Reforzamiento y practica de destrezas 1

Libro de ejercicios de Libro de ejercicios de reforzamiento y práctica reforzamiento y práctica

de destrezasde destrezas

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Derechos de impresión © por The McGraw-Hill Companies, Inc. Todos los derechos están reservados . Se concede permiso para reproducir el material de este libro bajo la condición de que dicho material se use solamente en el salón de clases; sea gratis para alumnos, maestros y familias; y se use exclusivamente en conjunto con el programa las matemáticas conectan. Se prohibe explícitamente cualquier otra reproducción para cualquier otro uso o para la venta.

Enviar toda correspondencia a:Glencoe/McGraw-Hill8787 Orion PlaceColumbus, OH 43240-4027

ISBN: 978-0-07-894424-6MHID: 0-07-894424-4

Impreso en los Estados Unidos de América.

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Al estudiante Este cuaderno de ejercicios Cuaderno de reforzamiento y práctica de destrezas incluye problemas adicionales para los ejercicios del concepto de cada lección. Los ejercicios están formulados para ayudarte en tu estudio de las matemáticas, reforzando destrezas importantes que se necesitan para tener éxito en la vida. Los materiales están organizados por capítulo y por lección, con una hoja de trabajo de Práctica de tarea y una hoja de Práctica de destrezas por cada lección en Las matemáticas conectan para Florida, Curso 1 de Glencoe.

Mantén siempre a la mano tu cuaderno de ejercicios. Junto con tu libro de texto, tu tarea diaria y las notas que tomes en clase, el Cuaderno de reforzamiento y práctica de destrezas con todos los ejercicios completados, te puede ayudar en el momento de estudiar para las pruebas y los exámenes.

Al maestro Estas hojas de trabajo son las mismas que se encuentran en Recursos para el capítulo para el Curso 1 de Las matemáticas conectan para Florida de Glencoe. Las respuestas están disponibles al final de cada libreta, así como al final de cada capítulo en la Edición del maestro.

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ContenidoCapítulo 0 Prepárate0-1 Un plan para resolver problemas . . . . . . . . . 10-2 Suma y resta decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 30-3 Suma y resta fracciones con

el mismo denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50-4 Suma y resta fracciones con

distintos denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 70-5 Sumar y restar números mixtos . . . . . . . . . . 9

Capítulo 1 Multiplica y divide decimales

Multiplica decimalesA Estima productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

C Multiplica decimales por números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

E Multiplica decimales por decimales . . . . . 15

Divide decimalesA Estima cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

C Divide decimales entre números enteros . 19

E Divide decimales entre decimales . . . . . . 21

Potencias de 10A Multiplica por potencias de 10 . . . . . . . . . 23

B Divide entre potencias de 10 . . . . . . . . . . 25

C Investigación para resolver problemas: Determinas respuestas razonables . . . . . 27

Capítulo 2 Multiplica y dividefracciones

Multiplica fracciones y números enteros

B Estima productos de fracciones . . . . . . . . 29

D Multiplica fracciones pornúmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

E Investigación para resolver problemas: Dibuja un diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Multiplicar fraccionesB Multiplica fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

D Multiplica números mixtos . . . . . . . . . . . . 37

Divide fraccionesB Divide números enteros entre fracciones 39

D Divide fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

E Divide números mixtos . . . . . . . . . . . . . . . 43

Capítulo 3 Análisis de datos

Medidas de tendencia central

B Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

D Mediana, moda y rango . . . . . . . . . . . . . . 47

F Medidas apropiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Representar datosA Investigación para resolver problemas:

Haz una tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

B Tablas de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

D Esquemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

E Elige una presentación apropiada . . . . . . 57

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Capítulo 4 Razones y tasas

Razones y tasasB Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

D Tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tablas de razonesA Tablas de razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

C Investigación para resolver problemas: Halla un patrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Resuelve problemas de razones y tasas

A Razones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 67

C Problemas sobre razones y tasas . . . . . . . 69

Capítulo 5 Fracciones, decimales y porcentajes

Fracciones y decimalesA Decimales como fracciones . . . . . . . . . . . . 71

B Fracciones como decimales . . . . . . . . . . . . 73

PorcentajesB Porcentajes como fracciones . . . . . . . . . . . 75

C Fracciones como porcentajes . . . . . . . . . . 77

D Porcentajes y decimales . . . . . . . . . . . . . . 79

E Porcentajes mayores que 100% y porcentajes menores que 1% . . . . . . . . . . 81

Compara y ordena fracciones, decimales y porcentajes

B Compara y ordena fracciones . . . . . . . . . . 83

D Compara y ordena fracciones, decimales y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Aplica porcentajesB Estima con porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . 87

D Porcentaje de un número . . . . . . . . . . . . . 89

E Investigación para resolver problemas: Resuelve un problema más simple . . . . . . 91

Capítulo 6 Expresiones algebraicas

Escribe y evalúa expresiones

A Expresiones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . 93

B Álgebra: Variables y expresiones . . . . . . . 95

D Álgebra: Escribe expresiones . . . . . . . . . . 97

E Investigación para resolver problemas: Haz un simulacro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

PropiedadesA Álgebra: Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 101

C La propiedad distributiva . . . . . . . . . . . . 103

Capítulo 7 Resuelve ecuaciones

Ecuaciones de adición y sustracción

A Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B Investigación para resolver problemas: Trabaja al revés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

D Resuelve y escribir ecuaciones de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

F Resuelve y escribir ecuaciones de sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Área de rectángulos y cuadrados

B Resuelve y escribe ecuaciones de multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

D Resuelve y escribe ecuaciones de división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Ecuaciones de dos pasos

B Resuelve y escribe ecuaciones de dos pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Capítulo 8 Funciones y desigualdades

Relaciones y funcionesA Grafica relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

C Tablas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

D Reglas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

E Funciones y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 125

F Representaciones múltiples de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

DesigualdadesB Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

C Investigación para resolver problemas: Adivina, verifica y revisa . . . . . . . . . . . . 131

D Escribe y grafica desigualdades . . . . . . . 133

F Resuelve desigualdades de un paso . . . . 135

G Desigualdades de dos pasos . . . . . . . . . . 137

Capítulo 9 Usa fórmulas en geometría

ÁreaA Área de paralelogramos . . . . . . . . . . . . . 139

C Área de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

D Área de trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

CírculosB Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

D Área de círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Figuras compuestasA Perímetro de figuras compuestas . . . . . . 149

C Área de figuras compuestas . . . . . . . . . . 151

D Investigación para resolver problemas: Haz un modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

VolumenB Volumen de prismas rectangulares . . . . 155

Capítulo 10 Medición: Volumen y área de superficie

Volumen de prismas y pirámides

B Volumen de prisma triangularese . . . . . 157

D Volumen de pirámides . . . . . . . . . . . . . . 159

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Volumen de conos y cilindros

B Volumen de cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . 161

D Volumen de conos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Área de superficie de figuras ridimensionales

B Área de superficie de prismas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

D Área de superficie de cilindros . . . . . . . . 167

E Investigación para resolver problemas: Dibuja un diagrama . . . . . . . 169

Figuras tridimensionales compuestas

B Volumen y área de superficie de figuras compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Capítulo 11 Enteros

Enteros y el plano de coordenadas

B Enteros y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . 173

C El plano de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 175

Suma y resta enteros

B Suma enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

D Resta enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Multiplica y divide enteros

B Multiplica enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

C Investigación para resolver problemas: Trabaja al revés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

E Divide enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Capítulo 12 Operaciones con números racionales

Números racionalesB Decimales terminales y periódicos . . . . 187

C Compara y ordena números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Suma y resta números racionales

B Suma y resta fracciones semejantes positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . 191

C Suma y resta fracciones no semejantes positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Multiplica y divide números racionales

A Multiplica fracciones positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

B Divide fracciones positivas y negativas . . 197

C Resuelve ecuaciones con coeficientes racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

D Investigación para resolver problemas: Escribe una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . 201

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Capítulo 0 1 Curso 1

ReforzamientoUn plan para resolver problemas

En matemáticas, hay un plan de cuatro pasos que puedes seguir como ayuda para resolver cualquier problema. Los cuatro pasos son Comprender, Planificar, Resolver y Verificar.

Hay 221 muchachos que quieren jugar béisbol en las Ligas Menores este año. Van a repartirse en equipos de 13 jugadores por equipo. ¿Cuántos equipos se pueden formar?

Comprende Sabes que hay 221 muchachos que quieren jugar y que van a ponerlos en equipos de 13 jugadores. Necesitas encontrar cuántos equipos se pueden formar.

Planifica Para calcular el número de equipos divide 221 entre 13. Estima 200 ÷ 10 = 20.

Resuelve 17 13 � �� 221 -13

91 -91

0

Habrá 17 equipos

Verifica Comparando con la estimación, la respuesta es razonable. Como 17 × 13 = 221, la respuesta es correcta.

Ejercicios

Usa el plan de cuatro pasos para resolver cada problema.

1. YOGA La Sra. Gordon compró colchonetas para la clase de yoga. Si cada colchoneta costaba $15 dólares y si ella tenía $330 para gastar, ¿cuántas colchonetas podía comprar?

2. AGUA La tabla muestra la cantidad de agua que queda en un tanque a medida que se va desocupando. ¿Cuánta agua quedará en el tanque al cabo de 5 minutos?

Tiempo (min) 1 2 3 4 5

Agua (gal) 25 20 15

3. PATRONES Completa el patrón 17, 21, 25, 29, , , .

Ejemplo

0-1Capítulo

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Usa el plan de cuatro pasos para resolver cada problema.

1. PATRONES Completa el patrón 92, 80, 68, 56, , , .

2. TELEVISORES La gráfica muestra el número de televisores de pantalla plana que se vendieron en TeVeLandia cada año. ¿Aproximadamente cuántas veces más se vendieron en 2010 que en 2007?

Núm

ero

400

300

200

100

Año2009

305

2008

150

2007 2010

Ventas TV de pantalla plana en TeVeLandia

371

72

3. CORRER La tabla muestra el número de millas que corrió Geoff. Si continuó a esta velocidad, ¿cuántas millas corrió en 25 minutos?

Minutos 5 10 15 20 25

Millas 3 − 4 1 1 −

2 2 1 −

4 3 ?

4. PECES Un pez vela pesa 37 libras y una perca pesa 15 libras. ¿Cuánto más pesa el pez vela que la perca?

5. CASAS La familia Westmont está comprando una casa. Su pago mensual es de $750. ¿Cuánto serán sus pagos en un período de 5 años?

6. CONDUCIR Natalie condujo 350 millas con 14 galones de gasolina. ¿Cuántas millas recorrió por galón?

0-1Capítulo

Práctica de destrezasUn plan para resolver problemas


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Para sumar o restar decimales, alinea los puntos decimales. Luego, suma o resta los dígitos que ocupen la misma posición.

Calcula 32.8 + 7.1.

Estima 32.8 + 7.1 ≈ 33 + 7 ó 40

32.8 Alinea los puntos decimales

+ 7.1

39.9 Suma igual que con números enteros.

Verifica la racionabilidad 39.9 ≈ 40 �

Por tanto, 32.8 + 7.1 = 39.9.

Calcula 19.68 - 12.43.

Estima 19.68 - 12.43 ≈ 20 - 12 ó 8

19.68 Alinea los puntos decimales

- 12.43

7.25 Resta igual que con números enteros.


Por tanto, 19.68 - 12.43 = 7.25.

Calcula 11 - 3.289.

Estima 11 - 3.289 ≈ 11 - 3 ó 8

11.000 Agrega ceros para que los dos números tengan el mismo número de lugares decimales

- 3.289

7.711


Por tanto, 11 - 3.289 = 7.711.

Ejercicios

Calcula cada suma o diferencia.

1. 9.3 + 4.6 2. 3.76 + 4.19

3. 11.6 - 5.4 4. 48.23 - 18.91

0-2Capítulo

Ejemplo 3

Ejemplo 1

Ejemplo 2

ReforzamientoSuma y resta decimales

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Calcula cada suma o diferencia.

1. 18.4 + 7.3 2. 14.29 - 13.17

3. 46.2 + 17.67 4. 11.39 + 25.84

5. 29.81 - 5.97 6. 85 - 47.34

7. 2.65 + 5 8. 64.31 - 37.75

Usa el orden de operaciones para calcular cada valor.

9. 3 × 5 + 0.048 10. 7.6 + 4 × 6

11. 10 ÷ (7.4 - 4.9) 12. 9.6 - (34 ÷ 17)

13. PATINAJE DE VELOCIDAD La tabla muestra los tiempos para tres patinadores de velocidad. Calcula la diferencia entre los tiempos de Pedro y de Yusef.

Patinador Tiempo (s)Yousef 42.5Sol 46.8Pedro 53.4

14. DINERO Anaís pagó $26.54 por una bola de boliche y $39.95 por zapatos para bolos. Le entregó un billete de $100 al empleado. ¿Cuánto recibió de cambio?

15. TEMPERATURAS La temperatura era 52.6ºF. Subió 12.2ºF. ¿Cuál fue la temperatura cuando calentó?

0-2Capítulo

Práctica de destrezasSuma y resta decimales


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Las fracciones con igual denominador se llaman fracciones semejantes. Cuando sumas y restas fracciones semejantes, el denominador indica las unidades que se suman o se restan. Para sumar fracciones de igual denominador, suma los numeradores. Usa el mismo denominador en la suma.

Suma 3 − 5 + 1 −

5 . Escribe en forma simplificada.

3 − 5 + 1 −

5 = 3 + 1 −

5 Suma los numeradores.

= 4 − 5 Simplifica.

15

15

15

15

35

+ =15

45

Resta 4 − 6 - 2 −


4 − 6 - 2 −

6 = 4 - 2 −

6 Resta los numeradores.

= 2 − 6 ó 1 −

3 Simplifica.

16

16

16

16

46

-26

26

=

Ejercicios

Suma o resta. Escribe el resultado en forma simplificada.

1. 2 − 4 + 1 −

4 2. 1 −

6 + 1 −

6

3. 5 − 16

+ 2 − 16

4. 8 − 12

- 5 − 12

5. 11 − 13

- 5 − 13

6. 7 − 8 - 3 −

8

Ejemplo 1

Ejemplo 2

0-3Capítulo

ReforzamientoSuma y resta fracciones con el mismo denominador


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1. 6 − 14

+ 3 − 14

2. 5 − 9 + 2 −

9

3. 11 − 20

+ 4 − 20

4. 2 − 5 + 1 −

5

5. 3 − 7 + 3 −

7 6. 7 −

8 - 2 −

8

7. 5 − 6 - 3 −

6 8. 9 −

10 - 8 −

10

9. 11 − 13

- 9 − 13

10. 7 − 12

- 2 − 12

11. EMPLEOS La tabla muestra el tiempo que pasó Dorinda haciendo cada una de estas tres actividades. ¿Cuánto tiempo pasó en total haciendo estas cosas?

Actividad Tiempo (h)

Hablar por teléfono 3 − 10

Planchar 4 − 10

Desempolvar 2 − 10

12. COLOR DEL CABELLO Si 7 − 12

de la clase tiene cabello castaño y 2 − 12

tiene cabello

colorado, ¿qué fracción mayor que los estudiantes con cabello colorado representan los estudiantes de cabello castaño?

13. MODELO Escribe una expresión de suma o resta para el siguiente modelo.

15

15

15

15

Práctica de destrezasSuma y resta fracciones con el mismo denominador

0-3Capítulo


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nc.


ReforzamientoSuma y resta fracciones con distintos denominadores

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador:

• Expresa las fracciones de otro modo usando el mínimo común denominador (mcd).

• Suma o resta como haces con fracciones que tienen el mismo denominador.

• Si es necesario, simplifica la suma o la diferencia.

Calcula 1 − 2 + 1 −

4 .

Método 1 Usa un modelo. Método 2 Usa el mcd

1 − 2 + 1 −

4 Escribe el Expresa de otro modo Suma las fracciones

problema. usando el mcd semejantes.

= 3 − 4 1 −

2 1 × 2 −

2 × 2 = 2 −

4 2 −

4

+ 1 − 4 + 1 × 1 −

4 × 1 = 1 −

4 + 1 −

4

3 − 4

Calcula 3 − 4 - 2 −

5 . Escribe el resultado en forma simplificada.

Estima 3 − 4 - 2 −

5 ≈ 1 - 1 −

2 ó 1 −

2

Escribe el Expresa de otro modo Resta las fracciones problema. usando el mcd semejantes.

3 − 4 3 × 5 −

4 × 5 15 −

20

- 2 − 5 - 2 × 4 −

5 × 4 - 8 −

20

7 − 20

Verifica la racionabilidad 7 − 20

≈ 1 − 2 �

Ejercicios


1. 3 − 5 + 3 −

10 2. 3 −

8 + 1 −

2

3. 2 − 3 - 1 −

4 4. 9 −

10 - 5 −

6

→

→

→

→

Ejemplo 1

Ejemplo 2

→

→

→

→

12

14

14

14

14

0-4Capítulo




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-Hill, a division

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ill Com

panies, In

c.


Práctica de destrezasSuma y resta fracciones con distintos denominadores


1. 2 − 7 + 1 −

2 2. 5 −

12 + 2 −

6

3. 2 − 7 + 2 −

5 4. 4 −

5 - 2 −

3

5. 2 − 5 + 1 −

2 6. 4 −

9 - 1 −

4

7. 5 − 12

- 1 − 8 8. 1 −

3 + 1 −

4

9. 9 − 10

- 2 − 5 10. 7 −

8 - 1 −

2

11. BARRAS DE GRANOLA Rubicón comió 1 − 3 de su barra de granola. Dos horas

después, se comió 1 − 6 de la misma barra. ¿Qué fracción de la barra se

ha comido?

12. CASAS En una calle dada, 3 − 5 de las casas son de ladrillo, 3 −

10 tienen

paredes revestidas de madera y el resto tienen paredes revestidas de aluminio. ¿Qué fracción más de casas tienen ladrillo que revestimiento de madera?

13. FLORES Si 4 − 5 de las flores en un jardín son caléndulas y 1 −

10 son petunias,

¿qué fracción más de flores son caléndulas?

14. ANIMALES DE PELUCHE La tabla muestra la fracción de cada tipo animales de peluche que tiene Lucy. ¿Qué fracción de los animales de peluche son osos o perros?

Animales Fracción

Osos 3 − 12

Perros 2 − 9

Gatos 1 − 4

Tigres 5 − 18

0-4Capítulo


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Para sumar o restar números mixtos:

• Suma o resta las fracciones.

• Luego, suma o resta los números enteros.

• Si es necesario, expresa el resultado de otra manera.

Calcula 3 1 − 2 + 2 1 −

4 .

Estima 3 1 − 2 + 2 1 −

4 ≈ 4 + 2 ó 6

Escribe el Expresa de otro modo Suma las fracciones. Luego,problema. usando el mcd 4. suma los números enteros.

3 1 − 2 3 1 × 2 −

2 × 2 3 2 −

4

+ 2 1 − 4 + 2 1 × 1 −

4 × 1 + 2 1 −

4

5 3 − 4

Verifica la racionabilidad 5 3 − 4 ≈ 6 �

Calcula 7 - 3 2 − 5 .

Estima 7 - 3 2 − 5 ≈ 7 - 3 ó 4

7 6 5 − 5 Expresa 7 de otro modo como 6 5 −

5 .

- 3 2 − 5 - 3 2 −

5

3 3 − 5 Resta.

Verifica la racionabilidad 3 3 − 5 ≈ 4 �

Ejercicios


1. 4 1 − 5 + 2 1 −

2 2. 3 1 −

4 + 1 2 −

3

3. 6 7 − 12

- 3 1 − 6 4. 9 - 2 3 −

7

Ejemplo 1

→

→

→

→

→

→

Ejemplo 2

ReforzamientoSuma y resta números mixtos

0-5Capítulo




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-Hill, a division

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ill Com

panies, In

c.


Suma o resta. Expresa el resultado en forma simplificada.

1. 2 1 − 2 + 3 1 −

6 2. 3 3 −

4 + 1 1 −

12

3. 2 2 − 7 + 4 1 −

3 4. 5 1 −

2 - 2 1 −

8

5. 6 11 − 12

- 4 3 − 8 6. 7 - 5 3 −

5

7. 2 - 2 − 9 8. 8 1 −

4 + 5 3 −

10

9. 2 1 − 4 + 3 3 −

8 + 5 1 −

16 10. 11 2 −

3 + 7 1 −

6 - 4

11. AVES Un flamenco pesa 7 3 − 4 libras. Otro flamenco pesa 6 1 −

3 libras.

¿Cuánto más pesa el primer flamenco que el segundo?

12. CHAMPÚ Norris vertió 1 1 − 2 onzas de champú en un frasco. Luego, agregó

1 2 − 5 onzas más. Va a viajar en avión y la aerolínea solamente permite

3 onzas de líquido en el equipaje de mano. ¿Podrá Norris llevar este frasco de champú en su equipaje de mano? Explica.

13. MAMÍFEROS ACUÁTICOS Un manatí mide 11 5 − 6 pies de largo y una

marsopa mide 7 3 − 4 pies de largo. ¿Cuánto más largo es el manatí

que la marsopa?

14. ALIMENTOS Carlina compró en la carnicería 3 1 − 2 libras de carne molida

de vaca y 2 1 − 3 libras de chancho molido. ¿Cuánta carne molida compró?

15. CINE Shukti miró una película durante 1 1 − 3 de hora antes de cenar. La película

dura 2 1 − 4 horas. ¿Cuánto más le falta por ver de la película después de cenar?

Práctica de destrezasSuma y resta números mixtos

0-5Capítulo


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1-1A

ReforzamientoEstima productos

A

Estimar un producto.

Estima 5.8 × 7.

5.8 6 Redondea 5.8 a 6. ×7 ×7 42

El producto es aproximadamente 42.

Estimar un producto.

Estima 9.6 × 4.2.

9.6 10 Redondea 9.6 a 10. ×4.2 ×4 Redondea 4.2 a 4. 40

El producto es aproximadamente 40.

Ejercicios

Estima cada producto.

1. 7.4 × 2.7 2. 9.2 × 8.8

3. 22.1 × 9.9 4. 1.1 × 7.5

5. 14.4 × 8 6. 37.2 × 7

7. 19.6 × 5.4 8. 64.3 × 3.8

9. 35.1 10. 12.6× 10.2 × 3.2

Al estimar un producto, redondea al número entero más cercano mirando el dígito en el lugar de las décimas y redondeando hacia abajo si el dígito es 4 o menos, y hacia arriba si el dígito es 5 o más.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1-1


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panies, In

c.


1-1A


1. 2.8 × 7.9 2. 72.1 × 49.7 3. 21.2 × 14

4. 3.8 × 11 5. 53.4 × 8.1 6. 15.7 × 6.2

7. 36.3 × 4 8. 88.5 × 3 9. 43.9 × 5.6

10. 18.4 × 2.7 11. 25.8 × 6.5 12. 61.2 × 7

Estima para determinar si cada respuesta es razonable. Si la respuesta es razonable, escribe sí. Si no lo es, escribe no e indica una estimación razonable.

13. 1,109 × 71 = 77,000 14. 42.9 × 101 = 4,300

Práctica de destrezasEstima productos


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1-1

Cuando multiplicas un decimal por un número entero, multiplicas los números como si estuvieras multiplicando números enteros. Luego, usas estimación o cuentas el número de lugares decimales para decidir dónde poner el punto decimal. Si no hay suficientes lugares decimales en el producto, agrega ceros.

Halla 5 × 0.36 usando modelos.

Representa 5 grupos de 0.36 en un modelo de decimales.

Vuelve a ordenar las columnas y los cuadrados pequeños para llenar todas las cuadrículas completas que puedas.

Por tanto, 5 × 0.36 = 1.8.

Calcula 6.25 × 5.

Método 1 Usa estimación. Método 2 Cuenta los lugares decimales.

Redondea 6.25 a 6. 6.256.25 × 5 → 6 × 5 ó 30 × 5 1 2 31.25 6.25 Como la estimación es 30,

× 5 coloca el punto decimal después

31.25 de 31.

Calcula 3 × 0.0047.

2 0.0047 Hay cuatro lugares decimales.

× 3 0.0141

Ejercicios

Multiplica.

1. 8.03 × 3 2. 6 × 12.6 3. 2 × 0.012 4. 0.0008 × 9

5. 2.32 × 5 6. 6.8 × 7 7. 5.2 × 4 8. 1.412 × 3

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Cuenta el mismo número de lugares decimales de derecha a izquierda.

Hay dos lugares a la derecha del punto decimal.

Agrega un cero a la izquierda de 141 para formar cuatro lugares decimales

ReforzamientoMultiplica decimales por números enteros

C


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ill Com

panies, In

c.


1-1

Multiplica. Usa modelos si es necesario.

1. 1.5 2. 0.9 3. 0.45 4. 3.12 × 3 × 6 × 5 × 8

5. 3.47 6. 2.08 7. 9.14 8. 0.82 × 5 × 6 × 2 × 9

9. 6.3 10. 0.02 11. 9.12 12. 27.3 × 9 × 3 × 4 × 8

13. 4.007 14. 3.13 15. 5.02 16. 6.31 × 4 × 3 × 8 × 6

17. 8.01 18. 4.325 19. 0.762 20. 0.08 × 5 × 7 × 2 × 8

21. 6 × 3.04 22. 2.6 × 9

23. 13 × 2.5 24. 1.006 × 4

Práctica de destrezasMultiplica decimales por números enteros

C


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1-1

Calcula 5.2 × 6.13.

Estima: 5 × 6 ó 30

5.2 Un lugar decimal

× 6.13 Dos lugares decimales

156 52+ 312 31.876 Tres lugares decimales

El producto es 31.876. Comparado con la estimación, el producto es razonable.

Calcula 2.3 × 0.02.

Estima: 2 × 0.02 ó 0.04

2.3 Un lugar decimal

× 0.02 Dos lugares decimales

0.046 Agrega un cero para formar tres lugares decimales.

El producto es 0.046. Comparado con la estimación, el producto es razonable.

Ejercicios

Multiplica.

1. 7.2 × 2.1 2. 4.3 × 8.5 3. 2.64 × 1.4

4. 14.23 × 8.21 5. 5.01 × 11.6 6. 9.001 × 4.2

7. 3.24 × 0.008 8. 0.012 × 2.9 9. 0.9 × 11.2

Cuando multiplicas un decimal por un decimal, multiplicas los números como si estuvieras multiplicando números enteros. Para decidir dónde poner el punto decimal, halla la suma del número de lugares decimales en cada factor. El producto tiene el mismo número de lugares decimales.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

EReforzamientoMultiplica decimales por decimales


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panies, In

c.


1-1

Multiplica.

1. 0.3 × 0.5 2. 1.2 × 2.1

3. 2.5 × 6.7 4. 0.4 × 8.3

5. 2.3 × 1.21 6. 0.6 × 0.91

7. 6.5 × 0.04 8. 8.54 × 3.27

9. 5.02 × 1.07 10. 0.003 × 2.9

11. 0.93 × 6.8 12. 7.1 × 0.004

13. 3.007 × 6.1 14. 2.52 × 0.15

15. 2.6 × 5.46 16. 16.25 × 1.3

17. 3.5 × 24.09 18. 0.025 × 17.1

19. 11.04 × 6.18 20. 83 × 16.7

21. 27.1 × 10.15 22. 41.2 × 10.34

Práctica de destrezasMultiplica decimales por decimales

E


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A

Estima un cociente

Estima 15.1 ÷ 5.8.

3 5.7 � �� 15.1 5 � �� 15 Redondea 5.7 a 5 porque 15 y 5 son números compatibles..

El cociente es aproximadamente 3.

Ejercicios

Estima cada cociente.

1. 71.4 ÷ 9.3 2. 53.8 ÷ 17.2

3. 12.6 ÷ 4.2 4. 31.5 ÷ 7.9

5. 50.2 ÷ 5.3 6. 18.9 ÷ 5.8

7. 24.7 ÷ 4.8 8. 9.2 ÷ 4.7

9. 34.2 ÷ 4.5 10. 99.1 ÷ 24.7

11. 44.9 ÷ 9.3 12. 19.4 ÷ 2.1

Al estimar un cociente, buscas números que sean compatibles entre sí para facilitar la división mentalmente.

Ejemplo 1

ReforzamientoEstima cocientes

1-2


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ill Com

panies, In

c.


A

1-2

Estima cada cociente.

1. 7.9 ÷ 2.8 2. 11.6 ÷ 3.1 3. 18.4 ÷ 6.1

4. 88.3 ÷ 11.4 5. 37.4 ÷ 9.1 6. 58.4 ÷ 7.9

7. 27.3 ÷ 8.7 8. 64.1 ÷ 9.4 9. 42.1 ÷ 6.1

10. 19.4 ÷ 4.2 11. 98.7 ÷ 11.3 12. 369.1 ÷ 6.2

Estima para determinar si cada respuesta es razonable. Si la respuesta es razonable, escribe sí. Si no lo es, escribe no e indica una estimación razonable.

13. 37.4 ÷ 18.8 = 4 14. 126.2 ÷ 25.9 = 5

Práctica de destrezasEstima cocientes


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Calcula 8.73 ÷ 9.

Estima: 9 ÷ 9 = 1

0.979 � �� 8.73 -8 1 63 -63 0

8.73 ÷ 9 = 0.97 Comparado con la estimación, el producto es razonable.

Calcula 8.58 ÷ 12.

Estima: 10 ÷ 10 = 1

0.71512 � �� 8.580 -8 4 18 -12 60 -60 0

8.58 ÷ 12 = 0.715 Comparado con la estimación, el producto es razonable.

Ejercicios

Divide.

1. 9.2 ÷ 4 2. 4.5 ÷ 5 3. 8.6 ÷ 2 4. 2.89 ÷ 4

5. 3.2 ÷ 4 6. 7.2 ÷ 3 7. 7.5 ÷ 5 8. 3.45 ÷ 15

Cuando divides un decimal entre un número entero, colocas el punto decimal en el cociente arriba del punto decimal en el dividendo. Luego, divide tal como lo haces con números enteros.

Ejemplo 1

Coloca el punto decimal directamente sobre el punto decimal del dividendo.

Divide como haces con números enteros.

Ejemplo 2

Coloca el punto decimal.

Agrega un cero para seguir dividiendo.

ReforzamientoDivide decimales entre números enteros

1-2C


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panies, In

c.


Divide. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1. 9.6 ÷ 3 2. 5.15 ÷ 5

3. 16.08 ÷ 2 4. 24.64 ÷ 7

5. 132.22 ÷ 11 6. 142.4 ÷ 16

7. 79.2 ÷ 9 8. 47.4 ÷ 15

9. 217.14 ÷ 21 10. 34.65 ÷ 5

11. 20.72 ÷ 8 12. 72.6 ÷ 10

13. 57.48 ÷ 15 14. 264.5 ÷ 25

15. 317.59 ÷ 34 16. 122.32 ÷ 11

17. 42.48 ÷ 18 18. 323.31 ÷ 24

Práctica de destrezasDivide decimales entre números enteros

C

1-2


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Calcula 10.14 ÷ 5.2.

Estima: 10 ÷ 5 = 2

Multiplica por 10 para formar un número entero.

1.95 Coloca el punto decimal.5.2 � �� 10.14 52 � �� 101.40 Divide como lo haces con números enteros. - 520 0

Multiplica por el mismo número, 10.

4940 - 4680 260 Agrega un cero para continuar.

- 260 0

10.14 dividido entre 5.2 es 1.96. Compara el cociente con la estimación.Verifica 1.95 × 5.2 = 10.14 �

Calcula 4.09 ÷ 0.02.

204.5 Coloca el punto decimal.0.02 � �� 4.09 2 � �� 409.0 Divide. - 4

Multiplica cada uno por 100. 00 - 0

09 - 8 10 Escribe un cero en el dividendo - 10 y continúa para dividir. 0

4.09 dividido entre 0.02 es 204.5.Verifica 204.5 × 0.02 = 4.09 �

Ejercicios

Dividir.

1. 9.8 ÷ 1.4 2. 4.41 ÷ 2.1 3. 16.848 ÷ 0.72

4. 8.652 ÷ 1.2 5. 0.5 ÷ 0.001 6. 9.594 ÷ 0.06

Cuando divides un decimal entre un decimal, multiplicas el divisor y el dividendo entre la misma potencia de diez. Luego, divide tal como lo haces con números enteros.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

��

��

ReforzamientoDivide decimales entre decimales

E

1-2


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c.


Dividir.

1. 4.86 ÷ 0.2 2. 2.52 ÷ 0.7

3. 14.4 ÷ 1.2 4. 17.1 ÷ 3.8

5. 3.96 ÷ 1.32 6. 628.2 ÷ 34.9

7. 0.105 ÷ 0.5 8. 1.296 ÷ 0.16

9. 3.825 ÷ 2.5 10. 8.253 ÷ 0.5

11. 0.9944 ÷ 0.8 12. 1.638 ÷ 0.35

13. 13.59 ÷ 0.75 14. 4.4208 ÷ 1.8

15. 16.16 ÷ 0.2 16. 158.1 ÷ 5.1

17. 247.5 ÷ 3.3 18. 0.132 ÷ 1.1

Práctica de destrezasDivide decimales entre decimales

1-2E


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nc.


A

Ejemplo 1 Calcula 7.24 × 1,000.

7.24 × 1,000 = 7.240 1,000 tiene 3 ceros; por tanto, corre el punto decimal 3 lugares hacia la derecha

= 7,240 Agrega ceros según la necesidad.

Ejemplo 2 Calcula 36.4 × 0.001.

36.4 × 0.001 = 036.4 Hay 3 lugares después del punto decimal en 0.001; por tanto, corre el punto decimal 3 lugares hacia la izquierda. Agrega ceros según la necesidad.

= 0.0364 Agrega un cero adelante del punto decimal.

Ejercicios

Calcula cada producto.

1. 4.5 × 100 2. 0.298 × 1,000 3. 6.31 × 10

4. 0.34 × 1,000 5. 8.1 × 10,000 6. 44.73 × 10

7. 52.1 × 0.01 8. 12.21 × 0.001 9. 0.56 × 0.1

10. 12.8 × 0.001 11. 35.2 × 0.1 12. 0.7 × 0.01

• Al multiplicar un decimal por una potencia de 10 mayor que 1, mueve el punto decimal hacia la derecha un número de lugares igual al número de ceros en la potencia de 10.

• Al multiplicar un decimal por una potencia de 10 menor que 1, mueve el punto decimal hacia la izquierda un número de lugares igual al número de lugares después del punto decimal en la potencia de 10.

ReforzamientoMultiplica por potencias de 10

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��

1-3


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A

Calcula cada producto.

1. 0.37 × 1,000 2. 14.75 × 100 3. 8.92 × 1,000

4. 9.267 × 100 5. 4.365 × 0.01 6. 67.91 × 0.1

7. 71.23 × 0.001 8. 523.9 × 10 9. 0.0497 × 10

10. 27.37 × 0.01 11. 10.39 × 1,000 12. 78.01 × 0.001

13. 0.975 × 100 14. 9,810 × 0.1 15. 24.98 × 1,000

Práctica de destrezasMultiplica por potencias de 10

1-3


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1-3B

ReforzamientoDivide entre potencias de 10

��

• Al dividir un decimal entre una potencia de 10 mayor que 1, mueve el punto decimal hacia la izquierda un número de lugares igual al número de ceros en la potencia de 10.

• Al dividir un decimal entre una potencia de 10 menor que 1, mueve el punto decimal hacia la derecha un número de lugares igual al número de lugares después del punto decimal en la potencia de 10.

Ejemplo 1 Calcula 13.4 ÷ 100.

13.4 ÷ 100 = 13.4 100 tiene 2 ceros; por tanto, mueves el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda

= 0.134 Como todos los siguientes son dígitos decimales, inserta un cero al comienzo.

Ejemplo 2 Calcula 0.67 ÷ 0.01.

0.67 ÷ 0.01 = 0.67 0.01 tiene 2 lugares después del punto decimal; por tanto, mueves el punto decimal 2 lugares hacia la derecha.

= 67 Quita el punto decimal.

Ejercicios

Calcula cada cociente.

1. 7.586 ÷ 1,000 2. 243 ÷ 100 3. 10.9 ÷ 10

4. 16.82 ÷ 100 5. 0.95 ÷ 1,000 6. 1.536 ÷ 10

7. 5.86 ÷ 0.01 8. 37.21÷ 0.1 9. 6.03 ÷ 0.001

10. 0.284 ÷ 0.1 11. 84 ÷ 0.001 12. 41.4 ÷ 0.01

��


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1-3B

Calcula cada cociente.

1. 3.94 ÷ 1,000 2. 28.7 ÷ 100 3. 543 ÷ 10

4. 19.6 ÷ 100 5. 0.453 ÷ 1,000 6. 268 ÷ 10

7. 0.76 ÷ 0.01 8. 82 ÷ 0.1 9. 34.5 ÷ 0.001

10. 1.392 ÷ 0.1 11. 14.4 ÷ 0.001 12. 2.03 ÷ 0.01

13. 0.125 ÷ 0.1 14. 71 ÷ 100 15. 0.88 ÷ 1,000

Práctica de destrezasDivide entre potencias de 10


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ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Determinas respuestas razonables

Ejemplo ANIMALES La altura media de un chimpancé macho es 1.2 metros y la altura media de una chimpancé hembra es 1.1 metros. ¿Cuál es una altura razonable en pies de un chimpancé macho?

Comprende Sabemos la altura media en metros de un chimpancé macho. Tenemos que encontrar una altura razonable en pies.

Planifica Un metro es muy cercano a una yarda. Una yarda es igual a 3 pies. Por tanto, estima cuántos pies son 1.2 yardas.

Resuelve 1.2 yardas serían más de 3 pies pero menos de 6 pies. Por tanto, una altura media razonable para un chimpancé macho es aproximadamente 4 pies.

Verifica Como 1.2 yd = 3.6 pies, la respuesta de 4 pies es razonable.

Ejercicios

1. COMPRAS Alexis quiere comprar 2 pulseras por $6.95 cada una, 1 par de aretes por $4.99 y 2 collares por $8.95 cada uno. ¿Necesita $40, o bastará con $35? Explica.

2. CAMPAÑA DE ALIMENTOS La clase de Iyoka tiene la meta de reunir 100 latas de alimentos para una campaña. Cinco filas de estudiantes han reunido 15, 31, 22, 29 y 11 latas de alimentos. ¿Alcanzó la clase su meta? Explica.

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es determina respuestas razonables. Si estás resolviendo un problema con valores grandes o un problema con información que es desconocida para ti, quizá te convenga volver a mirar tu respuesta para determinar si es razonable.

Puedes usar la estrategia de determinar respuestas razonables, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas.

1 Comprende – Lee el problema y entiéndelo en general.

2 Planifica – Haz un plan para resolver el problema y estimar la solución.

3 Resuelve – Usa tu plan para resolver el problema.

4 Verifica – Verifica que tu solución sea razonable.

1-3C




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2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

1000

200300400

Estu

dian

tes

500600700800

Año20

02

Matrícula en la Escuela Intermedia Midtown

Usa la estrategia de determinar respuestas razonables para resolver cada problema.

1. ANIMALES Un elefante africano macho pesa 6.5 toneladas. ¿Cuál sería un peso razonable en libras para un elefante africano macho?

2. PREMIOS En el auditorio escolar caben 3,600 personas. ¿Es razonable ofrecer a cada uno de los 627 estudiantes cinco boletos para que ellos, sus familiares y sus amigos asistan a una ceremonia de premiación? Explica.

3. POBLACIÓN Usa la gráfica de la derecha para determinar si 600, 700 u 800 es una predicción razonable del número de matriculados en la Escuela Intermedia Midtown en 2009.

4. FÚTBOL AMERICANO En 2007, 522,530 personas asistieron a los 8 partidos locales de los Tampa Bay Buccaneers. ¿Cuál es una cifra más razonable para el número de personas que asistieron a cada partido: 45,000; 55,000 ó 65,000?

1-3C

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Determinas respuestas razonables




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2-1AB

Ejercicios


1. 1 − 5 × 24 2. 1 −

3 de 16 3. 3 −

8 × 17 4. 4 −

7 de 20

5. 7 − 8 × 3 −

5 6. 11 −

12 × 1 −

3 7. 1 −

9 × 1 −

12 8. 11 −

12 × 6 −

7

9. 3 7 − 8 × 10 1 −

10 10. 2 4 −

5 × 6 1 −

12 11. 4 7 −

8 × 2 9 −

10 12. 7 2 −

7 × 5 3 −

4

Estima 2 − 3 × 8.

Estima 2 − 3 × 8. Facilítalo calculando primero 1 −

3 × 8.

1 − 3 × 9 = ? Convierte 8 en 9 porque 3 y 9 son números compatibles.

1 − 3 × 9 = 3 1 −

3 de 9, o 9 dividido entre 3, es 3.

2 − 3 × 9 = 6 Como 1 −

3 de 9 es 3, entonces 2 −

3 de 9 son 2 × 3 ó 6.

Por tanto, 2 − 3 × 8 es aproximadamente 6.

Los números que son fáciles de dividir mentalmente se llaman números compatibles. Una manera de estimar productos con fracciones es usar números compatibles.

Otro modo de estimar productos es redondear las fracciones a 0, 1 − 2 , ó 1. Si la fracción tiene un numerador

mucho menor que el denominador, redondea a 0. Si el numerador es aproximadamente la mitad del

denominador, redondea a 1 − 2 . Si el numerador y el denominador son casi iguales, redondea a 1.

Puedes estimar el producto de números mixtos redondeando al número entero más cercano.

Ejemplo 1

Estima 1 − 3 × 5 −

6 .

1 − 3 × 5 −

6 → 1 −

2 × 1 = 1 −

2 .

Por tanto, 1 − 3 × 5 −

6 es aproximadamente 1 −

2 .

Ejemplo 2

Estima 3 1 − 4 × 5 7 −

8 .

Como 3 1 − 4 se redondea a 3 y 5 7 −

8 se redondea a 6, entonces 3 1 −

4 × 5 7 −

8 → 3 × 6 = 18.

Por tanto, 3 1 − 4 × 5 7 −

8 es aproximadamente 18.

Ejemplo 3

ReforzamientoEstima productos de fracciones


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2-1 Práctica de destrezasEstima productos de fracciones


1. 1 − 5 × 26 2. 1 −

2 de 17 3. 3 −

4 × 35

4. 2 − 3 × 35 5. 3 −

7 × 29 6. 2 −

9 × 26

7. 5 − 8 × 41 8. 7 −

8 de 30 9. 6 −

11 × 32

10. 6 − 7 × 1 −

8 11. 1 −

3 × 9 −

11 12. 10 −

11 × 1 −

9

13. 5 − 6 de 2 −

7 14. 3 −

5 × 6 −

7 15. 7 −

8 × 8 −

9

16. 5 − 9 × 1 −

7 17. 1 −

12 × 5 −

9 18. 9 1 −

8 × 1 −

3

19. 2 4 − 5 × 5 1 −

4 20. 4 1 −

3 × 3 7 −

8 21. 6 3 −

10 × 4 7 −

9

22. 3 1 − 4 × 7 7 −

8 23. 6 7 −

12 × 8 5 −

12 24. 7 2 −

3 × 9 3 −

8

25. Estima 4 − 5 de 49.

26. Estima el producto de 2 4 − 11

y 16 1 − 5 .

B


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2-1A

ReforzamientoMultiplica fracciones por números enteros

D

Ejemplo 1

Calcula 6 × 3 − 8 . Estima 6 × 1 −

2 ≈ 3.

6 × 3 − 8 = 6 −

1 × 3 −

8 Escribe 6 como 6 −

1 .

= 6 × 3 − 1 × 8

Multiplica.

= 18 − 8 = 9 −

4 ó 2 1 −

4 Simplifica. Compara con la estimación.

Puedes multiplicar números enteros y fracciones escribiendo el número entero como una fracción. Luego, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.

Ejemplo 2

Calcula 2 − 3 × 4.

Dibuja 4 unidades. Luego, divide cada unidad en tercios.

4 unidades

23

2 unidades 23

unidad23

unidad

Colorea 2 − 3 de cada unidad.

Reacomoda para ver que coloreaste 2 2 − 3 unidades.

Ejercicios

Multiplica. Escribe el producto en forma simplificada.

1. 5 × 2 − 3 2. 10 × 3 −

5 3. 9 × 1 −

3 4. 2 × 2 −

5

5. 6 × 1 − 4 6. 15 × 1 −

8 7. 2 −

3 × 12 8. 4 −

5 × 3

9. 4 − 5 × 15 10. 1 −

6 × 11 11. 2 −

7 × 5 12. 5 −

6 × 12

También puedes multiplicar fracciones usando un diagrama.


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2-1A

1. 10 × 1 − 5 2. 12 × 1 −

3 3. 18 × 1 −

9

4. 15 × 2 − 3 5. 16 × 3 −

8 6. 8 × 3 −

4

7. 7 × 4 − 5 8. 10 × 3 −

5 9. 18 × 4 −

9

10. 20 × 9 − 10

11. 16 × 3 − 4 12. 14 × 6 −

7

13. 3 − 4 × 16 14. 1 −

6 × 9 15. 3 −

5 × 10

16. 2 − 3 × 18 17. 3 −

4 × 16 18. 4 −

9 × 18

19. 2 − 5 × 12 20. 5 −

6 × 10 21. 3 −

4 × 15

22 3 − 7 × 8 23. 3 −

8 × 9 24. 5 −

6 × 13

25. Calcula el producto de 24 y 5 − 6 .

26. Calcula el producto de 7 − 8 × 11.

DPráctica de destrezasMultiplica fracciones por números enteros


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2-1A

ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Dibuja un diagrama

Luego de repartir tomates a los vecinos, 4 − 5 de los tomates que le

dieron a Ryan se habían entregado. Si le quedaron 4 tomates, ¿cuántos tomates entregó?

Comprende Sabes que Ryan entregó 4 − 5 de los tomates. Necesitas saber cuántos

tomates entregó.

Planifica Haz un diagrama de barras.

Resuelve Haz un diagrama de barras que represente la cantidad de tomates que tenía Ryan al comienzo.

4?

entregados entregadosentregados entregados quedan

Determina cuántos tomates entregó.

416

4 44 4 4

Por tanto, Ryan entregó 16 tomates.

Verifica Revisa el diagrama para estar seguro de que cumple todos los requisitos. Como el diagrama está correcto, la respuesta también es correcta.

Ejercicio

Latasha está pegando piedras para adornar un portarretratos. De las piedras, 2 − 9 son

rojas y 14 son azules. ¿Cuántas son rojas? Usa la estrategia de haz un diagrama.

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es dibuja un diagrama. Muchos problemas presentan una situación que es más fácil de resolver visualmente. Puedes hacer un diagrama de la situación y luego usar el diagrama para resolver el problema.

Puedes dibuja un diagrama de barras, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver un problema.





E

Ejemplo 1




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2-1A

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Dibuja un diagrama

E

Resuelve. Usa la estrategia de dibuja un diagrama.

1. VIAJES Jazmín recorrió en bicicleta 3 − 8 de la distancia de su escuela a su casa. Si le faltan

10 millas más, ¿cuántas millas ha recorrido?

2. JARDINERÍA La Srta. Kennedy cultivó 3 − 5 de los crisantemos que cultivó el Sr. Hadan. Si

la Srta. Kennedy tiene 12 crisantemos, ¿cuántos crisantemos tienen los dos en total?

3. DEPORTES Benny juega dos deportes. Juega fútbol 3 − 4 partes del tiempo y juega

básquetbol 30 minutos. ¿Cuántos minutos más juega fútbol que básquetbol?




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A

Calcula 2 − 5 × 3 −

4 . Estima

1 −

2 × 1 =

1 −

2

2 − 5 × 3 −

4 = 2 × 3 −

5 × 4 Multiplica los numeradores. Multiplica los denominadores.

= 6 − 20

ó 3 − 10

Simplifica. Compara con la estimación.

Si el numerador y el denominador tienen un factor común, puedes simplificar antes de multiplicar.

Calcula 2 − 5 × 3 −

8 . Estima

1 −

2 ×

1 −

2 = 1 −

4

2 − 5 × 3 −

8 = 2 × 3 −

5 × 8 Divide el numerador y el denominador entre el factor común, 2.

= 3 − 20


Ejercicios

Multiplica.

1. 1 − 2 × 5 −

7 2. 3 −

4 × 2 −

3 3. 5 −

6 × 1 −

3 4. 1 −

5 × 1 −

2

5. 1 − 4 × 5 −

6 6. 3 −

7 × 3 −

4 7. 1 −

5 × 4 8. 5 −

12 × 2

9. 3 − 5 × 10 10. 2 −

3 × 3 −

8 11. 1 −

7 × 1 −

7 12. 2 −

9 × 1 −

2

13. 1 − 3 × 5 −

7 14. 1 −

8 × 5 −

9 15. 4 −

9 × 10 16. 5 −

6 × 9 −

15

BReforzamientoMultiplica fracciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1

//4

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y luego multiplica los denominadores.

2 − 3 × 4 −

5 = 2 × 4 −

3 × 5 = 8 −

15

2-2


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panies, In

c.


Multiplica. Escribe el producto en forma desarrollada.

1. 3 − 4 × 1 −

2 2. 1 −

3 × 2 −

5 3. 1 −

3 × 6

4. 2 − 5 × 3 −

7 5. 3 −

8 × 10 6. 1 −

6 × 3 −

5

7. 2 − 9 × 3 8. 9 −

10 × 4 −

5 9. 7 −

8 × 2 −

9

10. 3 − 4 × 11 11. 5 −

6 × 1 −

4 12. 4 −

9 × 2 −

3

13. 7 − 12

× 6 − 11

14. 5 − 12

× 16 15. 4 − 9 × 1 −

8

16. 1 − 5 × 10 −

11 17. 5 −

12 × 3 −

8 18. 1 −

10 × 4 −

7

19. 4 − 7 × 21 20. 5 −

9 × 18 21. 5 −

6 × 8 −

9

22. 2 − 3 × 5 −

7 23. 3 −

5 × 6 24. 3 −

10 × 7 −

9

25. 6 − 8 × 10 −

12 26. 3 −

8 × 16 27. 3 −

10 × 4 −

9

28. Simplifica 1 − 5 × 1 −

2 × 2 −

3 .

29. Simplifica 2 − 5 × 5 −

6 × 3 −

4 .

30. Simplifica 1 − 10

× 3 − 10

× 5 − 9 .

Práctica de destrezasMultiplica fracciones

2-2B


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ADReforzamientoMultiplica números mixtos

Para multiplicar números mixtos, escribe los números mixtos como fracciones impropias y luego multiplica como haces con las fracciones.

Calcula 1 − 4 × 1 2 −

3 . Estima. Usa números compatibles

1 −

2 × 2 = 1

1 − 4 × 1 2 −

3 = 1 −

4 × 5 −

3 Escribe 1 2 −

3 como 5 −

3 .

= 1 × 5 − 4 × 3

Multiplica.

= 5 − 12


Calcula 1 1 − 3 × 2 1 −

4 .

1 1 − 3 × 2 1 −

4 = 4 −

3 × 9 −

4 Convierte los números mixtos a fracciones impropias.

= 4 − 3 × 9 −

4 Divide el numerador y el denominador entre sus factores comunes, 3 y 4.

= 3 − 1 ó 3 Simplifica.

Ejercicios

Multiplica. Escribe los productos en forma simplificada.

1. 1 − 3 × 1 1 −

3 2. 1 1 −

5 × 3 −

4 3. 2 −

3 × 1 3 −

5 4. 2 −

3 × 3 1 −

2

5. 2 − 9 × 1 1 −

6 6. 2 4 −

9 × 4 −

11 7. 2 1 −

2 × 1 1 −

3 8. 1 1 −

4 × 3 3 −

5

9. 8 1 − 5 × 1 1 −

4 10. 1 3 −

8 × 2 1 −

2 11. 4 2 −

3 × 1 1 −

8 12. 1 1 −

9 × 3 2 −

5

13. Calcula el producto de 1 − 5 y 3 1 −

3 .

14. Simplifica 4 2 − 3 × 1 1 −

4 .

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1

//1

3

//1

2-2


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Multiplica. Escribe los productos en forma simplificada.

1. 1 − 3 × 1 1 −

4 2. 2 1 −

2 × 3 −

5

3. 3 − 4 × 3 1 −

3 4. 6 1 −

5 × 1 −

2

5. 5 − 7 × 4 1 −

5 6. 4 −

7 × 3 1 −

9

7. 4 1 − 6 × 9 −

10 8. 8 −

9 × 5 1 −

7

9. 5 − 7 × 4 3 −

8 10. 2 4 −

9 × 6 −

11

11. 2 5 − 8 × 1 −

6 12. 2 −

5 × 1 2 −

5

13. 1 3 − 5 × 3 2 −

3 14. 1 3 −

8 × 2 2 −

7

15. 3 1 − 3 × 2 1 −

4 16. 3 3 −

4 × 2 4 −

5

17. 5 3 − 4 × 1 1 −

11 18. 2 5 −

8 × 2 5 −

7

19. 2 2 − 9 × 4 4 −

5 20. 5 3 −

8 × 2 2 −

7

21. 6 2 − 3 × 5 2 −

11 22. 6 2 −

5 × 5 5 −

9

23. 8 8 − 9 × 3 1 −

10 24. 9 3 −

5 × 8 7 −

8

25. Calcula el producto de 2 − 3 × 5 1 −

6 .

26. Simplifica 4 1 − 2 × 6 2 −

3 .

Práctica de destrezasMultiplica números mixtos

2-2D


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nie

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nc.


Halla el recíproco de 5 − 9 .

Como 5 − 9 × 9 −

5 = 1, el recíproco de 5 −

9 es 9 −

5 .

Halla el recíproco de 8.

Como 8 × 1 − 8 = 1, el recíproco de 8 es 1 −

8 .

Puedes usar recíprocos para dividir números enteros entre fracciones. Para dividir entre una fracción, multiplica por su recíproco.

Calcula 4 ÷ 1 − 3 .

4 ÷ 1 − 3 = 4 −

1 × 3 −

1 Multiplica por el recíproco, 3 −

1 .

= 12 − 1 ó 12 Simplifica.

Ejercicios

Halla el recíproco de cada número.

1. 1 − 2 2. 1 −

6 3. 4 −

11 4. 3 −

5

Divide. Escribe el resultado en forma simplificada.

5. 3 ÷ 2 − 5 6. 9 ÷ 1 −

2 7. 2 ÷ 1 −

4 8. 1 ÷ 3 −

4

9. 4 ÷ 1 − 2 10. 5 ÷ 1 −

10 11. 12 ÷ 5 −

6 12. 9 ÷ 2 −

3

13. 4 ÷ 7 − 12

14. 10 ÷ 8 − 9 15. 3 ÷ 5 −

8 16. 4 ÷ 7 −

9

Ejemplo 3

Ejemplo 1

Cuando el producto de dos números es 1, los números se llaman números recíprocos.

Ejemplo 2

4

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

B

2-3 ReforzamientoDivide números enteros entre fracciones


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2-3B

Práctica de destrezasDivide números enteros entre fracciones

Halla el recíproco de cada número.

1. 1 − 2 2. 3 −

5 3. 4 −

7 4. 8 −

11

5. 7 − 12

6. 9 − 10

7. 5 − 8 8. 3 −

10


9. 2 ÷ 1 − 3 10. 4 ÷ 1 −

2 11. 1 ÷ 3 −

5

12. 8 ÷ 4 − 5 13. 7 ÷ 5 −

6 14. 10 ÷ 1 −

4

15. 9 ÷ 3 − 8 16. 9 ÷ 3 −

4 17. 2 ÷ 4 −

7

18. 15 ÷ 5 − 9 19. 6 ÷ 3 −

11 20. 9 ÷ 5 −

12

21. 6 ÷ 5 − 12

22. 5 ÷ 10 − 11

23. 9 ÷ 1 − 7

24. 7 ÷ 8 − 9 25. 5 ÷ 9

− 11

26. 5 ÷ 4 − 9

27. Simplifica 18 ÷ 2 − 9 .

28. Simplifica 21 ÷ 7 − 9 .


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Ejemplo 2

Ejemplo 1 Calcula 1 − 2 ÷ 1 −

5 .

1 − 2 ÷ 1 −

5 = 1 −

2 × 5 −


1 .

= 5 − 2 ó 2 1 −

2 Multiplica los numeradores y los denominadores.

Calcula 2 − 3 ÷ 4 −

5 .

2 − 3 ÷ 4 −

5 = 2 −

3 × 5 −


4 .

= 2 × 5 − 3 × 4

Divide 2 y 4 entre el MCD 2.

= 5 − 6 Multiplica los numeradores y los denominadores.

Ejercicios


1. 1 − 3 ÷ 2 −

5 2. 1 −

9 ÷ 1 −

2 3. 2 −

3 ÷ 1 −

4 4. 1 −

2 ÷ 3 −

4

5. 4 − 5 ÷ 1 −

2 6. 4 −

5 ÷ 1 −

10 7. 5 −

12 ÷ 5 −

6 8. 9 −

10 ÷ 1 −

3

9. 3 − 4 ÷ 7 −

12 10. 9 −

10 ÷ 1 −

9 11. 2 −

3 ÷ 5 −

8 12. 3 −

4 ÷ 7 −

9

13. 1 − 2 ÷ 2 14. 5 −

6 ÷ 15 15. 3 −

8 ÷ 3 −

4 16. 7 −

10 ÷ 5 −

7

D

2-3 ReforzamientoDivide fracciones

Puedes usar recíprocos para dividir fracciones. Para dividir entre una fracción, multiplica por su recíproco.

1

2




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panies, In

c.



1. 1 − 2 ÷ 1 −

3 2. 3 −

5 ÷ 1 −

4 3. 1 −

3 ÷ 3 −

4

4. 1 − 2 ÷ 4 −

5 5. 2 −

5 ÷ 1 −

6 6. 9 −

10 ÷ 2 −

3

7. 5 − 8 ÷ 2 −

5 8. 3 −

10 ÷ 1 −

2 9. 5 −

6 ÷ 1 −

3

10. 9 − 10

÷ 1 − 2 11. 1 −

2 ÷ 3 −

5 12. 3 −

8 ÷ 4 −

5

13. 7 − 12

÷ 5 − 6 14. 9 −

10 ÷ 1 −

4 15. 3 −

8 ÷ 9

16. 9 − 10

÷ 3 − 4 17. 2 −

5 ÷ 4 −

7 18. 2 −

3 ÷ 5 −

9

19. 6 − 7 ÷ 3 −

11 20. 1 −

9 ÷ 5 −

12 21. 5 −

6 ÷ 5 −

12

22. 10 − 11

÷ 5 − 6 23. 7 −

9 ÷ 1 −

7 24. 6 −

7 ÷ 8 −

9

25. 3 − 5 ÷ 9 −

11 26. 4 −

5 ÷ 4 −

9 27. 5 −

6 ÷ 3 −

8

28. 3 − 8 ÷ 11 −

12 29. 5 −

9 ÷ 9 −

13 30. 7 −

12 ÷ 9 −

14

2-3D

Práctica de destrezasDivide fracciones


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Calcula 1 2 − 3 ÷ 3 −

4 .

1 2 − 3 ÷ 3 −

4 = 5 −

3 ÷ 3 −

4 Escribe el número mixto como una fracción impropia.

= 5 − 3 × 4 −

3 Multiplica por el recíproco.

= 20 − 9 ó 2 2 −

9 Simplifica.

Calcula 2 2 − 3 ÷ 1 1 −

5 . Estima: 3 ÷ 1 = 3

2 2 − 3 ÷ 1 1 −

5 = 8 −

3 ÷ 6 −

5 Escribe los números mixtos como fracciones impropias.

= 8 − 3 × 5 −


6 .

= 8 × 5 − 3 × 6

Divide 8 y 6 entre el MCD 2.

= 20 − 9 ó 2 2 −

9 Simplifica. Compara con la estimación.

Ejercicios

Divide. Escribe el resultado en su mínima expresión.

1. 2 1 − 2 ÷ 4 −

5 2. 9 ÷ 1 1 −

9 3. 5 ÷ 1 3 −

7 4. 2 1 −

3 ÷ 7 −

9

5. 5 2 − 5 ÷ 9 −

10 6. 2 1 −

4 ÷ 2 −

7 7. 2 1 −

2 ÷ 3 1 −

3 8. 7 1 −

2 ÷ 1 2 −

3

9. 1 2 − 3 ÷ 1 1 −

4 10. 4 4 −

5 ÷ 2 6 −

7 11. 5 1 −

10 ÷ 1 8 −

9 12. 2 3 −

8 ÷ 2 1 −

4

13. Simplifica 6 ÷ 4 3 − 5 .

14. Simplifica 4 2 − 3 ÷ 1 3 −

4 .

Para dividir números mixtos, expresa cada número mixto como una fracción impropia. Luego, divide como haces con las fracciones.

EReforzamientoDivide números mixtos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

4

3

2-3


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panies, In

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Práctica de destrezasDivide números mixtos

Divide. Escribe el resultado en su mínima expresión.

1. 2 5 − 6 ÷ 6 4 −

5 2. 4 6 −

7 ÷ 3 2 −

5 3. 31 2 −

3 ÷ 7 3 −

5

4. 3 ÷ 1 1 − 3 5. 6 ÷ 2 2 −

5 6. 1 3 −

4 ÷ 3 −

4

7. 2 ÷ 4 2 − 7 8. 7 ÷ 3 1 −

9 9. 6 2 −

3 ÷ 4 −

5

10. 1 2 − 9 ÷ 5 −

6 11. 6 ÷ 1 7 −

20 12. 7 −

10 ÷ 2 5 −

8

13. 3 5 − 6 ÷ 1 1 −

3 14. 1 7 −

9 ÷ 4 −

9 15. 5 ÷ 8 3 −

4

16. 2 2 − 9 ÷ 1 1 −

3 17. 3 1 −

5 ÷ 1 7 −

9 18. 6 ÷ 3 1 −

3

19. 3 2 − 3 ÷ 2 2 −

3 20. 4 1 −

4 ÷ 2 5 −

8 21. 4 1 −

3 ÷ 3 1 −

3

22. 4 2 − 3 ÷ 2 2 −

9 23. 6 3 −

5 ÷ 2 3 −

5 24. 5 5 −

8 ÷ 3 3 −

4

25. Simplifica 10 3 − 4 ÷ 6 1 −

2 .

26. Simplifica 9 4 − 9 ÷ 4 −

9 .

2-3E


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NOMBRE ____________________________________ FECHA ___________ PERÍODO ______

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3-1AB

Ejemplo 1 La pictografía muestra el

Amberly

Carlton

Hamilton

West High

Miembros equipos de nataciónnúmero de miembros de cuatro equipos de natación. Calcula el número medio de miembros para cada uno de los cuatro equipos.

media = 9 + 11 + 6 + 10 − 4

= 36 − 4 ó 9

Clave: = 1 nadador

Ejercicios

Calcula la media para cada conjunto de datos.

1. Mes Nieve (pulg)Nov. 20

Dic. 19

Ene. 20

Feb. 17

Mar. 4

2.

302520151050

Prec

io ($

)

Chaqueta

2225

28

9

21

Precios de las chaquetas

A B C D E

3. Número de bicicletas

Smith

Castro

Liu

4. Piezas de un juego de damas

A

B

C

D

Clave: = 1 bicicleta Clave: = 1 pieza

ReforzamientoMedia

La media es un promedio. Describe todos los datos en un conjunto de datos.


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NOMBRE ________________________________ FECHA _____________ PERÍODO ______

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c.


3-1AB

Calcula la media para cada conjunto de datos.

1.

Amber

Dalton

Juan

Shamika

Número de dulces vendidos

D U

L C

ED

U L

C E

D U

L C

ED

U L

C E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

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L C

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D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

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L C

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L C

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L C

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L C

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L C

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D U

L C

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D U

L C

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L C

E

D U

L C

E

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L C

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D U

L C

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D U

L C

E

D U

L C

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L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

D U

L C

E

2.

68

4

02

1012

Talla

Estudiante

Talla zapato de estudiantes

Tyan

aM

ichell

e Jin

Carm

en

Alex

is

Clave: D U

L C

E

= 1 dulce

3.

0Abril Mayo Junio Julio

2468

1012

Lluvia

Cant

idad

de

lluvi

a (c

m)

Mes

4. Estudiante

A

B

C

D

E

Clave: = 1 estudiante

5. TemperaturasDía Temp. (°F)

Lunes 69Martes 70Miércoles 73Jueves 35Viernes 68

6. EstaturasEstudiante Estatura (pulg)Maria 62Peter 67Shann 64Iyoka 65Evangelina 59Carles 67

Práctica de destrezasMedia


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3-1

Ejemplo 1 La tabla muestra los costos de siete libros diferentes. Encuentra la media, la mediana y la moda de los datos.

media: 22 + 13 + 11 + 16 + 14 + 13 + 16 −−− 7 = 105 −

7 ó 15

Para encontrar la mediana, escribe los datos en orden de menor a mayor. mediana: 11, 13, 13, 14, 16, 16, 22

Para encontrar la moda, busca el número o números que ocurren con mayor frecuencia. mediana: 11, 13, 13, 14, 16, 16, 22

la media es $15. La mediana es $14. Hay dos modas: $13 y $16.

Mientras las medidas de tendencia central describen el promedio de un conjunto de datos, el rango de un conjunto de datos describe cómo varían los datos.

Ejemplo 2 Encuentra el rango de los datos en la tabla. Luego, escribe una oración en la cual describes cómo varían los datos.

El valor mayor es 63. El valor menor es 32. Entonces el rango es 63° − 32° ó 31°. El rango es amplio. Nos dice que los datos varían mucho en cuanto a su valor.

Ejercicios

Encuentra la media, mediana y moda de cada conjunto de datos.

1. horas trabajadas: 14, 13, 14, 16, 8 2. puntos anotados por un equipo de fútbol americano: 29, 31, 14, 21, 31, 22, 20

3.

0

20

40

60

80

100

Punt

aje

Estudiante

7260

8068 72

86Puntajes en pruebas

Abiga

ilBr

ianLe

isha

Mar

cus

Ryan

Taka

ra

4. Cantidad de nieve (pulg)

0 2 2 3 3 3

5 5 6 7 8

La mediana es el número central de los datos cuando se colocan en orden, o la media de los dos números centrales. La moda es el número que ocurre con mayor frecuencia.

Costo de los libros ($)

22 13 11 16

14 13 16

Temperaturas

32° 40° 50°

55° 60° 63°

ReforzamientoMediana, moda y rango

D


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3-1

Encuentra la media, mediana y moda para cada conjunto de datos.

1. edad de los niños que Danielle cuida: 2. horas dedicadas a estudiar:6, 9, 2, 4, 3, 6, 5 13, 6, 7, 13, 6

3. edad de los nietos: 4. puntos anotados en un juego de video: 1, 15, 9, 12, 18, 9, 5, 14, 7 13, 7, 17, 19, 7, 15, 11, 7

5. cantidad de mesada: 6. altura de árboles en pies: 3, 9, 4, 3, 9, 4, 2, 3, 8 25, 18, 14, 27, 25, 14, 18, 25, 23

Encuentra la media, mediana, moda y rango para los datos que se muestran.

7. Cantidad de lluvia (pulg)

21 23 27 28

32 32 34 43

8.

01020

304050

7060

80

Núm

ero

de fl

exio

nes

Estudiante

Flexiones

Arian

naCh

ang

Jevin

Mea

gan

Tyler

70 67

5565

48

9. MUSEOS Usa la tabla que muestra el número de Personas que visitaron el Museo de Arte (millares)

3 11 5 4

5 3 6 3

12 2 2 4

personas que visitaron el Museo de Arte cada mes.

a. ¿Cuál es la media de los datos?

b. ¿Cuál es la mediana de los datos?

c. ¿Cuál es la moda de los datos?

d. ¿Qué medida de tendencia central describe mejor los datos? Explica.

Práctica de destrezasMediana, moda y rango

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3-1

Encuentra la media, la mediana y la moda del conjunto de datos. Redondea a la décima más cercana si es necesario. Las edades en años de los miembros de tu familia que están quedándose en tu casa aparecen a continuación.

5, 14, 8, 2, 89, 14, 10, 2

Media 5 + 14 + 8 + 2 + 89 + 14 + 10 + 2 −−− 8 = 18

La edad media es 18.

Mediana Ordena los números de menor a mayor. 2 2 5 8 10 14 14 89

Los números de la mitad son 8 y 10. Dado que 8 + 10 −

2 = 9, la mediana de edad es 9.

Moda Los números 2 y 14 ocurren dos veces cada uno. El conjunto de datos tiene dos modas: 2 y 14.

La media es más útil cuando los datos no tienen valores extremos. La mediana es más útil cuando los datos tienen uno o más valores extremos pero sin lagunas grandes en medio de los datos. La moda es más útil cuando los datos tienen muchos números idénticos.

Ejercicios

Encuentra la medida de tendencia central que mejor represente los datos. Justifica tu selección y luego halla la medida de tendencia central.

1. Goles en partidos de fútbol:3, 16, 0, 2, 0, 1, 2, 0

2. Horas dedicadas a la pintura:2, 4, 5, 1, 3

3. Millas caminadas:4.2, 5.2, 2.3, 4.0, 4.6, 6.0, 2.3, 5.0

4. Edades de los miembros de la banda:13, 13, 11, 13, 13, 12, 13

Ejemplo

ReforzamientoMedidas apropiadas

F

Las medidas de tendencia central más comunes soon la media, la mediana y la moda. También se usa el rango para describir un conjunto de datos. Para encontrar la media de un conjunto de datos, calcula la suma de los valores de los datos y luego divide entre el número de datos en el conjunto. Para encontrar la mediana de un conjunto de datos, coloca los valores en orden de menor a mayor y luego busca el número del centro. Si hay dos números centrales, súmalos y divide entre 2. La moda de un conjunto de datos es el número o números que ocurren con mayor frecuencia. Si ningún número ocurre más de una vez, entonces el conjunto de datos no tiene moda. Un valor extremo es un dato que es mucho mayor o mucho menor que los demás en el conjunto.


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3-1

Encuentra la medida de tendencia central que mejor represente los datos. Justifica tu selección y luego encuentra la medida de tendencia central.

1. precios en dólares de mochilas: 2. puntajes en pruebas:37, 43, 41, 36, 43 12, 6, 9, 0, 14, 5, 11, 7

3. goles anotados por equipos de fútbol 4. minutos practicando piano:americano: 8, 1, 7, 13, 3, 5, 11, 10, 3, 8, 6 40, 25, 60, 30, 35, 40

En los Ejercicios 5 y 6, encuentra la medida de tendencia central que mejor represente los datos de cada tabla. Justifica tu selección y luego halla la medida de tendencia central.

5. Montañas conocidas de Marte

Montaña Altura (km)

Alba Patera 3

Arsia Mons 9

Ascraeus Mons 11

Olympus Mons 27

Pavonis Mons 7

6. Longitud media de felinos salvajes

Felino Longitud Felino Longitud

Gatopardo 50.5 pulg León 102 pulg

Lince eurasiático 24.3 pulg Puma 60 pulg

Jaguar 57.5 pulg Serval 33.5 pulg

Leopardo 57 pulg Tigre 128 pulg

7. MARTE Consulta la tabla de montañas en Marte en el Ejercicio 5. Describe cómo se afectan la media, la mediana y la moda si no incluimos la altura de Olympus Mons.

Práctica de destrezasMedidas apropiadas

F


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Al resolver problemas, una estrategia útil es haz una tabla. Con frecuencia, las tablas sirven para aclarar la información en el problema. Un tipo de tabla que resulta útil es una que muestre cuántas veces aparece cada cosa o número.

Puedes usar la estrategia de haz una tabla, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





CINE Álex hizo una encuesta entre los estudiantes de su clase para saber qué dipo de película preferían. Los resultados se presentan a continuación, usando C para comedia, A para acción, D para drama y M para animada. ¿Cuántos estudiantes más prefieren las comedias que las películas de acción?

C A M M A C D C D C M A M M A C C D A C

Comprende Tienes que encontrar el número de estudiantes que escogieron comedia y el número de estudiantes que escogieron acción. Luego, calculas la diferencia.

Planifica Haz una tabla con los datos.

Resuelve Completa la tabla.

7 personas escogieron comedias y 5 personas escogieron acción. Por tanto, 7 - 5 = 2 estudiantes más escogieron comedia que acción.

Verifica Vuelve a repasar la lista para verificar que haya 7 letras C para comedia y 5 letras A para acción.

Ejercicio

CALIFICACIONES La lista siguiente muestra las calificaciones trimestrales para la clase de matemáticas del Sr. Vaquera. Haz una tabla con los datos. ¿Cuántos estudiantes más sacaron una B que una D?

B C A A B D C B A C B B

B D A C B B C A A B A B

Ejemplo

Tipo de película preferidaTipo de película Conteo Frecuencia

Comedia 7

Acción 5

Drama 3

Animada 5

3-2A

ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Haz una tabla


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Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Haz una tabla

Resuelve. Usa la estrategia de haz una tabla.

1. LIBROS Gracia hizo una encuesta a los estudiantes de su clase para saber los tipos de libro que prefieren. Los resultados se muestran a continuación, usando S para ciencia ficción, A para aventura, B para biografía y R para romance. Haz una tabla con los datos. ¿Cuántos estudiantes más prefieren la ciencia ficción que las aventuras?

S A S A A R S S S A R S B A B S S A R B

2. DEPORTES La siguiente tabla muestra las posiciones que aspiran a ocupar los estudiantes en el equipo de básquetbol de la escuela. Haz una tabla con los datos. ¿Cuántos estudiantes más aspiran a ser alero que a ser pivote?

Posiciones en el equipo de básquetbol

B

B

P

B

E

B

E

A

B

A

A

E

P

P

E

P

E

A

A

E

A

B = base E = escoltaA = alero P = pivote

3. JUGO DE FRUTA La tabla siguiente muestra los resultados de una encuesta sobre los sabores de jugo de fruta preferidos por los estudiantes.Haz una tabla con los datos. ¿Cuántosestudiantes más prefieren el jugo de manzana que el jugo de piña?

Sabores de jugo de fruta preferidosM

N

U

A

M

N

U

P

M

A

U

A

P

U

N

A

M

P

M

M

N

N

A

N

M = manzana A = arándano U = uvaN = naranja P = piña

M = manzana A = arándano U = uvaN = naranja P = piña

A

3-2


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nc.


Reforzamiento Tablas de frecuencia

MASCOTAS Mario preguntó a sus Número de mascotas3 1 2 3 6 4 2 0

0 0 1 2 2 1 3 4

2 1 2 0 5 5 4 0

compañeros de curso cuántas mascotas tienen. Los resultados aparecen en la tabla. Haz una tabla de frecuencia con los datos.

Haz una raya de conteo en la tabla de frecuencia por cada vez que ocurre cierto tipo de mascota. Cuenta y anota el número de rayas de conteo.

Ejercicios

BÉISBOL Abajo se muestra el número de partidos ganados por el equipo de béisbol de la escuela en los últimos 15 años.

10, 8, 11, 7, 9, 12, 13, 9, 7, 8, 10, 10, 9, 8, 8

1. Haz una tabla de frecuencias con los datos

Número de victorias Conteo Frecuencia

2. ¿Cuántas veces ganó el equipo 10 partidos o más?

3. ¿En qué fracción de los años ganó el equipo de béisbol 9 partidos?

Tabla de frecuenciasNúmero de mascotas Conteo Frecuencia

0 5

1 4

2 6

3 3

4 3

5 2

6 1

B

3-2

Ejemplo


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ARTISTAS La tabla muestra los nombres de varios artistas famosos.

1. Haz una tabla de frecuencias para mostrar el número de letras en cada nombre.

Artistas famososMatisse Monet Cezanne PicassoManet Renoir Rothko Whistler

Dali Van Gogh Magritte DegasMiro Da Vinci Gauguin Chagall

2. Encuentra la fracción de los nombres que tienen solamente 4 letras.

3. Haz una tabla de frecuencias con los datos.

4. ¿Qué fracción de los compañeros de clase escogieron la fotografía?

PASATIEMPOS Violeta hizo una encuesta sobre los pasatiempos de sus compañeros de clase. Sus resultados aparecen en la tabla.

Pasatiempos de los compañeros

L D D L D L

F F D D D F

T D T D D D

T L D D D D

Práctica de destrezasTablas de frecuencia

B

3-2

L = Lectura

D = Dibujo

F = Fotografía

D = Deportes

T = Ver televisión


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TALLA DE ZAPATO La tabla muestra las tallas de los zapatos de los estudiantes en la clase del Sr. Kowa. Haz un esquema lineal con los datos.

Paso 1 Haz una recta numérica. Como la talla más pequeña es 4 y la talla más grande es 14, puedes usar una escala de 4 a 14.

Paso 2 Escribe una “×” sobre el número que representa la talla de cada estudiante.

Usa el esquema lineal del Ejemplo 1. Identifica cualquier agrupación o brecha y encuentra las medidas de tendencia central y variabilidad.

Muchos de los datos están agrupados alrededor del 6 y el 10. Podrías decir que la mayoría de las tallas son 6 ó 10. Hay una brecha entre 11 y 14, de modo que no hay tallas en este rango.

La media es aproximadamente 8, la mediana es 7.5 y las modas son 6 y 10.

Ejercicios

MASCOTAS En los Ejercicios 1 al 3, usa la tabla de la Número de mascotas2 1 2 03 1 1 28 3 1 4

derecha, la cual muestra el número de mascotas que pertenecen a diferentes familias.

1. Haz un esquema lineal de los datos.

2. Identifica cualquier agrupación o brecha.

3. Encuentra la media, la mediana, la moda y el rango de los datos.

Un esquema lineal es un diagrama que muestra la frecuencia de los datos en una recta numérica.

Ejemplo 1

× ×× ×

×××

× × × ××

4 6 8 10 12

×

14

× ××

××

××

Ejemplo 2

Tallas de zapatos10 6 4 65 11 10 106 9 6 87 11 7 145 10 6 10

D

3-2 ReforzamientoEsquemas lineales


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En los Ejercicios 1 al 3, usa los datos de la derecha, los cuales muestran el número de pescados que cada persona atrapó en una excursión de pesca.

1. Haz un esquema lineal de los datos.

2. ¿Cuál es la mediana de los datos?

3. Identifica cualquier agrupación o brecha y analiza los datos describiendo qué representan estos valores.

Haz un esquema lineal para cada conjunto de datos. Identifica cualquier agrupación o brecha.

4. Puntajes en pruebas83 84 92 9182 81 80 9485 95 96 8494 98 93 90

5. Cantidad de lluvia (pulg)3 2 4 31 8 7 32 9 4 0

6. Usa el esquema lineal de la derecha.

a. ¿Cuáles son la media y el rango de los datos?

b. ¿Qué número ocurrió con mayor frecuencia.

c. Identifica cualquier agrupación o brecha.

× ×× ×

×

×

×

×

×

×

×

×× × × ××

2 4 6 8 10 12 14 16 18

×

× ×

×

Número de pescados3 1 0 1 01 2 3 1 42 1 2 3 01 2 3 2 7

Práctica de destrezasEsquemas lineales

D

3-2




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Hay muchas maneras de representar datos, entre ellas las siguientes:

• Una gráfica de barras muestra el número de cosas en una categoría específica.

• Una gráfica lineal muestra el cambio a lo largo de cierto período de tiempo.

• Una esquema lineal muestra cuántas veces ocurre cada número en los datos.

• Una tabla de frecuencias muestra el número de veces que aparece cada dato.

• Una pictografía usa símbolos pictóricos para comparar datos.

¿Qué representación gráfica te permite ver cómo han cambiado los precios de los boletos para una exhibición de arte desde 2004?

La gráfica lineal te permite ver cómo han aumentado los precios de los boletos para una exhibición de arte desde 2004.

¿Qué tipo de representación gráfica usarías para mostrar los resultados de una encuesta sobre la marca de zapatos tenis preferida por los estudiantes?

Como los datos indicarían el número de estudiantes que escogieron cada marca, o categoría, la mejor manera de exhibir los datos sería en una gráfica de barras.

Ejercicios

1. CALIFICACIONES ¿Qué representación gráfica permite ver más claramente cuántos estudiantes tuvieron calificaciones de ochenta y tanto en su prueba de matemáticas?

2. VOLEIBOL ¿Qué tipo de representación gráfica usarías para mostrar el número de victorias que tuvo el equipo de voleibol de la escuela entre 2000 y 2005?

Ejemplo 1

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Prec

io

Año

$0

$2

$4

$6

$8

Precios de boletos,exhibición de arte

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × × × ×

×

02040

6080

100

Punt

aje

(%)

Estudiante

Puntajes en prueba de matemáticas

Ashle

yBr

ando

n

Jess

eLu

ther

Miek

o

Sara

Simon

e

Ejemplo 2

Puntajes en prueba de matemáticasPuntajes Número de estudiantes

70 –79 280 –89 390–100 2

ReforzamientoElige una presentación apropiada

3-2E


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1. ANIMALES ¿Qué representación gráfica facilita Peso medio de perros

Pesos Número de perros

0–9 210–19 120–29 130–39 040–49 050–59 160–69 170–79 1

más comparar el peso medio de un buldog con el peso medio de un dogo faldero?

02040

6080

Peso

med

io(li

bras

)

Raza

26

7050

4

60

166

Peso medio de perros

Sabu

eso

Bóxe

rBu

ldog

Chihu

ahua

Dálmata

Dogo

falde

roTe

rrier

Escoge un tipo apropiado de representación gráfica para los datos reunidos acerca de cada situación.

2. temperatura máxima para cada mes de este año

3. puntajes de cada estudiante en un examen de ciencias

4. ingrediente favorito para una pizza según los estudiantes en la clase de la Sra. Witsken

5. peso de Edmundo en su cumpleaños durante los últimos 10 años

6. Escoge y dibuja un tipo de representación gráfica apropiado

Ventas de la empresaAño Ventas (millones de $)2004 4.02005 4.52006 4.02007 5.52008 6.02009 8.0

Práctica de destrezasElige una presentación apropiada

E

3-2


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ReforzamientoRazones

Consulta el diagrama de la derecha.

Escribe en forma simplificada la razón que compara el número de círculos al número de triángulos.

4 − 5 El MCD de 4 y 5 es 1.

Por lo tanto, la razón de círculos a triángulos es 4 − 5 ,

4 a 5 ó 4:5.

Por cada 4 círculos hay 5 triángulos.

Escribe en forma simplificada la razón que compara el número de círculos al número total de figuras.

4 − 10

= 2 − 5 El MCD de 4 y 10 es 2.

Por lo tanto, la razón de círculos al número total de figuras es 2 − 5 , 2 a 5 ó 2:5.

Por cada dos círculos hay cinco figuras en total.

Divide 24 rosas en 2 grupos para que la razón sea 3 a 5.

Usa un diagrama de barras. Muestra 24 rosasun grupo de 3 y un grupo de 5.

Como hay 8 secciones, cada sección 24 rosas

3 3 3

3 3 3 3 3representa 24 ÷ 8 ó 3 rosas.

Hay 9 rosas en el primer grupo y 15 rosas en el segundo grupo.

Ejercicios

Escribe cada razón como fracción en forma simplificada. Luego, explica su significado.

1. 2 lebistes a 6 caballitos de mar

2. 12 cachorros a 15 gatitos

3. ORTOGRAFÍA Una oración tiene 5 palabras mal escritas y 15 palabras bien escritas. Calcula la razón de palabras mal escritas a palabras bien escritas.

Ejemplos

círculostriángulos

→→

Ejemplo 3

4-1B

Una razón es una comparación de dos números por división. Una manera frecuente de expresar una razón es como una fracción en forma simplificada. Las razones también se pueden escribir de otras maneras. Por ejemplo, la razón 2 −

3 se puede escribir como 2 a 3, 2 de 3 ó 2 : 3.

círculos total de figuras

÷2

÷2

→→

�

�

�

�ˇ

ˆ


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4-1

En los Ejercicios 1 al 10, escribe cada razón como fracción en forma simplificada. Luego, explica su significado.

1. 3 veleros a 6 lanchas de motor 2. 4 tulipanes a 6 narcisos

3. 5 patos a 30 gansos 4. 5 pelotas de béisbol a 25 pelotas de sóftbol

5. 6 perros de lanas a 18 beagles. 6. 10 huevos marrones a 12 huevos blancos

7. PAPEL TAPIZ El diseño en la pared de Santana incluye 16 rayas rosadas y 20 rayas verdes. Calcula la razón de rayas rosadas a rayas verdes.

8. BANDA DE JAZZ En la banda de jazz de la escuela de Wyatt, hay 15 trompetas y 9 trombones. Calcula la razón de trombones a trompetas.

9. PARQUE SILVESTRE En un parque de fauna silvestre, Zoey contó 10 leones y 14 tigres. ¿Cuál es la razón de leones a tigres?

10. BUZÓN En una semana, Latrina recibió 18 cartas y 8 cuentas. ¿Cuál es la razón de cuentas a cartas?

11. CLASE DE GIMNASIA El Sr. Riley permitió que una clase de sexto grado escogiera una actividad para su clase de gimnasia. ¿Cuál es la razón de estudiantes que juegan voleibol al número total de estudiantes? Explica su significado.

12. ENSALADA DE FRUTAS En una ensalada de frutas hay 12 fresas, 14 uvas, 6 kiwis y 4 papayas. Calcula la razón de kiwis al número total de frutas en la ensalada. Luego, explica su significado.

Actividades en clase de gimnasia

Actividad EstudiantesVoleibol 12Sóftbol 21Fútbol 3

Actividades en clase de gimnasia

Actividad EstudiantesVoleibol 12Sóftbol 21Fútbol 3

Práctica de destrezasRazones

B


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Usa un diagrama de barras para mostrar la razón 20 estudiantes a 5 computadoras como una tasa unitaria.

4 estudiantes1 computadora





20 estudiantes5 computadoras

El diagrama de barras muestra el número de estudiantes dividido entre el número de computadoras. Representa el número de estudiantes por computadora.

La razón escrita como una tasa unitaria es 4 estudiantes a 1 computadora.

También puedes dividir para calcular una tasa unitaria.

Benito se comió 48 uvas pasas en 8 minutos. ¿Cuántas uvas pasas se comió por minuto si se comió el mismo número cada minuto?

48 uvas pasas −

8 minutos =

6 uvas pasas −

1 minuto Divide el numerador y el denominador entre 8 para llegar a un denominador de 1.

La tasa unitaria es 6 uvas pasas por minuto.

Ejercicios

Escribe cada razón como una tasa unitaria.

1. 6 huevos para 3 personas 2. $12 por 4 libras 3. 40 páginas en 8 días

4. MERCADO El Sr. González paga $135 por 5 bolsas de mercado. ¿Cuánto paga por cada bolsa de mercado si cada bolsa cuesta lo mismo?

5. TREN La Sta. Terry viaja por tren para ver unos parques de atracciones famosos. Viaja una distancia de 728 millas en 8 horas. Si el tren mantiene una rapidez constante, ¿cuántas millas viaja en una hora?

6. FÚTBOL AMERICANO Un mariscal de campo lanza 222 yardas en 6 partidos. ¿Cuántas yardas lanza en un partido si lanza la misma cantidad en todos los partidos?

Una tasa es una razón de dos mediciones que tienen diferentes tipos de unidades. Cuando una tasa se simplifica de modo que tenga un denominador de 1, se llama una tasa unitaria.

ReforzamientoTasas

Ejemplo 1

Ejemplo 2

÷8

÷8

�

�

�

�̂

ˇ

4-1D


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Escribe cada tasa como tasa unitaria.

1. 14 horas en 2 semanas 2. 36 caramelos para 6 niños

3. 8 cucharaditas para 4 tazas 4. 8 tomates por $2

5. $28 por 4 horas 6. 150 millas en 3 horas

7. $18 por 3 CD 8. 48 maderos en 6 camiones

9. Escribe la razón $12 dólares por 3 boletos como tasa unitaria.

10. QUEHACERES Wayne recogió 30 bolsas de hojas en 3 horas. Si recogió el mismo número de bolsas cada hora, ¿cuántas bolsas de hojas recogió por hora?

11. CONTROLES El Sr. Ordóñez les da 34 controles a sus estudiantes de matemáticas durante 17 semanas de clases. Si les da el mismo número de controles cada semana, ¿cuántos controles les dio el Sr. Ordóñez a sus estudiantes cada semana?

12. EXCURSIONES A la Sra. Sapanaro le costó $245 para ir ella con otras 6 personas en una excursión del parque Everglades. ¿Cuánto costó la excursión por persona?

13. CARRERAS Stephanie dio 1 vuelta a la pista en 6 minutos. A este ritmo, ¿qué distancia recorrería en 30 minutos?

14. ALTURA En general, la temperatura del aire disminuye 12°F por cada 4,000 pies que aumenta la altura. Si una alpinista sube 3,000 pies, ¿cuánto esperaría que disminuya la temperatura?

15. COMPRAS Un frasco de champú cuesta $6 por 8 onzas. Un segundo frasco cuesta $4 por 5 onzas de champú. ¿Cuál tiene la tasa unitaria menor? ¿Cuánto menor?

Práctica de destrezasTasas

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ReforzamientoTablas de razones

Una tabla de razones organiza los datos en columnas que se llenan con pares de números que tienen la misma razón, o que son equivalentes. Las razones equivalentes expresan la misma relación entre dos cantidades.

Ejemplo 1 HORNEAR Necesitas 1 taza de avena para hacer 24 galletas de avena. Usa la siguiente tabla de razones para calcular cuántas galletas de avena puedes hacer con 5 tazas de avena.

Tazas de avena 1 5

Galletas de avena 24

Halla un patrón y extiéndelo.

Tazas de avena 1 2 3 4 5

Galletas de avena 24 48 72 96 120

Por lo tanto, se pueden hacer 120 galletas de avena con 5 tazas de avena.

Ejemplo 2 COMPRAS Una tienda por departamentos tiene calcetines en venta a 4 pares por $10. Usa la tabla de razones de la derecha para calcular el costo de 6 pares de calcetines.

No hay ningún número entero por el cual puedas multiplicar 4 para obtener 6. En su lugar, reduce proporcionalmente a 2 y aumenta proporcionalmente a 6.

Por lo tanto, el costo de 6 pares de calcetines sería $15.

Ejercicios

En los Ejercicios 1 y 2, usa las tablas de razones dadas para resolver cada problema.

1. EJERCICIO Keewan monta en bicicleta 6 millas en 30 minutos. A este ritmo, ¿cuánto tardaría en recorrer 18 millas?

2. PASATIEMPOS Christine está haciendo frazadas de lana. 6 yardas de lana alcanzan para 2 frazadas. ¿Cuántas frazadas puede hacer con 9 yardas de lana?

Pares de calcetines 4 6

Costo en dólares 10

Distancia recorrida (mi) 6 18

Tiempo (min) 30

Yardas de lana 6 9

Número de frazadas 2

Pares de calcetines 2 4 6Costo en dólares 5 10 15

Multiplicar o dividir dos cantidades relacionadas entre el mismo número se llama homotecia. A veces, necesitas reducir proporcionalmente y luego ampliar o aumentar de igual manera o viceversa para calcular una razón equivalente.

+ 1 + 1 + 1 + 1� ��

�

+ 24 + 24+ 24+ 24

��

÷ 2

× 3

�

�

÷ 2

× 3

�

�

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Práctica de destrezasTablas de razones

Usa la tabla de razones dada para resolver cada problema.

1. HORNEAR Una receta para una tarta de manzana repuiere 6 tazas de manzana en tajadas. ¿Cuántas tazas de manzana en tajadas se necesitan para hacer 4 tartas?

Número de tartas 1 4

Tazas de manzana en tajadas 6

2. TARJETAS DE BÉISBOL Justin compró 40 paquetes de tarjetas de béisbol a un precio descontado de $64. Si le vende 10 paquetes de tarjetas al costo a un amigo, ¿cuánto debe cobrar?

Número de paquetes de tarjetas de béisbol 10 40

Costo en dólares 64

3. SOPA Una receta para 12 tazas de sopa repuiere 28 onzas de caldo de res. ¿Cuántas tazas de caldo necesitas para preparar 18 tazas la de sopa?

Número de tazas 12 18Onzas de caldo de res 28

4. ANIMALES En un refugio para perros, una bolsa de 24 libras de alimento para perros alcanza para alimentar a 36 perros cada día. ¿Cuántos perros esperarías alimentar con una bolsa de 16 libras de alimento?

Libras de alimento para perros 16 24Número de perros alimentados 36

5. AUTOMÓVILES El carro económico del Sr. Fink puede recorrer 420 millas con un tanque de 12 galones de gasolina. Determina cuántas millas puede recorrer con 8 galones.

Millas 420Galones 12 8

A

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4-2C

ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Halla un patrón

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es la de halla un patrón. En ciertos problemas, puedes extender y examinar un patrón para resolver el problema.

Puedes usar la estrategia de halla un patrón, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas.




4 Verifica – Verifica la racionabilidad de tu solución.

MEDICINA Monisha tiene gripe. El médico le dio medicinas para tomar durante las próximas 2 semanas. Los 3 primeros días debe tomar 2 pastillas al día. Luego, debe tomar 1 pastilla al día. ¿Cuántas pastillas habrá tomado Monisha al cabo de 2 semanas?

Comprende Sabes que debe tomar el remedio durante 2 semanas. También sabes que debe tomar 2 pastillas los 3 primeros días y luego 1 sola pastilla los demás días. Debes calcular el número total de pastillas.

Planifica Empieza con la primera semana y halla un patrón.

Resuelve

Después de los primeros días, el número de pastillas aumenta en 1. Puedes sumar 7 pastillas más al total para la primera semana. 10 + 7 = 17. Por lo tanto, al cabo de las 2 semanas Monisha habrá tomado 17 pastillas para curar la influenza.

Verifica Puedes ampliar la tabla para los 7 días siguientes a fin de verificar la respuesta.

Ejercicio

Usa la estrategia de halla un patrón para resolver.

TIEMPO Los autobuses llegan cada 30 minutos a la parada de autobuses. El primer autobús llega a las 6:20 a.m. Hogan quiere subirse al primer autobús después de las 8:00 a.m. ¿A qué hora llegará a la parada del autobús que quiere tomar Hogan?

Día 1 2 3 4 5 6 7Número de pastillas 2 2 2 1 1 1 1

Total de pastillas 2 2 + 2 = 4

4 + 2 = 6

6 + 1 = 7

7 + 1 = 8

8 + 1 = 9

9 + 1 = 10

Ejemplo


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Resuelve. Usa la estrategia de halla un patrón para resolver.

1. SENTIDO NUMÉRICO Describe los siguientes patrones. Luego, halla el número que falta.1, 20, 400, , 160,000

2. GEOMETRÍA Usa el siguiente patrón para hallar el perímetro de la octava figura.

Figura 2 Figura 3Figura 1

3. CIENCIAS FÍSICAS Un vaso con canicas cuelga de una liga de goma. La longitud de la liga se mide tal como ves en la gráfica de la derecha. Predice la longitud aproximada de la liga si hay 6 canicas en el vaso.

4. MESADA En 2008, Bushra recibió $200 en mesadas y Huma recibió $150 en mesadas. Cada año, Huma recibió $20 más en mesada y Bushra recibió $10 más. ¿En qué año recibirán la misma cantidad de dinero? ¿Cuánto dinero será?

15

10

0

5

0

Long

itud

(cm

)

Número de canicas1 2 3 4

Estiramiento de la liga de goma

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Halla un patrón

C

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divi

sion

of T

he

McG

raw

-Hil

l C

ompa

nie

s, I

nc.


Se dice que dos razones son razones equivalentes si tienen la misma tasa unitaria.

Determina si el par de tasas son equivalentes. Explica tu razonamiento.

$35 por 7 bolas de lana; $24 por 4 bolas de lana

Escribe cada tasa como una fracción. Luego, calcula su tasa unitaria.

$35 −

7 bolas de lana = $5

− 1 bola de lana

$24 −

4 bolas de lana = $6

− 1 bola de lana

Como las tasas no tienen la misma tasa unitaria, no son equivalentes.

Determina si el par de tasas son equivalentes. Explica tu razonamiento.

8 chicos de 24 estudiantes; 4 chicos de 12 estudiantes

Escribe cada razón como fracción.

8 chicos − 24 estudiantes

= 4 chicos − 12 estudiantes

El numerador y el denominador se dividen entre el mismo número.

Como las fracciones son equivalentes, las razones son equivalentes.

Ejercicios

Determina si cada par de razones o tasas son equivalentes. Explica tu razonamiento.

1. $12 ahorrados al cabo de 2 semanas; $36 ahorrados al cabo de 6 semanas

2. $9 por 3 revistas; $20 por 5 revistas

3. 135 millas recorridas en 3 horas; 225 millas recorridas en 5 horas

4. 24 computadoras para 30 estudiantes; 48 computadoras para 70 estudiantes

Ejemplo 1

Ejemplo 2

÷ 7

÷ 7

�

�

�

�̂

ˇ÷ 4

÷ 4

�

�

�

�̂

ˇ

÷ 2

÷ 2

�

�

�

�̂

ˇ

4-3A

ReforzamientoRazones equivalentes


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Determina si cada par de razones o tasas son equivalentes. Explica tu razonamiento.

1. $18 por 3 pulseras; $30 por 5 pulseras

2. 120 Calorías en 2 porciones; 360 Calorías en 6 porciones

3. 4 horas trabajadas por $12; 7 horas trabajadas por $28

4. 15 CD en blanco por $5; 45 CD en blanco por $15

5. 24 puntos anotados en 4 partidos; 48 puntos anotados en 10 partidos

6. 15 de 20 estudiantes tienen juegos electrónicos; 105 de 160 estudiantes tienen

juegos electrónicos

7. 30 minutos para correr 3 millas; 50 minutos para correr 5 millas

8. $3 por 6 panecillos; $9 por 18 panecillos

9. 360 millas recorridas con 12 galones de gasolina; 270 millas recorridas con 9 galones de gasolina

10. COMPRAS Miguel compró 2 pares de jeans por $50 y Han compró 4 pares de jeans por $90. ¿Pagaron los dos la misma tasa? Explica tu razonamiento.

Práctica de destrezasRazones equivalentes

4-3A


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Puedes resolver los problemas de razones y tasas usando un diagrama de barras o usando una tasa unitaria.

Ejemplo 1 NUTRICIÓN Tres porciones de brócoli contienen 150 Calorías. ¿Cuántas Calorías habrá en 5 porciones?

Método 1 Usa un diagrama de barras.

Dibuja un diagrama de barras para representar la situación.

Cada sección representa 150 ÷ 3, ó 50 Calorías.

Por lo tanto, 5 porciones de brócoli contienen 250 Calorías.

Método 2 Usa una tasa unitaria.

Paso 1 Calcula la tasa unitaria. 150 Calorías − 3 porciones

= Calorías − 1 porciones

150 Calorías − 3 porciones

= 50 Calorías − 1 porciones

Paso 2 Multiplica. 50 Calorías − 1 porciones

× 5 porciones = 250 Calorías

También puedes resolver problemas de razones y tasas usando fracciones equivalentes.

ENCUESTA En una encuesta, tres de cinco estudiantes estaban de acuerdo en que la escuela necesita una cafetería nueva. Predice cuántos de los 600 estudiantes en la escuela estarían de acuerdo en que la escuela necesita una cafetería nueva.

de acuerdo � 3 −

5 = −

600 � de acuerdo

3 −5 = 360 −

600 Como 5 × 120 = 600, multiplica 3 por 120.

Por lo tanto, 360 estudiantes estarían de acuerdo en que la escuela necesita una cafetería nueva.

Ejercicios

Resuelve.

1. MÚSICA Jeremy gastó $33 en 3 CD. A esta tasa, ¿cuánto costarían 5 CD?

2. ACUARIO En un acuario para el público, 6 entregas de 18 son plantas. De 15 entregas en una semana, ¿cuántas son plantas?

3. ELECCIONES Tres de cuatro estudiantes encuestados en una escuela dijeron que votarán por Nuncio para presidente de la clase. Predice cuántos de los 340 estudiantes en la escuela votarían por Nuncio.

150 Calorías50 50 50

? Calorías50 50 50 50 50

Ejemplo 2

total � �

totalEscribe una razón que compare el número de estudiantes que están de acuerdo con el número total de estudiantes.

×120

×120

�

�

�̌

�̂

÷ 3

÷ 3

�

�

�

�̂

ˇ

ReforzamientoProblemas sobre razones y tasas

C

4-3


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APráctica de destrezasProblemas sobre razones y tasas

C

Resuelve.

1. GUACAMOLE Eli está haciendo guacamole. Usa 2 cucharadas de cilantro por cada 3 aguacates. A esta tasa, ¿cuántas cucharadas de cilantro va a necesitar para 9 aguacates?

2. CANICAS La razón de canicas azules a canicas blancas en una bolsa es 4 a 5. A esta tasa, ¿cuántas canicas azules hay si la bolsa contiene 15 canicas blancas?

3. ABONO Ellie debe mezclar 6 cucharadas de alimento para plantas por cada 2 galones de agua. Si tiene 6 galones de agua, ¿cuánto alimento para plantas debe usar?

4. FRESAS En un puesto de frutas local, Luisa pagó $3.96 por 2 libras de fresas. ¿Cuánto esperaría pagar por 4 libras de fresas?

5. PALO SALTARÍN En su palo saltarín, Lula dio 24 saltos en 30 segundos. ¿Cuántos saltos dará en 50 segundos?

6. EXÁMENES En un examen, Matilda contestó correctamente 12 de los primeros 15 problemas. Si continúa esta tasa, ¿cuántos de los 25 problemas siguientes contestará correctamene?

7. FÚTBOL El equipo de fútbol Los Gavilanes ganó 12 partidos de 14. Si continúa esta tasa, ¿cuántos partidos ganarán si juegan un total de 21 partidos?

8. HORTALIZAS En una siembra, se cosechan 16 mazorcas por cada 18 pimientos. Si se cosechan 9 pimientos, ¿cuántas mazorcas se cosecharán?

9. CONSTRUCCIÓN En una carretera bajo construcción, se colocan 20 conos en un trayecto de 50 pies de carretera. ¿Cuántos conos se colocan en un trayecto de 35 pies?

4-3


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5-1A

Los decimales como 0.58 y 0.08 se pueden escribir como fracciones.Para escribir un decimal como fracción, puedes seguir estos pasos.

1. Identifica el valor de posición del último lugar decimal.

2. Escribe el decimal como una fracción usando el valor de posición como denominador y simplifica.

Escribe 0.5 como fracción en forma simplificada.

0.5 = 5 − 10

0.5 significa cinco décimas.

= 5 − 10

Simplifica. Divide el numerador y el denominador entre el MCD, 5.

= 1 − 2 Por tanto, en forma simplificada 0.5 es 1 −

2 .

Escribe 0.35 como fracción en forma simplificada.

0.35 = 35 − 100

0.35 significa 35 centésimas.

= 35 − 100


= 7 − 20

Por tanto, en forma simplificada 0.35 es 7 − 20

.

Escribe 4.375 como número mixto en forma simplificada.

4.375 = 4 375 − 1,000

0.375 significa 375 milésimas.

= 4 375 − 1,000


= 4 3 − 8 Por tanto, en forma simplificada 4.375 es 4 3 −

8 .

Ejercicios

Escribe cada decimal como fracción o número mixto en forma simplificada.

1. 0.9 2. 0.8 3. 0.27 4. 0.75

5. 0.34 6. 0.125 7. 0.035 8. 0.008

9. 1.4 10. 3.6 11. 6.28 12. 2.65

13. 12.05 14. 4.004 15. 23.205 16. 51.724

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

1

2

20

7

3

8

ReforzamientoDecimales como fracciones


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5-1A

Escribe cada decimal como fracción o número mixto en forma simplificada.

1. 0.6 2. 10.9 3. 0.08

4. 6.25 5. 4.125 6. 0.075

7. 9.35 8. 3.56 9. 8.016

10. 21.5 11. 0.055 12. 7.42

13. 5.006 14. 3.875 15. 1.29

16. 2.015 17. 6.48 18. 0.004

19. 4.95 20. 8.425 21. 9.74

22. 0.47 23. 5.019 24. 1.062

25. 3.96 26. 0.824 27. 20.8

28. 6.45 29. 4.672 30. 0.375

Práctica de destrezasDecimales como fracciones


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5-1 ReforzamientoFracciones como decimales

B

Escribe 3 − 5 como decimal.

Como 5 es un factor de 10, escribe una fracción equivalente con denominador de 10.

= 0.6

Por tanto, 3 − 5 = 0.6.


Divide.

0.375 8 � �� 3.000 -2 4 60 -5 6 40 -4 0 0Por tanto, 3 −

8 = 0.375.

Ejercicios

Escribe cada fracción o número mixto como decimal.

1. 3 − 10

2. 3 − 4 3. 1 −

4 4. 1 −

5

5. 1 − 8 6. 2 1 −

4 7. 6 −

20 8. 9 −

25

9. 1 3 − 8 10. 1 5 −

8 11. 3 5 −

16 12. 4 9 −

20

Las fracciones y los denominadores que sean factores de 10, 100 ó 1,000 se pueden escribir como decimales usando fracciones equivalentes. Toda fracción se puede escribir también como decimal dividiendo el numerador entre el denominador.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

×2

×2

�

�

�

�ˆ

ˇ 3 − 5 = 6 −

10


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5-1

Escribe cada fracción o número mixto como decimal.

1. 9 − 10

2. 21 − 100

3. 3 − 4

4. 1 − 2 5. 2 −

5 6. 7 −

10

7. 5 − 8 8. 3 7 −

8 9. 9 2 −

5

10. 66 − 200

11. 3 − 20

12. 6 5 − 8

13. 5 2 − 5 14. 12 3 −

8 15. 10 17 −

20

16. 2 7 − 16

17. 3 11 − 16

18. 6 4 − 5

19. 1 11 − 25

20. 10 1 − 8 21. 2 1 −

16

22. 3 19 − 20

23. 5 12 − 75

24. 3 24 − 25

Práctica de destrezasFracciones como decimales

B


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ReforzamientoPorcentajes como fracciones

Escribe 15% como fracción en forma simplificada.

15% significa 15 de 100.

15% = 15 − 100

Definición de porcentaje o por ciento.

¬= 15 − 100

ó 3 − 20


Ejercicios

Escribe cada porcentaje como fracción en forma simplificada.

1. 20% 2. 35% 3. 70%

4. 60% 5. 15% 6. 25%

7. 40% 8. 82% 9. 65%

10. 58% 11. 4% 12. 13%

Para escribir un porcentaje como fracción, escríbelo como una fracción con denominador de 100. Luego simplifica.

Ejemplo 1

3

20

B

5-2


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A

Escribe cada porcentaje como fracción en forma simplificada.

1. 50% 2. 30% 3. 55%

4. 75% 5. 80% 6. 76%

7. 24% 8. 68% 9. 44%

10. 92% 11. 10% 12. 36%

13. 18% 14. 74% 15. 43%

16. 33% 17. 42% 18. 84%

Práctica de destrezasPorcentajes como fracciones

B

5-2


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Escribe 2 − 5 como porcentaje.

2 − 5 = �

− 100

Escribe razones equivalentes.

Como 5 × 20 = 100, multiplica 2 por 20 para calcular el valor desconocido.

Por tanto, 2 − 5 = 40 −

100 ó 40%.

Escribe 1 − 4 como porcentaje.

1 − 4 = �

− 100

Escribe razones equivalentes.

Como 4 × 25 = 100, multiplica 1 por 25 para calcular el valor desconocido.

Por tanto, 1 − 4 = 25 −

100 ó 25%.

Ejercicios

Escribe cada fracción como porcentaje.

1. 3 − 4 2. 15 −

75 3. 48 −

80

4. 5 − 10

5. 9 − 10

6. 57 − 100

7. 3 − 10

8. 2 − 100

9. 8 − 25

10. 1 − 5 11. 7 −

20 12. 13 −

100

Puedes escribir una fracción como porcentaje. Para escribir una fracción como porcentaje, busca una razón equivalente con 100 como denominador.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1 − 4 = 25 −

100

2 − 5 = 40 −

100

×20�

�� ˆ

�ˇ

×20

×25

�� ˆ

×25

��ˇ

ReforzamientoFracciones como porcentajes

5-2C


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Escribe cada fracción como porcentaje.

1. 4 − 5 2. 3 −

20 3. 7 −

10

4. 3 − 5 5. 6 −

8 6. 5 −

20

7. 6 − 50

8. 9 − 20

9. 13 − 20

10. 17 − 20

11. 9 − 10

12. 1 − 10

13. 19 − 20

14. 18 − 25

15. 21 − 100

16. 6 − 15

17. 14 − 25

18. 3 − 15

19. 1 − 2 20. 2 −

5 21. 15 −

20

22. 14 − 20

23. 25 − 50

24. 1 − 5

Práctica de destrezasFracciones como porcentajes

C

5-2


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AReforzamientoPorcentajes y decimales

D

Escribe 23% como decimal.

23% = 23 − 100

Escribe de nuevo el porcentaje como fracción con denominador de 100.

= 0.23 Escribe 23 centésimas como decimal.


87% = 87 − 100

Escribe de nuevo el porcentaje como fracción con denominador de 100.

= 0.87 Escribe 87 centésimas como decimal.

Para escribir un decimal como porcentaje, primero escribe el decimal como una fracción con denominador de 100. Luego, escribe la fracción como porcentaje.

Escribe 0.44 como porcentaje.

0.44 = 44 − 100

Escribe 44 centésimas como fracción.

= 44% Escribe la fracción como porcentaje.

Escribe 0.65 como porcentaje.

0.65 = 65 − 100

Escribe 65 centésimas como fracción.

= 65% Escribe la fracción como porcentaje.

Ejercicios

Escribe cada porcentaje como decimal.

1. 39% 2. 57% 3. 82%

4. 13% 5. 8% 6. 4%

Escribe cada decimal como porcentaje.

7. 0.86 8. 0.36 9. 0.65

10. 0.2 11. 0.48 12. 0.17

Para escribir un porcentaje como decimal, primero escribe de nuevo el porcentaje como fracción con denominador de 100. Luego, escribe la fracción como decimal.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

5-2


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5-2D

Escribe cada porcentaje como decimal.

1. 5% 2. 8%

3. 37% 4. 12%

5. 29% 6. 54%

7. 48% 8. 79%

9. 3% 10. 6%

11. 20% 12. 59%

13. 23% 14. 92%

15. 15% 16. 31%


17. 0.3 18. 0.7

19. 0.19 20. 0.74

21. 0.66 22. 0.52

23. 0.21 24. 0.81

25. 0.13 26. 0.36

27. 0.28 28. 0.45

29. 0.94 30. 0.34

31. 0.26 32. 0.99

Práctica de destrezasPorcentajes y decimales


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Escribe cada porcentaje como decimal y como número mixto o fracción en forma simplificada.

280% 0.12%

280% = 280 − 100

definición de porcentaje o por ciento 0.12% = 0.12 − 100

definición de porcentaje o por ciento

= 2.8 ó 2 4 − 5 = 0.0012 ó 3 −

2,500


2.17 0.0034

2.17 = 217. Multiplica por 100. 0.0034 = 000.34 Multiplica por 100.

= 217% = 0.34%

Ejercicios


1. 200% 2. 750% 3. 325%

4. 0.3% 5. 0.8% 6. 0.48%


7. 2.6 8. 19 9. 5.14

10. 0.008 11. 0.0014 12. 0.0067

Un porcentaje mayor que 100% equivale a un número mayor que 1. Un porcentaje menor que 1% equivale a un número menor que 0.01 ó 1 −

100 .

Ejemplos

Ejemplos

��

Reforzamiento Porcentajes mayores que 100% y porcentajes menores que 1%

E

5-2


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1. 900% 2. 150% 3. 675%

4. 245% 5. 120% 6. 0.2%

7. 0.08% 8. 0.12% 9. 0.35%


10. 3.9 11. 81 12. 25

13. 6.75 14. 2.81 15. 0.001

16. 0.0046 17. 0.0069 18. 0.0083

Escribe cada número como porcentaje.

19. 6 1 − 2 20. 2 1 −

2 21. 5 1 −

4

22. 1 − 200

23. 2 − 250

24. 3 − 500

5-2E

Práctica de destrezasPorcentajes mayores que 100% y porcentajes menores que 1%


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nc.


5-3B

Para comparar dos fracciones.

Halla el mínimo común denominador (mcd) de las fracciones; es decir halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Escribe una fracción equivalente para cada fracción usando el mcd

Compara los numeradores.

•

•

•

Reemplaza por <, > o = para que 1 − 3 5 −

12 sea verdadero.

• El mcm de 3 y 12 es 12. Por tanto, el mcd es 12.

• Escribe de nuevo cada fracción con un denominador de 12.

1 − 3 = −

12 , entonces 1 −

3 = 4 −

12 . 5 −

12 = 5 −

12

• Ahora compara. Como 4 < 5, entonces 4 − 12

< 5 − 12

. Por tanto, 1 − 3 < 5 −

12 .

Ordena 1 − 6 , 2 −

3 , 1 −

4 y 3 −

8 de menor a mayor.

El mcd de las fracciones es 24. Por tanto, escribe de nuevo cada fracción con un denominador de 24.

1 − 6 = −

24 , entonces 1 −

6 = 4 −

24 . 2 −

3 = −

24 , entonces 2 −

3 = 16 −

24 .

1 − 4 = −

24 , entonces 1 −

4 = 6 −

24 . 3 −

8 = −

24 , entonces 3 −

8 = 9 −

24 .

El orden de las fracciones de menor a mayor es 1 − 6 , 1 −

4 , 3 −

8 , 2 −

3 .

Ejercicios

Reemplaza cada por <, > o = para hacer cada enunciado verdadero.

1. 5 − 12

3 − 8 2. 6 −

8 3 −

4 3. 2 −

7 1 −

6

Ordena las fracciones de menor a mayor.

4. 3 − 4 , 3 −

8 , 1 −

2 , 1 −

4 5. 2 −

3 , 1 −

6 , 5 −

18 , 7 −

9 6. 1 −

2 , 5 −

6 , 5 −

8 , 5 −

12

Ejemplo 1

Ejemplo 2

×4

×4

�

�

�

�ˆ

ˇ

×4

×4

�

�

�

�ˆ

ˇ

×6

×6

�

�

�

�ˆ

ˇ

×8

×8

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�

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ˇ

×3

×3

�

�

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ˇ

ReforzamientoCompara y ordena fracciones


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panies, In

c.


Práctica de destrezasCompara y ordena fracciones

Reemplaza cada por <, > o = para hacer cada enunciado verdadero

1. 2 − 3 3 −

4 2. 3 −

8 6 −

16 3. 5 −

8 7 −

12

4. 1 − 2 6 −

7 5. 3 −

9 1 −

3 6. 1 −

6 9 −

10

7. 5 − 6 7 −

8 8. 5 −

8 5 −

12 9. 4 −

5 2 −

3

10. 6 − 7 4 −

5 11. 5 −

12 3 −

16 12. 3 −

4 2 −

9

13. 5 − 7 7 −

10 14. 2 −

15 1 −

6 15. 5 −

12 2 −

5

16. 3 − 10

5 − 14

17. 4 − 9 3 −

7 18. 3 −

5 5 −

9

19. 1 − 6 2 −

12 20. 7 −

9 4 −

7 21. 9 −

10 11 −

12

22. 1 − 4 2 −

8 23. 8 −

9 7 −

8 24. 2 −

9 4 −

15

Ordena las fracciones de menor a mayor.

25. 3 − 4 , 2 −

5 , 5 −

8 , 1 −

2 26. 1 −

3 , 2 −

7 , 3 −

14 , 1 −

6 27. 2 −

3 , 4 −

9 , 5 −

6 , 7 −

12

28. 4 − 5 , 2 −

3 , 13 −

15 , 7 −

9 29. 11 −

12 , 5 −

6 , 3 −

4 , 9 −

16 30. 7 −

15 , 3 −

5 , 5 −

12 , 1 −

2

B

5-3


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ADReforzamientoCompara y ordena fracciones, decimales y porcentajes

Reemplaza por <, > o = para que 4 − 5 0.9 sea un enunciado

verdadero.

4 − 5 0.9 Escribe el enunciado.

0.8 0.9 Escribe 4 − 5 como decimal.

0.8 < 0.9 Compara el lugar de las décimas.

Como 0.8 < 0.9, entonces 4 − 5 < 0.9.

Verifica Como 0.8 está a la izquierda de 0.9 en la recta numérica, entonces, 4 − 5 < 0.9.

Reemplaza por <, > o = para que 25% 0.23 sea un enunciado verdadero.

25% 0.23 Escribe el enunciado.

0.25 0.23 Escribe 25% como decimal. Como las décimas son iguales, compara las centésimas.

Como 0.25 > 0.23, entonces 25% > 0.23.

Verifica Usa la recta numérica.

Ejercicios

Reemplaza el por <, > o = para hacer cada enunciado verdadero.

1. 1 − 2 47% 2. 0.65 13 −

20

3. 89% 9 − 10

4. 17 − 19

0.85

5. 34% 3 − 10

6. 0.28 25%

7. 0.75 70% 8. 0.14 1 − 5

9. 3 − 4 85% 10. 0.3 2 −

5

Ejemplo 1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

45 0.9

0.2 0.21 0.22 0.23

0.23

0.24 0.25

25%

Ejemplo 2

5-3


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panies, In

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Reemplaza el por <, > o = para hacer cada enunciado verdadero.

1. 1 − 2 47% 2. 5.3 530% 3. 35% 4 −

7

4. 3 − 5 0.62 5. 80% 0.78 6. 2 −

25 6%

7. 0.53 4 − 9 8. 48% 5 −

8 9. 93% 0.9

Ordena los números de menor a mayor.

10. 0.44, 4 − 7 , 45% 11. 7 −

15 , 53%, 0.5 12. 0.66, 2 −

3 , 60%

13. 1 − 4 , 23%, 0.2 14. 5 −

6 , 80%, 0.9 15. 1 −

5 , 18%, 0.15

16. RECAUDACIÓN DE FONDOS La tabla muestra los resultados de las ventas de cada grado en la campaña de la escuela para recaudar fondos. ¿Qué grado recaudó más dinero para la escuela?

Grado Resultados de las ventas

6 36%

7 1 − 4

8 0.39

Práctica de destrezasCompara y ordena fracciones, decimales y porcentajes

5-3D


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ReforzamientoEstima con porcentajes

La tabla siguiente muestra algunos porcentajes de uso frecuente y sus fracciones equivalentes.

Porcentajes y fracciones equivalentes

20% = 1 − 5 50% = 1 −

2 80% = 4 −

5 25% = 1 −

4 33 1 −

3 % = 1 −

3

30% = 3 − 10

60% = 3 − 5 90% = 9 −

10 75% = 3 −

4 66 2 −

3 % = 2 −

3

40 % = 2 − 5 70% = 7 −

10 100% = 1

Estima cada porcentaje.

20% de 58 76% de 21.

20% es 1 − 5 . 76% es cercano a 75% ó 3 −

4 .

Redondea 58 a 60 porque es divisible por 5. Redondea 21 a 20 porque es divisible por 4

1 − 5 de 60 es 12. 1 −

4 de 20 es 5.

Por tanto, 20% de 58 es aproximadamente 12. Por tanto, 76% de 21 es aproximadamente 15.

Isabel está leyendo un libro que tiene 218 páginas. Ella quiere completar 25% del libro para el viernes. ¿Aproximadamente cuántas páginas debe leer para el viernes?

25% es 1 − 4 . Redondea 218 a 220

1 − 4 de 220 es 55

Por tanto, Isabel debe leer aproximadamente 55 páginas para el viernes

Ejercicios

Escribe cada porcentaje.

1. 49% de 8 2. 24% de 27 3. 19% de 46

4. 62% de 20 5. 40% de 51 6. 81% de 32

7. CONSEJOS Javier quiere darle una propina de 20% al repartidor de pizzas. Si el costo de las pizzas es $14.99, ¿cuál sería una cantidad de propina razonable?

Ejemplos

Ejemplos 3

B

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Estima cada porentaje.

1. 50% de 39 2. 24% de 13 3. 19% de 31

4. 49% de 71 5. 27% de 81 6. 52% de 118

7. 19% de 94 8. 33% de 61 9. 58% de 5

10. 41% de 10 11. 75% de 17 12. 82% de 24

13. 73% de 61 14. 62% de 34 15. 38% de 42

16. 79% de 16 17. 91% de 82 18. 67% de 241

Estima el porcentaje que está sombreado en cada figura.

19. 20. 21.

Práctica de destrezasEstima con porcentajes

B

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Reforzamiento Porcentaje de un número

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejercicios

Calcula el porcentaje de cada número.

1. 48% de 50 2. 40% de 95

3. 75% de 116 4. 8% de 85

5. 98% de 30 6. 0.3% de 460

7. 15% de 342 8. 350% de 60

9. 0.25% de 500 10. 2.7% de 110

Calcula 25% de 260.

Método 1:

Escribe 25% como una fracción en forma simplificada. Usa la fracción en un problema de multiplicación.

25% = 25 − 100

ó 1 − 4

25% de 260 = 1 − 4 × 260

= 65

Por tanto, 25% de 260 es 65.

Método 2:


Luego, escribe un problema de multiplicación.

25% = 0.25

25% de 260 = 0.25 × 220

= 65

Calcula 175% de 56.

Método 1:

Escribe 175% como fracción en forma simplificada. Usa la fracción en un problema de multiplicación.

175% = 175 − 100

ó 7 − 4

175% de 56 = 7 − 4

× 56

= 7 − 4 × 56 −

1

= 98

Por tanto, 175% de 56 es 98.

Método 2:


Luego, escribe un problema de multiplicación.

175% = 1.75

175% de 56 = 1.75 × 56

= 98

1

14

5-4D


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Calcula el porcentaje de cada número.

1. 15% de 82 2. 256% de 75

3. 0.5% de 50 4. 76% de 450

5. 85% de 30 6. 0.8% de 56

7. 16% de 75 8. 430% de 50

9. 0.44% de 375 10. 15% de 620

11. 250% de 24 12. 0.5% de 600

13. 65% de 140 14. 0.6% de 25

15. 0.75% de 50 16. 160% de 80

17. JARDINERÍA El Sr. Simpson pasó 5 horas trabajando en el jardín de su casa. Si pasó 25% del tiempo arreglando los bordes de los macizos de flores, ¿cuánto tiempo pasó arreglando esos bordes?

18. ENVÍO Aurelia está comprando una computadora nueva. El costo de envío es 8% del precio de compra. Si la computadora de Aurelia costó $585, ¿cuánto costará el envío?

Práctica de destrezasPorcentaje de un número

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ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Resuelve un problema más simple

ROMPECABEZAS Steven y Darshelle están armando un rompecabezas. Hasta ahora tienen 40% del rompecabezas completado. ¿Cuántas piezas les quedan por acomodar en el rompecabezas?

Comprende Sabemos el número total de piezas en el rompecabezas y que 40% de las piezas ya están acomodadas. Debemos calcular el número de piezas que quedan por colocar en el rompecabezas.

Planifica Resuelve un problema más simple para calcular 100% - 40% ó 60% de las 500 piezas. Primero encuentra 10% de 500 y luego usa el resultado para encontrar 60% de 500.

Resuelve 10% ó 1 − 10

de 500 es 50.

Por tanto, 60% ó 6 − 10

de 500 es 6 × 50 ó 300.

A Steven y Darshelle todavía les quedan 300 piezas por colocar en el rompecabezas.

Verifica Sabemos que 40% ó 4 de cada 10 piezas del rompecabezas ya están acomodadas. Como 500 ÷ 10 × 4 = 200 piezas y 200 + 300 = 500, la respuesta es correcta.

Ejercicio

BECAS La Escuela Elemental Crosswood recibió $450 en donaciones para su fondo de becas. Si 30% de las contribuciones vinieron de negocios locales, ¿cuánto dinero contribuyeron los negocios locales?

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es resuelve un problema más simple. Usando parte de la información presentada en el problema, puedes plantear y resolver un problema más simple.

Puedes usar la estrategia de resuelve un problema más simple, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





Ejemplo

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Resuelve. Usa la estrategia de resuelve un problema más simple.

1. ESCUELAS Un total de 350 estudiantes votaron sobre si la nueva mascota de la escuela debería ser un pez aguja o una pantera. Si 30% de los estudiantes votaron por la pantera como mascota, ¿cuántos de los estudiantes votaron por la pantera?

2. LECTURA Para el verano, Maggie piensa leer un libro la primera semana y duplicar el número de libros cada semana durante las 5 semanas siguientes. ¿Cuántos libros leerá Maggie la sexta semana?

3. GEOGRAFÍA El área total de Michigan es 96,810 millas cuadradas. De estas, aproximadamente 40% están cubiertas de agua. ¿Aproximadamente cuántas millas cuadradas del área de Michigan son tierra?

4. ANIMALES Una araña se mueve a una velocidad de 1.17 millas por hora. A esta velocidad, ¿aproximadamente qué distancia puede recorrer la araña en 3 horas?

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Resuelve un problema más simple

E

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6-1A

ReforzamientoExpresiones numéricas

Calcula el valor de 48 ÷ (3 + 3) - 22.

48 ÷ (3 + 3) - 22 = 48 ÷ 6 - 22 Simplifica la expresión entre paréntesis.= 48 ÷ 6 - 4 Calcula 22.= 8 - 4 Divide 48 entre 6.= 4 Resta 4 de 8.

Escribe y resuelve una expresión para calcular el costo total de sembrar flores en el jardín.

Artículo Costo por artículo Número de artículos necesarios

Paquete de flores $4 5Saco de tierra $3 1Frasco de abono $4 1

Palabras costo de 5 paquetes de flores

más costo de la tierra

más costo del abono

Expresión 5 × $4 + $3 + $4

5 × $4 + $3 + $4 = $20 + $3 + $4= $23 + $4= $27

El costo total de sembrar flores en el jardín es $27

Ejercicios

Calcula el valor de cada expresión.

1. 7 + 2 × 3 2. 12 ÷ 3 + 5 3. 16 - (4 + 5)

4. 8 × 8 ÷ 4 5. 10 + 14 ÷ 2 6. 3 × 3 + 2 × 4

7. 25 ÷ 5 + 6 × (12 - 4) 8. 80 - 8 × 32 9. 11 × (9 - 22)

10. JARDINERÍA Consulta el Ejemplo 2 arriba. Supón que la jardinera no compró suficientes flores y vuelve a la tienda para comprar cuatro paquetes más. También compra una pala por $16. Escribe una expresión que muestre la cantidad total que gastó para sembrar flores en su jardín.

Orden de las operaciones

1. Simplifica las expresiones adentro de los símbolos de agrupación, como entre paréntesis.2. Calcula el valor de todas las potencias.3. Multiplica y divide en orden de izquierda a derecha.4. Suma y resta en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo 1

Ejemplo 2


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6-1A

Práctica de destrezasExpresiones numéricas

Calcula el valor de cada expresión.

1. 7 - 6 + 5 2. 31 + 19 - 8

3. 64 - 8 + 21 4. 17 + 34 - 2

5. 28 + (89 - 67) 6. (8 + 1) × 12 - 13

7. 63 ÷ 9 + 8 8. 5 × 6 - (9 - 4)

9. 13 × 4 - 72 ÷ 8 10. 16 ÷ 2 + 8 × 3

11. 30 ÷ (21 - 6) × 4 12. 6 × 7 ÷ (6 + 8)

13. 88 - 16 × 5 + 2 - 3 14. (2 + 6) ÷ 2 + 4 × 3

15. 43 - 24 ÷ 8 16. 100 ÷ 52 × 43


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6-1

Calcula 35 + x si x = 6.

35 + x = 35 + 6 Reemplaza x con 6.= 41 Suma 35 y 6.

Calcula y + x si x = 21 y y = 35.

y + x = 35 + 21 Reemplaza x con 21 y y con 35.= 56 Suma 35 y 21.

Calcula 4n + 3 si n = 2.

4n + 3 = 4 · 2 + 3 Reemplaza n con 2.= 8 + 3 Calcula el producto de 4 y 2.= 11 Suma 8 y 3.

Calcula 4n - 2 si n = 5.

4n - 2 = 4 · 5 - 2 Reemplaza n con 5.= 20 - 2 Calcula el producto de 4 y 5.= 18 Resta 2 de 20.

Ejercicios

Calcula cada expresión si y = 4.

1. 3 + y 2. y + 8 3. 4 · y

4. 9y 5. 15y 6. 300y

7. y2 8. y2 + 18 9. y2 + 3 · 7

Calcula cada expresión si m = 3 y k = 10.

10. 16 + m 11. 4k 12. m · k

13. m + k 14. 7m + k 15. 6k + m

16. 3k - 4m 17. 2mk 18. 5k - 6m

19. 20m ÷ k 20. m 3 + 2 k 2 21. k 2 ÷ (2 + m)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

ReforzamientoÁlgebra: Variables y expresiones

• Una variable es un símbolo, generalmente una letra, que se usa para representar un número• Además del símbolo ×, las otras maneras de indicar multiplicación son 2 · 3, 5t y st.• Las expresiones algebraicas contienen por lo menos una variable y por lo menos una operación.

B


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6-1

Completa la tabla.

Expresiones algebraicas Variables Números Operaciones

1. 5d + 2c

2. 5w - 4y + 2s

3. xy ÷ 4 + 3m - 6

Calcula cada expresión si a = 3 y b = 4.

4. 10 + b 5. 2a + 8 6. 4b - 5a

7. a · b 8. 7a · 9b 9. 8a - 9

10. b · 22 11. a 2 + 1 12. 18 ÷ 2a

13. a 2 · b 2 14. ab ÷ 3 15. 15a - 4b

16. ab + 7 · 11 17. 36 ÷ 6a 18. 7a + 8b · 2

Calcula cada expresión si x = 7, y = 15, y z = 8.

19. x + y + z 20. x + 2z 21. xz + 3y

22. 4x - 3z 23. 4x - 17 24. 6z - 5z

25. 9y ÷ (2x + 1) 26. 14 + 2z 27. z ÷ 2

28. xz 29. y - x 30. 13y - zx ÷ 4

31. xz - 2y + 8 32. 2xz 33. 3y · 40x - 1,000

Práctica de destrezasÁlgebra: Variables y expresiones

B


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6-1 ReforzamientoÁlgebra: Escribe expresiones

D

Escribe diez latas más de las que reunió Vanesa como expresión algebraica.

Paso 1: Palabras diez latas más de las que reunió VanesaPaso 2: Variable Vanesa c

Sea c el número de latas que reunió Vanesa.Paso 3: Expresión c 10

La expresión es c + 10.

Tradd compró dos boletos de cine y una botella de agua. El agua costó $2.50. Escribe una expresión que represente la cantidad total que pagó.

Paso 1: Los boletos costaron una suma desconocida. tDefine una variable que represente el costo de un boleto.

Paso 2: Indica el costo de dos boletos, más $2.50.

t t $2.50

La expresión es 2t + 2.50.

Ejercicios

Define una variable. Luego, escribe cada frase como una expresión algebraica.

1. siete canicas menos que Dakota

2. un tercio del volumen de la piscina

3. nueve veces el costo de una pelota de béisbol

4. Mei pagó $8 para entrar en la zona del carnaval y luego compró 50 boletos para las atracciones. Escribe una expresión que represente la cantidad total que gastó.

Pasos para escribir una expresión algebraica

Paso 1: Describe la situación. Usa solamente las palabras más importantes.

Paso 2: Define una variable eligiendo una variable que represente la cantidad desconocida.

Paso 3: Traduce tu modelo verbal en una expresión algebraica.

Ejemplo 1

Ejemplo 2


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6-1 Práctica de destrezasÁlgebra: Escribe expresiones

Define una variable. Luego, escribe cada frase como una expresión algebraica.

1. un pelota más de las que hay en el patio de recreo

2. tres galletas más de las que hay en el frasco

3. doce preguntas menos de la que había en el primer examen

4. ocho dólares más de lo que cuesta la camisa

5. tres veces más bebidas de las que hay en la fuente.

6. cinco dólares menos que el salario de Yumi.

7. La clase de inglés tiene la mitad de los estudiantes que tiene la clase de matemáticas.

8. un tercio de la edad de Emily.

9. diez veces los minutos que se pasan arreglándose

10. CORREO Spencer compró 3 libretas de sellos postales y envió un paquete. Le costó $4.50 enviar el paquete. Define una variable y escribe una expresión que repreente la cantidad total que pagó en la oficina de correos.

D


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6-1A

ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Haz un simulacro

PASATIEMPOS Este otoño, Floyd va a practicar un deporte y tomar clases de música. Está decidiendo entre jugar fútbol americano, correr a campo traviesa o jugar fútbol. También está decidiendo entre clases de guitarra y clases de piano. ¿Cuántas combinaciones posibles hay de un deporte y clases de música para Floyd?

Comprende Sabes los tres deportes que tiene para escoger: fútbol americano, campo traviesa y fútbol. También sabes las clases de música que puede escoger: guitarra y piano. Debes determinar el número de combinaciones posibles.

Planifica Empieza escogiendo un deporte y emparejándolo con cada una de las dos clases de música. Luego, haz lo mismo para cada deporte.

Resuelve fútbol americano, guitarra campo traviesa, guitarra fútbol, guitarrafútbol americano, piano campo traviesa, piano fútbol, piano

por tanto, hay 6 posibles combinaciones de un deporte y clases de música.

Verifica Puedes multiplicar el número de opciones de deporte por el número de opciones de música: 3 × 2 = 6.

Ejercicios

1. CARPINTERÍA Tyson y su papá están haciendo portarretratos de madera. Cada portarretratos necesita 1 1 −

4 pies de madera. Si tienen un total de 8 1 −

2 pies de madera,

¿cuántos portarretratos pueden hacer?

2. PUESTOS Mamá, papá y tres hijos: Ana, Barry y Cale, se sentaron en la primera fila de un teatro de cine. Los padres no se sentaron juntos. Barry no se sentó al lado de Ana, y Cale no se sentó al lado de su madre. Ana no se sentó al lado de su papá. Muestra en qué puestos se sentaron los miembros de la familia.

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es haz un simulacro. Usando papel y lápiz, un modelo, tiras de fracciones o cualquier manipulativo, con frecuencia puedes representar la situación. Luego, usando tu modelo puedes determinar una respuesta a la situación.

Puedes usar la estrategia de haz un simulacro junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





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Ejemplo


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6-1 Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Haz un simulacro

E

Resuelve. Usa la estrategia de haz un simulacro.

1. PAPEL Un papel se dobla por la mitad cuatro veces. Al abrir la hoja, ¿cuántas secciones tiene?

2. JOYERÍA Brody está haciendo un collar, una pulsera y una tobillera de cuentas. Tiene cuentas verdes, azules, moradas y plateadas. ¿Cuántas joyas diferentes puede hacer si solamente usa un color de cuentas para cada una?

3. ROPA Puedes comprar uniformes de la escuela mediante un catálogo en línea. Los muchachos pueden pedir pantalones de color azul marino o kaki con camisa roja, blanca o azul. ¿Cuántas combinaciones de uniforme hay en línea para muchachos?

4. TIEMPO La escuela termina a las 3:45 p.m., el ensayo de banda dura 2 1 − 2 horas,

la cena toma 45 minutos y tú te acuestas a las 10:00 p.m. ¿Cuánto tiempo libre tendrás si estudias 2 horas para un examen de matemáticas?


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AReforzamientoÁlgebra: Propiedades

Determina si 6 + (4 + 3) y (6 + 4) + 3 son equivalentes.

Los números están agrupados de maneras distintas. Son equivalentes según la propiedad asociativa. Por tanto, 6 + (4 + 3) = (6 + 4) + 3.

La fórmula para el perímetro de un triángulo es P = a + b + c. Calcula el perímetro de un triángulo donde a = 12, b = 5, y c = 8.

P = a + b + c Escribe la fórmula.P = 12 + 5 + 8 Reemplaza a con 12, b con 5 y c con 8.P = 12 + 8 + 5 Propiedad conmutativaP = 25 unidades

Ejercicios

Determina si las dos expresiones son equivalentes. Si lo son, indica qué propiedad se aplica. Si no lo son, explica por qué.

1. 9 · 1 y 9 2. 7 · 3 y 3 · 7

3. 6 - (3 - 2) y (6 - 3) - 2 4. (10 · 2) · 5 y 10 · (2 · 5)

5. La fórmula para el volumen de un prisma rectangular es V = ℓah, donde ℓ es la longitud, a es el ancho y h es la altura. Calcula el volumen de un prisma rectangular, en unidades cúbicas, si la longitud es 8 unidades, el ancho es 11 unidades y la altura es 10 unidades. Usa la propiedad conmutativa.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Propiedad Símbolos NúmerosConmutativa a + b = b + a

a · b = b · a5 + 3 = 3 + 55 · 3 = 3 · 5

Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)(a · b) · c = a · (b · c)

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4)

Identidad a + 0 = aa · 1 = a

5 + 0 = 55 · 1 = 5

Usa las propiedades para facilitar el cálculo mental.

6-2




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A

Determina si las dos expresiones son equivalentes. Si lo son, indica qué propiedad se aplica. Si no lo son, explica por qué.

1. 2 · (3 · 7) y (2 · 3) · 7 2. 6 + 3 y 3 + 6

3. 26 - (9 - 7) y (26 - 9) - 7 4. 18 · 1 y 18

5. 7 · 2 y 2 · 7 6. 6 - (4 - 1) y (6 - 4) - 1

7. 7 + 0 y 7 8. 0 + 12 y 0

9. 625 + 281 y 281 + 625 10. (12 · 18) · 5 y 12 · (18 · 5)

11. 2 + (8 + 2) y (2 + 8) + 2 12. 40 ÷ 10 y 10 ÷ 40

Usa una o más propiedades para escribir de nuevo cada expresión como una expresión sin paréntesis.

13. (p · 1) · 6 14. (a + 5) + 23

15. 7 · (y · 3) 16. (b + 4) + 17

17. 6 + (x + 50) 18. (y · 200) · 2

Práctica de destrezasÁlgebra: Propiedades

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ReforzamientoLa propiedad distributiva

Calcula 6 × 38 mentalmente usando la propiedad distributiva.

6 × 38 = 6(30 + 8) Escribe 38 como 30 + 8.

= 6(30) + 6(8) Propiedad distributiva

= 180 + 48 Multiplica mentalmente.

= 228 Suma.

Por tanto, 6 × 38 = 228.

Usa la propiedad distributiva para replantear 4(x + 3).

4(x + 3) = 4(x) + 4(3) Propiedad distributiva

= 4x + 12 Multiplica.

Por tanto, 4(x + 3) se puede replantear como 4x + 12.

Ejercicios

Calcula cada producto mentalmente. Muestra los pasos que seguiste.

1. 4 × 82 2. 9 × 26

3. 12 × 44 4. 8 × 5.7

Usa la propiedad distributiva para replantear cada expresión algebraica.

5. 5(y + 4) 6. (7 + r)3 7. 12(x + 5)

8. (b + 2)9 9. 4(4 + a) 10. 9(7 + v)

• Para multiplicar una suma por un número, multiplica cada sumando por el número que está fuera de los paréntesis.

• a(b + c) = ab + ac

• (b + c)a = ba + ca

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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Calcula cada producto mentalmente. Muestra los pasos que seguiste.

1. 3 × 78 2. 7 × 74

3. 8 × 92 4. 6 × 57

5. 11 × 42 6. 12 × 27

7. 6 × 5.2 8. 4 × 9.4

Usa la propiedad distributiva para replantear cada expresión algebraica.

9. 7(y + 2) 10. (8 + r)4 11. 8(x + 9)

12. (b + 5)12 13. 4(2 + a) 14. 7(6 + v)

15. (b - 5)15 16. 3(5 - v) 17. 6(11 - s)

Práctica de destrezasLa propiedad distributiva

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7-1A

ReforzamientoEcuaciones

Resuelve 14 - p = 6 usando la estrategia de adivina, verifica y revisa.

Adivina el valor de p, luego verifícalo.

Ensaya 7. Ensaya 6. Ensaya 8.

14 - p � 6 14 - p � 6 14 - p � 6

14 - 7 ≠ 6 14 - 6 ≠ 6 14 - 8 = 6

Revisa. Revisa. Sí.

La solución es 8 porque reemplazar a p con 8 produce un enunciado verdadero.

Resuelve 15 ÷ m = 5 mentalmente.

15 ÷ m = 5 Piensa ¿15 dividido entre qué número es 5?

15 ÷ 3 = 5 Sabes que 15 ÷ 3 = 5.

5 = 5

La solución es 3.

Ejemplo 3

Identifica la solución de cada ecuación en la lista siguiente.

1. h + 19 = 56; 36, 37, 38 2. 31 + x = 42; 9, 10, 11

3. k - 4 = 13; 16, 17, 18 4. 34 - b = 17; 16, 17, 18

5. 5w = 30; 5, 6, 7 6. 63 = 7k; 7, 8, 9

7. 36 ÷ s = 9; 4, 5, 6 8. x ÷ 3 = 8; 23, 24, 25

Resuelve cada ecuación mentalmente.

9. j + 3 = 9 10. 14 + n = 19 11. 23 + x = 29

12. 31 - h = 24 13. m - 5 = 11 14. 3m = 27

15. 56 = 7b 16. 14 ÷ f = 2 17. j ÷ 8 = 4

Una ecuación es un enunciado matemático que muestra dos expresiones. Una ecuación tiene un signo de igual, =. Unas ecuaciones contienen variables. Cuando reemplazas una variable con un valor que da un enunciado verdadero, resuelves la ecuación. El valor de la variable es la solución de la ecuación.

Ejemplo 1

Ejemplo 2


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7-1A

Práctica de destrezasEcuaciones

Identifica la solución de cada ecuación en la lista siguiente.

1. s + 12 = 17; 5, 6, 7 2. 54 + f = 70; 16, 17, 18

3. 69 = 50 + s; 17, 18, 19 4. 47 = 77 − b; 20, 30, 40

5. 44 = t − 10; 52, 53, 54 6. 25 − k = 20; 5, 6, 7

7. 4r = 40; 8, 9, 10 8. 33 = 11d; 3, 4, 5

9. 6g = 36; 5, 6, 7 10. 28 ÷ w = 7; 3, 4, 5

11. b ÷ 6 = 4; 22, 23, 24 12. 56 ÷ c = 8; 6, 7, 8

Resuelve cada ecuación mentalmente.

13. 4 + k = 11 14. 7 + f = 15 15. z + 16 = 25

16. j + 15 = 30 17. 20 = 30 − n 18. 34 = r − 10

19. 23 − m = 10 20. p − 4 =13 21. 8w = 80

22. 7q = 21 23. 48 = 6g 24. 54 = 9m

25. 18 ÷ t = 6 26. y ÷ 3 = 5 27. h ÷ 12 = 1

28. FLORES Micaela cosechó flores para su tienda. Cosechó 12 docenas de flores por la mañana. Al final del día, había cosechado 18 docenas de flores. Usa matemáticas mentales o la estrategia de adivina, verifica y revisa para resolver la ecuación 12 + d = 18, y calcula d, el número de docenas de flores cosechadas los otros días.


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7-1

TIEMPO Meagan se va a reunir con sus amigas en la biblioteca a las 6:30 p.m. Antes de que su mamá la lleve a la biblioteca, las dos van a ir a la casa de su abuela. El recorrido desde su casa hasta la casa de la abuela tarda 15 minutos y van a quedarse allí haciendo visita 30 minutos. Si tardan 5 minutos en llegar desde la casa de la abuela hasta la biblioteca, ¿a qué hora deben salir Meagan y su mamá de su casa?

Comprende Sabemos a qué hora se reunirá Meagan con sus amigas en la biblioteca. Debemos calcular a qué hora deben salir Meagan y su mamá de la casa.

Planifica Para calcular a qué hora deben salir, empieza con las 6:30 p.m. y primero resta 5 minutos para el tiempo que tardan en llegar desde la casa de la abuela hasta la escuela.

Resuelve Tiempo desde la casa de la abuela hasta la biblioteca: 6:30 p.m. - 5 minutos = 6:25 p.m.Tiempo de visita donde la abuela: 6:25 p.m. - 30 minutos = 5:55 p.m.Tiempo desde su casa hasta donde la abuela: 5:55 p.m. - 15 minutos = 5:40 p.m.

Meagan y su mamá deben salir de su casa a las 5:40 p.m.

Verifica Suma todos los tiempos: 15 min + 30 min + 5 min = 50 min. Cuando sumas 50 minutos a 5:40 p.m., el resultado es 6:30 p.m., de modo que la respuesta es correcta.

Ejercicios

Resuelve usando la estrategia de trabaja al revés.

1. SENTIDO NUMÉRICO Un número se divide entre 3. Luego, se le suma 7 al cociente. Finalmente se le resta 10 a la suma. Si el resultado es 5, ¿cuál es el número?

2. FERIA Timur pagó $4.50 para entrar a la feria. Luego compró un pretzel por $1.50 y jugó un juego por $1. Finalmente montó en la montaña rusa por $3. Si regresó a casa con $8, ¿cuánto dinero llevó a la feria?

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es trabajar al revés. A veces puedes usar la información del problema para trabajar al revés y así encontrar lo que buscas, o la respuesta al problema.

Puedes usar la estrategia de trabaja al revés junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Trabaja al revés

B

Ejemplo


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7-1 Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Trabaja al revés

B

Resuelve usando la estrategia de trabaja al revés.

1. DINERO Lindsay compró 2 pares de zapatos por el mismo precio. Incluyendo el impuesto a las ventas de $3, ella pagó un total de $57. ¿Cuál fue el costo de cada par de zapatos antes de sumarle el impuesto?

2. TIEMPO Hung tiene que estar en la escuela a las 7:10 a.m. Tarda 20 minutos en ducharse y vestirse y 15 minutos en desayunarse. Si Hung se demora 25 minutos en autobús hasta la escuela, ¿qué tan tarde se puede levantar por la mañana?

3. SENTIDO NUMÉRICO Un número se multiplica por 4. Luego, se le suma 7 al producto. Después de restarle 3, el resultado es 8. ¿Cuál es el número?

4. CIENCIAS Cierta bacteria dobla su población cada 12 horas. Al cabo de 3 días hay 1,600 bacterias. ¿Cuántas bacterias había al comienzo del primer día?


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7-1

Puedes resolver una ecuación usando operaciones inversas, que deshacen las operaciones. Para resolver una ecuación de adición, debes restar.

ReforzamientoResuelve y escribe ecuaciones de adición

Resuelve x + 2 = 7.

Método 1: Usar modelos.

x + 2 7=

=

x + 2 - 2 7 - 2=

=

Por tanto, la solución es 5.

Modelo 2: Usar símbolos.

x + 2 = 7 Escribe la ecuación. −2 −2 Resta 2 de cada lado para deshacer

la suma de 2 a la izquierda. x = 5 Simplifica.

Verifica

x + 2 = 7 Escribe la ecuación.

5 + 2 � 7 Reemplaza x con 5.

7 = 7 El enunciado es verdadero. �

Propiedad de sustracción de la igualdad Si restas el mismo número de cada lado de una ecuación, los dos lados siguen siendo iguales.

Ejemplo 1

En un acuario público, Alec vio unos tiburones que nadaban juntos. Notó que el tiburón macuiro y el tiburón aleta negra, juntos medían lo mismo de largo que el tiburón martillo, que mide 14 pies de largo. ¿Qué longitud tenía el tiburón martillo?

Ejemplo 2

Palabras Longitud del macuiro y longitud del aleta negra es longitud del martillo.

Variable Sea s la longitud del tiburón aleta negra.

Modelo 14 pies

8 pies s pies

Ecuación 8 + s = 14

8 + s = 14 Escribe la ecuación.− 8 − 8 Resta 8 de ambos lados. s = 6 14 – 8 = 6

Por tanto, la longitud del tiburón aleta negra es 6 pies.

Ejercicios

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.

1. a + 1 = 7 2. 3 + b = 8 3. c + 3 = 10

4. 9 = x + 4 5. 10 = x + 6 6. 11 = 2 + j

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7-1


1. x + 4 = 7 2. t + 6 = 10

3. y + 3 = 7 4. z + 4 = 6

5. p + 2 = 8 6. b + 6 = 7

7. 6 + a = 8 8. 5 + r = 10

9. 2 + h = 10 10. 6 + y = 9

11. 4 = 2 + v 12. 8 = 7 + w

13. 9 = 3 + r 14. 8 = 5 + q

15. 10 = t + 1 16. 10 = q + 4

17. 5 = a + 0 18. 6 = b + 3

19. PROYECTO Zaira pasó 55 horas en 2 semanas trabajando en un proyecto de ciencias. Trabajó 32 horas la primera semana. Escribe y resuelve una ecuación de suma para calcular la cantidad de tiempo que pasó trabajando la segunda semana.

20. CUENTAS BANCARIAS Keshav tiene $250 en su cuenta. Esto es $75 más de lo que tiene su hermano Nalin en su cuenta. Escribe y resuelve una ecuación de suma para calcular la cantidad de dinero en la cuenta de Nalin.

Práctica de destrezasResuelve y escribe ecuaciones de adición

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7-1F

ReforzamientoResuelve y escribe ecuaciones de sustracción

Resuelve x − 4 = 10.


Representa la ecuación con un modelo.x

10 4

Resuelve la ecuación.

Mirando el diagrama de barras, ves que tendrás que sumar para hallar x.

10 + 4 = 14

La solución es 14.


x − 4 = 10 Escribe la ecuación.

+4 +4 Suma 4 a cada lado.

x = 14 Simplifica.

Verifica

x − 4 = 10 Escribe la ecuación original.

14 − 4 � 10 Reemplaza x con 14.

10 = 10 El enunciado es verdadero.

Una grulla gris mide en promedio 37 pulgadas de altura. Esto es 22 pulgadas menos que la altura media de la grulla blanca. ¿Cuál es la altura media de una grulla blanca?

Palabras La altura de la grulla blanca menos 22 es la altura de la grulla gris.

Variable Sea w la altura de la grulla blanca.

Modelo w

37 pulg 22 pulg

Ecuación w − 22 = 37

w − 22 = 37 Escribe la ecuación.

+ 22 + 22 Suma 22 a ambos lados.

w = 59 Simplifica.

La altura media de una grulla blanca es 59 pulgadas.

Ejercicios


1. a − 2 = 3 2. b − 1 = 7 3. c − 4 = 4

4. 5 = v − 8 5. 4 = t − 6 6. 9 = m − 3

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La adición y la sustracción son operaciones inversas. Por tanto, puedes resolver una ecuación de sustracción sumando.

Propiedad de suma de la igualdad Si adición el mismo número a cada lado de una ecuación, los dos lados siguen siendo iguales.

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7-1F

Práctica de destrezasResuelve y escribe ecuaciones de sustracción


1. a - 1 = 7 2. b - 2 = 1

3. 3 = c - 1 4. x - 3 = 1

5. 3 = y - 4 6. 2 = k - 4

7. m - 5 = 6 8. n - 3 = 6

9. 1 = s - 8 10. t - 9 = 1

11. v - 9 = 5 12. 6 = v - 7

13. 3 = g - 6 14. 3 = h - 8

15. 5 = z - 7 16. z - 3 = 7

17. 5 = f - 1 18. 1 = d - 2

19. COHETES Durante un vuelo de prueba, el cohete de Jert alcanzó una altura de 18 yardas. Esto fue 7 yardas menos que la altura del cohete de Devon. Escribe y resuelve una ecuación de sustracción para calcular la altura del cohete de Devon.

20. RENACUAJOS Durante dos días seguidos, Winston rescató unos renacuajos de un pozo. Rescató 54 el viernes y 17 menos el sábado. Escribe y resuelve una ecuación de sustracción para calcular cuántos renacuajos rescató en total.


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ReforzamientoResuelve y escribe ecuaciones de multiplicación

El número por el cual se multiplica una variable se llama el coeficiente. Por ejemplo, en la expresión 5x, el coeficiente de x es 5. Como la multiplicación y la división se deshacen, usa división para resolver una ecuación de multiplicación.

Resuelve 2x = 6.

Un huracán de categoría 5 puede producir una marejada de 20 pies. Esto es aproximadamente 5 veces más que la marejada de un huracán de categoría 1. ¿Cuál es la marejada de un huracán de categoría 1?

5c = 20 Escribe la ecuación.

5c − 5 = 20 −

5 Divide los dos lados entre 5.

c = 4 Simplifica.

La marejada de un huracán de categoría 1 es de aproximadamente 4 pies.

Ejercicios


1. 5a = 25 2. 7c = 49 3. 3u = 27

4. 24 = 6d 5. 18 = 3z 6. 56 = 7v

Ejemplo 1


=

=

2x 6=

x = 3

La solución es 3.


2x = 6 Escribe la ecuación.

2x − 2 = 6 −

2 Divide cada lado entre 2 para

deshacer la multiplicación de la izquierda.

x = 3 Simplifica.

Verifica. 2x = 6 Escribe la ecuación original.

2(3) � 6 Reemplaza x con 3.


Ejemplo 2

Palabras 5 veces marejada de un es marejada de un huracán de categoría 1 huracán de categoría 5.

Variable Sea c = la marejada de un huracán de categoría 1.

Ecuación 5c = 20

B

Representa la ecuación con un modelo.

Reparte las fichas igual en dos grupos.

7-2


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B


1. 3a = 9 2. 7b = 14

3. 9c = 36 4. 8c = 16

5. 3x = 18 6. 7n = 7

7. 10g = 20 8. 3k = 15

9. 4h = 32 10. 27 = 9h

11. 24 = 12j 12. 28 = 7y

13. 36 = 9y 14. 40 = 0.5r

15. 5 = 1 − 5 w 16. 50 = 5p

17. 0.25f = 10 18. 3 − 4 = 1 −

4 w

19. ALIMENTO PARA GATOS Una tienda de abarrotes vende 6 latas de alimento para gatos por $3. Escribe y resuelve una ecuación de multiplicación para calcular el costo de una lata de alimento para gatos.

20. DEPÓSITOS Erlina puso $250 en su cuenta de ahorros. Para hacerlo, hizo 10 depósitos de la misma cantidad de dinero. Escribe y resuelve una ecuación de multiplicación para calcular la cantidad de cada depósito.

Práctica de destrezasResuelve y escribe ecuaciones de multiplicación

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DReforzamientoResuelve y escribe ecuaciones de división

Multiplica para resolver ecuaciones de división.

Resuelve x − 4 = 6.

La familia Yung está haciendo 6 pagos de $200 por su nuevo televisor. ¿Cuál fue el costo del televisor?

Palabras: Costo total dividido entre 6 es $200.

c − 6 = 200 Escribe la ecuación.

c − 6 (6) = 200 (6) Multiplica los dos lados por 6.

c = 1,200 Simplifica.

El costo total del televisor fue $1,200.

Ejercicios


1. a − 2 = 4 2. c −

3 = 6

3. g −

5 = 10 4. 6 = d −

4

5. 9 = t − 3 6. 11 = w −

6

Ejemplo 1


Representa la ecuación con un modelo.

Hay cuatro grupos iguales de 6. Multiplica.

6 × 4 = 24

La solución es 24.


x − 4 = 6 Escribe la ecuación.

x − 4 (4) = 6(4) Multiplica cada lado por 4

para deshacer la división de la izquierda.

x = 24 Simplifica.

Verifica x − 4 = 6 Escribe la ecuación original.

24 − 4 � 6 Reemplaza x con 24.


6

Ejemplo 2

-------------- x --------------

7-2


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DPráctica de destrezasResuelve y escribe ecuaciones de división


1. 4 = r − 2 2. 6 =

j −

2 3. 7 = k −

2

4. p −

4 = 9 5. h −

4 = 8 6. s −

5 = 6

7. 10 = r − 5 8. 11 = a −

3 9. 12 =

q −

4

10. p −

5 = 9 11.

y −

7 = 10 12. b −

12 = 10

13. 12 = r − 5 14. 11 = d −

11 15. 9 = r −

13

16. b − 15

= 2.5 17. 2.2 = c − 14

18. 0.5 = d − 10

Escribe y resuelve una ecuación de división.

19. CORTAR EL CÉSPED Alí recibió $75 en pago por cortar el césped del vecino. Esto es un cuarto de la cantidad de dinero que ganó en todo el verano. ¿Cuánto ganó Alí en todo el verano?

20. PISCINA El ancho de una piscina de natación es un tercio de su longitud. El ancho de la piscina es 15 pies. ¿Cuál es la longitud de la piscina?

7-2


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BReforzamientoResuelve y escribe ecuaciones de dos pasos

Resuelve 3x + 5 = 8.

3x + 5 = 8 Escribe la ecuación.

3x + 5 = 8 Deshaz la suma primero restando 5 de cada lado. -5 -5

3x + 5 = 3

3x − 3 = 3 −

3 Divide cada lado entre 3.

x = 1 Simplifica.

Verifica.

3x + 5 = 8 Escribe la ecuación original.

3(1) + 5 � 8 Reemplaza x con 1.

3 + 5 � 8 Simplifica.


Una ecuación de dos pasos es una ecuación con dos operaciones. Para resolver una ecuación de dos pasos, debes deshacer la operación en orden inverso al orden de las operaciones. Por tanto, primero deshaces la suma o resta. Luego, deshaces la multiplicación o división.

Ejemplo 1

2c - 1 = 3 Escribe la ecuación.

+ 1 +1 Suma 1 de cada lado.

2c + 5 = 4

2c − 2 = 4 −


c = 2 Simplifica.

Jules encontró monedas por valor de $2 en su carro.

Ejercicios


1. 2a + 10 = 24 2. 3c − 6 = 12 3. 5 + 2g = 11

4. 4y + 1 = 25 5. 2t − 21 = 11 6. 10 + 5d = 75

Ejemplo 2 Jules encontró $3 en monedas en el sofá. Esto es $1 menos que el doble de la cantidad que encontró en su carro. ¿Cuánto dinero encontró en su carro?

Palabras El doble de la cantidad en el carro menos $1 es $3.

Variable Sea c = la cantidad en el carro.

Ecuación 2c - 1 = 3

7-3




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1. 5x − 4 = 11 2. 6b + 3 = 21 3. 4n − 7 = 9

4. 3c + 4 = 34 5. 8v − 10 = 70 6. 7j + 6 = 62

7. 4v − 8 = 44 8. 20 + 5p = 75 9. 6z − 8 = 88

10. 4q + 4 = 40 11. 5d − 15 = 65 12. 4 + 7u = 60

13. 9v − 8 = 91 14. 19 + 6p = 79 15. 11j −12 =120

16. 15 + 5p = 100 17. 12q − 6 = 90 18. 22 + 10p = 92

19. TRABAJO Armando ganó $50 trabajando en un campo de golf. Ganó $10 limpiando pelotas de golf y luego trabajó como ayudante 2 horas. Se puede usar la ecuación 10 + 2c = 50 para calcular cuánto ganó Armando por hora al trabajar como ayudante. Calcula esta cantidad.

20. BATERÍAS Las investigaciones muestran que una batería nueva dura 36 horas. Esto es 2 horas más que el doble del tiempo que duraba la batería vieja. Resuelve la ecuación 2h + 2 = 36 para calcular cuánto duraba la batería vieja.

21. MOTOCICLETAS El Sr. Méndez compró 2 boletos para ver las competencias de motocrós con su hijo. Usó el cupón de $5 que encontró en el periódico. Se puede usar la ecuación 2t − 5 = 25 para calcular el costo de un boleto. Calcula el costo de un boleto.

Práctica de destrezasResuelve y escribe ecuaciones de dos pasos

B

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8-1 ReforzamientoGrafica relaciones

Grafica el punto W (2, 4).

Empieza en el origen. Muévete 2 unidades a la derecha por el eje x.

Luego, muévete 4 unidades hacia arriba para localizar el punto. Dibuja un punto y rotula el punto W.

BOLETOS Los boletos para la obra de teatro de la escuela cuestan $6 cada uno. La tabla muestra los costos de 1, 2 y 3 boletos. Haz una lista de esta información como pares ordenados (número de boletos, costo).

Los pares ordenados son (1, 6), (2, 12) y (3, 18).

Grafica los pares ordenados del Ejemplo 2. y

x

2468

1012141618

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(1, 6)

(2, 12)

(3, 18)

Ejercicios

Grafica y rotula cada punto en el plano de coordenadas.

1. S (1, 3) y

xO

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

2. T (4, 0) y

xO

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

Un plano de coordenadas se forma cuando dos rectas numéricas se intersecan en sus puntos cero. La intersección se llama el origen. La recta numérica horizontal se llama el eje x. La recta numérica vertical se llama el eje y.

Un par ordenado se usa para nombrar un punto sobre u plano de coordenadas. El primer número en el par ordenado es la coordenada x y el segundo número es la coordenada y.

Ejemplo 1 y

x

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

Ejemplo 2 Costos de boletosNúmero de

boletosCosto

($)1 62 123 18

Ejemplo 3

A


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8-1A

Grafica y rotula cada punto en el plano de coordenadas.

1. A (1, 3) 2. B (4, 3) 3. C (2, 0)

y

xO

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

y

xO

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

y

xO

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

4. D (2, 5) 5. E (2.5, 1.5) 6. F (1 1 − 2 , 2)

y

xO

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8

y

xO

1

1 2 3 4

2

3

4

y

xO

1

1 2 3 4

2

3

4

7. DINERO Un dólar vale 4 monedas de 25¢. La tabla siguiente muestra esta relación.

Monedas de 25¢.Número de

dólaresNúmero de

monedas de 25¢.1 42 83 124 16

a. Escribe estos datos como pares ordenados (números de dólares, número de monedas de 25¢).

b. Grafica los pares ordenados. Luego, describe la gráfica.

Práctica de destrezasGrafica relaciones

y

x

2468

10121416

2 4 6 8 10 12 14 16


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8-1 ReforzamientoTablas de funciones

C

Una regla de la función describe la relación entre la entrada y la salida de una función. Las entradas y salidas se pueden organizar en una tabla de funciones.

Completa la tabla de funciones.

Entrada (x) x - 3 Salida (y)9 9 - 38 8 - 3

6 6 - 3

La regla de la función es n - 3. Réstale 3 a cada entrada.

Entrada Salida

9 - 3 → 6

8 - 3 → 5 →

6 - 3 → 3

Calcula la entrada para la tabla de funciones.

Entrada (x) 4x Salida (y)04

8

Trabaja al revés para calcular la entrada. Como la regla es 4x, divide cada salida entre 4.

Las entradas son 0, 1 y 2.

Ejercicios

Completa cada tabla de funciones.

1. Entrada (x) 2x Salida (y)0

2

4

2. Entrada (x) 4 + x Salida (y)0

1

4

Calcula la entrada para cada tabla de funciones.

3. Entrada (x) x + 2 Salida (y)1 + 2 3

2 + 2 4

5 + 2 7

4. Entrada (x) x ÷ 2 Salida (y)2 ÷ 2 1

6 ÷ 2 3

10 ÷ 2 5

Ejemplo 1

Entrada (x) x - 3 Salida (y)9 9 - 3 68 8 - 3 56 6 - 3 3

Ejemplo 2


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8-1AC

Práctica de destrezasTablas de funciones

Completa cada tabla de funciones.

1. Entrada (x) x + 3 Salida (y)0

2

4

2. Entrada (x) 3x + 1 Salida (y)0

1

2

3. Entrada (x) 2x - 1 Salida (y)7

5

4

4. Entrada (x) x ÷ 3 Salida (y)12

9

6

5. Si la regla de una función es 2x - 3, ¿cuál es la salida para 3?

6. Si la regla de una función es 4 - x, ¿cuál es la salida para 2?

Calcula la entrada para cada tabla de funciones.

7. Entrada (x) x - 3 Salida (y)10 - 3 7

7 - 3 4

4 - 3 1

8. Entrada (x) x + 9 Salida (y)3 + 9 12

6 + 9 15

8 + 9 17

9. Entrada (x) 5x Salida (y)5(0) 0

5(2) 10

5(3) 15

10. Entrada (x) x ÷ 2 Salida (y)4 ÷ 2 2

6 ÷ 2 3

12 ÷ 2 6

11. Entrada (x) 2x + 2 Salida (y)2(1) + 2 4

2(2) + 2 6

2(3) + 2 8

12. Entrada (x) 3x - 1 Salida (y)3(5) - 1 14

3(3) - 1 8

3(2) - 1 5


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8-1 ReforzamientoReglas de funciones

Usa palabras y símbolos para describir el valor de cada término como función de su posición. Luego, calcula el valor del décimo término en la secuencia.

Posición 1 2 3 4 n

Valor del término 4 8 12 16

Estudia la relación entre cada posición y el valor Posición Valor del término

1 × 4 = 42 × 4 = 83 × 4 = 124 × 4 = 16n × 4 = 4n

de su término.

Nota que el valor de cada término es 4 veces el número de su posición. Por tanto, el valor del término en la posición n es 4n.

Para calcular el valor del décimo término, reemplaza n con 10 en la expresión algebraica 4n. Como 4 × 10 = 40, el valor del décimo término en la secuencia es 40.

Ejercicios


1. Posición 3 4 5 6 n






Una secuencia es una lista de números en un orden específico. Cada número en la secuencia se llama un término. Una secuencia aritmética es una secuencia en la cual se encuentra cada término sumando el mismo número al término anterior.

Ejemplo

D


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8-1










Halla la regla para cada tabla de funciones.

5. Entrada (x) Salida (y)5 0

6 1

7 2

8 3

n


4 16

6 18

8 20

n


5 1

6 2

7 3

n


2 22

3 33

4 44

n

Práctica de destrezasReglas funciones

D


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8-1E

ReforzamientoFunciones y ecuaciones

Escribe una ecuación para representar la función.

Examina cómo cambia el valor de cada entrada Entrada, x 1 2 3 4 5

Salida, y 5 10 15 20 25y salida.

Cada salida y es igual a 5 veces la entrada x.

Por tanto, la ecuación que representa la función es y = 5x.

Grafica la ecuación y = 5x.

Elige tres valores cualesquiera para la entrada x, por ejemplo 0, 1 y 2. Reemplaza x con estos valores para encontrar la salida y.

x 5x y (x, y)0 5(0) 0 (0, 0)1 5(1) 5 (1, 5)2 5(2) 10 (2, 10)

y

x

123456789

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = 5x

Los pares ordenados (0, 0), (1, 5) y (2, 10) representan la función. Son soluciones de la ecuación.

Ejercicios

Escribe una ecuación para representar cada función.

1. Entrada, x 1 2 3 4

Salida, y 2 4 6 8

2. Entrada, x 0 1 2 3

Salida, y 0 6 12 18

En el Ejercicio 3, grafica la ecuación que obtuviste como respuesta en el Ejercicio 1. En el Ejercicio 4, grafica la ecuación que obtuviste en el Ejercicio 2.

3. y

x

123456789

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4. y

x

2468

1012141618

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Una tabla de funciones muestra los valores de entrada y salida que representan una función. La función que aparece en una tabla de funciones se puede representar con una ecuación.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Entrada, x 1 2 3 4 5

Salida, y 5 10 15 20 25

�+1

�+1

� �

�

+5

�

+5

�

+5

+1+1

�

+5


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8-1

Escribe una ecuación para representar cada función.

1. Entrada, x 0 1 2 3 4

Salida, y 0 3 6 9 12

2. Entrada, x 0 1 2 3 4

Salida, y 0 1 2 3 4

3. Entrada, x 1 2 3 4 5

Salida, y 7 14 21 28 35

4. Entrada, x 0 1 2 3 4

Salida, y 7 8 9 10 11

5. Entrada, x 2 4 6 8 10

Salida, y 5 9 13 17 21

6. Entrada, x 0 1 2 3 4

Salida, y 2 14 26 38 50

Grafica cada ecuación.

7. y = 4x 8. y = x + 6 9. y = 2x + 1

y

123456789

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

y

123456789

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

y

123456789

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

10. ANIMALES Un manatí se come en promedio 70 libras y

50100150200250300350400450500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

de vegetación húmeda cada día. La ecuación y = 70x describe la cantidad y que come un manatí en x días. Grafica la función.

Práctica de destrezasFunciones y ecuaciones

E


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8-1 Reforzamiento Representaciones múltiples de funciones

F

Representaciones múltiples de funcionesPalabras

El costo de los boletos para el cine es igual a $8 multiplicado por el número de boletos.

Ecuaciónc = 8b

Tabla

Número de boletos Costo

1 $82 $163 $24

Gráfica

Núm

ero

de b

olet

os

12963

0

1821242730

15

1 2 3 4 5Costo ($)

Ejercicios

1. MINI GOLF Diversiones a Granel cobra $3 por cada juego de minigolf.

a. Escribe una ecuación para representar el costo total t de cualquier número de juegos g de minigolf.

b. Haz una tabla de funciones para mostrar la relación entre el número de juegos g y el costo total t.

Número de juegos (g) Costo total (t)

1

2

3

4

c. Grafica los pares ordenados.

Cost

o ($

)

8

10

4

6

2

0

12

141618

1 2 3 4Número de juegos


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8-1 Práctica de destrezasRepresentaciones múltiples de funciones

F

LIBROS La biblioteca de la escuela va a comprar libros nuevos que cuestan $9 cada uno.

1. Escribe una ecuación para calcular t, el costo total en dólares para cualquier número de libros, l.

2. Haz una tabla de funciones para mostrar la relación entre el número de libros l y el costo total t.

Libros (l) Costo total (t)

3. Grafica los pares ordenados.

20

25

10

15

5

0

30

354045

1 2 3 4

Cost

o ($

)

Libros

PIANO Toca con Ánimo cobra $22 por cada lección de piano. La Tienda de Música de Ed cobra $30 por clase.

4. Escribe una ecuación para representar el costo total t para cualquier número de clases de piano p en cada lugar.

5. Usa las ecuaciones de la función para determinar qué curva es más inclinada. Explica tu razonamiento.

4050

20

30

10

0

60

7080

90100110120

1 2 3 4 5

Toca con Ánimo

Tienda de Música de Ed


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BReforzamientoDesigualdades

Un enunciado matemático que compara cantidades es una desigualdad. Las desigualdades se indican con los signos <, >, ≤, ≥.

< > ≤ ≥

es menor que• es mayor que• es menor que o igual a

• es mayor que o igual a

•

es menor que• es más que• como máximo• es por lo menos•

De los números 5, 6 ó 7, ¿cuál es una solución para la desigualdad f + 4 < 10?

Valor de f f + 4 < 10 Verdadero o falso

5 5 + 4 < 10 9 < 10 verdadero

6 6 + 4 < 10 10 <10 falso

7 7 + 4 < 10 11 < 10 falso

El número 5 hace el enunciado verdadero.

¿Es el valor dado una solución de la desigualdad?

a. x + 4 > 8, x = 5

x + 4 > 8 Escribe la desigualdad.

5 + 4 � 8 Reemplaza x con 5.

9 � 8 Simplifica.

Como 9 > 8, entonces 5 es una solución.

b. 10 ≤ 15 - y, y = 7

10 � 15 - 7 Escribe la desigualdad, reemplazando y con 7.

10 � 8 Simplifica.

Como 10 no es menos que ni igual a 8, entonces 7 no es una solución.

Ejercicios

Determina qué número es una solución de la desigualdad.

1. 7 + a > 13; 5, 6, 7 2. 12 - b ≤ 4; 6, 7, 8 3. 9 + n ≥ 20; 9, 10, 11

¿Es el valor dado una solución de la desigualdad?

4. y - 3 < 5, y = 9 5. 14 + s ≥ 22, s = 8 6. r - 5 > 6, y = 10

Ejemplo 1

Ejemplo 2

8-2


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Determina qué número es una solución para cada desigualdad.

1. 18 + a > 21; 2, 3, 4 2. 24 - x ≤ 19; 3, 4, 5

3. 7 + r ≥ 18; 11, 10, 9 4. 9 - h > 2; 6, 7, 8

5. 32 - n ≤ 17; 13, 14, 15 6. 16 + j ≥ 29; 13, 12, 11

7. 10 - f < 7; 2, 3, 4 8. 52 + q < 56; 5, 4, 3

¿Es el valor dado una solución para cada desigualdad?

9. 2 + s ≥ 10; s = 7 10. 14 - r < 9; r = 6

11. j - 11 ≥ 20; j = 32 12. t + 6 > 40; t = 35

13. 16 + m > 40; m = 16 14. 9x ≥ 80; x = 9

15. 15 ≤ 3z; z = 4 16. 12 + 2n > 26; n = 5

8-2B

Práctica de destrezasDesigualdades


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CReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Adivina,

verifica y revisa

DEPORTES Patricia hizo una combinación de canastas de 2 puntos y canastas de 3 puntos en el partido de básquetbol. Anotó un total de 9 puntos. ¿Cuántas canastas de 2 puntos y canastas de 3 puntos hizo Patricia en el partido de básquetbol?

Comprende Sabes que Patricia hizo canastas de 2 puntos y canastas de 3 puntos. También sabes que anotó un total de 9 puntos. Debes calcular cuántas canastas de cada tipo hizo.

Planifica Adivina hasta que halles una respuesta que tenga sentido para el problema.

Resuelve Número de canastas de

2 puntos

Número de canastas de

3 puntos

Número total de puntos

Comparado con 9

1 2 1(2) + 2(3) = 8 < 9

2 2 2(2) + 2(3) = 10 > 9

2 1 2(2) + 1(3) = 7 < 9

3 1 3(2) + 1(3) = 9 = 9

Verifica Tres canastas de 2 puntos dan 6 puntos. Una canasta de 3 puntos da 3 puntos. Como 6 + 3 es 9, la repuesta es correcta.

Ejercicio

JUEGOS DE VIDEO Blaine tiene 16 juegos de video. Los tipos de juegos que tiene son juegos de deportes, búsquedas de tesoros y acertijos. Tiene 4 juegos de deportes más que búsquedas de tesoros. Tiene 3 acertijos menos que búsquedas de tesoros. Usa la estrategia de adivina, verifica y revisa para determinar cuántos juegos de video de cada tipo tiene Blaine.

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es adivina, verifica y revisa. Con base en la información presentada en el problema, puedes adivinar la solución. Luego, usa cálculos para verificar que tu respuesta sea correcta. Puedes repetir este proceso hasta que halles la solución correcta.

Puedes usar la estrategia de resuelve un problema más simple, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





Ejemplo

8-2


P rinter P DF


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ill Com

panies, In

c.


8-2A

Usa la estrategia de adivina, verifica y revisa para resolver cada problema.

1. DINERO Keegan tiene en el bolsillo 10 monedas que suman en total $2.05. Solamente tiene monedas de 25¢ y monedas de 10¢. ¿Cuántas monedas de cada una tiene Keegan?

2. NÚMEROS La Srta. Junkin les dijo a sus estudiantes que estaba pensando en tres números diferentes entre 1 y 9 que suman 19. Halla los números posibles.

3. COMPRAS Natasha compró unas pulseras y unos anillos en una realización de joyería. Cada pulsera costó $4 y cada anillo costó $7. Si Natasha gastó $29 en las joyas, ¿cuántas pulseras y anillos compró?

4. ORDEN DE LAS OPERACIONES Usa cada uno de los signos + , - y × para que el siguiente enunciado matemático sea verdadero.

5 ___ 2 ___ 6 ___ 9 = 13

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Adivina,

verifica y revisa

C




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s, I

nc.


Escribe una desigualdad para el enunciado.

Menos de 70 estudiantes fueron al último baile.

Palabras Menos de 70 estudiantes fueron al último baile.

Variable Sea e = el número de estudiantes.

Desigualdad s < 70

Grafica cada desigualdad en una recta numérica.

a. x > 8 b. x ≤ 8

6 7 8 9 10 6 7 8 9 10

Ejercicios

Escribe una desigualdad para cada enunciado.

1. La altura máxima h es 45 pies.

2. El elefante macho adulto m pesaba más de 12,000 libras.

3. La cuota máxima c para cualquier estudiante es $15.

4. Debes tener por lo menos 38 pulgadas de estatura para subirte a la montaña rusa.

Grafica cada desigualdad en la recta numérica.

5. x > 7 6. s ≥ 5 7. m < 2

5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4

8. f ≤ 6 9. r > 11 10. n ≥ 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5

Ejemplo 1

Ejemplo 2

El punto cerrado significa que 8 sí hace verdadero el enunciado. La gráfica de la izquierda significa que los números menores que 8 hacen verdadero el enunciado.

El punto abierto significa que 8 no hace verdadero el enunciado. La gráfica de la derecha significa que los números mayores que 8 hacen verdadero el enunciado.

DReforzamientoEscribe y grafica desigualdades

8-2


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c.


Escribe una desigualdad para cada enunciado.

1. Más de 40,000 aficionados fueron al partido inaugural de fútbol americano en la Universidad de la Florida.

2. Sus ganancias no fueron más que $86.

3. El saldo de una cuenta de ahorros es menos que $550.

4. El número de miembros del club es por lo menos 25.

5. La competencia de terneros de primavera en la feria de ganado es para terneros que pesan 825 libras o menos.

6. El depósito mínimo para una cuenta corriente nueva es $75.

Grafica cada desigualdad en la recta numérica.

7. a < 8 8. d ≤ 4 9. b ≥ 11

6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 9 10 11 12 13

10. x > 3 11. x < 9 12. r ≥ 4

1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6

13. x > 10 14. x ≥ 6 15. x ≤ 2

8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4

DPráctica de destrezasEscribe y grafica desigualdades

8-2


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8-2F

Reforzamiento Resuelve desigualdades de un paso

Propiedades de la sustracción y de la adición

Palabras Cuando sumas o restas el mismo número en cada lado de una desigualdad,la desigualdad sigue siendo verdadera.

Símbolos Para todos los números a, b c, 1. Si a < b, entonces a + c < b + c y a - c < b - c. 2. Si a > b, entonces a + c > b + c y a - c > b - c.

Ejemplo 1 Resuelve x + 9 ≤ 12. Representa la solución en una recta numérica.

x + 9 ≤ 12 Escribe la desigualdad.

−9 −9 Resta 9 de cada lado.

x ≤ 3 Simplifica.

La solución es x ≤ 3. Para graficarla, dibuja un punto cerrado 0 1 2 3 4 5 6 xen 3 y dibuja una flecha a la izquierda en la recta numérica.

Propiedades de la multiplicación y de la división

Palabras Cuando multiplicas o divides cada lado de una desigualdad entre el mismo número positivo, la desigualdad sigue siendo verdadera.

Símbolos

Para todos los números a, b, c donde c > 0, 1. Si a < b, entonces ac < bc y a − c < b − c .

2. Si a > b, entonces ac > bc y a − c > b − c .

Ejemplo 2 Resuelve 3x > 15. Representa la solución en una recta numérica.

3x > 15 Escribe la desigualdad.

3x − 3 > 15 −


x > 5 Simplifica.

La solución es x > 5. Para graficarla, dibuja un punto abierto 3 4 5 6 7 xen 5 y dibuja una flecha a la derecha en la recta numérica.

Ejercicios

Resuelve cada desigualdad. Luego, representa la solución en una recta numérica.

1. 9d > 81 2. t – 5 < 4

126 7 8 9 10 11

126 7 8 9 10 11

3. j + 6 ≥ 11 4. n − 3 ≤ 7

82 3 4 5 6 7

2418 19 20 21 22 23


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8-2F

Práctica de destrezasResuelve desigualdades de un paso

1. 8x > 16

0 1 2 3 4

2. h - 9 > 13

20 21 22 23 24

3. t + 7 ≤ 12

3 4 5 6 7

4. r − 3 ≥ 5

13 14 15 16 17

5. j + 4 < 10

4 5 6 7 8

6. 7y < 35

3 4 5 6 7

7. b - 15 > 11

24 25 26 27 28

8. n − 4 < 4

14 15 16 17 18

9. 4b ≥ 12

1 2 3 4 5

10. z + 8 ≥ 14

4 5 6 7 8

11. y −

6 ≥ 2

10 11 12 13 14

12. j - 8 < 9

15 16 17 18 19

13. k - 10 ≥ 6

14 15 16 17 18

14. 6z ≥ 18

1 2 3 4 5

15. 12a ≥ 48

2 3 4 5 6

16. s − 3 < 5

13 14 15 16 17

17. COMPRAS Chantal quisiera comprar un nuevo par de zapatos de correr. Los zapatos que le gustan cuestan de $85 para arriba. Si ella ha ahorrado $62, escribe una desigualdad para mostrar cuánto dinero más necesita ahorrar.

Resuelve cada desigualdad. Representa la solución en una recta numérica.


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ReforzamientoDesigualdades de dos pasos

Ejemplo Cuatro más de 3 veces un número es menos que 28. Escribe, resuelve y grafica una desigualdad para representar esta situación.

Palabras Cuatro más de 3 veces un número es menos que 28.

Variable Sea n = el número.

Desigualdad 3n + 4 < 28

3n + 4 < 28 Escribe la desigualdad.

3n + 4 < 28 Resta 4 de cada lado. −4 −4

3n < 24 Simplifica.

3n − 3 < 24 −


n < 8 Simplifica.

La solución es n < 8. Para graficarla, dibuja un círculo abierto en 8 y dibuja una flecha abierta a la izquierda en la recta numérica.

6 7 8 9 10

Ejercicios

Escribe, resuelve y grafica una desigualdad para representar cada oración.

1. 25 es menos que 10 más que 5 veces un número. 1 2 3 4 5

2. Ocho menos que 3 veces un número es mayor que o igual a 10. 4 5 6 7 8

3. Cinco más que 6 veces un número es menos que o igual a 29. 2 3 4 5 6

4. LANCHAS DE PEDALES Cuesta $25 más $6 por hora alquilar una lancha de pedales en el lago. El costo mínimo es $43. ¿Cuál es el número mínimo de horas que se puede alquilar una lancha de pedales?

1 2 3 4 5

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Práctica de destrezasDesigualdades de dos pasos

Escribe, resuelve y grafica una desigualdad para representar cada oración.

1. 12 es mayor que 6 más que 2 veces un número.

1 2 3 4 5

2. Siete menos que 4 veces un número es mayor que o igual a 21.

5 6 7 8 9

3. 16 menos que 5 veces un número es mayor que 29.

7 8 9 10 11

4. 24 es menos que o igual a 12 más que 3 veces un número.

2 3 4 5 6

5. Nueve menos que 2 veces un número es mayor que o igual a 17.

11 12 13 14 15

6. 56 es mayor que 6 más que 10 veces un número.

3 4 5 6 7

7. VENTAS Eric recibe un pago de $7 por cada hora que trabaja en la tienda de artículos electrónicos, más $2 extra por cada tarjeta de afiliación a la tienda que vende. ¿Cuántas tarjetas de afiliación debe vender si quiere ganar más de $40 por trabajar 4 horas?

4 5 6 7 8

8. CONCURSO En un concurso de la clase, los estudiantes reciben 8 puntos por cada libro que leen más 5 puntos extra por cada reseña que escriben sobre un libro. Si un estudiante lee 3 libros y quiere por lo menos 34 puntos, ¿cuántas reseñas de libros tiene que escribir?

0 1 2 3 4

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9-1A

ReforzamientoÁrea de paralelogramos

Calcula el área del paralelogramo.

A = bh

A = 4 × 7

A = 28

El área es 28 unidades cuadradas o 28 unidades2.

Calcula la altura del paralelogramo.

A = bh Área del paralelogramo

24 = 6 · h Reemplaza A con 24 y b con 6.

24 − 6 = 6h −


4 = h Simplifica.

Por tanto, la altura es 4 pulgadas.

Calcula el área de cada paralelogramo.

1. 2.

18 cm

35 cm

3.

10.4 m

8.8 m

4. Calcula la altura de un paralelogramo si su base es 9 pies y su área es 27 pies cuadrados.

El área A de un paralelogramo es el producto de cualquier base b y su altura h.

Símbolos A = bh Modelo

base ( )

altura ( )h

b

Ejemplo 1

La base es 4 unidades y la altura es 7 unidades.

Ejemplo 2

A = 24 pulg2

6 pulg


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9-1A

Práctica de destrezasÁrea de paralelogramos

Calcula el área de cada paralelogramo.

1. 2. 3.

7 pies

3 pies

4.

7 yd

9 yd

5.

5 cm

2 cm 6.

9 yd

10 yd

7.

6 m

14 m

8.

10 pulg12

15 pulg18

9.

16 pulg

9 pulg

10.

12.75 cm

5.4 cm 11.

9 km

11 km

12.

15 m

17 m

13. Calcula la base de un paralelogramo con área de 18 pulgadas cuadradas y altura de 2 pulgadas.

14. Calcula la altura de un paralelogramo con área de 63 yardas cuadradas y base de 9 yardas.

15. Calcula la altura de un paralelogramo con área de 41 metros cuadrados y base de 8.2 metros.


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9-1

Ejemplos

CReforzamientoÁrea de triángulos

Calcula el área.

altura

base

La medida de la basees 5 unidades y laaltura es 8 unidades.

A = bh − 2 Área de un triángulo.

A = 5 × 8 − 2 Reemplaza b con 5 y h con 8.

A = 40 − 2 Simplifica el numerador.

A = 20 Divide.

El área es 20 unidades cuadradas.

Calcula la altura.

14 m

A = 42 m2

A = bh − 2 Área de un triángulo

42 = 14 · h − 2 Reemplaza A con 42 y b con 14.

42(2) = 14 · h − 2 (2) Multiplica los dos lados por 2.

84 = 14 · h Simplifica.

84 − 14

= 14 · h − 14

Divide entre 14.

6 = h Simplifica.

La altura es 6 metros.

Ejercicios

Calcula el área de desconocida.

1. 2.

5 pies

2 pies

3.

14 pulg1 2

12 pulg3 4

Calcula la dimensión desconocida.

4. altura: 12 pulg., área: 24 pulg2 5. base: 15 m, área: 37.5m2

El área A de un triángulo es la mitad del producto de cualquier base b y su altura h.

Símbolos A = 1 − 2 bh ó A = bh −

2 Modelo

base ( )

altura ( )h

b


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9-1

Calcula el área de cada triángulo.

1. 2. 3.

4.

12 pies

4 pies 5.

25 yd

10 yd

6.

5 pies

15 pies

7.

6 km

6 km

8.

9 cm

2 cm 9.

12 cm3 cm

10.

15 m

12 m

11.

3.4 km

10.7 km 12.

8 pies

24 pies1 2

Calcula la dimensión desconocida.

13. base: 4 pulg 14. altura: 1 yd, 15. base: 5 pies,

área: 22 pulg2 área: 2.5 yd2 área: 5 5 − 6 pies2

Práctica de destrezasÁrea de triángulos

C


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9-1

Calcula el área del trapecio.

A = 1 − 2 h(b1 + b2) Área de un trapecio

A = 1 − 2 (4)(3 + 6) Reemplaza h con 4, b con 3 y b2 con 6.

A = 1 − 2 (4)(9) Suma 3 y 6.

A = 18 Simplifica.

El área del trapecio es 18 centímetros cuadrados.

Ejercicios

Calcula el área de cada figura. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

7 pulg

5 pulg

14 pulg 2. 8 cm

13.5 cm

18 cm

3.

7 pulg

12 pulg

26 pulg

4.

0.8 m

0.4 m

0.9 m

Un trapecio tiene dos bases, b1 y b2. La altura de un trapecio es la distancia entre las dos bases. El área A de un trapecio es igual a la mitad del producto de la altura h y la suma de las bases b1 y b2.

A = 1 − 2 h(b1 + b2)

b1

b2

h

Ejemplo

4 cm

3 cm

6 cm

ReforzamientoÁrea de trapecios

D


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9-1 Práctica de destrezasÁrea de trapecios


1.

10 cm

9 cm

12 cm 2.

3 pies

2 pies

1.5 pies

3. 12 mm

18 mm

10 mm

4.

4 pies

3 pies

6.5 pies

5.

7 cm

9.2 cm

2 cm

6.

24 mm

20.7 mm

8 mm

7.

12 pies

20.1 pies

25 pies

8.

5.6 pies

6.9 pies

3.2 pies

9.

7.5 cm

12.2 cm

4.5 cm 10. 14 mm

3.8 mm

15.3 mm

11. trapecio: bases 22.8 mm y 19.7 mm, altura 36 mm

12. trapecio: bases 5 pies y 3.5 pies mm, altura 7 pies

13. ESCRITORIOS ¿Qué área tiene la tapa del escritorio que se muestra a la derecha?

36 pies

18 pies

24 pies

D


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ReforzamientoCircunferencia

9-2B

El radio de un círculo es 7 metros. Calcula el diámetro.

d = 2rd = 2 · 7 Reemplaza r con 7.

d = 14 Multiplica.

El diámetro es 14 metros.

Calcula el diámetro de un círculo con un radio de 13 pulgadas. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

C = 2πr Escribe la fórmula

≈ 2 × 3.14 × 13 Reemplaza r con 13 y π con 3.14.

≈ 81.64 Multiplica.

Redondeada a la décima más cercana, la circunferencia es aproximadamente 81.6 pulgadas.

Ejercicios

Calcula el diámetro de cada círculo. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

5 m

2.

8 pulg

3.

21 pies

El diámetro de un círculo es el doble de su radio. d = 2r

El radio es la mitad del diámetro. r = d − 2

centroLa circunferencia es la distancia alrededor de un círculo.

El diámetro, d, es la distancia a través de un círculo pasando por el centro.

El radio, r, es la distancia desde el centro a cualquier punto sobre el círculo.

Ejemplo 1

7 m

Ejemplo 2

La circunferencia de un círculo es igual a C = π dπ veces el diámetro o π veces el doble del radio. C = 2π r

Otra aproximación para π es 22 − 7 . Esta aproximación es útil cuando

el radio o el diámetro es un múltiplo de 7.


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Calcula el diámetro de cada círculo con las dimensiones dadas

1. r = 13 cm 2. d = 4 pies 3. r = 10 mm

4. d = 16 pulg 5. r = 7 mi 6. d = 22 yd

Calcula el diámetro de cada círculo. Usa 3.14 ó 22 − 7 para π. Redondea

a la décima más cercana si es necesario.

7.

9 cm

8.

3 pulg

9.

11 m

10.

21 mi

11.

70 yd

12.

18 mm

13.

5 pies

14.

12 cm

15.

14 m

16.

17.5 km

17.

9 yd

18.

25 pies

9-2 Práctica de destrezasCircunferencia

B


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AReforzamientoÁrea de círculos

D

Calcula el área del círculo. Usa 3.14 para π.

A = π r2 Área de un círculo

A = 3.14 · 52 Reemplaza π con 3.14 y r con 5.

A ≈ 3.14 · 25 5 2 = 5 · 5 = 25

A ≈ 78.5

El área del círculo es aproximadamente 78.5 centímetros cuadrados.

Calcula el área de un círculo que tiene un diámetro de 9.4 milímetros. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

A = π r2 Área de un círculo

A ≈ 3.14 · 4.72 Reemplaza π con 3.14 y r con 9.4 ÷ 2 ó 4.7.

A ≈ 69.4 Multiplica.

El área del círculo es aproximadamente 69.4 milímetros cuadrados.

Ejercicios

Calcula el área de cada círculo. Usa 3.14 ó 22 − 7 para π. Redondea

a la décima más cercana.

1. 7 pulg

2.

25 mm

3.

12 pies

Aproxima el área de cada semicírculo.

4. 28 m 5.

3 pies

El área A de un círculo es igual al producto de pi (π) y el cuadrado de su radio.

A = π r 2

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La fórmula para el área de un semicírculo, o medio círculo, es A = 1 − 2 π r 2.

5 cm

9-2


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Calcula el área de cada círculo. Redondea a la décima más cercana. Usa 3.14 ó 22 −

7 para π.

1.

1 cm

2.

4 yd

3.

70 mm

4.

14 pulg

5.

4.3 pies

6.

8 cm

7. radio = 5.7 mm 8. radio = 8.2 pies

9. diámetro = 3 pulg 10. diámetro = 15.6 cm

Calcula el área aproximada de cada semicírculo.

11.

4.7 yd

12.

22.5 pulg

9-2D

Práctica de destrezasÁrea de círculos


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s, I

nc.


9-3 ReforzamientoPerímetro de figuras compuestas

La distancia alrededor de cualquier figura cerrada se llama perímetro. Para calcular el perímetro, suma las medidas de todos los lados de la figura.

Rectángulo El perímetro P de un rectángulo es el doble de la suma de la base b y la altura h.

P = b + b + h + h

P = 2b + 2h

Figuras compuestas

Una figura compuesta se compone de triángulos, cuadriláteros, semicírculos y otras figuras de dos dimensiones. Para calcular el perímetro de una figura compuesta, suma las distancias alrededor de la figura cerrada.

Ejemplos Calcula el perímetro de cada figura.

P = 2b + 2h Perímetro de un rectángulo P = 2(3) + 2(5) Reemplaza b con 3 y h con 5. P = 6 + 10 Multiplica. P = 16 Suma.El perímetro es 16 pies.

Calcula la circunferencia del círculo.

C = πd Circunferencia de un círculo C = 3.14(10) Reemplaza d con 10. C = 31.4 Multiplica.Como solamente necesitas la mitad de la circunferencia, divide entre 2.31.4 ÷ 2 = 15.7El perímetro es 10 + 10 + 10 + 15.7, ó 45.7 centímetros.

Ejercicios

Calcula el perímetro de cada figura. Usa 3.14 para π.

1. 1 pulg

4 pulg

1 pulg

4 pulg

2.

3 yd 3 yd

3 yd

10 yd12 10 yd1

2

3.

5 pies

5 pies

10 cm 10 cm

10 cm

5 pies

3 pies

5 pies

3 pies

A


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panies, In

c.


Práctica de destrezasPerímetro de figuras compuestas

Calcula el perímetro de cada figura. Usa 3.14 para π.

1.

2 pies

5 pies

2 pies

5 pies

2.

29 pulg

14 pulg

29 pulg

14 pulg

3.

4 pulg

4 pulg

4 pulg

4 pulg

4.

4 yd

5 yd

5 yd4 yd

11 yd

13 yd

11 yd

5.

9 km

7 km

2 km

3 km

4 km

7 km

6. 21 cm 21 cm

56 cm

56 c

m

7. 9 mi

4 mi

5 mi

9 mi

8.

6.2 km

2.7 km

9.4 km

7.1 km

9-3A


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coe/

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nc.


C

9-3 ReforzamientoÁrea de figuras compuestas

Para calcular el área de una figura compuesta, sepárala en figuras cuyas áreas sepas calcular y luego suma las áreas.

Ejemplo Calcula el área de la figura de la derecha en pies cuadrados.

La figura se puede separar en un rectángulo y un trapecio. Calcula el área de cada figura.

Área de un rectánguloA = bh Área de un rectángulo

A = 12 · 8 Reemplaza b con 12 y h con 8.

A = 96 Multiplica.

Área de un trapecio

A = 1 − 2 h(b1 + b2) Área de un trapecio

A = 1 − 2 (4)(4 + 12) Reemplaza h con 4, b1 con 4 y b2 con 12.

A = 32 Multiplica.

El área de la figura es 96 + 32 ó 128 pies cuadrados.

Ejercicios

Calcula el área de cada figura. Redondea a la décima más cercada si es necesario.

1.

4 cm

6.5 cm

13 cm

6 cm

6 cm 2.

4 pulg 5 pulg

3. 18 mm

38 mm

11 mm

12 pies

4 pies

4 pies

8 pies

12 pies

4 pies

4 pies

12 pies

8 pies


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panies, In

c.


9-3C

Práctica de destrezasÁrea de figuras compuestas


1.

7 cm

7 cm

2.

7 mm5 mm

6 mm

3.

15 pulg5 pulg

10 pulg

30 pulg

15 pulg

4.

3 pulg 4 pulg

9 pulg

5.

13 m

9 m

7 m 6.

20 yd

9 yd11 yd

9 yd

4 yd 4 yd

7.

4 m

4 m

2 m

2 m

2 m

8. 1.3 pies

1.3 pies

3.5 pies

3.5 pies

3.5 pies

3.5 pies


P rinter P DF


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nc.


DReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Haz un modelo

EXHIBICIONES El empleado de una tienda de abarrotes está exhibiendo las cajas de un nuevo cereal colocándolas en forma de pirámide. Si no desea tener más de 4 hileras en su exhibición, ¿cuál es el menor número de cajas de cereal que puede usar?

Comprende Las cajas de cereal se tienen que apilar en forma de pirámide. Debe haber solamente 4 hileras en la pirámide. Debemos calcular el número mínimo de cajas de cereal que se necesitan para formar una pirámide.

Planifica Haz un modelo para hallar el número de cajas de cereal que se necesitan.

Resuelve Usa un rectángulo para representar cada caja de cereal.

El menor número de cajas que se necesita es 4 + 3 + 2 + 1, ó 10 cajas.

Verifica Cuenta el número de cajas en el modelo. Hay 10 cajas.

Ejercicio

EMBALDOSAR Demarcus tiene 18 baldosas decorativas cuadradas para hacer un diseño en la pared de atrás del lavadero de la cocina. Él quiere colocarlas en una figura rectangular con el menor perímetro posible. ¿Cuántas baldosas habrá en cada hilera?

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es haz un modelo. Si un problema tiene datos que se pueden representar visualmente, quizá sea útil hacer un modelo de la situación. Luego se puede usar el modelo para resolver el problema.

Puedes usar la estrategia de haz un modelo, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





Ejemplo

9-3


P rinter P DF


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panies, In

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9-3D

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Haz un modelo

Usa la estrategia de haz un modelo para resolver.

1. PATIO José tiene 24 ladrillos cuadrados para colocar como piso de un patio pequeño donde piensa colocar el asador. Quiere ponerlos en una figura rectangular con el menor perímetro posible. ¿Cuántos ladrillos habrá en cada hilera?

2. MANUALIDADES Nyah está haciendo un collage de las fotos escolares de su amiga en una cartulina. Cada foto mide 2 pulgadas por 3 pulgadas y la cartulina mide 8 pulgadas por 16 pulgadas. ¿Cuál es el mayor número de fotos que Nyah puede poner en la cartulina sin que ninguna foto quede pisando otra y con todas las fotos mirando en la misma dirección?

3. LIBROS Una librería coloca sus libros de mayor venta en la vitrina de adelante. ¿De cuántas maneras se pueden colocar cuatro libros en una hilera?

4. PELOTAS DE BÉISBOL El dueño de una tienda deportiva está exhibiendo 200 pelotas de béisbol. Las coloca en forma de pirámide cuadrada. La capa de abajo tiene 64 pelotas de béisbol colocadas en forma de cuadrado. Para cada capa consecutiva de pelotas, coloca una pelota donde se unen 4 pelotas. ¿Cuántas capas habrá en la pirámide? ¿Cuántas pelotas sobran?


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nc.


ReforzamientoVolumen de un prismas rectangulares

Calcula el volumen del prisma rectangular.

Método 1 Usa V = bah. Método 2 Usa V = Bh.

V = bah V = Bh

V = 10 × 5 × 2 V = 50 × 2

V = 100 V = 100

El volumen es 100 pies3. El volumen es 100 pies3.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada prisma.

1.

3 pies

4 pies

2 pies 2.

4 pulg

4 pulg

4 pulg

3.

5 yd

5 yd

20 yd

4. 1.9 cm

3.2 cm5.4 cm

La cantidad de espacio que hay adentro de una figura tridimensional es el volumen de la figura. El volumen se mide en unidades cúbicas. Esto te dice el número de cubos de cierto tamaño que se necesitan para llenar el prisma.

El volumen V de un prisma rectangular es el También puedes multiplicar el área de la base B producto de la base b, el ancho a y la altura h. por la altura h para calcular el volumen V.Símbolos V = bah Símbolos V = Bh

Modelo

a

h

b

Modelo

h

B

uidad cúbica

Ejemplo

5 pies

2 pies

10 pies

9-4B


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c.


Práctica de destrezasVolumen de prismas rectangulares

Calcula el volumen de cada prisma.

1. 2 pulg

1 pulg4 pulg

2.

4 m

2 m7 m

3.

9 pies

6 pies

5 pies

4.

4 mm

1 mm

10 mm

5.

3 pulg2 pulg

10 pulg

6.

12 yd

10 yd

15 yd

7.

2 pulg

3 pulg5 pulg

8. 2 pies5 pies

20 pies

9.

10 mm

7 mm

6 mm

Calcula la dimensión desconocida e cada prisma.

10.

8.4 m

�1 m

V = 39.48 m3 11. h

7 pies12

3 pies34

V = 56.25 pies3 12.

7 yd

w

9 yd

V = 189 yd3

13. Calcula el volumen de un prisma rectangular con longitud de 3 metros, ancho de 4 metros y altura de 5 metros.

14. ¿Qué volumen tiene un prisma rectangular con longitud de 6 yardas, ancho de 3 yardas y altura de 2 yardas?

B

9-4


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ReforzamientoVolumen de prismas triangulares

B

Volumen de un prisma triangular

Palabras El volumen V de un prisma triangular es el área de la base B multiplicada por la altura h.

Modelo

Símbolos V = Bh, donde B = 1 − 2 bh

Calcula el volumen del prisma triangular.

El área del triángulo es 1 − 2 · 4 · 5, por tanto, reemplazas B con 1 −

2 · 4 · 5.

V = Bh Volumen de un prisma

V = ( 1 − 2 · 4 · 5) (h) Reemplaza B con 1 −

2 · 4 · 5.

V = ( 1 − 2 · 4 · 5) (8) Reemplaza h con 8, la altura del prisma.

V = 80 Multiplica.

El volumen es 80 pulgadas cúbicas u 80 pulg3.

Calcula el volumen del prisma triangular.

El área del triángulo es 1 − 2 · 4 · 5, por tanto, reemplazas B con 1 −

2 · 4 · 5.

V = Bh Volumen de un prisma

V = ( 1 − 2 · 7 · 10) (h) Reemplaza B con 1 −

2 · 7 · 10.

V = ( 1 − 2 · 7 · 10) (6) Reemplaza h con 6, la altura del prisma.

V = 210 Multiplica.

El volumen es 120 centímetros cúbicos o 210 cm3.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada prisma. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1. 7 pies

8 pies

8 pies

8 pies

6 pies

2.

12 pulg

10 pulg6 pulg

3.

5 m

4 m

7 m

Ejemplo 1

Ejemplo 2

8 pulg

4 pulg

5 pulg

12.2 cm

10 cm

7 cm

6 cm

h

B

10-1


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c.


Práctica de destrezasVolumen de prismas triangulares

B

Calcula el volumen de cada prisma. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

8 yd5 yd1

2

7 yd34

2.

4.8 m

5.9 m

6.1 m

3. 4.2 pies2 pies

3.5 pies

4.

6 m

8 m

12 m

5.

2.6 m5.1 m

4.1 m

6.

7.

12 pies

15 pies

7 pies

8.

5.7 cm

8.9 cm

13.7 cm

9.

6 m6 m

10.5 m

5.3 m

6 m

10-1

15.2 pulg

10.4 pulg

18.4 pulg

9.6 pulg


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Volumen de una pirámide

Palabras El volumen V de una pirámide es un tercio del área de la base B multiplicado por la altura h.

Modelo

Símbolos V = 1 − 3 Bh

Calcula el volumen de la pirámide.

V = 1 − 3 Bh Volumen de una pirámide

V = 1 − 3 (6 · 6)(20) La base es un cuadrado; por tanto,

reemplazas B con 6 · 6 y h con 20.

V = 240 Multiplica.

El volumen es 240 metros cúbicos o 240 m3.

Calcula el volumen de la pirámide.

V = 1 − 3 Bh Volumen de una pirámide

V = 1 − 3 (27.6)(9.4) La base es un triángulo; por tanto,

reemplazas B con 1 − 2 · 8 · 6.9 y h con 9.4.

V = 86.48 Multiplica.

El volumen es 86.48 centímetros cúbicos o 86.48 m3.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada pirámide. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

8 cm

5 cm

5 cm 2.

6 pies

4 pies4 pies

3. 7 mm16 mm

10 mm

ReforzamientoVolumen de pirámides

D

Ejemplo 26 m

6 m

20 m

8 cm6.9 cm

9.4 cm

10-1

Ejemplo 1


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panies, In

c.


Calcula el volumen de cada pirámide. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1. 7.4 km

4 km 14 km

2. 7 yd

5 yd8 yd

3.

B = 31 km2

11 km

4. 5.4 pulg

14 pulg

15 pulg

5. 8 mi12 mi

11 mi

13

6.

10 mm

12 mm

4.6 mm

7.

10 pulg

14 pulg

24 pulg8. 6.5 m

6 m7 m

9.

5 pulg

12.5 pulg

5 pulg

10. La base de una pirámide triangular tiene una base de 20 metros y una altura de 14 metros. La pirámide tiene una altura de 14 metros. Calcula el volumen de la pirámide.

11. Una pirámide rectangular tiene una longitud de 19 yardas y un ancho de 8 yardas. La pirámide tiene una altura de 15 yardas. Calcula el volumen de la pirámide.

Práctica de destrezasVolumen de pirámides

D

10-1


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nc.


BReforzamientoVolumen de cilindros

Calcula el volumen del cilindro. Usa 3.14 para π.Redondea a la décima más cercana.

V = πr2h Volumen de un cilindro

V ≈ 3.14(2)2(5) Reemplaza π con 3.14, r con 2 y h con 5.

V ≈ 62.8 Multiplica.

El volumen es aproximadamente 62.8 pulgadas cúbicas.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

1. 10 mm

18 mm

2. 4 pies

12.9 pies

3. 2 pulg

2 pulg

4. radio = 9.5 yd 5. diámetro = 6 cm 6. diámetro = 3 maltura = 2.2 yd altura = 11 cm altura = 1 m

Al igual que sucede con un prisma, el área de la base de un cilindro indica el número de unidades cúbicas en una capa. La altura indica cuántas capas hay en el cilindro. El volumen V de un cilindro con radio r es el área de la base B multiplicada por la altura h.

V = Bh o V = πr2h, donde B = πr2

r

h

B = πr2

Ejemplo

2 pulg

5 pulg

10-2


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BPráctica de destrezasVolumen de cilindros

Calcula el volumen de cada cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

1. 7 cm

20 cm

2. 8 pies

9 pies

3. 12 pulg 4 pulg

4. 3.5 yd

6 yd

5. 6 m

8 m

6. 1.9 pulg

6.2 pulg

7. radio = 10 cm 8. radio = 4 pies

altura = 4.7 cm altura = 2 1 − 2 pies

9. diámetro = 10 mm 10. diámetro = 7.1 pulgaltura = 4 mm altura = 1 pulg

10-2


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DReforzamientoVolumen de conos

Calcula el volumen del cono. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

V = 1 − 3 πr2h Volumen de un cono

V ≈ 1 − 3 · 3.14 · 5 · 5 · 10 π ≈ 3.14, r = 5, h = 10

V ≈ 261.7 Simplifica.

El volumen es aproximadamente 261.7 pies cúbicos.

Calcula el volumen del cono. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

V = 1 − 3 πr2h Volumen de un cono

V ≈ 1 − 3 · 3.14 · 4.5 · 4.5 · 6.3 π ≈ 3.14, r = 4.5, h = 6.3

V ≈ 133.5 Simplifica.

El volumen es aproximadamente 100.5 pulgadas cúbicas.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada cono. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

4 yd

3 yd 2.

5 m7m

3.

10 m

14 m

Volumen de una pirámide

Palabras El volumen V de un cono con radio r es un tercio del área de la base B multiplicado por la altura h.

Modelo

Símbolos V = 1 − 3 Bh o V = 1 −

3 πr2h

Ejemplo 1

Ejemplo 2

5 pies

10 pies

4.5 mm6.3 mm

10-2


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panies, In

c.


DPráctica de destrezasVolumen de conos

Calcula el volumen de cada cono. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

1. 6 pies

2 pies

2.

8 mm

10 mm 3. 14 m

3 m

4.

9 m

3.5 m 5.

4.5 mm6.3 mm

6. 5 cm

12.5 cm

7.

7 pulg

14 pulg 8.

4 m

12 m

9.

9 pies

25 pies12

10. cono: diámetro, 10 cm; altura, 12 cm

11. cono: radio, 9.7 pies; altura, 18 pies

12. Un cono con radio de 16 centímetros tiene un volumen de 3,215.36 centímetros cúbicos. Calcula la altura del cono. Usa 3.14 para π.

10-2


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s, I

nc.


Calcula el área de superficie del prisma rectangular.

Calcula el área de cada cara.

3 m

8 m

5 m

adelante y atrás2bh = 2(8)(3) = 48

arriba y abajo2ba = 2(8)(5) = 80

dos lados2ha = 2(3)(5) = 30

Suma para calcular la superficie total. La superficie total es 48 + 80 + 30 ó 158 metros cuadrados.

Ejercicios


1. 2 pulg

2 pulg

2 pulg

2.

2 cm

1 cm

5 cm 3.

5 pies

10 pies

2 pies

4.

6 m

3 m

1 m

5.

10 pulg

5 pulg1 2

6 pulg1 4

6.

5.5 yd

5.5 yd

2.8 yd

El área de superficie S de un prisma rectangular con base b, ancho a y altura h es la suma de las áreas de sus caras.

Símbolos A.S. = 2bh + 2ba + 2ha Modelo

a

b

h

ReforzamientoÁrea de superficie de prismas rectangulares

Ejemplo

B

10-3


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c.


Práctica de destrezasÁrea de superficie de prismas rectangulares


1.

1 cm

2 cm

5 cm

2.

8 pies

4 pies3 pies

3.

7 pulg

9 pulg

4 pulg

4.

2 yd

4 yd2 yd

5.

7 pies

5 pies3 pies

6. 2 pies

4 pies9 pies

7.

2 m

9 m

4 m

8. 3 pulg

6 pulg1 2

7 pulg1 4

9.

4.3 mm

4.3 mm

4.3 mm

10. Calcula la superficie total de un prisma rectangular que mide 3 pies por 4 pies por 6 pies.

11. ¿Cuál es la superficie total de un prisma rectangular que mide 12 metros por 11 metros por 9 metros?

B

10-3


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ReforzamientoÁrea de superficie de cilindros

Área de superficie de un cilindro.

Palabras El área de superficie S de un cilindro con altura h y radio r es la suma del área de la superficie curva y el área de las bases circulares.

Modelo

r

h

Símbolos A.S. = 2πrh + 2πr2

Calcula el área de superficie del cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

A.S. = 2πrh + 2πr2 Área de superficie de un cilindro 4 cm

6 cmA.S. ≈ 2(3.14)(4)(6) + 2(3.14)(4)2 Reemplaza r con 4 y h con 6.

A.S. ≈ 251.2 Multiplica.

El área de superficie es 251.2 centímetros cuadrados.

Calcula el área de superficie del cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

A.S. = 2πrh + 2πr2 Área de superficie de un cilindro

15 pulg

10 pulgA.S. ≈ 2(3.14)(5)(15) + 2(3.14)(5)2 Reemplaza r con 5 y h con 15.

A.S. ≈ 628 Multiplica.

El área de superficie es 628 pulgadas cuadradas.

Ejercicios

Calcula el área de superficie de cada cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

9 m

5 m

2.

3 cm

5 cm

3.

9.5 pies

8 pies

Ejemplo 1

Ejemplo 2

D

10-3


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panies, In

c.


DPráctica de destrezasÁrea de superficie de cilindros

Calcula el área de superficie del cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

6 pulg

3 pulg

2.

8 yd

7 yd

3.

10.4 pies

9 pies

4.

4.5 m

5 m 5.

12 cm

5.6 cm 6.

7.

11.5 pulg

7 pulg

8.

9.6 m

6 m 9.

10.8 cm

8 cm

10. CILINDRO: radio, 9.4 mm; altura, 15 mm

11. A la derecha se ve el modelo plano de un cilindro. Calcula su área de superficie.

22 mm

10 mm

4.4 pies

2 pies

10-3


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nc.


La mamá de Elisa quiere que ella cubra una lata desocupada de jugo con papel de colgadura para guardar allí sus lápices sobre el escritorio. La lata tiene una altura de 6 pulgadas y un radio de 3 pulgadas. Dibuja un diagrama para determinar cuánto papel de colgadura se necesita para cubrir la lata. La lata no tiene tapa.

Comprende La lata es un cilindro. Conoces sus dimensiones.

Planifica Haz un diagrama de la lata sin tapa.

3 pulg

6 pulg

3 pulg

18.8 pulg

6 pulg

Resuelve Calcula el área del rectángulo y del círculo. 18.8 pulg

6 pulg

3 pulg

6 × 18.8 = 112.8 π(3)2 = 28.26

El área de superficie es aproximadamente 112.8 + 28.26 ó 141.1 pulgadas cuadradas.

Verifica Verifica usando una fórmula: S = 2πrh + πr2 o aproximadamente 141.3 pulg2.

Ejercicio

PAJARERA Tristán quiere cubrir la pajarera con vinilo para protegerla de la lluvia. La puerta tiene un diámetro de 1.5 pulgadas. Calcula la cantidad de vinilo que necesita Tristán para cubrir la pajarera.

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es dibujar un diagrama. Con frecuencia, un problema describe una situación que es más fácil de resolver visualmente.

Puedes dibujar un diagrama, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas.





Ejemplo

ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Dibuja un diagrama

E

9 pulg

8 pulg12 pulg

10-3


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Resuelve usando la estrategia de dibuja un diagrama.

1. COMIDA PARA PERROS Un recipiente que se usa para guardar la comida fresca para perros mide 30 pulgadas de altura por 18 pulgadas de largo por 14 pulgadas de ancho. Calcula el área de superficie del recipiente de comida para perros, incluida la tapa.

2. TOPE PARA PUERTA Un museo usa un ladrillo de un viejo edificio como tope para la puerta. El ladrillo mide 3.5 pulgadas de alto por 4 pulgadas de ancho por 8 pulgadas de largo. Calcula el área de superficie del ladrillo.

3. COLECCIÓN Un coleccionista de canicas guarda sus canicas en una lata de pintura desocupada, con diámetro de 7 pulgadas y altura de 8 pulgadas. Quiere cubrir el lado de la lata con papel de manila para poder escribir encima unos datos sobre las canicas. Calcula la cantidad de papel de manila que va a necesitar.

4. ALIMENTOS Una compañía que produce recipientes de papel vende un recipiente cilíndrico para la sal. El recipiente mide 9 pulgadas de alto. El diámetro es un tercio de la altura. Calcula la cantidad de papel que se necesita para hacer el recipiente para la sal.

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Dibujar un diagrama

E

10-3


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ABReforzamientoVolumen y área de superficie de figuras compuestas

Calcula el volumen de la figura compuesta de la derecha.

Calcula el volumen del prisma y el volumen del cilindro.

8 m

3 m6 m

4 m

3.5 m

8 m

3 m6 m

4 m

3.5 m

V = bah V = πr2h V = 8 · 6 · 3 ó 144 V = π · 42 c · 3.5 ó 175.8

Suma los volúmenes. El volumen de la figura compuesta esaproximadamente 144 + 175.8 ó 319.8 metros cúbicos.

Calcula el área de superficie de la figura de arriba.

Calcula el área de superficie de cada figura. Luego, resta dos veces el área de la base del cilindro (2πr2 = 32π o aproximadamente 100.5) porque no es una superficie de la figura compuesta.

8 m

3 m6 m

4 m

3.5 m

A.S. = 2bh + 2ba + 2ha A.S. = 2πrh + 2πr2

A.S. = 2(3 � 6) + 2(8 � 6) + 2(3 � 8) A.S. = 2π(4)(3.5) + 2π(4)2

A.S. = 36 + 96 + 48 A.S. ≈ 87.92 + 100.48 A.S. = 180 A.S. ≈ 188.4

El área de superficie de la figura es aproximadamente 180 + 188.4 - 100.5, ó 267.9 metros cuadrados.

Ejercicios

1. Calcula el volumen de la figura 2. Calcula el área de superficie de la compuesta. figura compuesta.

9 pulg

7 pulg

8 pulg

4 pulg

14 cm

10 cm

9 cm

3 cm

6 cm

4 cm

12 cm

El volumen y el área de superficie de una figura compuesta se calculan separando la figura en sólidos con volúmenes o con áreas de superficie que ya sabes calcular.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

10-4


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c.


BPráctica de destrezasVolumen y área de superficie de figuras compuestas

Calcula el volumen de cada figura compuesta. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

3 mm5 mm

2 mm

3 mm7 mm

2 mm 2.

4 mm

6 mm

11 mm5 mm

3. 7 pulg

9 pulg

8 pulg

8 pulg

Calcula el área de superficie de la figura compuesta. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

4. 7 m

3 m

2.5 m

2.5 m

5.

15 pulg12 pulg

10 pulg

13 pulg

9 pulg 6.

24 yd

16 yd

5 yd

4 yd9 yd11 yd

7. PERFUME Un frasco de perfume tiene la forma de un prisma rectangular con un cuello cilíndrico, tal como se muestra a la derecha. Si el prisma mide 3 centímetros de ancho por 6 centímetros de alto por 4 centímetros de largo, y si el cuello mide 3 centímetros de alto con un radio de 1 centímetro, ¿cuál es el volumen del frasco?

10-4




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BReforzamientoEnteros y valor absoluto

Escribe un entero para cada situación.

a. 16 pies bajo el suelo Por estar bajo el suelo, el entero es -16.

b. una ganancia de 5 horas Por ser una ganancia, el entero es 5.

Grafica el conjunto de enteros {-5, -2, 3} en una recta numérica.

Dibuja una recta numérica. Dibuja 321 4 5-3 -2 -1 0-4-5un punto en las posiciones -5, -2,

y 3.

El valor absoluto de un número es la distancia entre el número y cero en una recta numérica. El símbolo de valor absoluto es � �.

Evalúa cada expresión.

a. ⎪-2⎥

La gráfica de -2 es 2 unidades desde 0. 2 unidades

321-3 -2 -1 0

Por tanto, �-2� = 2.

b. ⎪8⎥ + ⎪-6⎥

⎪8⎥ + ⎪-6⎥ = 8 + ⎪-6⎥ El valor absoluto de 8 es 8.

= 8 + 6 El valor absoluto de -6 es 6.

= 14 Simplifica.

Ejercicios


1. ganancias de $60 2. una reducción de 10°

3. Grafica el conjunto {-6, 5, -4} en una recta numérica.

321 4 5 6 7-3 -2 -1 0-4-5-6-7

4. Calcula ⎪-11⎥ - ⎪5⎥ . 5. Calcula ⎪-1⎥ + ⎪-7⎥ .

Ejemplo 1

Un entero es un número del conjunto {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Los enteros mayores que 0 son enteros positivos. Los enteros menores que 0 son enteros negativos. Usa siempre el signo de menos (-) para indicar un número negativo.

Ejemplo 2

Ejemplo 3

11-1


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BPráctica de destrezasEnteros y valor absoluto


1. un descuento de $5 2. un crecimiento de 2.5 centímetros

3. una elevación de 1,000 pies 4. pérdida de 6 libras

5. una caída de precio de $12 6. aumento de sueldo de $1 por hora

Grafica cada conjunto de enteros en una recta numérica.

7. {-2, 0, 4} 8. {7, -3, -1}

5-5 43210-4 -3 -2 -1 7-3 654321-2 -1 0

9. {5, -5, -6, 2} 10. {-8, -7, -4, 1}

7-7 654321-3-4-5-6 -2-1 0 3-9 210-5-6-7-8 -4 -3 -2 -1

11. {-11, -7, 3, 6} 12. {-10, -8, -14, 8}

6-12 420-8-10 -6 -4 -2 -12 9630-9 -6 -3

Calcula cada expresión.

13. ⎪-4⎥ 14. ⎪800⎥

15. ⎪10 - 5⎥ 16. ⎪-18⎥ - ⎪13⎥

17. ⎪16⎥ - ⎪-2⎥ 18. ⎪-11⎥ + ⎪0⎥

19. ⎪-26⎥ + ⎪-17⎥ 20. ⎪-1⎥ + ⎪-1⎥

11-1


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CReforzamientoEl plano de coordenadas

Identifica el par ordenado que nombra el Punto A.

Paso 1 Empieza en el origen. Muévete hacia la izquierda sobre el eje x para hallar la coordenada x del punto A, que es -3.

Paso 2 Muévete hacia arriba por el eje y para encontrar la coordenada y, que es 4. El Punto A se nombra así: (-3, 4).

Grafica el Punto B en (5, 4).

Paso 1 Usa el plano de coordenadas que se muestra arriba. Empieza en el origen. La coordenada x es 5, de modo que te mueves 5 unidades a la derecha.

Paso 2 Como la coordenada y es 4, muévete 4 unidades hacia arriba.

Paso 3 Dibuja un punto. Rotula el punto B.

Ejercicios

Usa el plano de coordenadas a la derecha. Escribe el par ordenado que nombra cada punto.

1. C 2. D

3. E 4. F

5. G 6. H

7. I 8. J

Grafica y rotula cada punto usando el plano de coordenadas de la derecha.

9. R(-2, 3) 10. P(3, -2)

11. Z(-1, 0) 12. B(-3, -4)

13. S(4, 1) 14. M(1, -3)

El eje x y el eje y dividen el plano de coordenadas en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

y

xO

-2-3-4

-2-1-3-4 21 43

1234

Cuadrante II Cuadrante I

Cuadrante III Cuadrante IV

y

xO

-2-3-4

-2-1-3-4 21 43

1234

y

x21 43-3-4 -2-1

-2-3-4

34

21

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CPráctica de destrezasEl plano de coordenadas

Usa el plano de coordenadas de la derecha. Identifica el punto para cada par ordenado.

1. (-2, 4) 2. (-2, -3)

3. (4, 4) 4. (3, -5)

5. (3, 5) 6. (4, -1)

7. (-1, 3) 8. (-4, -2)

Usa el plano de coordenadas de arriba. Escribe el par ordenado que nombra cada punto. Luego, identifica el cuadrante donde está situado cada punto.

9. K 10. L

11. M 12. N

13. O 14. P

15. Q 16. R

Grafica y rotula cada punto usando el plano de coordenadas de la derecha.

17. A(-5, 2) 18. I(2, 1)

19. J(1, -3) 20. B(-5, -1)

21. C(3, 3) 22. K(-1, 2)

23. L(0, -1) 24. D(2, -5)

25. E(3, -2) 26. M(-4, -5)

27. N(1, 5) 28. F(-2, 5)

29. G(-1, -4) 30. O(5, -5)

y

xO

-2-3-4

-2-1-3-4 21 43

1234

y

x21 43-3-4 -2-1

-2-3

34

21

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nc.


ReforzamientoSuma enteros

• La suma de dos enteros positivos siempre es positiva.

• La suma de dos enteros negativos siempre es negativa.

• La suma de un entero positivo y un entero negativo a veces es positiva, a veces es negativa y a veces es cero.

Calcula -3 + (-2).

Método 1 Usar fichas.

-

--

--

Coloca 3 fichasnegativas en eltapete paraindicar −3.

Coloca 2 fichasnegativas en eltapete paraindicar −2.

Por tanto, -3 +(-2) = -5.

Método 2 Usar una recta numérica

-1 0 1 3 4-2-6

-2-3

-3-4-5 2 65

Empieza en 0. Muévete 3 unidades a laizquierda para indicar −1. De allí, muévete 2unidades a la izquierda para indicar −2.

Calcula 4 + (-1).


+ -

+

+

+

Coloca 4 fichas positivas enel tapete para indicar +4.Coloca 1 ficha negativa enel tapete para indicar −1.

Por tanto, 4 + (-1) = 3.

Método 2 Usar una recta numérica.

-1 0 1 3 4-2-6

-1

+4

-3-4-5 2 65

Empieza en 0. Muévete 4 unidades a la derechapara indicar +4. De allí, muévete 1 unidad a laizquierda para indicar −1.

Ejercicios

Suma. Usa fichas o una recta numérica si es necesario.

1. 3 + (-6) 2. -9 + 8 3. -4 + 7

4. 6 + (-6) 5. -8 + (-2) 6. 2 + (-5)

7. 6 + (-12) 8. -6 + (-5) 9. 4 + (-3)

10. -12 + 5 11. -4 + 10 12. -3 + (-5)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

11-2B


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Práctica de destrezasSuma enteros

Suma. Usa fichas o una recta numérica si es necesario.

1. 6 + (-8) 2. 9 + (-3)

3. -5 + (-4) 4. -13 + 7

5. -2 + 11 6. 10 + (-6)

7. 4 + (-4) 8. -7 + (-4)

9. -12 + 3 10. -5 + 14

11. -10 + (-2) 12. 6 + (-1)

13. -3 + 4 14. +4 + (+4)

15. -2 + (-1) 16. 6 + (-3)

17. 8 + 7 18. -5 + (-6)

19. -11 + 4 20. -6 + 13

21. -12 + 6 22. -7 + 12

23. 9 + (-9) 24. -5 + (-5)

25. 3 + (-11) 26. -14 + 9

27. 15 + (-7) 28. -15 + 15

29. ¿Cuál es la suma de seis positivo y cuatro negativo?

30. ¿Cuál es la suma de cinco negativo y cinco positivo?

31. Calcula el resultado cuando ocho negativo se le suma a 4 positivo.

32. Calcula la suma de 1 negativo y 7 positivo.

33. ÁLGEBRA Determina el valor de c + d si c = -4 y d = 6.

11-2B


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DReforzamientoResta enteros

Para restar un entero, suma su opuesto.

Calcula -4 - (-3).


- -

-

-

Coloca 4 fichas negativas enel tapete para indicar −4.Quita 3 fichas negativas paraindicar que restas −3.

Por tanto, -4 - (-3) = -1.

Método 2 Sumar el opuesto.

-4 - (-3) = -4 + 3 Para restar -3, suma 3.

= -1 Simplifica.

Calcula -3 - 1.


- +

--

-

Coloca 3 fichas negativas en el tapetepara indicar −3. Para restar −1, debesquitar 1 ficha positiva. Pero no hayfichas positivas en el tapete. Tienes quesumarle 1 par de ceros al tapete.Entonces puedes quitar un ficha positiva.

La resta de -3 y 1 es -4.

Por tanto, -3 -1 = -4.

Método 2 Sumar el opuesto.

-3 - 1 = -3 + (-1) Para restar 1, suma -1.

= -4 Simplifica.

Ejercicios

Resta. Usa fichas si es necesario.

1. +8 - 5 2. -4 - 2 3. 7 - (-5)

4. -3 - (-5) 5. 6 - (-10) 6. -8 - (-4)

7. -1 - 4 8. 2 - (-2) 9. -5 - (-1)

10. 7 - 2 11. -9 - (-9) 12. 6 - (-2)

13. -8 - (-14) 14. -2 - 9 15. 5 - 15

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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DPráctica de destrezasResta enteros

Resta. Usa fichas si es necesario.

1. 9 - 4 2. 10 - 7 3. +8 - 5

4. +12 - 6 5. -3 - (-7) 6. 5 - (-9)

7. -8 - 7 8. 2 - 6 9. -16 - (-9)

10. 4 - (-15) 11. -18 - 5 12. -6 - 6

13. 7 - 4 14. -4 - (-2) 15. -8 - 10

16. 9 - (-7) 17. 3 - 12 18. -3 - (-10)

19. -13 - 7 20. -5 - (-2) 21. 6 - 6

22. 3 - 5 23. -8 - 6 24. -2 - (-2)

25. 7 - (-4) 26. -16 - (-8) 27. 12 - (-12)

28. -3 - 10 29. -1 - (-4) 30. 9 - (-6)

31. ÁLGEBRA Calcula el valor de a - b si a = 5 y b = 8.

32. ÁLGEBRA Calcula el valor de c - d si c = -7 y d = -2.

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ReforzamientoMultiplica enteros

Multiplica.

-2 × (-1)

-2 × (-1) = -2 Los enteros tienen signos diferentes. El producto es negativo.

-4 × 3

-4 × 3 = -12 Los enteros tienen signos diferentes. El producto es negativo.

-3 × 5

-3 × 5 = 15 Los enteros tienen el mismo signo. El producto es positivo.

-2 × (-4)

-2 × (-4) = 8 Los enteros tienen el mismo signo. El producto es positivo.

Ejercicios

Multiplica.

1. 3 × (-3) 2. -5 × (-2) 3. -8 × (-1)

4. -2 × 8 5. 4 × (-3) 6. -3 × (-2)

7. 5 × (-4) 8. -10 × (-4) 9. -3 × 6

10. -3 × (-10) 11. 6 × (-4) 12. -7 × (-7)

• El producto de dos enteros con signos diferentes es negativo.

• El producto de dos enteros con el mismo signo es positivo.

Ejemplos

B

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Práctica de destrezasMultiplica enteros

Multiplica.

1. 6 × (-4) 2. -8 × 7 3. -2 × (-9)

4. 5 × (-5) 5. -5(-3) 6. -4(8)

7. 9(-2) 8. -5(-6) 9. 3 × (-10)

10. -4(2) 11. -4 × (-4) 12. -9(6)

13. 7(-3) 14. -2(-8) 15. -5(-10)

16. 2(-1) 17. -3 × 6 18. 4(-5)

19. -7 × 7 20. -2(-7) 21. -6 (-1)

22. 4(-3) 23. -6(-5) 24. -9 × 10

25. -3(-8) 26. 7(-5) 27. -2(2)

28. 8(-8)(-2) 29. -9(1)(3) 30. -7 × (-4) × (-2)

31. -7(6)(-1) 32. -5 × 12 × (-10) 33. -4(-8)(16)

B

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ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Trabaja al revés

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es trabajar al revés. A veces puedes usar datos del problema para trabajar al revés y así hallar lo que buscas, o la respuesta al problema.

Puedes usar la estrategia de trabaja al revés junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas





Ejemplo

Rubén fue al centro comercial. Primero gastó $14 en una gorra de béisbol nueva. Luego compró un refresco por $2.25 y jugó unos juegos por valor de $5 en la galería de juegos. Afuera de la galería, encontró otros $0.75 en el bolsillo. Por último, compró un juguete nuevo para su perrito, que le costó $6.50. Cuando llegó a su casa, le quedaban $3.50. ¿Cuánto dinero llevó Rubén al centro comercial?

Comprende Sabes que Rubén terminó con $3.50. Debes calcular cuánto tenía para empezar.

Planifica Empieza con el resultado final y trabaja al revés. Cuma cuando gastó dinero y resta cuando encontró dinero.

Resuelve Dinero que le quedó: $3.50 Suma el costo del juguete para el perrito: $3.50 + 6.50 = $10.00 Resta el dinero que encontró: $10.00 - $0.75 = $9.25 Suma el costo de los juegos: $9.25 + $5.00 = $14.25 Suma el costo del refresco: $14.25 + $2.25 = $16.50 Suma el costo de la gorra: $16.50 + $14.00 = $30.50 Rubén llevó $30.50 al centro comercial.

Verifica $30.50 - $14.00 - $2.25 - $5.00 + $0.75 - $6.50 = $3.50.

Ejercicio

EXCURSIONISMO Una excursionista bajó 550 pies desde el sitio donde había acampado para buscar agua. Luego subió 300 pies para tomar fotos de un lago y subió otros 950 pies para tomar fotos de una montaña. Bajó 225 pies y se detuvo a almorzar. Si el lugar donde almorzó estaba a una altura de 4,280 pies, ¿cuál era la altura del lugar donde acampó?

C

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C

Resuelve. Usa la estrategia de trabaja al revés.

1. CLIMA Entre el mediodía y las 3 p.m., la temperatura bajó 9°F. Subió4°F entre las 3 p.m. y las 5 p.m. y luego bajó 15°F entre las 5 p.m. y la medianoche. Si la temperatura era -2°F a la medianoche, ¿cuál era la temperatura al mediodía?

2. TEORÍA DE NÚMEROS Un número se divide entre 4. Luego se le suma 9 al cociente y esa suma se multiplica por 5. Luego de restarle 30 a este producto, el resultado es 70. ¿Cuál es el número?

3. DINERO Después de recibir su cheque de pago, Dottie le dio $15 a su hermano y compró una sudadera por $18. Puso la mitad del dinero restante en su cuenta de ahorros. Si le quedan $46, ¿cuál fue la cantidad de su cheque de pago?

4. PARADEROS DE AUTOBUSES En la segunda parada, 2 personas se bajaron de un autobús y 6 personas se subieron. En la tercera parada se bajaron 4 personas y se subieron 11. En la cuarta parada, se bajaron 13 personas y se subió 1 persona. ¿Cuántas personas se subieron al autobús en la primera parada si ahora hay 16 personas en el autobús?

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Trabaja al revés

11-3


P rinter P DF


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l, a

divi

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of T

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McG

raw

-Hil

l C

ompa

nie

s, I

nc.


ReforzamientoDivide enteros

Usa fichas para calcular -6 ÷ 2.

---

---

Hay 2 grupos de3 fichas negativascada uno.

Por tanto, -6 ÷ 2 = -3.

Divide 10 ÷ (-5).

Como -5 × (-2) = 10, se desprende que 10 ÷ (-5) = -2.

Divide -12 ÷ (-3).

Como -3 × 4 = -12, se desprende que -12 ÷ (-3) = 4.

Ejercicios

Divide.

1. 4 ÷ (-2) 2. -9 ÷ (-3) 3. -8 ÷ 2

4. -21 ÷ 7 5. 30 ÷ (-5) 6. -24 ÷ 4

7. -36 ÷ 6 8. -45 ÷ (-5) 9. -81 ÷ 9

10. -3 ÷ (-3) 11. 70 ÷ (-7) 12. -64 ÷ (-8)

13. ÁLGEBRA Calcula el valor de a ÷ b si a = -18 y b = 6.

14. ALGEBRA ¿Para qué valor de p es verdadero el enunciado p ÷ 5 = -7?

• El cociente de dos enteros con signos diferentes es negativo.

• El cociente de dos enteros con el mismo signo es positivo.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

11-3E


P rinter P DF


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lencoe/M

cGraw

-Hill, a division

of Th

e McG

raw-H

ill Com

panies, In

c.


Práctica de destrezasDivide enteros

E

Divide.

1. -4 ÷ 2 2. 6 ÷ (-2) 3. -8 ÷ (-2)

4. 3 ÷ (-3) 5. 9 ÷ (+3) 6. -10 ÷ 5

7. 56 ÷ (-7) 8. -45 ÷ 9 9. -12 ÷ (-6)

10. 15 ÷ (-3) 11. -24 ÷ 6 12. -18 ÷ (-3)

13. 48 ÷ (-8) 14. -40 ÷ 8 15. -20 ÷ (-5)

16. 36 ÷ (-9) 17. -42 ÷ 7 18. -54 ÷ (-6)

19. 20 ÷ (-10) 20. -12 ÷ 4 21. -35 ÷ (-5)

22. -27 ÷ 9 23. 10 ÷ (-2) 24. -32 ÷ (-8)

25. -68 ÷ 4 26. 30 ÷ (-3) 27. -36 ÷ (-4)

28. -16 ÷ (-8) 29. 49 ÷ (-7) 30. -18 ÷ 2

31. ÁLGEBRA Calcula el valor de a ÷ b si a = -18 y b = 6.

32. ÁLGEBRA Calcula el valor de m ÷ n si m = -24 y n = -4.

33. ÁLGEBRA ¿Para qué valor de b es verdadero el enunciado b ÷ 4 = -9?

34. ÁLGEBRA Calcula el valor de x ÷ y si x = -50 y y = 10.

11-3


P rinter P DF


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l, a

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s, I

nc.


ReforzamientoDecimales terminales y periódicos


Método 1 Usar lápiz y papel Método 2 Usar una calculadora

0.444... 4 ÷ 9 0.444444444 9 � �� 4.000 3 6 40 Observa que el

36 residuo nunca 40 será cero.

36 4Puedes usar la notación con barras 0.

− 4 para indicar que el 4 se

repite infinitamente. Así, 4 − 9 = 0.

− 4 .

Ejercicios

Escribe cada fracción como decimal. Usa notación con barras si el decimal es un decimal periódico.

1. 8 − 9 2. - 2 −

5 3. 7 −

11

4. 7 − 8 5. - 5 −

11 6. 47 −

99

7. - 1 − 2 8. 2 −

3 9. - 5 −

12

Los números racionales son números que se pueden escribir como fracciones. Un decimal terminal tiene fin. Un decimal periódico tiene dígitos que se repiten en grupos de uno o más. Para escribir una fracción como decimal, divide el numerador entre el denominador.

B

Ejemplo

12-1


P rinter P DF


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-Hill, a division

of Th

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raw-H

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panies, In

c.


Práctica de destrezasDecimales terminales y periódicos

Escribe cada decimal que se repite usando notación con barras.

1. 0.733333... 2. 0.424242... 3. 0.12121212...

Escribe cada decimal periódico como decimal usando notación con barras.

4. 3 − 5 5. 19 −

20 6. 4 −

5

7. 23 − 50

8. - 1 − 8 9. - 9 −

25

10. 17 − 30

11. 3 − 11

12. - 4 − 15

13. 7 − 32

14. 9 − 22

15. - 7 − 8

16. 15 − 32

17. - 2 − 21

18. 5 − 7

19. BALSA Kylie navegó en balsa 5 − 8 de milla por el río hasta que encontró

un lugar donde podía atracar. Escribe esta distancia como decimal.

B

12-1


P rinter P DF


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l, a

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nc.


Reemplaza el en -2.2 1.4 con <, > o = para hacer un enunciado verdadero.

Grafica los decimales en una recta numérica. 0.4 0.8 1.2 1.60-2.4 -2 -1.6-1.2-0.8-0.4

Como -2.2 está a la izquierda de 1.4, entonces -2.2 < 1.4.

Reemplaza el en - 4 − 5 - 2 −

3 con <, > o = para hacer un

enunciado verdadero.

Convierte las fracciones usando el mínimo común denominador.

- 4 − 5 = -

4 × 3 − 5 × 3

= - 12 − 15

- 2 − 3 = -

2 × 5 − 3 × 5

= - 10 − 15

Como -12 es menos que -10, entonces - 12 − 15

< - 10 − 15

, y - 4 − 5 < - 2 −

3 .

Al comparar fracciones y decimales, puedes escribir la fracción como un decimal y luego comparar.

Reemplaza el en -0.91 - 7 − 8 con <, > o = para hacer un

enunciado verdadero.

Convierte - 7 − 8 a decimal.

-1 -0.95 -0.90 -0.85 -0.80 -0.75 -0.70- 7 −

8 = -0.875

-0.91 < -0.875 porque -0.91 está a la izquierda de -0.875 en una recta numérica.

Por tanto, -0.91 < - 7 − 8 .

Ejercicios

Reemplaza el con <, > o = para hacer cada enunciado verdadero.

1. -8.6 -8.64 2. -7.3 6.9 3. 3 − 7 - 2 −

7

4. - 3 − 11

- 8 − 11

5. -5.95 -5 92 − 100

6. -12.32 -12 8 − 25

7. - 3 − 4 - 1 −

2 8. - 4 −

9 - 5 −

6 9. -1.5 - 5 −

2

Puedes usar una recta numérica para comparar y ordenar números racionales. Un número es mayor que otro número está a la derecha de ese número.

ReforzamientoCompara y ordena números racionales

C

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

12-1


P rinter P DF


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lencoe/M

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-Hill, a division

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ill Com

panies, In

c.


Reemplaza el con <, > o = para hacer cada enunciado verdadero.

1. -3.71 -3.7 2. 4.8 -2.5 3. 3 − 5 - 1 −

5

4. - 2 − 9 - 5 −

9 5. -8.11 -8 9 −

100 6. -15.26 -15 13 −

50

7. 9.79 -9.8 8. - 5 − 8 - 5 −

16 9. - 2 −

3 - 1 −

8

10. -6 3 − 7 -6.2 11. - 9 −

10 -1 1 −

10 12. -4 39 −

50 -4.78

Ordena los números siguientes de menor a mayor.

13. 4.2, -4 1 − 9 , -4.6, 4 3 −

8 14. -7.

− 3 , 7 3 −

4 , 7.23, -7 2 −

3

15. 9 7 − 8 , -9.7, 9.87, -9 8 −

9 16. -5.42, 5 5 −

6 , 5.34, -5 4 −

5

17. COMPETENCIA DE CAMIONES Los puntajes en una competencia de camiones se basan en la distancia desde la meta hasta donde llega el camión.

Ordena estos puntajes de menor a mayor. -5 3 − 4 , -7.2, 9, y 3 1 −

8 .

Práctica de destrezasCompara y ordena números racionales

C

12-1


P rinter P DF


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l, a

divi

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s, I

nc.


ReforzamientoSuma y resta fracciones semejantes positivas y negativas

B

Calcula 1 − 5 + (-

4 − 5 ) . Escribe en forma simplificada.

1 − 5 + (- 4 −

5 ) = 1 + (-4)

− 5 Suma los numeradores. Conserva el mismo denominador.

= -3 − 5 ó - 3 −

5 Simplifica.

Calcula - 4 − 9 - 7 −


- 4 − 9 - 7 −

9 = - 4 −

9 + (- 7 −

9 ) Suma el opuesto de 7 −

9 .

= -4 + (-7)

− 9 Suma los numeradores. Conserva el mismo denominador.

= -11 − 9 ó -1 2 −

9 Simplifica.

Calcula -34.5 - (-5.5).

-34.5 - (-5.5) = -34.5 + 5.5 Suma el opuesto de -5.5.

= -29 Resta. Conserva el signo del numerador con el valor absoluto mayor.

Ejercicios

Suma o resta. Escribe en forma simplificada.

1. - 4 − 7 + 2 −

7 2. 1 −

10 + (- 5 −

10 ) 3. 5 −

9 + - 1 −

9

4. - 4 − 5 - 3 −

5 5. - 9 −

13 + (- 6 −

13 ) 6. 1 −

4 - 1 −

4

7. - 5 − 7 - 3 −

7 8. 5 −

8 - (- 3 −

8 ) 9. 3 −

5 - 4 −

5

10. Calcula 81.08 - 312.6.

Las fracciones que tienen el mismo denominador se llaman fracciones semejantes. Para sumar fracciones semejantes, suma los numeradores de las fracciones y escribe el resultado sobre el denominador.

Para restar fracciones semejantes, resta los numeradores de las fracciones y escribe el resultado sobre el denominador.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Al sumar o restar decimales positivos o negativos, sigue las mismas reglas para enteros.

Ejemplo 3

12-2


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panies, In

c.


BPráctica de destrezasSuma y resta fracciones semejantes positivas y negativas


1. - 1 − 5 + 3 −

5 2. 2 −

9 - 5 −

9 3. - 7 −

11 + 3 −

11

4. - 1 − 4 + 3 −

4 5. - 4 −

9 + 8 −

9 6. - 5 −

7 + 2 −

7

7. - 7 − 12

+ 5 − 12

8. 1 − 9 + (- 4 −

9 ) 9. - 5 −

7 + (- 3 −

7 )

10. - 9 − 16

+ (- 3 − 16

) 11. 5 − 8 - 3 −

8 12. 13 −

19 - 6 −

19

13. 3 − 13

- (- 11 − 13

) 14. 3 − 7 + (- 2 −

7 ) 15. - 4 −

15 + 8 −

15

16. - 6 − 7 - (- 2 −

7 ) 17. - 7 −

12 - 1 −

12 18. - 5 −

11 + (- 7 −

11 )

Suma o resta.

19. $3.65 - $8.10 20. -4.03 - (-2.1) 21. 16.5 - 37

22. -12.2 + 3.9 23. -$15.50 - $4.75 24. 38.16 - (-24.7)

12-2


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nc.


CReforzamientoSuma y resta fracciones no semejantes positivas y negativas

Calcula - 2 − 3 + (-


- 2 − 3 + (- 3 −

5 ) = - 2 × 5 −

3 × 5 + (- 3 × 3 −

5 × 3 ) Convierte usando el mcd, 15.

= - 10 − 15

+ (- 9 − 15

) Suma.

= - 19 − 15

ó -1 4 − 15

Simplifica.

Calcula - 1 − 4 - (- 2 −

9 ) . Escribe en forma simplificada.

- 1 − 4 - (- 2 −

9 ) = - 1 × 9 −

4 × 9 - (- 2 × 4 −

9 × 4 ) Convierte usando el mcd, 36.

= - 9 − 36

- (- 8 − 36

)

= - 9 − 36

+ 8 − 36

Resta.

= - 1 − 36

Simplifica.

Ejercicios


1. 5 − 9 + (- 1 −

6 ) 2. - 3 −

4 - 5 −

6 3. 4 −

5 - (- 1 −

3 )

4. 2 − 3 - (- 4 −

9 ) 5. - 7 −

10 - (- 1 −

2 ) 6. - 2 −

3 + 3 −

4

7. - 1 − 5 + 1 −

4 8. 4 −

7 - (- 1 −

5 ) 9. 3 −

8 + (- 5 −

12 )

Para sumar o restar fracciones no semejantes positivas y negativas:

• Convierte las fracciones usando factores primos para hallar el mínimo común denominador.

• Suma o resta como haces con las fracciones.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

12-2


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panies, In

c.


Práctica de destrezasSumar y restar fracciones no semejantes positivas y negativas


1. 4 − 5 - 1 −

3 2. 1 −

4 − 5 −

6

3. - 3 − 5 - 4 −

9 4. 1 −

10 + (– 1 −

8 )

5. 2 − 7 - (- 2 −

3 ) 6. – 3 −

7 – 2 −

3

7. - 1 − 12

- 2 − 3 8. 2 −

9 − (– 1 −

4 )

9. – 1 − 3 + 2 −

5 10. 7 −

9 − 1 −

3

11. – 3 − 5 − 9 −

10 12. 4 −

7 − (– 1 −

2 )

13. – 3 − 16

+ 5 − 8 14. 7 −

18 − (– 2 −

9 )

15. 3 − 10

− 5 − 6 16. – 8 −

9 − 2 −

3

C

12-2


P rinter P DF


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ReforzamientoMultiplica fracciones positivas y negativas

Calcula - 2 − 3 × 3 −


- 2 − 3 × 3 −

8 = -2 × 3 −

3 × 8 Multiplica los numeradores.

Multiplica los denominadores.

= - 6 − 24

= - 1 − 4 Simplifica.

Una potencia se compone de una base y un exponente. El exponente indica cuántas veces se usa la base como un factor.

Calcula (- 3 − 5 )


- 3 − 5 × (- 3 −

5 ) = -3 × -3 −

5 × 5 Multiplica los numeradores.

Multiplica los denominadores.

= 9 − 25

Simplifica.

Ejercicios

Multiplica. Escribe en forma simplificada.

1. 5 − 8 × (- 4 −

9 ) 2. (- 7 −

8 )

2 3. - 4 −

7 × (- 2 −

3 )

4. (- 5 − 9 )

2 5. - 1 −

2 × 7 −

9 6. (- 6 −

7 )

2

7. - 8 − 9 × 3 −

8 8. (- 3 −

5 )

2 9. - 4 −

5 × (- 1 −

6 )

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. Si los signos son iguales, el producto es positivo. Si los signos son diferentes, el producto es negativo.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

12-3A


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ill Com

panies, In

c.


Práctica de destrezasMultiplica fracciones positivas y negativas

Multiplica. Escribe en forma simplificada.

1. 3 − 4

× (- 1 − 6 ) 2. (- 2 −

7 )

2

3. - 11 − 12

× (- 1 − 4 ) 4. (- 2 −

9 )

2

5. - 7 − 10

× (- 5 − 6 ) 6. (- 1 −

12 )

2

7. - 1 − 4 × (- 4 −

7 ) 8. (- 3 −

10 )

2

9. (- 8 − 15

) 2 10. (- 5 −

14 )

2

11. - 11 − 12

× 1 − 3 12. - 1 −

6 × (- 3 −

4 )

13. 1 − 8 × (- 2 −

3 ) 14. - 4 −

7 × (- 7 −

30 )

15. - 5 − 9 × 3 −

20 16. - 1 −

2 × (- 3 −

4 ) × 3 −

5

12-3A


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-Hil

l, a

divi

sion

of T

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McG

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-Hil

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s, I

nc.


BReforzamientoDivide fracciones positivas y negativas

Calcula el recíproco de - 5 − 6 .

Como - 5 − 6 × (- 6 −

5 ) = 1, el recíproco de - 5 −

6 es - 6 −

5 .

Para dividir fracciones, multiplica el dividendo entre el recíproco del divisor. Si los signos de las dos fracciones son iguales, el cociente es positivo. Si los signos son diferentes, el cociente es negativo.

Calcula - 4 − 5 ÷ (-


- 4 − 5 ÷ (- 6 −

7 ) = - 4 −

5 × (- 7 −

6 ) Multiplica por el recíproco de - 6 −

7 , que es - 7 −

6 .

= - 4 × - 7 − 5 × 6

Multiplica los numeradores.Multiplica los denominadores.

= 28 − 30

ó 14 − 15

Las fracciones tienen el mismo signo, de modo que el cociente es positivo.

Ejercicios

Calcula el recíproco de cada número.

1. - 3 − 8 2. - 9 3. - 9 −

10

Divide. Escribe en forma simplificada.

4. - 3 − 4 ÷ (- 5 −

6 ) 5. - 7 −

12 ÷ ( 4 −

7 ) 6. - 8 −

9 ÷ ( 1 −

3 )

7. 4 − 11

÷ (- 1 − 2 ) 8. - 2 −

3 ÷ (- 3 −

8 ) 9. - 10 −

21 ÷ 5 −

9

10. LLANTAS En una noche de invierno, la llanta de un carro perdió 1 − 2 libra

de presión de aire cada 2 horas. ¿Cuántas horas tardaría en perder 4 libras de presión?

11. MONEDAS Alguien encontró una moneda a 8 pulgadas bajo tierra.

Esto es 1 − 4 de la profundidad de un cable subterráneo. ¿Cuál es la

profundidad del cable?

Los recíprocos tienen un producto de 1. Las fracciones tanto positivas como negativas tienen recíprocos.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

12-3


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Práctica de destrezasDivide fracciones positivas y negativas

B

Calcula el recíproco de cada número.

1. - 4 − 7 2. -22 3. - 1 −

12

4. - 9 − 35

5. - 14 − 17

6. - 6 − 11

Divide. Escribe en forma simplificada.

7. - 2 − 7 ÷ (- 6 −

7 ) 8. 7 −

9 ÷ (- 14 −

15 ) 9. - 2 −

11 ÷ (- 4 −

9 )

10. - 10 − 11

÷ (-5) 11. - 4 ÷ 3 − 5 12. - 4 −

15 ÷ (- 2 −

3 )

13. - 4 − 5 ÷ (- 8 −

9 ) 14. - 3 −

4 ÷ 1 −

2 15. 3 −

7 ÷ (- 3 −

5 )

16. - 7 − 12

÷ (- 1 − 6 ) 17. 5 −

9 ÷ (- 2 −

3 ) 18. - 14 −

15 ÷ 1 −

3

19. LAZOS Se necesita 1 − 4 yarda de cinta de satín para hacer un lazo para

un vestido. Si una costurera tiene 19 − 20 yarda de cinta, ¿cuántos lazos puede hacer?

20. TUBERÍA Una tubería nueva se isntala 6 pies bajo tierra. Esto es 1 − 3 de la

profundidad de la tubería vieja. ¿Cuál es la profundidad de la tubería vieja?

21. TANQUE La válvula en un tanque de agua lleno se abre durante

20 minutos. Durante este tiempo se salen 3 − 4 del agua del tanque.

¿Qué fracción de la cantidad original de agua en el tanque se

sale cada minuto?

12-3


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nc.


ReforzamientoResuelve ecuaciones con coeficientes racionales

C

Resuelve 5 − 7 x = 15.

5 − 7 x = 15 Escribe la ecuación.

( 7 − 5 ) · 5 −

7 x = 15 · ( 7 −

5 ) Multiplica cada lado por el recíproco de 5 −

7 , 7 −

5 .

7 − 5 · 5 −

7 x = 15 · 7 −

5 Divide entre los factores comunes.

x = 21 Simplifica.

Usa la propiedad de división de la igualdad cuando el coeficiente es un decimal.

Resuelve -3.5n = 17.5.

-3.5n = 17.5 Escribe la ecuación.

-3.5n 17.5 Divide cada lado entre -3.5. -3.5 -3.5

n = -5 Simplilfica.

Ejercicios

Resuelve cada ecuación.

1. -6.4x = 38.4 2. 7 − 8 x = 14

3. 1 − 3 x = -12 4. 4.5x = 18

5. -9 = - 9 − 10

x 6. 2 − 3 x = -8

La propiedad multiplicativa de la igualdad dice que si los dos lados de una ecuación se multiplican por el mismo número distinto de cero, entonces los dos lados siguen siendo iguales. Por tanto, se pueden multiplicar los dos lados de una ecuación por el recíproco del coeficiente del término variable.

Ejemplo 1

1

1 1

1

1

3

Ejemplo 2

=

12-3


P rinter P DF


Copyrigh

t © G

lencoe/M

cGraw

-Hill, a division

of Th

e McG

raw-H

ill Com

panies, In

c.


Resuelve cada ecuación.

1. -5.1x = -35.7 2. 1 − 4 x = -12

3. - 2 − 7 x = -6 4. 9.5x = -95

5. -1.6x = -4.8 6. 14 = - 2 − 3 x

7. 2 − 5 x = -6 8. -7.7x = -84.7

9. -93.6 = -31.2x 10. -24 = - 2 − 3 x

11. 11 − 12

x = -33 12. -42.4x = -84.8

13. -10.2x = -71.4 14. 44 = - 22 − 25

x

15. -6 = - 3 − 5 x 16. - 8 −

9 x = 640

17. CARRERAS Layton da una vuelta completa a la pista de la escuela en 4.3 minutos. Determina el número de vueltas que puede dar en 21.5 minutos.

Práctica de destrezasResuelve ecuaciones con coeficientes racionales

C

12-3


P rinter P DF


Cop

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McG

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-Hil

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nc.


ReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Escribe una ecuación

D

Mira compró una caja grande de lápices en la tienda. Regaló 1 −

3 de los lápices. Si Mira regaló 42 lápices,

¿cuántos lápices compró?

Comprende Sabes que Mira regaló 1 − 3 de la cantidad total.

Esto eran 42 lápices.

Planifica Escribe una ecuación para resolver el problema.

Resuelve Sea l = el número de lápices que compró Mira.

fracción de lápices regalados

número de lápices comprados

número de lápices regalados

⎧ � � ⎨ � � ⎩ ⎧ � � ⎨ � � ⎩

1 − 3 × l = 42

1 − 3 l = 42 Escribe la ecuación.

( 3 − 1 ) 1 −

3 l = 42 ( 3 −

1 ) Multiplica cada lado por 3 −

1 .

l = 126 Simplifica.

Mira compró 126 lápices.

Verifica Reemplaza l con 126 en la ecuación original. 1 − 3 × 126 = 42.

Ejercicios

1. BRILLO Marla usó 8 onzas de polvo brillante en su proyecto de arte

para la escuela. Esto es 4 − 5 de la cantidad de polvo brillante en el

frasco que compró. ¿Cuánto polvo brillante había en el frasco?

2. PLATOS Una máquina de lavar platos se usó para lavar 2 − 3 de los platos

de la casa. Si se lavaron 16 platos, ¿cuántos platos hay en la casa?

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es escribe una ecuación. Puedes usar una variable para representar una cantidad que no conoces y luego puedes escribir y resolver una ecuación.

Puedes escribir una ecuación, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas.





Ejemplo

⎧ � � ⎨ � � ⎩

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t © G

lencoe/M

cGraw

-Hill, a division

of Th

e McG

raw-H

ill Com

panies, In

c.


Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Escribe una ecuación

D

Resuelve usando la estrategia de escribe una ecuación.

1. TENIS Siete miembros del equipo de tenis de la escuela compitieron

en el campeonato del estado. Esto fue 1 − 3 del equipo. ¿Cuántos

estudiantes hay en el equipo de tenis?

2. ANUARIO El anuario de la escuela tiene 87 páginas de fotos individuales

de los estudiantes. Si 3 − 5 de las páginas del anuario son para fotos

individuales, ¿cuántas páginas en total tiene el anuario?

3. FLORES La floristería local vendió 224 rosas rojas el Día de los Novios.

Esto eran 7 − 8 de las flores vendidas. ¿Cuántas flores vendió la floristería

en todo el día?

4. PAPEL Una maestra usa 7 − 10

de una pila de papeles, o 350 hojas para

imprimir volantes de la campaña escolar para recaudar fondos. ¿Cuántas hojas de papel había en la pila originalmente?

5. NUECES Ronald compró una bolsa de nueces. Después de comerse algunas,

le quedaron 2 − 3 del número original de nueces. ¿Cuántas nueces había en

la bolsa si se comió 15 nueces? (Pista: Primero calcula la fracción de nueces que se comió.)

6. VENADOS Los administradores del un parque estiman que aproximadamente 60% de los venados parque están marcados con una etiqueta. Esto es aproximadamente 90 venados. ¿Aproximadamente cuántos venados hay en el parque? (Pista: Escribe el porcentaje como decimal.)

12-3


P rinter P DF


P rinter P DF

Reforzamiento y practica de destrezas 1

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