Determinantes de una matriz y matrices inversas - MATE 3172 · Hallar la matriz inversa – 3 x 3...
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1 Determinantes de una matriz y matrices inversas
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1
Determinantes de una matriz y
matrices inversas
2
Determinante de una matriz
Está definido solamente para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz cuadrada es un número real.
Definición:
Si A= [aij] es una matriz de dimensión 1x1, entonces |A| = a11.
Si es una matriz cuadrada de dimensión 2x2,
2221
1211
aa
aaA
entonces el determinante de A, denotado por |A| o det(A), es
|A| = a11 a22 – a21 a12.
2221
1211
aa
aaA
El determinante de la matriz A :
el producto de los elementos a11 a22
menos
el producto de los elementos a21 a12.
1 2
3
Ejemplo 1: Dado la matriz A, halle su determinante.
El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A)
es
|A| = 2(-2) – 1(-4)
= -4 + 4
= 0
21
42A
Determinantes
4
Determinantes
Ejemplo 2. Dado la matriz A, halle el determinante de la matriz A.
56
42A
El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A) es
|A| = -2(5) – 6(4)
= -10 -24
= - 34
5
Determinantes
Ejemplo 3. Determine el valor de a tal que el
det(C) = 2.
aC
4
35
El determinante de la matriz C es 5 por lo tanto
2 = 5(a) – 4(-3)
2 = 5a + (12)
2 -12 = 5a
- 10 = 5a
-2 = a
Determinante de una matriz de orden 3
En el caso de matrices cuadradas de orden 3,
también podemos calcular el determinante de la
siguiente manera:
• Copie la primera y segunda columna de la
matriz a su derecha:
312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
+
-
Ejercicios:
34134
27327
45145
A
11111
22122
10110
B
Evalúe el determinante de:
10 ( + 48 + -21 ) - 8 ( + -45 + 28 )
37 + 9
46
0 ( + 1 + -2 ) - -2 ( + 0 + 2 )
-1 - 0
-1
Ejercicios
Para qué valor de a es el determinante igual a
cero en la matriz:
a
a
a
42
012
321
4242
12012
21321
a
aa
aa
Copiamos la primera y segunda columna de
la matriz a la derecha de la última columna:
a 1 − a + −12 2 + 𝑎 − −6 + 2𝑎 2 + 𝑎 = 0
𝑎 − 𝑎2 − 24 − 12𝑎 + 6 − 4𝑎 − 2𝑎2 = 0
−18 − 15𝑎 − 3𝑎2 = 0
6 + 5𝑎 + 𝑎2 = 0
(𝑎 + 2)(𝑎 + 3) = 0 𝑎 = −2, 𝑎 = −3
9
Hallar el determinante -
Método de Cofactores
El cofactor del elemento aij es definido
por
Aij = (-1)i+j det(Mij)
determina el
signo del
resultado
determinante
de la matriz
que queda al
eliminar la fila i
y la columna j
10
Hallar el determinante -
Método de Cofactores
870
624
153
A
Ej . Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a23.
Solución:
El cofactor de elemento a23, denotado
por A23, es definido:
)det()1( 23
32
23 MA
70
53)1( 5
)]5(0)7(3[1
21
Método de Cofactores
870
624
153
A
Ej 6. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a33.
El cofactor de elemento a33,
denotado por A33, es definido:
)det()1( 33
33
33 MA
24
53)1( 6
)]5(4)2(3[
14
]206[
12
Teorema
El determinante de una matriz 3 x 3 puede ser hallado multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.
13
Método de Cofactores
Ejemplo. Dado la matriz A, halle el determinante de A.
001
153
412
A
131211 412 AAAA
541102
00
151
2
11
A
01
131
3
12
A
01
531
4
13 A
El determinante de A se obtiene multiplicando los
elementos de la primera fila por sus respectivos
cofactores y luego sumando estos productos.
Los cofactores correspondientes a los elementos de la primera
fila: A11, A12 y A13, son calculados a continuación:
10051 11031 51031
21A
0 1 5
21
14
Método de Cofactores
Ejemplo. Dado la matriz A, halle el determinante de A.
001
153
412
A
333231 001 AAAA
21
00211
15
411
4
31
A
El determinante de A se obtiene multiplicando los
elementos de la última fila por sus respectivos
cofactores y luego sumando estos productos.
Los cofactores correspondientes a los elementos de la tercera
fila se calculan a continuación: A31
54111
21
201
21A
15
Método de Cofactores
870
624
153
A
87
62)1( 2
11 A
Ejemplo . Dado la matriz A, halle el determinante de A por el
método de cofactores.
Solución:
Para hallar el determinante de la matriz A, usted puede
seleccionar cualquier fila o columna de la matriz A.
La mejor selección será la fila o columna que contenga
más ceros. Usaremos la columna 1.
Los cofactores A11 y A21 son calculados a continuación:
87
15)1( 3
21
A
|A| = 3A11 + 4A21 + 0A31
= 3(-26)+4(-47)
= -266
)]6(7)8(2[1 )]1(7)8(5[1
26 47
16
La Matriz Inversa
2
1
2
312
B
2
1
2
312
43
21AB
))(4()1)(3())(4()2)(3(
))(2()1)(1())(2()2)(1(
21
23
21
23
10
01
IAB
17
La Matriz Inversa
Ejemplo: (cont.)
Verifique que BA=I.
2
1
2
312
B
10
01
)4)(()2)(()3)(()1)((
)4)(1()2)(2()3)(1()1)(2(
21
23
21
23
43
21
2
1
2
312
BA
IBA
2
1
2
312
1AB
Hallar la matriz inversa
Para una matriz 2 x 2 de la forma
𝐴 =𝑎 𝑏𝑐 𝑑
𝐴−1 se puede encontrar utilizando la fórmula
Ejemplo:
18
Hallar la matriz inversa – 3 x 3
Para una matriz 3 x 3, 𝐴−1 se puede encontrar
manualmente utilizando 4 pasos
1. Hallar el determinante de la matriz.
2. Formar la matriz transpuesta, 𝐴𝑡
3. Formar la matriz de cofactores (matriz
adjunta)
4. Multiplicar la matriz de cofactores por 1
det 𝐴
19
Hallar la matriz inversa – 3 x 3
Ejemplo: Hallar 𝑀−1 si
Paso 1: Hallar det M
20
Hallar la matriz inversa – 3 x 3
Ejemplo continuado: Hallar 𝑀−1 si
Paso 2: Hallar 𝑀𝑡
Intercambiar filas y columnas de M
21
Hallar la matriz inversa – 3 x 3
Ejemplo continuado:
Paso 3: Hallar matriz de cofactores (matriz adjunta)
Hallar todos los determinantes de las matrices 2 x 2
de Mt.
22
Hallar la matriz inversa – 3 x 3
Ejemplo continuado:
Paso 4: Hallar la inversa
