DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

DINAMICA ESTRUCTURALSIMPLIFICADA

Guillermo Demetrio Curiel Díaz OrdazIngeniero Civil

C O N T E N I D OPREFACIO

CAPITULO 1CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ESTRUCTURAL

1.1 Introducción 1

1.2 Análisis Modal 2

1.3 Obtención de los Modos de Vibración 3

1.4 Propiedades de los Modos de Vibración 6

1.5 Respuesta Estructural (Análisis Espectral) 8

1.6 Respuesta Estructural (Análisis por Histograma de Aceleración enapoyos) 12

1.7 Respuesta Estructural (Análisis por Histograma de Fuerza aplicadoen cualquier punto de la estructura) 15

1.8 Conclusiones 16

CAPITULO 2CONCEPTOS BASICOS DE ANALISIS MATRICIAL

2.1 Introducción 17

2.2 Formación de la Matriz de Rigidez 18

2.3 Formación de la Matriz de Masa 22

2.4 Condensación de Matrices 23

2.5 Formación de la matriz de amortiguamiento 24

2.6 Análisis Estático 25

2.7 Conclusiones 26

CAPITULO 3MODELO DE ESTRUCTURAS

Introducción 27

EJEMPLO 1 27Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo devigas y masas agrupadas.

EJEMPLO 2 31Análisis sísmico estático de edificio.

EJEMPLO 3 32

Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo devigas y masas agrupadas, considerando el área decortante en las columnas.

EJEMPLO 4 34Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo devigas y masas agrupadas, considerando la interacciónsuelo estructura mediante resortes.

EJEMPLO 5 36Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo devigas y masas agrupada, considerando la interacciónsuelo estructura mediante resortes y considerando lainercia rotacional de la masa.

EJEMPLO 6 39Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo marcode acero con conexiones de momento.

EJEMPLO 7 43Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo marcode acero con conexiones a cortante.

EJEMPLO 8 46Análisis Modal y Espectral del marco de acero delejemplo 6 considerándolo como un modelo de vigas ymasas agrupadas.

EJEMPLO 9 48Análisis estático del marco de acero del ejemplo 6aplicando los resultados del análisis espectral delejemplo 8.

EJEMPLO 10 50Análisis del marco de acero del ejemplo 6 aplicandoun acelerograma en la base para obtener elacelerograma de respuesta y el espectro de respuestacorrespondiente.

EJEMPLO 11 55Análisis Modal y Espectral de un edificio aplicandoel espectro de respuesta vertical para verificar lacapacidad de las columnas.

EJEMPLO 12 62Análisis Modal de un edificio aplicando unhistograma de fuerza en un punto de la estructurapara obtener la respuesta en los demás puntos de laestructura.

CAPITULO 4PROGRAMA DE COMPUTADORA (DINAFACIL)

4.1 Introducción 71

4.2 Esquema del Programa DINAFACIL 73

4.3 Entrada de Datos 75

4.4 Instrucciones para usar el Programa DINAFACIL 82

4.5 Listado del Programa DINAFACIL 85

MODULO ENTRADA.FOR 85

MODULO CONDENSA.FOR 92

MODULO INVMAT.FOR 95

MODULO MODOS.FOR 96

MODULO JACOBI.FOR 104

MODULO RESPONDE.FOR 107

MODULO CURESP.FOR 112

MODULO CARGAS.FOR 115

MODULO RESHIST.FOR 119

MODULO LAPLACE.FOR 124

MODULO RESFUER.FOR 124

MODULO AMORTIGU.FOR 128

APENDICE AAlgebra Matricial Simplificada

REFERENCIAS

PREFACIO

El análisis dinámico de estructuras ha adquirido una herramienta poderosa conla aparición de las computadoras personales PC, anteriormente los ingenierosque tenían acceso a las grandes computadoras MAIN FRAME podían realizaranálisis dinámico de estructuras sin dificultad, sin embargo, estos programasson como cajas negras en donde el ingeniero desconocía que ocurría durante elproceso de análisis por computadora.

La presente obra esta enfocada para aquellos ingenieros que quieren comprenderla metodología del análisis dinámico de estructuras desde el punto de vistateórico y desde el punto de vista practico del uso de programas decomputadora.

Cabe mencionar que las herramientas matemáticas para hacer análisis dinámicode estructuras ya existían desde el siglo pasado, sin embargo, por la falta detecnología computacional no fue posible realizar estos análisis antes de laaparición de las computadoras.

Se presenta en esta obra los conceptos básicos de análisis dinámico y deanálisis matricial de estructuras acompañados de programas de computadora yejemplos de diseño aplicando los conceptos de varios reglamentos deconstrucción para que el ingeniero adquiera fácilmente la sensibilidad delanálisis y diseño de estructuras.

El libro esta dividido en cuatro capítulos, en el primero se desarrollan losconceptos básicos de la Dinámica Estructural enfocado en el análisis modal, seempieza el estudio con el concepto de modos de vibración para sistemas devarios grados de libertad, se determinan las relaciones entre los EIGENVALUESy EIGENVECTORS, se desarrolla el concepto de respuesta estructural aplicandoal diseño por Espectro de Respuesta, Histograma de Aceleración en el apoyo yHistograma de Fuerza en cualquier punto de la estructura.

En el capitulo dos se desarrolla los conceptos básicos del análisisestructural por medio de matrices, se determina la matriz de rigidez, lamatriz de masa, la condensación de matrices, y el concepto de amortiguamientomodal.

En el capitulo tres se desarrollan los conceptos para hacer modelosmatemáticos de estructuras y se muestran varios ejemplos prácticos.

En el cuarto capitulo se incluye el programa de computadora DINAFACIL pararealizar análisis estáticos y dinámicos de estructuras.

Guillermo Demetrio Curiel Díaz Ordaz

Dedicado a:

Mi Familia:Koko, Alejandro y Francisco

Mis Padres y Hermanos

A mis amigos y compañeros deComisión Federal de Electricidad

CAPITULO 1CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL

1.1 INTRODUCCIÓN

En este capitulo se describen los conceptos básicos de la Dinámica Estructural.

Las estructuras pueden ser representadas mediante un modelo matemáticoconstruido con elementos finitos que nos representan las vigas, columnas, losasy todos los elementos estructurales.

Las propiedades elásticas e inerciales de los elementos finitos puedenexpresarse en forma de matriz.

Estas matrices que representan las propiedades de cada elemento pueden sercombinadas siguiendo las reglas derivadas de la Teoría de la Elasticidad paradeterminar las propiedades estáticas y dinámicas de la estructura en suconjunto.

Las cargas dinámicas que pueden ocurrir en una estructura pueden representarsemediante histogramas de fuerza, aceleración o desplazamiento, también se puedenrepresentar mediante espectros de respuesta, en el caso del sismo por logeneral los reglamentos de construcción incluyen el Espectro de Respuesta deDiseño el cual representa con un margen de seguridad razonable, todos losterremotos que pueden ocurrir en la zona donde es aplicable el reglamento.

La mayoría de las estructuras son diseñadas para que los esfuerzos en suselementos estén dentro del rango elástico.

El análisis dinámico puede realizarse mediante la integración directa de laecuación de movimiento o mediante la transformación de esa ecuación a su formamodal, en este libro trataremos la segunda forma porque es el método preferidopara realizar análisis dinámicos.

El análisis modal se describe en el punto 1.2 y en el punto 1.3 se describe lametodología para obtener los valores característicos (EIGENVALUES) y las formasmodales.(EIGENVECTORS) de un modelo matemático.

En el punto 1.4 se describen las propiedades de los EIGENVALUES y EIGENVECTOR.

En los puntos 1.5 a 1.7 se describe la metodología para obtener la respuesta dela estructura ante cargas dinámicas aplicando un Espectro de Respuesta(ANALISIS ESPECTRAL), un acelerograma en la base de la estructura y unhistograma de fuerza en cualquier punto de la estructura.

El análisis espectral nos sirve para determinar las aceleraciones ydesplazamientos máximos de la estructura, así como los valores máximos de loselementos mecánicos (fuerza axial, cortante y momentos para el caso de vigas)de los miembros estructurales

Con estos elementos mecánicos máximos se diseña la estructura.

El análisis por acelerograma nos sirve para obtener los acelerogramas derespuesta en cada punto de la estructura que deseamos, en este caso se aplicaun acelerograma en la base de la estructura y se obtienen acelerogramas derespuesta, con estos se obtienen los espectros de respuesta para aplicarlos aldiseño de equipos industriales que sean requeridos para que permanezcanfuncionando durante y después de un sismo.

El análisis aplicando un histograma de fuerza sirve en el caso de que dentro deuna estructura exista un equipo que produzca fuerzas dinámicas y sea necesario

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA 2

determinar los esfuerzos en la estructura. También es aplicable al diseño porviento si se conoce el histograma de fuerza de viento.

1.2 ANÁLISIS MODAL

La ecuación del movimiento dinámico de una estructura se representa por:

[ M ] X" + [ C ] X' + [ K ] X = F(t) (1.1 )

en donde:

[ M ] = Matriz de masa

[ C ] = Matriz de amortiguamiento

[ K ] = Matriz de rigidez

X" = Vector de aceleración

X' = Vector de velocidad

X = Vector de desplazamiento

f(t) = Vector de fuerza transitoria

Una matriz es un arreglo de números de “M” filas por “N” columnas que nosrepresentan la rigidez, masa y amortiguamiento de una estructura, en elcapitulo 2 se vera la forma para determinar esas matrices, por lo pronto paraentender el análisis dinámico se deberá ver a las matrices como un conjunto denúmeros, en el APENDICE “A” se muestra un resumen del álgebra matricial.

Un vector es una matriz con una sola columna que representa la aceleración,velocidad, desplazamiento y fuerza aplicada a la estructura.

La ecuación 1.1 se deriva del principio del trabajo virtual de los sistemaselásticos, ver referencia 1, solucionar esta ecuación significa resolver todoslos problemas de dinámica estructural.

La ecuación 1.1 puede ser solucionada en forma directa para una serie deincrementos de tiempo, sin embargo, es conveniente conocer las característicasde la estructura tales como la frecuencia natural y los modos de vibraciónporque nos muestran el comportamiento general de la estructura, además parasolucionar la ecuación 1.1 directamente la fuerza transitoria debe estardefinida en el dominio del tiempo (histograma de fuerza) y como vimosanteriormente para el caso del diseño sísmico no se aplica un solo evento parael diseño, sino que se aplica una envolvente de eventos representados en unEspectro de Respuesta que represente los sismos críticos que se puedenpresentar en el sitio en donde se localizara la estructura por analizar.

Por lo tanto, para solucionar la ecuación 1.1 es conveniente usar el método delanálisis modal el cual consiste en transformar la ecuación 1.1 a un nuevosistema de coordenadas en la que cada grado de libertad de movimiento esrepresentado por un modo de vibración el cual tiene una frecuencia asociada(EIGENVALUE) y una forma modal(EIGENVECTOR).

Una vez obtenidos los EIGENVALUES y EIGENVECTORS se puede determinar larespuesta estructural para cada modo aplicando el Espectro de Respuesta, obien, aplicando histogramas de fuerza o aceleración.

CAPITULO 1 3

Las limitaciones del análisis modal son que solamente puede ser usado dentrodel rango elástico y que todas las fuerzas que se aplican a la estructura debentener la misma variación en el tiempo.

Para el análisis sísmico las limitaciones no representan ningún problema pueslas estructuras son diseñadas dentro del rango elástico y el sismo se aplica enla base de la estructura.

Para el caso de histogramas de fuerza es posible aplicar varias fuerzas adiferentes puntos de la estructura, pero la variación de las fuerzas en eltiempo debe ser la misma.

1.3 OBTENCIÓN DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN

Los modos naturales de vibración de una estructura se definen como la vibraciónque ocurre si consideramos que no existe amortiguamiento y que la fuerzadinámica vale 0, este movimiento esta en función exclusivamente de la masa yrigidez de la estructura por lo que este concepto nos da importantescaracterísticas de la estructura que nos servirán en el análisis modal, por lotanto la ecuación 1.1 se transforma a:

[ M ] X" + [ K ] X = 0 (1.2 )

Debido a que la vibración libre es armónica, el desplazamiento puede escribirsecomo:

X = φ e i ω t (1.3 )

en donde:

φ = Vector del desplazamiento modal del modo i (EIGENVECTOR)

ωi = frecuencia circular de oscilación del modo i (EIGENVALUE)

Otra forma de ver esto, es que en cada modo se puede determinar eldesplazamiento, velocidad, y aceleración de la siguiente forma:

X' = φ i ω e i ω t VELOCIDAD

X" = φ i2 ω2 e i ω t ACELERACION

i2 = -1

sustituyendo la ecuación 1.3 en la ecuación 1.2 tenemos:

( -ω2 [ M ] + [ K ] ) φ = 0 (1.4 )

Esta es la ecuación del movimiento de un sistema sin amortiguamiento oscilandolibremente, en este punto la ecuación del movimiento dinámico fue transformadaa su forma modal.

Si consideramos todas las frecuencias circulares de oscilación y todos losvectores de desplazamiento, la ecuación 1.4 se transforma a:

( [-Ω2 ] [ M ] + [ K ] ) [ Φ ] = 0 (1.5 )

donde :


[ Ω2] = Matriz Espectral, matriz diagonal que contiene todos los EIGENVALUES;un eigenvalue es el cuadrado de la frecuencia circular de un modo.

[ Φ ] = Matriz Modal, matriz que contiene todos los EIGENVECTORS, cada columnacorresponde a un modo de vibración.

En el año de 1846 K.G. Jacobi, ver referencias 2 y 3, presento un métodoiterativo para encontrar los valores característicos (EIGENVALUES) y losvectores correspondientes (EIGENVECTORS) de una matriz simétrica real.

Para aplicar este método tenemos que hacer la siguiente transformación a laecuación 1.5:

[ K ] [ Φ ] = [ M ] [ Φ ] [ Ω2] (1.6 )

Si multiplicamos la parte izquierda de la ecuación 1.6 por [ M ]-½ [ M ]½ ( loanterior por supuesto equivale a [ I ] ) y la matriz [ M ] la transformamos asu equivalencia formada por [ M ]½ [ M ]½ tenemos:

[ K ] [ M ]-½ [ M ]½ [ Φ ] = [ M ]½ [ M ]½ [ Φ ] [ Ω2] (1.7 )

Si pasamos [ M ]½ del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación 1.7tenemos :

[ M ]-½ [ K ] [ M ]-½ [ M ]½ [ Φ ] = [ M ]½ [ Φ ] [ Ω2] (1.8 )

ahora si definimos:

[ A ] = [ M ]-½ [ K ] [ M ]-½ = matriz dinámica (1.9 )

[ V ] = [ M ]½ [ Φ ] (1.10)

la ecuación 1.8 se transforma a:

[ A ] [ V ] = [ V ] [ Ω2] (1.11)

Ahora a la matriz dinámica [ A ] se le aplica el método de Jacobi y obtenemosla matriz espectral [ Ω2 ] ; la matriz modal [ Φ ] la encontramos a partirde la ecuación 1.10:

[ Φ ] = [ M ]-½ [ V ] (1.12)

Los EIGENVALUES tienen dos propiedades importantes que sirven para verificar laexactitud del método usado en su obtención, una de ellas es que la sumatoria detodos los EIGENVALUES es igual a la sumatoria de los elementos de la diagonalde la matriz dinámica [ A ], y la segunda propiedad es que el producto de todoslos EIGENVALUES es igual al determinante de la matriz dinámica [ A ].

Lo anterior resulta obvio porque la matriz [ A ] es una matriz diagonal y eldeterminante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de ladiagonal principal.

CAPITULO 1 5

El método de Jacobi consiste básicamente en transformar la matriz dinámica [ A ] en una matriz diagonal por medio de una matriz de transformación [ T ]aplicando la siguiente multiplicación sucesivamente :

[ A1 ] = [ T1 ]T [ A0 ] [ T1 ] (1.13)

. . . . . . . . . . . . . . .

[ Ai ] = [ Ti ]T [ Ai-1 ] [ Ti ]

la matriz [ A0 ] es la matriz dinámica, la matriz [ Ai ] tiende a ser diagonal ycontiene los EIGENVALUES, la matriz [ Ti ] contiene los EIGENVECTORS.

La matriz [ T ] se forma de la siguiente manera:

Se escoge un elemento aij fuera de la diagonal principal de la matriz [ A ]

Se determina el ángulo θ mediante la formula siguiente:

Tan 2θ = 2 aij / ( aii - ajj ) (1.14)

El valor de los elementos de la matriz [ T ] serán en la diagonal principal 1 yfuera de la diagonal principal 0 excepto los elementos siguientes :

Tii = Tjj = cos θ ; Tij = -sen θ ; Tji = sen θ

Se procede a hacer las multiplicaciones sucesivas indicadas arriba hasta quelos elementos fuera de la diagonal principal de la matriz [ A ] valgan 0.

Debido a que las computadoras tienen una cantidad limitada de dígitos esimposible llegar a obtener un valor de cero en todos los elementos fuera de ladiagonal principal, este concepto es critico en especial cuando en la matrizdinámica tenemos grandes diferencias de rigidez en la diagonal principal, comopor ejemplo cuando la estructura se apoya en resortes, por lo que si larelación entre el valor mínimo de los elementos de la diagonal principal y elvalor máximo de los elementos fuera de la diagonal principal no es losuficientemente grande, digamos 1.0 E+08 , tenemos el peligro de obtenererrores no imputables al método sino a la precisión indicada en el programa decomputadora que usemos.

Existen otros métodos para determinar los EIGENVALUES y EIGENVECTORS de unamatriz simétrica real tales como el método de LANCZOS, el método deHOUSEHOLDER, el método de GUYAN.

En este libro usaremos el método de Jacobi por su sencillez, la desventaja deeste método es que se necesitan obtener todos los valores de los EIGENVALUES yEIGENVECTORS, cuando el problema por resolver es pequeño esto no importa mucho,pero cuando tenemos que resolver un problema grande es conveniente usar unmétodo en donde se pueda resolver para los primeros modos de vibración que parael caso del análisis estructural son los de interés.

1.4 PROPIEDADES DE LOS MODOS DE VIBRACION

Los conceptos mas importantes de los modos de vibración son:

Masa GeneralizadaRigidez GeneralizadaFactores de ParticipaciónModos Normalizados


Ortogonalidad de los Modos

Empezaremos por la Rigidez y Masa Generalizada.

Considerando la ecuación 1.5 :

( [-Ω2] [ M ] + [ K ] ) [ Φ ] = 0

Si dividimos esta ecuación entre [ Ω2] tenemos :

[-Ω2] [ M ] [ Φ ] [ Ω2]-1 + [ K ] [ Φ ] [ Ω2]-1 = 0

debido a que [ Ω2] [ Ω2]-1 es igual a [ I ] tenemos:

[ K ] [ Φ ] [ Ω2]-1 - [ M ] [ Φ ] = 0 (1.15)

La ecuación anterior se premultiplica por [ Φ ]T y obtenemos :

[ Φ ]T [ K ] [ Φ ] [ Ω2]-1 - [ Φ ]T [ M ] [ Φ ] = 0

ó lo que es lo mismo:

[ KG ] [ Ω2]-1 = [ MG ] (1.16)

Donde [ KG ] se define como la matriz de rigidez generalizada y tiene lapropiedad de ser matriz diagonal, [ MG ] se define como la matriz de masageneralizada y tiene la misma propiedad de ser matriz diagonal, por lo tanto lamatriz de rigidez generalizada y la matriz de masa generalizada se obtienemediante:

[ KG ] = [ Φ ]T [ K ] [ Φ ] (1.17)

[ MG ] = [ Φ ]T [ M ] [ Φ ] (1.18)

Los Factores de Participación representan la cantidad de masa que actúa en cadamodo lo cual determina su importancia, se definen como:

[ Φ ]T [ M ] FP = (1.19) [ MG ]

Un concepto importante es el Peso Modal el cual nos indica cuanto peso de laestructura participa en cada modo siendo mas explícito que el factor departicipación, se define como:

PM = [ MG ] * g * FP2 (1.20)

donde g = aceleración de la gravedad.

Estos valores nos indican además que proporción de la masa total de laestructura esta siendo excitada, lo cual nos sirve para verificar si estamoshaciendo un análisis correcto.

Los eigenvectors pueden ser normalizados, es decir, se trasforman los valorespara cumplir con la siguiente relación:

CAPITULO 1 7

[ Φn ]T [ M ] [ Φn ] = [ I ] (1.21)

Los EIGENVECTORS normalizados se deducen de la siguiente forma:

[ MG ] = [ Φ ]T [ M ] [ Φ ] es la masa generalizada.

Si premultiplicamos por [ MG ]-½ y después postmultiplicamos por [ MG ]-½

tenemos:

[ I ] = [ MG ]-½ [ MG ] [ MG ]-½ pero tenemos que :

Obviamente [ MG ]-½ X [ MG ]-½ es igual a [ I ] por lo tanto:

[ I ] = [ MG ]-½ [ Φ ]T [ M ] [ Φ ] [ MG ]-½ por lo que:

[ Φn ] = [ Φ ] [ MG ]-½

[ I ] = [ Φn ]T [ M ] [ Φn ]

Como se muestra cada EIGENVECTOR se divide entre la raíz cuadrada de la masageneralizada correspondiente para obtener la matriz [ Φn ].

Cuando los EIGENVECTORS se normalizan de acuerdo a la ecuación 1.21 se diceque están normalizados con respecto a la masa unitaria. Como consecuencia lasiguiente ecuación es valida:

[ Φn ]T [ K ] [ Φn ] = [ Ω2 ] (1.22)

Nótese la diferencia entre los eigenvectors normalizados y los no normalizados,ver ecuaciones 1.17, 1.18, 1.21 y 1.22.

Como consecuencia tenemos que los factores de participación también pueden serdefinidos como sigue

[ Φ ]T [ M ] FP = = [ Φn ]T [ M ] (1.23) [ MG ]

Otra propiedad importante de los EIGENVECTORS es la Ortogonalidad de los modosde vibración o EIGENVECTORS la cual consiste en que siempre se cumple larelación:

φni T [ M ] φnj = 0 (1.24)

φni T [ K ] φnj = 0 (1.25)

siempre que i sea diferente de j .Un concepto interesante que se deriva del hecho de la ortogonalidad de losmodos de vibración es al examinar la ecuación 1.17 de la rigidez generalizada,si esta ecuación la escribimos como :

1/2 [ KG ] = 1/2 [ Φ ]T [ K ] [ Φ ] (1.26)


Tenemos que [ K ] [ Φ ] representa las fuerzas elásticas generalizadas de losmodos [ Φ ] y 1/2 [ Φ ]T [ K ] [ Φ ] representa el trabajo hecho poresas fuerzas generalizadas.Como [ KG ] es una matriz diagonal, la ecuación 1.26 puede ser interpretadacomo el principio de que el trabajo de las fuerzas elásticas generalizadas enun modo actuando sobre el desplazamiento en otro modo es igual a cero, esdecir, solamente cuando las fuerzas elásticas generalizadas actúan sobre eldesplazamiento de su propio modo el trabajo no es igual a cero.

1.5 RESPUESTA ESTRUCTURAL (ANALISIS ESPECTRAL)

La respuesta estructural se obtendrá de acuerdo a la forma de aplicar la cargadinámica la cual puede ser mediante espectros de respuesta; histogramas deaceleración, fuerza o desplazamiento; funciones senoidales; métodos aleatorios, etc., en este libro trataremos las primeras tres formas.

Para el caso del análisis sísmico, el método preferido para obtener el diseñode una estructura es mediante el Espectro de Respuesta porque esta funciónrepresenta todos los movimientos telúricos que se pueden presentarse en laregión en donde se construirá la estructura dentro de un periodo de retornorazonable. Los reglamentos de construcción especifican el Espectro de Respuestaaplicable a una región determinada.

El espectro de respuesta se define como una gráfica de la máxima respuesta deun oscilador a la aceleración del suelo, graficada en función de la frecuencianatural y el amortiguamiento del oscilador, por lo que el espectro de respuestade diseño es una envolvente de la máxima aceleración con su correspondientefrecuencia que puede ocurrir en una región determinada, por ejemplo de acuerdoa la referencia 4, el espectro de respuesta de diseño para la zona sísmica “ B“ en la República Mexicana se muestra en la figura 1.1

FIGURA 1.1

El amortiguamiento dependerá del tipo de materiales empleados en laconstrucción y en el tipo estructuración de acuerdo a la referencia 4, en dondese define el factor Q.

Para obtener el espectro de respuesta de aceleración definiremos la ecuacióndel movimiento de un oscilador de un solo grado de libertad:

m ü + c ù + k u = -m üg (1.27)

donde :

CAPITULO 1 9

üg = aceleración en la base del oscilador

m = masa del osciladork = rigidez del osciladorc = amortiguamiento del osciladoru = desplazamiento del osciladorú = velocidad del osciladorü = aceleración del oscilador

si definimos k = m ω2 y c = 2mψµ donde :ω = frecuencia circular del osciladorµ = amortiguamiento del oscilador

tenemos:

ü + 2ωµù + ω2 u = -üg (1.28)

con esta ecuación podemos encontrar la aceleración, la velocidady el desplazamiento del oscilador, y el espectro correspondientees el máximo valor para cada frecuencia y amortiguamientoquedando definido como:

SA = max ü(t)

SV = max ù(t)

SD = max u(t)

En la referencia 5 se muestra un programa de computadora para obtener espectrosde respuesta a partir de un acelerograma de entrada.

El método propuesto en la referencia 5 supera al antiguo método de RUNGE-KUTTApara la obtención de espectros de respuesta

Ver figura 1.2 en donde se muestra el proceso de la generación del espectro derespuesta.


FIGURA 1.2

Existe la relación siguiente entre los espectros de respuesta de aceleración,velocidad y desplazamiento:

SA = ω SV = ω2 SD (1.29)

Ahora para una estructura de varios grados de libertad podemos aplicar el mismoprincipio porque cada modo esta definido por una frecuencia y la estructura esdiseñada para resistir en el rango elástico la aceleración que se produce en elespectro de respuesta de diseño.

Para esto tenemos que considerar el factor de participación, es decir cuanto dela estructura responde a un modo determinado, por lo tanto el desplazamiento dela estructura queda definido para cada modo como:

Dij = FPj * Φij * SAj/ωj2 (1.30)

Aij = FPj * Φij * Saj (1.31)

donde :

Dij = desplazamiento del nodo i para el modo j.Aij = aceleración del nodo i para el modo j.FPj = factor de participación del modo j.

CAPITULO 1 11

Φij = eigenvector del modo j correspondiente al nodo i.SAj = aceleración espectral correspondiente al modo j.ωj = frecuencia circular del modo j.

En la figura 1.3 se muestra la metodología empleada.

FIGURA 1.3

Después de obtener los desplazamientos y aceleraciones correspondientes a cadanodo y modo se obtienen los elementos mecánicos de los miembros estructuralesque para el caso de vigas son la fuerza axial, cortante y momento para cadamodo.

Existen muchas formas de combinar la respuesta de cada modo, cada reglamentoindica como hacerlo, la mas adecuada desde mi punto de vista es la querecomienda la NRC (NUCLEAR REGULATORY COMMISSION) de U.S.A. la cual indica quelos modos cercanos, aquellos en que la diferencia entre frecuencias es menor al10 % se deben de sumar en forma absoluta y los demás modos de acuerdo a la raízcuadrada de la suma de los cuadrados.

R = √ ( Σ ABS RC + RA2 ) (1.32)

donde :

R = respuesta estructural (desplazamiento, aceleración, fuerzas, etc.

RC = respuesta de modos cercanos

RA = respuesta de modos alejados


La respuesta espacial de las estructuras se puede obtener de acuerdo a la raízcuadrada de la suma de la respuesta cuadrada obtenida en cada direcciónortogonal de la estructura. Los espectros de respuesta de diseño estándefinidos por lo general solo en la dirección horizontal, en reglamentos deconstrucción para edificios comunes; para el caso de instalaciones nucleares sedefine un espectro de diseño vertical.

1.6 RESPUESTA ESTRUCTURAL (ANÁLISIS POR HISTOGRAMA DE ACELERACIÓNEN APOYOS)

Como vimos anteriormente, el diseño sísmico es conveniente realizarlo medianteun análisis espectral, sin embargo, algunas veces nos interesa determinar losEspectros de Respuesta para diferentes nodos de la estructura, pero esto no esposible mediante el análisis espectral, por lo que en esos casos se determinaun acelerograma sintético cuyo Espectro de Respuesta es equivalenteestadísticamente al Espectro de Respuesta de Diseño, El acelerograma sintéticose genera mediante el método de Dickerson, ver figura 1.4.

FIGURA 1.4

El acelerograma sintético se aplica en los soporte de la estructura paraobtener los histogramas de respuesta de desplazamiento, velocidad yaceleración para cada punto nodal requerido.

La respuesta se obtiene para cada modo y posteriormente se realiza una sumaalgebraica de la respuesta para cada modo de vibración.

La metodología de análisis se muestra a continuación:

De la ecuación general (1.1) tenemos

[ M ] X" + [ C ] X' + [ K ] X = F(t)

Ahora bien, para el caso de un sismo F(t) es igual a la masa de laestructura por la aceleración en el apoyo, por lo tanto:

F(t) = - [ M ] a"(t) (1.34)

quedando la ecuación como:

[ M ] X" + [ C ] X' + [ K ] X = -[ M ] a"(t) (1.35)

CAPITULO 1 13

esta ecuación es similar a la ecuación 1.28 , pero ahora se consideran todoslos grados de libertad, tomando en cuenta que:

X = [ Φ ] Y (1.36)

tenemos:

[ M ] [ Φ ] Y" + [ C ] [ Φ ] Y' + [ K ] [Φ ] Y =

-[ M ] a"(t) (1.37)

se premultiplica por [ Φ ]T y tenemos:

[ Φ ]T [ M ] [ Φ ] Y" + [ Φ ]T [ C ] [ Φ ] Y' +

+ [ Φ ]T [ K ] [ Φ ] Y = - [ Φ ]T [ M ] a"(t) (1.38)

de acuerdo a las ecuaciones 1.17 y 1.18 tenemos en la ecuación (1.38) la masay rigidez generalizada, por lo tanto la ecuación (1.38) queda como:

[ MG ] Y" + [ Φ ]T [ C ] [ Φ ] Y' + [ KG ] Y =

-[ Φ ]T [ M ] a"(t) (1.39)

El termino [ Φ ]T [ C ] [ Φ ] puede definirse como el amortiguamientogeneralizado.

El amortiguamiento critico para un sistema de un grado de libertad se definecomo:

Ccrit = 2 m w

mientras que para cualquier valor menor el amortiguamiento se define como:

C = 2 v m w

Donde v es la relación entre el amortiguamiento real y el amortiguamientocritico siendo este valor menor a 1 para que la estructura se pueda mover.

El amortiguamiento generalizado también puede representarse por una fraccióndel amortiguamiento critico como sigue:

[ Φ ]T [ C ] [ Φ ] = 2 V [ MG ] [ Ω ] (1.40)

quedando la ecuación (1.39) como sigue:

[ MG ] Y" + 2 V [ MG ] [Ω ] Y' + [ KG ] Y =

-[ Φ ]T [ M ] a" (1.41)

ahora dividiendo la ecuación (1.41) entre [ MG ] tenemos:

Y" + 2 V [ Ω ] Y' + [Ω2 ] Y =


-[ Φ ]T [ M ] [ MG]-1 a"(t) (1.42)

debido a que [Ω2 ] = [ KG ] [ MG ]-1 , ver ecuación 1.16 , además[ Φ ]T [ M ] [ MG ]-1 es igual a los factores de participación FP ,ver ecuación 1.19, por lo tanto tenemos que la ecuación ( 1.42 ) queda comosigue:

Y" + 2 V [ Ω ] Y' + [ Ω2 ] Y =

- FP a"(t) (1.43)

las matrices [ Ω ] y [ Ω2 ] son diagonales por lo que se puede obtener lasolución para cada modo mediante la transformada de Laplace.

La ecuación (1.43) tiene la forma siguiente:

Y" + P Y' + Q Y = f(x) (1.44)

en donde:

P = 2 V [ Ω ]

Q = [ Ω2 ]

f(x) = - FP a"(t)

La solución a la transformada de Laplace es como sigue, ver referencia 6.

Se calculan varios parámetros que son :

λ = P/2 = V [ Ω ]

D = P2 - 4Q = 4 V2 [ Ω2 ] - 4 [ Ω2 ]

Debido a que el amortiguamiento V debe ser menor a 1 se concluye que el valorD siempre será menor a 0, por lo tanto la solución será del primer tipo,quedando la solución como sigue:

Y(t) = A1(x) Y0 + B1(x) Y'0 + F1(x) (1.45)

Y'(t) = -Q B1(x) Y0 + ( A1(x) - P B1(x) ) Y'0 + F1'(x) (1.46)

donde:

Y(t) = desplazamiento generalizado de la estructura

Y'(t) = velocidad generalizada de la estructura

A1(x) = e-λx ( cos wx + λ/w sen wx )

B1(x) = e-λx ( sen wx )/w

F1(x) = int0x f(x-tao) B1(tao) dt = (-FP a"(t) ) / Q (1-A1(x))

CAPITULO 1 15

La solución a la integral de F1(x) esta dada para el caso de carga mostradoen la figura 1.5, si hacemos que dx tienda a cero podemos solucionar cualquiertipo de problema.

FIGURA 1.5

La aceleración se encuentra derivando la función Y'(t).

Una vez obtenido el desplazamiento, la velocidad y la aceleración generalizadade la estructura, se puede obtener los valores para cada nodo aplicando laecuación (1.36).

1.7 RESPUESTA ESTRUCTURAL (ANÁLISIS POR HISTOGRAMA DE FUERZAAPLICADO EN CUALQUIER PUNTO DE LA ESTRUCTURA)

Este tipo de análisis se aplica cuando tenemos sobre la estructura algunacarga dinámica como puede ser el viento o algún equipo pesado que produzcavibraciones, el análisis es muy similar al anterior, partimos también de laecuación general (1.1)

[ M ] X" + [ C ] X' + [ K ] X = F(t)

Ahora el termino F(t) no se modifica y siguiendo el mismo procedimientodel análisis anterior llegamos a la ecuación (1.41) la cual queda como sigue :

[ MG ] Y" + 2 V [ MG ] [Ω ] Y' + [ KG ] Y =

[Φ]T F(t) (1.47)

ahora dividiendo la ecuación (1.47) entre [ MG ] tenemos:

Y" + 2 V [Ω ] Y' + [Ω2 ] Y =

[Φ]T F(t) [MG]-1 (1.48)

el termino [ Φ ]T F(t) se define como fuerza generalizada


Las matrices en la ecuación (1.48) son diagonales por lo que se puede aplicarla transformada de Laplace para obtener la respuesta generalizada

El termino f(x) de la ecuación 1.44 es igual a la fuerza generalizada.

El termino F1(x) queda como sigue:

F1(x) = ∫0x f(x-τ) B1(τ) dt =([Φ]T F(t) [MG]-1)/ Q (1-A1(x))

Esta solución es para el caso de carga mostrado en la figura 1.5, sin embargo,como se menciono anteriormente si dx tiende a cero podemos analizar cualquiertipo de carga que se nos presente.

Como en el caso anterior una vez obtenido el desplazamiento, la velocidad y laaceleración generalizada de la estructura, se puede obtener los valores paracada nodo aplicando la ecuación (1.36).

También a partir de los desplazamientos se pueden obtener los elementosmecánicos de los miembros de la estructura.

La respuesta de cada modo se suma algebraicamente para obtener la respuestatotal.

1.8 CONCLUSIONES

Como se puede apreciar con unos cuantos conceptos de dinámica estructural yálgebra matricial es posible hacer análisis dinámicos de estructuras.

El análisis modal espectral nos sirve entonces para diseñar los elementos de laestructura.

El análisis modal por acelerograma nos sirve para obtener acelerogramas derespuesta y con estos obtener espectros de respuesta para cada punto de laestructura que sea requerido.

El análisis modal por histograma de fuerza nos sirve para obtener los elementosmecánicos de la estructura y verificar lo adecuado del sistema, también sepuede obtener espectros de respuesta para cada punto nodal requerido.

Los métodos simplificados indicados en los reglamentos de construcción en dondeel análisis es a base de coeficientes tiene que ser sustituido por un análisismas formal como el análisis modal.

Este libro pretende impulsar esta forma de pensar en los Ingenieros.

CAPITULO 2CONCEPTOS BÁSICOS DE ANALISIS MATRICIAL

2.1 INTRODUCCIÓN

El objetivo del análisis estructural es determinar los elementos mecánicos,(fuerzas y momentos) de los elementos estructurales para proceder al diseño deacuerdo al tipo de material usado y revisar la estabilidad general de laestructura.

Por lo general los materiales estructurales mas frecuentemente usados son elconcreto reforzado y el acero estructural, existen reglamentos aplicables aldiseño de esos tipos de materiales siendo la entrada de datos las fuerzas ymomentos obtenidos del análisis estructural.

Los desplazamientos relativos entre los elementos estructurales deben deconsiderarse también en el diseño, porque si estos son muy grandes, entoncesya no se estaría cumpliendo con la teoría de elasticidad, la cual indica quelas deformaciones en el material deben ser menores al limite elástico delmismo.

Al analizar una estructura mediante un programa de computadora, este no nosavisara cuando el material a salido del rango elástico por la aplicación deuna fuerza excesiva, a menos que sea un análisis en donde la fuerza se aplicaa pasos y en cada paso se revisa el nivel de esfuerzos para cada elementoestructural dando aviso cuando se sobrepasa el limite elástico del material.

También debe considerarse las cargas de pandeo de los elementos estructuralespara no afectar la estabilidad general de la estructura.

En caso de que la estructura este sujeta a cargas dinámicas se deberádeterminar la aceleración máxima para diferentes partes de la estructura, asícomo los desplazamientos máximos, algunas veces es necesario determinar loshistogramas de respuesta de aceleración y desplazamiento.

Las estructuras pueden ser estáticamente determinadas y estáticamenteindeterminadas, en las primeras los elementos mecánicos de la estructurapueden ser obtenidos en forma relativamente fácil aplicando las ecuaciones dela ESTATICA, para las estructuras estáticamente indeterminadas existendiversos métodos de análisis como los siguientes:

Método de la Deformación Consistente

Este método consiste en separar de la estructura indeterminada, una parte dela estructura que tenga condiciones de estructura estáticamente determinada,es decir se remueven condiciones de apoyo redundantes y estas se considerancomo cargas actuando en la estructura estáticamente determinada

Por lo tanto habrá tantas condiciones diferentes de la estructura como apoyosredundantes. Un sistema de N ecuaciones simultaneas, donde N es el numero deapoyos redundantes. Cuando las ecuaciones son resueltas y las fuerzas ymomentos en los apoyos redundantes son determinadas, se regresara a colocaresas fuerzas y determinar las reacciones por medio de las ecuaciones de laestática.

Método Deflexión-Pendiente

En este método las conexiones entre elementos se consideran rígidas, por lotanto cuando las vigas o marcos se deforman se considera que la conexión girasolo como conjunto, las rotaciones de las juntas son tratadas como incógnitas.


El momento final en una conexión puede ser expresado en función de larotación. pero para satisfacer las condiciones de equilibrio la suma de losmomentos en los extremos deberá ser cero

Método de Distribución de Momentos (método de Cross )

Este método consiste esencialmente en resolver las ecuaciones simultaneas delmétodo deflexion-pendiente por sucesivas aproximaciones

En estos métodos de análisis no se considera la deformación por cortante enlas vigas ni la deformación por carga axial, además cuando la estructura es detamaño mediano se complica el análisis.

Estos métodos de análisis ahora resultan anticuados en comparación con elmétodo matricial de análisis de estructuras, sin embargo no hay que olvidarque grandes estructuras como edificios, puentes, etc. fueron diseñados conesos métodos.

Método Matricial

El método matricial consiste básicamente en representar cada elemento delmodelo de la estructura mediante una matriz individual, posteriormente setransforma dicha matriz a coordenadas generales de la estructura paraensamblar la matriz de rigidez general. Una vez obtenida la matriz de rigidezpodemos hacer transformaciones para obtener los desplazamientos generales dela estructura y a partir de estos obtener las fuerzas y momentos para cadaelemento estructural, en los siguientes puntos veremos con detalle como serealiza esto.

2.2 FORMACION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

La matriz de rigidez del modelo matemático o matriz global que representa atoda la estructura se forma a partir de los elementos que constituyen esemodelo, es decir, por los elementos finitos, los cuales pueden ser vigas,placas, resortes, etc., cada uno de estos elementos tiene su propia matriz derigidez que para el caso de las vigas actuando en el plano es:

EA

L0 0

-EA

L0 0

012EI

L3(1+R)

6EI

L2(1+R)0

-12EI

L3(1+R)

6EI

L2(1+R)

06EI

L2(1+R)

(4+R)EI

L(1+R)0

-6EI

L2(1+R)

(2-R)EI

L(1+R)-EA

L0 0

EA

L0 0

0-12EI

L3(1+R)

-6EI

L2(1+R)0

12EI

L3(1+R)

-6EI

L2(1+R)

06EI

L2(1+R)

(2-R)EI

L(1+R)0

-6EI

L2(1+R)

(4+R)EI

L(1+R)Ver referencia 1.

donde :

CAPITULO 2 19

R = 12 EI / G Av L2 = 24(1+v) A/Av (Rg/L)2

E = modulo de elasticidad del material de la viga

G = modulo de cortante

A = área total de la viga

Av = área de cortante

I = inercia de la viga

L = longitud de la viga

V = relación de Poisson

Rg = radio de giro del elemento = √ I/A

Cuando la relación Rg/L es pequeña en comparación a la unidad se puededespreciar el valor de R en la matriz de rigidez, en los programas decomputadora cuando el área de cortante del elemento es cero, no se considera elvalor R porque no se puede dividir entre cero.

La matriz de rigidez de una viga actuando en el espacio es de 12 X 12, verreferencia 1, y se muestra a continuación:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12EAL

-EAL

12EIzL3(1+Ry)

6EIzL2(1+Ry)

-12EIzL3(1+Ry)

6EIzL2(1+Ry)

12EIyL3(1+Rz)

-6EIyL2(1+Rz)

-12EIyL3(1+Rz)

-6EIyL2(1+Rz)

GJL

-GJL

-6EIyL2(1+Rz)

(4+Rz)EIyL(1+Rz)

6EIyL2(1+Rz)

(2-Rz)EIyL(1+Rz)

6EIzL2(1+Ry)

(4+Ry)EIzL(1+Ry)

-6EIzL2(1+Ry)

(2-Ry)EIzL(1+Ry)

-EAL

EAL

-12EIzL3(1+Ry)

-6EIzL2(1+Ry)

12EIzL3(1+Ry)

-6EIzL2(1+Ry)

-12EIyL3(1+Rz)

6EIyL2(1+Rz)

12EIyL3(1+Rz)

6EIyL2(1+Rz)

-GJL

GJL

-6EIyL2(1+Rz)

(2-Rz)EIyL(1+Rz)

6EIyL2(1+Rz)

(4+Rz)EIyL(1+Rz)

6EIzL2(1+Ry)

(2-Ry)EIzL(1+Ry)

-6EIzL2(1+Ry)

(4+Ry)EIzL(1+Ry)

Las columnas 1 y 7 se refieren a la deformación axial de la viga.

Las columnas 4 y 10 se refieren a la deformación por torsión.

Las columnas 2, 6, 8 y 12 se refieren al cortante y momento en el plano 1.

Las columnas 3, 5, 9 y 11 se refieren al cortante y momento en el plano 2.

De la matriz anterior se observa que tanto la parte correspondiente a ladeformación por carga axial y a la deformación por torsión pueden serdesacopladas, es decir, que se pueden realizar análisis exclusivos para


deformación por carga axial y deformación por cortante, en cambio lasdeformaciones por cortante y momento en un plano están íntimamenterelacionadas.

También están desacopladas las deformaciones por cortante y momento de cadaplano ortogonal.

Esto da pie a que en los modelos de edificios hechos de vigas y masas agrupadasse pueda separar el análisis sin afectar el resultado final.

Por ejemplo la matriz de rigidez de una viga en la que se considere solo cargaaxial es:

EA

L

-EA

L-EA

L

EA

L

Las placas y los elementos sólidos tienen su propia matriz, en este libroanalizaremos únicamente los elementos viga.

La matriz de rigidez anterior esta en coordenadas locales de la viga, por loque es necesario introducir una matriz de giro para que la matriz de rigidez dela viga pueda ser transformada a coordenadas globales de la estructura por lotanto, la matriz de giro esta dada por:

COS ø SEN ø-SEN ø COS ø

1COS ø SEN ø-SEN ø COS ø

1

donde :

ø = ángulo entre la coordenada X del modelo global y el eje de la viga.

La transformación de la matriz de la viga a coordenadas globales del modelo serealiza mediante la siguiente operación:

Kvg = λT Kv λ (2.1)

donde :

CAPITULO 2 21

Kvg = matriz de la viga en coordenadas globales

Kv = matriz de viga en coordenadas locales

λ = matriz de giro

Ahora se adiciona cada matriz Kvg a la matriz global de la estructura como semuestra en la figura 2.1, nótese que la matriz de la viga 8-10 se divide encuatro partes para que los nodos de incidencia coincidan con los de la matrizgeneral, en caso de que parte de dos matrices individuales coincidan en lamisma posición sus valores son sumados algebraicamente.

FIGURA 2.1

Después se elimina la parte de la matriz global que corresponde a los nodos delos apoyos de la estructura, para el caso de la figura 2.1 los nodos de losapoyos son el 1 y el 2, por lo tanto todos los grados de libertad relacionadoscon esos nodos son eliminados como se muestra en la figura 2.2

Nótese que en la matriz de la figura 2.1 cada punto nodal tiene tres grados delibertad que son “X”, “Y” y el giro en “Z”


FIGURA 2.2

2.3 FORMACION DE LA MATRIZ DE MASA.

La matriz de masa se forma de acuerdo a los grados de libertad dinámico que serequiera considerar, por lo general, los modelos matemáticos son del tipo devigas y masas concentradas que para el caso de un edificio se concentra la masaen las losas de piso, de acuerdo a la distribución de la masa en la losa depiso se debe considerar la inercia rotacional de la masa, siendo esta la masapor la distancia al cuadrado. Lo anterior da como resultado una matrizdiagonal, ver formación de la matriz de masa en la figura 2.3.

FIGURA 2.3

Cuando una estructura contiene una gran masa de agua, esta debe considerarse,para este caso especial la matriz de masa tendrá valores fuera de la diagonalprincipal.

CAPITULO 2 23

Para el caso de estructuras con masa distribuida como una chimenea o un silotambién es posible considerar masas concentradas cada cierto tramo y hacer unanálisis dinámico de vigas y masas concentradas.

Como vimos anteriormente la matriz de rigidez esta relacionada con los nodosque se pueden mover en la estructura, y cada nodo para el caso de un modelo enel plano tiene tres grados de libertad, movimiento en “X”, movimiento en “Y” ygiro alrededor de “Z” , en cambio la matriz de masa tiene valores solo en losnodos en donde se concentra la masa, por lo que el tamaño de la matriz derigidez no coincide con el tamaño de la matriz de masa por lo que es necesariocondensar o reducir la matriz de rigidez.

2.4 CONDENSACION DE MATRICES

En el análisis dinámico de estructuras por lo general es conveniente únicamenteconsiderar los grados de libertad dinámicos suficientes para determinar larespuesta estructural porque de lo contrario se requeriría mucho tiempo ymemoria de maquina para resolver un problema determinado.

Como habíamos visto antes el método de vigas y masas concentradas es elpreferido para realizar análisis dinámicos de edificios comerciales eindustriales. De acuerdo a la referencia 7, el numero de modos de vibración ypor ende el numero de masas discretizadas debe ser suficiente para obtener losmodos de vibración significantes. En caso de una estructura con masadistribuida el numero de grados de libertad dinámico en una dirección debe serigual o al menos el doble del numero de modos significantes en esa dirección.

Otro criterio, ver referencia 7, indica que el numero de masas discretizadas ogrados de libertad dinámico es adecuado cuando el agregar grados de libertaddinámico no aumenta la respuesta en mas de un 10%. En forma alternativa, elnumero de grados de libertad dinámico puede ser igual al doble del numero demodos con frecuencia menor a 33 cps.

El procedimiento para reducir la matriz de rigidez, aplicado al caso de unacarga estatica es el siguiente, ver referencia 1:

• • • Kxx Kxy • [ K ] = • • • Kyx Kyy • • •

• • • • • • • Px • • Kxx Kxy • • Ux • • • = • • • • • Py • • Kyx Kyy • • Uy • • • • • • •Py = 0 ; Px ≠ 0

Kyx Ux + Kyy Uy = 0

Uy = -Kyy-1 Kyx Ux

Px = Kxx Ux - Kxy Kyy-1 Kyx Ux

Px = ( Kxx - Kxy Kyy-1 Kyx ) Ux


donde la matriz condensada se define como :

Kc = Kxx - Kxy Kyy-1 Kyx

Ver figura 2.4 en donde se ilustra el procedimiento anterior.

FIGURA 2.4

2.5 FORMACION DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO

Una ventaja del análisis modal es que no es necesario determinar la matriz deamortiguamiento para obtener la respuesta estructural.

Como se vio en la ecuación 1.40 la matriz de amortiguamiento se consideralineal, es decir, la matriz es diagonal, y al ser diagonal cada modo devibración tiene su amortiguamiento propio.

En el análisis espectral el amortiguamiento viene implícito en el espectro derespuesta, por lo que se deberá usar la curva que corresponda a cadaamortiguamiento o en su caso interpolar entre las diferentes curvas

En el análisis por acelerograma y por histograma de fuerza es necesario indicarel amortiguamiento para cada modo de vibración.El calculo del amortiguamiento modal dependerá del tipo de material usado en laestructura.

CAPITULO 2 25

Cuando la estructura es de un solo tipo de material el amortiguamiento es elmismo para todos los modos de vibración.

Para el caso del reglamento de la referencia 4 el amortiguamiento se da por unfactor Q que depende del material y del tipo de estructuración.

En otro reglamentos como el de la referencia 7 se asigna un porcentaje deamortiguamiento para cada tipo de material como se muestra en la siguientetabla:

TIPO DE ESTRUCTURA NIVEL DEESFUERZOS 1

NIVEL DEESFUERZOS 2

ESTRUCTURAS DE ACERO SOLDADASESTRUCTURAS DE ACERO CONECTADAS CON TORNILLOS A

FRICCION

2 4

ESTRUCTURAS DE ACERO CONECTADAS CON TORNILLOS AAPLASTAMIENTO

4 7

ESTRUCTURAS DE CONCRETO PRESFORZADO 2 5

ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO 4 7

El nivel de esfuerzo 1 corresponde a un sismo de operación, y el nivel 2corresponde a el sismo mas fuerte que puede ocurrir en una planta nuclear.

En caso de tener diferentes tipos de materiales en una estructura elamortiguamiento modal se calculara como sigue:

Σ φT AMAT K φAM = Σ φT K φ

donde:

AMAT = amortiguamiento del elementoφ = EIGENVECTOR del elemento correspondiente al modoK = valor de la matriz de rigidez del elementoAM = amortiguamiento modal

2.6 ANALISIS ESTATICO

El análisis estático se representa con la siguiente ecuación:

[ K ] X = F

en donde:

[ K ] = matriz de rigidez global de la estructura.

X = vector de desplazamiento.

F = vector de fuerza

Como conocemos la matriz de rigidez [ K ] y el vector de fuerza F podemosobtener el vector de desplazamiento X invirtiendo la matriz de rigidez yel resultado multiplicándolo por el vector de fuerza.

X = [ K ]-1 F


Los elementos mecánicos de las vigas se obtienen en coordenadas locales apartir de los desplazamientos globales de la estructura los cuales setransforman a coordenadas locales del elemento:

XL = λ X

Posteriormente los desplazamientos XL se multiplican por la matriz derigidez individual de cada elemento.

S = [ Kv ] XL

en donde S representa a los elementos mecánicos.

2.7 CONCLUSION

Todo tipo de estructura desde la más complicada en tres dimensiones, hasta lamás sencilla en dos dimensiones puede representarse en forma de matriz.

Las estructuras que pueden representarse por vigas que equivalgan a los muros ycolumnas pueden ser desacopladas para poder hacer el análisis de la componentevertical del sismo independientemente de la componente horizontal.

La matriz de masa y la matriz de rigidez deben ser del mismo tamaño para poderhacer el análisis, por lo que la matriz de rigidez debe ser condensada.

CAPITULO 3

MODELO DE ESTRUCTURAS

Las estructuras se representan con modelos matemáticos para su análisis. Estosmodelos pueden ser del tipo de VIGAS CON MASAS AGRUPADAS y ELEMENTOS FINITOS,lo más importante al elaborar el modelo matemático de una estructura esdeterminar que queremos obtener de ese modelo. Pues algunas veces podemosrepresentar estructuras muy complicadas con modelos muy sencillos y obtenerúnicamente los resultados que nos interesan.

Otro aspecto importante es que debemos ser consistentes en las consideracionesque se hacen al realizar el análisis para posteriormente diseñar la estructuracon esas mismas consideraciones.

Las cargas impuestas a la estructura también determinaran el tipo de modelo queusaremos en el análisis, por ejemplo para el análisis sísmico se necesita unmodelo en el que se represente la rigidez y la masa de la estructura y en elcaso de un análisis estático solo es necesario determinar su rigidez, otroejemplo es el de los recipientes de presión los cuales pueden ser analizadoscon un modelo de VIGAS CON MASAS AGRUPADAS para el análisis sísmico y un modelode ELEMENTO FINITO para determinar los esfuerzos producidos por la presión.

El modelo del tipo de VIGAS CON MASAS AGRUPADAS consiste en representar loselementos de la estructura que resisten cargas como vigas, la masa de laestructura es agrupada en los puntos de mayor concentración y son unidos poresas vigas.

En los modelos de ELEMENTO FINITO se representa la estructura con elementostipo placa, viga, sólidos etc. y la masa es asociada a los mismos elementos o alos puntos nodales.

Para el caso del análisis sísmico los reglamentos de construcción indican elespectro de respuesta que se debe usar en el análisis de las estructuras tal esel caso de los reglamentos UBC, CFE, Reglamento del D.F.

En los siguientes ejemplos se visualizara la forma de elaborar modelosmatemáticos para estructuras.

EJEMPLO 1

Este ejemplo es de un edificio de concreto de 6 niveles como se muestra en lafigura 3.1.

Se consideran las cargas siguientes:peso propio de la estructura (densidad) 2.4 T/M3

plafones y pisos 0.100 T/M2

muros divisorios 0.100 T/M2

CARGA VIVA 0.300 T/M2

Se considera el siguiente predimensionamiento de la estructura:Losa de 15 cms. de espesor para todos los niveles.Vigas secundarias de 30 x 50 cms.Trabes principales de 40 x 70 cms.Columnas de 80 x 80 en los dos primeros entrepisos, de 60 x 60 en los demásentrepisos.Peso de cada nivelLosa de concreto = 24.4 X 22.9 X 0.15 X 2.4 = 201.15 T.Vigas secundarias = 9 x 0.3 x 0.35 x 7.6 x 2.4 = 17.24 T.Trabes = 12 x 0.4 x 0.55 x 7.4 x 2.4 = 46.89 TTrabes = 12 x 0.4 x 0.55 x 6.9 x 2.4 = 43.72 T


Columnas = 16 x 0.6 x 0.6 x 2.8 x 2.4 = 38.71 TMuros, pisos y plafones 24.4 x 22.9 x 0.200 = 111.7525 % de Carga Viva = 24.4 x 22.9 x 0.3 x 0.25 = 41.91 TCarga total para análisis sísmico por nivel 501.37 T.

FIGURA 3.1

Se desarrolla un modelo de vigas con masas agrupadas como se muestra en lafigura 3.2, Las 16 columnas de cada entrepiso representan la viga por lo que lainercia de los entrepisos se calculan como sigue:

I = b d3 / 12 = 0.8 X 0.83 / 12 x 16 columnas = 0.5461 0.6 X 0.63 / 12 x 16 columnas = 0.1728no se considera el área de cortante de las columnas.

Estos datos se introducen al programa DINAFACIL (el archivo de entrada esEJEM1.ENT ), en el capitulo 4 se indica la forma de colocar los datos.

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678DINAMICO 9.81MATERIAL 1 2509980. 0.18NODO 1 11 1 0.0 0.0NODO 2 1 1 0.0 5.5 NODO 3 1 1 0.0 9. NODO 4 1 1 0.0 12.5 NODO 5 1 1 0.0 16. NODO 6 1 1 0.0 19.5 NODO 7 1 1 0.0 23.0 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1

CAPITULO 3 29

VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 .5461PROPIEDAD 2 5.76 .1728ESPECTRO HORIZONTAL 3 0.5 0.155 0.8333 0.215 1000. 0.215

FIGURA 3.2

y se obtienen los siguientes resultados:

MODO FRECUENCIA( CPS )

FACTORES DEPARTICIPACION

PESO MODAL( TONS. )

1 1.984 1.285 2648.372 5.428 0.416 314.253 8.739 0.160 38.054 12.114 0.058 4.175 14.595 0.021 0.536 21.001 -0.054 2.85

Como podemos ver el peso modal nos indica que el 88 % de la masa vibra con elprimer modo para este ejemplo.Una vez determinada la forma modal se aplica al modelo el espectro de diseño,para este caso aplicaremos el criterio del MANUAL DE DISEÑO DE OBRAS CIVILES DECFE-IIE considerando que el edificio se construirá en Acapulco, zona sísmica"D" en un suelo tipo II, grupo de estructura "B" y factor de ductilidad 4.0,ver referencia 4, la gráfica del espectro se muestra en la figura 3.3.


FIGURA 3.3

Mediante el programas DINAFACIL incluido en el capitulo 4 de este libroobtenemos los siguientes resultados:

NODO DESPLAZAMIENTO( METROS )

ACELERACION( GRAVEDAD )

1 0.0000 0.00002 0.0058 0.12523 0.0072 0.14604 0.0110 0.18935 0.0141 0.22686 0.0163 0.26227 0.0175 0.2904

Las fuerzas y momentos en las vigas supuestas son

VIGA CORTANTE (T) MOMENTO (T-M)1-2 573.45 1576.992-3 524.42 917.693-4 467.73 818.524-5 383.86 671.805-6 275.70 482.456-7 145.56 254.76

Aparentemente como la aceleración en el espectro de respuesta es igual paratodos los modos del edificio, podríamos suponer que daría lo mismo hacer unanálisis modal o un análisis sísmico estático como se indica en la referencia4, sin embargo, como veremos en el ejemplo 2 existe una diferencia importante

EJEMPLO 2

CAPITULO 3 31

Análisis sísmico estático del edificio mostrado en la figura 3.1.

ANALISIS SISMICO ESTATICO

Para el calculo de las fuerzas sísmicas horizontales en un análisis sísmicoestático se considera la siguiente formula, ver referencia 4:

Pn = Wn hn Σ Wn c Σ Wn hn Q

en donde:

Pn = fuerza horizontal de inercia aplicada en un piso del edificio.

Wn = Peso de un piso del edificio.

hn = altura de un piso desde el desplante del edificio.

c = coeficiente sísmico.

Q = factor de ductilidad del edificio.

Para nuestro caso tenemos que el coeficiente sismico es c = 0.86 y el factorde ductilidad es Q = 4, en la tabla siguiente se muestran los resultados de lafuerza Pn.

NIVEL Wn hn Wn X hn FUERZA CORTANTE

6 501.37 23.0 11531.51 173.98 173.985 501.37 19.5 9776.71 147.51 321.494 501.37 16.0 8021.92 121.03 442.523 501.37 12.5 6267.12 94.55 537.072 501.37 9.0 4512.33 68.08 605.151 501.37 5.5 2757.53 41.60 646.75

3008.22 42867.13

En la tabla siguiente y en la figura 3.4 podemos ver la diferencia entre losresultados del ejemplo 1 y el ejemplo 2:

Con lo anterior se concluye que es mejor usar el análisis modal porque eldiseño resultante será mas económico y racional

NIVEL ANALISISESTATICOCORTANTETONS.

ANALISISMODAL

CORTANTETONS.

DIFERENCIA%

ANALISISESTATICOMOMENTO

T-M

ANALISISMODAL

MOMENTOT-M

DIFERENCIA%

6 173.98 145.56 20 304.46 254.76 205 321.49 275.70 17 562.60 482.45 174 442.52 383.86 15 774.41 671.80 153 537.07 467.73 15 939.87 818.52 152 605.15 524.42 15 1059.00 917.69 151 646.75 573.45 13 1778.56 1576.99 13


FIGURA 3.4EJEMPLO 3

Análisis sísmico del edificio de la figura 3.1 considerando el área decortante de las columnas, por lo tanto tenemos:

Av = 0.8 x 0.8 x 16 x 0.85 = 8.704Av = 0.6 x 0.6 x 16 x 0.85 = 4.896

Siendo 0.85 el factor recomendado para rectángulos sólidos al considerar elcortante en relación al área total del elemento.

Con este nuevo dato se introduce al programa DINAFACIL ( archivo de entradaEJEM3.ENT

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678DINAMICO 9.81MATERIAL 1 2509980. 0.18NODO 1 11 1 0.0 0.0NODO 2 1 1 5.5 NODO 3 1 1 9.0 NODO 4 1 1 12.5 NODO 5 1 1 16.0 NODO 6 1 1 19.5 NODO 7 1 1 23.0 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 8.704 0.5461PROPIEDAD 2 5.76 4.896 0.1728

CAPITULO 3 33

ESPECTRO HORIZONTAL 3 0.5 0.155 0.8333 0.215 1000. 0.215

y se obtienen los siguientes resultados:



PESO MODAL( TONS.)

1 1.911 1.2856 2642.022 5.238 0.4180 317.543 8.412 0.1648 40.274 11.642 0.0605 4.565 14.029 0.0223 0.596 19.728 -0.0579 3.24

En la siguiente tabla se muestra la diferencia obtenida entre el ejemplo 1,sin considerar el área de cortante de las columnas y el ejemplo 3, en donde seconsidero el área de cortante:

NODO DESPLAZAMIENTO( METROS )

DIFERENCIA%

EJEM3.ENTCON CORTANTE

EJEM1.ENTSIN CORTANTE

1 0.0000 0.00002 0.0061 0.0058 5.173 0.0077 0.0072 6.944 0.0118 0.0110 7.275 0.0152 0.0141 7.806 0.0176 0.0163 7.977 0.0188 0.0175 7.43

los elementos mecánicos en las vigas son:

VIGA CORTANTE( TONS.)

MOMENTO( T-M )

EJEM3 EJEM1 DIF%

EJEM3 EJEM1 DIF%

1-2 572.19 573.45 -0.22 1573.52 1576.99 -0.222-3 524.01 524.42 -0.07 917.02 917.73 -0.073-4 467.51 467.72 -0.08 818.15 818.52 -0.044-5 383.83 383.89 -0.01 671.70 671.80 -0.015-6 275.78 275.69 0.02 482.61 482.46 0.026-7 145.72 145.58 0.10 255.02 254.74 0.10

Como podemos ver no existe gran diferencia en considerar la deformación porcortante para este ejemplo porque la relación del radio de giro entre lalongitud de la columna es baja en comparación a la unidad.

radio de giro = √ ( INERCIA/AREA ) = √ ( 0.5461/10.24) = 0.23longitud de columna = 3.5,relación radio de giro / longitud = 0.0657Por esta razón no existe una gran diferencia en los resultados.En el caso de que tuviéramos muros de cortante si seria necesario considerar ladeformación por cortante.

EJEMPLO 4


Análisis del edificio de la figura 3.1 considerando la interacción suelo-estructura.

La interacción suelo-estructura se considerara mediante la aplicación deresortes que representen el suelo, la cimentación será mediante una losa deconcreto a 2 metros abajo del nivel del suelo el peso de la cimentación será elmismo que el de un nivel cualquiera 501.37 tons. el modelo matemático semuestra en la figura 3.5

Para calcular los resortes se considera que la cimentación se apoya en un medioelástico y mediante las formulas de Richart, Hall y Woods se obtienen losvalores de los resortes en función de las propiedades del suelo, ver referencia7.

El suelo donde se apoya tiene una velocidad de onda de cortante de 400 M/S , elmodulo de POISSON es de 0.38 , el peso volumétrico es de 1.6 T/M3

El modulo de cortante se calcula como sigue:

Vs = ( G/ρ )½

Vs = velocidad de la onda de cortante en el sueloG = modulo de cortante del sueloρ = masa volumétrica del suelo

FIGURA 3.5

ρ = γ/g por lo tanto G = Vs2 γ / g

para nuestro ejemplo tenemos :

Vs = 400 M/S γ = 1.6 T/M3 g = 9.81 M/S G = 26,096 T/M2

El resorte vertical Kz y el resorte horizontal debido al deslizamiento Kxestan dados por :

Kz = 4 G ro / ( 1 - ν ) Kx = 32 ( 1 - ν ) G ro / ( 7 - 8 ν )

CAPITULO 3 35

donde :

ro = ( 4 c d / π )½

ν = modulo de POISSON

c = semi ancho de la losa de cimentación

d = semi largo de la losa de cimentación

Para nuestro caso tenemos que :

c = 24.80 / 2 = 12.40 M d = 23.30 / 2 = 11.65 M por lo tanto

Kz = 2,283,316 T/M Kx = 1,773,145 T/M

Se realizo una corrida con el programa DINAFACIL obteniéndose los resultadossiguientes , (archivo de entrada EJEM4.ENT)

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678DINAMICO 9.81MATERIAL 1 2509980. 0.18NODO 1 1 1 0.0 -2.0NODO 2 1 1 5.5 NODO 3 1 1 9. NODO 4 1 1 12.5 NODO 5 1 1 16. NODO 6 1 1 19.5 NODO 7 1 1 23.0 PESO 1 501.37 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 8.704 .5461PROPIEDAD 2 5.76 4.896 .1728RESORTE 1 1773145. ESPECTRO HORIZONTAL 3 0.5 0.155 0.8333 0.215 1000. 0.215

Los resultados obtenidos son:



PESO MODAL( TONS.)

1 1.478 1.2001 2907.91


2 4.524 0.2471 112.673 8.123 0.0690 6.844 11.556 0.0264 0.855 14.008 0.0108 0.136 19.414 -0.0403 1.467 29.968 0.9777 479.71

El desplazamiento y aceleración en X es como sigue:

NODO DESPLAZAMIENTO EN X( METROS )

ACELERACION EN X( GRAVEDAD )

1 0.0003 0.21022 0.0169 0.15793 0.0185 0.17114 0.0227 0.20195 0.0259 0.22856 0.0282 0.25027 0.0294 0.2638

Las fuerzas en las vigas son:


MOMENTO( T-M )

1-2 624.10 2340.382-3 549.40 961.453-4 468.80 820.414-5 370.65 648.645-6 257.41 450.476-7 132.25 231.44

De la comparación entre el ejemplo 1, un edificio sobre suelo rígido y elejemplo 4, el mismo edificio sobre suelo blando se concluye que losdesplazamientos y aceleraciones serán mayores en el edificio sobre sueloblando, pero los cortantes y momentos en los últimos 3 pisos del edificiosobre suelo rígido serán mayores a los del edificio sobre suelo blando.

EJEMPLO 5

Análisis del edificio de la figura 3.1 considerando la interacción sueloestructura con una masa con inercia rotacional.

Ahora vamos a considerar el resorte por rotación en la losa de cimentación, yademás se considera que la distribución de la masa del ultimo piso esta a unmetro de distancia del centroide de la masa del edificio en la dirección delsismo, por lo que se calculara la inercia rotacional de la masa.

El calculo de la inercia rotacional es como sigue:

INERCIA MASA ROTACIONAL = 501.37 X 1.02 = 501.37

El resorte de rotación de la cimentación esta dado por:

Kψ = 8 G ro3 / ( 3 ( 1-ν) )

donde ro = 4√ 16 c d3 / 3 π

los demás símbolos tienen la misma connotación del ejemplo anterior.

CAPITULO 3 37

FIGURA 3.6

Estos nuevos datos se introduce al programa DINAFACIL ( archivo de entradaEJEM5.ENT)

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678DINAMICO 9.81MATERIAL 1 2509980. 0.18NODO 1 1 0.0 -2.0NODO 2 1 1 5.5 NODO 3 1 1 9.0 NODO 4 1 1 12.5 NODO 5 1 1 16.0 NODO 6 1 1 19.5 NODO 7 1 23.0 PESO 1 501.37 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 501.37VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 8.704 .5461PROPIEDAD 2 5.76 4.896 .1728RESORTE 1 1773145. 276588500.ESPECTRO HORIZONTAL 4 0.2 0.096 0.5 0.155 0.8333 0.215 2000. 0.215


Los resultados obtenidos son:



PESO MODAL( TONS.)

1 1.455 1.3014 2863.762 3.578 -0.3563 121.923 5.668 0.1539 39.254 9.613 0.0476 3.105 13.268 0.0187 0.366 18.294 0.0015 0.027 19.414 -0.0402 1.458 29.967 0.9778 479.75

los desplazamientos y aceleraciones son:

NODO DESPLAZAMIENTO( METROS Y RADIANES )

ACELERACION( GRAVEDAD )

X ROTACION X ROTACION1 0.0004 0.000008 0.2102 0.00012 0.0167 - 0.1494 -3 0.0183 - 0.1623 -4 0.0224 - 0.1938 -5 0.0257 - 0.2208 -6 0.0280 - 0.2410 -7 0.0329 0.0022 0.2903 0.0452

las fuerzas en las vigas son:


MOMENTO( T-M )

1-2 615.01 2304.772-3 543.23 950.663-4 465.48 814.594-5 370.82 648.945-6 262.54 459.456-7 145.58 523.53

22.72

De la comparación de los ejemplos 4 y 5 se concluye que no hubo muchavariación por la adición de la inercia rotacional en la masa 1.

EJEMPLO 6

En este ejemplo se realiza el análisis sísmico de un edificio de acero de 5niveles cuyos marcos se muestran en la figura 3.7, el marco transversal tendráconexiones rígidas mientras que el marco longitudinal tendrá conexiones acortante.

CAPITULO 3 39

En el ejemplo 7 se analizara el marco longitudinal.

FIGURA 3.7

La carga para el análisis sísmico será:

Losa de concreto de 15 cms. = 0.36 T/M2equipos y carga viva = 0.32 T/M2muros divisorios = 0.152 T/M2 -----------Total 0.832 T/M2

Para el marco transversal se concentrara la carga y la inercia rotacional enlos nodos del 3 al 12, ver modelo transversal en figura 3.9.

carga en nodo = 0.832 T/M2 X 7.00 M. + 0.313 T/M (viga) = 6.137 T/M

6.137 T/M X 5.00 M. = 33.685 T. Mas peso de columna de 2.04 t = 32.72 T.

la inercia rotacional es 32.72 X 2.5 X 2.5 = 204.5 T-M2

Los perfiles estructurales para las columnas del nivel 0.0 al nivel 8.0 seráW14X342, del nivel 8.00 al 18.5 serán W14X211, las trabes de los niveles 4.5,8.0 y 11.5 será W30X210, los niveles 15.0 y 18.5 serán W30X116.


Se realizo una corrida con el programa DinaFacil aplicando el espectro derespuesta mostrado en la figura 3.8.

FIGURA 3.8

Análisis marco transversal, ver figura 3.9 (Archivo EJEM6.ENT)

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678DINAMICO 9.81MATERIAL 1 21000000. 0.32NODO 1 11 1 0.0 0.0NODO 2 11 1 10.0 0.0 NODO 3 1 0.0 4.5 NODO 4 1 10.0 4.5 NODO 5 1 0.0 8.0 NODO 6 1 10.0 8.0 NODO 7 1 0.0 11.5 NODO 8 1 10.0 11.5 NODO 9 1 0.0 15.0 NODO 10 1 10.0 15.0 NODO 11 1 0.0 18.5 NODO 12 1 10.0 18.5 PESO 3 32.72 204.5 PESO 4 32.72 204.5 PESO 5 32.72 204.5 PESO 6 32.72 204.5 PESO 7 32.72 204.5 PESO 8 32.72 204.5 PESO 9 32.72 204.5 PESO 10 32.72 204.5 PESO 11 32.72 204.5 PESO 12 32.72 204.5 VIGA 1 1 3 1 1 VIGA 2 3 5 1 1 VIGA 3 5 7 2 1 VIGA 4 7 9 2 1

CAPITULO 3 41

VIGA 5 9 11 2 1 VIGA 6 2 4 1 1 VIGA 7 4 6 1 1 VIGA 8 6 8 2 1 VIGA 9 8 10 2 1 VIGA 10 10 12 2 1 VIGA 11 3 4 3 1 VIGA 12 5 6 3 1 VIGA 13 7 8 3 1 VIGA 14 9 10 4 1 VIGA 15 11 12 4 1 PROPIEDAD 1 0.0652 0.0175 .002044PROPIEDAD 2 0.04 0.00996 .00111PROPIEDAD 3 0.0399 0.0152 .004116PROPIEDAD 4 0.022 0.0109 .002052ESPECTRO HORIZONTAL 15 0.5 0.112 0.55 0.123 0.62 0.14 0.71 0.159 0.83 0.180 0.91 0.198 1.0 0.217 1.11 0.240 1.25 0.270 1.43 0.305 1.66 0.357 1.72 0.375 6.66 0.375 33. 0.150 1000. 0.150

FIGURA 3.9

Los resultados obtenidos mediante el programa DinaFacil son:


MODO FRECUENCIA(CPS)


PESO MODAL(TONS.)

1 1.223 -1.293 270.222 3.232 -0.375 32.333 5.270 -.0165 10.054 5.677 0.0 0.05 6.738 -0.087 3.696 7.570 0.0 0.07 8.481 0.092 3.528 8.624 0.0 0.09 9.423 0.0 0.010 10.990 0.0 0.011 11.062 0.0 0.012 11.167 0.125 6.9613 12.074 -0.025 0.1714 12.410 -0.039 0.2915 15.473 0.006 0.0116 26.776 0.0 0.017 28.343 0.0 0.018 36.012 0.0 0.019 36.889 0.0 0.020 38.220 0.0 0.0

Los desplazamientos y aceleraciones son:

NIVEL NODO DESPLAZAMIENTO(MTS)

ROTACIONES(RADIANES)

ACELERACIONES(GRAVEDAD)

1-2 0.0 0.0 0.0PRIMERO 3-4 0.01312 0.00246 0.1419SEGUNDO 5-6 0.02502 0.00229 0.2097TERCERO 7-8 0.03788 0.00195 0.2585CUARTO 9-10 0.04893 0.00222 0.3019QUINTO 11-12 0.05685 0.00130 0.3709

Los elementos mecánicos en las columnas son:

COLUMNAS CORTANTE(TONS)

MOMENTO ABAJO(T-M)

MOMENTO ARRIBA(T-M)

PRIMER NIVEL 36.24 105.00 58.13SEGUNDO NIVEL 33.35 56.40 60.52TERCER NIVEL 28.39 47.48 52.04CUARTO NIVEL 21.34 39.16 35.81QUINTO NIVEL 12.10 15.18 27.58

Los elementos mecánicos en las vigas son:

VIGA CORTANTE(TONS)

MOMENTO(T-M)

PRIMER NIVEL 23.51 117.59SEGUNDO NIVEL 21.96 109.76TERCER NIVEL 18.62 93.21CUARTO NIVEL 10.87 54.32QUINTO NIVEL 6.34 31.73

EJEMPLO 7

CAPITULO 3 43

Análisis del marco longitudinal, como este marco tiene conexiones a cortante,la carga horizontal se trasmitirá por carga axial en las vigas, por lo tantosolo es necesario analizar el marco central en donde están los contraventeos,los cuales resistirán la carga horizontal, ver modelo longitudinal en figura3.9.

La carga horizontal se concentra en los nodos 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, y17 como sigue:

Carga por nivel.

0.832 T/M2 X 10.50M X 5.00M = 43.68 TPeso de columnas 2.04T X 2 = 4.08 TPeso de vigas 0.313T/M X 5.00M X 2 = 3.13 T --------- 50.89 t

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

DINAMICO 9.81MATERIAL 1 21000000. 0.32NODO 1 11 0.0 0.0NODO 2 11 7.0 0.0 NODO 3 0.0 4.5 NODO 4 3.5 4.5 NODO 5 7.0 4.5 NODO 6 0.0 8.0 NODO 7 3.5 8.0 NODO 8 7.0 8.0 NODO 9 0.0 11.5 NODO 10 3.5 11.5 NODO 11 7.0 11.5 NODO 12 0.0 15.0 NODO 13 3.5 15.0 NODO 14 7.0 15.0 NODO 15 0.0 18.5 NODO 16 3.5 18.5 NODO 17 7.0 18.5 PESO 3 50.89 PESO 5 50.89 PESO 6 50.89 PESO 8 50.89 PESO 9 50.89 PESO 11 50.89 PESO 12 50.89 PESO 14 50.89 PESO 15 50.89 PESO 17 50.89 VIGA 1 1 3 1 1 VIGA 2 3 6 1 1 VIGA 3 6 9 2 1 VIGA 4 9 12 2 1 VIGA 5 12 15 2 1 VIGA 6 2 5 1 1 VIGA 7 5 8 1 1 VIGA 8 8 11 2 1 VIGA 9 11 14 2 1 VIGA 10 14 17 2 1 VIGA 11 3 4 3 1 1 VIGA 12 4 5 3 1 1 VIGA 13 6 7 3 1 1


VIGA 14 7 8 3 1 1 VIGA 15 9 10 3 1 1 VIGA 16 10 11 3 1 1 VIGA 17 12 13 3 1 1 VIGA 18 13 14 3 1 1 VIGA 19 15 16 3 1 1 VIGA 20 16 17 3 1 1 VIGA 21 1 4 4 1 1 VIGA 22 2 4 4 1 1 VIGA 23 3 7 4 1 1 1 VIGA 24 5 7 4 1 1 1 VIGA 25 6 10 4 1 1 1 VIGA 26 8 10 4 1 1 1 VIGA 27 9 13 4 1 1 1 VIGA 28 11 13 4 1 1 1 VIGA 29 12 16 4 1 1 1 VIGA 30 14 16 4 1 1 1 PROPIEDAD 1 0.0652 0.0521 .000753PROPIEDAD 2 0.04 0.0318 .000429PROPIEDAD 3 0.0148 0.0056 .000437PROPIEDAD 4 0.0076 0.0058 .00002ESPECTRO HORIZONTAL 15 0.5 0.112 0.55 0.123 0.62 0.14 0.71 0.159 0.83 0.180 0.91 0.198 1.0 0.217 1.11 0.240 1.25 0.270 1.43 0.305 1.66 0.357 1.72 0.375 6.66 0.375 33. 0.150 1000. 0.150




PESO MODAL(TONS)

1 2.025 -1.286 449.612 5.861 -0.395 48.873 10.226 -0.172 8.204 13.874 -0.083 1.805 16.666 -0.038 0.416 20.892 0.0 0.07 20.953 0.0 0.08 21.013 0.0 0.09 21.202 0.0 0.010 21.828 0.0 0.0


NIVEL NODO DESPLAZAMIENTOHORIZONTAL

(MTS)

DESPLAZAMIENTOVERTICAL(MTS)

ROTACIONES(RADIANES)

ACELERACION(GRAVEDAD)

1 0.0 0.0 2.03E-03 0.0

CAPITULO 3 45

2 0.0 0.0 2.03E-03 0.0

PRIMERO345

8.96E-038.01E-038.96E-03

7.37E-042.90E-117.37E-04

1.90E-035.20E-041.90E-03

0.2040.1820.204

SEGUNDO678

1.53E-021.44E-021.53E-02

1.10E-032.08E-101.10E-03

1.75E-033.04E-041.75E-03

0.2930.2780.293

TERCERO91011

2.10E-022.03E-022.10E-02

1.42E-031.25E-101.42E-03

1.55E-038.37E-051.55E-03

0.3600.3490.360

CUARTO121314

2.58E-022.53E-022.58E-02

1.54E-039.70E-101.54E-03

1.16E-031.35E-041.16E-03

0.4290.4200.429

QUINTO151617

2.92E-022.89E-022.92E-02

1.55E-033.77E-101.55E-03

8.95E-042.53E-048.95E-04

0.5040.4960.504

Los elementos mecánicos en las columnas son

COLUMNAS AXIAL(TONS)

CORTANTE(TONS)

MOMENTO ABAJO(T-M)

MOMENTO ARRIBA(T-M)

PRIMER NIVEL 224.24 0.29 0.0 1.29SEGUNDO NIVEL 144.62 0.17 1.29 0.76TERCER NIVEL 77.89 0.12 0.76 0.72CUARTO NIVEL 28.63 0.26 0.72 1.42QUINTO NIVEL 0.98 0.40 1.42 0.0

Los elementos mecánicos en las vigas son:

VIGA AXIAL(TONS)

CORTANTE(TONS)

PRIMER NIVEL 84.58 3.63SEGUNDO NIVEL 76.97 2.45TERCER NIVEL 64.14 1.56CUARTO NIVEL 46.92 0.97QUINTO NIVEL 26.08 0.05

Los elementos mecánicos en los contraventeos son

CONTRAVENTEO AXIAL(TONS)

PRIMER NIVEL 137.70SEGUNDO NIVEL 108.84TERCER NIVEL 90.70CUARTO NIVEL 66.37QUINTO NIVEL 36.89

EJEMPLO 8

El ejemplo 8 consiste en hacer un modelo de vigas y masas concentradas delmarco transversal del ejemplo 6, las propiedades de las vigas serán lasumatoria de las propiedades de las columnas en un mismo nivel como sigue:


A=0.0652 X 2 = 0.1304 AV = 0.0175 X 2 = 0.035 I = 0.002044 X 2 = 0.004088

COLUMNAS DE LA CIMENTACIONHASTA EL SEGUNDO NIVEL A=0.1304 AV=0.035 I=0.004088

A=0.04 X 2 = 0.08 AV = 0.00996 X 2 = 0.01992 I = 0.00111 X 2 = 0.00222

COLUMNAS DEL SEGUNDO NIVELHASTA EL QUINTO NIVEL A=0.08 AV=0.01992 I=0.00222

Este análisis se muestra en forma esquemática en la figura 3.10.

Análisis marco transversal (Archivo EJEM8.ENT)

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012DINAMICO 9.81MATERIAL 1 21000000. 0.32NODO 1 11 1 0.0 0.0NODO 2 1 1 0.0 4.5 NODO 3 1 1 0.0 8.0 NODO 4 1 1 0.0 11.5 NODO 5 1 1 0.0 15.0 NODO 6 1 1 0.0 18.5 PESO 2 65.44 PESO 3 65.44 PESO 4 65.44 PESO 5 65.44 PESO 6 65.44 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 PROPIEDAD 1 0.1304 0.035 .004088PROPIEDAD 2 0.08 0.01992 .00222ESPECTRO HORIZONTAL 15 0.5 0.112 0.55 0.123 0.62 0.14 0.71 0.159 0.83 0.180 0.91 0.198 1.0 0.217 1.11 0.240 1.25 0.270 1.43 0.305 1.66 0.357 1.72 0.375 6.66 0.375 33. 0.150 1000. 0.150

CAPITULO 3 47

FIGURA 3.10




PESO MODAL(TONS)

1 1.874 1.276 289.932 5.135 0.403 31.803 8.262 0.142 3.954 11.096 0.065 0.545 13.636 -0.087 0.98


NIVEL DESPLAZAMIENTO(MTS)

ACELERACION(GRAVEDAD)

PRIMERO 0.0114 0.213SEGUNDO 0.0168 0.282TERCERO 0.0249 0.364CUARTO 0.0308 0.438QUINTO 0.0339 0.500

Los elementos mecánicos en las columnas son

COLUMNAS CORTANTE( TONS. )

MOMENTO( T-M )

PRIMER NIVEL 109.36 246.12

SEGUNDO NIVEL 98.27 171.98

TERCER NIVEL 83.07 145.37

CUARTO NIVEL 60.96 106.68

QUINTO NIVEL 32.72 57.26

Como se puede apreciar en el primer modo se concentra el mayor movimiento dela estructura independientemente del modelo usado, para el caso del marcocompleto tenemos una frecuencia del primer modo de 1.223 CPS con un peso modal


de 270.22 TONS. para el caso del ejemplo 8 tenemos una frecuencia de 1.874 CPSy un peso modal en el primer modo de 289.93 TONS.

EJEMPLO 9

Ahora aplicaremos las fuerzas cortantes resultantes del análisis espectral(EJEMPLO 8) a un análisis estático del marco del ejemplo 6 para verificar lasdiferencias en cargas, se aplica el programa DinaFacil a un análisis estático.Archivo de entrada EJEM9.ENT

1 2 3 4 5 6 7123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012ESTATICO 9.81MATERIAL 1 21000000. 0.32NODO 1 11 1 0.0 0.0NODO 2 11 1 10. 0.0 NODO 3 0.0 4.5 NODO 4 10. 4.5 NODO 5 0.0 8. NODO 6 10. 8. NODO 7 0.0 11.5 NODO 8 10. 11.5 NODO 9 0.0 15. NODO 10 10. 15. NODO 11 0.0 18.5 NODO 12 10. 18.5 VIGA 1 1 3 1 1 VIGA 2 3 5 1 1 VIGA 3 5 7 2 1 VIGA 4 7 9 2 1 VIGA 5 9 11 2 1 VIGA 6 2 4 1 1 VIGA 7 4 6 1 1 VIGA 8 6 8 2 1 VIGA 9 8 10 2 1 VIGA 10 10 12 2 1 VIGA 11 3 4 3 1 VIGA 12 5 6 3 1 VIGA 13 7 8 3 1 VIGA 14 9 10 4 1 VIGA 15 11 12 4 1 PROPIEDAD 1 0.0652 0.0175 .002044PROPIEDAD 2 0.04 0.00996 .00111PROPIEDAD 3 0.0399 0.0152 .004116PROPIEDAD 4 0.022 0.0109 .002052CARGA 1CARGA NODO 1 3 5.56 CARGA NODO 1 4 5.56 CARGA NODO 1 5 7.60 CARGA NODO 1 6 7.60 CARGA NODO 1 7 11.05 CARGA NODO 1 8 11.05 CARGA NODO 1 9 14.12 CARGA NODO 1 10 14.12 CARGA NODO 1 11 16.36 CARGA NODO 1 12 16.36 COMBINA CARGA SISMICA 1.0

CAPITULO 3 49

Los resultados obtenidos mediante el modulo CARGAS del programa DINAFACIL

DESPLAZAMIENTOS * * *

NODO X Y RZ1 0.0 0.0 0.02 0.0 0.0 0.03 .196777E-01 .374273E-03 -.365977E-024 .196777E-01 -.374273E-03 -.365977E-025 .373992E-01 .577833E-03 -.342411E-026 .373992E-01 -.577833E-03 -.342411E-027 .566602E-01 .777945E-03 -.289624E-028 .566602E-01 -.777945E-03 -.289624E-029 .731758E-01 .868969E-03 -.310210E-0210 .731758E-01 -.868969E-03 -.310210E-0211 .848595E-01 .900452E-03 -.172840E-0212 .848595E-01 -.900452E-03 -.172840E-02

FUERZAS EN VIGAS * * *

VIGA NODO AXIAL(TONS)

CORTANTE(TONS)

MOMENTO(T-M)

1 13

-.113879E+03 .113879E+03

.546899E+02-.546899E+02

.157962E+03

.881429E+022 3

5-.796327E+02.796327E+02

.491300E+02-.491300E+02

.830874E+02

.888676E+023 5

7-.480269E+02.480269E+02

.415302E+02-.415302E+02

.691622E+02

.761934E+024 7

9-.218458E+02.218458E+02

.304802E+02-.304802E+02

.547114E+02

.519694E+025 9

11-.755577E+01.755577E+01

.163601E+02-.163601E+02

.194813E+02

.377789E+026 2

4.113879E+03-.113879E+03

.546899E+02-.546899E+02

.157962E+03

.881430E+027 4

6.796328E+02-.796328E+02

.491298E+02-.491298E+02

.830871E+02

.888673E+028 6

8.480269E+02-.480269E+02

.415303E+02-.415303E+02

.691624E+02

.761936E+029 8

10.218459E+02-.218459E+02

.304802E+02-.304802E+02

.547113E+02

.519693E+0210 10

12.755575E+01-.755575E+01

.163600E+02-.163600E+02

.194812E+02

.377788E+0211 3

4-.441473E-03.441473E-03

-.342461E+02.342461E+02

-.171230E+03-.171230E+03

12 56

.935435E-03-.935435E-03

-.316059E+02.316059E+02

-.158030E+03-.158030E+03

13 78

-.930168E-03.930168E-03

-.261810E+02.261810E+02

-.130905E+03-.130905E+03

14 910

-.254750E-03.254750E-03

-.142901E+02.142901E+02

-.714506E+02-.714506E+02

15 1112

.276744E-03-.276744E-03

-.755577E+01.755577E+01

-.377789E+02-.377789E+02


De los ejemplos 6, 8 y 9, se concluye que un análisis dinámico será masrealista y menos conservador si tenemos un modelo matemático de la estructuramas detallado, en la tabla siguiente se muestran las diferencias entre losejemplos que tratan de representar a la misma estructura

EJEMPLO 6 EJEMPLO 8 EJEMPLO 9FRECUENCIA MINIMA (CPS) 1.223 1.874

DESPLAZAMIENTO MAXIMO (MTS) 0.0568 0.0339 0.0849ACELERACION MAXIMA (g`s) 0.3709 0.5000

COLUMNA ANCLADA A LA CIMENTACIONCORTANTE MAXIMO (TONS) 36.24 54.69MOMENTO MAXIMO (T-M) 105.00 157.96

EJEMPLO 10

Supongamos que en el edificio del ejemplo 6 se colocara un equipo en el quintonivel el cual debe permanecer funcionando durante un sismo.

El equipo supuesto puede resistir únicamente 6 g's en la dirección horizontal,si la aceleración es mayor el equipo dejara de funcionar.

En este caso tenemos que determinar el espectro de respuesta del quinto niveldel edificio, por lo que aplicaremos un acelerograma cuyo espectro derespuesta envuelva al espectro de la figura 3.8, se considera que esteespectro es de 2% de amortiguamiento.

Mediante el programa DINAFACIL obtenemos el acelerograma de respuesta, ymediante el programa de generación de espectro de respuesta dado en lareferencia 5 obtenemos el espectro de respuesta en el quinto nivel, el archivode entrada es EJEM10.31:

20 20080.005 H 11 X .000000 -.001626 -.002719 -.002556 -.001892 .000023 .001756 .003954 1 .005622 .007956 .010176 .013240 .015919 .018865 .020904 .023054 2 .024582 .026754 .028722 .031334 .033265 .035152 .035904 .036687 3 .036863 .037650 .038085 .039013 .039377 .040229 .040707 .041732 4 .042057 .042329 .041445 .040513 .038756 .037142 .034429 .031337 5 .026973 .022814 .018501 .015330 .012150 .009487 .006031 .002767 6 -.001005 -.004058 -.007354 -.010114 -.013575 -.016933 -.021186 -.025206 7 -.029631 -.033025 -.035981 -.037443 -.038665 -.039049 -.039670 -.039216 8 -.038191 -.035541 -.032842 -.030104 -.029019 -.028617 -.029320 -.029619 9 -.030367 -.030656 -.031144 -.029868 -.026623 -.019989 -.011814 -.002906 10 .004217 .010266 .015380 .022186 .030756 .041840 .053008 .063034 11 .068585 .068775 .062040 .050740 .037217 .026541 .020639 .020682 12 .023238 .025969 .025947 .024617 .023059 .024012 .026689 .030942 13 .034706 .038937 .043460 .049710 .056025 .061978 .065780 .069102 14 .072778 .079297 .087731 .097648 .106238 .113165 .116678 .116853 15 .111380 .100250 .083242 .064476 .047502 .036961 .032820 .034212 16 .037275 .041191 .045175 .051464 .059623 .069351 .077009 .081104 17 .079870 .075540 .069546 .064980 .061608 .059625 .056453 .051742 18 .044324 .036334 .028758 .024380 .023083 .025563 .029885 .036018 19 .042243 .048916 .054319 .058678 .060815 .062537 .064551 .069432 20 .076585 .085681 .093347 .098340 .098761 .096267 .091617 .087654 21 .084614 .083719 .083419 .083736 .082859 .081350 .078174 .074281 22 .068514 .061776 .053719 .046897 .042177 .041185 .041260 .039743 23 .032083 .018116 -.000887 -.019543 -.034700 -.043311 -.046384 -.043912 24 -.037897 -.028643 -.019246 -.011369 -.007565 -.005830 -.003767 .002966 25 .014002 .027422 .037880 .043660 .044369 .043712 .042970 .043308 26 .042475 .040524 .036841 .033269 .028804 .023354 .015285 .006825 27 -.000191 -.002701 -.002422 -.001604 -.004093 -.008531 -.012119 -.009749 28 -.001648 .009276 .015877 .014690 .004587 -.009866 -.025000 -.036576 29 -.044367 -.047423 -.046984 -.042302 -.034777 -.024206 -.012544 .000079 30 .011278 .020281 .024664 .025382 .023486 .023197 .025982 .032739 31

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-.009800 -.010450 -.011491 -.012144 -.013469 -.014359 -.015589 -.016129 236 -.017082 -.017625 -.018707 -.019148 -.019746 -.019550 -.019724 -.019428 237 -.019573 -.018989 -.018554 -.017403 -.016714 -.015596 -.014924 -.013575 238 -.012546 -.011060 -.010276 -.009206 -.008630 -.007411 -.006568 -.005306 239 -.004707 -.003690 -.003038 -.001715 -.000835 .000406 .001051 .002283 240 .003274 .004881 .005840 .007021 .007744 .009445 .011225 .013411 241 .013923 .012959 .008810 .005211 .002359 .001243 .000713 .000765 242 .000486 .000380 .000118 .000177 .000117 .000197 .000081 .000089 243 .000007 .000068 .000031 .000064 .000003 .000022 -.000010 .000025 244 .000000 .000015 -.000016 -.000002 -.000017 .000002 -.000013 -.000005 245 -.000018 -.000008 -.000016 -.000006 -.000015 -.000009 -.000016 -.000009 246 -.000013 -.000008 -.000013 -.000009 -.000011 -.000007 -.000009 -.000007 247 -.000009 -.000007 -.000008 -.000006 -.000007 -.000005 -.000006 -.000005 248 -.000005 -.000003 -.000005 -.000003 -.000003 -.000002 -.000002 -.000002 249 -.000002 -.000002 -.000002 -.000001 -.000001 -.000001 -.000001 -.000001 250 -.000001 -.000001 -.000001 -.000001 -.000001 .000000 -.000001 .000000 251

En la figura 3.11 se muestra el acelerograma de entrada con su espectro derespuesta correspondiente comparándolo con el espectro de diseño.

FIGURA 3.11

En la figura 3.12 se muestra el espectro de respuesta del quinto nivel.

CAPITULO 3 55

FIGURA 3.12

Como se aprecia en la figura 3.12 la aceleración no sobrepasa la aceleraciónlimite de 6 g´s por lo que el equipo supuesto podrá cumplir con su funcióndurante un sismo.

EJEMPLO 11

El ejemplo 11 es de un edificio para uso comercial en el que se usan muros decortante para resistir el sismo, las losas actúan como diafragma paratrasmitir la fuerza del sismo a los muros, y las columnas interiores solotoman la carga vertical.

En la figura 3.13 se muestra la planta tipo del edificio y una sección de unmuro; el propósito del ejemplo es determinar los elementos mecánicos para eldiseño de las columnas interiores.

El edificio se apoyara en una losa de cimentación y tendrá dos niveles desótano para compensar la carga sobre el suelo.

Calculo de la carga por nivel:Losa de concreto de 15 cms. de espesor = 0.36 T/M2Muros interiores plafones sistemas diversos = 0.3 T/M2Armaduras de acero para losa = 0.10 T/M2Carga Viva = 1.0 T/M2 por 25% = 0.25 T/M2SISTEMA DE PISO = 1.01 T/M2 X 50.0 M X 80 M. = 4,040 T.


FIGURA 3.13

LOSA DE CIMENTACION = 81.0 M. X 51.0 M. X 1.0 M. X 2.4 T/M3 = 9,914.4 T

Peso de muros para el nivel 0.0 ( altura 2.375 M.)

( 2 X 79.0 X 1.0 + 2 X 51.0 X 1.0 ) X 2.375 X 2.4 T/M3 = 1,482 T.

Peso de muros para el nivel 4.75 ( altura 4.75M )

( 2 X 79.0 X 1.0 + 2 X 51.0 X 1.0 ) X 4.75 X 2.4 T/M3 = 2,964 T.

Peso de muros para el nivel 9.50 ( altura 2.375 M abajo, 3.375 arriba )

( 2 X 79.0 X 1.0 + 2 X 51.0 X 1.0 ) X 2.375 X 2.4 T/M3 = 1,482.0 T.

( 8 X 5.00 X 1.00 + 2 X 26.0 X 1.0 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 = 745.2 T

( 4 esquinas ) 4.5 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 = 145.8 T --------- 2,373.0 T.

Peso de muro para el nivel 16.25 ( altura 3.375 M abajo 3.375 M arriba )

( 8 X 5.00 X 1.00 + 2 X 26.0 X 1.0 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 = 745.2 T

( 8 X 5.00 X 0.80 + 2 X 26.0 X 0.8 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 = 596.2 T

( 4 esquinas ) 4.5 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 = 145.8 T( 4 esquinas ) 3.76M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 = 121.8 T --------- 1,609.0 T

Peso de muro para el nivel 23.00 ( altura 6.75 M )

CAPITULO 3 57

( 8 X 5.00 X 0.80 + 2 X 26.0 X 0.8 ) X 6.75 X 2.4 T/M3 = 1,192.3 T

( 4 esquinas ) 3.76M2 X 6.75 X 2.4 T/M2 = 243.6 T --------- 1,435.9 T

Peso de muro para el nivel 29.75 ( altura 3.375 M abajo, 3.375 M arriba )

( 8 X 5.00 X 0.80 + 2 X 26.0 X 0.8 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 = 596.2 T

( 8 X 5.00 X 0.60 + 2 X 26.0 X 0.6 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 = 447.1 T

( 4 esquinas ) 3.76 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 = 121.8 T( 4 esquinas ) 2.94 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 = 95.3 T --------- 1,260.4 TPeso de muro para el nivel 36.50 ( altura 6.25 M )

( 8 X 5.00 X 0.60 + 2 X 26.0 X 0.6 ) X 6.25 X 2.4 T/M3 = 828.0 T

( 4 esquinas ) 2.94 M2 X 6.25 X 2.4 T/M2 = 176.4 T --------- 1,004.4 T

Peso de muro para el nivel 42.25 ( altura 2.875 M abajo, 1.00 M arriba )

( 8 X 5.00 X 0.60 + 2 X 26.0 X 0.6 ) X 2.875 X 2.4 T/M3 = 380.9 T

( 2 X 79.0 X 0.4 + 2 X 51.0 X 0.4 ) X 1.00 X 2.4 T/M3 = 249.6 T

( 4 esquinas ) 2.94 M2 X 2.875 X 2.4 T/M2 = 81.1 T --------- 711.6 T

Peso de columnas

Debido a que las columnas solo tomaran carga axial estas pueden ser diseñadasfácilmente con el manual AISC 9a edición, de acuerdo a la tabla siguiente:

Carga en columnas 0.36 T/M2 + 0.30 T/M2 + 0.10 T/M2 + 1.00 T/M2 = 1.76 T/M2

Carga por nivel = 1.76 X 16.00 X 12.50 = 352 T.

NIVEL COLUMNA CARGA(TONS.- KIPS)

LONGITUD(MTS.- PIES)

PERFILPROPUESTOACERO A-36

CAPACIDAD DE LACOLUMNA DE ACERODE ACUERDO ALAISC (TON)

36.50 - 42.25 352 - 775 4.0 - 13.1 W14X145 35829.75 - 36.50 704 - 1551 5.0 - 16.4 W14X283 70423.00 - 29.75 1056 - 2326 5.0 - 16.4 W14X426 106416.25 - 23.00 1408 - 3101 5.0 - 16.4 W14X605 15299.50 - 16.25 1760 - 3877 5.0 - 16.4 W14X730 1858

COLUMNA DECONCRETO

4.75 - 9.50 2112 - 4652 3.0 - 9.8 130X1300.00 - 4.75 2464 - 5427 3.0 - 9.8 130X130

0.00

Diseño de columna de concreto para una carga de 2464 Tons., de las cualescorresponde a carga muerta 0.76/1.76 = 43%, por lo tanto:


Carga muerta = 2464 X 0.43 = 1,060 tons.Carga viva = 2464 - 1060 = 1,404 tons.

Pu = 1.4 CM + 1.7 CV = 3871 tons.

La capacidad a compresión axial de una columna de concreto esta dada por laformula del ACI-318

Po = 0.85 f´c Ag + As * Fy

Considerando una columna de 130X130 cms. para que pueda recibir la columna deacero y con un refuerzo del 1% del área de concreto tenemos:

F´c = 300 Kg/cm2Fy = 4,200 Kg/cm2As = 1 % de 130 x 130 = 169 cm2 de acero de refuerzo

Po = 0.85 X 300 X 130 X 130 + 169 X 4200 = 5,019 Tons.

Por lo tanto las columnas de concreto serán de 130X130 cms.

Se considera la interacción suelo-estructura mediante resortes como en elejemplo 4.

Se considera que el suelo tiene una velocidad de onda de cortante de 600 M/S,un peso volumétrico de 1.7 T/M3 y un coeficiente de poisson de 0.38, con estosdatos y las dimensiones de la losa de la cimentación se calculan los resortes

G = Vs2 γ / g = 6002 X 1.7 / 9.81 = 62,385 T/M2

El resorte vertical Kz y el resorte horizontal debido al deslizamiento Kxestán dados por :

Kz = 4 G ro / ( 1 - ν )

Kx = 32 ( 1 - ν ) G ro / ( 7 - 8 ν )

donde :

ro = ( 4 c d / π )½ = (( 4 X 51/2 X 81/2 )/ π )½ = 36.26 Μ.

Kz = 4 G ro / ( 1 - ν ) = 4 X 62,385 X 36.26 / (1-.38) =

Kz = 14,594,065 T/M

32 X (1-.38) X 62,385 X 36.26Kx = 32 ( 1 - ν ) G ro / ( 7 - 8 ν ) = (7-8 X 0.38)

Kx = 11,333,250 T/M

Analisis del edificio por sismo vertical

Por lo general en los reglamentos de construcción como el UBC, el de CFE no seconsidera la acción del sismo en la dirección vertical, en el presenteanálisis se aplicara el espectro de respuesta vertical de la guía regulador1.60 de la NRC para verificar que es lo que pasa con las columnas y muros durante un sismo por el efecto de la componente vertical.

CAPITULO 3 59

Para este análisis se considera únicamente el área axial de las columnas ymuros desarrollándose el modelo matemático mostrado en la figura 1.14

FIGURA 3.14

El archivo de entrada es el EJEM8.ENT, el cual se muestra a continuación:

DINAMICO 9.81MATERIAL 1 21000000. 0.32 0.02MATERIAL 2 2598076. 0.18 0.04NODO 1 1 1 0.0 0.0NODO 2 1 1 0.0 4.75 NODO 3 1 1 0.0 9.5 NODO 4 1 1 0.0 16.25 NODO 5 1 1 0.0 23.0 NODO 6 1 1 0.0 29.75 NODO 7 1 1 0.0 36.5 NODO 8 1 1 0.0 42.25 NODO 22 1 1 0.0 4.75 NODO 23 1 1 0.0 9.5 NODO 24 1 1 0.0 16.25


NODO 25 1 1 0.0 23.0 NODO 26 1 1 0.0 29.75 NODO 27 1 1 0.0 36.5 NODO 28 1 1 0.0 42.25 PESO 1 11556.0PESO 2 4580.0PESO 3 3989.0PESO 4 3225.0PESO 5 3052.0PESO 6 2876.0PESO 7 2620.0PESO 8 2328.0PESO 22 2655.0PESO 23 2584.0PESO 24 2504.0PESO 25 2486.0PESO 26 2467.0PESO 27 2448.0PESO 28 2431.0VIGA 1 1 2 1 2 VIGA 2 2 3 1 2 VIGA 3 3 4 2 2 VIGA 4 4 5 3 2 VIGA 5 5 6 3 2 VIGA 6 6 7 4 2 VIGA 7 7 8 4 2 VIGA 11 1 22 5 2 VIGA 12 22 23 5 2 VIGA 13 23 24 6 1 VIGA 14 24 25 7 1 VIGA 15 25 26 8 1 VIGA 16 26 27 9 1 VIGA 17 27 28 10 1 PROPIEDAD 1 260.0 1.0PROPIEDAD 2 110.0 1.0PROPIEDAD 3 88.6 1.0PROPIEDAD 4 67.0 1.0PROPIEDAD 5 20.3 1.0PROPIEDAD 6 1.66 1.0PROPIEDAD 7 1.38 1.0PROPIEDAD 8 0.97 1.0PROPIEDAD 9 0.64 1.0PROPIEDAD 10 0.33 1.0RESORTE 1 14594065.ESPECTRO VERTICAL 6 4.581 0.5824 8.75 0.4734 11.743 0.3888 17.302 0.2805 21.159 0.2317 24.679 0.2045

CAPITULO 3 61

Para este análisis se considera el espectro de respuesta de la USNRC GuíaReguladora 1.60 para un ZPA de 0.16 g´s, debido a que tenemos dos tipos demateriales el acero y el concreto reforzado, el amortiguamiento para elprimero es de 2% mientras que para el segundo es de 4% por lo que tenemos quecalcular el amortiguamiento modal, ver punto 2.5.

Mediante el programa DINAFACIL calculamos el amortiguamiento modal, verresultados en tabla.

La aceleración espectral para cada modo es calculada de acuerdo a lafrecuencia e interpolando el valor del amortiguamiento entre los espectrospara el 2% y 5% de amortiguamiento definidos por la Guía Reguladora, verfigura 3.15

FIGURA 3.15

Mediante el programa DINAFACIL obtenemos los siguientes resultados:



PESO MODAL(TON.)

AMORTIGUAMIENTO ACELERACIONESPECTROVERTICAL

1 4.582 1.797 20,235.2 0.0275 0.58242 8.750 1.213 28,849.7 0.0391 0.47343 11.743 0.401 1,295.4 0.0354 0.38884 17.302 -0.118 112.5 0.0337 0.28055 21.159 0.270 906.9 0.0383 0.23176 24.679 -0.190 314.7 0.0364 0.2045


En la siguiente tabla se muestra la carga axial resultante del análisis

COLUMNAS MUROSELEMENTO CARGA AXIAL (TON) ELEMENTO CARGA AXIAL (TON)

17 2934/12=244.5 7 1161/67=17.3T/M216 5014/12=417.8 6 2435/67=36.3T/M215 6540/12=545.0 5 3745/88=42.5T/M214 7622/12=635.2 4 5030/88=57.1T/M213 8436/12=703.0 3 6240/110=56.7T/M212 9014/12=751.2 2 7557/260=29.1T/M211 9505/12=792.1 1 9000/260=34.6T/M2

Ahora revisaremos las columnas de acero para verificar su estado de esfuerzosante un sismo.

La capacidad de las columnas ante carga axial cuando en la combinación decarga interviene el viento o el sismo se puede incrementar en un 33% deacuerdo al AISC (American Institute of Steel Construction)

PERFIL CM+CV+SISMO (TON) CAPACIDADINCREMENTADA EN 33%

MARGEN DESEGURIDAD

W14X145 352+244 = 596 476 -20%W14X283 704+418 = 1122 936 -16%W14X426 1056+545 = 1601 1415 -12%W14X605 1408+635 = 2043 2034 0%W14X730 1760+703 = 2463 2471 0%

Con el ejemplo anterior nos damos cuenta que es necesario considerar lacomponente vertical del sismo aunque los reglamentos de construcción no loexigen, porque de acuerdo a los reglamentos en los que no se considera lacomponente vertical del sismo el edificio anterior estaría correcto, sinembargo como se aprecia en la tabla anterior las columnas superiores estánsobre-esforzadas.

EJEMPLO 12

Este ejemplo es de un edificio de tres niveles como se muestra en las figuras3.16, 3.17, 3.18 y 3.19, en estas figuras se muestra la planta de cada nivelcon la distribución de los muros de cortante, el sistema de piso será a basede armaduras de 3.50 mts. de peralte, el centroide de la masa de cada piso selocaliza a 90 cm debajo de la parte superior de las armaduras, la distancialibre entre pisos será para el primer nivel de 8.00 mts., para el segundo de7.00 mts. y para el tercer nivel de 10.00 mts.

Todos los muros serán de 80 cm. de espesor y se considera una carga total parael sistema de piso de 5.0 T/M2., el edificio se apoyara en una losa decimentacion de 2.00 mts. de espesor.

El edificio se analizara aplicando un histograma de fuerza como se muestra enla figura 3.20 en el primer nivel para obtener los desplazamientos yaceleraciones resultantes en el tercer nivel.

CAPITULO 3 63

El objetivo de este ejemplo es mostrar como se calcula la masa e inerciarotacional para cada nivel, además de obtener la respuesta ante un histogramade fuerza.

Calculo de la masa e inercia rotacional de la losa de cimentación, seconsidera la losa de cimentación mas los muros de la serie 1 hasta el nivel5.3.

FIGURA 3.16

De acuerdo a la figura 3.16 se prepara la siguiente tabla en donde se muestrael calculo de la masa (peso) y de la localización del centroide de la masa 1.

ELEMENTO DIMENSIONESEN METROS

DENSIDAD(T/M3)

PESO(TON)

DISTANCIA

X (M)DISTANCIA

Y (M)MX

(T-M)MY

(T-M)LOSA DECIMENTACION

60.0X50.0X2.0 2.4 14,400 30.0 25.0 432,000 360,000

MURO A1 60.0X0.8X5.3 2.4 610.6 30.0 49.6 18,318 30,286MURO B1 20.0X0.8X5.3 2.4 203.5 30.0 34.6 6,105 7,041MURO C1 35.0X0.8X5.3 2.4 356.2 17.5 0.4 6,233 142MURO D1 25.0X0.8X5.3 2.4 254.4 10.4 22.5 2,646 5,724MURO E1 20.0X0.8X5.3 2.4 203.5 45.6 20.0 9,280 4,070MURO F1 35.0X0.8X5.3 2.4 356.2 59.6 17.5 21,230 6,234TOTAL 16,384 495,812 413,497

El centro de masa se localiza en:

495,812 413,497 X = = 30.26 mts. Y = = 25.24 mts. 16,384 16,384


La inercia rotacional se calcula haciendo la sumatoria del producto del pesode cada elemento multiplicado por la distancia entre el centroide del elementoy el centroide de la masa total en ese nivel, esta distancia es al cuadrado,por ejemplo, el muro A1 pesa 610.6 Ton. Y se localiza en x = 30.0 mts. y elcentroide de la masa total esta en X = 30.26 mts., por lo tanto la distanciaentre centroides es de 0.26 mts., por lo tanto la inercia rotacional delelemento A1 es igual a 610.6 X 0.26 X 0.26 = 41.3 T-M2.

Calculo de la inercia rotacional.

ELEMENTO PESO(TON)

DISTANCIAX (M)

DISTANCIAY (M)

IX(T-M2)

IY(T-M2)

LOSACIMENTACION

14400 0.26 0.24 973 829

MURO A1 610.6 0.26 24.36 41 362336MURO B1 203.5 0.26 9.36 14 17828MURO C1 356.2 12.76 24.84 57996 219785MURO D1 254.4 19.86 2.74 100340 1910MURO E1 203.5 15.34 5.24 47997 5588MURO F1 356.2 29.34 7.74 306630 21339

513881 629615

Calculo de la masa e inercia rotacional del nivel 11.50, masa 2.

FIGURA 3.17

CAPITULO 3 65

Se calcula la masa y el centroide de la masa 2 mediante la siguiente tabla:


DENSIDAD(T/M3)

PESO(TON)

DISTANCIA

X (M)DISTANCIA

Y (M)MX

(T-M)MY

(T-M)LOSANIVEL11.50

50.0X60.0 5.0 15000 30.00 25.00 450000 375000

MURO A2 50.0X0.8X5.25 2.4 504 35.00 49.60 17640 24998MURO B2 30.0X0.8X5.25 2.4 302 25.00 34.60 7550 10449MURO C2 25.0X0.8X5.25 2.4 252 22.50 0.40 5670 101MURO D2 20.0X0.8X5.25 2.4 202 10.40 20.00 2101 4040MURO E2 20.0X0.8X5.25 2.4 202 45.60 20.00 9211 4040MURO F2 35.0X0.8X5.25 2.4 353 59.60 17.50 21039 6178MUROS A1, B1, C1, D1, E1, F1DEL NIVEL 5.3 AL NIVEL 11.50

1984 63812 53497

TOTAL 18799 577023 478303

El centroide de la masa se localiza en:

577023 478303 X = = 30.69 mts. Y = = 25.44 mts. 18799 18799

Se calcula la inercia rotacional de la masa 2 de acuerdo a la siguiente tabla:

ELEMENTO PESO(TON)

X (M) Y (M) IX(T-M2)

IY(T-M2)

LOSA NIVEL11.50

15000 0.69 0.44 7141 2904

MURO A2 504 4.31 24.16 9362 294188MURO B2 302 5.69 9.16 9777 25339MURO C2 252 8.19 25.04 16903 158004MURO D2 202 20.29 5.44 86471 5978MURO E2 202 14.91 5.44 44906 5978MURO F2 353 28.91 7.94 295033 22254MURO A1 611 0.69 24.16 291 356644MURO B1 204 0.69 9.16 97 17117MURO C1 356 13.19 25.04 61935 223212MURO D1 254 20.29 2.94 104568 2195MURO E1 203 14.91 5.44 45128 6007MURO F1 356 28.91 7.94 297540 22443

979152 1142263


Calculo de la masa y centroide de la masa 3, nivel 22.00

FIGURA 3.18


DENSIDAD(T/M3)

PESO(TON)

DISTANCIA

X (M)DISTANCIA

Y (M)MX

(T-M)MY

(T-M)LOSANIVEL22.00

50.0X60.0 5.0 15000 30.00 25.00 450000 375000

MURO A3 35.0X0.8X6.75 2.4 454 27.50 49.60 12485 22518MURO C3 25.0X0.8X6.75 2.4 324 22.50 0.40 7290 130MURO D3 20.0X0.8X6.75 2.4 259 10.40 20.00 2694 5180MURO E3 20.0X0.8X6.75 2.4 259 44.60 20.00 11551 5180MUROS A2, B2, C2, D2, E2, F2

DEL NIVEL 15.85 AL NIVEL 21.101815 63211 49806

TOTAL 18111 547231 457814


547231 457814 X = = 30.21 mts. Y = = 25.28 mts. 18111 18111

CAPITULO 3 67

Se calcula la inercia rotacional de acuerdo a la siguiente tabla:

ELEMENTO PESO(TON)


IY(T-M2)

LOSA NIVEL22.00

15000 0.21 0.28 661 1176

MURO A3 454 2.71 24.32 3334 268524MURO C3 324 7.71 24.88 19260 200560MURO D3 259 19.81 5.28 101641 7220MURO E3 259 14.39 5.28 53632 7220MURO A2 504 4.79 24.32 11564 298097MURO B2 302 5.21 9.32 8197 26232MURO C2 252 7.71 24.88 14980 155992MURO D2 202 19.81 5.28 79272 5631MURO E2 202 15.39 5.28 47844 5631MURO F2 353 29.39 7.78 304911 21366

645296 997649

Calculo de la masa y centroide de la masa 4 nivel 35.50

FIGURA 3.19


Se calcula la masa y centroide de acuerdo a la figura 3.19


DENSIDADT/M3

PESO(TON)

DISTANCIA

X (M)DISTANCIA

Y (M)MX

(T-M2)MY

(T-M2)LOSANIVEL35.50

50.0X35.0 5.0T/M2

8750 27.50 25.00 240625 218750

MURO A3 35.0X0.8X7.65 2.4 514 27.50 49.60 14135 25494MURO C3 25.0X0.8X7.65 2.4 367 22.50 0.40 8257 147MURO D3 20.0X0.8X7.65 2.4 294 10.40 20.00 3058 5880MURO E3 20.0X0.8X7.65 2.4 294 44.60 20.00 13112 5880TOTAL 10219 279187 256151


279187 256151 X = = 27.32 mts. Y = = 25.07 mts. 10219 10219

Se calcula la inercia rotacional de acuerdo a la siguiente tabla:

ELEMENTO PESO(TON)


IY(T-M2)

LOSA NIVEL32.50

8750 0.18 0.07 284 43

MURO A2 514 0.18 24.53 17 309284MURO C2 367 4.82 24.67 8526 223359MURO D2 294 16.92 5.07 84168 7557MURO E2 294 17.28 5.07 87788 7557

10219 180783 547800

Calculo de la rigidez de entrepiso en la dirección x


AREA DECORTANTE (M2)

MOMENTO DEINERCIA (M4)

MURO A1 60.0X0.80 48.00 0.8X(60)3/12 14400MURO B1 20.0X0.80 16.00 0.8X(20)3/12 533MURO C1 35.0X0.80 28.00 0.8X(35)3/12 2858

VIGA 1 X 92.00 17791

MURO A2 50.0X0.80 40.00 0.8X(50)3 /12 333MURO B2 30.0X0.80 24.00 0.8X(30)3 /12 1800MURO C2 25.0X0.80 20.00 0.8X(25)3 /12 1042

VIGA 2 X 84.00 11175

MURO A3 35.0x0.80 28.00 0.8X(35)3 /12 2858MURO C3 25.0x0.80 20.00 0.8X(25)3 /12 1042

VIGA 3 X 48.00 3900

La estructura se apoya en un suelo con velocidad de onda de cortante de 800m/s, un peso volumetrico de 1.8 T/m3 y un modulo de Poisson de 0.38.

Los resortes que representan el suelo se calculan de acuerdo a los ejemplos 4y 5 y los resultados son los siguientes:

CAPITULO 3 69

Kx = 18 179 742 T/M

Kψ = 1.769 X 10 10

Mediante el programa DINAFACIL se calcula primero los modos de vibración, verarchivo EJEM12.ENT

1 2 3 4 5 6 71234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890DINAMICO 9.81MATERIAL 1 2509980. 0.18 0.04NODO 1 1 0.0 0.0NODO 2 1 0.0 10.6NODO 3 1 0.0 21.1NODO 4 1 0.0 34.6PESO 1 16384. 513881.PESO 2 18799. 979152.PESO 3 18111. 645296.PESO 4 10219. 180783.VIGA 1 1 2 1 1VIGA 2 2 3 2 1VIGA 3 3 4 3 1PROPIEDAD 1 92.0 92.0 17791.0PROPIEDAD 2 84.0 84.0 11175.0PROPIEDAD 3 48.0 48.0 3900.0RESORTE 1 18179742. 1.769E+10



PESO MODAL(TON)

1 3.772 1.500 42,7272 8.827 0.652 12,4443 15.562 0.327 4,4984 21.831 0.396 3,7525 25.708 -0.018 906 36.761 0.003 27 48.903 0.0 0.08 104.548 0.0 0.0

Se aplica el siguiente histograma de fuerza en la masa 2, nivel 11.50

FIGURA 3.20


Mediante el programa DINAFACIL se determina la aceleración en la masa 3,nivel 35.50, la entrada de datos se presenta a continuación, archivo EJEM12.33

1 2 3 4 5 6 7 812345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 8 20080.005 1 4 X 2 X 100. .000000 .050000 .100000 .150000 .200000 .250000 .300000 .350000 1 .400000 .450000 .500000 .550000 .600000 .650000 .700000 .750000 2 .800000 .850000 .900000 .950000 1.000000 1.050000 1.100000 1.150000 3 1.200000 1.250000 1.300000 1.350000 1.400000 1.450000 1.500000 1.550000 4 1.600000 1.649999 1.699999 1.749999 1.799999 1.849999 1.899999 1.949999 5 1.999999 2.049999 2.099999 2.149999 2.199999 2.249999 2.299999 2.349999 6 2.399999 2.449999 2.499999 2.549999 2.599999 2.649999 2.699999 2.749999 7 2.799999 2.849998 2.899998 2.949998 2.999998 3.049998 3.099998 3.149998 8 3.199998 3.249998 3.299998 3.349998 3.399998 3.449998 3.499998 3.549998 9

Solo se muestran los primeros 56 registros del histograma de fuerza porquepuede ser representado fácilmente según la figura 3.20

Mediante el acelerograma de respuesta en la masa 4, nivel 35.50 se obtiene elespectro de respuesta siguiente, ver figura 3.21.

FIGURA 3.21

CAPITULO 4PROGRAMA DE COMPUTADORA DINAFACIL

4.1 INTRODUCCION

Una forma de comprender cabalmente la dinámica estructural y cualquier otraciencia que nos interese aprender es mediante la elaboración de programas decomputadora que describan los procesos de la ciencia en cuestión, porque estonos obliga a entender todo el proceso por estudiar, entonces la ventaja de lascomputadoras personales PC es que además de facilitarnos nuestro trabajopodemos mediante la elaboración de programas aprender todo acerca de laciencia que nos interese.

En este libro se presenta el programa DINAFACIL que pretendo que algún díasea equiparable a los grandes programas de análisis estructural tales como elSTRUDL, STARDYNE, ALGOR, etc., la ventaja del programa DINAFACIL es que sepuede correr en una PC 386 sin coprocesador matemático, en cambio todos losotros programas requieren de una PC 486 o PENTIUM con mucha memoria en RAM yen disco duro, claro que los modelos que se pueden elaborar en esos programasson muy sofisticados, sin embargo, un ingeniero con experiencia puede hacer unmodelo simple de una estructura muy complicada y obtener resultados adecuados,por otra parte, si realizamos un modelo muy sofisticado en algún programagrande nos arrojara un gran volumen de resultados que habrá que resumir parapoder llegar a la misma conclusión de un modelo simple.

El programa DINAFACIL esta escrito en lenguaje FORTRAN5, se divide en lossiguientes subprogramas o módulos que se corren independientemente en lacomputadora.

ENTRADA

Este modulo lee el archivo de entrada de datos.Forma la matriz de rigidez individual de cada elemento para posteriormenteformar la matriz de rigidez global.Forma la matriz de masa.Almacena los datos necesarios para obtener las fuerzas y momentos en lasvigas.Localiza las restricciones del modelo matemático y reduce la matriz derigidez.En caso de que el tamaño de la matriz de rigidez no coincida con la matriz demasa el programa llama a la subrutina CONDENSA para realizar la condensaciónde la matriz de rigidez.Escribe en la TAPE.11 la matriz de rigidez global y la matriz de masa de laestructura.Escribe en la TAPE.12 la matriz de rigidez de cada elemento viga así como sumatriz de giro.

MODOS

Este modulo lee el archivo TAPE.11 generado en el modulo ENTRADA.Se llama a la subrutina JACOBI en donde se determinan los EIGENVALUES yEIGENVECTORS de acuerdo a las ecuaciones 1.13 y 1.14 ver punto 1.3.Se aplica la ecuación 1.12 para obtener los EIGENVECTORS reales.Se determina si existen EIGENVECTORS dependientes, es decir en donde existagrado de libertad sin masa.Se acomodan los EIGENVECTORS correspondientes a cada nodo.Se calculan los factores de participación correspondiente a la dirección "X" y"Y".Se normalizan los EIGENVECTORS, es decir, la respuesta máxima valdrá 1.0 y losdemás valores serán relativos a la respuesta máxima.


Se colocan los EIGENVALUES por orden ascendentes.Se calcula la masa generalizada y el peso generalizado.Se realiza la verificación de las ecuaciones.Escribe en el archivo TAPE.13 los EIGENVALUES, los EIGENVECTORS, los factoresde participación en “X” y “Y” para ser leídos por otros módulos del programa.Escribe en el archivo TAPE.6 los resultados para se impresos.

RESPONDE

Este modulo lee el archivo TAPE.13 generado en el modulo MODOS.Se determina la frecuencia de cada modo y se llama a la SUBRUTINA "CURESP" ,en donde se determina el valor de la aceleración para cada frecuencia modal apartir de un ESPECTRO DE RESPUESTA introducido en los datos de entrada.Se determina la aceleración y el desplazamiento para cada nodo mediante lasformulas 1.30 y 1.31.Con los desplazamientos nodales se determinan los elementos mecánicos paracada viga en cada modo.Lee del archivo TAPE.12 los datos de las vigasSe realiza la combinación modal mediante la obtención de la raíz de lasumatoria de la raíz cuadrada de cada modo, para los modos cuya frecuencia esmenor al 10 % se suman en forma absoluta.Escribe los resultados en el archivo TAPE.16.

RESHIST

Este modulo lee el archivo TAPE.13 generado en el modulo MODOS.Determina la respuesta estructural debida a un acelerograma aplicado en losapoyos de la estructura mediante la subrutina LAPLACE siguiendo elprocedimiento descrito en el punto 1.6.Se obtiene los histogramas de respuesta de desplazamiento, velocidad yaceleración para un punto nodal, si se desea obtener la respuesta en otrospuntos nodales simplemente se realizan otras corridas cambiando el dato delpunto nodal requerido.En el archivo TAPE.31 se introducen los datos de entrada como se indica en elpunto 4.3 y en el archivo TAPE.32 se escriben los histogramas dedesplazamiento, velocidad y aceleración.

RESFUER

Este modulo lee el archivo TAPE.13 generado en el modulo MODOS.Determina la respuesta estructural debida a un histograma de fuerza aplicadoen cualquier punto nodal del modelo, obteniéndose los histogramas de respuestade desplazamiento, velocidad y aceleración para un punto nodal determinado.Este modulo utiliza la subrutina LAPLACE para obtener la respuesta siguiendoel procedimiento descrito en el punto 3.8.En el archivo TAPE.33 se introducen los datos de entrada como se indica en elpunto 4.3 y en el archivo TAPE.34 se escriben los histogramas dedesplazamiento, velocidad y aceleración.

CARGAS

Este modulo lee el archivo TAPE.11 generado en el modulo ENTRADA, además delarchivo de datos de entrada.Calcula los desplazamientos nodales y los elementos mecánicos en vigas debidoa la aplicación de cargas estáticas.Escribe los resultados en el archivo TAPE.17

AMORTIGU

Este modulo lee el archivo de entrada, el archivo TAPE.13 para determinar el

CAPITULO 4 73

amortiguamiento modal, los resultados son impresos en el archivo TAPE.32.

4.2 ESQUEMA DEL PROGRAMA DINAFACIL

MODULOO

LLAMASUBRUTINA

ES LLAMADOPOR MODULO

ESCRIBEEN

LEEDEL


SUBRUTINA O SUBRUTINA ARCHIVO ARCHIVOENTRADA CONDENSA 11

121

CONDENSA INVMAT ENTRADA 212211

INVMAT CONDENSAMODOS

MODOS INVMATJACOBI

613

11122

JACOBI MODOSRESPONDE CURESP 16 1

1213

CURESP RESPONDE 16 1RESHIST AMORTIG

LAPLACE32 31

13AMORTIG RESHIST

RESFUER35 11

12LAPLACE RESHIST

RESFUERRESFUER AMORTIG

LAPLACE34 33

13CURESP RESPONDE 1CARGAS INVMAT 17 1

1112

AMORTIGU AMORTIG 35 13

CONTENIDO DE CADA ARCHIVO

ARCHIVO.1 Datos de entrada, ver punto 4.3, archivo ASCII.

ARCHIVO.11 Contiene la matriz de rigidez global, la matriz de masa, yparámetros de localización de grados de libertad,.archivo BINARIO.

ARCHIVO.12 Contiene la matriz de rigidez y la matriz de giro de cada elementoviga, archivo BINARIO.

ARCHIVO.21 Contiene las matrices resultantes del proceso de condensación de lamatriz de rigidez, archivo ASCII.

ARCHIVO.22 Contiene la matriz para obtener los EIGENVECTORS de los grados delibertad dependientes,.archivo BINARIO.

ARCHIVO.6 Contiene resultados del modulo MODOS, archivo ASCII.

ARCHIVO.13 Contiene EIGENVALUES, EIGENVECTORS, factores de participación,archivo BINARIO.

ARCHIVO.16 Contiene los resultados del modulo RESPONDE, desplazamientos,aceleraciones, elementos mecánicos en viga debidos a la cargadinámica, archivo ASCII.

ARCHIVO.17 Contiene los resultados del modulo CARGAS, desplazamientos yelementos mecánicos en vigas debido a una carga estática,archivo ASCII.

CAPITULO 4 75

ARCHIVO 31 Contiene la entrada de datos para el modulo RESHIST, ver punto 4.3.

ARCHIVO 32 Contiene los resultados del modulo RESHIST.

ARCHIVO 33 Contiene la entrada de datos para el modulo RESFUER, ver punto 4.3.

ARCHIVO 34 Contiene los resultados del modulo RESFUER.

ARCHIVO 35 Contiene los resultados del modulo AMORTIGU, es decir los valoresdel amortiguamiento modal.

4.3 ENTRADA DE DATOS

Los datos de entrada para el programa DINAFACIL están indicados por lossiguientes registros, los cuales deberán estar dentro de un archivo ASCII parapoder ser leídos por el programa que esta en lenguaje FORTRAN.

4.3.1 Entrada de datos general

Las siguientes instrucciones son para describir la topología de la estructura,las propiedades de los elementos, y el tipo de análisis por realizar,introducir los datos en el archivo de entrada.

1-8 11-23

ANALISIS GRAVEDAD

A8 2X E13.6

ANALISIS = En este lugar se colocara la palabra ESTATICO o DINAMICOdependiendo del análisis por realizar.

GRAVEDAD = En este lugar se colocara el valor de la aceleración de la gravedaden unidades consistentes, por ejemplo 9.81 m/s o 386.4 pies/s.

El símbolo E13.6 indica que el valor de la gravedad se puede escribir en formade fracción o en forma exponencial, por ejemplo, 9.81 y 0.981E+01,respectivamente.

1-8 11-12 13-25 26-38 39-51 52-64

MATERIAL NM E POISSON DENSIDAD AMORTIGUAMIENTO

A8 2X I2 E13.6 E13.6 E13.6 E13.6

NM = En este lugar se coloca el numero del material, el cual se relacionara conel material de las vigas.

El símbolo I2 indica que el valor se escribe como entero, es decir sin puntodecimal.

E = En este lugar se coloca el valor del modulo de elasticidad, (YOUNG).

POISSON = En este lugar se coloca el valor del modulo de Poisson.


DENSIDAD = En este lugar se coloca el valor de la densidad, deberá estar enunidades consistentes, en caso de un análisis estático se deberáintroducir la carga en los puntos nodales.

AMORTIGUAMIENTO = En este lugar se coloca el valor del amortiguamiento puedeser de acuerdo a la guía reguladora 1.61 de la NRC en laque se indica el porcentaje de amortiguamiento para cadamaterial, si no se indica nada se considera del 2%.

1-4 11-12 17-22 26-38 39-51

NODO N RES X Y

A4 6X I2 4X A6 3X E13.6 E13.6

N = Numero del nodo, puede ser del 1 al 99.

RES = Indica las restricciones en el nodo, esta variable consta de 6 valores,el primer valor indica la restricción en la dirección X, el segundovalor la restricción en la dirección Y, el tercer valor la restricciónen la dirección Z, el cuarto valor la restricción al giro alrededor deleje X, el quinto valor la restricción al giro alrededor del eje Y, y elsexto valor la restricción al giro alrededor del eje Z, como en elprograma DinaFacil únicamente se puede tener modelos en un plano, losvalores del tercero al quinto son intrascendentes.

Por ejemplo para indicar que un nodo esta empotrado, el valor de RES es"110001", y para un nodo articulado seria "110000".

X = En este lugar se escribe la coordenada en X

Y = En este lugar se escribe la coordenada en Y

1-4 7-8 13-25 26-38 39-51

PESO N PX PY MZ

A4 6X I2 E13.6 E13.6 E13.6

N = Nodo en donde se considera el peso aplicado.

PX = Peso aplicado en la dirección X.

PY = Peso aplicado en la dirección Y.

MZ = Peso rotacional alrededor del eje Z, se calcula multiplicando el Peso porla distancia al cuadrado entre el centro de masa y el Nodo.

1-4 7-8 11-12 15-16 19-20 23-24 27-32

VIGA NV IN FI PROP MAT LIB

A4 2X I2 2 I2 2 IN 2 IN 2 IN 2 A6

CAPITULO 4 77

X X X X X

NV = Numero de la viga, puede ser del 1 al 99.

IN = identificación del nodo inicial de la viga.

FI = Identificación del nodo final de la viga.

PROP = Identificación del numero de propiedades asignadas a la viga

MAT = Identificación del numero de material asignado a la viga.

LIB = Indica la liberación de grados de libertad interno de la viga, es decircuando queremos que la viga este articulada en un extremo, independientementede la rotación del nodo se colocara el valor de 1 en la columna 29 sí laarticulación esta en el extremo del inicio de la viga; Y se colocara un valorde 1 en la columna 32 sí la articulación esta en el extremo final de la viga.

Si se desea que la viga sea continua con el resto de la estructura se dejaraen blanco este espacio.

1-9 11-12 13-25 26-38 39-51

PROPIEDAD NP A AV IZ

A9 1X I2 E13.6 E13.6 E13.6

NP = Identificación del numero de material, el cual se relaciona con lapropiedad de las viga.

A = Area de la sección de la viga.

AV = Area de cortante de la viga.

IZ = Momento de inercia de la viga.

1-9 11-12 13-25 26-38 39-51

RESORTE N RESX RESY RESMZ

A7 3X I2 E13.6 E13.6 E13.6

N = Identificación del nodo en donde se aplica el resorte externo a laestructura.

RESX = Valor del resorte en la dirección X.

RESY = Valor del resorte en la dirección Y.

RESMZ = Valor del resorte de rotación alrededor de la dirección Z.

4.3.2 Entrada de datos para el modulo RESPONDE.

En este modulo se aplica un espectro de respuesta en la base de la estructura


mediante las siguientes instrucciones en el archivo de entrada.

1-19 21-25 26-30

TIPO DE ESPECTRO NP TIPO

A19 1X I5 I5

TIPO DE ESPECTRO = En este lugar se escribe "ESPECTRO HORIZONTAL" o "ESPECTROVERTICAL" dependiendo del tipo de espectro que se vayaaplicar.

NP = Numero de puntos en el espectro.

TIPO = Escribir un "1" en la columna 30 si el espectro de respuesta estaescrito en PERIODO-ACELERACION, o escribir "0" en la columna 30 si elespectro de respuesta esta escrito en FRECUENCIA-ACELERACION.

Posteriormente se escribe el espectro de respuesta con el siguiente formato:

11-20 21-30

FRECUENCIA OPERIODO

ACELERACION

10X F10.3 F10.3

4.3.3 Entrada de datos para el modulo CARGAS

Mediante este modulo se realiza el análisis estático de la estructura,aplicando hasta 10 condiciones de carga las cuales pueden ser combinadas en 10diferentes formas.

El programa solo admite que se aplique carga en los nodos, por lo que lascargas actuantes en los elementos deberán ser trasladadas a los nodosextremos.

1-5 11-12

CARGA NCON

A5 5X I2

NCON = Numero de condiciones de carga por aplicar.

1-10 13-14 17-18 26-38 39-51 52-64

CARGANODO

NC NODO FX FY MZ

A10 2X

I2 2X

I2 7X

E13.6 E13.6 E13.6

CAPITULO 4 79

NC = Numero de condición de carga.

NODO = Identificación del nodo en donde se aplica la carga.

FX = Fuerza en la dirección X.

FY = Fuerza en dirección Y.

MZ = Momento alrededor del eje Z.

1-7 8-67

COMBINA TITULO DE LA COMBINACION

A7 A70

TITULO DE LA COMBINACION = En este lugar se escribe el titulo de lacombinación de carga.

11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10

10X F5.2 F5.2 F5.2 F5.2 F5.2 F5.2 F5.2 F5.2 F5.2 F5.2

C1 . . . C10 = En estos lugares se escribe el factor por el que se multiplicacada condición de carga, (como máximo 10 condiciones decarga), para cada combinación, por ejemplo:

Supongamos que deseamos combinar la condición 1 con la condición 2 aplicandofactores de 1.4 y 1.7 respectivamente, y además combinar las anteriorescondiciones con la condición 3 aplicando un factor de 1.7 y para la segundacombinación multiplicarla por 0.75.

Las instrucciones de ambas combinaciones quedaría:

COMBINA TITULO 1.4 CM + 1.7 CV 1.4 1.7COMBINA TITULO 0.75 ( 1.4 CM + 1.7 CV + 1.7 S ) 1.05 1.2751.275

4.3.4 Entrada de datos para el modulo RESHIST.

Con este modulo se determina el acelerograma de respuesta para un nododeterminado de un modelo matemático de una estructura a la cual se le aplicaun acelerograma en los apoyos de la estructura.

Previo a la aplicación de este modulo se deberán aplicar los módulos deENTRADA y MODOS.

La entrada de datos se localizara en la cinta 31 con los siguientes registros:


PRIMER REGISTRO (FILA) DEL ARCHIVO

1-5 6-10 11-15 19 21-25 30

NM NP IT DA NODO DN

I5 I5 F5.3 4X A1 I5 4X A1

En donde:

NM = numero de modos que se incluirán en el análisis, puede ser el numerototal de modos extraídos del modelo, o un numero menor, dependiendo dela precisión deseada.

NP = numero de puntos del acelerograma, se deberá iniciar con el tiempo 0.0 yvalor de aceleración de 0.0.

IT = intervalo de tiempo del acelerograma.

DA = dirección en la que se aplica el acelerograma de entrada, puede ser Hpara horizontal o V para vertical.

NODO = nodo en donde se desea obtener el acelerograma de respuesta.

DN = dirección en la que se desea obtener el acelerograma de respuesta, puedeser X, Y, o Z, en donde Z indica un acelerograma de respuestarotacional.

SEGUNDO REGISTRO EN ADELANTE

A continuación del primer registro se coloca el acelerograma de entrada enformato 8F9.6 como se muestra a continuación:

1-9 10-18 19-27 28-36 37-45 46-54 55-63 64-72

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6

En donde:

A1, A2, ...., AN = son los valores de aceleración en unidades de gravedad paracada punto del intervalo de tiempo.

4.3.5 Entrada de datos para el modulo RESFUER.

Con este modulo se determina los histogramas de respuesta de desplazamiento,velocidad y aceleración para un nodo determinado de un modelo matemático deuna estructura a la cual se le aplica un histograma de fuerza que se aplica envarios nodos de la estructura.

Previo a la aplicación de este modulo se deberán aplicar los módulos deENTRADA y MODOS.

La entrada de datos se localizara en la cinta 33 con los siguientes registros:

CAPITULO 4 81

PRIMER REGISTRO (fila) DEL ARCHIVO

1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 30

NM NP IT NN NODO DN

I5 I5 F5.3 I5 I5 4X A1

En donde:

NM = numero de modos que se incluirán en el análisis, puede ser el numerototal de modos extraídos del modelo, o un numero menor, dependiendo de laprecisión deseada.

NP = numero de puntos del acelerograma, se deberá iniciar con el tiempo 0.0 yvalor de aceleración de 0.0.

IT = intervalo de tiempo del acelerograma.

NN = numero de nodos en donde se aplica el histograma de fuerzas

NODO = nodo en donde se desea obtener los histogramas de respuesta.

DN = dirección en la que se desea obtener los histogramas de respuesta, puedeser X, Y, o Z, en donde Z indica un acelerograma de respuestarotacional.

SEGUNDO REGISTRO EN ADELANTE hasta completar el numero de nodos en donde seaplica el histograma de fuerzas.

1-5 10 11-23

NODE DN F

I5 4X A1 E13.6

En donde:

NODE = nodo en donde se aplica el histograma de fuerza.

DN = dirección en la que se aplica el histograma de fuerza, puede ser X, Y, oZ, en donde Z indica un histograma de momento alrededor del eje “Z”.

F = valor de la fuerza o momento en ese nodo.

A continuación se coloca el histograma de fuerzas de entrada en formato 8F9.6como se muestra abajo:

1-9 10-18 19-27 28-36 37-45 46-54 55-63 64-72

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8

F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6 F9.6

En donde:


F1, F2, ...., FN = son los valores del histograma de fuerzas en unidadesconsistentes para cada punto del intervalo de tiempo.

4.4 INSTRUCCIONES PARA USAR EL PROGRAMA DINAFACIL

El programa DINAFACIL se corre en el ambiente DOS.

PRIMERO crear el archivo de entrada de datos como se explico en el punto 4.3,este archivo puede tener cualquier nombre, se recomienda que la extensión sea“.ENT”.

SEGUNDO proceder a correr el modulo ENTRADA, simplemente escriba ENTRADA desdeel ambiente DOS y oprimir la tecla ENTER, aparecerá lo siguiente:

ENTRADA FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 1?

Escribir el nombre del archivo de entrada de datos y oprimir la tecla ENTER,aparecerá el siguiente mensaje:

UNIT 12?

Escribir el nombre del archivo que será creado, se recomienda poner el mismonombre del archivo de entrada pero con extensión “.12”, oprimir la teclaENTER, aparecerá lo siguiente:

UNIT 11?

Escribir el nombre del archivo que será creado, poner el mismo nombre delarchivo de entrada pero con extensión “.11”, oprimir la tecla ENTER yterminara el programa.

En caso de que el modulo ENTRADA detecte que sea necesario condensar la matrizde rigidez, pedirá nombre para la UNIT 21 y UNIT 22, se recomienda seguir elmismo procedimiento anterior.

TERCERO, para el caso de un análisis dinámico se procede a correr el moduloMODOS, (previamente se deberá haber corrido el modulo ENTRADA), simplementeescriba MODOS y oprima la tecla ENTER, solicitara los nombres de variosarchivos como se muestra a continuación:

MODOS [ENTER]FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 6? ARCHIVO.6 [ENTER]UNIT 1? ARCHIVO.ENT [ENTER]UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER]UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER]

En el ARCHIVO.6 se encontraran los resultados de este modulo.

CAPITULO 4 83

CUARTO, para el caso de un análisis espectral, en el archivo de datos deentrada deberá estar el espectro de respuesta., se procederá a correr elmodulo RESPONDE como se muestra a continuación, (previamente se deberá habercorrido los módulos ENTRADA y MODOS):

RESPONDE [ENTER]FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 16? ARCHIVO.16 [ENTER]UNIT 1? ARCHIVO.ENT [ENTER]UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER]UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER]


QUINTO, para el caso de un análisis aplicando un acelerograma en el apoyotenemos que aplicar el modulo RESHIST, (previamente se deberá haber corridolos módulos ENTRADA y MODOS), proceder como se muestra a continuación:

RESHIST [ENTER]FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 31? ARCHIVO.31 [ENTER]UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER]UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER]UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER]UNIT 32? ARCHIVO.32 [ENTER]

En el ARCHIVO.32 se encontrara el resultado de este modulo.

SEXTO, para el caso de un análisis aplicando un histograma de fuerza encualquier punto de la estructura tenemos que aplicar el modulo RESFUER,(previamente se deberá haber corrido los módulos ENTRADA y MODOS), procedercomo se muestra a continuación:

RESFUER [ENTER]FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 33? ARCHIVO.33 [ENTER]UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER]UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER]UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER]UNIT 34? ARCHIVO.34 [ENTER]

En el ARCHIVO.34 se encontrara el resultado de este modulo.


SEPTIMO, para el caso de un análisis estático se procede a correr el moduloCARGAS, (previamente se deberá haber corrido el modulo ENTRADA), proceder comose muestra a continuación:

CARGAS [ENTER]FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 17? ARCHIVO.17 [ENTER]UNIT 1? ARCHIVO.ENT [ENTER]UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER]UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER]


OCTAVO, si se requiere determinar el amortiguamiento modal se procederá acorrer el modulo AMORTIGU, (previamente se deberá haber corrido los módulos deENTRADA y MODOS), proceder como sigue:

AMORTIGU [ENTER]FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAMEUNIT 13? ARCHIVO.17 [ENTER]UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER]UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER]


CAPITULO 4 PROGRAMA DINAFACIL 85

4.5 LISTADO DEL PROGRAMA DINAFACIL

ENTRADA.FOR

$LARGE$DEBUG PROGRAM ENTRADACC ENTRADA DE DATOS , FORMACION DE MATRIZ DE RIGIDEZ Y MATRIZ DE MASAC DIMENSION NM(10),TE(10),TGE(10),TDEN(10),DAMP(10) DIMENSION NNN(50),X(50),Y(50),ARES(50) DIMENSION NNV(80),INI(80),IFI(80),NPRO(80),NMAT(80),AVRES(80) DIMENSION AKV(6,6),ALB(6,6),ALBT(6,6) DIMENSION AKV1(6,6),AKV2(6,6),INK(6) DIMENSION AK(70,70),AM(150),NR(150),AMM(70,70),AKG(80,80) DIMENSION NPRP(80),TA(80),TAV(80),TAIZ(80)

CHARACTER*80 REG CHARACTER*6 ARES,AVRES COMMON/RIGI/AK COMMON/CONDE/NR,AM

WRITE(*,113)

200 READ(1,100,END=300) REG IF(REG(1:8).EQ.'ESTATICO') THEN READ(REG,101) G ITIPO=1 GO TO 200 ELSEIF(REG(1:8).EQ.'DINAMICO') THEN READ(REG,101) G ITIPO=2 GO TO 200 ELSEIF(REG(1:8).EQ.'MATERIAL') THEN NNM=NNM+1 READ(REG,102) NM(NNM),TE(NNM),POI,TDEN(NNM),DAMP(NNM) TGE(NNM)=TE(NNM)/(2.*(1.+POI)) GO TO 200 ELSEIF(REG(1:4).EQ.'NODO') THEN NN=NN+1 READ(REG,103) NNN(NN),ARES(NN),X(NN),Y(NN) GO TO 200 ELSEIF(REG(1:7).EQ.'RESORTE') THEN READ(REG,114) NRES,RESX,RESY,RESZ DO 3001 I=1,NN IF(NRES.EQ.NNN(I)) GO TO 3002 3001 CONTINUE WRITE(*,116) STOP 3002 CONTINUE NRES=I NN=NN+1


NNN(NN)=NN ARES(NN)='110001' X(NN)=X(I) Y(NN)=Y(I)-1.0 NV=NV+1 NNV(NV)=NV INI(NV)=NN IFI(NV)=NNN(I) NPRO(NV)=99 NMAT(NV)=99 AVRES(NV)=' '

NNM=NNM+1 NPR=NPR+1 NM(NNM)=99 NPRP(NPR)=99

TE(NNM)=1.0 TGE(NNM)=1.0 TDEN(NNM)=0.0 DAMP(NNM)=1.0 TA(NPR)=0.0 TAV(NPR)=0.0 TAIZ(NPR)=0.0

GO TO 200 ELSEIF(REG(1:4).EQ.'PESO') THEN READ(REG,104) NP,PPX,PPY,PPMZ

DO 210 I=1,NN IF(NP.EQ.NNN(I)) THEN NW=I*3-2 AM(NW)=PPX NW=NW+1 AM(NW)=PPY NW=NW+1 AM(NW)=PPMZ GO TO 200 ENDIF 210 CONTINUE WRITE(*,108) STOP ELSEIF(REG(1:4).EQ.'VIGA') THEN NV=NV+1 READ(REG,105) NNV(NV),INI(NV),IFI(NV),NPRO(NV),NMAT(NV),AVRES(NV)

GO TO 200 ELSEIF(REG(1:9).EQ.'PROPIEDAD') THEN NPR=NPR+1 READ(REG,117) NPRP(NPR),TA(NPR),TAV(NPR),TAIZ(NPR)

GO TO 200 ENDIF GO TO 200

300 CONTINUE


CC FORMACION DE MATRIZ DE CADA ELEMENTO VIGAC

DO 310 I=1,NV

IIN=INI(I) IIF=IFI(I) DO 315 J=1,NN IF(IIN.EQ.NNN(J)) THEN IIN=J GO TO 316 ENDIF 315 CONTINUE NE=315 WRITE(*,107) NE STOP

316 CONTINUE DO 317 J=1,NN IF(IIF.EQ.NNN(J)) THEN IIF=J GO TO 318 ENDIF 317 CONTINUE NE=317 WRITE(*,107) NE STOP 318 CONTINUE XX1=X(IIN) YY1=Y(IIN) XX2=X(IIF) YY2=Y(IIF)

AL=SQRT((XX1-XX2)**2+(YY1-YY2)**2) ALOX=(XX2-XX1)/AL AMOX=(YY2-YY1)/AL ALOY=-(YY2-YY1)/AL AMOY=ALOX

DO 371 IJK=1,NNM IF(NM(IJK).EQ.NMAT(I)) THEN E=TE(IJK) GE=TGE(IJK) DEN=TDEN(IJK) DAM=DAMP(IJK) GO TO 372 ENDIF 371 CONTINUE WRITE(*,107) 372 CONTINUE DO 381 IJK=1,NPR IF(NPRP(IJK).EQ.NPRO(I)) THEN A=TA(IJK) AV=TAV(IJK) AIZ=TAIZ(IJK) GO TO 382


ENDIF 381 CONTINUE WRITE(*,107) 382 CONTINUE

PAD=AL*DEN*A/2.0 NW=IIN*3-2 AM(NW)=AM(NW)+PAD NW=NW+1 AM(NW)=AM(NW)+PAD NW=IIF*3-2 AM(NW)=AM(NW)+PAD NW=NW+1 AM(NW)=AM(NW)+PAD

IF(AV.EQ.0.0) THEN PHY=0.0 ELSE PHY=12.*E*AIZ/(GE*AV*AL**2) ENDIF

AKV(1,1)=E*A/AL AKV(4,1)=-AKV(1,1) AKV(2,2)=12.*E*AIZ/(AL**3*(1.+PHY)) AKV(3,2)=AKV(2,2)*AL/2. AKV(5,2)=-AKV(2,2) AKV(6,2)=AKV(3,2) AKV(3,3)=(4.+PHY)*E*AIZ/(AL*(1+PHY)) AKV(5,3)=-AKV(3,2) AKV(6,3)=(2.-PHY)*E*AIZ/(AL*(1.+PHY)) AKV(4,4)=AKV(1,1) AKV(5,5)=AKV(2,2) AKV(6,5)=AKV(5,3) AKV(6,6)=AKV(3,3)

AKV(1,4)=AKV(4,1) AKV(2,3)=AKV(3,2) AKV(2,5)=AKV(5,2) AKV(2,6)=AKV(6,2) AKV(3,5)=AKV(5,3) AKV(3,6)=AKV(6,3) AKV(5,6)=AKV(6,5)

READ(AVRES(I),106) NR1,NR2,NR3,NR4,NR5,NR6 IF(NR3.EQ.1) THEN AKV(3,2)=0.0 AKV(3,3)=0.0 AKV(3,5)=0.0 AKV(3,6)=0.0 ENDIF IF(NR6.EQ.1) THEN AKV(6,2)=0.0 AKV(6,3)=0.0 AKV(6,5)=0.0 AKV(6,6)=0.0 ENDIF


WRITE(12) NNV(I),IIN,IIF,DAM DO 320 J=1,6 320 WRITE(12)AKV(J,1),AKV(J,2),AKV(J,3),AKV(J,4),AKV(J,5),AKV(J,6)

ALB(1,1)=ALOX ALB(1,2)=AMOX ALB(2,1)=ALOY ALB(2,2)=AMOY ALB(3,3)=1. ALB(4,4)=ALB(1,1) ALB(4,5)=ALB(1,2) ALB(5,4)=ALB(2,1) ALB(5,5)=ALB(2,2) ALB(6,6)=ALB(3,3)

DO 322 J=1,6 322 WRITE(12)ALB(J,1),ALB(J,2),ALB(J,3),ALB(J,4),ALB(J,5), +ALB(J,6)

DO 321 J=1,6 DO 321 K=1,6 ALBT(J,K)=ALB(K,J) AKV1(J,K)=0.0 AKV2(J,K)=0.0 321 CONTINUE

DO 331 J=1,6 DO 331 K=1,6 DO 331 L=1,6 331 AKV1(J,K)=AKV1(J,K)+ALBT(J,L)*AKV(L,K) DO 332 J=1,6 DO 332 K=1,6 DO 332 L=1,6 332 AKV2(J,K)=AKV2(J,K)+AKV1(J,L)*ALB(L,K)

INK(1)=IIN*3-2 INK(2)=IIN*3-1 INK(3)=IIN*3 INK(4)=IIF*3-2 INK(5)=IIF*3-1 INK(6)=IIF*3

DO 350 J=1,6 NK1=INK(J) DO 350 K=1,6 NK2 =INK(K)

AKG(NK1,NK2)=AKG(NK1,NK2)+AKV2(J,K) 350 CONTINUE

310 CONTINUE

NN3=NN*3

DO 400 I=1,NN

READ(ARES(I),109) NRX,NRY,NRZ


IF(NRX.EQ.1) THEN NJ=I*3-2 NR(NJ)=NRX ENDIF IF(NRY.EQ.1) THEN NJ=I*3-1 NR(NJ)=NRY ENDIF IF(NRZ.EQ.1) THEN NJ=I*3 NR(NJ)=NRZ ENDIF

400 CONTINUE

IF(NRES.NE.0) THEN NRX=NRES*3-2 NRY=NRES*3-1 NRZ=NRES*3

IF(RESX.GT.0.0) THEN AKG(NRX,NRX)=AKG(NRX,NRX)+RESX ENDIF IF(RESY.GT.0.0) THEN AKG(NRY,NRY)=AKG(NRY,NRY)+RESY ENDIF IF(RESZ.GT.0.0) THEN AKG(NRZ,NRZ)=AKG(NRZ,NRZ)+RESZ ENDIF ENDIF

C REDUCCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

NJ=0 DO 450 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.0) THEN NJ=NJ+1 NK=0 ELSE GO TO 450 ENDIF DO 455 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.0) THEN NK=NK+1 AK(NJ,NK)=AKG(I,J) ELSE GO TO 455 ENDIF 455 CONTINUE 450 CONTINUE

IF(ITIPO.EQ.1) GO TO 998

C VERIFICACION SI SE NECESITA CONDENSAR LA MATRIZ

DO 490 I=1,NN3


IF(NR(I).EQ.0.AND.AM(I).EQ.0.0) THEN GO TO 996 ENDIF 490 CONTINUE

GO TO 998

996 CONTINUE CALL CONDENSA(NN3,NJ,G)

GO TO 999

998 CONTINUE

WRITE(11) NJ,G DO 500 I=1,NJ 500 WRITE(11) (AK(I,J),J=1,NJ)

IF(ITIPO.EQ.1) GO TO 995 999 CONTINUE

DO 501 I=1,NN3 IF(AM(I).NE.0.0) THEN NMA=NMA+1 AMM(NMA,NMA)=AM(I)/G ENDIF 501 CONTINUE

DO 502 I=1,NMA 502 WRITE(11) (AMM(I,J),J=1,NMA)

995 CONTINUE WRITE(11) NN3,NN,NV DO 503 I=1,NN3 WRITE(11) NR(I) 503 CONTINUE DO 504 I=1,NN3 504 WRITE(11) AM(I) DO 505 I=1,NN 505 WRITE(11) NNN(I)

DO 510 I=1,NN3 510 WRITE(11) (AKG(I,J),J=1,NN3)

100 FORMAT(A80) 101 FORMAT(10X,E13.6) 102 FORMAT(10X,I2,4E13.6) 103 FORMAT(10X,I2,4X,A6,3X,2E13.6) 104 FORMAT(10X,I2,3E13.6) 105 FORMAT(6X,I2,2X,I2,2X,I2,2X,I2,2X,I2,2X,A6) 106 FORMAT(6I1) 107 FORMAT(34H * * ERROR EN DATOS DE ENTRADA * *,I3) 108 FORMAT(34H * * NO ENCONTRO NODO CARGADO * *) 109 FORMAT(2I1,3X,I1) 110 FORMAT(I5,E13.6) 111 FORMAT(6E13.6) 112 FORMAT(8HELEMENTO,1X,I2,1X,I2,1X,I2,1X,I2,1X,I2)


113 FORMAT(///,1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,////) 114 FORMAT(10X,I2,3E13.6) 115 FORMAT(10X,A70) 116 FORMAT(1X,22HNO ENCONTRO EL RESORTE) 117 FORMAT(10X,I2,3E13.6) END

CONDENSA.FOR

$LARGE$DEBUG SUBROUTINE CONDENSA(NN3,NJ,G)CC PROGRAMA PARA CONDENSAR LA MATRIZ DE RIGIDEZC DIMENSION AK(70,70) DIMENSION A(70,70),B(70,70),D(70,70) DIMENSION E(70,70),F(70,70) DIMENSION EM(70,70) DIMENSION AME(70,70),AI(70,70) DIMENSION NR(150),AM(150),N(70),NMAS(150) COMMON/INVM/AME,AI COMMON/RIGI/AK COMMON/CONDE/NR,AM

WRITE(21,101) DO 600 I=1,NJ WRITE(21,108) I DO 610 J=NJ,1,-1 IF(AK(I,J).NE.0.0) THEN WRITE(21,112) (AK(I,K),K=I,J) GO TO 600 ENDIF 610 CONTINUE 600 CONTINUE

CC FORMACION DE MATRICESC DO 300 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.0) THEN


JJ=JJ+1 IF(AM(I).EQ.0.0) THEN NC=NC+1 N(NC)=JJ ELSE NM=NM+1 NMAS(NM)=JJ ENDIF ENDIF 300 CONTINUE

DO 301 I=1,NC K=N(I) DO 301 J=1,NC L=N(J) AME(I,J)=AK(K,L) 301 CONTINUE

DO 302 I=1,NM K=NMAS(I) DO 302 J=1,NM L=NMAS(J) F(I,J)=AK(K,L) 302 CONTINUE

WRITE(21,103) DO 803 I=1,NC WRITE(21,108) I 803 WRITE(21,111) (AME(I,J),J=1,NC)

NM=NJ-NC

C B(NC,NM)

DO 311 I=1,NC K=N(I) JJ=0 DO 312 J=1,NJ

DO 313 L=1,NC IF(N(L).EQ.J) GO TO 312 313 CONTINUE JJ=JJ+1 B(I,JJ)=AK(K,J)

312 CONTINUE 311 CONTINUE

WRITE(21,104) DO 804 I=1,NC WRITE(21,108) I 804 WRITE(21,111) (B(I,J),J=1,NM)

C A(NM,NC)

DO 321 I=1,NC


K=N(I) JJ=0 DO 322 J=1,NJ

DO 323 L=1,NC IF(N(L).EQ.J) GO TO 322 323 CONTINUE JJ=JJ+1 A(JJ,I)=AK(J,K)


WRITE(21,105) DO 805 I=1,NM WRITE(21,108) I 805 WRITE(21,111) (A(I,J),J=I,NC)

C INVERTIR MATRIZ C

IF(NC.EQ.1) THEN AI(1,1)=1./AME(1,1) GO TO 400 ENDIF

CALL INVMAT(NC)

400 CONTINUE

C MULTIPLICACION DE MATRIZ -AI(NC,NC) X B(NC,NM)

WRITE(22) NC,NM

DO 701 I=1,NC DO 701 J=1,NM DO 701 K=1,NC 701 EM(I,J)=EM(I,J)-AI(I,K)*B(K,J)

DO 702 I=1,NC DO 702 J=1,NM 702 WRITE(22) EM(I,J)

WRITE(21,109) DO 703 I=1,NC WRITE(21,108) I 703 WRITE(21,111) (EM(I,J),J=1,NM)

C MULTIPLICACION DE MATRIZ A(NM,NC) x AI(NC,NC) = D(NM,NC)

DO 411 I=1,NM DO 411 J=1,NC DO 411 K=1,NC 411 D(I,J)=D(I,J)+A(I,K)*AI(K,J)

C MULTIPLICACION D(NM,NC) X B(NC,NM) = E(NM,NM)

DO 412 I=1,NM


DO 412 J=1,NM DO 412 K=1,NC 412 E(I,J)=E(I,J)+D(I,K)*B(K,J)

C RESTA DE MATRIZ

WRITE(21,106) DO 806 I=1,NM WRITE(21,108) I 806 WRITE(21,111) (F(I,J),J=1,NM)

DO 601 I=1,NM DO 601 J=1,NM 601 F(I,J)=F(I,J)-E(I,J) WRITE(21,107) WRITE(11) NM,G DO 807 I=1,NM WRITE(21,108) I WRITE(21,111) (F(I,J),J=I,NM) WRITE(11) (F(I,J),J=1,NM) 807 CONTINUE

RETURN

101 FORMAT(40H MATRIZ PRINCIPAL ) 103 FORMAT(40H MATRIZ A INVERTIR ) 104 FORMAT(40H MATRIZ ABAJO ) 105 FORMAT(40H MATRIZ A UN LADO ) 106 FORMAT(40H MATRIZ REDUCIDA ) 107 FORMAT(40H MATRIZ DE RIGIDEZ FINAL ) 108 FORMAT(6H FILA ,I4) 109 FORMAT(40H MATRIZ EM ) 111 FORMAT(6E13.6) 112 FORMAT(4(E16.9,3X)) END

INVMAT.FOR

$LARGE$DEBUG SUBROUTINE INVMAT(MM)CC SUBRUTINA PARA INVERTIR MATRICESC METODO DE CHOLESKIC DIMENSION AME(70,70),AL(70,70),AU(70,70),AM(70,70) DIMENSION AN(70,70),AI(70,70) COMMON/INVM/AME,AI DO 200 I=1,MM DO 200 J=1,MM FM=0.0 IF(I.LT.J) GO TO 270 K=J-1 IF(K.EQ.0) GO TO 250


DO 240 IR=1,K 240 FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM 250 AL(I,J)=AME(I,J)-FM GO TO 200 270 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 320 DO 310 IR=1,K 310 FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM 320 AU(I,J)=(AME(I,J)-FM)/AL(I,I) 200 CONTINUE DO 210 I=1,MM 210 AU(I,I)=1.0 DO 400 I=1,MM DO 400 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 450 IF(I.GT.J) GO TO 470 AM(I,J)=0.0 GO TO 400 450 AM(I,J)=1.0/AL(I,J) GO TO 400 470 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 520 DO 510 IR=1,K 510 FM=AL(I,IR)*AM(IR,J)+FM 520 AM(I,J)=-FM/AL(I,I) 400 CONTINUE DO 700 I=1,MM DO 700 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 620 IF(I.LT.J) GO TO 640 AN(I,J)=0.0 GO TO 700 620 AN(I,J)=1.0 GO TO 700 640 K=J-1 IF(K.EQ.0) GO TO 690 DO 680 IR=1,K 680 FM=AN(I,IR)*AU(IR,J)+FM 690 AN(I,J)=-FM 700 CONTINUE DO 800 I=1,MM DO 800 J=1,MM DO 800 K=1,MM 800 AI(I,J)=AN(I,K)*AM(K,J)+AI(I,J) RETURN END

MODOS.FOR

$LARGE$DEBUG INTERFACE TO SUBROUTINE TIME (N,STR)


CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END INTERFACE TO SUBROUTINE DATE (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END PROGRAM MODOSCC PROGRAMA PARA DETERMINAR LOS MODOS DE VIBRACION DE UNA ESTRUCTURAC DIMENSION AK(70,70),AM(70,70),A(70,70),VA(70,70),V(70,70) DIMENSION AME(70,70),AI(70,70),VX(70,70),VY(70,70),RG(70,70) DIMENSION FPX(70),FPY(70),PMX(70),PMY(70),AMX(70),AMY(70) DIMENSION NR(150),AM2(150),NNN(50),NC(150),EM(70,70),VV(150,70) CHARACTER*80 REG CHARACTER*10 TSTR,DSTR COMMON/A/A,VA COMMON/INVM/AME,AI PHI=3.1415927

WRITE(6,116)

CALL DATE (10,DSTR) CALL TIME (10,TSTR) WRITE (6,118) DSTR,TSTR

190 READ(1,117,END=191) REG WRITE(6,117) REG GO TO 190 191 CONTINUE

READ(11) N,G

DO 200 I=1,N 200 READ(11) (AK(I,J),J=1,N)

DO 201 I=1,N READ(11) (AM(I,J),J=1,N) 201 CONTINUE READ(11) NN3,NN,NV DO 202 I=1,NN3 202 READ(11) NR(I) DO 203 I=1,NN3 203 READ(11) AM2(I) DO 204 I=1,NN 204 READ(11) NNN(I)

WRITE(13) N,NN,NV,NN3,G

DO 301 I=1,N DO 301 J=1,N 301 AME(I,J)=SQRT(AM(I,J))

CALL INVMAT(N)

DO 305 I=1,N


DO 305 J=1,N DO 305 K=1,N 305 A(I,J)=A(I,J)+AI(I,K)*AK(K,J)

DO 306 I=1,N DO 306 J=1,N DO 306 K=1,N 306 V(I,J)=V(I,J)+A(I,K)*AI(K,J)

DO 307 I=1,N DO 307 J=1,N A(I,J)=V(I,J) V(I,J)=0.0 307 CONTINUE

CALL JACOBI(N)

DO 451 I=1,N DO 451 J=1,N DO 451 K=1,N 451 V(I,J)=V(I,J)+AI(I,K)*VA(K,J)

C ACOMODO DE EIGENVECTORS

DO 560 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.1) THEN NC(I)=1 ENDIF IF(NR(I).EQ.0.AND.AM2(I).GT.0.0) THEN NC(I)=2 ENDIF IF(NR(I).EQ.0.AND.AM2(I).EQ.0.0) THEN NC(I)=3 ICLA=1 ENDIF 560 CONTINUE

IF(ICLA.EQ.1) THEN READ(22) I1,I2 DO 565 I=1,I1 DO 565 J=1,I2 565 READ(22) EM(I,J) ENDIF

DO 570 I=1,N II=0 JJ=0 DO 580 J=1,NN3,3

C DIRECCION X

IF(NC(J).EQ.1) THEN VV(J,I)=0.0 GO TO 581 ENDIF

IF(NC(J).EQ.2) THEN


JJ=JJ+1 VV(J,I)=V(JJ,I) GO TO 581 ENDIF

IF(NC(J).EQ.3) THEN II=II+1 DO 583 K=1,I2 583 VV(J,I)=VV(J,I)+EM(II,K)*V(K,I) ENDIF

C DIRECCION Y

581 CONTINUE

IF(NC(J+1).EQ.1) THEN VV(J+1,I)=0.0 GO TO 582 ENDIF

IF(NC(J+1).EQ.2) THEN JJ=JJ+1 VV(J+1,I)=V(JJ,I) GO TO 582 ENDIF

IF(NC(J+1).EQ.3) THEN II=II+1 DO 584 K=1,I2 584 VV(J+1,I)=VV(J+1,I)+EM(II,K)*V(K,I) ENDIF

C DIRECCION Z

582 CONTINUE

IF(NC(J+2).EQ.1) THEN VV(J+2,I)=0.0 GO TO 580 ENDIF

IF(NC(J+2).EQ.2) THEN JJ=JJ+1 VV(J+2,I)=V(JJ,I) GO TO 580 ENDIF

IF(NC(J+2).EQ.3) THEN II=II+1 DO 585 K=1,I2 585 VV(J+2,I)=VV(J+2,I)+EM(II,K)*V(K,I) ENDIF

580 CONTINUE

570 CONTINUE


C NORMALIZACION DE EIGENVECTORS A 1

DO 500 J=1,N VMAX=ABS(VV(1,J)) II=0 DO 501 I=2,NN3 IF(ABS(VV(I,J)).GT.VMAX) THEN VMAX=ABS(VV(I,J)) ENDIF 501 CONTINUE

DO 502 I=1,NN3 VV(I,J)=VV(I,J)/VMAX 502 CONTINUE

DO 503 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.0.AND.AM2(I).GT.0.0) THEN II=II+1 V(II,J)=VV(I,J) ENDIF 503 CONTINUE

500 CONTINUE

CC COLOCACION DE EIGENVALUES POR ORDENC

II=0 DO 552 I=1,N-1 II=II+1

DO 553 J=II,N IF(A(I,I).LE.A(J,J)) GO TO 553 TOMA=A(I,I) A(I,I)=A(J,J) A(J,J)=TOMA

DO 557 K=1,NN3 TOMA=VV(K,I) VV(K,I)=VV(K,J) VV(K,J)=TOMA 557 CONTINUE DO 558 K=1,N TOMA=V(K,I) V(K,I)=V(K,J) V(K,J)=TOMA 558 CONTINUE

553 CONTINUE

552 CONTINUE

C IMPRESION DE EIGENVALUES

WRITE(6,103) DO 555 I=1,N


OME=SQRT(A(I,I)) FRE=OME/(2.*PHI) WRITE(6,104) I,A(I,I),OME,FRE WRITE(13) A(I,I) 555 CONTINUE

C IMPRESION DE EIGENVECTORS

DO 591 I=1,N WRITE(6,105) I KK=0 DO 590 J=1,NN3,3 KK=KK+1 WRITE(6,104) NNN(KK),VV(J,I),VV(J+1,I),VV(J+2,I) 590 CONTINUE 591 CONTINUE

DO 595 I=1,N DO 595 J=1,NN3 595 WRITE(13) VV(J,I)

CC FACTORES DE PARTICIPACION Y PESO MODALCC MASA GENERALIZADA AME(I,I)C PESO GENERALIZADO AI(I,I)C DO 701 I=1,N DO 701 J=1,N AME(I,J)=0.0 AI(I,J)=0.0 701 CONTINUE

DO 702 I=1,N

DO 703 J=1,N AME(I,I)=AME(I,I)+AM(J,J)*V(J,I)**2 703 CONTINUE AI(I,I)=AME(I,I)*G 702 CONTINUE

DO 721 I=1,N DO 721 J=1,NN3,3 FPX(I)=FPX(I)+AM2(J)*VV(J,I)/G FPY(I)=FPY(I)+AM2(J+1)*VV(J+1,I)/G 721 CONTINUE

WRITE(6,107) DO 705 I=1,N FPX(I)=FPX(I)/AME(I,I) PMX(I)=AME(I,I)*G*FPX(I)**2 FPY(I)=FPY(I)/AME(I,I) PMY(I)=AME(I,I)*G*FPY(I)**2 WRITE(13) FPX(I) WRITE(6,108) I,FPX(I),PMX(I),FPY(I),PMY(I) 705 CONTINUE


WRITE(6,109) DO 801 I=1,N WRITE(6,102) AME(I,I),AI(I,I) WRITE(13) FPY(I) 801 CONTINUE

DO 1204 I=1,NN 1204 WRITE(13) NNN(I) DO 1206 I=1,N 1206 WRITE(13) AME(I,I) DO 1208 I=1,NN3 1208 WRITE(13) NR(I)

C CALCULO DE RIGIDEZ GENERALIZADA

DO 811 I=1,N DO 811 J=1,N VA(I,J)=0.0 AI(I,J)=V(J,I) 811 CONTINUE DO 812 I=1,N DO 812 J=1,N DO 812 K=1,N 812 RG(I,J)=RG(I,J)+AI(I,K)*AK(K,J)

DO 813 I=1,N DO 813 J=1,N DO 813 K=1,N 813 VA(I,J)=VA(I,J)+RG(I,K)*V(K,J) WRITE(6,110) DO 814 I=1,N 814 WRITE(6,102) VA(I,I)CC MODOS NORMALIZADOS V X M X V = IC DO 880 I=1,N DO 880 J=1,N 880 VA(I,J)=0.0 DO 881 I=1,N DO 881 J=1,N VA(J,I)=V(J,I)/SQRT(AME(I,I)) 881 CONTINUE

DO 895 I=1,N WRITE(6,111) I DO 895 J=1,N WRITE(6,102) VA(J,I) 895 CONTINUE

C VERIFICACION DE MODOS NORMALIZADOS

DO 783 I=1,N DO 783 J=1,N AI(I,J)=0.0 AME(I,J)=0.0 783 CONTINUE DO 785 I=1,N


DO 785 J=1,N DO 785 K=1,N 785 AI(I,J)=AI(I,J)+VA(K,I)*AM(K,J) DO 786 I=1,N DO 786 J=1,N DO 786 K=1,N 786 AME(I,J)=AME(I,J)+AI(I,K)*VA(K,J)

DO 787 I=1,N 787 WRITE(*,114) I,AME(I,I)

DO 788 I=1,N DO 788 J=1,N AI(I,J)=0.0 AME(I,J)=0.0 788 CONTINUE DO 789 I=1,N DO 789 J=1,N DO 789 K=1,N 789 AI(I,J)=AI(I,J)+VA(K,I)*AK(K,J) DO 790 I=1,N DO 790 J=1,N DO 790 K=1,N 790 AME(I,J)=AME(I,J)+AI(I,K)*VA(K,J)

DO 791 I=1,N 791 WRITE(*,115) I,A(I,I),AME(I,I)

C VERIFICACION AK*V = AM*V*A

DO 599 I=1,N VER=0.0

DO 600 J=1,N DO 600 K=1,N VER=VER+AK(I,K)*V(K,J) 600 CONTINUE

WRITE(6,106) I,VER 599 CONTINUE

DO 601 I=1,N VER=0.0

DO 602 J=1,N DO 602 K=1,N VER=VER+AM(I,K)*V(K,J)*A(J,J) 602 CONTINUE

WRITE(6,106) I,VER 601 CONTINUE

101 FORMAT(I5,E13.6) 102 FORMAT(6E13.6) 103 FORMAT(6X,4HMODO,4X,10HEIGENVALUE,4X,5HOMEGA, +5X,10HFRECUENCIA) 104 FORMAT(5X,I5,3E13.6)


105 FORMAT(11HEIGENVECTOR,4X,I5) 106 FORMAT(19H VERIFICACION MODO ,I2,E13.6) 107 FORMAT(6X,4HMODO,2X,12HFAC. PARTICI,4X,10HPESO MODAL) 108 FORMAT(5X,I5,13H DIRECCION X ,2E13.6,13H DIRECCION Y ,2E13.6) 109 FORMAT(24HMASA Y PESO GENERALIZADO) 110 FORMAT(20HRIGIDEZ GENERALIZADA) 111 FORMAT(28HEIGENVECTOR NORMALIZADO NO. ,I2) 112 FORMAT(4HMODO,2X,I2,2X,11HVERIFICA = ,F10.5) 113 FORMAT(F13.10) 114 FORMAT(1X,4HMODO,1X,I3,1X,13HVERIFICA 1 = ,F10.5) 115 FORMAT(1X,4HMODO,1X,I3,1X,8HVERIFICA,1X,2E13.6) 116 FORMAT(1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,/) 117 FORMAT(A80) 118 FORMAT(//,28X,20H MODULO MODOS,5X,A10,5X,A10,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* MODOS.FOR 9445 28/07/98 *,/,5X +33H* INVMAT.FOR 1593 25/07/97 *,/,5X, +33H* JACOBI.FOR 2668 26/08/97 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) END

JACOBI.FOR

$DEBUG$LARGE SUBROUTINE JACOBI(N)CC PROGRAMA PARA OBTENER LOS EIGENVALUES Y EIGENVECTORS DE UNAC MATRIZ SIMETRICA POR EL METODO DE JACOBIC DIMENSION A(70,70),B(70,70),V(70,70),VA(70,70) DIMENSION AMUL(70,70),BMUL(70,70),CMUL(70,70) COMMON/A/A,VA

PHI=3.1415927 NC=1 209 CONTINUE WRITE(*,101) NC C=0.0 DO 210 I=1,N-1 DO 210 J=I+1,N


IF(ABS(C).LT.ABS(A(I,J))) THEN C=A(I,J) II=I JJ=J ENDIF 210 CONTINUE

C=A(II,II)-A(JJ,JJ) IF(C.EQ.0) THEN

IF(A(II,JJ).GT.0.0) THEN TETA=PHI/4. ELSE TETA=PHI*3./4. ENDIF

GO TO 300 ENDIF

CC=2.*A(II,JJ)/C TETA=ATAN(CC) TETA=TETA/2.

300 CONTINUE

DO 309 I=1,N DO 309 J=1,N 309 B(I,J)=0.0

DO 310 I=1,N 310 B(I,I)=1.0

B(II,II)=COS(TETA) B(JJ,JJ)=COS(TETA) B(II,JJ)=-SIN(TETA) B(JJ,II)=SIN(TETA)

IF(NC.EQ.1) THEN

DO 351 I=1,N DO 351 J=1,N 351 VA(I,J)=B(I,J)

ELSE

DO 352 I=1,N DO 352 J=1,N 352 V(I,J)=0.0

DO 353 I=1,N DO 353 J=1,N DO 353 K=1,N 353 V(I,J)=V(I,J)+VA(I,K)*B(K,J)

DO 354 I=1,N DO 354 J=1,N 354 VA(I,J)=V(I,J)


ENDIF

DO 321 I=1,N DO 321 J=1,N CMUL(I,J)=0.0 321 CONTINUE

DO 320 I=1,N DO 320 J=1,N AMUL(I,J)=B(I,J) BMUL(I,J)=A(I,J) 320 CONTINUE

CC FORMACION DE MATRIZ A TRANSPUESTAC DO 9200 I=1,N DO 9200 J=1,N CMUL(J,I)=AMUL(I,J) B(I,J)=0.0 9200 CONTINUECC MULTIPLICACION DE MATRIZ A TRANSPUESTA POR MATRIZ B

DO 9300 I=1,N DO 9300 J=1,N DO 9300 K=1,N 9300 B(I,J)=B(I,J)+CMUL(I,K)*BMUL(K,J)

CC BORRADO DE MATRIZ A TRANSPUESTAC

DO 9400 I=1,N DO 9400 J=1,N 9400 CMUL(I,J)=0.0

CC MULTIPLICACION DE RESULTADO POR MATRIZ AC

DO 9500 I=1,N DO 9500 J=1,N DO 9500 K=1,N 9500 CMUL(I,J)=CMUL(I,J)+B(I,K)*AMUL(K,J)

NC=NC+1

DO 330 I=1,N DO 330 J=1,N A(I,J)=CMUL(I,J) 330 CONTINUE

C=0.0 DO 340 I=1,N-1 DO 340 J=I+1,N


IF(ABS(C).LT.ABS(A(I,J))) THEN C=A(I,J) ENDIF 340 CONTINUE

D=A(1,1) DO 350 I=2,N IF(D.LT.A(I,I)) THEN D=A(I,I) ENDIF 350 CONTINUE

DD=D/ABS(C) IF(DD.GT.100000.) GO TO 900

GO TO 209

900 CONTINUE

RETURN 101 FORMAT(5X,23HDYNAFACIL JACOBI CICLO ,I5) END

RESPONDE.FOR

$LARGE$DEBUG INTERFACE TO SUBROUTINE TIME (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END INTERFACE TO SUBROUTINE DATE (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END PROGRAM RESPONDEC DIMENSION FPH(70),FPV(70),OME(70),EIG(70) DIMENSION V(100,70),DH(100,70),DV(100,70),SAH(70),SAV(70) DIMENSION AH(100,70),AV(100,70),AAH(75),AAV(75),AA(75) DIMENSION NNN(50),NC(90),DDF(150),DDFH(150),DDFV(150) DIMENSION FDH(70,80,6),FDV(70,80,6) DIMENSION NNV(80),INI(80),IFI(80) DIMENSION AKV(6,6),ALB(6,6),VV(6),VVV(6),VH(6),VVH(6) CHARACTER*80 REG CHARACTER*6 ARES(50) CHARACTER*10 TSTR,DSTR

COMMON/ESP/OME,SAH,SAV PHI=3.1415927 WRITE(16,116)

CALL DATE (10,DSTR) CALL TIME (10,TSTR)


WRITE (16,121) DSTR,TSTR

190 READ(1,102,END=191) REG WRITE(16,118) REG GO TO 190 191 CONTINUE REWIND(1)

READ(13) N,NN,NV,NN3,G DO 210 I=1,N 210 READ(13) EIG(I)

DO 220 I=1,N DO 220 J=1,NN3 READ(13) V(J,I) 220 CONTINUE

DO 251 I=1,N 251 READ(13) FPH(I) DO 252 I=1,N 252 READ(13) FPV(I)

DO 254 I=1,NN 254 READ(13) NNN(I)

DO 300 I=1,N 300 OME(I)=SQRT(EIG(I))

CALL CURESP(N)

DO 320 I=1,N FRE=OME(I)/(2.*PHI) WRITE(16,117) I,FRE,SAH(I),SAV(I)

C OBTENCION DE DESPLAZAMIENTOS Y ACELERACIONES ES NODOS

DO 320 J=1,NN3 DH(I,J)=FPH(I)*V(J,I)*SAH(I)*G/OME(I)**2 DV(I,J)=FPV(I)*V(J,I)*SAV(I)*G/OME(I)**2 AH(I,J)=FPH(I)*V(J,I)*SAH(I) AV(I,J)=FPV(I)*V(J,I)*SAV(I) 320 CONTINUE

C OBTENCION DE ELEMENTOS MECANICOS EN VIGAS

DO 490 IM=1,N DO 500 I=1,NV

READ(12) IV,IIN,IIF,DAM NNV(I)=IV INI(I)=NNN(IIN) IFI(I)=NNN(IIF) DO 510 J=1,6 510 READ(12) (AKV(J,K),K=1,6) DO 520 J=1,6 520 READ(12) (ALB(J,K),K=1,6)


VH(1)=DH(IM,IIN*3-2) VH(2)=DH(IM,IIN*3-1) VH(3)=DH(IM,IIN*3) VH(4)=DH(IM,IIF*3-2) VH(5)=DH(IM,IIF*3-1) VH(6)=DH(IM,IIF*3) VV(1)=DV(IM,IIN*3-2) VV(2)=DV(IM,IIN*3-1) VV(3)=DV(IM,IIN*3) VV(4)=DV(IM,IIF*3-2) VV(5)=DV(IM,IIF*3-1) VV(6)=DV(IM,IIF*3)

DO 529 J=1,6 VVH(J)=0.0 VVV(J)=0.0 529 CONTINUE

DO 530 J=1,6 DO 530 K=1,6 VVH(J)=VVH(J)+ALB(J,K)*VH(K) VVV(J)=VVV(J)+ALB(J,K)*VV(K) 530 CONTINUE

DO 600 J=1,6 DO 600 K=1,6 FDH(IM,I,J)=FDH(IM,I,J)+AKV(J,K)*VVH(K) FDV(IM,I,J)=FDV(IM,I,J)+AKV(J,K)*VVV(K) 600 CONTINUE

500 CONTINUE REWIND(12) 490 CONTINUE

C COMBINACION MODAL EN NODOS

DO 700 I=1,NN3 DDH=0.0 DDAH=0.0 DDV=0.0 DDAV=0.0 STAH=0.0 STAV=0.0 SPAH=0.0 SPAV=0.0 J=1 710 CONTINUE IF(J.GT.N) GO TO 720 POR=(OME(J+1)-OME(J))/OME(J) IF(POR.LE.0.1) THEN DDAH=DDAH+ABS(DH(J,I))*ABS(DH(J+1,I)) DDAV=DDAV+ABS(DV(J,I))*ABS(DV(J+1,I)) STAH=STAH+ABS(AH(J,I))*ABS(AH(J+1,I)) STAV=STAV+ABS(AV(J,I))*ABS(AV(J+1,I)) J=J+2 ELSE J=J+1


ENDIF GO TO 710

720 CONTINUE

DO 715 J=1,N DDH=DDH+DH(J,I)**2 DDV=DDV+DV(J,I)**2 SPAH=SPAH+AH(J,I)**2 SPAV=SPAV+AV(J,I)**2 715 CONTINUE

DDFH(I)=SQRT(DDH+2.*DDAH) DDFV(I)=SQRT(DDV+2.*DDAV) AAH(I)=SQRT(SPAH+2.*STAH) AAV(I)=SQRT(SPAV+2.*STAV) 700 CONTINUE DO 730 I=1,NN3 DDF(I)=SQRT(DDFH(I)**2+DDFV(I)**2) AA(I)=SQRT(AAH(I)**2+AAV(I)**2) 730 CONTINUE WRITE(16,119) DO 800 JI=1,NN3,3

NJ=NJ+1 800 WRITE(16,110) NNN(NJ),DDF(JI),DDF(JI+1),DDF(JI+2),AA(JI), +AA(JI+1),AA(JI+2)

C COMBINACION MODAL EN VIGAS

WRITE(16,120) DO 808 I=1,NV F1H=0.0 F2H=0.0 F3H=0.0 F4H=0.0 F5H=0.0 F6H=0.0 FA1H=0.0 FA2H=0.0 FA3H=0.0 FA4H=0.0 FA5H=0.0 FA6H=0.0 F1V=0.0 F2V=0.0 F3V=0.0 F4V=0.0 F5V=0.0 F6V=0.0 FA1V=0.0 FA2V=0.0 FA3V=0.0 FA4V=0.0 FA5V=0.0 FA6V=0.0 K=1


803 CONTINUE IF(K.GT.N) GO TO 804 POR=(OME(K+1)-OME(K))/OME(K) IF(POR.LE.0.1) THEN FA1H=FA1H+ABS(FDH(K,I,1))*ABS(FDH(K+1,I,1)) FA2H=FA2H+ABS(FDH(K,I,2))*ABS(FDH(K+1,I,2)) FA3H=FA3H+ABS(FDH(K,I,3))*ABS(FDH(K+1,I,3)) FA4H=FA4H+ABS(FDH(K,I,4))*ABS(FDH(K+1,I,4)) FA5H=FA5H+ABS(FDH(K,I,5))*ABS(FDH(K+1,I,5)) FA6H=FA6H+ABS(FDH(K,I,6))*ABS(FDH(K+1,I,6)) FA1V=FA1V+ABS(FDV(K,I,1))*ABS(FDV(K+1,I,1)) FA2V=FA2V+ABS(FDV(K,I,2))*ABS(FDV(K+1,I,2)) FA3V=FA3V+ABS(FDV(K,I,3))*ABS(FDV(K+1,I,3)) FA4V=FA4V+ABS(FDV(K,I,4))*ABS(FDV(K+1,I,4)) FA5V=FA5V+ABS(FDV(K,I,5))*ABS(FDV(K+1,I,5)) FA6V=FA6V+ABS(FDV(K,I,6))*ABS(FDV(K+1,I,6)) K=K+2 ELSE K=K+1 ENDIF GO TO 803

804 CONTINUE

DO 805 K=1,N F1H=F1H+FDH(K,I,1)**2 F2H=F2H+FDH(K,I,2)**2 F3H=F3H+FDH(K,I,3)**2 F4H=F4H+FDH(K,I,4)**2 F5H=F5H+FDH(K,I,5)**2 F6H=F6H+FDH(K,I,6)**2 F1V=F1V+FDV(K,I,1)**2 F2V=F2V+FDV(K,I,2)**2 F3V=F3V+FDV(K,I,3)**2 F4V=F4V+FDV(K,I,4)**2 F5V=F5V+FDV(K,I,5)**2 F6V=F6V+FDV(K,I,6)**2 805 CONTINUE

F1H=SQRT(F1H+2.*FA1H) F2H=SQRT(F2H+2.*FA2H) F3H=SQRT(F3H+2.*FA3H) F4H=SQRT(F4H+2.*FA4H) F5H=SQRT(F5H+2.*FA5H) F6H=SQRT(F6H+2.*FA6H) F1V=SQRT(F1V+2.*FA1V) F2V=SQRT(F2V+2.*FA2V) F3V=SQRT(F3V+2.*FA3V) F4V=SQRT(F4V+2.*FA4V) F5V=SQRT(F5V+2.*FA5V) F6V=SQRT(F6V+2.*FA6V)

F1=SQRT(F1H**2+F1V**2) F2=SQRT(F2H**2+F2V**2) F3=SQRT(F3H**2+F3V**2) F4=SQRT(F4H**2+F4V**2) F5=SQRT(F5H**2+F5V**2)


F6=SQRT(F6H**2+F6V**2)

WRITE(16,111) NNV(I) WRITE(16,112) INI(I),F1,F2,F3 WRITE(16,112) IFI(I),F4,F5,F6

808 CONTINUE

102 FORMAT(A80) 110 FORMAT(4X,I2,1P3E13.6,3X,1P3E13.6) 111 FORMAT(4HVIGA,6X,I2) 112 FORMAT(13X,I2,5X,1P3E13.6) 116 FORMAT(1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,/) 117 FORMAT(5X,4HMODO,2X,I2,2X,10HFRECUENCIA,1X,E13.6,2X, +22HACELERACION HORIZONTAL,1X,E13.6,2X,20HACELERACION VERTICAL, +1X,E13.6) 118 FORMAT(A80) 119 FORMAT(40H DESPLAZAMIENTOS Y ACELERACION * * * ,//, +7X,4HNODO,8X,1HX,9X,1HY,8X,2HRZ,18X,1HX,9X,1HY,8X,2HRZ,/) 120 FORMAT(24H FUERZAS EN VIGAS * * * ,//,7X,4HVIGA,2X,4HNODO,8X, +5HAXIAL,10X,8HCORTANTE,10X,7HMOMENTO,/) 121 FORMAT(//,28X,20H MODULO RESPONDE,5X,A10,5X,A10,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* RESPONDE.FOR 7844 28/07/98 *,/,5X +33H* CURESP.FOR 3925 26/07/97 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) END

CURESP.FOR

$LARGE$DEBUG SUBROUTINE CURESP(NN) DIMENSION OME(70),SAH(70),SAV(70) DIMENSION FDH(70),ADH(70),FDV(70),ADV(70) CHARACTER*80 REG COMMON/ESP/OME,SAH,SAV

PHI=3.1415927

200 READ(1,101,END=300) REG


IF(REG(1:19).EQ.'ESPECTRO HORIZONTAL') THEN READ(REG,102) NCURH,ITIPO DO 210 I=1,NCURH 210 READ(1,104) FDH(I),ADH(I) IF(ITIPO.NE.0) THEN DO 211 I=1,NCURH 211 FDH(I)=1.0/FDH(I) ENDIF ENDIF IF(REG(1:17).EQ.'ESPECTRO VERTICAL') THEN READ(REG,102) NCURV,ITIPO DO 220 I=1,NCURV 220 READ(1,104) FDV(I),ADV(I) IF(ITIPO.NE.0) THEN DO 221 I=1,NCURV 221 FDV(I)=1.0/FDV(I) ENDIF ENDIF

GO TO 200

300 CONTINUE

C COLOCACION DE FRECUENCIAS EN FORMA ACENDENTE

IF(NCURH.GT.0) THEN

IF(FDH(NCURH).LT.FDH(1)) THEN J=0 DO 301 I=NCURH,1,-1 J=J+1 SAH(J)=FDH(I) SAV(J)=ADH(I) 301 CONTINUE DO 302 I=1,NCURH FDH(I)=SAH(I) ADH(I)=SAV(I) 302 CONTINUE ENDIF DO 303 I=1,NCURH 303 FDH(I)=FDH(I)*2.*PHI ENDIF

IF(NCURV.GT.0) THEN

IF(FDV(NCURV).LT.FDV(1)) THEN J=0 DO 310 I=NCURV,1,-1 J=J+1 SAH(J)=FDV(I) SAV(J)=ADV(I) 310 CONTINUE DO 311 I=1,NCURV FDV(I)=SAV(I) ADV(I)=SAH(I) 311 CONTINUE


ENDIF DO 312 I=1,NCURV FDV(I)=FDV(I)*2.*PHI 312 CONTINUE ENDIF

DO 400 I=1,NN

IF(NCURH.GT.0) THEN

IF(OME(I).LT.FDH(1)) THEN WRITE(*,105) I GO TO 450 ENDIF IF(OME(I).GT.FDH(NCURH)) THEN WRITE(*,105) I GO TO 450 ENDIF

DO 410 J=1,NCURH-1 IF(FDH(J).EQ.OME(I)) THEN SAH(I)=ADH(J) GO TO 450 ELSEIF(OME(I).GT.FDH(J).AND.OME(I).LT.FDH(J+1)) THEN IF(ADH(J+1).GT.ADH(J)) THEN SAH(I)=(LOG10(OME(I))-LOG10(FDH(J)))/ +(LOG10(FDH(J+1))-LOG10(FDH(J)))*(LOG10(ADH(J+1))-LOG10(ADH(J))) ++LOG10(ADH(J)) SAH(I)=10.**(SAH(I)) GO TO 450 ELSEIF(ADH(J+1).LT.ADH(J)) THEN

SAH(I)=(LOG10(FDH(J+1))-LOG10(OME(I)))/ +(LOG10(FDH(J+1))-LOG10(FDH(J)))*(LOG10(ADH(J))-LOG10(ADH(J+1))) ++LOG10(ADH(J+1)) SAH(I)=10.**(SAH(I)) GO TO 450 ELSEIF(ADH(J).EQ.ADH(J+1)) THEN SAH(I)=ADH(J) GO TO 450 ENDIF ENDIF 410 CONTINUE

ENDIF

450 CONTINUE

IF(NCURV.GT.0) THEN

IF(OME(I).LT.FDV(1)) THEN WRITE(*,106) I GO TO 400 ENDIF IF(OME(I).GT.FDV(NCURV)) THEN WRITE(*,106) I GO TO 400


ENDIF

DO 460 J=1,NCURV-1 IF(FDV(J).EQ.OME(I)) THEN SAV(I)=ADV(J) GO TO 400 ELSEIF(OME(I).GT.FDV(J).AND.OME(I).LT.FDV(J+1)) THEN IF(ADV(J+1).GT.ADV(J)) THEN SAV(I)=(LOG10(OME(I))-LOG10(FDV(J)))/ +(LOG10(FDV(J+1))-LOG10(FDV(J)))*(LOG10(ADV(J+1))-LOG10(ADV(J))) ++LOG10(ADV(J)) SAV(I)=10.**(SAV(I)) GO TO 400 ELSEIF(ADV(J+1).LT.ADV(J)) THEN SAV(I)=(LOG10(FDV(J+1))-LOG10(OME(I)))/ +(LOG10(FDV(J+1))-LOG10(FDV(J)))*(LOG10(ADV(J))-LOG10(ADV(J+1))) ++LOG10(ADV(J+1)) SAV(I)=10.**(SAV(I)) GO TO 400 ELSEIF(ADV(J).EQ.ADV(J+1)) THEN SAV(I)=ADV(J) GO TO 400 ENDIF ENDIF 460 CONTINUE

ENDIF

400 CONTINUE

DO 500 I=1,NN FRE=OME(I)/(2.*PHI) WRITE(16,108) FRE,SAH(I),SAV(I) 500 CONTINUE

RETURN

101 FORMAT(A80) 102 FORMAT(20X,2I5) 104 FORMAT(10X,2F10.3) 105 FORMAT(13H * * EL MODO ,I2, +40H ESTA FUERA DEL ESPECTRO HORIZONTAL * * ) 106 FORMAT(13H * * EL MODO ,I2, +40H ESTA FUERA DEL ESPECTRO VERTICAL * * * ) 108 FORMAT(7X,F10.3,2X,F10.3,2X,F10.3) END

CARGAS.FOR

$LARGE$DEBUG INTERFACE TO SUBROUTINE TIME (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE]


END INTERFACE TO SUBROUTINE DATE (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END PROGRAM CARGASCC PROGRAMA PARA INTRODUCIR CARGAS Y OBTENER DESPLAZAMIENTOSC DIMENSION AME(70,70),V(70,10),AI(70,70),D(70,10) DIMENSION NNN(70),NR(70),AM(70) DIMENSION AKV(6,6),ALB(6,6),FD(10,70,6) DIMENSION VV(6),VVV(6),VD(70,10) DIMENSION DES(70),VIG(70,6),FA(10,10) DIMENSION NIV(80),NIIN(80),NIIF(80)

CHARACTER*80 REG CHARACTER*70 TITC(10) CHARACTER*6 ARES(50) CHARACTER*10 TSTR,DSTR COMMON/INVM/AME,AI WRITE(17,116)

CALL DATE (10,DSTR) CALL TIME (10,TSTR) WRITE (17,119) DSTR,TSTR

READ(11) N,G DO 150 I=1,N 150 READ(11) (AME(I,J),J=1,N) READ(11) NN3,NN,NV DO 160 I=1,NN3 160 READ(11) NR(I) DO 170 I=1,NN3 170 READ(11) AM(I) DO 180 I=1,NN 180 READ(11) NNN(I) CALL INVMAT(N)

200 READ(1,100,END=300) REG WRITE(17,100) REG IF(REG(1:10).EQ.'CARGA ') THEN READ(REG,103) NCON

ELSEIF(REG(1:10).EQ.'CARGA NODO') THEN READ(REG,104) NC,NODO,FX,FY,FMZ DO 210 I=1,NN IF(NODO.EQ.NNN(I)) THEN NODO=I GO TO 211 ENDIF 210 CONTINUE STOP 211 CONTINUE II=NODO*3-2 V(II,NC)=V(II,NC)+FX II=NODO*3-1


V(II,NC)=V(II,NC)+FY II=NODO*3 V(II,NC)=V(II,NC)+FMZ

ELSEIF(REG(1:7).EQ.'COMBINA') THEN NCOM=NCOM+1 READ(REG,115) TITC(NCOM) READ(1,114) FA(1,NCOM),FA(2,NCOM),FA(3,NCOM),FA(4,NCOM), + FA(5,NCOM),FA(6,NCOM),FA(7,NCOM),FA(8,NCOM), + FA(9,NCOM),FA(10,NCOM) WRITE(17,114) FA(1,NCOM),FA(2,NCOM),FA(3,NCOM),FA(4,NCOM), + FA(5,NCOM),FA(6,NCOM),FA(7,NCOM),FA(8,NCOM), + FA(9,NCOM),FA(10,NCOM)

ENDIF

GO TO 200

300 CONTINUE

DO 400 I=1,NCON II=0 DO 410 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.0) THEN II=II+1 VD(II,I)=V(J,I) ENDIF 410 CONTINUE 400 CONTINUE

DO 500 I=1,NCON DO 500 J=1,N DO 500 K=1,N 500 D(J,I)=D(J,I)+AI(J,K)*VD(K,I)

DO 600 I=1,NCON II=0 DO 610 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.1) THEN VD(J,I)=0.0 ELSE II=II+1 VD(J,I)=D(II,I) ENDIF 610 CONTINUE 600 CONTINUE

DO 710 I=1,NV

DO 720 J1=1,6 DO 720 J2=1,6 AKV(J1,J2)=0.0 ALB(J1,J2)=0.0 720 CONTINUE

READ(12) IV,IIN,IIF,DAM NIV(I)=IV


NIIN(I)=IIN NIIF(I)=IIF DO 730 J=1,6 READ(12) (AKV(J,K),K=1,6) 730 CONTINUE DO 740 J=1,6 READ(12) (ALB(J,K),K=1,6) 740 CONTINUE

DO 750 IC=1,NCON

VV(1)=VD(IIN*3-2,IC) VV(2)=VD(IIN*3-1,IC) VV(3)=VD(IIN*3,IC) VV(4)=VD(IIF*3-2,IC) VV(5)=VD(IIF*3-1,IC) VV(6)=VD(IIF*3,IC)

DO 760 J=1,6 VVV(J)=0.0 760 CONTINUEC DO 770 J=1,6 DO 770 K=1,6 770 VVV(J)=VVV(J)+ALB(J,K)*VV(K)

DO 780 J=1,6 DO 780 K=1,6 780 FD(IC,I,J)=FD(IC,I,J)+AKV(J,K)*VVV(K) 750 CONTINUE 710 CONTINUE

C COMBINACION DE DESPLAZAMIENTOS

DO 800 I=1,NCOM WRITE(17,108) I WRITE(17,115) TITC(I) DO 805 J=1,NN3 805 DES(J)=0.0 DO 809 J=1,NN3 DO 810 K=1,NCON 810 DES(J)=DES(J)+VD(J,K)*FA(K,I) 809 CONTINUE WRITE(17,109) NUM=0 DO 820 J=1,NN3,3 NUM=NUM+1 820 WRITE(17,110) NNN(NUM),DES(J),DES(J+1),DES(J+2)

WRITE(17,111) DO 830 J=1,NV DO 840 K=1,NCON DO 850 L=1,6 850 VIG(J,L)=VIG(J,L)+FD(K,J,L)*FA(K,I) 840 CONTINUE WRITE(17,118) NIV(J),NIIN(J),VIG(J,1),VIG(J,2),VIG(J,3), + NIIF(J),VIG(J,4),VIG(J,5),VIG(J,6)



100 FORMAT(A80) 101 FORMAT(I5,E13.6) 102 FORMAT(6E13.6) 103 FORMAT(10X,I2) 104 FORMAT(12X,I2,2X,I2,7X,3E13.6) 106 FORMAT(6X,I2,5X,A6) 107 FORMAT(2I1,3X,I1) 108 FORMAT(/,29H **** COMBINACION DE CARGA ,I2,/) 109 FORMAT(24H DESPLAZAMIENTOS * * * ,//,7X,4HNODO,8X,1HX,9X,1HY, +8X,2HRZ,/) 110 FORMAT(8X,I2,5X,3E13.6) 111 FORMAT(24H FUERZAS EN VIGAS * * * ,//,7X,4HVIGA,2X,4HNODO,8X, +5HAXIAL,10X,8HCORTANTE,10X,7HMOMENTO,/) 114 FORMAT(10X,10F5.2) 115 FORMAT(7X,A70) 116 FORMAT(1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,/) 118 FORMAT(8X,I2,4X,I2,4X,3(E13.6,5X),/,14X,I2,4X,3(E13.6,5X)) 119 FORMAT(//,28X,20H MODULO CARGAS,5X,A10,5X,A10,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* CARGAS.FOR 5743 28/07/98 *,/,5X +33H* INVMAT.FOR 1593 25/07/97 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) END

RESHIST.FOR

$LARGE$DEBUG PROGRAM RESHISTCC PROGRAMA PARA OBTENER LA RESPUESTA ESTRUCTURAL A PARTIR DE UNC ACELEROGRAMA BASEC DIMENSION DAM(70),AC(2048) DIMENSION EIG(70),V(70,70),FPH(70),FPV(70),NNN(50) DIMENSION YD(2048),YV(2048),YDT(2048),YVT(2048) DIMENSION YA(2048),YAT(2048) DIMENSION AME(70),NR(100)


COMMON/LAPLA/AC,YD,YV,YA COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM CHARACTER*1 DIR,DDIR

READ(31,101) NM,NT,DELT,DIR,NODO,DDIR READ(31,103) (AC(I),I=1,NT)

READ(13) N,NN,NV,NN3,G DO 200 I=1,N 200 READ(13) EIG(I) DO 201 I=1,N DO 201 J=1,NN3 201 READ(13) V(J,I) DO 202 I=1,N 202 READ(13) FPH(I) DO 203 I=1,N 203 READ(13) FPV(I) DO 204 I=1,NN 204 READ(13) NNN(I) DO 205 I=1,N 205 READ(13) AME(I) DO 206 I=1,NN3 206 READ(13) NR(I)

CALL AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G)

C DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO

DO 221 I=1,NN IF(NNN(I).EQ.NODO) GO TO 223 221 CONTINUE WRITE(*,106) NODO STOP 223 CONTINUE NGL=I*3-3 IF(DDIR.EQ.'X') NGL=NGL+1 IF(DDIR.EQ.'Y') NGL=NGL+2 IF(DDIR.EQ.'Z') NGL=NGL+3

IF(NR(NGL).EQ.1) THEN WRITE(*,107) STOP ENDIF

C RESPUESTA PARA CADA MODO

DO 300 II=1,NM

P=2.0*DAM(II)*SQRT(EIG(II)) Q=EIG(II)

IF(DIR.EQ.'H') THEN FP=-FPH(II) ELSEIF(DIR.EQ.'V') THEN FP=-FPV(II) ENDIF


CALL LAPLACE(P,Q,FP,DELT,NT)

C CALCULO DE RESPUESTA PARA EL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO

YDMAX=0.0 YVMAX=0.0 YAMAX=0.0 DO 320 I=1,NT YDT(I)=YDT(I)+V(NGL,II)*YD(I)*G YVT(I)=YVT(I)+V(NGL,II)*YV(I)*G YAT(I)=YAT(I)+V(NGL,II)*YA(I) IF(ABS(YDT(I)).GT.ABS(YDMAX)) YDMAX=YDT(I) IF(ABS(YVT(I)).GT.ABS(YVMAX)) YVMAX=YVT(I) IF(ABS(YAT(I)).GT.ABS(YAMAX)) YAMAX=YAT(I) 320 CONTINUE

300 CONTINUE

WRITE(32,109) WRITE(32,105) YDMAX,YVMAX,YAMAX

WRITE(32,110) DO 400 I=1,NT WRITE(32,104) XT,YDT(I),YVT(I),YAT(I) XT=XT+DELT 400 CONTINUE WRITE(32,111) NODO,DDIR,NT,DELT DO 401 I=1,NT,8 NIJ=NIJ+1 WRITE(32,108) YAT(I),YAT(I+1),YAT(I+2),YAT(I+3),YAT(I+4), +YAT(I+5),YAT(I+6),YAT(I+7),NIJ 401 CONTINUE

101 FORMAT(2I5,F5.3,4X,A1,I5,4X,A1) 102 FORMAT(16F5.3) 103 FORMAT(8F9.6) 104 FORMAT(4E13.6) 105 FORMAT(2X,24HDESPLAZAMIENTO MAXIMO = ,E13.6,/, +2X,24HVELOCIDAD MAXIMA = ,E13.6, +2X,24HACELERACION MAXIMA = ,E13.6) 106 FORMAT(52H ******* NO ENCONTRO EL NODO PARA LA RESPUESTA *****) 107 FORMAT(52H ******* EL GRADO DE LIBERTADO ESTA RESTRINGIDO ****) 108 FORMAT(8F9.6,I8) 109 FORMAT(18H D I N A F A C I L,/,20X,14HMODULO RESHIST,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* RESHIST.FOR 3372 28/07/98 *,/,5X +33H* LAPLACE.FOR 1121 01/01/98 *,/,5X, +33H* AMORTIG.FOR 2367 28/07/98 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) 110 FORMAT(10H RESPUESTA,/, +7X,6HTIEMPO,7X,6HDESPL.,4X,9HVELOCIDAD,2X,11HACELERACION,/) 111 FORMAT(20HRESPUESTA EN EL NODO,I8,/, +10HDIRECCION ,A1,/, +16HACELEROGRAMA DE ,I8,15H PUNTOS A CADA ,F6.3,9H SEGUNDOS,/////) END


AMORTIG.FOR

$LARGE$DEBUG SUBROUTINE AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G)CC PROGRAMA PARA DETERMINAR EL AMORTIGUAMIENTO MODALC DIMENSION AK(70,70),V(70,70),AME(70),NR(100),VV(70,70) DIMENSION AKA(90,90),NNN(50),DAM(70) DIMENSION AMR(70) DIMENSION NNV(100),AKV(6,6),ALB(6,6),AKV1(6,6),AKV2(6,6) DIMENSION INK(6),ALBT(6,6) COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM

READ(11) NJ,G DO 200 I=1,NJ 200 READ(11) (AK(I,J),J=1,NJ)

DO 300 I=1,N JJ=0 DO 300 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.1) THEN GO TO 300 ELSE JJ=JJ+1 VV(JJ,I)=V(J,I)/SQRT(AME(I)) ENDIF 300 CONTINUE

DO 400 I=1,N DO 400 J=1,N AMR(I)=AMR(I)+AK(J,J)*VV(J,I)**2 400 CONTINUE

C FORMACION DE MATRIZ MULTIPLICADA POR AMORTIGUAMIENTO INDIVIDUAL

DO 500 IVN=1,NV READ(12) NNV(I),IIN,IIF,AMOR IF(AMOR.EQ.0.0) AMOR=0.02 DO 510 J=1,6 510 READ(12)AKV(J,1),AKV(J,2),AKV(J,3),AKV(J,4),AKV(J,5),AKV(J,6) DO 520 J=1,6 520 READ(12)ALB(J,1),ALB(J,2),ALB(J,3),ALB(J,4),ALB(J,5), +ALB(J,6)

DO 530 J=1,6 DO 530 K=1,6 AKV(J,K)=AKV(J,K)*AMOR ALBT(J,K)=ALB(K,J) AKV1(J,K)=0.0 AKV2(J,K)=0.0 530 CONTINUE

DO 535 J=1,6


DO 535 K=1,6 DO 535 L=1,6 535 AKV1(J,K)=AKV1(J,K)+ALBT(J,L)*AKV(L,K) DO 540 J=1,6 DO 540 K=1,6 DO 540 L=1,6 540 AKV2(J,K)=AKV2(J,K)+AKV1(J,L)*ALB(L,K)

INK(1)=IIN*3-2 INK(2)=IIN*3-1 INK(3)=IIN*3 INK(4)=IIF*3-2 INK(5)=IIF*3-1 INK(6)=IIF*3

DO 550 J=1,6 NK1=INK(J) DO 550 K=1,6 NK2 =INK(K)

AKA(NK1,NK2)=AKA(NK1,NK2)+AKV2(J,K) 550 CONTINUE 500 CONTINUE

II=0 JJ=0 DO 600 I=1,N DO 600 J=1,N 600 AK(I,J)=0.0

DO 610 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.1) GO TO 610 II=II+1 JJ=0 DO 620 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.1) GO TO 620 JJ=JJ+1 AK(II,JJ)=AKA(I,J) 620 CONTINUE 610 CONTINUE

DO 700 I=1,N DO 700 J=1,N 700 DAM(I)=DAM(I)+AK(J,J)*VV(J,I)**2

DO 800 I=1,N DAM(I)=DAM(I)/AMR(I) WRITE(35,101) I,DAM(I) 800 CONTINUE RETURN 101 FORMAT(5X,21HAMORTIGUAMIENTO MODAL,2X,I5,2X,E13.6) END


LAPLACE.FOR

$LARGE$DEBUG SUBROUTINE LAPLACE(P,Q,FP,X,NT) DIMENSION A(2,2),AC(2048),YD(2048),YV(2048),YA(2048) COMMON/LAPLA/AC,YD,YV,YA

ALA=P/2.0 D=P**2-4.0*Q W=SQRT(ABS(D))/2.0

C MATRIZ DE TRANSPORTE

IF(D.LT.0.0) THEN A(1,1)=EXP(-ALA*X)*(COS(W*X)+ALA/W*SIN(W*X)) A(1,2)=EXP(-ALA*X)*SIN(W*X)/W A(2,1)=-Q*A(1,2) A(2,2)=A(1,1)-P*A(1,2) ELSE STOP ENDIF

DO 2000 I=2,NT APRO=(AC(I)+AC(I-1))/2.0C DESPLAZAMIENTO YD(I)=A(1,1)*YD(I-1)+A(1,2)*YV(I-1)+FP*APRO/Q*(1.-A(1,1))C VELOCIDAD EXALA=EXP(-ALA*X) SENWX=SIN(W*X) DER=APRO/Q*(W*EXALA*SENWX+ALA**2/W*EXALA*SENWX) YV(I)=A(2,1)*YD(I-1)+A(2,2)*YV(I-1)+FP*DERC ACELERACION COSWX=COS(W*X) YA(I)=-Q*(-ALA*EXALA*SENWX/W+EXALA*COSWX)*YD(I-1) YA(I)=YA(I)-(W*EXALA*SENWX+ALA**2/W*EXALA*SENWX)*YV(I-1) YA(I)=YA(I)-P*(-ALA*EXALA*SENWX/W+EXALA*COSWX)*YV(I-1) YA(I)=YA(I)+FP*APRO/Q*(-ALA*EXALA*SENWX+W*EXALA*COSWX)* +(W+ALA**2/W)

2000 CONTINUE

RETURN END

RESFUER.FOR

$LARGE$DEBUG PROGRAM RESFUERCC PROGRAMA PARA OBTENER LA RESPUESTA ESTRUCTURAL A PARTIR DE UN


C HISTOGRAMA DE FUERZA APLICADO EN UN NODO DE LA ESTRUCTURAC DIMENSION DAM(70),FU(2048) DIMENSION EIG(70),V(70,70),FPH(70),FPV(70),NNN(50) DIMENSION YD(2048),YV(2048),YDT(2048),YVT(2048) DIMENSION YA(2048),YAT(2048) DIMENSION AME(70),VT(70,70),VFA(70),NR(150),FG(70),VFF(70) CHARACTER*1 DIR,DDIR COMMON/LAPLA/FU,YD,YV,YA COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM


READ(33,101) NM,NT,DELT,NNAF,NODO,DDIR

DO 190 II=1,NNAF READ(33,109) NOF,DIR,VF DO 195 I2=1,NN IF(NNN(I2).EQ.NOF) GO TO 196 195 CONTINUE WRITE(*,107) NODO STOP 196 CONTINUE NAF=I2*3-3 IF(DIR.EQ.'X') NAF=NAF+1 IF(DIR.EQ.'Y') NAF=NAF+2 IF(DIR.EQ.'Z') NAF=NAF+3 VFF(NAF)=VF IF(NR(NAF).EQ.1) THEN WRITE(*,108) STOP ENDIF 190 CONTINUE

CALL AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G) READ(33,103) (FU(I),I=1,NT)

C CALCULO DE EIGENVECTOR TRANSPUESTO

DO 220 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.1) GO TO 220 IN=IN+1


VFA(IN)=VFF(I) DO 230 J=1,N 230 VT(IN,J)=V(I,J) 220 CONTINUE

DO 240 I=1,N DO 240 J=1,N 240 VT(I,J)=VT(J,I)

C CALCULO DE FUERZA GENERALIZADA

DO 270 I=1,N DO 270 J=1,N 270 FG(I)=FG(I)+VT(I,J)*VFA(J)

C DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO

DO 281 I=1,NN IF(NNN(I).EQ.NODO) GO TO 283 281 CONTINUE WRITE(*,107) NODO STOP 283 CONTINUE NGL=I*3-3 IF(DDIR.EQ.'X') NGL=NGL+1 IF(DDIR.EQ.'Y') NGL=NGL+2 IF(DDIR.EQ.'Z') NGL=NGL+3

IF(NR(NGL).EQ.1) THEN WRITE(*,108) STOP ENDIF

C RESPUESTA PARA CADA MODO

DO 300 II=1,NM

P=2.0*DAM(II)*SQRT(EIG(II)) Q=EIG(II)

C CALCULO DE FAC = EIGENVECTOR * MASA GENERALIZADA * VECTOR FUERZA

FAC=1.0/AME(II)*FG(II)

CALL LAPLACE(P,Q,FAC,DELT,NT)

C CALCULO DE RESPUESTA PARA EL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO

YDMAX=0.0 YVMAX=0.0 YAMAX=0.0 DO 320 I=1,NT YDT(I)=YDT(I)+V(NGL,II)*YD(I)*G YVT(I)=YVT(I)+V(NGL,II)*YV(I)*G YAT(I)=YAT(I)+V(NGL,II)*YA(I)/G


IF(ABS(YDT(I)).GT.ABS(YDMAX)) YDMAX=YDT(I) IF(ABS(YVT(I)).GT.ABS(YVMAX)) YVMAX=YVT(I) IF(ABS(YAT(I)).GT.ABS(YAMAX)) YAMAX=YAT(I) 320 CONTINUE

300 CONTINUE

WRITE(34,111) WRITE(34,114) DO 1900 II=1,NNAF 1900 WRITE(34,109) NOF,DIR,VF

WRITE(34,105) YDMAX,YVMAX,YAMAX

WRITE(34,112) DO 400 I=1,NT WRITE(34,104) XT,YDT(I),YVT(I),YAT(I) XT=XT+DELT 400 CONTINUE

WRITE(34,113) NODO,DDIR,NT,DELT DO 401 I=1,NT,8 NUM=NUM+1 WRITE(34,110) YAT(I),YAT(I+1),YAT(I+2),YAT(I+3),YAT(I+4), +YAT(I+5),YAT(I+6),YAT(I+7),NUM 401 CONTINUE

101 FORMAT(2I5,F5.3,2I5,4X,A1) 102 FORMAT(16F5.3) 103 FORMAT(8F9.6) 104 FORMAT(4E13.6) 105 FORMAT(2X,24HDESPLAZAMIENTO MAXIMO = ,E13.6,/, +2X,24HVELOCIDAD MAXIMA = ,E13.6, +2X,24HACELERACION MAXIMA = ,E13.6) 106 FORMAT(6E13.6) 107 FORMAT(52H ******* NO ENCONTRO EL NODO PARA LA RESPUESTA *****) 108 FORMAT(52H ******* EL GRADO DE LIBERTADO ESTA RESTRINGIDO ****) 109 FORMAT(I5,4X,A1,E13.6) 110 FORMAT(8F9.6,I8) 111 FORMAT(18H D I N A F A C I L,/,20X,14HMODULO RESFUER,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* RESFUER.FOR 4483 28/07/98 *,/,5X +33H* LAPLACE.FOR 1121 01/01/98 *,/,5X, +33H* AMORTIG.FOR 2367 28/07/98 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) 112 FORMAT(10H RESPUESTA,/, +7X,6HTIEMPO,7X,6HDESPL.,4X,9HVELOCIDAD,2X,11HACELERACION,/) 113 FORMAT(20HRESPUESTA EN EL NODO,I8,/, +10HDIRECCION ,A1,/, +16HACELEROGRAMA DE ,I8,15H PUNTOS A CADA ,F6.3,9H SEGUNDOS,/////) 114 FORMAT(47HEL HISTOGRAMA DE FUERZA SE APLICO EN LOS NODOS:,/, +23H NODO DIR FACTOR) END


AMORTIGU.FOR

$LARGE$DEBUG PROGRAM DAMPINGCC PROGRAMA PARA OBTENER EL AMORTIGUAMIENTO MODALC DIMENSION DAM(70),AC(2048) DIMENSION EIG(70),V(70,70),FPH(70),FPV(70),NNN(50) DIMENSION AME(70),NR(100) COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM


CALL AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G)

END

APENDICE "A"Algebra Matricial Simplificada

¿ QUE ES UNA MATRIZ?

Una matriz es un arreglo de números de "M" filas por "N" columnas; se componede M X N elementos, la posición de un elemento se define por sus subíndices"i" y "j”, donde "i" indica la fila y "j" indica la columna. El orden de unamatriz se define por el numero de filas y columnas, ejemplo:

COLUMNA

1.0 0.0 -3.2

[ M ] = 3.5 4.8 6.0 FILA

0.0 5.3 4.0

La matriz [ M ] es de orden 3 X 3, es decir tiene 3 filas y 3 columnas y 9elementos.

El elemento M11 es igual a 1.0, subíndice "i" = 1 ; "j" = 1El elemento M13 es igual a -3.2, subíndice "i" = 1 ; "j" = 3El elemento M22 es igual a 4.8, subíndice "i" = 2 ; "j" = 2

¿ QUE ES UN VECTOR?

Un vector es una matriz con una sola columna

3.2

V = 4.5

1.3

¿ QUE ES UNA MATRIZ CUADRADA?

Es una matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas.

4.2 5.1 -1.2 0.0

2.2 1.0 8.3 3.1 [ C ] = 0.0 2.1 8.9 5.5

4.3 1.1 9.5 2.9

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA A-2

¿ QUE ES UNA MATRIZ DIAGONAL?

Es una matriz en donde los elementos con subíndice "i" igual al subíndice "j",son diferentes de cero y los demás elementos tienen un valor de cero.

Dij = 0 sí i ≠ j

Dij ≠ 0 sí i=j

Ejemplo

5.3 0.0 0.0 0.0

0.0 4.2 0.0 0.0 [ D ] = 0.0 0.0 3.1 0.0

0.0 0.0 0.0 5.6

La diagonal principal es el conjunto de elementos en donde i=j y para el casodel ejemplo anterior es: 5.3, 4.2, 3.1, y 5.6.

¿ QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?

Es una matriz diagonal en donde todos los elementos de la diagonal principalvalen 1

Mij = 1 sí i = j

Mij = 0 si i ≠ j

Ejemplo :

1.0 0.0 0.0 0.0

0.0 1.0 0.0 0.0 [ I ] = 0.0 0.0 1.0 0.0

0.0 0.0 0.0 1.0

¿ QUE ES UNA MATRIZ TRIANGULAR?

Es una matriz en donde los elementos de un lado de la diagonal principal valencero.

Existen dos tipos de matriz triangular, la matriz triangular superior en dondelos elementos debajo de la diagonal principal valen cero, y la matriztriangular inferior en donde los elementos arriba de la diagonal principalvalen cero, cuando los elementos de la diagonal principal valen uno, la matriz

APENDICE "A" ALGEBRA MATRICIAL A- 3

triangular se denomina matriz unitaria superior o inferior dependiendo delcaso, y se les denota como sigue:

2.0 1.8 3.5 -1.7 3.0 0.0 0.0 0.0

0.0 3.0 -2.0 4.5 2.1 1.3 0.0 0.0 [ AU ] = [ AL ] = 0.0 0.0 7.0 3.1 4.8 2.1 5.6 0.0

0.0 0.0 0.0 1.0 2.6 4.9 5.5 1.9

EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR INFERIOR

1.0 3.0 5.6 7.8 1.0 0.0 0.0 0.0

0.0 1.0 6.8 1.0 3.2 1.0 0.0 0.0 [AU(1)] = [AL(1)] = 0.0 0.0 1.0 8.2 5.6 3.1 1.0 0.0

0.0 0.0 0.0 1.0 7.5 1.1 1.0 1.0

EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR UNITARIA SUPERIOR UNITARIA INFERIOR

¿ QUE ES UNA SUB-MATRIZ?

Una matriz puede ser dividida en sub-matrices como se muestra en el ejemplo, ycada sub-matriz puede ser tratada como un elemento de una matriz.

5.0 3.1 0.0 4.5 2.1

4.1 3.2 9.0 0.0 1.2 A11 A12

[ A ] = 3.1 0.0 4.5 7.2 1.1 =

8.1 2.1 2.2 3.9 1.0 A21 A22

9.9 1.6 3.3 7.7 7.9

donde:

5.0 3.1 0.0 4.5 2.1

[ A11 ] = 4.1 3.2 9.0 [ A12 ] = 0.0 1.2

3.1 0.0 4.5 7.2 1.1

8.1 2.1 2.2 3.9 1.0 [ A21 ] = [ A22 ] = 9.9 1.6 3.3 7.7 7.9


¿ CÓMO SE SUMAN O RESTAN LAS MATRICES?

Las matrices se suman o restan de elemento a elemento en forma algebraica, porlo tanto solo es posible cuando las matrices son del mismo orden.

La ley conmutativa y la ley asociativa son validas para estas operaciones.

Ejemplos:

[ A ] = [ B ] + [ C ]

2.0 1.8 3.5 -1.7 3.0 6.0 0.8 0.9

0.8 3.0 -2.0 4.5 2.1 1.3 4.0 -7.0 [ A ] = + -4.0 0.8 7.0 3.1 4.8 -2.1 5.6 0.0

0.7 6.0 8.0 1.0 2.6 4.9 5.5 1.9

5.0 7.8 4.3 -0.8

2.9 4.3 2.0 -2.5 [ A ] = 0.8 -1.3 12.6 3.1

3.3 10.9 13.5 2.9

¿ QUE ES UNA MATRIZ TRANSPUESTA?

La transpuesta de una matriz se forma intercambiando las filas por lascolumnas y se denota por los superíndices T, ejemplo:

5.0 7.8 4.3 -0.8

2.9 4.3 2.0 -2.5 [ A ] = 0.8 -1.3 12.6 3.1

3.3 10.9 13.5 2.9

5.0 2.9 0.8 3.3

7.8 4.3 -1.3 10.9 [ A ]T = 4.3 2.0 12.6 13.5

-0.8 -2.5 3.1 2.9


¿ CÓMO SE MULTIPLICA UNA MATRIZ POR OTRA?

Dos matrices [A] y [B] se pueden multiplicar si el numero de columnas de [A]es igual al numero de filas de [B]; de lo contrario no esta definida lamultiplicación.La multiplicación de matrices se rige por la siguiente formula:

[ Amp ] X [ Bpn ] = [ Cmn ]

p

Cij = Air Brj i=1 a “m” y j=1 a “n” r=1

Ejemplo:

5.0 3.1 0.0 4.5 2.1

[ A ] = 4.1 3.2 -9.0 [ B ] = 0.0 1.2

3.1 0.0 4.5 7.2 1.1

[ A ] X [ B ] = [ C ] 3X3 3X2 3X2

Los elementos se forman de la siguiente manera:

C11 = 5.0X4.5 + 3.1X0.0 + 0.0X7.2 = 22.5

C12 = 5.0X2.1 + 3.1X1.2 + 0.0X1.1 = 14.22

C21 = 4.1X4.5 + 3.2X0.0 - 9.0X7.2 =-46.35

C22 = 4.1X2.1 + 3.2X1.2 - 9.0X1.1 = 2.55

C31 = 3.1X4.5 + 0.0X0.0 + 4.5X7.2 = 46.35

C32 = 3.1X2.1 + 0.0X1.2 + 4.5X1.1 = 11.46

Por lo tanto la matriz [ C ] queda como sigue:

22.50 14.25

[ C ] = -46.35 2.55

46.35 11.46

Lo anterior se realiza en el programa DINAFACIL con las siguientesinstrucciones en lenguaje FORTRAN

DO 800 I=1,M DO 800 J=1,N DO 800 K=1,P 800 C(I,J)=C(I,J)+A(I,K)*B(K,J)


¿ CÓMO SE INVIERTE UNA MATRIZ?

La inversa de una matriz es su reciproco.

Una matriz es invertible solo si es cuadrada y es "NO SINGULAR", es decir, eldeterminante de la matriz debe ser diferente de cero.

La inversa de una matriz se denota por el símbolo [ A ]-1 y se obtiene por:

[ A ] [ A ]-1 = [ I ]

[ I ][ A ]-1 = [ A ]

La inversa de una matriz diagonal es el reciproco de cada elemento de ladiagonal principal.

Cuando una matriz es de orden 3 X 3 o superior se complica la obtención de lainversa, por lo que es necesario usar una metodología como la de Choleski lacual consiste en los siguientes pasos para invertir la matriz:

PRIMERO.-

Se determinan la matriz triangular inferior y la matriz triangular superiorque equivalgan a la matriz por invertir:

[ A ] = [ AL ] X [ AU(1) ]

En donde [ AL ] es una matriz triangular inferior y [ AU ] es una matriztriangular superior en donde los elementos de la diagonal principal valen uno.

El proceso para formar esas matrices triangulares es:

j-1

ALij = Aij - ALir AUrj sí i ≥ j r=1

i-1

Aij - ALir AUrj r=1AUij = si i < j ALii

AUii = 1.0

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el primer paso conlas siguientes líneas de programación FORTRAN:

DO 200 I=1,MM DO 200 J=1,MM FM=0.0 IF(I.LT.J) GO TO 270 K=J-1


IF(K.EQ.0) GO TO 250 DO 240 IR=1,K 240 FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM 250 AL(I,J)=AME(I,J)-FM GO TO 200 270 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 320 DO 310 IR=1,K 310 FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM 320 AU(I,J)=(AME(I,J)-FM)/AL(I,I) 200 CONTINUE DO 210 I=1,MM 210 AU(I,I)=1.0

SEGUNDO.-

Invertir las matrices triangular inferior y la matriz triangular superior deacuerdo a las siguientes formulas:

[ AL ] [ AM ] = [ I ]

Por lo tanto la matriz [ AM ] es la inversa de [ AL ], para encontrar lamatriz [ AM ] aplican estas formulas:

1.0AMii = si i = j AIii

1.0 i-1

AMij = - ALir AMrj si i > j ALii r=j

AMij = 0.0 si i < j

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el segundo paso conlas siguientes líneas de programación FORTRAN:

DO 400 I=1,MM DO 400 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 450 IF(I.GT.J) GO TO 470 AM(I,J)=0.0 GO TO 400 450 AM(I,J)=1.0/AL(I,J) GO TO 400 470 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 520 DO 510 IR=1,K 510 FM=AL(I,IR)*AM(IR,J)+FM 520 AM(I,J)=-FM/AL(I,I) 400 CONTINUE


Para el caso de la matriz triangular superior tenemos:

[ AU ] X [ AN ] = [ I ]

Por lo tanto la matriz [ AN ] es la inversa de [ AU ], para encontrar lamatriz [ AN ] aplican estas formulas:

ANii = 1.0 si i = j

j-1

ANij = - Nir Urj si i < j r=j

ANij = 0.0 si i > j

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el segundo paso conlas siguientes líneas de programación FORTRAN:

DO 700 I=1,MM DO 700 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 620 IF(I.LT.J) GO TO 640 AN(I,J)=0.0 GO TO 700 620 AN(I,J)=1.0 GO TO 700 640 K=J-1 IF(K.EQ.0) GO TO 690 DO 680 IR=1,K 680 FM=AN(I,IR)*AU(IR,J)+FM 690 AN(I,J)=-FM 700 CONTINUE

TERCERO.-

Finalmente se multiplican las matrices [ AM ]X[ AN ] y se obtiene la matrizinversa de [ A ]-1 = [ AI ]

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el tercer paso conlas siguientes líneas de programación FORTRAN:

DO 800 I=1,MM DO 800 J=1,MM DO 800 K=1,MM 800 AI(I,J)=AN(I,K)*AM(K,J)+AI(I,J) RETURN END

REFERENCIAS

1.- Przemieniecki J. S., THEORY OF MATRIX STRUCTURAL ANALYSIS, McGraw HillBook Company, New York, 1968.

2.- Harris Cyril M., Crede Charles E., SHOCK & VIBRATION HANDBOOK, McGraw HillBook Company, New York, 1976.

3.- Myskis A. D., ADVANCED MATHEMATICS FOR ENGINEERS, MIR PUBLISHERS MOSCOW,1979.

4.- Comisión Federal de Electricidad, MANUAL DE DISEÑO DE OBRAS CIVILES(DISEÑO POR SISMO), México, 1993.

5.- Nigam Navin C., Jennings Paul C., DIGITAL CALCULATION OF RESPONSE SPECTRAFROM STRONG-MOTION EARTHQUAKE RECORDS, California Institute ofTechnology, Pasadena, 1968.

6.- Jan J. Tuma, ENGINEERING MATHEMATICS HANDBOOK, SECOND EDITION, McGraw HillBook Company, 1979.

7.- ASCE American Society of Civil Engineers, STANDARD FOR SEISMIC ANALYSIS OFSAFETY-RELATED NUCLEAR STRUCTURES AND COMMENTARY ON STANDARD FOR SEISMICANALYSIS OF SAFETY-RELATED NUCLEAR STRUCTURES, ASCE, September 1986.

REFERENCIAS GENERALES

Biggs John M., INTRODUCTION TO STRUCTURAL DYNAMICS, McGraw Hill Book Company,New York, 1964.

Gupta Ajaya Kumar, RESPONSE SPECTRUM METHOD IN SEISMIC ANALYSIS AND DESIGN OFSTRUCTURES, Blackwell Scientific Publications, Boston, 1990.

Derecho Arnoldo T., Schultz Donald, Fintel Mark, ANALYSIS AND DESIGN OF SMALLREINFORCED CONCRETE BUILDINGS FOR EARTHQUAKE FORCES, Portland CementAssociation, 1978.

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

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