DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES

Como sabemos, las matrices elementales son aquellas que se

obtienen a partir de una única operación elemental de matrices

sobre la matriz identidad.

De acuerdo a esto podemos obtener el determinante de dichas

matrices elementales de la siguiente manera:

1. Intercambiar dos filas o columnas.

Entonces, sea E1 una matriz elemental obtenida por este método,

tenemos que:

│E1│ = -│I│ = -1

2. Multiplicar la i-ésima fila o columna por α (escalar).

Entonces, sea E2 una matriz elemental obtenida por este método,

tenemos que:

│E2│ = α│I│ = α

3. E3 es una matriz elemental obtenida al sumar α veces la fila o

columna j a la fila o columna i, entonces:

│E3│ = │I│ = 1

Observación: │E│ ≠ 0

EJERCICIOS

Intercambiar dos filas o columnas:

1.

2.

Multiplicar la i-ésima fila o columna por α (escalar):

1.

2.

Sumar α veces la fila o columna j a la fila o columna i:

1.

2.

1 0 0

0 1 0 0 1 0 C1↔C2 1 0 0 = -1

0 0 1

0 0 1

1 0 0

0 0 1 0 1 0 C1↔C3 0 1 0 = -1

0 0 1

1 0 0

1 0 0

α 0 0

0 1 0 F1=αF1 0 1 0 = α

0 0 1

0 0 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0 C2=αC2 0 α 0 = α

0 0 1

0 0 1

1 0 0

1 3 0

0 1 0 F1 = F1 + 3F2 0 1 0 = 1 + 0 + 0 = 1

0 0 1 C2 = C2 + 2C3 0 2 1

1 0 0

1 1 4

0 1 0 F1 = F1 + 1F2 0 1 4 = 1 + 0 + 0 = 1

0 0 1 C3 = C3 + 4C2 0 0 1

3.

= (18+10+10) – (15+10+12) = 38 – 37 = 1

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver los siguientes determinantes:

1)

2)

1 0 0

1 0 0

0 1 0 F2 = F2 + 2F1 2 1 0 =

0 0 1 F3 = F3 + 5F1 5 0 1

1 1 1

C2 = C2 + C1 2 3 2 = (6x3x1)+(1x2x5)+(2x5x1)-(5x3x1)-(2x5x1)-(1x2x6)

C3 = C3 + C1 5 5 6

1 2 3 4 4 3 2 1 =

2 1 4 3 3 4 1 2

0 1 2 3 4 3 2 1 =

2 1 4 3 3 4 1 2

3)

4)

EVALUACIÓN

Obtener el valor de los siguientes determinantes:

1.

10 10 10

5a 5b 5c =

a² b² c²

1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 5 5 5 =

1 3 5 7 7 1 3 5 7 9

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 4 4 4 =

1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 6

2.

3.

abc -ab a²

-b²c

2b² -ab =

b²c²

-

b²c² 3abc

12 1 4 9 9 6 4 0 3 9 3 1 5 0 5 =

2 0 12 7 0 1 23 5 2 9