PRESENTACIÓN

Este trabajo, se hace con el propósito de dar a conocer las

aplicaciones de las derivadas dobles.

TABLA DE CONTENIDO

Caratula 1

Presentación 2

Tabla de contenidos 3

Capítulo I: Aplicación de las derivadas dobles 5

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BIBLIOGRAFÍA 11

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INTRODUCCIÓN

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.El concepto de derivada segunda  de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda. Finalmente veremos la relación que tiene la derivada  con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o

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de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).

CAPÍTULO IAplicación de las segundas derivadas

La derivada de una función no deja de ser otra función, por lo tanto la derivada de la

derivada (que sería la derivada segunda de la función original) puedes interpretarla

geométricamente de la misma forma. 

De todas formas en matemáticas el estudio de la derivada nos dice cuando la función

original crece o decrece. El estudio de la derivada segunda, por lo tanto, nos diría

cuando la derivada crece o decrece. ¿Pero ese estudio de la derivada segunda nos da

información de la función original? Pues sí. El estudio de la derivada segunda nos

dice cuando la función original es cóncava y cuando es convexa.  ¿y qué pasa con la

derivada tercera? pues nos informa de cuando la derivada primera es cóncava o

convexa, pero yo al menos no se esa información como se traduce respecto de la

función original. 

Si la función representa magnitudes físicas la interpretación suele ser más intuitiva.

Por ejemplo la función posición de un móvil respecto del tiempo (y no me refiero a

uno de Vodafone precisamente). La función posición nos dice precisamente eso, la

posición de un móvil en cualquier instante de tiempo. ¿Qué nos dice la derivada?

Podemos pensar en pendientes y gaitas, pero sencillamente la derivada de la posición

respecto del tiempo nos da la idea de cuánto de rápido cambia la posición del móvil

respecto del tiempo. Eso tiene un nombre, velocidad. ¿Y la derivada segunda?

Podríamos pensar en información sobre la convexidad de la función posición etc.,

etc., pero es más sencillo, la derivada segunda de la posición es la derivada primera de

la velocidad. Por lo tanto la derivada segunda de la posición nos dice cuanto de rápido

varía la velocidad (derivada primera) del móvil. A eso se le llama aceleración. ¿Y la

derivada tercera? Nos diría cuanto de rápido cambia la aceleración con el tiempo, pero

eso normalmente no tiene aplicación práctica. 

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Cuando te pierdas en las matemáticas y te cueste imaginar funciones intenta darles un

sentido físico, por ejemplo que representen la trayectoria de un móvil con el tiempo, a

ver si la intuición nos ayuda con las demás derivadas.

I.A) En la física

La segunda derivada de la función posición de un móvil nos da la aceleración del mismo en función del tiempo.

Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado   t = t0:

En general,    s''(t) = v'(t)    es la aceleración para cualquier instante:

I.B) En las Matemáticas

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de la Concavidad y puntos de inflexión.

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Note que es la función derivada f' la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo ]a,b[ y cóncava hacia abajo en el intervalo ]b,c[

Según los siguientes teoremas:

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La representación gráfica de la función f' es la siguiente:

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Observe que f' es creciente en ]-∞,0[ y ]2,+ ∞[ y decreciente en ]0,2[.

Representación gráfica de la función f:

*Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos ]-∞,0[ , ]2,+∞[ y cóncava hacia abajo en el intervalo ]0,2[.

Definición de punto de inflexión:

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Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

CONCLUSIONEn conclusión podemos decir que las segundas derivadas nos sirven para la hora de graficar funciones: determinar la concavidad de la función en un intervalo cualquiera; además, la

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segunda derivada de la función posición de un móvil, te la aceleración del mismo en función del tiempo. 

BIBLIOGRAFÍA

Análisis Matemático III – Eduardo Espinoza Ramos

Cálculo: conceptos y contextos James Stewart International Thomson Editores, 2006 - 1160 pages

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