Rigid Body Rotation

Rotacin de cuerpo rgidoPresentacin PowerPoint dePaul E. Tippens, Profesor de FsicaSouthern Polytechnic State University

1Objetivos: Despus de completar este mdulo, deber:Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples.Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton, energa cintica rotacional, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solucin de problemas fsicos.Aplicar principios de conservacin de energa y cantidad de movimiento a problemas que involucran rotacin de cuerpos rgidos.Inercia de rotacinConsidere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotacin se modele a partir de la ley de traslacin.F = 20 Na = 4 m/s2Inercia lineal, mm = = 5 kg20 N 4 m/s2F = 20 NR = 0.5 ma = 2 rad/s2Inercia rotacional, II = = = 5 kg m2(20 N)(0.5 m) 2 rad/s2t aLa fuerza hace para la traslacin lo que el momento de torsin hace para la rotacin:Energa cintica rotacionalm2m3m4mm1ejewv = wRObjeto que rota a w constante.Considere masa pequea m:K = mv2K = m(wR)2K = (mR2)w2Suma para encontrar K total:K = (SmR2)w2(w2 igual para toda m )Definicin de inercia rotacional:I = SmR2Ejemplo 1: Cul es la energa cintica rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?3 kg2 kg1 kg1 m2 m3 mwPrimero: I = SmR2I = (3 kg)(1 m)2 + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg)(2 m)2I = 25 kg m2w = 600 rpm = 62.8 rad/sK = Iw2 = (25 kg m2)(62.8 rad/s) 2K = 49 300 JInercias rotacionales comunes

LLRRRI = mR2I = mR2

AroDisco o cilindroEsfera slidaEjemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales.RI = mR2AroRI = mR2Disco

I = 0.27 kg m2I = 0.135 kg m2Analogas importantesPara muchos problemas que involucran rotacin, hay una analoga extrada del movimiento lineal.

xfR4 kgwtwo = 50 rad/s t = 40 N mUna fuerza resultante F produce aceleracin negativa a para una masa m.

ImUn momento de torsin resultante t produce aceleracin angular a de disco con inercia rotacional I.

Segunda ley de rotacin de NewtonR4 kgwFwo = 50 rad/sR = 0.20 mF = 40 Nt = IaCuntas revoluciones requiere para detenerse?FR = (mR2)a

a = 100 rad/s22aq = wf2 - wo20

q = 12.5 rad = 1.99 revEjemplo 3: Cul es la aceleracin lineal de la masa de 2-kg que cae?Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:R = 50 cm6 kg2 kg+aTTmgt = IaTR = (MR2)aT = MRa yT = MaT = MR( ) ;aRAplique 2a ley de Newton a la masa que cae:mg - T = mamg - = maT(2 kg)(9.8 m/s2) - (6 kg) a = (2 kg) a19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) aa = 3.92 m/s2a = aR; a = peroaRMaR = 50 cm6 kg2 kga = ?MTrabajo y potencia para rotacinTrabajo = Fs = FRqqFFss = Rqt = FRTrabajo = tqPotencia = = Trabajottq tw = q tPotencia = Momento de torsin x velocidad angular promedioPotencia = t wEjemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la potencia si la masa de 2 kg se eleva 20 m en 4 s.qFF=Wss = 20 m2 kg6 kgTrabajo = tq = FR qTrabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)sRq = = = 50 rad 20 m 0.4 mTrabajo = 392 JF = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 NPotencia = = Trabajot392 J 4sPotencia = 98 WEl teorema trabajo-energaRecuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energa cintica lineal:

Al usar analogas angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energa cintica rotacional:

Aplicacin del teorema trabajo-energa:Trabajo = DKrQu trabajo se necesita para detener la rueda que rota?R4 kgwFwo = 60 rad/sR = 0.30 mF = 40 NPrimero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2 = 0.36 kg m2

Trabajo = -Iwo2Trabajo = -(0.36 kg m2)(60 rad/s)2Trabajo = -648 J0Rotacin y traslacin combinadasvcmvcmvcmPrimero considere un disco que se desliza sin friccin. La velocidad de cualquier parte es igual a la velocidad vcm del centro de masa.vRPAhora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular en torno al punto P es igual que para el disco, as que se escribe: O

Dos tipos de energa cinticavRPEnerga cintica de traslacin:K = mv2Energa cintica de rotacin:K = I2Energa cintica total de un objeto que rueda:

Conversiones angular/linealEn muchas aplicaciones, debe resolver una ecuacin con parmetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes:Desplazamiento:

Velocidad:

Aceleracin:

Traslacin o rotacin?Si debe resolver un parmetro lineal, debe convertir todos los trminos angulares a trminos lineales:Si debe resolver un parmetro angular, debe convertir todos los trminos lineales a trminos angulares:

Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energa cintica total E.Energa total: E = mv2 + Iw2

Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular de un disco dada su energa cintica total E.Energa total: E = mv2 + Iw2

Estrategia para problemasDibuje y etiquete un bosquejo del problema.Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar.Escriba frmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota.Recuerde conceptos involucrados (potencia, energa, trabajo, conservacin, etc.) y escriba una ecuacin que involucre la cantidad desconocida.Resuelva para la cantidad desconocida.Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energas cinticas.wwvvDos tipos de energa:KT = mv2Kr = Iw2Energa total: E = mv2 + Iw2w = vR

Disco:E = mv2

Aro:E = mv2Conservacin de energaLa energa total todava se conserva para sistemas en rotacin y traslacin.Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)fmghoIwo2mvo2=mghfIwf2mvf2Altura?Rotacin?Velocidad?Altura?Rotacin?Velocidad?Sin embargo, ahora debe considerar la rotacin.Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo.h = 10 m6 kg2 kgR = 50 cmmghoIwo2mvo2=mghfIwf2mvf2

2.5v2 = 196 m2/s2v = 8.85 m/s

Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. Cules son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m?20 mmgho = mv2 + Iw2Aro: I = mR2

v = 16.2 m/s

mgho = mv2 + mv2; mgho = mv2

v = 14 m/sAro:mgho = mv2 + Iw2Disco: I = mR2;

Definicin de cantidad de movimiento angularm2m3m4mm1ejewv = wrObjeto que rota con w constante.Considere una partcula m que se mueve con velocidad v en un crculo de radio r.Defina cantidad de movimiento angular L:L = mvrL = m(wr) r = mr2w Al sustituir v= wr, da:Para cuerpo extendido en rotacin:L = (Smr2) wDado que I = Smr2, se tiene:L = IwCantidad de movimiento angularEjemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm.m = 4 kgL = 2 mI = 1.33 kg m2

L = Iw = (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2L = 1315 kg m2/s

Impulso y cantidad de movimientoRecuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal:

Al usar analogas angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular :

Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza acta durante 0.002 s. Cul es la velocidad angular final? R2 kgwFwo = 0 rad/sR = 0.40 mF = 200 ND t = 0.002 sMomento de torsin aplicado t = FRI = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2I = 0.32 kg m2Impulso = cambio en cantidad de movimiento angulart Dt = Iwf - Iwo0FR Dt = Iwf

wf = 0.5 rad/sConservacin de cantidad de movimientoEn ausencia de momento de torsin externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante).Ifwf - Iowo = t Dt0Ifwf = IowoIo = 2 kg m2; wo = 600 rpmIf = 6 kg m2; wo = ?

wf = 200 rpmResumen Analogas rotacionalesCantidadLinealRotacionalDesplazamientoDesplazamiento xRadianes InerciaMasa (kg)I (kgm2)FuerzaNewtons NMomento de torsin NmVelocidadv m/s Rad/sAceleracin a m/s2 Rad/s2Cantidad de movimientomv (kg m/s)I (kgm2rad/s) Frmulas anlogasMovimiento linealMovimiento rotacionalF = ma = IK = mv2K = I2Trabajo = FxTrabajo = tqPotencia = FvPotencia = IFx = mvf2 - mvo2 = If2 - Io2Resumen de frmulas:I = SmR2

mghoIwo2mvo2=mghfIwf2mvf2Altura?Rotacin?Velocidad?Altura?Rotacin?Velocidad?

Trabajo = tq

Rotacin de cuerpo rgido