Derivadas Sucesiva-jesus Cabanilla
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8/17/2019 Derivadas Sucesiva-jesus Cabanilla
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DERIVADAS SUCESIVAS
Las derivadas sucesivas o de orden superior las podemos definir de la
siguiente manera:
Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos unanueva función que se llama derivada segunda, f ' ' (x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f ' ' ' (x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f ' v y as sucesivamente!
Ejemplo:
"alcula las derivadas #$, %$, &$ y $ de:
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
s posible derivar una función dada implcitamente sin necesidad de expresarlo
explcitamente! l mtodo consiste en derivar los dos miembros de la relación!
l procedimiento se conoce como derivación implcita!
*efinición: se denomina función implcita cuando se da una relación
entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama
función implcita de x!
Por ejemplo:
*efine a y como una función implcita de x! s claro que por medio de esta
ecuación x se define igualmente como función implcita de y!
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+no de los procedimientos para calcular la derivada implcita es derivar la
ecuación trmino a trmino, considerando y como función de x, y de la
ecuación resultante despear, o lo que es lo mismo despear y'!
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MÁXIMO SEGUNDOCRITERIO
-dem.s de
proporcionar
información sobre la
concavidad de la
gr.fica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto
crtico es un valor m.ximo o un valor mnimo!
l siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto!
/eorema!
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Sea f una función con dominio *!
Si est. definida para donde y si con
entonces:
a!
es un valor m.ximo relativo de f si se cumple que
b! es un valor mnimo relativo de f si se cumple que
+tilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores m.ximos y los
valores mnimos de las funciones cuyas ecuaciones son:
emplo:
,
0ote que la función f no est. definida en
La derivada de f est. dada por ,
Los valores crticos de f se obtienen cuando ! n este caso, si y
solo si , ó !
-1ora, la segunda derivada de f es
2amos a evaluar en y en
a!3 "omo entonces es un valor mnimo relativo de f.
b!
3 como entonces es un valor m.ximo relativo de f !
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4r.ficamente se tiene en el intervalo
SENTIDO DE CONCAVIDAD DE UNA CURVA
*efinición: Sea y 5 f (x) una curva plana, representada por la función f(x),derivable!
6 Se dice que f es "óncava 1acia arriba en el intervalo 7a, b8, si todos los puntos
de la gr.fica quedan por encima de la tangente a la curva en un punto
cualquiera en ese intervalo!
6 Se dice que f es "óncava 1acia abao en el intervalo 7a, b8, si todos los puntos
de la gr.fica quedan por debao de la tangente a la curva en un punto
cualquiera de ese intervalo!
9ara 1allarlos intervalos abiertos en los que la gr.fica de una función f es
cóncava 1acia arriba o cóncava 1acia abao, es necesario conocer los
intervalos donde f es creciente o decreciente!
Ejemplo:
0ote que es la función derivada f la que debe ser creciente o decreciente en
el intervalo -!
n la siguiente representación gr.fica, una función f es cóncava 1acia arriba en
el intervalo 7a, b8 y cóncava 1acia abao en el intervalo 7b, c8!
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PUNTOS DE INFLEXIÓN.
l punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava,
se llama punto de inflexión de la función! n ellos la función no es cóncava ni
convexa sino que 1ay cambio de concavidad a convexidad o al revs!
Teorem
Sea la ecuación de una función!
Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar
por el valor de x5a, entonces, el punto de la función de abscisa x5a es un punto
de inflexión!
Cl!"#"$$"%& 'e lo! p(&)o! 'e "le*"%&
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Ejemplo:
l punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación ,
pues es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava
1acia arriba para , y cóncava 1acia abao para !
4r.ficamente se tiene:
*eterminemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que por lo que
;esolvamos las desigualdades
"omo si entonces la gr.fica de f es cóncava 1acia
arriba en esos intervalos!
La gr.fica de f es cóncava 1acia abao en el intervalo pues en l
!
Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad
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y por tanto son puntos de inflexión!
La gr.fica de la función f es la siguiente:
9uede decirse que un punto de inflexión
separa una parte de la curva que es cóncava 1acia arriba de otra sección de la
misma que es cóncava 1acia abao!
n un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente
de inflexión! 4r.ficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente
de infexión, y otra parte bajo ella.ECUACIONES DIFERENCIALES
+na ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de
una variable, como en la ecuación!
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/de.html#dehhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/de.html#dehhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/de.html#deh
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EJEMPLOTEOREMA
-qu x es la variable y las derivadas son con
respecto a una segunda variable t! Las letras
a, b, c y d se toman aqu como constantes!
sta ecuación podra describirse como una
ecuación diferencial lineal, de segundo orden,
con coeficientes constantes! s de segundo
orden debido al orden m.s alto de derivadas
presentes, lineal porque ninguna de lasderivadas est.n elevadas a ninguna potencia
y los factores multiplicando las derivadas son
constantes! Si fuera x la posición de un obeto
y t el tiempo, entonces la primera derivada es
la velocidad, la segunda la aceleración, y esta
podra ser una ecuación describiendo el
movimiento de un obeto! "omo se muestra,
tambin se dice que esta es una ecuación no
1omognea, y al resolver problemas fsicos,
uno debe considerar tambin la ecuación1omognea!
DIFERENCIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES
TEOREMA GRAFICA
*ado un vector r del espacio tridimensional y tres
planos que se cortan en el punto origen de r, se
definen las coordenadas cartesianas como las tres
proyecciones ortogonales del vector sobre las tres
aristas de intersección de los planos perpendiculares!
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6
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Llamaremos a las tres proyecciones x#, x%, x&, y losplanos correspondientes los identificaremos por yz, zx,
xy!
s inmediato que si se mantiene fia una de las tres
coordenadas cartesianas, las otras dos definen un
plano, que ser. paralelo a uno de los planos de
referencia del triedro sobre el cual se proyecta el vector!
l valor de la coordenada que se fia es la distancia
entre ambos planos!
< 2ectores unitarios o versores:
9uesto que las proyecciones son perpendiculares, cada
uno de los tres vectores unitarios se puede definir a lo
largo del ee de variación de cada una de las
coordenadas con dos de las componentes nulas:
vector a lo largo del ee de variación de la
coordenada x!
vector a lo largo del ee de variación de lacoordenada y!
vector a lo largo del ee de variación de la
coordenada z!
DIFERENCIAL EN COORDENADAS POLARES
TEOREMA GRAFICA
Las coordenadas polares o sistemas polares son
un sistema de coordenadas bidimensional en el cual
cada punto del plano se determina por una distancia y
un .ngulo, ampliamente utilizados
en fsica y trigonometra!
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
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*e manera m.s precisa, se toman: un punto = del
plano, al que se le llama origen o polo, y una recta
dirigida (o rayo, o segmento =L) que pasa por =,
llamada ee polar (equivalente al ee x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia! "on este
sistema de referencia y una unidad de medida mtrica
(para poder asignar distancias entre cada par de puntos
del plano), todo punto 9 del plano corresponde a un par
ordenado (r, >) donde r es la distancia de 9 al origen y >
es el .ngulo formado entre el ee polar y la recta dirigida
=9 que va de = a 9! l valor > crece en sentido anti
1orario y decrece en sentido 1orario! La
distancia r (r ? @) se conoce como la AcoordenadaradialB o Aradio vectorB, mientras que el .ngulo es la
Acoordenada angularB o A.ngulo polarB!
n el caso del origen, =, el valor de r es cero, pero el
valor de > es indefinido! n ocasiones se adopta la
convención de representar el origen por (@,@C)!
LA VELOCIDAD COMO RAPIDE+ DE VARIACIÓN DE LA LONGITUD DE UN ARCOCON RESPECTO AL TIEMPO
GRAFICA
n cinem.tica, el movimiento circular (tambin llamado movimiento circunferencial) es
el que se basa en un ee de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es
una circunferencia! Si adem.s, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se
produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento
circular, con radio y centro fios y velocidad angular constante!
ARCO DESCRITO ODESPLA+AMIENTO
https://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniforme
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-rco angular o desplazamiento angular es el arco de
la circunferencia recorrido por la masa puntual en su
trayectoria circular, medido en radianes y representado
con la letras griegas (p1i) o (t1eta)! ste arco esel desplazamiento efectuado en el movimiento circular y
se obtiene mediante la posición angular ( ó ) en la
que se encuentra en un momento determinado el móvil
y al que se le asocia un .ngulo determinado en
radianes! -s el arco angular o desplazamiento
angular se determinar. por la variación de la posición
angular entre dos momentos final e inicial concretos
(dos posiciones distintas):
Siendo ó el arco angular o desplazamiento
angular dado en radianes!
Si se le llama al espacio recorrido a lo largo de la
trayectoria curvilnea de la circunferencia de radio
se tiene que es el producto del radio de la trayectoria
circular por la variación de la posición angular
(desplazamiento angular):
n ocasiones se denomina al espacio recorrido (del
ingls DspaceD)! 0ótese que al multiplicar el radio por
el .ngulo en radianes, al ser estos Eltimos
adimensionales (arco entre radio), el resultado es el
espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para
expresar el radio!
Velo$"'' &,(lr - elo$"''
2elocidad angular es la variación del arco
angular o posición angular respecto al tiempo! s
representada con la letra (omega minEscula) y
viene definida como:
Siendo la segunda ecuación la de la velocidad
angular instant.nea (derivada de la posición
angular con respecto del tiempo)!
https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
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TEOREMAEJEMPLO
Sea f una función con dominio *!
Si est. definida para
donde y si con
entonces:
a!
es un valor m.ximo relativo
de f si se cumple que
b
!
es un valor mnimo relativo
de f si se cumple que
,
0ote que la función f no est. definida en
La derivada de f est. dada por
,
Los valores crticos de f se obtienen cuando
! n este caso, si y solo si ,
ó !
-1ora, la segunda derivada
de f es
2amos a evaluar en y en
a!3 "omo entonces es un valor
mnimo relativo de f.
b!
3 como entonces esun valor m.ximo relativo de f !
4r.ficamente se tiene en el intervalo
-dem.s de proporcionar información sobre la
concavidad de la gr.fica de una función, la segunda
derivada permite establecer si un punto crtico es un
valor m.ximo o un valor mnimo!
GRAFIA
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DIFERENCIAL EN COORDENADAS POLARES
GRAFICA
0ote que es la función derivada f la
que debe ser creciente o decreciente
en el intervalo -!
n la siguiente representación gr.fica,
una función f es cóncava 1acia arriba
en el intervalo 7a, b8 y cóncava 1acia
abao en el intervalo 7b, c8!
6 Se dice que f es "óncava 1acia
arriba en el intervalo 7a, b8, si todos los
puntos de la gr.fica quedan por
encima de la tangente a la curva en
un punto cualquiera en ese intervalo!
6 Se dice que f es "óncava 1acia
abao en el intervalo 7a, b8, si todos los
puntos de la gr.fica quedan por
debao de la tangente a la curva en un
punto cualquiera de ese intervalo!
9ara 1allarlos intervalos abiertos en
los que la gr.fica de una función f es
cóncava 1acia arriba o cóncava 1acia
abao, es necesario conocer los
intervalos donde f es creciente o
decreciente!
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia un .n ulo am liamente utilizados en fsica tri onometra!
EJEMPLOPUNTO A
CONSIDERAR
PUNTOS DE INFLEXIÓN
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
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GRAFICACLASIFICACION
TEOREMA EJEMPLO
l punto que, en una función continua, separa la parte
convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la
función! n ellos la función no es cóncava ni convexa sino que
1ay cambio de concavidad a convexidad o al revs!
l punto es un punto de inflexión de la
curva con ecuación ,
pues es positiva si , y negativa
si , de donde f es cóncava 1acia arriba
para , y cóncava 1acia abao para !
Sea la ecuación
de una función!
Si no
existe, y la derivada
cambia de signo al pasar
por el valor de x5a,
entonces, el punto de la
función de abscisa x5a es
un punto de inflexión!