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Curso 2011/12 CURSO PAU 25

DIBUJO TÉCNICO

UNIDAD DIDÁCTICA III Geometría 2D (III) UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona

Francisco Irles Mas. 1

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UNIDAD DIDÁCTICA III: Geometría 2D (III) 1 ÍNDICE

Página:

2 Introducción........................................................................................... 2

3 Semejanza y homotecia......................................................................... 2

4 Aplicaciones del teorema de Thales ...................................................... 3

4.1 Multiplicar y dividir segmentos................................................... 3

4.2 Thales en homotecias................................................................ 3

5 Escalas................................................................................................... 5

5.1 Definición de escala ………………………………………………. 5

5.2 Clasificación de las escalas………………………………………. 5

5.3 Escalas gráficas…………………………………………………..... 6

5.3.1 Construcción de una escala gráfica……………………. 6

5.3.2 Utilización de las escalas gráficas…………..…………. 8

5.4 Escala transversal de decimales…………………………………. 9

5.5 Triángulo universal de escalas……………………………………. 10

5.6 Aplicación de escalas a superficies y volúmenes………………. 11

5.7 Problemas de escalas…………………………………………....... 12

6 Simetrías.................................................................................................. 12

6.1.1 Simetría respecto de un punto………………….……………… 12

6.1.2 Simetría respecto de un eje……………………………..……… 13

6.1.3 Simetría respecto de un plano………………….……………… 13

7 Giros...............................................................................................…….. 13

8 Traslaciones............................................................................................ 14

9 Solución a ejercicios de las unidades anteriores.................................... 14

11 Propuesta de ejercicios y lecturas........................................................ 16


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Figura 1: Elementos característicos de una homotecia.

2. INTRODUCCIÓN.

En este tema se estudia las relaciones geométricas de semejanza y

homotecia así como su aplicación en la resolución de problemas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Una importante aplicación de la homotecia es la construcción de escalas gráficas, que ocupará la mayor parte del tema y cuyos apuntes han sido facilitados por su autor Manuel Serrano Cardona, profesor de Expresión Grafica desde hace 20 años y actualmente subdirector de alumnado de la Escuela Politécnica Superior de Alicante, y responsable de las pruebas de acceso para mayores de 25 años en esta materia.

Por último se abordan en esta unidad otras transformaciones

geométricas como son el giro y la traslación, todo ello en un entorno bidimensional.

Las transformaciones de homotecia y traslación que vamos a estudiar

son casos particulares junto con la afinidad de lo que se llaman homologías planas, que no están incluidas en el temario probablemente por su aplicación mas especifica y de una mayor dificultad.

3 SEMEJANZA Y HOMOTECIA. Decimos que dos figuras son semejantes entre sí cuando su forma es igual y solo cambia su tamaño, es decir, tienen los mismos ángulos y las dimensiones de sus lados, diagonales, ..., guardan la misma proporción de una figura a otra. A esta proporción la denominamos razón de semejanza o razón de homotecia. Cuando nos referimos a un mismo elemento en una figura y otra semejantes decimos que son elementos homólogos. La homotecia es la construcción geométrica que nos permite obtener figuras semejantes entre si, también llamadas homotéticas. Los elementos característicos de una homotecia son el centro de homotecia “O”, los haces proyectivos y la razón de homotecia “K”; aplicándose ésta a las geometrías que interese. En la figura 1 la razón de homotecia se puede obtener como la relación:

K=A’B’/AB=B’C’/BC=OA’/OA=OB’/OB.


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Figura 2: Multiplicar dos segmentos.

Figura 3: Dividir dos segmentos.

Figura 4: Cuadrado conocido d+L por homotecia.

A titulo anecdótico definimos un aparato llamado pantógrafo como un instrumento de dibujo que permite el calco de geometrías y fijar un factor de semejanza para obtener sus homotéticas. Actualmente en desuso por los avances tecnológicos en reprografía óptica y digital. 4 APLICACIÓNES DEL TEOREMA DE THALES. Ya vimos en la anterior unidad una aplicación del teorema de Thales, la división en partes iguales de un segmento dado. Pero en esta unidad vamos a explotar la proporcionalidad de los segmentos que se definen sobre las dos rectas para poder resolver problemas, en los que se ha de dividir o multiplicar distancias. 4.1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR SEGMENTOS. Para multiplicar o dividir segmentos bastará con aplicar Thales tal y como se indica en las figura 2 y 3, haciendo unitario uno de los cuatro segmentos que definimos sobre las rectas, se ha usado una pulgada.

4.2. THALES EN HOMOTECIAS La utilización del teorema de Thales en la aplicación de homotecias para la resolución de problemas de triángulos, cuadriláteros y polígonos

en general se va a basar siempre en aplicar o determinar gráficamente la razón de homotecia, para aplicarla y lograr es tamaño deseado de una geometría que previamente hemos dibujado de un tamaño cualquiera. Pero seguidamente abordamos el tema a través de ejemplos que es como mejor se va a entender.


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Figura 5: Triangulo dada ha+a y α.

Figura 6: Pentágono dado el lado 30.

Cuadrado conocida la diagonal mas el lado (d+L=30).

Ya se resolvió en la unidad anterior mediante un triangulo isósceles, pero ahora veremos que también es resoluble por homotecia.

Para ello trazamos un cuadrado cualquiera y llevamos el lado en prolongación de la diagonal por ejemplo. Seguidamente trazamos el segmento dado de longitud (d+L) paralelo al del cuadrado inicial, unimos puntos homólogos AA’ y BB’ mediante haces proyectantes y donde se corten fijamos el centro de homotecia “O”. Después trazamos el haz proyectivo que pasa por “O” y “P” obteniendo el punto “P’ ” como intersección con el segmento dato. Triángulo isósceles conocida la suma (ha+a=40) de la altura (ha) y el lado desigual (a), y el ángulo desigual (α=30).

Trazamos un triangulo isósceles cualquiera con el ángulo de 30º, dibujamos su altura (ha) y en prolongación llevamos el lado “a” obteniendo un segmento que será el AP homologo del deseado A’P’ que dibujamos solapado y con vértice común A y A’, que por tanto será O, centro de la homotecia. Trazamos por P y B una recta que nos da la dirección para pasando otra recta paralela por P’ determinar B’ sobre el haz proyectivo OB. Para terminar trazando una paralela a BC por B’ que determina C’ sobre el haz OC. En esta construcción el triangulo de partida se ha dibujado más pequeño que el buscado, en una realización manual esto conlleva que al aumentarlo también aumentamos los errores de trazado, es por ello que se recomienda siempre partir de un caso mayor y reducir como en el ejemplo anterior, ya que de esta forma se reducen los errores. Pentágono dado el lado L=30.

Pese a existir un procedimiento exacto como ya se comento en la anterior unidad se va a exponer mediante el procedimiento general expuesto en aquella unidad, para luego ajustar el tamaño del lado por homotecia.

Por el método ya descrito dividimos una circunferencia cualquiera en 5 partes iguales para luego trazar dos radios vectores de dos divisiones consecutivas. Sobre un punto cualquiera M de uno de ellos trazamos


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una paralela a “l” y sobre ella llevamos la dimensión deseada “L” a partir de M. Por el punto “P” una paralela al radio vector OM donde corte al otro radio vector nos da la posición definitiva para el lado L, es decir el homotético de A que es A’, de esta forma ya tenemos definida la homotecia a aplicar a todos los lados del pentágono inicial con centro de homotecia O. 5 ESCALAS En todo proceso de dibujo o representación de la realidad sobre un papel, llega un momento en el que las figuras a representar, o bien son demasiado pequeñas para que un dibujo a tamaño natural tenga sentido, o bien son tan grandes que no existe papel lo suficientemente amplio para albergar una representación a tamaño natural. Por este motivo, se emplean las escalas, que son constantes o factores de multiplicación de las medidas lineales en cada plano, para poder hacer las representaciones de todos estos elementos en los papeles ( formatos ) de los que disponemos. Según la representación y el objeto de que se trate, tendremos que elegir la escala adecuada. En el caso del dibujo normalizado, existen unas escalas recomendadas por la norma UNE 1-026-83 (1) 2R que coincide con la ISO 5455 - 79, que deberemos utilizar siempre que sea posible para satisfacer las necesidades que surjan. 5.1 DEFINICIÓN DE ESCALA. Definimos Escala, como la relación entre la medida lineal representada en el dibujo de un determinado objeto y la medida lineal de este mismo objeto en la realidad, medidos en las mismas unidades. Expresado matemáticamente, daría lugar a la formula:

Medida lineal del dibujo del objeto Dibujo D Escala = = = = E

Medida lineal del objeto real Realidad R 5.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ESCALAS. Existen tres tipos de escalas. En primer lugar tenemos la Escala Natural 1:1 que reproduce el objeto con su mismo tamaño. Si necesitamos hacer un dibujo de un objeto muy pequeño, utilizaremos una escala que aumente el tamaño de la representación, con lo que tendremos las Escalas de Ampliación que se expresan como la relación N:1. Por el contrario, cuando deseemos hacer un dibujo pequeño de un objeto grande, recurriremos a las Escalas de Reducción de expresión 1:N. En ambos casos hay excepciones donde no aparece el “1” en el quebrado.


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Figura 7: Escalímetros.

Las escalas recomendadas por la norma son las siguientes: Escalas de ampliación: 50:1 ; 20:1 ; 10:1 ; 5:1 ; 2:1 ; Tamaño natural: 1:1 Escalas de reducción; 1:2 ; 1:5 ; 1:10 ; 1:20 ; 1:50 ; 1:100 ; 1:200 ; 1:500 ; 1:1000 ; 1:2000 ; 1:5000 ; 1:10000 Cuando sea necesario utilizar una escala de ampliación mayor o una escala de reducción menor que las indicadas, la escala elegida debe ser una de las recomendadas multiplicada por una potencia de 10. Los ámbitos de utilización más frecuentes de estas escalas serían: Escalas de ampliación

Escalas de reducción Fabricación e Instalaciones

Construcción civil

Topografía Urbanismo

2:1 5:1

10:1

2:5 1:5

1:10 1:20 1:50 1:100 1:200

1:5 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200 1:500

1:1000

1:100 1:200 1:500

1:1000 1:2000 1:5000

1:10000 1:25000 1:50000

1:500 1:2000 1:5000

1:25000 1:50000

5.3 ESCALAS GRÁFICAS. Definimos una escala gráfica como la representación de la escala numérica, es decir, la regla para medir en una escala concreta. 5.3.1 Construcción de una escala gráfica. Las escalas gráficas más utilizadas suelen estar grabadas en diversos elementos: como ejemplo tenemos el escalímetro, que está fabricado sobre un soporte de madera o plastico en forma de prisma triangular o bien en abanico, sobre un soporte de cartulina plastificada (figura7). Si tenemos la necesidad de utilizar una de las escalas que no están


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Figura 8: Construcción de una escala gráfica analíticamente.

en estos escalímetros podemos construirlo sobre una hoja de papel. Para ello tenemos que aplicar el concepto de escala y calcular la transformación de un determinado número de unidades reales que nos sirvan como unidad de construcción de la escala gráfica. Aclararemos esto con la resolución de un ejemplo. Supongamos que necesitamos trabajar con la escala 1:350 , que no está en el escalímetro convencional. Tomaremos como unidad de transformación de la realidad 10 metros. Nos interesa saber la medida de estos 10 metros reales en un dibujo realizado a la escala 1:350. Para ello, aplicando la definición de escala:

Para poder medir décimas, en lugar de dividir toda la escala gráfica, situamos una división igual a la izquierda del cero y la dividimos en diez partes. Esto recibe el nombre de contraescala gráfica. Supongamos ahora que nos piden la construcción de una escala gráfica de una escala cualquiera como pueda ser la escala 2,7 : 4,9 . Podríamos repetir las operaciones realizadas para la escala 1:350, tomando la unidad real que nos convenga, pero lo vamos a hacer de forma gráfica aplicando el teorema de Thales. Para ello procederemos de la siguiente forma: Trazamos dos semirrectas que se corten en un punto P y formen un ángulo cualquiera. Elegimos la semirrecta que va a representar las medidas del dibujo y la que va a representar las medidas reales. Sobre la que lleva las medidas reales llevamos 49 milímetros desde el punto P. En la otra llevamos


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Figura 9: Construcción de una escala gráfica aplicando teorema de Thales.

27 milímetros también a partir de P. Uniendo los puntos así obtenidos tenemos la línea de cierre que nos va a indicar la dirección de las líneas que, por paralelas, nos van a determinar las divisiones sobre la línea del dibujo, que equivalen a la cantidad de unidades representadas en la semirrecta de las medidas reales. Es decir, la paralela trazada por la división de 10 mm. reales nos cortará a la semirrecta de las medidas del dibujo en un punto. Si queremos la escala gráfica en forma de regla , en esta división deberemos indicar 1 centímetro. (Véase la figura 9). Para la realización de escalas gráficas de magnitudes considerablemente grandes deberemos utilizar múltiplos y submúltiplos de las unidades que pretendemos representar en la regla o soporte de las mismas. 5.3.2.- Utilización de las escalas gráficas. Como hemos dicho, la escala gráfica es una regla para medir en una determinada escala. Esta regla nos permite dibujar a una determinada escala, a partir de las cotas reales. Si tenemos una cota de 23 metros, tendremos que colocar el origen de nuestro dibujo sobre el -3 de la contraescala gráfica y trazar hasta el 20 de la escala gráfica.


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Figura 10: Ejemplo de uso de una escala decimal de transversales.

5.4 ESCALA TRANSVERSAL DE DECIMALES.

Una vez obtenida la escala gráfica, nos podemos ver en la necesidad de medir en unidades más pequeñas de las que nos proporciona la contraescala gráfica. Para ello podemos construir la escala transversal de decimales. Esta escala nos permite medir en décimas de la unidad de la contraescala o lo que es lo mismo, en centésimas de las unidades de la escala gráfica. Para ello realizaremos la construcción que se aprecia en la figura 10 (lo ideal sería sobre un acetato trasparente para poder superponerla a la geometría a medir). Tomamos una altura h cualquiera y la dividimos en 10 partes iguales. Por cada una de las divisiones de h trazamos una paralela a la escala gráfica. Llevamos las mismas divisiones de la contraescala a la parte superior. Uniendo cada división inferior con la siguiente superior tendremos la escala transversal de decimales. Como ejemplo de su utilización se han situado sobre la figura varios segmentos con las medidas que les corresponderían. Para tomar una medida cualquiera, por ejemplo 23,8 metros, sobre la escala transversal de decimales utilizaríamos la escala gráfica y la contraescala como hasta ahora, es decir, la escala gráfica para medir unidades y la contraescala gráfica para medir décimas. Situados sobre la división -3 a partir del 20 de la regla de la escala 1:250, subiríamos por el segmento que parte de la misma hasta la transversal situada en la octava altura, en esta intersección tendremos la medida que buscamos.


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Figura 11: Triángulo universal de escalas gráficas.

5.5 TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS. El triángulo universal de escalas es una construcción gráfica que obtiene una serie de escalas sencillas, como 1:10 , 1:5 , 1:2 , 1:1, 1:2,5 , 3:10 , 7:10 , 11:10 , 6:5 etc. Su utilización queda reservada a la obtención de éstas escalas. De la figura se puede deducir su construcción. Consiste en el trazado de un triángulo rectángulo isósceles de 10 cm. de cateto. (También se puede obtener la construcción trazando un triángulo equilátero de 10 cm. de lado). A partir de este momento, la utilización de las escalas es idéntica a la de las demás escalas gráficas (lo ideal sería sobre un acetato trasparente para poder superponerla a la geometría a medir).


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5.6 APLICACIÓN DE ESCALAS A SUPERFICIES Y VOLÚMENES.


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Figura 12: Simetría respecto de un punto.

5.7 PROBLEMAS DE ESCALAS. De la definición de escala se deducen tres tipos de problemas: a) Obtener la escala a la que está confeccionado un determinado dibujo. b) Dada la escala y la medida real, calcular la medida lineal del dibujo en el plano. c) Dada la escala y la medida lineal del dibujo, hallar la medida real. Por otra parte, tenemos la construcción de distintos tipos de escalas gráficas y su utilización. Un problema que se plantea muy a menudo es la de cambiar la escala a la que está realizada una determinada representación. Para cambiar de escala podemos utilizar distintos métodos como pueden ser: el escalímetro, el compás de reducción, el pantógrafo, cuadriculado, métodos ópticos...etc de los cuales nosotros sólo trataremos aquí la utilización del escalímetro. Terminamos con la aplicación de las escalas a las superficies y los volúmenes. Al final de la unidad se proponen una serie de ejercicios. El objetivo de los mismos es que el alumno se familiarice con los distintos problemas que le pueden surgir con las escalas y los métodos que existen para resolverlos. Para ello deberá planteárselos sin consultar las soluciones y posteriormente, contrastar su propio resultado con el propuesto. En el caso de que la solución sea la misma aunque el método sea diferente, se recomienda la consulta con el profesor para asegurarse de que el método utilizado se puede generalizar. 6 SIMETRÍAS

Las simetrías pueden ser de varios tipos, pero son casos particulares de homologías, más en concreto de homotecias y afinidades como ahora se verá. 6.1. TIPOS DE SIMETRÍAS. Las simetrías se clasifican atendiendo al elemento respecto del cual las geometrías son simétricas. 6.1.1. SIMETRÍA RESPECTO DE UN PUNTO. Se trata de una homotecia central de razón –1, es decir, el centro de homotecia queda en medio de los pares puntos homólogos, por tanto la razón es negativa al medir OA en sentido (signo) opuesto a OA’ .


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Figura 13: Simetría respecto de un eje.

Figura 14: Simetría respecto de un plano.

Figura 15: Giro de un triángulo y una circun-ferencia un ángulo de 75º en sentido horario.

SIMETRÍA RESPECTO DE UN EJE.

En este caso se trata de una afinidad ortogonal al eje de afinidad (en este caso de simetría) con razón –1. Es decir los pares de puntos simétricos están sobre haces proyectivos perpendiculares al eje de simetría y a distancias iguales de él pero de sentidos opuestos. 6.1.3 SIMETRÍA RESPEC-TO DE UN PLANO. Se trata de una propiedad geométrica en tres dimensiones, pero que abordamos en este tema por la similitud con la simetría respecto de un eje.

Los pares de pun-tos simétricos están sobre haces proyectivos perpen-diculares al plano de simetría y a distancias iguales de él pero de sentidos (lados del plano) opuestos. 7 GIROS El giro es una transformación geométrica que consiste en rotar un mismo ángulo alrededor de un punto fijo todos los elementos de la geometría a girar. Este giro se puede realizar punto a punto, o bien girar elementos característicos que definan la geometría para luego reproducirla a partir de ellos. Para definir un giro en geometría 2D se requiere el centro de giro “O”, el ángulo girado “α” y el sentido horario o antihorario.


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Figura 16: Traslación de un triángulo y una circunferencia.

8 TRASLACIONES La traslación es un caso particular de la homotecia, en el que el centro de homotecia esta en el infinito y define la dirección de la traslación y la razón de homotecia es 1.

Para definir una traslación basta con una dirección y una distancia a trasladar. Al igual que en el giro se puede trasladar punto a punto la geometría o bien algunos que la definan reconstruyéndose a partir de ellos.

9 SOLUCIÓN A EJERCICIOS DE LAS UNIDADES ANTERIORES.

Como ya se dijo en la unidad anterior las soluciones de la unidad II se expondrán en la clase de la unidad III en transparencias y las soluciones a los ejercicios propuestos en la unidad I se aportan seguidamente:


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1/ Soluciona el caso1 expuesto utilizando el concepto de arco capaz, toma los mismos datos. Datos: Dos lados “a=40” y “b=50” y el ángulo “α=30” opuesto al lado “a”.

2/ Obtén un triángulo con los datos: el lado “a = 50” la resta “b-c=10” y el ángulo “α=90”.

Figura 18 : Resolución de 2/ Unidad I.

Figura 17: Resolución de 1/ Unidad I.


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Figura 20: de ejercicio 1.

3/ Un buque situado en el punto “P” divisa los faros situados en los puntos “A”, “B” y “C” bajo ángulos “α=60º” los “A” y “B”; y “β=45º” los “B” y “C”. 10 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS. 1/ Determina el centro de homotecia “O” de los siguientes pares de figuras homotéticas y la razón de homotecia “K” de cada una de ellas. La K la debes calcular analíticamente y gráficamente (utilícese de unidad el cm.)

Figura 19: Resolución de 3/ de Unidad I.


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Figura 21: de ejercicio 13.

2/ Dibuja un eneágono estrellado de paso 4 conocida la distancia de la cuerda de cada paso L=10 cm. ¿Cuántos triángulos distintos eres capaz de identificar? ¿Qué geometría queda como contorno interior en la parte central? 3/ La distancia entre dos puntos representados en un mapa es de 32 mm. Si en la leyenda del mismo pone que la escala a la que está realizado es de E 1:50.000 ; ¿Cuál es la distancia real entre estos dos puntos?. ( No hay que tener en cuenta la esfericidad de la tierra, ni el desnivel que pueda existir ). 4/ Tenemos un plano de la ciudad de Elche. La fachada de una manzana de casas mide 64 metros. Si en el plano dicha fachada de la manzana mide 8 mm.; ¿A qué escala está realizado el plano? 5/ La maqueta de un velero está realizada a la escala E 1:72 . Si el mástil mide 12,5 centímetros de altura, ¿cuánto mide el mástil real? 6/ Calcular la altura de la maqueta de un edificio 62,4 metros de altura a la escala E 1:75. 7/ Tenemos un mapa a la escala E 1:50.000. Queremos confeccionar una escala gráfica que nos mida kilómetros sobre dicho mapa. ¿Qué separación tendremos entre dos líneas consecutivas? 8/ Representar la escala gráfica correspondiente a la Escala 3,7 : 5,2 para medir en centímetros. 9/ Realizar la escala gráfica correspondiente a la Escala 84:648 e indicar en que unidades estaremos midiendo. 10/ Construir la escala gráfica de la Escala 12,75: 47175 con las unidades que convengan. 11/ En una oficina técnica se trabaja con un plano a escala 1:2.000. Se sabe que una obra tiene 72 metros de longitud. Se hace una fotocopia en una máquina y la representación de la misma obra resulta medir 4 milímetros menos que en el original. Averiguar la nueva escala del plano en la fotocopia. 12/ Tenemos un plano de situación de una parcela a la Escala 1:5000. Calcular la superficie real de la parcela sabiendo que en el plano tiene una superficie de 521 milímetros cuadrados. 13/ Suponiendo que la figura representa las vistas de un depósito realizado en hormigón, y que el plano está a Escala 1:150, calcular el volumen de hormigón


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necesario para llevar a cabo la obra. 14/ Determina en el siguiente par de figuras cual es la traslación y el giro que a

que debe someterse el trapecio isosceles para ajustarse a la oquedad del heptágono irregular . ATENCIÓN: no se pide realizar el giro y la traslación sólo determinar su magnitud, dirección, sentido y en el caso del giro su centro.

Las lecturas se fijarán en clase de forma individualizada a la vista de los textos de que dispongan los alumnos.

Figura 22 : de ejercicio 14.

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