Dinámica y cinemática de rotación

Si A y B se encuentran ligados a puntos fijos internos o externos y se aplican una fuerza sobre el sólido rígido se producirá un movimiento de rotación.

Al aplicar una fuerza F a un punto sólido (siempre que no corte el eje de giro) producirá un efecto análogo al que origina otra fuerza igual y paralela a ella y de sentido opuesto se las denomina par.

En un punto del eje actúan simultáneamente dos fuerzas opuestas F y -F, de direcciones paralelas a la primera y de igual valor a ella. En el eje las fuerzas se anulan de forma que sólo quedan las originales que dan lugar a la rotación.

cinemática:

Recordemos las bases de la cinemática del movimiento circular (de trayectoria circular):

El arco recorrido (ángulo): s=φ·R, donde R es el radio del círculo descrito. Las unidades que expresan la medida del arco s vienen condicionadas por las que miden la longitud del radio R. Este ángulo define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido y se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación

La velocidad angular: v=ω·R. δs/δt=(δφ/δt)·R. Se representa por un vector axial cuya dirección es perpendicular al plano de giro y su sentido sigue la regla del tornillo.

La aceleración angular (tangencial): at=α·R. δv/δt=(δω/δt)·R

La aceleración normal: an=v2/R = (ω·R)2/R = ω2·R. Si el movimiento fuese circular uniforme la a=0. Por lo tanto también lo sería la at. Sin embargo, habría aceleración normal, ya que ésta tan sólo depende de ω y R.

La fuerza centrípeta: Fn=(mv2)/R = m·ω2·R. La existencia de un movimiento circular supone siempre la acción de una fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad y con sentido hacia el centro de la curva descrita por el móvil.

La frecuencia: medida escalar de la velocidad de rotación .

El período: es el inverso de la frecuencia y representa el tiempo que se tarda

en dar una revolución completa .

Hablemos de los distintos momentos de traslación que encontramos en la dinámica de una partícula o de un sistema.

Escribiremos el producto escalar con un punto (·), y el producto vectorial con una cruz (x). Las magnitudes en negrita son vectoriales y las que no están en negrita son escalares.

Momento de una fuerza (M):

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M=r x F

Por lo tanto el módulo de M es: M = F x r = F · rsenα = F · d siendo d la distancia del origen a la dirección de la fuerza y r el vector de posición de donde se aplica la fuerza. Normalmente, como es el caso típico de un tornillo o una palanca, la fuerza se aplica en el extremo de la herramienta así que el seno del ángulo entre la dirección de F y la dirección de r es 1 (porque α es cero y sen 0=1) y entonces r=d.

Momento lineal (P):

También llamado cantidad de movimiento. Su ecuación es: P = m x v. Como se establece en la segunda ley de Newton, F = δP / δ t. Su dirección es tangente a la trayectoria del movimiento en cada punto y tiene el mismo sentido que la velocidad (v).

Se dice que un observador inercial es aquel para el que una partícula libre mantiene constante su cantidad de movimiento. Si la cantidad de movimiento es constante implica que su derivada es cero, por lo tanto la fuerza es cero. Así que reescribimos la frase anterior a: un observador inercial es aquel para el que no percibe que ninguna fuerza externa actúe sobre una partícula libre. De esto deducimos el:

Principio de conservación del momento lineal:

“Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza externa o la suma de las fuerzas vale 0, su momento lineal es constante”.

Es decir, que antes y después de un choque, por ejemplo, debe existir el mismo momento lineal. Por lo tanto la m x v (al inicio) = m x v (al final). Por lo tanto, si en el choque, el objeto se rompe y se separa en piezas, el resultado “al final” es la suma de cada masa multiplicada vectorialmente por su vector velocidad (ya que cada trozo llevará una velocidad distinta).

En un sistema de partículas (donde hay más de una), la cantidad de movimiento del centro de masas coincide con la suma de las cantidades de movimiento de cada punto material. Y está comprobado que también se cumple el principio de conservación, pues, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total es constante ya que las fuerzas internas se anulan entre sí y no lo modifican.

Impulso (I):

Esto no es un momento, sino la diferencia de momentos. Se define como el producto de una fuerza aplicada a una masa durante un tiempo t. Es decir, la diferencia de momentos lineales pasado un tiempo. Si I=F·t y F=m·a –> I=m·a·t. Y a=(v-v0)/t, por lo tanto I=m((v-v0)/t)·t –> I=mv-mv0=P-P0.

Hablemos de los distintos momentos de rotación que encontramos en la dinámica de una partícula o de un sistema.

Escribiremos el producto escalar con un punto (·), y el producto vectorial con una cruz (x). Las magnitudes en negrita son vectoriales y las que no están en negrita son escalares.

Momento angular o cinético (L):

Se define el momento angular o cinético de una partícula como el producto vectorial del radiovector que fija la posición de la partícula en cada instante por el momento lineal que posee dicha partícula. Es decir, L = r x P. Como P viene definida por P=m x v, el momento angular podría decirse que es el momento del propio momento lineal y se escribe como: L=m·r x v.

Esto es lo mismo que: L=r·m·v·senα, siendo α el ángulo r (radio de la figura, del origen al extremo que dibuja la trayectoria) y v (velocidad, tangente a la trayectoria). Éstos son perpendiculares normalmente y sen90º=1, por lo tanto L toma la dirección perpendicular al plano definido por ambos (r y v).

En un sistema de partículas, L del centro de masas equivale a la suma vectorial de los momentos angulares de todas las partículas del sistema.

Teorema del momento angular:

La derivada respecto al tiempo del momento angular de un sistema que se mueve en relación a un punto material es igual al momento, respecto a dicho punto, de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema. Es decir: Mext=δL/δt. Llegamos a esta conclusión pues:

δL/δt = [(δr/δt) x (mv)] + [r x (δmv/δt)] = [v x (mv) + (r x F)] = 0 + r x F = M.

Principio de conservación del momento angular:

“Si el momento, respecto a un punto, de las fuerzas exteriores (o la dirección de r y F coinciden) que actúan sobre un sistema es nulo (aislado), el momento angular respecto al mismo punto permanece constante”.

Es decir, que el momento angular de un sistema aislado es constante. Es sencillo verlo pues si no actúan fuerzas sobre él M será nulo, y para que M=δL/δt sea nulo, L debe ser constante.

Un ejemplo práctico para verlo es el caso del patinador.

Un patinador, como el de la foto de arriba, extiende los brazos al final de un giro. ¿Qué efecto produce? Pues sencillo. Sabiendo que el momento angular del sistema es constante, al aumentar el radio (r) de la figura (extendiendo los brazos), la velocidad debe disminuir con tal de que el producto final permanezca igual que como estaba. Así el patinador consigue acelerar su giro cerrando los brazos y frenar su velocidad al terminar el giro.

Momento de Inercia (I):

Supongamos un sólido rígido capaz de girar alrededor de un eje vertical z. Consideremos, asimismo, que en un punto cualquiera del sólido se aplica una fuerza F de dirección arbitraria que, lógicamente, puede descomponerse en dos. Una en la dirección del radio que une el eje con el punto y que es anulado por la resistencia del eje, y otra perpendicular a la primera que producirá un movimiento de rotación. Como hemos definido antes, L=m·r x v, y como sabemos de cinemática de rotación: v=ω·r. Por lo tanto, L=m·r^·ω. Pues al producto de masa por la distancia del eje al cuadrado (r2) se le llama momento de inercia I. Así pues se puede expresar el momento angular como: L=I·ω.

El teorema de conservación del momento de inercia en rotación propone que L=I·ω es constante en todo sistema aislado (como vimos en el momento angular).Ecuación Fundamental de la Dinámica de Rotación:

M=I·α

Análoga a la Ecuación Fundamental de la Dinámica de Traslación (F=m·a tenemos ésta, donde M es el momento de una fuerza, I el momento de inercia y α la aceleración angular. Viene de derivar L=I·ω. (δL/δt)=[(δI/δt) · ω] + [I · (δω/δt)]. El primer término es cero ya que I es constante porque el sólido gira alrededor de un eje concreto, así que: (δL/δt)=I·α = M.

Movimiento de un cuerpo por un plano horizontal:

En este caso, la fuerza que actúa sobre el cuerpo perpendicularmente al plano de deslizamiento es su peso Peso = m · g y según la figura de la derecha, es obvio que N=Peso=m·g (1) (como vemos en la cruz de fuerzas del sistema). Por tanto, la fuerza de rozamiento valdrá: Fr=µ·N=µ·m·g. La fuerza efectiva que dé origen a la aceleración del objeto será: Fefectiva=Faplicada-Fr=Fa-µ·m·g (2).

Para resolver problemas de este tipo tendremos en cuenta el Segundo Principio de Newton (F=m·a) e igualaremos esta fuerza al producto de la aceleración por la masa del objeto. Así pues, reajustaremos la ecuación para despejar la incógnita que

nos pidan. Normalmente ésta será la aceleración del sistema. Por lo tanto: m·a = Fa-µ·m·g, de donde: a=(Fa-µ·m·g)/m.

Si el objeto no es empujado, sino que se abandona libremente a sí mismo, no habrá fuerza aplicada. La aceleración vendrá dada por: a=-(µ·m·g)/m.

Caída de un cuerpo por un plano inclinado:

Si se trata de un plano inclinado la cruz de fuerzas del sistema queda como vemos a la derecha. Esta vez, la fuerza que produce el movimiento de caída no es únicamente el peso del cuerpo sino su componente en la dirección del plano, el seno del ángulo de inclinación. Y la fuerza normal N es la componente del peso que va en dirección perpendicular al plano, el coseno del ángulo de inclinación. Es decir, que la fuerza aplicada a la caída será: Fa=m·g·senα, y la normal: N=m·g·cosα.

El valor de la fuerza de rozamiento será: Fr=µ·N=µ·m·g·cosα.

Por lo tanto, la fuerza efectiva será la suma de fuerzas del sistema: F=Fa-Fr=m·g·senα-µ·m·g·cosα.

Si aplicamos la Segunda Ley de Newton, la ecuación fundamental de la dinámica de traslación (F=m·a), podemos plantear:

m·a=m·g·senα-µ·m·g·cosα de donde: a=g·senα-µ·g·cosα=g(senα-µ·cosα).

La fuerza centrífuga (y centrípeta)

En la dinámica de los movimientos circulares hemos visto que cuando un objeto describe un movimiento circular sobre él ha de actuar una fuerza centrípeta que le obligue a describir la curva. Ésta venía dada por la aceleración normal a la trayectoria de la curva, que era constante en el caso de un movimiento circular uniforme (MCU) y variable en el caso de un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA). De no ser así, como consecuencia del principio de inercia,

continuaría moviéndose en la dirección de la velocidad y de la aceleración tangente, es decir, en línea recta. Según el principio de acción y reacción, donde toda fuerza tiene una opuesta porque funcionan a pares, se deduce que el objeto ejercerá otra fuerza igual y contraria sobre quien le aplica la fuerza centrípeta. A esta fuerza la denominamos fuerza centrífuga y tiene el mismo valor que su pareja y el sentido opuesto, es decir, radial hacia afuera.

¿A que si haces girar una piedra atada a un hilo muy rápidamente sientes como tu mano se ve atraída por la piedra al final del hilo?

Así, cuando un vehículo toma una curva, podemos imaginar que sobre él actúan dos fuerzas: su peso y la fuerza centrífuga, dando una resultante que será más inclinada cuanto mayor sea la velocidad del vehículo y menor el radio de la curva. Ese es el efecto que sentimos al viajar en coche cuando tomamos una curva muy rápido y sentimos que el lateral del coche en el exterior del giro se eleva un poco. Para evitar que el vehículo patine o vuelque es necesario que esa fuerza resultante no se salga de la base de sustentación y que, a ser posible, sea perpendicular a la carretera para que sea anulada por la reacción del apoyo del vehículo sobre el suelo.

En realidad, la explicación es otra e implica a las fuerzas de rozamiento. Si la carretera está sin peraltar (elevada de un lado), la fuerza centrípeta es originada por el rozamiento lateral de las ruedas contra el suelo: Fr=µ·m·g=(mv2)/r de donde: r=v2/(µ·g) (1). Si la carretera está peraltada un cierto ángulo φ y no existe rozamiento, la tangente del ángulo de peralte viene dad por la relación fuerza centrípeta/peso del vehículo:

tgφ=[(m·v2)/r]/m·g=v2/(r·g) , de donde: r=v2/(g·tgφ) (2).

Si, como sucede normalmente, la carretera está peraltada y existe rozamiento, el cálculo del radio de la curva es más complejo. Viene dado por la expresión: r=[v2(1-µ·tgφ)] / [g·(µ+tgφ)]. Fórmula de la cual se deducen las dos anteriores. En la primera φ=0 y la segunda µ=0.

Sistemas de dos masas:

Suelen ser frecuentes aquellas situaciones en las que dos cuerpos de masas diferentes cuelgan de los extremos de una cuerda (que suponemos de masa despreciable) que pasa por una polea con rozamiento prácticamente nulo. En este caso la masa del sistema es la suma de las masas enlazadas; el peso de la mayor favorece el movimiento del sistema si se deja en libertad, es decir, tira de la cuerda, mientras que la masa menor se opone al movimiento (es tirada de ella).

Tensión y fuerza centrípeta:

Cuando un cuerpo gira en un plano vertical está sometido a dos fuerzas, su peso y la tensión en la cuerda. Si el cuerpo se encuentra en el punto más alto, el peso que actúa verticalmente hacia abajo, suma su efecto al de la tensión de la cuerda para dar origen a la fuerza centrípeta. En cambio, cuando se encuentra en el punto más bajo la tensión de la cuerda ha de anular el peso del cuerpo, y, además, producir la fuerza centrípeta.

Movimiento de rotación.

Es un movimiento que efectúa la Tierra girando sobre sí misma a lo largo de un eje ideal denominado Eje terrestre que pasa por sus polos. Una vuelta completa, tomando como referencia a las estrellas, dura 23 horas con 56 minutos y 4 segundos y se denomina día sidéreo. Si tomamos como referencia al Sol, el mismo meridiano pasa frente a nuestra estrella cada 24 horas, llamado día solar, los 3 minutos y 56 segundos de diferencia se deben a que en ese plazo de tiempo la Tierra ha avanzado en su órbita y la Tierra debe de girar algo más que un día sideral para quedar frente al Sol.

La primera referencia tomada por el hombre fue el Sol, cuyo movimiento aparente, originado en la rotación de la Tierra, determina el día y la noche, dando la impresión que el cielo gira alrededor del planeta. En el uso coloquial del lenguaje se utiliza la palabra día para designar este fenómeno, que en astronomía se refiere como día solar y se corresponde con el tiempo solar.

Como se observa en el gráfico, el eje terrestre forma un ángulo de 23,5 grados respecto a la normal de la eclíptica, fenómeno denominado oblicuidad de la eclíptica. Esta inclinación produce largos meses de luz y oscuridad en los polos geográficos, además de ser la causa de las estaciones del año, causadas por el cambio del ángulo de incidencia de la radiación solar.

Rotación: es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.

Rotación en sólidos rígidos.

Parece raro cuando se utiliza un cuerpo sólido ideal no puntual e indeformable denominado cuerpo rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del cuerpo a alterar su movimiento de rotación.

NO de sólidos rígidos: Para analizar el comportamiento cinemático de un cuerpo rígido debemos partir de la idea de que un ángulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido (CR); este ángulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR.

Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como:

Mientras que la aceleración quedaría definida por:

La energía cinética de rotación se escribe:

La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así: la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto

escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado (Δφ).

Transformaciones de rotación.

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1.

Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) .

En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario: RA = A', es decir

donde A'x = Axcosθ − Aysinθ y A'y = Axsinθ + Aycosθ son las componentes del nuevo vector después de ser rotado.

Teorema de rotación de Euler.

En matemáticas, el teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.

Composición de rotaciones en informática gráfica.

En informática gráfica a veces existe cierta confusión sobre la interpretación de la composición de rotaciones en torno a los ejes (en el espacio euclídeo tridimensional), ya que la palabra 'ejes' puede referirse tanto a los ejes del sistema de referencia del mundo como a los ejes del sistema de referencia local.

Se explican desde 2 puntos de vistas: conceptual y teórico-matemático en los 2 siguientes apartados.

Concepto de rotación y revolución.

Aunque a la revolución también se le llama rotación, su uso ayuda a diferenciar claramente ambos conceptos.

Rotación: Una rotación sobre el propio eje es una rotación cuyo centro es común al origen y al destino, es decir no existe desplazamiento del centro del objeto.

Ejemplo de rotación.

En el caso de la rotación, la matriz de rotación debe calcularse antes que la de desplazamiento (cuando además de rotación se realizara desplazamiento). Para un cálculo preciso y libre de fallos hay que traer el objeto a las coordenadas globales

0,0,0 y rotarlo, luego desplazarlo nuevamente a sus coordenadas de origen. Todo ello es un cálculo de matrices previos al cálculo de punto por punto (de cada uno de los vértices que forman el objeto).

Un ejemplo de rotación es como se muestra en la imagen una esfera rotando sobre su propio eje.

Revolución: Una rotación sobre el eje del medio circundante es a la vez un desplazamiento del objeto y una rotación sobre sí mismo.

Ejemplo de revolución

En ambos casos el radio (la distancia al centro del objeto) respecto del eje del medio circundante no varía.

Deben por tanto, considerarse distintas la rotación y la revolución. El cálculo de ambas rotaciones se diferencia en aplicar antes o después la matriz de desplazamiento respecto de la matriz de rotación.

Un ejemplo de resolución es como se muestra en la imagen la rotación de la Luna alrededor de la Tierra.

Nota: El traer un objeto al origen del medio (0,0,0) sólo es aplicable si los valores a aplicar son absolutos, si son relativos (los nuevos valores son un incremento), a los valores actuales esto no es necesario.

Para comprender y diferenciar claramente ambos casos puede recurrirse a colocar una pelota sobre una mano, sobre la pelota pintamos un punto en el centro de lo que vemos y un punto sobre la pared en esa trayectoria. Para el caso de la rotación giramos la pelota sobre si misma 90º y vemos que la línea de nuestros ojos sobre la pared ya no está orientado sobre el punto de la pelota. Para el caso de la revolución quien gira 90º somos nosotros permaneciendo la pelota inmóvil, puesto que la pelota está en nosotros (el medio circundante o mundo) , el efecto real es que las variaciones efectuadas sobre nosotros se aplican a la vez a la pelota ( y a todos los demás objetos que hubiere). ahora al trazar la trayectoria de nuestros ojos, aquel que permanece en línea es la pelota, no así el punto de la pared. Aunque en ambos casos hemos girado 90º (en la misma dirección) y la orientación del punto sobre la pelota y un punto

inmóvil: el de la pared, es el mismo en ambos casos, la posición final real de la pelota es diferente.

Rotación de un plano: el eje es el punto rojo

La rotación puede entenderse como si lo trajéramos al centro de nosotros lo giráramos y luego le desplazáramos a sus coordenadas de origen.

La revolución es como invertir el orden de cálculo de las matrices primero lo traemos al centro, y lo desplazamos a su nuevo destino, previamente ya rotamos el mundo, la consecuencia es que a todos los objetos le corresponde un nueva posición de desplazamiento que se efectúa individualmente. A efectos prácticos se abrevia (llevarlo a su desplazamiento y volverlo a traer al centro) y como se explica en el ejemplo se calculan todas las transformaciones mediante las matrices previamente a ningún cálculo final de vértices. Sería costoso en tiempo aplicar paso a paso cada operación a todos los vértices.

Rotación y revolución: punto de vista teórico-matemático.

En informática gráfica a veces existe cierta confusión sobre la interpretación de la composición de rotaciones en torno a los ejes (en el espacio euclídeo tridimensional), ya que la palabra 'ejes' puede referirse tanto a los ejes del sistema de referencia del mundo como a los ejes del sistema de referencia local asociado a un objeto que sufre varias rotaciones (por tanto, estos ejes locales van cambiando con sucesivas rotaciones). Estas dos interpretaciones llevan a matrices de rotación distintas, y por tanto, si no se concreta, la mera referencia a una "composición de rotaciones en torno a los ejes" puede resultar ambigua.

Además, la rotación en torno a los ejes locales es aparentemente más compleja de expresar como una matriz que la rotación en torno a los ejes del sistema de referencia del mundo (SRM). Por otro lado, las rotaciones en torno a los ejes globales pueden provocar lo que se conoce como "Gimbal Loack". Sin embargo, como se demuestra más abajo, la obtención de ambas matrices es igual de sencilla, por lo tanto, para evitar el Gimbal Loack, podemos usar fácilmente las rotaciones en torno a los ejes locales.

Por ejemplo, supongamos que deseo rotar un objeto un ángulo en torno al

eje , después, un ángulo en torno al eje , y, finalmente, un ángulo en torno al eje .

Supongamos que en todos los casos hablamos de rotaciones en torno a los ejes fijos del sistema de coordenadas del mundo. En este caso, la matriz de rotación se obtiene como composición de otras tres, una por cada rotación:

donde la expresión

hace referencia a la matriz de rotación de radianes en torno a un vector arbitrario. Nótese que la expresión expresa la matriz resultado de la composición de las matrices y , donde el efecto de aplicar a un vector es igual al efecto de aplicar primero y después a dicho vector, es decir, por definición:

Supongamos ahora que interpretamos las rotaciones como rotaciones en torno a los ejes locales. La correspondiente matriz es ahora:

donde

Por tanto, evita el Gimbal Lock pero es más compleja de obtener, puesto que está expresada en términos de rotaciones en torno a vectores que no coinciden con los ejes. Sin embargo, en realidad esto no es así, puesto que se puede demostrar que:

es decir, puede escribirse como composición respecto de los ejes del sistema de referencia del mundo, solo que en este caso la composición debe hacerse en el orden contrario respecto al orden que queremos para las rotaciones en torno a los ejes locales.

Para demostrar esta igualdad basta con aplicar dos propiedades de las matrices de rotación. La primera es que una rotación de un cierto angulo obviamente se cancela si se compone con otra rotación igual pero con el ángulo cambiado de signo, es decir:

donde es la matriz identidad. La otra propiedad que se usará es esta:

que se cumple para cualesquiera vectores y y ángulos y . Significa que, para rotar en torno al vector (que es rotado en torno a ), podemos: (1) deshacer la rotación en torno a , (2) hacer la rotación en torno al vector original

, y (3) rehacer de nuevo la rotación en torno a .

Aplicando esta última propiedad varias veces en el orden adecuado (y cancelando las rotaciones complementarias que aparecen) podemos demostrar fácilmente que la segunda expresión de se deriva de la definición original.

Se adjunta una imagen para demostración de artificios 3D, partiendo de una imagen 2D, que no tiene nada que ver con la rotación, aunque el efecto final parezca ser así, pues el resultado consiste en pegar partes definidas a un área restringida una detrás de otra. Es una ilusión óptica que nuestro cerebro interpreta como una rotación de acuerdo a los datos que sobre el objeto (la cabeza) retiene nuestra memoria.

Las cantidades rotacionales como vectores.

Por otra parte, si los desplazamientos angulares se hacen muy pequeños, comienza a cumplirse la ley de conmutabilidad de la suma, por lo tanto los desplazamientos angulares infinitesimales son vectores.

De lo anterior podemos deducir que si la velocidad angular instantánea es un cociente entre un vector y un escalar, entonces dicha magnitud es un vector. Aplicando la regla de la mano derecha, podemos obtener el sentido de ω.

Análogamente podemos decir que la aceleración angular instantánea también es una cantidad vectorial.

Relación entre los movimientos de rotación y traslación.

Se pueden demostrar las siguientes relaciones para una partícula P que gira con una velocidad angular ω, alrededor de un eje fijo con un radio de giro r y una aceleración angular α:

Entre la longitud de arco s y su posición angular θ:

s = θ.r

Entre la velocidad tangencial v y la angular ω:

v = ω.r (escalar) ó v = ω x r (vectorial)

Aceleración tangencial y aceleración radial

La existencia del movimiento circular es posible gracias a dos fuerzas, una tangencial y otra radial o centrípeta, que generan sus respectivas aceleraciones at (tangencial), y ar (radial) respectivamente. La suma vectorial de ambas es la aceleración total a.

a = at + ar

Aceleración angular.

La aceleración angular α es; en física un vector que refleja la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo; es por tanto paralelo al vector velocidad angular. Se mide en unidades de radianes por segundo al cuadrado, o debido que los radianes son adimensionales. Se denota por la letra griega alfa α.

Definición Matemática.

Está dada por:

Donde θ representa el ángulo que ha recorrido en función de t y ω la velocidad angular.

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento. La aceleración lineal de una partícula en el movimiento plano se suele descomponer en la componente tangente a la trayectoria (aceleración tangencial) y la componente normal (aceleración normal); ambas se relacionan con la velocidad y aceleración angular de la siguiente manera:

Ecuaciones del movimiento.

Para un movimiento de rotación, la segunda ley de Newton puede ser adaptada para describir la relación entre torque y aceleración angular:

donde τ es el torque total efectuado sobre el cuerpo y I es el momento de inercia de la masa del cuerpo.

Aceleración Constante.

Para todos los valores constantes del torque, τ de un cuerpo, la aceleración angular será también constante. Para este caso especial de aceleración angular constante, la ecuación producirá un definitivo valor para la aceleración:

Aceleración Variante.

Para cualquier torque que varíe, la aceleración angular de un cuerpo cambiará con el tiempo. La ecuación será una ecuación diferencial de un valor singular. Esta ecuación diferencial es conocida como la ecuación del movimiento del sistema y puede describir completamente el movimiento del objeto.

Asimismo se pueden demostrar las siguientes relaciones:

Entre la aceleración tangencial at y la angular α:

at = α.r ó at = α x r (vectorial)

Entre la aceleración radial ar y las velocidades ω y v:

ar = v2/r = ω2.r (escalar) ó ar = ω x v (vectorial)

Dinámica de rotación.

Momento angular.

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene

constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular.

Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento cinético de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.

El nombre tradicional en español es momento cinético,1 pero por influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Momento angular en mecánica clásica

En mecánica newtoniana, la cantidad de movimiento angular de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo :

Matemáticamente, por tanto, es el momento central de la cantidad de

movimiento.

En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.

Momento angular de una masa puntual.

El momento angular de una partícula con respecto al punto es el producto vectorial de su momento lineal por el vector . Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está dirigido hacia el lector.

En el dibujo de derecha vemos una masa que se desplaza con una velocidad instantánea . El momento angular de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene y es, como ya se ha escrito:

El vector es perpendicular al plano que contiene y , luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador. Véase producto vectorial y regla del sacacorchos.

El módulo del momento angular es:

Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su brazo ( en el dibujo), el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula. Por esta razón, algunos designan el momento angular como el "momento del momento".

Dependencia temporal.

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad . Y como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial de los dos es cero.

Nos queda el segundo paréntesis:

donde es la aceleración. Pero , la fuerza aplicada a la masa. Y el producto vectorial de por la fuerza es el torque o momento de fuerza aplicado a la masa:

La derivada temporal del momento angular es igual al torque aplicado a la masa puntual.

Momento angular de un conjunto de partículas puntuales.

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

La variación temporal es:

El término de derecha es la suma de todos los torques producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los torques producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los torques de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los torques externos:

El momento angular de un conjunto de partículas se conserva en ausencia de torques externos.

Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Momento angular de un sólido rígido.

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

Donde:

es la velocidad angular del sólido.

es el tensor de inercia del cuerpo.

Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

Donde es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que , aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.

Conservación del momento angular clásico.

Cuando la suma de los torques externos es cero , hemos visto que:

Eso quiere decir que . Y como es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un torque externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida de manera de aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite de disminuir la velocidad de rotación. Lo mismo para el salto de plataforma o el trampolín.

Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los torques externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños torques inevitables, como el producido por el viento solar.

Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en pulsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.

Debido a la mareas, la luna ejerce un torque sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.

Ejemplo

La masa gira tenida por un hilo que puede deslizar a través de un tubito delgado. Tirando del hilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular.

En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad.

La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un torque sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de torques externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un momento. Ese impulso comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente con . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia

, cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio . En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite de escribir:

o sea:

Y, si multiplicamos por la masa , obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.

También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.

No es necesario de hacer la experiencia dando un tirón. Se la puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

Momento angular en mecánica relativista.

En mecánica newtoniana el momento angular es un pseudovector o vector axial, por lo que en mecánica relativista debe ser tratado como el dual de Hodge de las componentes espaciales de un tensor antisimétrico. Una representación del momento angular en la teoría especial de la relatividad es por tanto como cuadritensor antisimétrico:

Puede verse que las 3 componentes espaciales forman el momento angular de la mecánica newtoniana y el resto de componentes describen el movimiento del centro de masas relativista.

Momento angular en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica todo operador que cumpla la siguiente expresión:

es considerado como momento angular. Por ejemplo el momento angular

orbital , el espín (o momento angular intrínseco), el isospín , el momento angular total , etc.

Las relaciones de conmutación canónicas para los operadores tipo momento angular son:

donde εijk es el símbolo de Levi-Civita.

Momento angular orbital.

El momento angular orbital, tal como el que tiene un sistema de dos partículas

que gira una alrededor de la otra, se puede transformar a un operador mediante su expresión clásica:

siendo la distancia que las separa.

Usando coordenadas cartesianas las tres componentes del momento angular se expresan en el espacio de Hilbert usual para las funciones de onda, , como:

En cambio en coordenadas angulares esféricas el cuadrado del momento angular y la componente Z se expresan como:

Los vectores propios o estados propios del momento angular orbital dependen de dos números cuánticos enteros l y m, se designan como y satisfacen las relaciones:

Estos vectores propios expresados en términos de las coordenadas angulares esféricas son los llamados armónicos esféricos Yl,m(θ,φ), que se construyen a partir de los polinomios de Legendre:

Tienen especial importancia por ser la componente angular de los orbitales atómicos.

Conservación del momento angular cuántico.

Es importante notar que si el hamiltoniano no depende de las variables angulares, como sucede por ejemplo en problemas con potencial de simetría esférica entonces todas las componentes del momento angular conmutan con el hamiltoniano:

y, como consecuencia, el cuadrado del momento angular también conmuta con el Hamiltoniano:

Y tenemos que el momento angular se conserva, eso significa que a lo largo de la evolución en el tiempo del sistema cuántico la distribución de probabilidad de los valores del momento angular no variará. Nótese sin embargo que como las componentes del momento angular no conmutan entre si no se pueden definir simultáneamente. Sin embargo, si se pueden definir simultáneamente el cuadrado del momento angular y una de sus componentes (habitualmente se elije la componente Z). En particular si tenemos estados cuánticos de momento bien definido estos seguirán siendo estados cuánticos de momento bien definido con los mismos valores de los números cuánticos l y m.

El movimiento circular.

Es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:

Paralelismo movimiento lineal angular.

Movimiento.

lineal>t a la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, tenemos que:

at = Rα.

Período y frecuencia.

El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo, usualmente segundos. Se mide en hercios o s − 1

Aceleración y fuerza centrípetas.

La aceleración centrípeta o aceleración normal afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:

La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F=ma) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente fórmula:

El movimiento circular uniforme.

Es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Desplazamiento angular y velocidad.

El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Sistema de referencia.

Se considera un sistema de referencia en el plano XY, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes , que es un sistema inercial. Sin pérdida de la generalidad, se toma el centro de giro del movimiento en el origen de coordenadas.

Se toma un segundo sistema de referencia , con el mismo centro de coordenadas, un eje radial que partiendo del centro de coordenadas pasa en todo momento por la posición de la partícula y un eje tangencial que pasando por el centro de coordenadas, es perpendicular al eje radial, cuando el ángulo de giro es cero, el eje

x coincide con el radial y el eje y con el tangencial y para un ángulo dado, se cumple:

Trayectoria o vector de posición.

La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

El vector de posición de la partícula será:

Al ser un movimiento uniforme, a incrementos de tiempo iguales le corresponden desplazamientos iguales, lo que se traduce en:

esto es:

Según todo lo anterior el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

donde:

: es el vector de posición de la partícula.: es el radio de giro.: es la velocidad angular, que es constante en este caso.

: es el tiempo.

Partiendo del vector de posición en el sistema xy, vamos a pasarlo al sistema de coordenadas de versores: , de tal modo que veamos sus componentes en estas coordenadas, la conclusión es muy sencilla y con un poco de ingenio podíamos llegar a ella sin realizar los operaciones, pero hagámoslo de un modo sistemático, por sustitución de los versores de un sistema por los del otro, partimos del vector posición:

sustituimos sus vectores por su equivalencia en el otro sistema:

desarrollando los paréntesis y reagrupando los términos se tiene:

simplificando las expresiones trigonométricas:

Llegando a la conclusión de que el vector de posición tiene por coordenada el valor del radio, según el vector radial, y no tiene componente tangencial, como ya se ha dicho en un principio esta conclusión es obvia, y por propia intuición se podía

haber visto sin realizar los cálculos, pero con este mismo método calcularemos la velocidad y la aceleración y veremos que las conclusiones no son tan evidentes.

Velocidad

Partiendo del vector de posición y de la definición de velocidad:

1.

2.

tenemos:

Realizando la derivada:

Éste es el vector velocidad, vamos a cambiar de sistemas de coordenadas para conseguir sus componentes según el sistema radial tangencial:

deshaciendo paréntesis:

agrupando por vectores unitarios:

simplificando:

La conclusión es que la velocidad no tiene componente radial y su componente tangencial tiene por módulo el producto del radio por la velocidad angular, lo que podríamos representar:

Aceleración.

Del mismo modo que hemos calculado el vector posición y velocidad, podemos calcular la aceleración, para ello partiremos del vector velocidad y de la definición de aceleración:

1.

2.

Con lo que tenemos:

haciendo la derivada:

Podríamos sustituir los vectores como en el caso de la velocidad para conseguir las componentes radial y tangencial de la aceleración, pero hay una forma más ingeniosa, partiendo del vector posición, sabiendo que:

la aceleración es:

esto es:

La expresión entre corchetes es el vector posición, sustituyéndolo:

esto es:

Aplicando el método general habríamos llegado a la misma conclusión, la aceleración no tiene componente tangencial, solo tiene componente radial, el sentido de la aceleración es el contrario del vector posición, apuntando hacia el centro de giro, y su módulo es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro. Esta aceleración es la sufrida por la partícula cuando gira a velocidad constante, una partícula que lleve un movimiento circular uniforme tiene que estar sometida a una fuerza centrípeta que impide que lleve una trayectoria lineal, como correspondería por la ley de inercia. La fuerza que hace que la partícula tienda a continuar un movimiento rectilíneo, en lugar de hacer el giro con un radio dado, es la fuerza centrífuga, antagonista con la centrípeta que tiene que compensar.

Partiendo de la expresión del módulo de la velocidad tangencial:

despejando ω, tenemos:

Partiendo de esta expresión y la de la aceleración:

1.

2.

tenemos que:

simplificando:

La aceleración centrífuga sufrida al realizar un giro es proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial e inversamente proporcional al radio de giro, si doblamos la velocidad en un giro la fuerza centrífuga se multiplica por cuatro, si el radio de giro es el doble la fuerza centrífuga de reduce a la mitad, esta proporción es valida también para vehículos que describen una curva o realizan un giro.

Período y frecuencia.

donde:: representa al periodo

π: representa al número Pi.ω: representa la velocidad angular.La frecuencia es una magnitud que mide el número de revoluciones por unidad

de tiempo. Se mide en hertzios (Hz). Responde a la fórmula:

f: representa a la frecuencia.π: representa al número Pi.ω: representa la velocidad angular.Al ser la frecuencia la inversa del período también se puede calcular mediante

la fórmula:

Dinámica del movimiento circular

Ecuación de la dinámica del movimiento circular

En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración normal y cuyo módulo es

La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal an.

F=m an

Lo que sigue consiste en medir con ayuda de un dinamómetro la tensión de la cuerda que sujeta a un móvil que describe una trayectoria circular.

El dinamómetro está situado en el eje de una plataforma móvil y su extremo está enganchado a un móvil que gira sobre la plataforma.

Sistema de Referencia Inercial.

Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un movimiento circular uniforme. El móvil cambia constantemente la dirección de la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La fuerza necesaria para producir la aceleración normal es

F=mw2R

Esta será la fuerza que mide el dinamómetro tal como vemos en la parte derecha de la figura.

Sistema de Referencia No Inercial.

Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga.

Fc=mw2R

La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la tensión de una cuerda, el peso, la fuerza de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga

surge al analizar el movimiento de un cuerpo desde un Sistema de Referencia No Inercial (acelerado) que describe un movimiento circular uniforme.

Momento de fuerza

En mecánica newtoniana, se denomina momento de fuerza, torque, torca, o par (o sencillamente momento) [respecto a un punto fijado B] a la magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director (también llamado radio vector). Si se denomina F a una fuerza, aplicada en un punto A, su momento respecto a otro punto B viene dado por:

Donde es el vector director que va desde B a A. Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano formado por

y .

Se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades resulta Newton·metro y se la puede nombrar como newton-metro o newtometro. Si bien es equivalente al julio en unidades, no se utiliza esta denominación para medir momentos, ya que el julio representa trabajo o energía que es un concepto diferente a un momento de fuerza.

El momento de fuerza es equivalente al concepto de par motor, es decir, la fuerza que se tiene que hacer para mover un cuerpo respecto a un punto fijo (un electrón respecto al núcleo) y se condiciona por la masa y la distancia.

Interpretación del momento.

El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación del cuerpo con respecto a éste.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas).

Cálculo de momentos en el plano.

Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales de fuerzas, en los que todas las fuerzas y vectores directores están contenidos en un único plano, el cálculo de momentos se simplifica mucho porque se pueden considerar todos los momentos de las fuerzas como magnitudes escalares. Eso se debe a que el vector momento de fuerza, considerado como vector tridimensional sería perpendicular al plano de trabajo y, por tanto, sumar vectorialmente momentos se reduciría a sumar sólo su componente perpendicular al plano, que es una magnitud de tipo escalar. Si se considera una fuerza aplicada en un punto A del plano de trabajo y otro punto B sobre el mismo plano, el momento "plano" o escalar para realizar todos los cálculos necesarios viene dado por:

siendo el módulo de la fuerza y siendo el brazo de la palanca, es decir, la distancia punto-recta entre el punto B desde el que consideramos los momentos y la recta de aplicación de la fuerza y el ángulo que forman los dos vectores. El sentido, y por tanto, el signo se determina según la regla de la mano derecha.

En este caso, si por ejemplo una masa de un kilogramo está a un metro del eje de giro, al aplicar una fuerza F, el momento aplicado será la mitad del que se aplica con la misma fuerza pero con la masa situada a dos metros de distancia, para conseguir el mismo desplazamiento de giro.

Energía cinética de una partícula.

En mecánica clásica, la energía cinética de un objeto puntual (un cuerpo tan pequeño que su dimensión puede ser ignorada), o en un sólido rígido que no rote, esta

dada la ecuación donde m es la masa y v es la rapidez (o velocidad) del cuerpo.

En mecánica clásica la energía cinética se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:

La energía cinética se incrementa con el cuadrado de la rapidez. Así la energía cinética es una medida dependiente del sistema de referencia. La energía cinética de un objeto está también relacionada con su momento lineal:

Energía cinética en diferentes sistemas de referencia.

Como hemos dicho, en la mecánica clásica, la energía cinética de una masa puntual depende de su masa m y sus componentes del movimiento. Se expresa en Joules (J). 1 J = 1 kg·m2/s2. Estos son descritos por la velocidad v de la masa puntual, así:

En un sistema de coordenadas especial, esta expresión tiene las siguientes formas:

Coordenadas cartesianas (x, y, z):

Coordenadas polares (r,φ):

Coordenadas cilíndricas (r,φ,z):

Coordenadas esféricas (r,φ,θ):

Con eso el significado de un punto en una coordenada y su cambio temporal se describe como la derivada temporal de su desplazamiento:

En un formalismo Hamiltoniano no se trabaja con esas componentes del movimiento, o sea con su velocidad, si no con su impulso p (cambio en la cantidad de movimiento). En caso de usar componentes cartesianas obtenemos:

Energía cinética de sistemas de partículas.

Para una partícula, o para un sólido rígido que no este rotando, la energía cinética va a cero cuando el cuerpo para. Sin embargo, para sistemas que contienen muchos cuerpos con movimientos independientes, que ejercen fuerzas entre ellos y que pueden (o no) estar rotando; esto no es del todo cierto. Esta energía es llamada “energía interna”. La energía cinética de un sistema en cualquier instante de tiempo es la suma simple de las energías cinéticas de las masas, incluyendo la energía cinética de la rotación.

Un ejemplo de esto puede ser el sistema solar. En el centro de masas del sistema solar, el sol está (casi) estacionario, pero los planetas y planetoides están en movimiento sobre él. Así en un centro de masas estacionario, la energía cinética está aun presente. Sin embargo, recalcular la energía de diferentes marcos puede ser tedioso, pero hay un truco. La energía cinética de un sistema de diferentes marcos inerciales puede calcularse como la simple suma de la energía en un marco con centro de masas y añadir en la energía el total de las masas de los cuerpos que se mueven con rapidez relativa entre los dos marcos.

Esto se puede demostrar fácilmente: sea V la rapidez relativa en un sistema k de un centro de masas i:

Sin embargo, sea la energía cinética en el centro de masas de ese

sistema, podría ser el momento total que es por definición cero en el centro de

masas y sea la masa total: . Sustituyendo obtenemos:

La energía cinética de un sistema entonces depende del Sistema de referencia inercial y es más bajo con respecto al centro de masas referencial, por ejemplo: en un sistema de referencia en que el centro de masas sea estacionario. En cualquier otro sistema de referencia hay una energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la rapidez del centro de masas.

A veces es conveniente dividir a la energía cinética total de un sistema entre la suma de los centros de masa de los cuerpos, en su energía cinética de traslación y la energía de rotación sobre el centro de masas:

donde: Ec es la energía cinética total, Et es la energía cinética de traslación y Er es la energía de rotación o energía cinética angular en este sistema.

Entonces la energía cinética en una pelota de tenis en viaje tiene una energía cinética que es la suma de la energía en su traslación y en su rotación.

Energía cinética de un sólido rígido en rotación.

Para un sólido rígido que está rotando puede descomponerse la energía cinética total como dos sumas: la energía cinética de traslación (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a través del espacio) y la energía cinética de rotación (que es la asociada al movimiento de rotación con cierta velocidad angular). La expresión matemática para la energía cinética es:

Donde:

Energía de traslación.

Energía de rotación. masa del cuerpo.

tensor de (momentos de) inercia. velocidad angular del cuerpo. traspuesta del vector de la velocidad angular del cuerpo.

velocidad lineal del cuerpo.

El valor de la energía cinética es positivo, y depende del sistema de referencia que se considere al determinar el valor (módulo) de la velocidad y . La expresión anterior puede deducirse de la expresión general:

En la hidrodinámica.

En la Hidrodinámica cambia con mucha frecuencia la energía cinética por la densidad de la energía cinética. Esto se escribe generalmente a través de una pequeña e o una ε, así:

, donde ρ describe la densidad del fluido.

Energía Cinética en mecánica relativista.

Si la rapidez de un cuerpo es una fracción significante de la velocidad de la luz, es necesario utilizar mecánica relativista para poder calcular la energía cinética. En relatividad especial, debemos cambiar la expresión para el momento lineal y de ella por interacción se puede deducir la expresión de la energía cinética:

Tomando la expresión relativista anterior, desarrollándola en serie de Taylor y haciendo el límite clásico se recupera la expresión de la energía cinética típica de la mecánica newtoniana:

La ecuación muestra que la energía de un objeto se acerca al infinito cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, entonces es imposible acelerar un objeto a esas magnitudes. Este producto matemático es la fórmula de equivalencia entre masa y energía, cuando el cuerpo esta en reposo obtenemos esta ecuación:

Así, la energía total E puede particionarse entre las energías de las masas en reposo mas la tradicional energía cinética newtoniana de baja velocidad. Cuando los objetos se mueven a velocidades mucho más bajas que la luz (cualquier fenómeno en la tierra) los primeros dos términos de la serie predominan.

La relación entre energía cinética y momentum es más complicada en este caso y viene dada por la ecuación:

Esto también puede expandirse como una serie de Taylor, el primer termino de esta simple expresión viene de la mecánica newtoniana. Lo que sugiere esto es que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales ni axiomáticas pero algunos conceptos emergen de las ecuaciones de masa con energía y de los principios de la relatividad.

Energía cinética en mecánica cuántica.

En la mecánica cuántica, el valor que se espera de energía cinética de un electrón, , para un sistema de electrones describe una función de onda que es la suma de un electrón, el operador se espera que alcance el valor de:

donde me es la masa de un electrón y es el operador laplaciano que actúa en las coordenadas del electrón iésimo y la suma de todos los otros electrones. Note que es una versión cuantizada de una expresión no relativista de energía cinética en términos de momento:

El formalismo de la funcional de densidad en mecánica cuántica requiere un conocimiento sobre la densidad electrónica, para esto formalmente no se requiere conocimientos de la función de onda.

Dado una densidad electrónica , la funcional exacta de la energía cinética del n-ésimo electrón es incierta; sin embargo, en un caso específico de un sistema de un electrón, la energía cinética puede escribirse así:

donde T[ρ] es conocida como la funcional de la energía cinética de Von Weizsacker.

Energía Cinética de partículas en la mecánica cuántica.

En la teoría cuántica una magnitud física como la energía cinética debe venir representada por un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert adecuado. Ese operador puede construirse por un proceso de cuantización, el cual conduce para una partícula moviéndose por el espacio euclídeo tridimensional a una representación

natural de ese operador sobre el espacio de Hilbert dado por:

que, sobre un dominio denso de dicho espacio formado clases de equivalencia representables por funciones C², define un operador autoadjunto con autovalores siempre positivos, lo cual hace que sean interpretables como valores físicamente medibles de la energía cinética.

Energía Cinética del sólido rígido en la mecánica cuántica.

Un sólido rígido a pesar de estar formado por un número infinito de partículas, es un sistema mecánico con un número finito de grados de libertad lo cual hace que su equivalente cuántico pueda ser representado por sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita de tipo L² sobre un espacio de configuración de dimensión finita. En este caso el espacio de configuración de un sólido rígido es precisamente el grupo

de Lie SO(3) y por tanto el espacio de Hilbert pertinente y el operador energía cinética de rotación pueden representarse por:

donde μh es la medida de Haar invariante de SO(3), son los operadores del momento angular en la representación adecuada y los escalares Ii son los momentos de inercia principales.

Energía cinética y temperatura.

A nivel microscópico la energía cinética promedio de las moléculas de un gas define su temperatura. De acuerdo con la ley de Maxwell-Boltzmann para un gas ideal clásico la relación entre la temperatura (T) de un gas y su energía cinética media es:

donde κB es la constante de Boltzmann, es la masa de cada una de las moléculas del gas.

Momento de inercia.

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

donde:

es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos.

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas.

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con

respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:

y .7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los

momentos anteriores: e .

Tensor de inercia de un sólido rígido.

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

Donde:

(x1,x2,x3)[ = (x,y,z)] son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.

, es la llamada delta de Kronecker definida como:

A los elementos se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia siguientes:

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

Donde y donde .

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Dinámica Rotacional del cuerpo rígido.

Cuerpo rígido.

Consideraremos a un cuerpo como rígido, cuando su forma no varía aún cuando se mueve sometido a la acción de fuerzas.

En consecuencia, la distancia entre las diferentes partículas que lo forman, permanece incambiada a lo largo del tiempo.

Si bien el cuerpo rígido ideal no existe, es una muy buena aproximación para encarar el estudio de muchos cuerpos.

Modos de movimiento de un cuerpo rígido.

Traslación.

En este caso el cuerpo rígido se traslada, de modo que en cada instante las partículas que lo forman, tienen la misma velocidad y aceleración.

Rotación.

El cuerpo rígido está en rotación, cuando cada partícula que lo integra, se mueve respecto a un eje con la misma velocidad angular y aceleración angular en cada instante.

General.

En este caso tendremos una combinación de los dos anteriores, es decir una rotación y traslación que puede ser estudiado como una traslación y rotación del centro de masa que lo representa más una rotación respecto al centro de masa.

Momento angular o cinético de un cuerpo rígido. Hemos visto como se calcula el momento cinético o angular de una partícula,

luego de un sistema de partículas y cómo se podía considerar el momento cinético de un sistema de partículas respecto a un punto considerando el momento cinético respecto al centro de masa.

Ahora vamos a establecer cual es la forma de calcular el momento angular o cinético de un cuerpo rígido y por lo tanto indeformable.

Supongamos por simplicidad un cuerpo rígido en forma de cubo girando alrededor de un eje horizontal, como se ve en la figura. Todas las partículas que lo forman girarán con una misma velocidad angular en cierto instante y por lo tanto el módulo de su velocidad lineal será

Y el momento angular o cinético respecto al punto "A" será

El vector correspondiente al momento cinético así calculado resulta ser de

acuerdo a la regla de la mano derecha y a su definición, perpendicular al plano

definido por los vectores y y en consecuencia es perpendicular al vector y

como forma un ángulo b con el eje de giro. Para hallar la proyección del vector

respecto al eje ( ) debemos multiplicar el valor de por el coseno de g.

Observando que los vectores , y el EJE de rotación están en el mismo

plano y que el vector es perpendicular al vector tendremos que:

por lo que

Por lo tanto el valor de la proyección del momento cinético sobre el eje será:

como

y observamos que en la figura que se cumple:

los queda que el módulo del vector sustituyendo valores nos queda:

En esta expresión, no aparece el seno del ángulo comprendido entre los

vectores y , dado que es perpendicular al plano determinado por y y pertenece a dicho plano. Por lo que desarrollando esta expresión y sustituyendo el valor del seno de beta obtenemos:

como sabemos que

y realizando las operaciones de potenciación y simplificación obtenemos:

Para obtener la expresión de el momento cinético total del cuerpo rígido,

deberemos hacer la sumatoria de los momentos cinéticos de los diferentes puntos que lo integran en dicho instante.

Debido a que la velocidad angular es constante, la sacamos como factor común, obteniendo:

A la expresión que se encuentra entre paréntesis, se le llama momento de

inercia del sólido respecto al eje considerado, que representamos por el literal I.

donde

Es interesante observar que de acuerdo al principio de conservación del momento cinético si no existe momento externo actuando sobre el cuerpo rígido el momento cinético se conserva, con lo cual el producto debe permanecer constante, por lo que si disminuye el momento de inercia, deberá aumentar la velocidad angular y viceversa.

Traslación

En física, la traslación es un movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto, en contraposición a una rotación.

Una traslación es la operación que modifica las posiciones de todos los objetos según la fórmula:

donde (Δx,Δy,Δz) es un vector constante. Dicha operación puede ser generalizada a otras coordenadas, por ejemplo la coordenada temporal.

Para un objeto que no posee estructura, como por ejemplo un subconjunto del espacio, se considera el rango del subconjunto afectado por la transformación. En forma alternativa, es posible definir una traslación como una operación sobre los objetos, tal que todas sus propiedades como color, composición, etc. se corresponden. Pero no deben confundirse las dos: una traslación del espacio no posee puntos fijos,

los puntos fijos de una traslación en el otro sentido son los objetos con sus correspondientes simetrías de traslación.

De acuerdo con el teorema de Noether, la simetría de traslación es equivalente a la conservación del momento angular.

Principio de conservación del momento angular.

En la página anterior, demostramos que el momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido hace cambiar el momento angular con el tiempo

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Este principio es de aplicación del principio de conservación del momento angular porque las fuerzas exteriores actúan en el eje del disco que permanece fijo, el disco solamente puede girar en torno a su eje no puede trasladarse. El momento de dichas fuerzas respecto del centro del disco es cero, por lo que el momento angular respecto del centro del disco es constante.

El momento angular inicial es el momento angular de la partícula

Li=mdvcosq

El momento angular final es el del disco con la partícula empotrada a una distancia d del centro del disco, girando con velocidad angular w . El momento angular final es el producto del momento de inercia (del disco más la partícula) por la velocidad angular de rotación.

Aplicando el principio de conservación del momento angular, calculamos la velocidad angular w de rotación del sistema formado por el disco y la partícula empotrada en él.

La energía perdida en la colisión es igual a la diferencia entre la energía final de rotación del sistema formado por el disco y la partícula empotrada en él, y la energía cinética de la partícula.

Completar una tabla como la siguiente y despejar la velocidad angular de rotación del disco.

Masa de la bala m Velocidad de la bala v Angulo de disparo q Distancia del blanco al eje del disco d Masa del disco M Radio del disco R Velocidad angular de rotación w

Sistemas de Partículas en rotación.

Momento Angular o Cinético de un Sistema de Partículas.

Si consideramos ahora un sistema formado por varias partículas tendremos que: el momento cinético del sistema respecto a un punto, será igual a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas del sistema respecto a dicho punto.

Podemos demostrar que los resultados obtenidos de conservación del momento cinético en el estudio de una partícula, son extrapolables a un sistema de partículas. Es decir, se cumplen las mismas condiciones de validez para que el momento angular o momento cinético de un sistema de partículas se conserve.

La relación anterior, corresponde a una serie de partículas puntuales. El problema es, de alguna forma, poder verificar si los cuerpos formados por varias partículas pueden ser tratados como puntuales, es decir ser representados por su centro de masa.

En el dibujo adjunto representamos en un sistema de ejes XY dos masas m1 y m2 animadas con velocidades v1 y v2 y vCM, la velocidad del centro de masa respecto al sistema establecido XY.

Las posiciones de las masas, se encuentran determinadas por medio de los vectores r1 y r2. El centro de masa, por el vector posición rC.

Los vectores r'1 y r'2, representan la posición de las masas m1 y m2 respecto a

un sistema de referencia, con origen en el centro de masa del sistema de partículas.

El valor del momento cinético del sistema de masas m1 y m2, respecto al punto O (origen de nuestro sistema de referencia XY), es:

donde y .

El momento cinético del sistema respecto al punto centro de masa será:

Observamos en el diagrama, que el vector posición y (nótese que los vectores sumandos se encuentran uno a continuación del otro, y el vector suma cierra el polígono). Sustituyendo en la ecuación ( I ) obtenemos:

Aplicando la distributiva del producto frente a la suma, obtenemos:

De acuerdo a la ecuación ( II ), podemos sustituir escribiendo:

Sacando de factor común el vector posición del centro de masa respecto a O:

La suma de las cantidades de movimiento de cada partícula del sistema, es lo que llamamos cantidad de movimiento del sistema o cantidad de movimiento del centro de masa. Por lo antes expuesto podemos escribir:

obteniendo finalmente:

Conclusión: "El momento cinético o angular de un sistema de partículas respecto a un cierto punto O, es igual al momento cinético del sistema respecto al CM (centro de masa) más un término que es el momento cinético asociado al movimiento del CM respecto a dicho punto O."

O sea que el momento angular o momento cinético de un cuerpo, puede ser considerado como la suma del momento angular o momento cinético del centro de masa respecto a dicho punto (traslación del CM) más el momento cinético del cuerpo respecto a su centro de masa (rotación respecto al CM).

Si el cuerpo o el sistema de partículas tuviera solamente movimiento de rotación respecto al CM, el CM tiene velocidad nula, por lo tanto el momento

cinético respecto a cualquier punto, coincide siempre con el momento cinético del

CM, puesto que el .

El momento cinético de un cuerpo o un sistema respecto a un punto o eje que pasa por el CM se le suele llamar spin del cuerpo o del sistema de partículas.

Cantidad de movimiento.

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus y vis.

Cantidad de movimiento en mecánica clásica.

Mecánica newtoniana.

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana.

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo.

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir:

Cantidad de movimiento en mecánica relativista.

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada

temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica.

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para

una partícula el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados

cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

Conservación.

Mecánica newtoniana.

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana.

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

Mecánica relativista.

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Mecánica cuántica.

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo . Se tiene que:

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas xi, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

Funcionamiento de un motor típico de gasolina de cuatro tiempos

Ciclos de tiempo del motor de combustión interna.

Los motores de combustión interna pueden ser de dos tiempos, o de cuatro tiempos, siendo los motores de gasolina de cuatro tiempos los más comúnmente utilizados en los coches o automóviles y para muchas otras funciones en las que se emplean como motor estacionario.

Una vez que ya conocemos las partes, piezas y dispositivos que conforman un motor de combustión interna, pasamos a explicar cómo funciona uno típico de gasolina.

Como el funcionamiento es igual para todos los cilindros que contiene el motor, tomaremos como referencia uno sólo, para ver qué ocurre en su interior en cada uno de los cuatro tiempos:

Admisión

Compresión

Explosión

Escape

Ciclos de tiempos de un motor de combustión interna: Admisión, compresión, explosión y escape.

Primer tiempo.

Admisión: Al inicio de este tiempo el pistón se encuentra en el PMS (Punto Muerto Superior). En este momento la válvula de admisión se encuentra abierta y el pistón, en su carrera o movimiento hacia abajo va creando un vacío dentro de la

cámara de combustión a medida que alcanza el PMI (Punto Muerto Inferior), ya sea ayudado por el motor de arranque cuando ponemos en marcha el motor, o debido al propio movimiento que por inercia le proporciona el volante una vez que ya se encuentra funcionando. El vacío que crea el pistón en este tiempo, provoca que la mezcla aire-combustible que envía el carburador al múltiple de admisión penetre en la cámara de combustión del cilindro a través de la válvula de admisión abierta.

Segundo tiempo.

Compresión: Una vez que el pistón alcanza el PMI (Punto Muerto Inferior), el árbol de leva, que gira sincrónicamente con el cigüeñal y que ha mantenido abierta hasta este momento la válvula de admisión para permitir que la mezcla aire-combustible penetre en el cilindro, la cierra. En ese preciso momento el pistón comienza a subir comprimiendo la mezcla de aire y gasolina que se encuentra dentro del cilindro.

Tercer tiempo.

Explosión: Una vez que el cilindro alcanza el PMS (Punto Muerto Superior) y la mezcla aire-combustible ha alcanzado el máximo de compresión, salta una chispa eléctrica en el electrodo de la bujía, que inflama dicha mezcla y hace que explote. La fuerza de la explosión obliga al pistón a bajar bruscamente y ese movimiento rectilíneo se transmite por medio de la biela al cigüeñal, donde se convierte en movimiento giratorio y trabajo útil.

Cuarto tiempo.

Escape: El pistón, que se encuentra ahora de nuevo en el PMI después de ocurrido el tiempo de explosión, comienza a subir. El árbol de leva, que se mantiene girando sincrónicamente con el cigüeñal abre en ese momento la válvula de escape y los gases acumulados dentro del cilindro, producidos por la explosión, son arrastrados por el movimiento hacia arriba del pistón, atraviesan la válvula de escape y salen hacia la atmósfera por un tubo conectado al múltiple de escape.

De esta forma se completan los cuatro tiempos del motor, que continuarán efectuándose ininterrumpidamente en cada uno de los cilindros, hasta tanto se detenga el funcionamiento del motor.