación primaria y una flotación de limpieza,en cada etapa se introducen reactivos y las colas de la flotación de limpieza se recirculan yasea a la molienda o a la flotación primaria.En este caso los objetivos de la prueba pueden ser:a. Incremento en recuperación esperada al recircular las colas procedentes de la flotación delimpieza.b. Determinar la cantidad de reactivo que debe agregarse para mantener la carga circulantede los reactivos.c. Determinar si los lodos u otro compuesto soluble se produce y si interfiere en el procesode flotación.d. Estudiar los problemas de manejo de espuma.En la tabla 1 se presenta un ejemplo de datos obtenidos de una prueba de ciclo.Los concentrados primarios (rougher) van a remolienda previa a la etapa de limpieza.Las colas cleanner retornan al siguiente flotado primario.

= ( − )( − ) × 100Donde;F = tenor de cabezaC= tenor del concentradoT= tenor de las colasTABLA 1. Ejemplo de una prueba de ciclo flotación de una mena de cobre.Carga ConcentradosCleaner Colas Primarias Colas Cleaner RecuperaciónN° Peso Peso % Cu Peso % Cu Peso % Cu % Cu1 507.3 30.2 15.75 371 0.08 (106.1) (1.93) (94.77)2 507.3 47.1 13.20 443 0.11 (123.3) (1.98) (92.92)3 507.3 53.1 12.05 452 0.14 (125.5) (2.01) (91.05)4 507.3 57.0 10.95 456 0.16 (119.8) (2.21) (89.88)

5 507.3 55.0 11.05 440 0.14 (131.6) (2.32) (91.15)6 507.3 56.4 11.00 440 0.14 (142.5) (2.34) (91.16)7 507.3 58.4 10.90 448 0.14 (143.3) (2.40) (91.17)Cabeza 3551.1 - 1.40 - - - - -Los valores calculados mostrados en paréntesis se basan en el siguiente balance de materia.Cola Cleaner = ( Carga + Cola Cleaner ) − ( Cola Primaria + Concentrado Cleaner )El número de ciclos mínimos recomendados es de 6. Es muy útil durante el trabajo de unaprueba de ciclo hacer arreglos especiales para un reporte rápido de los resultados analíticos.Dada la complejidad de una prueba de ciclo y los posibles efectos de envejecimiento de losproductos se requiere que haya la menor perdida de tiempo. Las pruebas de ciclo, en muchoscasos, pueden dar tanta información como una pequeña planta piloto operada continuamente.Algunas de las variables de mayor importancia para el proceso de flotación son las siguientes:a. Tamaño de las partículas a la cual sustancialmenteGranulometría (tamaño de liberación):los minerales valiosos se liberan de la ganga.b. los datos experimentales demostraran los reactivos usados, cantidad,Tipos de reactivos:calidad y punto de adición.c. esta variable es fundamental en el diseño de circuitos de flotaciónDensidad de pulpa:porque de este factor depende el tamaño y el número de celdas de flotación.d. la aireación es importante, porque es la variable queAireación y acondicionamiento:normalmente controla el operador de la planta y le permite acelerar o retardar la flotaciónen beneficio de la recuperación, dependiendo del tipo de circuito: primario (rougher), delimpieza o secundario (scavenger).El acondicionamiento es una etapa clave puesto que proporciona el tiempo necesario para queoperen los reactivos.e. Regulación de pH: la flotación es altamente sensible al pH, especialmente cuando se tratade flotación selectiva. Cada formula de reactivos tiene un pH óptimo.f. Tiempo de residencia: el tiempo de residencia es variable y dependerá del volumen delcircuito, % de solidos, del tipo de mineral, de las cargas circulantes, tamaño de partícula yreactivos usados.g. Calidad del agua: la disponibilidad de agua generalmente es un problema serio. Se empleaagua industrial o agua de recirculación recuperada de espesadores y que contienencantidades residuales de reactivos.h. Temperatura: a temperatura ambiente es satisfactorio para flotación, pero para algunosminerales tales como la fluorita, son mejor flotados en agua caliente.i. Uniformidad de la mena: las grandes variaciones de la mena en durezas, contenido mineraly flotabilidad deben estudiarse de manera que el diseñador pueda superar problemascausados por variabilidad en la mena.

M

j. Datos de sedimentación y filtración: para diseñar los circuitos de flotación de la planta, sedeben determinar velocidades de sedimentación y filtración como también porcentajes desolidos de los varios productos.k. Corrosión: ensayos de corrosión se deben hacer sobre la acción de pulpas de flotaciónsobre materiales y equipos de flotación, particularmente si son ácidos o si operar atemperatura elevada de tal manera de seleccionar los equipos y materiales másadecuados.l. Mineralogía: esta permite hacer comparaciones con operaciones existentes tratandomenas similares.A nivel industrial los objetivos metalúrgicos del proceso de flotación se alcanzan organizandolas celdas en bancos y los bancos en circuitos. Los circuitos pueden cumplir diferentesfunciones, así: los que reciben la pulpa de alimentación son llamados primarios o rougher, losque cumplen con la función de recuperar al máximo el contenido de un flujo de baja ley,generalmente una cola, se denominan secundarios o scavenger. Los circuitos alimentados conel concentrado primario y que cumplen con la función de concentrar mejorando el tenormetálico se conoce como circuitos limpiadores (Cleaner); y de la misma forma el circuitoalimentado con el concentrado Cleaner que aun requiere un tenor mayor, se denominan re-Cleaner.El siguiente diagrama de flujo ilustra los circuitos anteriores.

R

06

2

Cl

R R R

S

C101 110

105

1 08

1 09 102 103

1 06

1041 09

1 07

Distintos productos de un circuito de flotación1. Alimentación2. Concentración Rougher3. Concentración Rougher secundario4. Concentración Rougher terciario5. Concentración Scavenger6. Concentración Cleaner7. concentración Recleaner8. Colas Cleaner9. Medios10. Colas finalesCÁLCULO DE CARGA CIRCULANTE EN UN CIRCUITO DEMOLIENDA - CLASIFICACIONUn clasificador mecánico o un hidrociclón reciben alimentación de un molino de bolas yproduce un material fino (ver diagrama 101), el cual rebalsa el clasificador o el hidrociclón ycontinua la operación siguiente generalmente a los circuitos Rougher; el rechazo delclasificador o del hidrociclón (109), el cual retorna al molino para reducción de tamañoadicional (remolienda). El término “Carga Circulante” se define como el tonelaje de rechazoque retorna al molino de bolas y la “Relación de Carga Circulante” es la relación de CargaCirculante al tonelaje de alimentación original al molino de bolas.Como la alimentación al clasificador, el rebalse del clasificador y el rechazo generalmenteestán asociados con diferentes proporciones de agua a solido, el cálculo de la relación de cargacirculante se puede realizar en base a una formula de densidad de pulpa.Si consideramos:P= % de solidos por peso.D= Dilución de pulpa (relación de peso de líquido a peso de solido).S= Gravedad especifica del solido.W= Peso de un litro de pulpa en gramos.w = Peso del mineral seco (gramos) en un litro de pulpa.K= constante de los solidos.Asumiendo la gravedad especifica del agua en la pulpa como la unidad, se tiene, por definición= ( − 1)Entonces: = 1000 +

= ( − 1000)= ( − 1000) × 100= 100000(100 − )= (100 − )= 100( + 1)Si consideramos un circuito de molienda- clasificación, como el de la figura 1 y en el cualconsideramos:F= Toneladas de mineral alimentado al molino.O= Toneladas de mineral en el rebalse o sobre flujo del clasificador.S= Toneladas de mineral rechazadas por el clasificador.M= Toneladas de mena en la descarga del molino.Y llamamos:Ds= Relación de líquido a solido en el rechaza del clasificador.Do= Relación de liquido a solido en el rebalse del clasificador.Dm= Relación de líquido a solido en la descarga del molino.Así la relación de carga circulante:

= ( − )( − ) =Carga circulante:= × = ( )( )

FOMS W

MOLINO

CLASIFICAW

EjemploUn molino opera en un circuito cerrado con un clasificador, recibe una alimentación de 300toneladas secas de mineral por día y el % de solidos son respectivamente: 25%, 50% y 84%en el sobre flujo, alimentación y descarga del clasificador. Calcule la carga circulante y larelación de carga circulante por día.Solución

Do = (100 − 25)25 = 3.0Dm = (100 − 50)50 = 1.0Ds = (100 − 84)84 = 0.19Entonces la relación de carga circulante, Rcc:Rcc = (3.0 − 1.0)(1.0 − 0.19) = 2.47 o 247%Y la carga circulante, es:CC = F × Rcc = 300 × 2.47 = 741CC = 741 ToneladasdiaUna base más acertada para el cálculo de carga circulante y relación de carga circulante en uncircuito de molienda – clasificación es un método basado en el análisis granulométrico de ladescarga del molino, el rechazo del clasificador y el sobre flujo o rebalse del clasificador ohidrociclón. Considerando que:d= % acumulado sobre cualquier malla en la descarga del molino.o= % acumulado sobre cualquier malla en el sobre flujo del clasificador.s= % acumulado sobre cualquier malla en el rechazo del clasificador.Así:Rcc = Relacion de Carga Circulante = (d − o)(s − d)

EjemploAnálisis granulométrico de las tres muestras se muestra a continuación:Malla Descarga del molino Rebalse del clasificador Rechazo del clasificador% % Acum. % % Acum. % % Acum.+48 42.3 - 1.2 - 55.7 -+65 15.3 57.6 6.6 7.8 18.2 73.9+100 9.5 67.1 9.4 17.2 9.6 83.5+150 5.7 72.8 10.2 27.4 4.2 87.7+200 6.1 78.9 12.4 39.8 4.1 91.8-200 21.1 100.0 60.2 100.0 8.2 100.0Aplicando la formula a -65 mallas:Rcc = (57.6 − 7.8)(73.9 − 57.6) = 3.05Aplicando la formula a -150 mallas:Rcc = (72.8 − 27.4)(87.7 − 72.8) = 3.05Aplicando la formula a -200 mallas:Rcc = (21.1 − 60.2)(8.2 − 21.1) = 3.03Promediando Rcc=3.04, si el tonelaje alimentado diariamente al molino es 200 toneladas eltonelaje de rechazo es entonces 608 toneladas.El éxito de una planta de flotación depende de las relaciones de escalamiento que han sidoincorporadas en el diseño de la planta.Los problemas principales que son necesarios resolver cuando se enfrenta al diseño de uncircuito de flotación, son los siguientes:1. Es mejor instalar un pequeño número de celdas grandes o un gran número de celdasmenores.2. Con que criterio debe hacerse la relación de tamaños de celdas para tratar pulpas congranulometría más gruesa o más fina.3. Como seleccionar el tamaño adecuado para un circuito Rougher, Cleaner, Recleaner oScavenger.4. De que manera se ve afectada la flexibilidad de la planta al instalar celdas grandes opequeñas.5. Que agitación, velocidad de aireación y áreas específicas de espumación son las másadecuadas desde el punto de vista de capital y costos de operación.6. Que cuidados debe tenerse al escalar resultados de laboratorio a escala de operaciónindustrial.

De las pruebas de laboratorio a escala Batch o cíclica es importante determinar, para el diseñode la planta, el tiempo de flotación y la densidad de pulpa óptima.El escalamiento del tiempo de flotación es el más delicado, algunos investigadores establecenque es suficiente un incremento entre un 10 a un 25% del tiempo de laboratorio para obtenerel tiempo de residencia para los cálculos de la planta (Reddy y Pando). Otros piensan que esnecesario aplicar un factor de 1.6, 1.8 ó 2.0.Para nuestros cálculos se escogerá el factor 2.0, es decir, un aumento de 100% el extrapolar eltiempo de residencia del circuito Rougher del laboratorio a la planta piloto o industrial. Almismo tiempo se supone que este tiempo calculado para el circuito Rougher a lo menos igualpara cada uno de los circuitos subsiguientes. Esto como es de suponer tiene sus limitacionesque es necesario evaluar en cada caso particular.ETAPAS EN EL DISEÑO DE UN CIRCUITO DE FLOTACIÓNLa decisión de construir una planta de beneficio de minerales que incluya un circuito deflotación se basara sobre la demostración de que la especie útil en el yacimiento puede serextraída en operaciones mineras, procesada por flotación para obtener concentrados quepueden ser fundidos a metales o simplemente vendidos, con un rendimiento económico netopara los que financian el proyecto.La decisión de construir se alcanzara después de varias etapas de actividad con detalles detrabajos y costos de referencia específica a los componentes de flotación. Estas etapas puedenser resumidas como sigue:Comprende ensayos preliminares de flotación a escala de laboratorio con datos de tenores yestudios mineralógicos. Esta da como resultado un informe preliminar sobre la aplicación dela flotación convencional al tratamiento de las muestras minerales.El informe presentara tenores, recuperaciones y requerimientos de reactivos, informara sobresubproductos útiles en niveles significativos se suministrara sugerencia s para un circuito deflotación.La duración de esta primera etapa será de 1 a 3 meses dependiendo de la disponibilidad demuestras y complejidad del mineral. Un estudio de factibilidad preliminar usualmenteproporcionara un orden de magnitud de costos de la planta y operación.Comprende pruebas de flotación detalladas, incluyendo:1. Estudio de reactivos para establecer el tipo óptimo y niveles óptimos.2. Refinamiento de los límites de molienda.3. Refinamiento del circuito, es decir, Rougher vs Rougher-Scavenger.4. Establecimiento del material que se va a remoler, circuito abierto vs circuito cerradosobre productos intermedios.

5. Pruebas de ciclos.6. Examen de tipos de minerales pasados en la disponibilidad de muestras.Los detalles en esta etapa dependen en alguna mediad de las reservas probadas de mineral, ydel potencial de rentabilidad de la planta. La duración puede ser de 6 meses a 2 añosdependiendo de estos mismos factores.A menudo es necesario un estudio detallado de factibilidad ya sea en la propia empresa o poruna compañía de ingeniería. Los resultados de este estudio y magnitud del proyectodeterminaran si se necesita una planta piloto y su capacidad, y si se deben emprender juntocon las actividades de planta piloto estudios preliminares de ingeniería.En esta etapa debe decidirse la construcción o el empleo de una planta piloto existente. Elprograma de planta piloto puede comprender.1. Ensayos intensivos de los tipos de mineral predominantes.2. Establecer la variabilidad de reactivos para los tipos de minerales.3. Determinar relaciones más definitivas entre capacidad, molienda y resultado de flotación.4. Determinar los detalles finales del circuito.5. Obtención del circuito definitivo para la recuperación de subproductos y obtención deresultados cuantitativos.6. Adiestramiento de capataces y operadores.7. Estimación definitiva de los requerimientos de celdas de flotación y posibilidades de tiposde celdas.8. Cálculo de balance de masa y flujo para el diagrama de flujo final.9. Preparar muestras grandes de concentrado para estudio del mercado.10. Comparar costos con métodos alternos de procesamiento.11. Comparar rendimientos de equipos.12. Demostrar la factibilidad del proceso para inversionistas no técnicos.Consiste de una estimación de pre ingeniería de los costos de la planta y costos de operaciónbasados en la información de planta piloto. Esta servirá de base para el manejo de decisiónpara autorizar la planta industrial y para pedir cotizaciones para ingeniería y construcción.Con la adjudicación de un contrato para ingeniería y construcción de la planta, la compañíaseleccionada en colaboración con representantes de la compañía preparan el criterio dediseño.La tabla 2 representa un “set” típico para la sección de flotación de una planta de Cu hipotéticamientras que la tabla 3 presenta la lista de equipos.TABLA 2. Criterio de diseñoVelocidad nomina de alimentaciónde la planta (TPD)(calendario) 100.000

Velocidad de molienda diseñada TPD (en operación) 113.600Velocidad de molienda diseñada TPH 4.740Análisis granulométrico del flujo del ciclón (% acumulado)+ 48 mallas 8%+65 mallas 20%+100 mallas 30%+200 mallas 50%-325 mallas 38%Sección de flotaciónContenido de Cu, alimentado a la sección de flotación 0.5Concentrado Rougher 12.3Primer concentrado Cleaner 28.0Segundo concentrado Cleaner 34.0Tercer concentrado Cleaner 38.0Tiempo de retención, minutosRougher 12.0Scavenger 12.0Cleaner 1 9.0Cleaner 2 10.0Cleaner 3 15.0% solidosRougher 28.5Scavenger 29.51° Cleaner 11.82° Cleaner 14.83° Cleaner 18.7Colas scavenger (finales) 33.1Reactivos (lbs/ton)z-4 0.05z-6 0.05MIBC 0.525Ácido cresílico 0.175Cal 0.20Se remuele el primer concentrado CleanerTamaño del producto, -325 mallas. 85Tonelada por día calendario 2160TABLA 3. Equipo mecánico de la planta.Sección flotaciónCeldas deflotación Número deunidades Tamaño Velocidad ocapacidad Hp por unidadRougher 160 N° 120 300 pies3 40Scavenger 160 N° 120 300 pies3 401° Cleaner 27 N° 120 300 pies3 40

2° Cleaner 24 N° 84 150 pies3 153° Cleaner 18 N° 84 150 pies3 15Bomba para concentradosRougher 12 8” vertical 1800 gpm 75Bomba para concentradosScavenger 12 8” vertical 2000 gpm 100Bomba para Cleaner1 2 8” vertical 2000 gpm 100Bomba para Cleaner2 2 8” vertical 2000 gpm 75Bomba para Cleaner3 2 8” vertical 1125 gpm 50Bomba delimpieza 6 3.5” vertical 250 gpm 50DistribuidoresAlimentadoresde flotación de 8vías 2 14’ Diam X 5 ‘Lavadores decolas 4

CONCEPTOS BASICOS DE CINETICA FLOTACIONAL PARA LADETERMINACION DEL TIEMPO DE RESIDENCIA ÓPTIMOFLOTACIÓN BATCHCuando se realiza un ensayo flotacional “Batch” los concentrados parciales retirados adistintos tiempos de flotación varían en calidad y cantidad.Cálculos simples de la recuperación acumulativa nos muestra que este crece rápidamente enlos primeros minutos de flotación y que después la curva se hace asintótica con el tiempo, sinalcanzar una recuperación del 100%. La forma de esta curva se aprecia en la figura 3.

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8,5 10 12 14

Tiempo (min)

Tiempo (min)

La recuperación al tiempo t1 esta dada por la pendiente de la tangente en un punto A – B y asísucesivamente. Es lógico también que la velocidad de recuperación decrecerá con el tiempo.Con frecuencia se ha encontrado que la velocidad de flotación a un tiempo dado depende de lacantidad de partículas flotables en la celda en ese instante.El modelo cinético más simple para explicar esta relación, ha supuesto que la adherenciapartícula-burbuja puede considerarse como un proceso análogo a una reacción química entrelos reactivos simples para dar un producto a través de una cinética de primer orden.Así, la ecuación de velocidad para el proceso, igualándola a la velocidad de cambio de laconcentración de material flotable en la celda, puede escribirse:− = ∗C = Concentrado de las partículas en la pulpa.K = Constante especifica de velocidad de flotación.n = Es el orden de la reacción (n=1, para la cinética de primer orden).Esto implica que todas las partículas tienen idéntica flotabilidad, que todas las partículas sonde igual tamaño, igual forma e idéntica superficie.Bajo estas condiciones K está relacionada con las condiciones de flotación , tales comoconcentración del colector, velocidad de aireación y que se consideran constantes durante laejecución de la prueba. Para cualquier condición dada, K es una medida cuantitativa de laprobabilidad a que las partículas de una especie sean recuperadas en el concentrado. Lasdimensiones de K en una cinética de primer orden son: tiempo a la -1.La integración de la expresión − = ∗= ∗Donde:Co = Concentración del material flotable en la celda a t=0.C = Concentración del material flotable en la celda al tiempo t.Para representación grafica se puede representar como:= ∗ ( )Sin duda existe una dificultad para determinar el tiempo cero (0), puesto que transcurrecierto tiempo desde que se abre la llave de aire en una celda hasta que se forma una espumamineralizada adecuada para la remoción del concentrado.

Sin embargo, cualquier tiempo en una prueba Batch puede considerarse como tiempo cero. Lomejor es esperar hasta que la remoción de espuma esta bajo control para tomar muestrasexperimentales. Al finalizar un experimento de flotación, después de un tiemposuficientemente largo siempre queda en la celda una cantidad de material que no flotó. Si laconcentración de este material lo representamos como C , la ecuación (a) se puede rescribircomo; ( − )( − ) = ∗ ( )Para trabajar con recuperación, se empleara: =Donde;M = Masa de todo el mineral o la masa de la fracción flotable, y de la misma forma.V = Puede ser el volumen de la pulpa.Si se mantiene V constante durante la ejecución del experimento, la recuperación al final de laprueba, R, será:

= ( − )( ) = ( − )( ) ( )Y la recuperación para un tiempo (t) dado:

= ( − )( ) ( )De la ecuación (b) se deduce que:( − ) = ( − ) ∗ (e)Realizando algunos arreglos matemáticos simples e introduciendo la definición de R y R delas ecuaciones (c) y (d). Se puede escribir la ecuación © en función de las recuperaciones:= (1 − ) ( )Donde:R = Recuperación acumulativa al tiempo t.R = Recuperación de equilibrio a tiempo infinito.K = Constante de velocidad de primer orden.Así la recuperación es una función de K y del tiempo de flotación.

En la práctica rara vez la ecuación se cumple exactamente debido a la dificultad de fijar eltiempo cero en forma precisa. Para obviar esta dificultad se introduce una corrección en eltiempo y la ecuación de velocidad toma la forma siguiente:= ∗ [1 − exp[− ( + )]]Para ilustrar el cálculo K veamos los datos de la tabla 4. Para que la curva pase por el origendebe ser igual a 3.5 min.Así: = 0.85 ∗ [1 − exp[−0.207( + 3.5)]]Tiempo (min) % R( ) ( − ) ( − ) ∆∆ =1 49.1 0.4223 -0.86 -0.2072 61.5 0.2765 -1.294 69.8 0.1788 -1.728 76.5 0.1000 -2.3016 83.5 0.0126 -4.04Un tratamiento similar puede hacerse para la ganga.Las pruebas batch estan sujetas a varias fuentes de error para el cálculo experimental de K. larecoleccion de concentrado en los primeros minutos de flotación es fundamental para laexactitud de la determinacion de K. en la practica esto exige la remocion inmediata delmaterial flotado que aparece en la espuma la cual es fisicamente imposible realizar en pocosminutos. Además, no siempre el flujo de concentrado puede despreciarse y al cambiar elvolumen de pulpa pueden tambien cambiar las condiciones de agitacion y aireacion en lacelda. En la espuma mineralizada tambien va una alta concentracion de espumante, lo cualsignifica que la concentracion de este y otros reactivos de flotcion decrece en la celda con eltiempo. La constante K, depende de una serie de variables del proceso, tales como,dosificacion y tipo de reactivos (especialmente del espumante); velocidad de agitacion,velocidad de aireacion, etc. Sin embargo, merece destacarse que aun manteniendo todas lascondiciones constantes, cada especie mineral presente en la muestra tiene su propiaconstante de flotación K y aun más cada fraccion de tamaño de cada especie presente una Kdistinta.En las figuras adjuntas se muestra la dependencia de K con el tamaño de partícula y velocidadde agitacion.

DETERMINACION DEL TIEMPO ÓPTIMO DE FLOTACIÓNEl tiempo de residencia es un factor crítico entre los diversos parámetros involucrados en eldiseño y operación de un circuito de flotación. Recientemente (Agar et al.) han analizado laaplicación de los siguientes criterios para analizar y determinar el tiempo óptimo de flotación:1. No agregar al concentrado material de tenor menor a la alimentación de la etapa deseparación.2. Maximizar la diferencia en recuperación entre el mineral valioso y la ganga.3. Maximizar la eficiencia de separación.El criterio (1) es obvio ya que la flotación es fundamentalmente una etapa de concentración.Para el caso de tenores de alimentación muy altas, al aplicar este criterio al circuito Rougherse obtendrán tenores de colas también altas, por esta razón con frecuencia se implementa unao más etapas scavenger seguidos de la etapa Rougher. Es claro entonces que la aplicación deeste criterio se refiere a cada etapa en particular.Para analizar el criterio (2) se asume que la ecuación de velocidad que describe el proceso deflotación es de la forma simple: = [1 − exp(− )]Como la recuperación es una función del tiempo de flotación es posible definir un valor ∆ quecorresponda a la diferencia en recuperación entre el mineral valioso (a) y la ganga (b).Así: ∆= −∆ = [1 − exp(− ] − [1 − exp(− )]= − exp(− ) − + exp(− )

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 10 20 33 40 50 60 70

tamaño de particulas (micrones)

tamaño de particulas(micrones)

Para maximizar esta diferenciase debe obtener la diferencial con respecto a t e igualar a cero:∆ = 0∆ = ( ) exp(− ) − ( ) exp(− ) = 0( ) exp(− ) = ( ) exp(− )[( ) ] = ∗ [( ) ] ( )De aquí se obtiene:= [ ( )/( )]( − )Ahora de la ecuación de velocidad:= [− exp(− )]= ∗ exp(− )Comparando con la ecuación (g) se nota que:∆ = 0Cuando: =La máxima diferencia en recuperación de las dos fases que se pretende separar correspondeal tiempo al cual las dos velocidades de flotación se hacen iguales.Con respecto al criterio (3) y definiendo la eficiencia de separación (ES) como la diferencia enla recuperación del mineral valioso y la ganga en el concentrado:= −Así, la Eficiencia de Separación será máxima cuando:1. La diferencia es recuperación entre la especie valiosa y la ganga sea máxima.2. Las velocidades de flotación del mineral valioso y la ganga sean iguales.Definiendo la Eficiencia de Separación como:= ( − )( − )

Donde, R es la recuperación y se define como:=Donde:M = contenido metálico del mineral valioso.c = tenor del concentrado acumulativo.F = peso da alimentación.f = tenor de la alimentación.W = peso del concentrado.Entonces:

= ( − )( − )Para determinar el tiempo al cual la eficiencia de separación es máxima, se diferencia conrespecto a t y se iguala a cero:= ( − ) ( − ) + = 0(h)Si:=

Donde:G = es el tenor instantáneo del concentradoSu diferencial es: = += +Multiplicando por dW/dt: = + ( )Sustituyendo la ecuación (i) en la ecuación (h) queda:

= ( ( − ) − + − = 0Así: =Esto demuestra que cuando la eficiencia de separación es máxima, el tenor instantáneo delconcentrado es igual al tenor de la alimentación.Los tres (3) criterios citados son en realidad diferentes postulados del mismo principio.La utilidad y comparación de estos criterios se puede observar al analizar el siguienteejemplo. Los resultados corresponden a la investigación realizada por Agar et al. para unmineral de calcopirita flotado con Amil Xanthato a pH alcalino. En la figura se presenta losresultados para una prueba Rougher a nivel de laboratorio.En la figura se muestra el tenor parcial, el tenor acumulativo y la eficiencia de separación enfunción del tiempo. Los tiempos de residencia óptimos determinados de la figura son:1. Tenor del concentrado parcial = 4.2 min.2. Eficiencia de separación = 4.3 min.Los cálculos de K para calcopirita y la ganga se obtuvieron de la figura:Las ecuaciones de velocidad obtenidas fueron las siguientes:= 0.984 ∗ 1 − exp −0.506( + 3.1)= 1 ∗ 1 − exp −0.008( + 5.2)Diferenciando estas dos ecuaciones e igualando las diferenciales se llega a un tiempo Rougheróptimo de 5.1 min.De esta forma, para el resto de las pruebas se seleccionó el valor promedio de los 3 criterios,es decir, 4.5 min.Los resultados obtenidos para la primera etapa de limpieza Cleaner se presenta en la figurasiguiente.El tiempo óptimo obtenido por el criterio del tenor del concentrado parcial fue de 1.5 min. ypor el análisis de la eficiencia de separación fue 1.7 min.Las constantes de velocidad se obtuvieron gráficamente de la figura:Las ecuaciones de velocidad para la primera limpieza fueron:= 0.96 ∗ ⟨1 − exp −1.03( − 0.5) ⟩= 0.62 ∗ ⟨1 − exp −0.484( − 0.2) ⟩

De aquí se obtuvo un tiempo óptimo de 1.4 min. En forma similar a la etapa anterior se eligióel valor promedio de 1.5 min.Para la segunda limpieza empleando los criterios 1 y 3, los tiempos óptimos obtenidos fueron0.8 min. en ambos casos y los resultados se presentan en la figura:Las ecuaciones obtenidas para calcopirita y ganga son:= 0.097 ∗ [1 − exp(−2.67 ∗ )]= 0.73 ∗ [1 − exp(−1.20 ∗ )]A partir de estas ecuaciones y aplicando el criterio 2 se calculó un tiempo óptimo de 0.75 min.La selección de tiempos óptimos de laboratorio para las 3 etapas de separación se muestra enla tabla: Tiempo óptimo (min)Etapa Criterio Promedio1 2 3Rougher 4.2 5.1 4.3 4.51° Cleaner 1.5 1.4 1.7 1.52° Cleaner 0.8 0.75 0.8 0.75FLOTACIÓN CONTINUAPara analizar la flotación continua se asume una celda operada continuamente bajocondiciones de estado estacionario. Es decir, una alimentación constante en calidad ycantidad, además, la flotación se realiza de manera tal que las características del concentradoy de las colas permanecen invariables con el tiempo. Si se aplica la ecuación:− = ∗ ( )Para esta celda, la constante de velocidad estaría definida por:

= ó ( )⁄= ( ) ∗ ( ó )Definiendo el tiempo de residencia nominal, , como:= ( )

Donde:

V = Volumen de la celda.Q = Velocidad de flujo volumétrico de las colas.Se puede demostrar que la recuperación fraccional de una celda, suponiendo todo el materialflotante (R=1) a lo largo de un banco de celdas, esta dada por:= ∗(1 − ∗ ) ( )Para varias celdas en serie, donde el volumen de concentrado recuperado en cada celda puedeconsiderarse despreciable, la recuperación fraccional en la primera celda a partir de laalimentación será: = ∗(1 − ∗ ) ( )La recuperación fraccional en la segunda celda a partir de la alimentación celda a celda, estarátambién dada por la ecuación (e) y la recuperación a partir de la alimentación original albanco de celda será: = ∗(1 − ∗ ) (1 − ) ( )

= ∗ (1 − ) (ñ)Así, la recuperación fraccional acumulativa (recuperación total) para un banco de N celdas,cuando el volumen de concentrado es pequeño comparado con el flujo total, será:= + ∗ (1 − ) + ∗ (1 − ) +∙∙∙ + ∗ (1 − ) ( )Cuya suma es:= 1 − (1 − ) ( )

CALCULOS DE VOLUMEN DE CIRCUITOS Y NÚMERO DE CELDASEl tamaño de las celdas de flotación Rougher (primaria) se determina sobre la masa de datos“Batch” de laboratorio o de trabajo experimental en forma continua a escala piloto.Los tiempos de resistencia en celda “Batch” de laboratorio generalmente se multiplican por 2al escalar a nivel de flotación continua. En los ensayos “Batch” cada porción de sólido tiene elmismo tiempo de resistencia tomando ventaja de la oportunidad de flotar. En flujo continuohay una distribución de tiempos de resistencia para cada unidad de sólido. Parte de la pulpa(solidos) pasa a través del circuito más rápido que el promedio o tiempo de residencianominalmente indicado.

Esta porción de la pulpa (o solidos se dice que esta en “corto-circuito”). Una parte reside mástiempo que el nominal, de aquí, la recuperación esta incompleta para esta porción. Por estarazón y debido a que las celdas de laboratorio son generalmente mejores mezcladoras que lasceldas a escala de planta, el factor de escalamiento de 2 es razonable. El tiempo de residenciaa escala piloto continua, frecuentemente se mantiene el mismo valor o se reduce levemente enel escalado industrial.El volumen neto de las celdas comerciales verdaderamente ocupado por la pulpa debe ser tanbajo como 50-60% del volumen nominal. Para cada celda particular debe tomarse en cuenta:1. Todo el volumen ocupado por el rotor, estator, cañerías, bafles, tubos, etc.2. Aire que entra en la pulpa (rango 5-30%). Un caso típico es 15% del volumen de aire.Conociendo los datos de velocidad de alimentación de sólidos secos, peso específico de sólido,densidad de pulpa y tiempo de residencia en planta, el volumen efectivo requerido para cadacircuito de flotación se puede calcular. Por conveniencia el flujo de pulpa de alimentaciónfrecuentemente se convierte en velocidad de flujo volumétrico representado por D, pie3/min.por tonelada de sólido seco por hora. Entonces el volumen efectivo total del circuito es:( ) = ( )( . ) ∗ ℎ ∗Una vez que se selecciona una celda particular, su volumen efectivo para cada celda debe sercalculado o estimado y el número total de celdas puede entonces ser calculado. En plantas degran capacidad el circuito Rougher-Scavenger normalmente será dividido en varios bancosidénticos de celdas. Si la velocidad de alimentación de sólidos es menor que 500 toneladascortas por hora, sólo un banco Rougher-scavenger se usaría normalmente.A veces el número de bancos Rougher-Scavenger se selecciona para igualar el número decircuitos de molienda.El uso moderado de celdas de flotación de gran volumen (500 / ) significa quevarios circuitos de molienda pueden alimentar un banco Rougher-Scavenger.Generalmente, se elige un número mínimo de celdas por banco para minimizar el corto-circuito de la pulpa. Para la flotación primaria de sulfuros, nunca se recomiendan bancos conmenos de 10 celdas. El rango usual estipulado por la teoría y la experiencia es de 12 a 18celdas por banco de flotación primaria de sulfuros. Para minerales no sulfurosos el rango esmucho menor y esta entre 4 a 12 celdas por banco.CIRCUITOS DE LIMPIEZAEstos circuitos se operan a menor densidad de pulpa que los circuitos Rougher-Scavenger conla finalidad de incrementar la selectividad.Para asegurar la recuperación de partículas de flotación lenta, el tiempo de residencia de lapulpa en cada etapa de limpieza debiera ser por lo menos igual al circuito primario Rougher.Las partículas muy finas completamente liberadas pero de flotación lenta con frecuencia sepierden por despreciar esta característica de diseño.

El cálculo de volumen requerido de los circuitos de limpieza se realiza similarmente a ladescrita para los circuitos Rougher-Scavenger. Los circuitos de limpieza no requieren ser tanlargos como los circuitos primarios ya que normalmente no se intenta producir unas colasdescartables. Por tanto, pequeñas cantidades de corto-circuito pueden tolerarse en un circuitode limpieza.EJEMPLOS DE CALCULOS RELATIVOS A PLANTAS DE FLOTACIÓNAlimentación al circuito de flotación = 90000 toneladas cortas por dia de sólido seco.Peso específico de sólido seco = 2.8Densidad de la pulpa en el circuito primario (Rougher) = 35% de sólidos.Tiempo de residencia de la pulpa en la planta = 12 min.Velocidad de alimentación de sólidos, Vsol.:. = 9000024 = 3750 ℎVelocidad de alimentación de agua. Vag.:. = 900000.35 − 90000 ∗ 124 = 6964 ℎVelocidad total de flujo de pulpa, Vpulpa:= .+ = 3750 + 6964 = 10714 ℎVelocidad de flujo volumétrico, Vvol.:

. = (3750 ∗ 2000)(62.4 ∗ 2.8 ∗ 60) + (6964 ∗ 2000)(62.4 ∗ 1 ∗ 60) = 4430= 44303750 = 1.18 ⁄ ℎ .El volumen efectivo total para el circuito primario para proporcionar un tiempo de residenciade 12 min. es: 12 .∗ 3750 ℎ ∗ 1.18 ( .∗ ℎ) = 53100

Usando celdas de tamaño nominal de 600 y permitiendo un 15% del volumen para el airemás un 5% para cañerías más rotor, nos da un volumen efectivo de 480 para la celda.Así, el número de celdas que se requiere, N, es:

= 53100480 = 110Serian adecuados aproximadamente 6 bancos de 18 celdas cada uno (total 108 celdas).Algunas fórmulas útiles para el cálculo de circuitos de flotación son las siguientes:

= ( ∗ )( ∗ ) = ( ∗ )(1440 ∗ ∗ )Dosnde:N = Número de celdas.Vm = Capacidad de pulpa que entra a la operación de flotación en ( ).t = Tiempo de flotación, min.Vk = Capacidad nominal de la celda enK = Relación de volumen de pulpa real a volumen geométrico de la celda. ( ≅ 0.65 − 0.75)Vc = Cantidad de pulpa que entra a una operación de flotación en ⁄ .El número de celdas (N) también se puede calcular de la siguiente manera:A partir del tiempo de flotación (min) se calcula un parámetro (m) donde:= 60Si se conoce la cantidad de pulpa que entra por hora al proceso de flotación entonces:= 24 = ∗ 60Así la capacidad total ( ) de celdas (para la pulpa) se puede calcular:= ( + )Para calcular la cantidad de pulpa que entra a una operación de flotación (Vc) y su densidad,con frecuencia se recurre a las siguientes ecuaciones:= + 1Donde:Q = Toneladas de mineral por día.

= Gravedad especifica del mineral.R = Relación de líquido a sólido en la pulpa.Las variables Q y R se pueden encontrar aplicando las siguientes relaciones:= ∗( − 1)= ( ∗ − )

EJEMPLOS DE CÁLCULOCapacidad de la planta = 2400 ton/díaGe = 3.0% sólidos = 25%Tiempo de flotación = 10 min.Calcular:Número de celdas (N) sí se instalan celdas de 0.75 mDeterminarelgradodediluciondelapulpa(R).= = 7525 = 32. Determinar la alimentación diaria de pulpa a la flotación.= 2400 ∗ 3 + 13 = 8000 ∗3. Determinar el número de celdas de flotación ( = 0.75 )

= (8000 ∗ 10)(1440 ∗ 0.75 ∗ 0.7) = 105.8Teniendo en cuenta que el número de celdas debe ser un número par, el resultado nos da:N = 106Por el método alterno:

= 6010 = 6= 800024 = 333.33= 333.36 = 55.6= 55.60.75 ∗ 0.70 = 105.9= 106

Tiempo de flotación = 20 min.% de sólidos = 20%= Ge = 4.0N (número de celdas) = 100Volumen de celda = 1.3 m3Calcular:Alimentación diaria de pulpa y mineral.1. Determinar la alimentación diaria de pulpa:= (1440 ∗ ∗ ∗ ) = (1440 ∗ 10 ∗ 1.3 ∗ 0.75)20= 7020Por el otro método, el volumen de pulpa en 100 celdas es := 1.3 ∗ 0.75 ∗ 10 = 97.5En una hora: = 6020 = 3Así en una celda hora, pasan: 97.5 ∗ 3 = 292.5 ℎEn el día: 292.5 ∗ 24 = 70202. Determinar la alimentación diaria de mineral.= 8020 = 4

= (7020 ∗ 4)(4 ∗ 4 − 1) = 1625Toneladas de mineral por día = 2400Ge = 3.0% de solidos = 75%N = 106Calcular: Alimentación diaria de pulpa Cual es el tiempo de flotación1. Determinando la alimentación diaria de pulpa= 2400 ∗ 3 ∗ 3 + 1 3 = 80002. Determinando el tiempo de flotación= (1440 ∗ ∗ ∗ ) = (1440 ∗ 106 ∗ 0.75 ∗ 0.7)8000= 10 .SELECCIÓN DE CELDAS DE FLOTACIÓN SEGÚN CAPACIDAD DELA PLANTAEs obvio que los costos de capital, costos de instalación y costos de operación son menorescon celdas de gran volumen, es necesario considerar que los resultados que se obtengandeben ser a lo menos igual a los obtenidos con celdas de pequeño tamaño.Si se toma el rango de tamaños de la celda de 100 a 1000 pies cúbicos varias velocidades deoperación diarias para un tiempo fijo de 8 minutos y 20, 30 y 40% de solidos, peso especificode 3.0 se puede calcular. Los datos que se entregan en la siguiente tabla:

VARIACIÓN EN CELDAS REQUERIDAS CON EL TAMAÑO A DIFERENTESTONELAJES Y DENSIDADES DE PULPATiempo de flotación = 8 minGe = 3.0

Tonelada/día (% de solidos) 10000 25000 50000 100000Celdas de 100 pcc20 77 192 383 76730 49 122 245 48940 32 81 161 322Celdas de 500 pcc20 16 40 80 16030 10 25 50 10040 6 16 32 64Celdas de 1000 pccc20 8 20 40 8030 5 12 24 5040 3 8 16 32Los aspectos más importantes de estas comparaciones son:1. Las celdas de tamaños mayores, 1000 pcc (pie cubico) y aun más grandes de 2000 pcc,podrían usarse únicamente en circuitos primarios de plantas de tamaño muy grande. Bajo50000 tpd (tonelada por día) se requerirían pocas celdas como para prevenir el corto-circuito de la pulpa y la flexibilidad de la operación.2. Celdas de 500pc parecen útiles para el rango de 25000 a 50000 tpd, pero son demasiadograndes para plantas de 10000 tpd o más pequeñas.3. El uso de celdas de 100 pcc o de tamaño menor esta limitada a plantas bajo 1000 tpd.4. En general, al usar celdas de gran tamaño no se consigue una reducción en el número deceldas de un banco, lo cual esta controlado por consideraciones del corto-circuito a unmínimo probable de 8, pero permite una drástica reducción en el número de bancos,secciones, bombas y distribuidores.En la tabla siguiente se ilustra este aspecto, más específicamente en términos de factores talescomo costos de capital, instalaciones y construcción. Se considera los efectos al cambiar lasantiguas celdas Wemco de 51 pcc a celdas de 425 pcc y a sus nuevas celdas de 1000 pcc.

COMPARACION DE FACTORES ECONOMICOS DE ACUERDO AL TAMAÑO DECELDASBase:50000 TPD20% solidosTiempo de flotación = 6 min. para flotación primaria o sea 28750 pc de volumen de celda.51 pcc 40 filas de 14 celdas425 pcc 5 filas de 14 celdas1000 pcc 2 filas de 14 celdasTamaño de celdas wemco (2*2 celdas)Volumen(piecubico) AreaL*W N° deunidades Área total Longitud totalRelación de área(pie cuadrado) Relación (pie) Relación de costos51 5.5*5 563 1.0 16800 1.0 3700 1.0 1.0425 12*9 68 0.12 7350 0.44 840 0.23 0.521000 13.7*10 28 0.05 4900 0.29 323 0.09 0.39Al analizar la tabla anterior se puede resaltar los siguientes factores:1. El número de celdas se reduce a un 12% y 5% respectivamente al emplear las celdas de425 y 1000 pies cúbicos.2. El área ocupada por las celdas, cajones de alimentación, cajones de conexión, etc. sereduce a 44 y 29% del original igual a 16800 pie cuadrado con las celdas de 51 pie cubico.Esto tiene un efecto sobre los costos de construcción.3. La longitud total de los bancos de celdas se reduce a 23 y 9% del valor original de 3700pies con las celdas de 51 pie cubico, esto junto a la reducción del número de celdas tendráun gran efecto en los costos de instalación.4. Los costos de las celdas mismas, basado en algunas extrapolaciones se reduce a 52% y39% de aquel de las celdas de 51 pie cubico.Se presenta otro ejemplo en plantas de más baja capacidad: 500, 1000 y 5000 ton/día. Tiempode flotación = 8 min.

SELECCIÓN Y CALCULOS DE CAPACIDADES TIPICAS DE PLANTAS DEFLOTACION% de sólidos enpulpa Capacidad de laplanta (ton/día) Capacidad de lasceldas (pcc) Numero de celdas requeridas60 (pcc) 40 (pcc)50 500 120 2 31000 240 4 65000 1200 20 3040 500 160 3 41000 240 6 85000 1600 40 4030 500 240 4 61000 480 8 125000 2400 40 6020 500 400 7 101000 800 14 205000 2400 70 10010 500 840 14 211000 1680 28 425000 8400 140 210VENTAJA DE LAS CELDAS DE GRAN VOLUMEN1. Menor espacio ocupado por los bancos de celdas y menores costos de capital.2. Menor número de motores.3. Menor número de canaletas y cañerías de unión4. Menor número de bombas.5. Menor costo en el sistema de manejo de reactivos.6. Menor costo de operación7. Menor consumo de potencia por unidad de volumen8. Menor costo de mantenimientoA pesar de las ventajas anotadas anteriormente debe tenerse cuidado con los problemas decorto-circuito, por esta razón aun en el caso de celdas de gran volumen no seria recomendableusar bancos con menos de 8 celdas.Las ventajas que con frecuencia se atribuyen a largos bancos de celdas pequeñas son:1. Mayor flexibilidad del circuito2. Menor corto-circuito3. Mejor control de espumas4. Menos sensible a fluctuaciones repentinas