Destrezas Básicas De

MatemáticasDestrezas Básicas De Matemáticas

Alfredo Rivera MejíasOperaciones con Conjuntos Razón, Proporción y Por Ciento

Fracciones Comunes Operaciones con Enteros

Fracciones Equivalentes Expresiones Algebraicas

Fracciones Mixtas e Impropias Ecuaciones con una Variable

Multiplicación y División de Fracciones Inecuaciones Lineales

Suma y Resta de Fracciones Los Reales

Operaciones con Decimales Factorización de Polinomios

Operaciones Con

Conjuntos

Destrezas Básicas De

Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Unión de dos o más conjuntos: es un nuevo conjunto

formado por los miembros de esos conjuntos dados.

El símbolo “U” significa unión.

Ejemplo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7}.

Halla:

• A U B =

• A U C =

• B U C =

• A U B U C =

{ }= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

{ } = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

{ }= {1, 2, 3, 5, 7, 9}

{2, 4, 6, 1, 3, 5, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9

,

2, 4, 6 2 3, 5, 7

,

1, 3, 5, 7, 9 3, 5, 72

,

2, 3, 5,, 7

A U B

Intersección de dos o más conjuntos: es un nuevo

conjunto formado por los miembros que tienen en

común los conjuntos dados. El símbolo “” significa

intersección. Si los conjuntos no contienen miembros

en común, la intersección es el conjunto vacío { }.

Ejemplo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7}.

Halla:

• A B =

• A C =

• B C =

• (A U B) C =

• (A C) U (B C) =

{ } ó

{ }

{ }

{2, 4, 6, 1, 3, 5, 7, 9} {2, 3, 5, 7}

= { }

U = {2, 3, 5, 7}

22 3, 3,5, 5,7 7

2, 2,3, 3,5, 5,7 7

A U B

{2 }

{3, 5, 7 }

Fracciones Comunes

Destrezas Básicas De

Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Utilizamos fracciones para representar cantidades que no son enteras. ¿Qué fracción de toda la figura representa la parte pintada de amarillo?

½ 52

83

¿Puedes ver que 2/5 y 3/8 representan menos de la mitad de sus respectivas figuras? Quiere decir que 2/5 < 1/2 y 3/8 < 1/2. No es tan fácil comparar 2/5 y 3/8 visualmente.

rdenominado

numerador

entero al divides que en partes de total

sselecciona que entero del partes fraccion

52

83

Para comparar el tamaño de dos fracciones dadas, multiplica cruzado de la siguiente forma:

el numerador de la primera por el denominador de la segunda fracciónel denominador de la primera por el numerador de la segunda fraccióncomparamos ambos resultados. Si el primero esmayor, la primera fracción es la mayor.

8

3

5

2

2(8) = 16

3(5) = 15 Como el primer resultado 2(8) es mayor que el segundo 5(3), entonces 2/5 > 3/8.

Ejemplo: Compara las siguientes fracciones.

7

6

6

5 1)

5(7) = 35

6(6) = 367

6

6

5

14

3

9

2 2)

2(14) = 28

9(3) = 27

14

3

9

2

12

8

9

6 3)

6(12) = 72

9(8) = 7212

8

9

6

Cuando dos o más fracciones son iguales se dice que son equivalentes. Las fracciones equivalentes 6/9 y 8/12 representan la misma parte de un entero, aunque sus respectivos numeradores y denominadores no son iguales.

Fracciones Equivalentes

Fracciones equivalentes

La siguiente región pintada de amarillo es la mitad de toda la figura, o sea, representa a la fracción ½.

½ La próxima figura es idéntica a ésta, pero dividida en 4 partes iguales. ¿Como comparan sus dos regiones amarillas con la de la primera figura?

Vea que 1/2 = 2/4. Podemos comprobarlo de la siguiente manera:

¼ ¼

4

2

2(2)

1(2)

2

2 .

2

1

Hallas fracciones equivalentes al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número.

10

3 2)

7

4 1)

dada. la a esequivalent

sean que fracciones tres Halla :Ejemplo

14

8

2

2 .

7

4

21

12

3

3 .

7

4

28

16

4

4 .

7

4

28

16

21

12

14

8

7

4

20

6

2

2 .

10

3

50

15

5

5 .

10

3

100

30

10

10 .

10

3

100

30

50

15

20

6

10

3

La siguiente región, pintada de amarillo, representa la fracción 6/15.

La siguiente figura es idéntica a ésta, pero dividida en 5 partes iguales, en lugar de 15.

¿Cómo comparan las 6 regiones amarillas del primer círculo con las 2 del segundo?

Vea que 6/15 = 2/5. Podemos comprobarlo de la siguiente manera:

5

2

3

3

15

6

Hallas fracciones equivalentes al dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

24

18 2)

10

8 1)

.fracciones siguientes las Simplifica :Ejemplo

Si puedes conseguir un número que divida al numerador y el denominador de una fracción dada, obtienes una fracción más simple y equivalente a la original. Para hallar ese número, buscas todos los factores del numerador y del denominador. La fracción más simple la obtienes al dividir entre el mayor factor común.

5

4

2

2

10

8

4

3

6

6

24

18

Factores de 18: 2, 9, 3, 6, 18Factores de 24: 2, 12, 3, 8, 4, 6, 24

Factores de 8: 2, 4, 8Factores de 10: 2, 5, 10

Fracciones Mixtas E Impropias

Como las fracciones representan cantidades que no son enteras, entonces ocupan posiciones entre los números enteros en la recta numérica.

ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı

0 1 2 3 4

Cada entero está dividido en 6 partes iguales. Por lo tanto, las fracciones correspondientes son sextos.

611

65 1

619

61 3

mixta impropia

Podemos cambiar fracciones mixtas a impropias y viceversa.

ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı

0 1 2 3 4

611

65 1

619

61 3

Cambiar fracciones mixtas a impropias y viceversa

Mixtas a impropias:

Impropias a mixtas:

rdenominado

numerador o)or).(enter(denominad

denomidornumerador Entero

mixta

impropia

rdenominadoresiduo cociente

rdenominado

numerador

residuo

cocientenumerador rdenominado

rdenominado

numerador

611

6

5 6(1)

65

1

:Ejemplo

1

18 -

3 3

19 6 6

1961

x

+

Ejemplo: Completa la siguiente tabla.

mixta impropia

435

423

4

3 4(5)

43 5

7

30

2

28-

4 4

30 772

Multiplicación y División de Fracciones

Multiplicación de fracciones

Al multiplicar dos o más fracciones se obtiene una nueva fracción, cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones dadas; el denominador lo obtienes multiplicando los denominadores originales.Si algún factor es una fracción mixta, lo cambias a impropia antes de multiplicar. Los factores enteros los podemos escribir con denominador 1.

2 . 4 2)

2

1 .

4

3 .

7

5 1)

producto. el Halla :Ejemplo

32

7(4)(2)

5(3)(1)

56

15

1

2

3

14

319

3

28 1

27

928 3

División de fracciones

Sugerimos los siguientes pasos:Si hay alguna fracción mixta o entero, los cambiamos a impropia. Luego cambiamos la división a multiplicación. Invertimos el numerador y el denominador de lasegunda fracción. (escribir el recíproco)Has convertido una división en unamultiplicación de fracciones. Por lo tanto aplicas la manera como las multiplicas.

2 4 2)

4

3

7

5 1)

resultado. el Halla :Ejemplo

32

3

4

7

5

21

20

1

2

3

14

2

1

3

14

6

14 2

2 3

7

1

6

27 3

31 2

Ejemplo: Halla el resultado en la forma más simple.

2 1 3)

9

5

6

5 2)

6

5 .

7

2 1)

52

31

1

2

5

7

3

1

7(6)

2(5)

5

9 .

6

5

42

5

2

1

7

5

3

1

42

10

2

2 21

5

30

45 15

15 2

3

1

2

13 2

211

Suma y Resta de Fracciones

Suma de fracciones

15

4+

15

7= 15

11

Podemos sumar (o restar) las fracciones si susdenominadores son iguales.

9

4 -

9

5 2)

11

5

11

3 1)

resultado. el Halla :Ejemplo

11

8

9

1

Las fracciones que tienen los denominadores iguales son homogéneas.

¡Quiere decir que no podemos sumar los denominadores!

2

1+

4

1

4

3=

.6

2

4

1

2

1 de resultado el que Observa

Las fracciones con denominadores diferentes son heterogéneas.

Para sumar fracciones heterogéneas hay quecambiarlas a fracciones equivalentes que seanhomogéneas.

El denominador que tendrán las fracciones homogéneas es el múltiplo común más pequeño de los denominadores de las fracciones heterogéneas originales. Ese múltiplo común lo consigues en la tabla de multiplicación de cada denominador.

Ejemplo: ½ + ¼ = ___

Múltiplos del 2: 2, 4, 6, 8, 10, …

Múltiplos del 4: 4, 8, 12, 16, …

El mínimo denominadorcomún es el 4.

4

1

2

1

Hay que cambiarlas a

fracciones equivalentes

que tengan el mismo

denominador (el 4).

2

2

1

1

4

2

4

1

43

Ejemplo: 1/6 + 3/8 = ___

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 32, 48, …

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 48, …

El mínimo comúndenominador es 24.

8

3

6

1

Hay que cambiarlas a

fracciones equivalentes

que tengan el mismo

denominador (el 24).

4

4

3

3

24

4

24

9

24

13

2

Otra forma de conseguir el mínimo común denominadores mediante el método de factorizar completamentea los denominadores de las fracciones dadas.

Ejemplo: 1/6 + 3/8 = ___

Factorice completamentecada denominador.

6 = 2(3)

8 = 4(2) = 2(2)(2) =

Seleccione todos los factoresde ambos denominadores. Sialguno se repite, escoja el quetiene el mayor exponente.

MCD =

Ejemplo: Halla el MCD para 11/30 – 7/36

30 = 6(5) = 2(3)(5)36 = 4(9) = 2(2)(3)(3) =

MCD = = 180

Múltiplos del 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, …Múltiplos del 36: 36, 72, 108, 144, 180, …

2³

2(3)

= 24

22(3)2

2

2(3)(5)

(3)² ²

³

Como el mínimo común denominador para 30 y 36 es 180, podemos cambiar 11/30 y 7/36 a fracciones equivalentes con denominador 180. Entonces podemos calcular 11/30 + 7/36.

36

7

30

11

Hay que cambiarlas a

fracciones equivalentes

que tengan el mismo

denominador (el 180).

6

6

5

5

180

66

180

35

180

101

Operaciones Con

Decimales

Destrezas Básicas De

Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

fracción

decimal

parte

entera

Otra manera de expresar partes de una cantidad

entera es mediante el uso de decimales. Éstos son

números separados por un punto decimal. Los

números escritos a la izquierda de dicho punto

representan cantidades enteras; los de la derecha

son fracciones decimales.

514 . 382

punto decimal

Si aparece un número escrito sin punto, como por

ejemplo, el 17, es porque es entero. Quiere decir que lo

lleva a la derecha, o sea, 17 = 17. = 17.0 = 17.00 etc…

Cada número individual que compone a un decimal es un

dígito de ese decimal. El valor de cada dígito depende de

la posición que éste ocupa en el numeral.

numeral

3 , 3 3 3 . 3 3 3

unidades

Valor: 3

decenas

Valor: 30

centenas

Valor: 300

millar

Valor: 3,000

10

3 :Valor

décimas

100

3 :Valor

centésimas

1000

3 :Valor

milésimas

punto decimal

Vea que el dígito “3” tiene diferentes valores, de acuerdo

a la posición que ocupa en el numeral.

El nombre que damos a las posiciones decimales a la

derecha del punto nos sirve para leer los numerales.

0.15

5.024

Se lee: quince centésimas

Se lee: cinco con veinticuatro milésimas

Ejemplo: Completa la tabla.

numeral lectura Posición que ocupa

el 4 en cada numeral

23.4

0.0042

1.000401

Veintitres con 4 décimas décimas

Cuarenta y dos diez milésimas milésimas

Uno con cuatro cientos

una millonésimas

Diez milésimas

Mientras más a la derecha sea la posición que ocupa un

dígito en un numeral, menor es el valor de ese dígito.

En ocaciones, cuando un numeral contenga muchas

posiciones decimales, y no sea necesaria tanta precisión,

podemos aproximarlo con otro, que tenga menos dígitos. A

ese proceso se le conoce como redondeo.

A continuación presentamos las reglas de redondeo al

dígito deseado.

1.3845

Reglas de redondeo a un dígito en específico:

Localiza en el numeral el dígito que deseas redondear.

Observa el dígito que le sigue a la derecha:

Si es menor que 5, el dígito que deseas redondear se

queda igual.

Si es 5, 6, 7, 8 ó 9, le sumas 1 al dígito que vas a

redondear.

Eliminas todos los dígitos a la derecha de la posición que

redondeaste. (si esa posición está a la derecha del punto)

numeral Redondea a:

décima centésima milésima

1 . 3845

24.0499

1.3845

1.4

24.0499

24.0499

24.0

1.3845

1.3845

1.38

24.0499

24.0499

24.05

1.3845

1.3845

1.385

24.0499

24.0499

24.050

41.24

- 8.253431 781

4.3

.25

18.231

+ 9. ..

Suma y resta de decimales

Los decimales que vas a sumar o restar, vas a

colocarlos verticalmente, de manera que sus puntos

queden alineados uno debajo del otro. (Puede

ayudar, en ocasiones, escribir ceros en algunas

posiciones que quedan sin llenar). Entonces sumas

o restas como si fueran enteros, y escribes el punto

decimal del resultado directamente debajo de los

demás puntos alineados.

Ejemplo: Halla 4.3 + .25 + 18.231 + 9 =9 = 9.

Ejemplo: Halla 41.24 – 8.2534 =

00

32 9866.

Multiplicación de decimales

Pasos para multiplicar decimales:

Colocas los factores verticalmente y luego los multiplicas

como si fueran enteros. No es necesario colocarlos con

sus puntos alineados.

Cuentas la cantidad de lugares decimales que contienen

todos los factores a la derecha del punto decimal.

Colocas el punto en el resultado, de manera que contenga

tantos lugares decimales como los que contaste para los

factores.

Ejemplo: Halla 23.41 x 2.1 =

23.41

x 2.1

2341

4682 .

49161

Dos lugares decimales

Un lugar decimal

En total hay 3 lugares

decimales en los factores

El resultado tiene entonces

3 lugares decimales

.

44.41 3 4

71

.

División con decimales

cocientedividendodivisor

Para dividir decimales es

necesario que el divisor sea un

número entero. Presentamos a

continuación varias situaciones

que pueden surgir.

Caso # 1: Cuando el divisor es entero.divisor

entero Divides como si fueran enteros. Colocas el

punto decimal directamente arriba en el

cociente.1

- 3

1

- 12

2

- 21

0

44.1 .03

.14 70

0.

cocientedividendodivisor

Caso # 2: Cuando el divisor es decimal.

divisor

decimalConvierte el divisor en entero moviendo el

punto decimal los lugares que sean

necesarios. Mueve también el punto

decimal del dividendo la misma cantidad

de lugares que lo hiciste con el divisor. A

veces es necesario añadir ceros para

lograrlo.

Sube el punto directamente arriba en el

cociente, y luego divides como lo haces

con los enteros.

.

441 .003

.147 000

000

cocientedividendodivisor

Caso # 3: Cuando el dividendo es entero.

Convierte el divisor en entero moviendo el

punto decimal los lugares que sean

necesarios. Como el dividendo es entero,

le escribimos el punto decimal a la

extrema derecha. Mueve también ese

punto la misma cantidad de lugares que lo

hiciste con el divisor. A veces es necesario

añadir ceros para lograrlo.

Sube el punto directamente arriba en el

cociente, y luego divides como lo haces

con los enteros.

. . .

Escribe cada ejercicio de la manera en que colocas

los decimales para empezar a resolver, pero no

resuelvas.

1) 13.4 + 1.25 + .503 + 2 2) 21.84 – 7.1

3) 1.52 x 1.3 4) 21.63 x .008

5) 1.82 1.4 6) 9 2.25

1) 2) 3) 4)

13.4 21.84 1.52 21.63

1.25 - 7.1 . x 1.3 x .008

.503

+ 2. .

9 2.25 1.82 1.4

6) 5)

A los siguientes ejercicios se les ha escrito el

resultado, pero les falta el punto decimal. Coloca el

punto donde corresponde.

92.25 6) 3 1

1.82 1.4 5)

3 5 1 7 1

2.

4 0 3 7 1 6 7 9 1 4 7 4 1 .503

.008 x 1.3 x 7.1 - 1.25

21.63 4) 1.52 3) 21.84 2) 13.4 1)

4

.

. . .

.0 0

.

Razón, Proporción y

Por Ciento

Destrezas Básicas De Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Razón: Es una relación o comparación entre dos

cantidades.

.y

x o y: x

:expresar puede se y"" a x""

de razón la entonces ,cantidades dos son y"" yx"" Si

Ejemplo: La razón de

niños a niñas que van

en la guagua es 4/2.

Como una razón es

una fracción, podemos

simplificarla como 2/1.

Una fracción es una razón en la cual se comparan dos

números mediante una división.

Ejemplo: Tato Ponchao ha dado 2 “hits” en 5

turnos al bate. Escribe usando una razón.

5

2

Proporción: Es una relación en la cual dos

razones son iguales.

.proporción una es r

t

q

p entonces

,r"" a t"" de la a igual es q"" a p"" de razón la Si

r

t

q

p

extremos

medios

En los problemas que puedes resolver usando

proporciones, serán dados 3 de los 4 números que la

componen. Puedes usar una variable para el número que

falta. Para conseguir su valor, debes seguir los siguientes

pasos.

Ejemplo: ¿Cuál número es a 3 como 10 es a 15?

Pasos para resolver proporciones

1) Identifica los 3 números conocidos y el que

falta. Escribe la proporción que les corresponde.

Es importante dónde colocas cada número.

2) Iguala el producto de los extremos y el

producto de los medios. Esa igualdad es una

ecuación que tiene una variable.

3) Divide ambos lados de la ecuación entre el

coeficiente de la variable. De esa manera dejas la

variable sola.

4) Simplifica. El número que obtienes es el

número que completa la proporción.

15

10

3

x

15x = 30

30 15x

x = 2

15 15

Ejemplo: Una gallina pone 3 huevos cada 4 días.

¿Cuántos pondrá en un mes?

30

x

5

3

5x = 90

90 5x

x = 18 huevos en un mes

5 5

Ejemplo: Una fotografía que tiene 6 pulgadas de

ancho por 8 de largo, se va a ampliar a un ancho

de 15 pulgadas. ¿Cuál será el largo de la

ampliación?

x

15

8

6

6x = 120

120 6x

x = 20 pulgadas de largo

6 6

Por ciento: Es la relación o comparación de

una cantidad con el 100.

Ejemplo:

60% significa 60 de 100, 45% significa 45 de 100.

Relación entre fracciones, decimales y por ciento

Por ciento fracción decimal

60%

¾

0.45

100

60

20

20

100

60 60%

20

28 -

0.75 0.753.004

4

3

100

75 0.75

100

45

5

5 45%

100

45

5

3 0.60

75%

20

9

Completa la tabla

Por ciento fracción decimal

27%

36%

13/100

5/8

0.53

0.64

Realiza los cálculos necesarios en un papel para

hacer los siguientes cambios. Luego compara

con nuestros resultados.

Cambiar por ciento a fracción: escribe el número dado con denominador 100.

Cambiar por ciento a decimal: mueve el punto decimal dos lugares a la izquierda

Cambiar fracción a decimal: divide el numerador entre el denominador.

Cambiar decimal a por ciento: mueve el punto decimal dos lugares a la derecha.

Cambiar fracción a por ciento: cambia a decimal y luego a por ciento.

27/100 0.27

36/100 = 9/25 0.36

0.1313%

0.62562.5%

53/10053%

64/100 = 16/2564%

Cambiar por ciento a fracción: escribe el número dado con denominador 100.

Cambiar por ciento a decimal: mueve el punto decimal dos lugares a la izquierda

Cambiar fracción a decimal: divide el numerador entre el denominador.

Cambiar decimal a por ciento: mueve el punto decimal dos lugares a la derecha.

Cambiar fracción a por ciento: cambia a decimal y luego a por ciento.

La mayoría de las situaciones que tienen que ver

con por cientos contienen tres cantidades

relacionadas entre sí. Por ejemplo: el 20% de 50

es 10.

Generalmente, encontramos la base acompañada de la

palabra “de” y el porcentaje al lado de la palabra “es”.

A esas tres cantidades las identificamos así:

• Base: es el “todo” de esa situación. Algo así como el

parámetro que usamos en la comparación.

• Porcentaje: es la parte de ese todo que comparamos con

la base.

• Tasa: es la razón entre el porcentaje y la base; entre la

parte y el todo. Es fácil reconocerlo porque está

acompañado del signo de %.

Ejemplo: Identifica la base, el porcentaje y el por

ciento en cada situación.

situación base porcentaje por ciento

El 40% de 60 es 24.

15 es el 60% de 25.

60 24 40%

25 15 60%

En los problemas relacionados con por ciento que

estudiaremos a continuación serán dados dos de esas tres

cantidades. La tercera la vamos a conseguir usando

proporciones.

Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 60?

Dado: base = 60, tasa = 20%. Piden el porcentaje, o sea,

que parte de 60 es el 20%.

60

x

100

20 100x = 1200

x = 12 El 20% de 60 es 12. 100 100

Ejemplo: La maestra le asignó a Marita la lectura

de 20% de 160 páginas de un libro. ¿Cuántas

tiene que leer?

160 = base, 20% = tasa. Nos piden el

porcentaje, es decir, cuál número es el

20% de 160.

160

x

100

20

100x = 3200

x = 32

Marita tiene que leer 32 páginas.

En el siguiente ejemplo será dado el por ciento y el

porcentaje, para hallar la base.

100 100

Ejemplo: Si 30 es el 60% de un número, halla ese

número.

30 = porcentaje, 60% = tasa. Nos piden la base,

es decir, a cuál número le aplicamos el 60% y

obtenemos 30.

x

30

100

60

60x = 3000

3000 60x

x = 50

60 60

5 lb 5 lb

Ejemplo: Tato ha levantado las pesas 8 veces, o

sea, el 40% de las veces que lo ha intentado.

¿Cuántas veces lo ha intentado?

x

8

100

40

40x = 800

800 40x

x = 20 veces lo ha intentado.

En el siguiente ejemplo será dado la base y el porcentaje,

para hallar la tasa.

40 40

Ejemplo: ¿Qué por ciento es 20 de 80?

20 = porcentaje, 80 = base. Nos piden la tasa, es

decir, el por ciento que representa 20 de 80.

100

x

80

20

80x = 2000

2000 80x

x = 25%

80 80

Ejemplo: El gallo Claudio ha conquistado a 36 de

las últimas 48 gallinas de las que se ha

enamorado. ¿Cuál es su por ciento de éxito?

100

x

48

36

48x = 3600

3600 48x

x = 75% de éxito.

48 48

Operaciones Con Enteros

Destrezas Básicas De Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Sabemos que los números representan cantidades. Cuando dos

cantidades sean iguales en magnitud, pero una es contraria a la

otra, decimos que una es el opuesto de la otra.

Ejemplo: Uno de los siguientes termómetros marca 20º sobre cero,

mientras que el otro marca 20º bajo cero.

0 0

Esas temperaturas están a

la misma distancia del cero,

pero en direcciones

opuestas. Para distinguirlas,

una de ellas es 20º y la otra

es –(20º). El símbolo “-”

antes de 20º se lee “negativo

20 grados”.20º

-(20º)

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●0 1 2 3 4 5-1-2-4-3-5

La recta numérica contiene a los números positivos hacia la

derecha del cero. A cada uno de ellos le corresponde un opuesto, a

la misma distancia del cero, pero en dirección contraria. Los

números colocados a la izquierda del cero en la recta numérica son

los negativos.

1 2 3 4 5

PositivosNegativos

Si dos números están a la misma distancia del cero, entonces son

opuestos. El opuesto de un número positivo es negativo, y el

opuesto de uno negativo es positivo. El cero no tiene opuesto. Por

ejemplo, el opuesto de -4 es 4. El opuesto de 3 es -3. La expresión

-(-2) se lee: “el opuesto de -2”. Por lo tanto, -(-2) = 2.

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

El valor absoluto de un número es su distancia hasta cero. Como

las distancias siempre son positivas, entonces el valor absoluto de

cualquier número siempre es positivo (excepto para el cero, cuyo

valor absoluto es cero). La expresión | -3 | se lee: “valor absoluto

de negativo 3”. Así que | -3 | = 3.

Completa la tabla

número opuesto valor absoluto

-5

-11

9

23

0

-(-5) = 5 |-5| = 5

-(-11) = 11 |-11| = 11

-(9) = -9 |9| = 9

-(23) = -23 |23| = 23

-(0) = 0 |0| = 0

Suma de números con signo:

Reglas de signos para la suma

( + ) + ( + ) = ( + )

( - ) + ( - ) = ( - )

( + ) + ( - ) =

( - ) + ( + ) =

Sumas para hallar el resultado.

El resultado lleva el

signo del que tenga el

mayor valor absoluto.

Restas para hallar

el resultado.

Ejemplo: Halla las siguientes sumas.

1) -3 + -4 = 4) -11 + -4 =

2) 7 + -2 = 5) 7 + 3 =

3) -8 + 6 = 6) 0 + -7 + 4 + -2 + 4 =

-7

5

-2

-15

10

-1

Resta de números con signo:

Ejemplo: Halla las siguientes diferencias.

1) (-3) – (-4) = 4) (-11) - (-4) =

2) 7 - (-2) = 5) 3 - 7 =

3) (-8) - 6 = 6) 0 - (-7) - 4 + (-2) - 4 =

(-3) + 4 =

7 + 2 =

(-8) + (-6) =

(-11) + 4 =

3 + (-7) =

0 + 7 + (-4) + (-2) + (-4) =

Reglas de signos para la resta

( + ) - ( - ) = ( + ) + ( + )

( - ) - ( + ) = ( - ) + ( - )

( + ) - ( + ) = ( + ) + ( - )

( - ) - ( - ) = ( - ) + ( + )

Cambias la resta a

suma y escribes el

opuesto del siguiente

número. Aplicas

entonces las reglas de

la suma.

1

9

-14

-7

-4

-3

Multiplicación de números con signo:

Ejemplo: Halla las siguientes productos.

1) (-3) x (-4) = 4) (-11) x (-4) =

2) 7 x (-2) = 5) 3 x 7 =

3) (-8) x 6 = 6) 0 x (-7) x 4 x (-2) x 4 =

Reglas de signos para la multiplicación

( + ) x ( - ) = ( - )

( - ) x ( + ) = ( - )

( + ) x ( + ) = ( + )

( - ) x ( - ) = ( + )

Dos números con

signos diferentes tienen

un producto negativo.

Dos números con

signos iguales dan un

producto positivo.

12

-14

-48

44

21

0

División de números con signo:

Ejemplo: Halla los siguientes cocientes.

1) (-30) (-5) = 4) (-12) (-4) =

2) 42 (-21) = 5) 35 7 =

3) (-8) 2 = 6) 0 (-7) =

Reglas de signos para la división

( + ) ( - ) = ( - )

( - ) ( + ) = ( - )

( + ) ( + ) = ( + )

( - ) ( - ) = ( + )

Dos números con

signos diferentes tienen

un cociente negativo.

Dos números con

signos iguales dan un

cociente positivo.

6

-2

-4

3

5

0

Variable: es un símbolo que representa a uno o a varios números.

Generalmente usamos letras como variables. En la expresión

a + 3, estamos sumando tres a una variable. Para hallar un

resultado, sustituimos un número en lugar de la variable.

Ejemplo: Si a = 5, entonces a + 3 = 5 + 3 = 8

Si a = -8, entonces a + 3 = -8 + 3 = -5

Cualquier letra puede ser una variable. Como el signo de

multiplicar “x” parece una equis, de ahora en adelante no vamos

a usar ese símbolo para la multiplicación. Cuando vamos a

expresar a un número multiplicado por una variable, por

ejemplo, 4 por n, escribimos 4n. Quiere decir que un número al

lado de una variable significa que hay que multiplicar ese

número por el valor de la variable.

Ejemplo: Si a = 5, entonces 3a = 3(5) = 15Si a = -8, entonces 3a = 3(-8) = -24

Cuando tengamos que hacer más de una operación matemática,

hay que seguir el siguiente orden:

simplificar lo que aparezca dentro de un paréntesis.

hallar el resultado de los números elevados a un exponente.

resolver las multiplicaciones y divisiones según aparecen.

calcular las sumas y restas según aparecen.

Ejemplo: Halla el resultado de 21 – 3(2)³ + 12 (-7 + 5)²

Paso # 1: simplificar dentro del ( ) 21 – 3(2)³ + 12 (-2)²

Paso # 2: eliminar los exponentes 21 – 3(8) + 12 4

Paso # 3: multiplicar y dividir 21 – 24 + 3

Paso # 4: sumar y restar 0

21 – 3(2)³ + 12 (-7 + 5)² = 0

Completa la tabla

expresión valores de la variable “x”

x = 2 x = -3 x = 0

5 + 3x

x² - 5x + 1

= 5 + 3(2)

= 5 + 6

= 11

= 5 + 3(-3)

= 5 + (-9)

= -4

= 5 + 3(0)

= 5 + 0

= 5

= (2)² - 5(2) + 1

= 4 – 5(2) + 1

= 4 - 10 + 1

= 4 + -10 + 1

= (-3)² - 5(-3) + 1

= 9 – 5(-3) + 1

= -5

= 9 – (-15) + 1

= 9 + 15 + 1= 25

= (0)² - 5(0) + 1

= 0 - 5(0) + 1

= 0 - 0 + 1

= 1

Expresiones Algebraicas

Destrezas Básicas De Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Definiciones básicas de introducción al Álgebra:

Definiciones Ejemplos

Constante: es un símbolo cuyo valor es

fijo. Todos los números enteros, fracciones,

decimales, etc… son constantes.

Variable: es un símbolo que puede tomar

diferentes valores. La “x” o cualquiera

otra letra puede ser una variable.

Factores: es la multiplicación de dos o más

constantes o variables.

Términos: es la suma (o resta) de dos o

más constantes, variables o factores que

contienen constantes y variables.

etc... 3.08,- 1.3,

,8

1- ,

5

2 0, 2,- 4,

Podemos usar

cualquier letra o

símbolo.

3x -4x²y³

xy ab³c

x + 5 : dos términos

xy – 5x² + 2 : tres

términos

Definiciones básicas de introducción al Álgebra (cont):

Definiciones Ejemplos

Expresión algebraica: consiste de diversas

operaciones (+, -, , ) entre constantes y variables

formando uno o más términos.

Polinomio: son expresiones algebraicas cuyas

variables tienen números enteros no negativos en

el exponente.

Monomio: polinomio con un solo término.

Binomio: polinomio con dos términos.

Grado de un polinomio: es igual al mayor

exponente de la variable. Si el polinomio tiene más

de una variable, su grado es el del término con

mayor suma de los exponentes de sus variables.

32-x x - 3x

4 - x

2 3x

3x + 2

x³ + 5x² - 6x + 1

4x³ - 4x + ¼

3x²y³ : monomio

4x³ – 1: binomio

4x – x³: grado 3

3x²y³ : grado 5

x²y + x : grado 3

Ejemplo: Completa la tabla.

Expresión

algebraica

grado # de términos ¿es un

polinomio?

5x³ + 2x² - 4 3 3 si

3abc – 5a³bc² 6 2 si

1 3x - x 2x 2

1

2- 1 4 no

-½ x³yz 5 1 si

Combinación de términos semejantes: suma y resta

de expresiones algebraicas

Términos semejantes: son los que tienen las mismas variables

con los mismos exponentes.

Expresión algebraica Términos semejantes

4x² + 7x – 2x² + 3x

2a²b + 5ab² - 4a²b + ab

4x², -2x² son semejantes

7x , 3x son semejantes

2a²b , -4a²b son semejantes

Podemos simplificar expresiones algebraicas que contienen

términos semejantes. En los siguientes ejemplos puedes ver

que sumamos los factores constantes de los términos

semejantes, dejando las variables con los exponentes que

tienen.

resultado 2x

Ejemplo: Simplifica la siguiente expresión algebraica.

3x² + 7x – 5 – 2x² - 9x + 8

Para empezar, identificamos y combinamos los términos

que sean semejantes.

3x² 2x²

1x²

7x - 9x 5 + 8

+ 3

Para hallar la suma de dos o más expresiones algebraicas,

combinamos sus términos semejantes.

Ejemplo: Halla (2ab² + 3a) + (3a²b – 5b) + (ab² - 3a²b + 7b)

2ab² + 3a

3a²b – 5b

+ ab² - 3a²b + 7b

3ab² + 3a + 0a²b + 2b

3ab² + 3a + 2b resultado

Para restar dos expresiones algebraicas, cambiamos la

resta a suma y escribimos el opuesto de cada término del

polinomio que le sigue.

Ejemplo: Halla (2x³ + x² - 1) – (3x³ - 4x² + 3x)2x³ + x² - 1

+

3x³ - 4x² + 3x

-3x³ + 4x² - 3x

= -1x³ + 5x² - 3x – 1 resultado

Ejemplo: Halla (3x – 2y) – (x + 5y) + (4x + 7y)3x – 2y – x – 5y + 4x + 7y

= 3x – x + 4x – 2y – 5y + 7y

= 6x + 0y

= 6x resultado

Multiplicación de expresiones algebraicas:

Para multiplicar expresiones algebraicas, especialmente

cuando multiplicamos sus variables, hay que aplicar la

siguiente ley de exponentes.

3² = 9base

exponente

potencia o resultado

3² = 3(3) = 9Vea que el exponente indica las veces que multiplicamos a

la base por ella misma. El resultado que obtenemos es una

potencia de la base.

m nmnx xx

.originales exponentes los de suma

la es exponente Su base. misma la con potencia

una obtenemos iguales bases mosmultiplica Cuando

Ejemplo: Halla:

1) x³(x²) =

2) b³(b²)(b) =

3) a³ + a³ =

4) y³ + y² =

x

2 3

b

1 2 3

Al multiplicar bases iguales sumas los expo.

Al multiplicar bases iguales sumas los expo.

2a³ ¡Ojo! Estamos sumando términos semejantes

¡Ojo! Los términos no son semejantes. No podemos sumar.

Ejemplos: Multiplicar monomios por monomios:

1) (3x²)(4x³) =

2) (-2a³b²c)(5a²b) =

3) (2x²yz²)³ = ¡Ojo! m.rn.rrmnb . a b . a leyAplicar

5x

6b

512x

cb10a-35

636zy8x

Ejemplo: Multiplicación de polinomios.

1) 3x²(-4x³ + 5x – 8) =

2) (4x – 3)(2x + 5) =

Hay que multiplicar cada término de un polinomio por

cada uno de los del otro polinomio.

= 3x²(-4x³) + 3x²(5x) + 3x²(-8)

= 4x(2x) + 4x(5) – 3(2x) – 3(5)

= 8x² + 20x – 6x - 15

= 8x² + 14x – 15

23524x 15x 12x-

División de expresiones algebraicas

Para dividir expresiones algebraicas, especialmente

monomios con bases iguales, es necesario aplicar la

siguiente ley de exponentes.

m - nmn

m

n

a a a a

a

.originales exponentes los

restando obtenemos lo exponente Su base. misma la

tiene resultado el iguales, bases dividimos Cuando

6x

18x - 6x - 24x 2)

3a

12a- 1)

:Ejemplo

23

5

8

4a-

5 8-4a³

6x

18x -

6x

6x -

6x

24x23

4x² - x - 3

multiplicarx

1 -3x 3x - x1 2x - x232

Deseamos eliminar x³ del dividendo

- (x³ - 2x² + x)

- x² + 2x - 1

- 1

-(-x² + 2x - 1)

0

multiplicar

Para dividir los siguientes polinomios es necesario utilizar

el algoritmo de división (división larga).

1 2x - x

1 -3x 3x - x

:resultado siguiente el Halla

2

23

polinomio

polinomio

2 -x

6 -x 3x - 2x23

2

23

2x

6 -x 3x - 2x2 -x

- (2x³ - 4x²)x² + x

+ x

-(x² - 2x)3x 6

+ 3

-(3x – 6)0

Ejemplo: Otra división de un polinomio entre polinomio.

Ecuaciones Lineales Con

Una Variable

Destrezas Básicas De Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas.

Ejemplos de ecuaciones:

1) 20x + 40 = 4x + 8

2) 2(3x – 4) – (5x – 1) = 2

6 5

3x

2

x - 4 3)

Ya sabemos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir las

expresiones algebraicas. Las ecuaciones, cuya característica

principal es que tiene un signo de igualdad, hay que resolverlas.

Resolver una ecuación significa hallar el valor de la variable que

hace “cierta” la igualdad.

Es decir, la solución de la ecuación es el número que al sustituirlo

en la variable, hace que la expresión al lado derecho del signo de

igualdad tenga el mismo valor que la expresión del lado izquierdo.

Las ecuaciones mostradas arriba, y todas las que vamos a resolver

en esta presentación son lineales, ya que el mayor exponente de su

variable es 1.

20x + 40 = 4x + 8

lado izquierdo

de la ecuación

lado derecho

de la ecuación

signo de igualdad

En términos generales, seguimos el siguiente procedimiento para

resolver una ecuación:

Eliminar todos los paréntesis (aplicando la prop. distibutiva).

Transponer los términos de modo que tengamos solamente los

semejantes en cada lado de la ecuación.

Simplificar hasta que quede un solo término en cada lado de la

igualdad.

Despejar la variable (de modo que su factor numérico sea 1) y

expresar el resultado en la forma más simple.

Ejemplo: Resuelve 20x – 8 = 14x + 40.

20x – 8 = 14x + 40 Como no hay paréntesis, no necesitamos hacer el paso # 1

paso # 2: Transponer términos para que sean semejantes

20x 14x

14x =

8 + 40

8 + 40

¡Ojo! Vea que los términos

transpuestos cambian de signo.

paso # 3: Simplificar a cada lado de la igualdad6x = 48

paso # 4: Despejar la variable y simplificar

6

48

6

6x

x = 8 Puedes verificar en la ecuación original que 8 es solución

Transponer un término de un lado al otro del signo de igualdad

es parecido a lo que le sucede a los carritos “Hot Wheels”, que

cambian de color cuando pasan por el agua. Los términos que

son transpuestos no cambian de color, pero sí su signo.

3x = 10+ 4 4

5 = 3x 2x + 2x

Ejemplo: Resuelve 2(3x – 4) – (5x – 1) = 2.

2(3x – 4) – (5x – 1) = 2 Paso # 1: Eliminar paréntesis

Aplicar

propiedad

distributiva

Buscar el

opuesto de

5x - 1

6x – 8 – 5x + 1 = 2

paso # 2: Transponer términos para que sean semejantes6x – 5x = 2 + 8 - 1

paso # 3: Simplificar a cada lado de la igualdad1x = 9

x = 9 paso # 4: Despejar la variable y simplificar

Puedes sustituír 9 en la “x” de la ecuación original para que

verifiques que es la solución.

6. 5

3x

2

x - 4 Resuelve :Ejemplo

Cuando una ecuación contiene fracciones, aconsejamos que

empecemos eliminándolas, multiplicando cada término a ambos

lados de la igualdad por el denominador común.

10(6) 5

3x10

2

x10 - 10(4)

Multiplicamos por 10: el denominador común

25

40 - 5x = 6x + 60

40 - 60 = 6x + 5x

-20 = 11x

11

11x

11

20-

1191-

11

20- x

Inecuaciones Lineales

Destrezas Básicas De

Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

Una inecuación es la comparación de dos expresiones

algebraicas mediante un signo de desigualdad (>, <, , ).

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x > 2 Se lee: x es mayor que 2. Ese

signo apunta hacia donde están

todos los números mayores que

2 en la recta numérica.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x < 2Se lee: x es menor que 2. Ese

signo apunta hacia donde están

todos los números menores que

2 en la recta numérica.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 2

Se lee: x es mayor o igual que 2.

En este caso, x puede ser 2 o

cualquier otro número mayor.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 2Se lee: x es menor o igual que 2.

En este caso, x puede ser 2 o

cualquier otro número menor.

De acuerdo a las pasadas ilustraciones, las desigualdades

x > 2, x < 2, x 2 y x 2 pudieron ser representadas por

intervalos de números en la recta numérica. Otra

manera de expresar a esos conjuntos de números es

mediante la llamada notación de intervalos.

La notación de intervalos se utiliza como otra alternativa

para nombrar o describir a conjuntos de números que se

encuentran agrupados en algún lugar de la recta

numérica. A continuación presentamos y comparamos

esta notación con la de desigualdad y las gráficas que ya

conoces.

Descripción del

intervalo

Notación de

desigualdadGráfica Notación de

intervalos

Todos los números

x que sean

mayores que 3

x > 3

3

No incluye

al 3 No hay fin

hacia la

derecha del

intervalo.

(3, )

Empezamos

con el extremo

izquierdo del

intervalo.

Usamos

paréntesis

cuando no

llegamos a ese

extremo.

Cuando no

hay fin hacia la

derecha del

intervalo,

escribimos el

símbolo

seguido de un

paréntesis.

Descripción del

intervalo

Notación de

desigualdad

Gráfica Notación de

intervalos

Todos los números

reales x que sean

menores o iguales

que 8.

x 8

Incluye al 8

8

No hay fin

hacia la

izquierda del

intervalo.

(-, 8]

Cuando no

hay fin hacia la

izquierda del

intervalo,

escribimos el

símbolo -.

Usamos

paréntesis

porque no

llegamos allí.

Terminamos

con el extremo

derecho del

intervalo.

Usamos

corchetes

cuando el

extremo está

incluído.

Notación de

desigualdad

Gráfica Notación de

intervalos

5x

-1

x < 5 (-, 5)

x -1 [-1, )

Ejemplo: Completa la tabla.

El proceso de resolver inecuaciones lineales es similar al que

llevamos a cabo con las ecuaciones lineales. Veamos un ejemplo.

En términos generales, seguimos el siguiente procedimiento

para resolver una inecuación lineal:

Eliminar todos los paréntesis (aplicando la prop. distributiva).

Transponer los términos de modo que tengamos solamente los

semejantes en cada lado de la ecuación.

Simplificar hasta que quede un solo término en cada lado de la

desigualdad.

Despejar la variable (de modo que su factor numérico sea 1) y

expresar el resultado en la forma más simple.

Ejemplo: Resuelve 5(x + 1) 2 – (3x – 11).

5x + 5 2 – 3x + 11

5x + 3x 2 + 11 – 5

8x 8

8 8

Solución: x 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Solución gráfica: x 1

Solución en notación de intervalo: (-, 1]

Solución gráfica: x < -3

Cuando sea necesario multiplicar o dividir por un número

negativo a ambos lados de una desigualdad, hay que

cambiar el signo de desigualdad por el signo contrario (si el

signo original es <, el signo contrario es >).

Ejemplo: Resuelve 3x – 2 > 4x + 1.

3x – 4x > 2 + 1

-1x > 3

-1x 3> 1 1

<

Solución: x < -3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Solución en notación de intervalo: (-, -3)

Cambiamos el signo > por el signo <

porque dividimos entre -1 a ambos lados.

Los Reales

Destrezas Básicas De Matemáticas

Alfredo Rivera Mejías

0

½

9

7

4

35

Enteros

2

3 5

Fracciones

Decimales

Irracionales

¿Cuáles son los

números reales?

# Reales

Factorización de Polinomios

Factor Común

ab + ac = a(b + c)

Ejemplos:

x2 - 3x = x.x - 3x = x(x – 3)

3x3 - 6x2 + 3x = 3x.x2 - 3x.2x + 3x.1 =

=3x(x2 - 2x + 1)

a a

x x

3x 3x 3x

Agrupación

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)

= (a + b)(x + y)

Ejemplo:

3x – 6 + 2xy – 4y = 3(x – 2) + 2y(x – 2)

= (x – 2)(3 + 2y)

a + b a + b

x – 2 x – 2

Diferencia de Cuadrados

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

Ejemplos:

1) x2 - 9 =

2) 4x2 - 25y2 =

3) 1 - 16x2 =

(x - 3)(x + 3)

(2x - 5y)(2x + 5y)

(1 + 4x)(1 - 4x)

2222b ab - a

9 x9 - x22

222225y 4x25y - 4x

2216x 116x 1

Oprimir ahí para ver otras

diferencias de cuadrados

TRINOMIOS CUADRÁTICOS SIMPLES

x2 + 7x + 12 =

Hay que escribir en esos espacios dos

factores de 12 que al sumarlos den 7.

Los factores son 4 y 3.

(x + )(x + )

x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

4 + 3 = 7

4(3) = 12

4 3

Verificar: (x + 4)(x + 3)

x² + 3x + 4x + 12 = x² + 7x + 12

TRINOMIOS CUADRÁTICOS SIMPLES

x2 + 3x - 10 = (x + )(x + )

x2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)

Hay que escribir en esos espacios dos

factores de -10 que al sumarlos den 3.

Los factores son 5 y -2.

5 + ˉ2 = 3

5(ˉ2) = ˉ10

5 -2

Verificar: (x + 5)(x – 2)

x² - 2x + 5x - 10 = x² + 3x – 10

TRINOMIOS CUADRÁTICOS SIMPLES

x2 - 3x - 10 = (x + )(x + )

x2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)

Hay que escribir en esos espacios dos

factores de -10 que al sumarlos den -3.

Los factores son -5 y 2.

-5 + 2 = -3

-5(2) = ˉ10

-5 2

Verificar: (x – 5)(x + 2)

x² + 2x - 5x - 10 = x² - 3x - 10

TRINOMIOS CUADRÁTICOS SIMPLES

x2 - 3x + 2 = (x + )(x + )

x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)

Hay que escribir en esos espacios dos

factores de 2 que al sumarlos den -3.

Los factores son -2 y -1.-2 -1

Verificar: (x – 2)(x – 1)

x² - 1x - 2x + 2 = x² - 3x + 2

-2 + -1 = -3

-2(-1) = 2

En esos espacios vamos a

escribir factores de 3(4) = 12

que al sumarlos den 8.

Trinomios cuadráticos con coeficiente

3x² + 8x + 4 =3

) )(3x (3x

Esos factores de 3(4)

= 12 que al sumarlos

dan 8 son 6 y 2.

3x² + 8x + 4 =

3

2) 6)(3x (3x

3

2) 2)(3x 3(x (x + 2)(3x + 2)

8

8

3

3 4

4

6 y 2

6 2

6 2

Sacamos factor

común

Verificar: (x + 2)(3x + 2)

3x² + 2x + 6x + 4 = 3x² + 8x + 4

En esos espacios vamos a

escribir factores de 5(-2) = -10

que al sumarlos den -9

Trinomios cuadráticos con coeficiente

5x² - 9x - 2 =5

) )(5x (5x

Esos factores de 5(-2)

= -10 que al sumarlos

dan -9 son 1 y -10.

5x² - 9x - 2 =

5

10)- 1)(5x (5x

5

2) 1)5(x (5x (5x + 1)(x - 2)

9

-9

5

5 2

-2

1 y -10

1 -10

1 -10

Sacamos factor

común

Verificar: (5x + 1)(x – 2)

5x² - 10x + x - 2 = 5x² - 9x - 2

+ 4

Factorización de Suma de Cubos

Ejemplos de sumas de cubos (cada término del binomio es un cubo exacto).

x³ + 8

8x³ + 27

64 + x³

125x³ + 1

x³ + 2³

(2x)³ + 3³

4³ + x³

(5x)³ + 1³

= ( )( )

= (2x + 3)(4x² - 6x + 9)

= (4 + x)(16 – 4x + x²)

= (5x + 1)(25x² - 5x + 1)

Verificar:

(x + 2)(x² - 2x + 4)dos términos

aquí

tres términos

aquí↑

Escribimos ahí la raíz cúbica

de cada término de x³ + 8

x + 2 x²

Los tres términos de ahí

los obtenemos de (x + 2)

↓

Primero al cuadradomenos primero por segundo

- 2x

Más segundo al cuadrado

x³ - 2x² + 4x

+ 2x² - 4x + 8

x³ + 8

= x³ + 8

Factorización de Diferencia de Cubos

(El proceso es similar a la factorización de suma de cubos.)

Ejemplos de restas de cubos (cada término del binomio es un cubo exacto).

x³ - 8

8x³ - 27

64 - x³

125x³ - 1

dos términos

aquí

tres términos

aquí

= ( )( )

Los tres términos de ahí

los obtenemos de (x - 2)

↓+ 2x + 4

x³ - 2³

(2x)³ - 3³

4³ - x³

(5x)³ - 1³

= (2x - 3)(4x² + 6x + 9)

= (4 - x)(16 + 4x + x²)

= (5x - 1)(25x² + 5x + 1)

Verificar:

(x - 2)(x² + 2x + 4)

↑

Escribimos ahí la raíz cúbica

de cada término de x³ - 8

x - 2 x²

Primero al cuadradomás primero por segundoMás segundo al cuadrado

x³ + 2x² + 4x

- 2x² - 4x - 8

x³ - 8

= x³ - 8

2233b ab ab) (a b a

Cubos de sDiferencia y

Sumas de iónFactorizac de Resumen