ELEMENTO

S

NOTABLE

S DEL

DIAGRAMA D

E

HASSE

ELEMENTOS

MAXIMALElemento del cual después de el no

hay mas elementos

MAXIMOEs el elemento mas alto y todos los demás elementos están relacionados con el

MINIMALPor debajo de este elemento no hay mas elementos

MINIMOEs el elemento menor y esta relacionado con todos los elementos

ELEMENTOS

COTA SUPERIORSon los elementos que contienen a

los elementos del subconjunto por arriba

SUPREMOEs el elemento menor de las cotas

superiores

COTA INFERIOR

Son los elementos que contienen a los elementos del subconjunto por

debajo

INFIMOEs el elemento mayor de las cotas

inferiores

Ejemplo: Para el diagrama de Hasse de la Figura 4, señale los elementos maximales y minimales.

Figura 4. Diagrama de Hasse para el conjunto {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

Con este orden definido, se tiene que: h≤e pues tenemos un camino h-f-e que empieza en h y termina en e. i ≤a, pues el camino i-g-d-a que empieza en i y termina en a. i ¬ ≤ e, pues ningún camino empieza en i y termina en e. Se tiene además, que a y b son elementos maximales, pues no hay ningún elemento que sea mayor que ellos. Por su parte, el elemento j es un elemento minimal.

Y ={c,d,f,g,h} entonces halle las cotas inferiores y superiores , el supremo e ínfimo

EJEMPLO:

a

b

c

EJEMPLO

Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h} y la figura anterior, el diagrama de Hasse del conjunto ordenado {A,4}.Encontrar todas las cotas superiores e inferiores de los subconjuntos de A,(a) B1 = {a, b}(b) B2 = {c, d, e}

Solución:(a) B1 = {a, b}

No tiene cotas inferiores.Las cotas superiores son: c, d, e, f, g y h.

(b) B2 = {c, d, e}Las cotas inferiores son: a, b y c.Las cotas superiores son: f, g y h.

Obsérvese que un subconjunto B de un conjunto ordenado A puede tener o no cotas superiores o inferioresen A. Además una cota superior o inferior de B podrá o no pertenecer a B.

EJEMPLO

Encontrar el supremo y el ínfimo en el ejemplo 7.26 para los subconjuntos de A,

(a) B1 = {a, b}

(b) B2 = {c, d, e}

Solución:

(a) B1 = {a, b}

Ínfimo. Según vimos en el citado ejemplo, B1 no tenıa cotas inferiores, luego tampoco tendrá cota inferior máxima, es decir, no tiene ínfimo.

El supremo es c ya que precede a todas las cotas superiores de B1.

(b) B2 = {c, d, e}

El ínfimo es c ya que sucede a todas las cotas inferiores de B2.

Supremo no tiene ya que al no ser comparables los elementos f y g, no hay ninguna cota superior que preceda a todas las demás.

GRACIAS