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Derivadas I

Facultad de ArtesUniversidad Nacional de La Plata

Ano 2020

(Facultad de Artes Universidad Nacional de La Plata) Derivadas I Ano 2020 1 / 41

Derivada I

Nocion de Derivada

Veremos:

Razon de Cambio

La Recta Tangente a un Curva

Definicion de derivada en un punto

Funcion derivada

Construccion de Tablas de Derivadas


Razon de Cambio. Velocidades

SituacionSupongamos que realizamos un viaje, por ejemplo, Buenos Aires-Mar del Plata.Supongamos que la distancia es exactamente 400km (es una suposicion, unahipotesis de trabajo). Finalmente, supongamos que tardamos en llegar 4 horas.

Pregunta

¿A que velocidad realizamos el viaje?

Respuesta Posible (y muy comun)

El viaje se realizo a 100 kmh (que lo decimos ”a 100 kilometros por hora”)

¿Que operacion se realizo?

400 km

4 h= 100

km

h



Limitacion del razonamiento anterior

El razonamiento anterior da una velocidad (distancia recorrida respecto deltiempo empleado) promedio, sin embargo no es verdad que hemos hecho eltrayecto siempre a la misma velocidad ya que

Hay dos estaciones de peaje, donde tuvimos que parar el auto

Para parar el auto tuvimos que disminuir la velocidad

Luego de que el auto estuvo parado, debimos acelerar para alcanzar mayorvelocidad

Los lımites de velocidad fueron cambiando

Entre ciudades, la velocidad maxima es de 120km/hAl atravesar las ciudades, la maxima llega a ser 60/h

Entonces no hemos ido a una velocidad constante de 100 km/h sino que elvelocımetro del auto iba indicando diferentes velocidades en diferentes partes deltrayecto.



Pregunta

¿Como podrıamos mejorar el calculo de la velocidad?

Sugerencia

Para mejorar el calculo de la velocidad podemos partir los 400 kilometros entramos mas cortos e ir tomando velocidades en estos trayectos. De esta manera,podremos dar, no una velocidad global, sino velocidades por tramos. Ahıprecisamos un poco el calculo de la velocidad.

¿Y si queremos tener la velocidad en cada instante?

Velocidad InstantaneaPara obtener la velocidad instantanea deberıamos partir el trayecto en minitrayectos, tan pequenos como nos podamos imaginar para calcular la velocidad encada minitrayecto.



El proceso de achicar los trayectos para calcular la velocidad podemos hacerlo dela siguiente manera, pensemos que la partida se da a t0 = 0 es decir, a las0 : 00hs.Puesto como funcion, llamemos d(t) a la distancia recorrida al instante t, medidoen horas. Supongamos que pudimos medir los siguientes datos

d(4) = 400 (ya que demoramos 4 horas para llegar a Mar del Plata)

d(3) = 280

d(2) = 190

d(1) = 80

Con estos datos, podemos calcular velocidades por tramos:

Tramo 3− 4: la velocidad en ese tramo fue de v3−4 = 400−2804−3 = 120km/h

Tramo 2− 3: la velocidad en ese tramo fue de v2−3 = 280−1903−2 = 90km/h

Tambien podemos hacer tramos 0− 1, 0− 2, 1− 3 y ası el tramo que nosinterese



ConclusionDada una tabla de posiciones en funcion del tiempo

t dt1 d(t1)t2 d(t2)t3 d(t3)t4 d(t4)...

...

La velocidad en el tramo i−esimo y j−esimo la calculamos

vi−j =d(tj)− d(ti )

tj − ti=

∆dij∆tij

En matematica la letra griega ∆ (que es la delta mayuscula) se utiliza paravariacion.


Variacion en la variable y en la funcion

Hemos visto que para calcular la tasa de variacion, o razon de cambio (en el casodel ejemplo, las velocidades) efectuabamos el siguiente cociente

v =∆f

∆x

donde en este caso,∆f = f (xj)− f (xi )

y∆x = xj − xi

Como hemos visto, el resultado sera una variacion media, (pensar en el ejemplode tardar 4 horas en llegar a Mar del Plata)

Podemos pensar que si ∆x lo vamos haciendo mas pequeno, mas precisa sera la

tasa de cambio, o por lo menos, tendremos una vision mas realista de lo que

efectivamente ocurre con la variacion de la funcion.


El Cociente Incremental

Entonces, volviendo al calculo de la variacion, tendremos

vij =∆f

∆x=

f (xj)− f (xi )

xj − xi

Sixj − xi = ∆x Entonces, despejando xj = xi + ∆x

Con lo que el cociente podremos expresarlo en la forma:

vij =∆f

∆x=

f (xj)− f (xi )

xj − xi=

f (xi + ∆x)− f (xi )

∆x

vij es la velocidad (o mejor dicho, la tasa de variacion, o razon de cambio) en elintervalo [xi , xj ] = [xi , xi + ∆x ]

PrecisionNotemos que cuanto menor sea ∆x , vij sera calculada por trayectos maspequenos, por lo cual ganaremos precision.


Variacion Instantanea

Cuando calculamos la variacion discreta

vij =∆f

∆x=

f (xj)− f (xi )

xj − xi=

f (xi + ∆x)− f (xi )

∆x

Apenas tenemos informacion promedio entre los puntos (xi , f (xi )) y(xj , f (xj)) = (xi + ∆x , f (xi + ∆x))Cuanto mas pequeno sea el incremento ∆x , los puntos (xi , f (xi )) y (xj , f (xj))estaran mas proximos. Podemos pensar que si ∆ = 0 estamos sobre el punto(xi , f (xi )). Con este razonamiento, podemos decir, al menos en teorıa que lavariacion instantanea, en xi la lograremos tomando el lımite

vi = lım∆x→0

f (xi + ∆x)− f (xi )

∆x

Notemos que ahora no ponemos vij porque el trayeto se redujo al punto (xi , f (xi ))


Definicion de Derivada en un punto x0

Con lo que hemos analizado y podido conceptualizar, podemos aboradar ladefinicion de derivada de la funcion f (x) en el punto x0

Definicion de Derivada en x0

Consideremos una funcion f (x). Sea x0 un punto del dominio de f (x). Definimos

Derivada de la funcion f (x) en el punto x0 (la denotamos f ′(x0) o df (x0)dx ) al

lımite

f ′(x0) =df (x0)

dx=

df

dx

∣∣∣∣x=x0︸︷︷︸

notaciones posibles

= lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

cuando el lımite existe

f ′: Notacion de Lagrange. Por lo general, la mas usada

dfdx : Notacion de Leibinz.

f : Notacion de Newton, casi nunca usada en Calculo diferencial, pero muyusada en Mecanica, para indicar variaciones temporales.


Ejemplos

Ejemplo. Consideremos la funcion f (x) = x2. Calculemos f ′(3)Por definicion, tendremos

f ′(3) = lımh→0

f (3 + h)− f (3)

h

Ahora, como f (x) = x2, tendremos que

f (3 + h) = (3 + h)2, y f (3) = 32

Entonces,

f ′(3) = lımh→0

(3 + h)2 − 32

h

Podemos notar que si evaluamos h = 0, tenemos una indeterminacion 0/0, por loque tendremos que trabajar el numerador, para ver resolverla. Tenemos

(3 + h)2 − 32

h=

32 + 2 · 3 · h + h2 − 32

h=

6h + h2

h=

h(6 + h)

h= 6 + h

Entonces,

f ′(3) = lımh→0

(3 + h)2 − 32

h= lım

h→06 + h = 6


Ejemplos

Ejemplo. Consideremos la funcion f (x) = x3. Calculemos f ′(2)Por definicion, tendremos

f ′(2) = lımh→0

f (2 + h)− f (2)

h

Entonces,

f ′(2) = lımh→0

(2 + h)3 − 23

h

Nuevamente, si evaluamos h = 0, tenemos una indeterminacion 0/0, por lo quetendremos que trabajar el numerador, para ver resolverla. Tenemos

(2 + h)3 − 23

h=

23 + 3 · 22 · h + 3 · 2 · h2 + h3 − 23

h=

12h + 6h2 + h3

h=

h(12 + 6h + h2)

h= 12 + 6h + h

Entonces,

f ′(3) = lımh→0

(2 + h)3 − 23

h= lım

h→012 + 6h + h2 = 12


Analisis de los ejemplos

Ejemplo 1. f (x) = x2

En este caso, la derivada en 3 resulto ser el numero 6. El lımite existio, perotuvimos que salvar la indeterminacion.

Ejemplo 2. f (x) = x3

En este caso, la derivada en 2 resulto ser el numero 12. El lımite existio, perotuvimos que salvar la indeterminacion.

Observacion. Siempre habra indeterminaciones

En el calculo de una derivada por definicion, es decir, tomando el lımite

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

Siempre sera indeterminado. Solo basta con evaluar h = 0 para ver esto.


Derivada en un punto de la funcion cuadratica

Consideremos la funcion f (x) = x2. Consideremos un punto x0 y calculemos laderivada f ′(x0), esto es,

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lım

h→0

(x0 + h)2 − x20

h

Entonces,

f ′(x0) = lımh→0

x20 + 2 · x0 · h + h2 − x2

0

h= lım

h→0

2x0h + h2

h= lım

h→0

�h(2x0 + h)

�h= lım

h→02x0 + h = 2x0

Entonces, sif (x) = x2, → f ′(x0) = 2x0

Ejemplo, para la funcion f (x) = x2, la derivada en x0 = 4 sera f ′(4) = 2 · 4 = 8.


Derivada en un punto de la funcion f (x) = x3

Consideremos la funcion f (x) = x3. Consideremos un punto x0 y calculemos laderivada f ′(x0), esto es,

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lım

h→0

(x0 + h)3 − x30

h

Teniendo en cuenta que (x0 + h)3 = x30 + 3 x2

0 h + 3 x0 h2 + h3 Entonces,

f ′(x0) = lımh→0

��x30 + 3 x2

0 h + 3 x0 h2 + h3 − ��x

30

h= lım

h→0

�h(x20 + 3 x0 h + h2)

�h

Tomando lımite, tendremos

f ′(x0) = lımh→0

3x20 + 3x0 h + h2 = 3x2

0

Entonces, sif (x) = x3 → f ′(x0) = 3 x2

0


Derivada en un punto de la funcion f (x) = x4

Consideremos ahora la funcion f (x) = x4. Antes de hacer la cuenta, recordemos:

(x0 + h)4 = x40 + 4x3

0h + 6x20h

2 + 4x0h3 + h4

Entonces,

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h) − f (x0)

h= lım

h→0

x40 + 4x3

0 h + 6x20 h

2 + 4x0h3 + h4 − x4

0

h

f ′(x0) = lımh→0

�h(4x30 + 6x2

0 h + 4x0h2 + h3)

�h= lım

h→04x3

0 + 6x20 h + 4x0h

2 + h3 = 4x30

Entonces, sif (x) = x4 → f ′(x0) = 4 x3

0

Con las tres funciones que hemos calculado la derivada en el punto x0 parecieraque sigue un patron...


Derivada en un punto de la funcion f (x) = x

Notemos que partir de las derivadas que hemos calculado

f (x) = x2, su derivada en un punto x0 resulto f ′(x0) = 2x0



Miremos nuevamente...

f (x) = x2, su derivada en un punto x0 resulto f ′(x0) = 2x2−10



Efectivamente! Si

f (x) = xn → f ′(x0) = n · xn−10

Problema. Calcular la derivada en x0 = 2 de la funcion f (x) = x7

Respuesta. f ′(x0) = 7 x60 = 7 · 26 = 7 · 64 = 448


Derivada en un punto de la funcion f (x) = sen(x)

Consideremos ahora la funcion f (x) = sen(x). Antes de hacer la cuenta,recordemos:

sen(x0 + h) = sen(x0) cos(h) + cos(x0) sen(h)

Entonces, para calcular la derivada, hacemos

f ′(x0) = lımh→0

sen(x0 + h)− sen(x0)

h

Efectuando el seno de la suma, tendremos

f ′(x0) = lımh→0

sen(x0) cos(h) + cos(x0) sen(h) − sen(x0)

h= lım

h→0

cos(x0) sen(h) + sen(x0)(cos(h) − 1))

h

Entonces,f ′(x0) = lım

h→0cos(x0)

sen(h)

h︸︷︷︸→1

+ sen(x0)(cos(h) − 1))

h︸︷︷︸→0

Tendremos: Si

f (x) = sen(x), → f ′(x0) = cos(x0)


Derivada en un punto de la funcion f (x) = cos(x)

Consideremos ahora la funcion f (x) = cos(x). Antes de hacer la cuenta,recordemos:

cos(x0 + h) = cos(x0) cos(h)− sen(x0) sen(h)

Entonces, para calcular la derivada, hacemos

f ′(x0) = lımh→0

cos(x0 + h)− cos(x0)

h

Efectuando el seno de la suma, tendremos

f ′(x0) = lımh→0

cos(x0) cos(h) − sen(x0) sen(h) − cos(x0)

h= lım

h→0

cos(x0)(cos(h) − 1) − sen(x0) sen(h)

h

Entonces,f ′(x0) = lım

h→0cos(x0)

(cos(h) − 1))

h︸︷︷︸→0

− sen(x0)sen(h)

h︸︷︷︸→1

Tendremos: Si

f (x) = cos(x), → f ′(x0) = − sen(x0)


Derivada en un punto de la funcion f (x) = ex

Consideremos la funcion exponencial ex . Para calcular la derivada en el punto x0

hacemos,

f ′(x0) = lımx→0

ex0+h − ex0

h

Entonces

f ′(x0) = lımx→0

ex0eh − ex0

h= lım

h→0

ex0[eh − 1

]h

Como habıamos visto,

lımh→0

eh − 1

h= 1

tendremos que si

f (x) = ex → f ′(x0) = ex0

Notemos que la derivada de la exponencial es la misma exponencial


Tabla de derivadas hasta ahora

Con las derivadas obtenidas hasta ahora, podemos confeccionar la siguiente tabla:

f (x) f ′(x0)

xn n xn−10

sen(x) cos(x0)

cos(x) − sen(x0)

ex ex0

Notemos que son las expresiones mas simples para las funciones potencia,trigonometricas y exponenciales. Mas adelante veremos expresiones mascompletas


Derivabilidad

Definicion de Derivabilidad en un punto

Dada una funcion f (x) y un punto x0 perteneciente al dominio de definicion def (x). Diremos que f es derivable en el punto x0 si y solo si existe la derivada en elpunto, es decir

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

Existe.En otras palabras, la funcion sera derivable si podemos calcular

f ′(x0)

Derivabilidad en un conjunto abierto

Si una funcion es derivable en todos los puntos de un determinado conjuntoabierto D, diremos que la funcion es derivable en el conjunto D


La Operacion Derivacion. La Funcion Derivada

Si una funcion es derivable en un conjunto abierto D podemos calcular laderivada, pero ya no evaluada en un determinado punto, sino como funcion.Es decir, con el calculo de derivada, pero no ahora en un punto especıfico x0, sinoen un punto generico x , perteneciente al conjunto de derivabilidad D podemosconsiderar el siguiente esquema

f (x)→ Calculo de derivada en x → f ′(x)

donde el calculo de la derivada se efectua

f ′(x) = lımh→0

f (x + h)− f (x)

h

A los fines practicos, la cuenta es exactamente igual, solo se cambia x0 por x ypodemos confeccionar la tabla de derivadas, pero en terminos funcionales


Tablas de Funciones Derivadas

f (x) f ′(x)

xn n xn−1

sen(x) cos(x)

cos(x) − sen(x)

ex ex

La derivada de la funcionf (x) = k

√x = x

1k

sera

f ′(x) =1

kx

1k−1

Ejemplo. Si f (x) =√x , entonces f ′(x) = 1

2√x

(comprobarlo considerando la raız

cuadrada como potencia)(Facultad de Artes Universidad Nacional de La Plata) Derivadas I Ano 2020 25 / 41

Abordaje Geometrico: La recta tangente

Consideremos una funcion f (x). Y sea x0 un punto del dominio de f .Con esta funcion, realicemos las siguientes operaciones

Consideremos dos puntos de la grafica de la funcion, (x0, f (x0)) y (x1, f (x1))

Con estos dos puntos, construyamos la recta que pasa por estos dos puntos,la cual tendra por ecuacion, como vimos,

y1(x) =

[f (x1)− f (x0)

x1 − x0

](x − x0) + y0

Luego, tomemos un punto x2, tal que x2 − x0 sea mas pequeno que x1 − x0 yconsideremos la recta que pasa por los puntos (x0, f (x0)) y (x2, f (x2))

Con estos nuevos puntos, tendremos la recta de ecuacion

y2(x) =

[f (x2)− f (x0)

x2 − x0

](x − x0) + y0

Consideremos puntos cada vez mas proximos y grafiquemos las rectasobtenidas


Para los puntos (x0, f (x0)) y (x1, f (x1))

x

y

x0

f (x0)

x1

f (x1)



x

y

x0

f (x0)

x1

f (x1)

x2

f (x2)



x

y

x0

f (x0)

x1

f (x1)

x2

f (x2)

x3

f (x3)



x

y

x0

f (x0)

x1

f (x1)

x2

f (x2)

x3

f (x3)

x4

f (x4)


Analisis de los graficos

Observacion

Podemos nota que

Las rectas que unen los puntos (x0, f (x0)) y (xj , f (xj)) tienen porpendientes

m =f (xj)− f (x0)

xj − x0

Cuanto mas cercano es el punto (xj , f (xj)) al (x0, f (x0)) la recta quelos une es mas cercana a una recta que ”roza” tangencialmente a lagrafica de f (x) en el punto (x0, f (x0))

Entonces, llamando xj = x0 + h, la pendiente de la recta tangente sera

mtangente = lımh→0

f (xj)− f (x0)

xj − x0= lım

h→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= f ′(x0)


La derivada como pendiente de la tangente

La ecuacion de la recta tangente

Dada una funcion f (x) derivable en el punto x0. Entonces, la ecuacion de la rectatangente en el punto (x0, f (x0)) sera

y(x) = f ′(x0) (x − x0) + f (x0)

Ejemplo. La funcion f (x) = x2 tiene por funcion derivada a f ′(x) = 2x .

Entonces, en el punto ( 32 ,[

32

]2) la ecuacion de la recta tangente sera

y(x) = 2 · 3

2︸︷︷︸f ′(x0)

(x − 3

2

)+

9

4= 3(x − 3

2) +

9

4

O, haciendo la distributiva

y(x) = 3x − 9

4


Graficamente

x

y

32

f ( 32 )


Resumen

La derivada de una funcion f (x) en un punto x0 del dominio es un numero elcual se obtiene, por definicion

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h, NUMERO

Cuando no calculamos la derivada en un punto sino la calculamos engeneral, en un punto x , tenemos la funcion derivada


f (x + h)− f (x)

hFUNCION

La recta tangente en un punto la obtenemos a partir de la expresion

y(x) = f ′(x0) (x − x0) + f (x0)

Salvo que se pida expresamente, las derivadas las obtenemos a partir de unatabla. Es decir, la calculamos una vez y nos sirve siempre.


Derivabilidad y Continuidad

Teorema.

Si una funcion f (x) es derivable en x0, entonces es continua en x0.En efecto, si es derivable, tendremos que

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= f ′(x0)

Entonces, necesariamente el numerador debe tender a cero, sino el lımite nopodria existir, es decir, dar un numero. Entonces

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0) = 0, → lımh→0

f (x0 + h) = f (x0)

Solo a los efectos de verlo como en la definicion, llamemos x = x0 + h. Si h→ 0,quiere decir que x → x0. Entonces

lımx→x0

f (x) = f (x0)

Que es justamente la definicion de continuidad en x0.


Construccion de una tabla mas completa

Hasta el momento hemos construıdo una tabla de derivadas con las funciones ensu estado mas elemental, recordemos:

f (x) f ′(x)

xn n xn−1

sen(x) cos(x)cos(x) − sen(x)ex ex

Con esta tabla veamos si podemos construir una tabla mas completa,

f (x) f ′(x)

a · xn —sen(a · x) —cos(a · x) —

ea·x —

Si tenemos esta ultima tabla, tendremos la anterior con solo poner a = 1.


Derivada de la funcion f (x) = a · xn

Calculemos f ′(x).


f (x + h)− f (x)

h= lım

h→0

a · (x + h)n − a · xn

h

Extrayendo factor comun a, tenemos,

f ′(x) = a · lımh→0

(x + h)n − xn

h

Pero lımh→0(x+h)n−xn

h lo tenemos calculado, es la derivada de xn.Entonces,

f ′(x) = a · n · xn−1


Derivada de la funcion f (x) = sen(a · x)

Calculemos f ′(x).


f (x + h)− f (x)

h= lım

h→0

sen[a · (x + h)]− sen(a · x)

h

distribuyendo en el primer seno, tenemos


sen[a · x + a · h]− sen(a · x)

h= lım

h→0a·[

sen[a · x + a · h]− sen(a · x)

a · h

]Hemos multiplicando y dividiendo por a (nada varıa). Si llamamos k = a · hpodemos notar que si h tiende a cero, k lo hara, entonces, podemos reescribir

f ′(x) = a · lımk→0

sen(ax + k)− sen(ax)

k︸︷︷︸conozco este lımite (derivada del seno)

Entonces,f ′(x) = a cos(ax)


Tabla mas completa

De manera analoga a la empleada para calcular la derivada del sen(a x)obtenemos la derivada de cos(a x) y tambien de la misma manera obtenemos la dela exponencial. Entonces, podemos construir la tabla de derivadas mas completa:

f (x) f ′(x)

a · xn a · n · xn−1

sen(a · x) a · cos(a x)cos(a · x) −a · sen(a x)

ea·x a · ea·x

Ejemplo. Si f (x) = e4x entonces f ′(x) = 4 e4x

Ejemplo. Si f (x) = cos(3x) entonces f ′(x) = −3 sen(3x)

Ejemplo. Si f (x) = 3√

5x entonces f ′(x) = 53 x−2/3 (queda como ejercicio

verificarlo)


Ejercitacion

1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones a partir de la definicion, estoes, con el lımite, en el punto que se consigna.a) f (x) = 2 x , en el punto x0 = 3b) f (x) = 4 x3, en el punto x0 = 2c) f (x) = 4, en el punto x0 = 5

2. Obtener las funciones derivadas a partir de la definicion, esto es, con el lımite.a) f (x) = x + x2

b) f (x) = 2 x2 + 3xc) f (x) = sen(x) + 2 cos(x)d) f (x) = cos(x) + ex + x2

3. Obtener la ecuacion de la recta tangente a las graficas de las funciones en elpunto que se consigna. En todos los casos, hacer un grafico esquematico de lasfunciones con su tangente en el punto.a) f (x) = 3 x2, en el punto x0 = 1b) f (x) = x3, en el punto x0 = 2c) f (x) = 3 ex , en el punto x0 = −2


Ejercitacion

4. Hallar el punto en el cual la pendiente de la recta tangente a la grafica de lafuncion f (x) = x3 es paralela a la recta de ecuacion y(x) = 5x + 1. Graficar lafuncion, la recta tangente y la recta de referencia.

5. Hallar el punto en el cual la pendiente de la recta tangente a la grafica de lafuncion f (x) = x2 es perpendicular a la recta de ecuacion y(x) = x − 1. Graficarla funcion, la recta tangente y la recta de referencia.


Derivadas II


Ano 2020

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Derivadas II

Calculo de Derivadas

Veremos:

Reglas de Derivacion

Funciones Compuestas. Regla de la Cadena

Derivadas Sucesivas




Consideremos dos funciones derivables, f (x) y g(x), para las cuales conocemossus derivadas, f ′(x) y g ′(x). Vamos a construir las reglas que nos permitiranobtener las derivadas de las funciones

f (x) + g(x) queremos calcular [f (x) + g(x)]′

f (x)− g(x) queremos calcular [f (x)− g(x)]′

f (x) · g(x) queremos calcular [f (x) · g(x)]′

f (x)

g(x)queremos calcular

[f (x)

g(x)

]′


Reglas de la suma. Y vale para resta

Consideremos las funciones f (x) y g(x) derivables. Llamemoss(x) = f (x) + g(x). Tenemos que la derivada en el punto x (esto es, la funcionderivada) la obtenemos mediante

s ′(x) = lımh→0

s(x + h)− s(x)

h

Entonces, reemplazando, tenemos


[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

Agrupando,


[f (x + h)− f (x)]

h+

[g(x + h)− g(x)]

h

Como las funciones son derivables, los lımites existen tendremos

s ′(x) = [f (x) + g(x)]′ = f ′(x) + g ′(x)


Regla del Producto

Consideremos las funciones f (x) y g(x) derivables. Llamemos p(x) = f (x) · g(x).Tenemos que la derivada en el punto x (esto es, la funcion derivada) laobtenemos mediante

p′(x) = lımh→0

p(x + h)− p(x)

h

Entonces, reemplazando, tenemos

p′(x) = lımh→0

f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)

h

si en el numerador sumamos y restamos f (x) · g(x + h) nada varıa, porquesumamos cero. Pero termina siendo de utilidad. Veamos

p′(x) = lımh→0

f (x + h) · g(x + h) + f (x) · g(x + h) − f (x) · g(x + h) − f (x) · g(x)

h

que es equivalente a

p′(x) = lımh→0

f (x + h) · g(x + h) − f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h) − f (x) · g(x)

h


Regla del Producto. Continuacion

sacando factor comun convenientemente, tenemos

p′(x) = lımh→0

[f (x + h) − f (x)] · g(x + h) + f (x)[g(x + h) − g(x)]

h

p′(x) = lımh→0

[f (x + h)− f (x)]

h· g(x + h) + f (x)

[g(x + h)− g(x)]

h

Como las funciones son continuas (porque si son derivables lo son) tendremos quelımh→0 g(x + h) = g(x) entonces, tendremos que los lımites de cada terminoexisten, resultando

p′(x) = [f (x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

”El primero derivado por el segundo sin derivar, mas el primero sin derivar por elsegundo derivado”


Regla del Cociente. Primera parte

Consideremos la funcion 1f (x) y calculemos el cociente de Newton

1f (x+h) −

1f (x)

h=

1

h

[1

f (x + h)− 1

f (x)

]Realizando la resta de fracciones, tenemos

1f (x+h) −

1f (x)

h=

1

h

[f (x)− f (x + h)

f (x + h) · f (x)

]Que podemos escribir

1f (x+h) −

1f (x)

h=

(−1)

f (x + h) · f (x)

[f (x + h)− f (x)

h

]Entonces, tomando lımite para h→ 0 obtenemos[

1

f (x)

]′= − f ′(x)

[f (x)]2


Regla del Cociente. Segunda parte

Ahora, si queremos encontrar la regla para el cociente, consideremos:

f (x)

g(x)= f (x) · 1

g(x)

Entonces, para calcular la derivada del cociente, hacemos[f (x)

g(x)

]′= f ′(x) ·

[1

g(x)

]+ f (x) ·

[1

g(x)

]′Como

[1

g(x)

]′= − g ′(x)

g(x)2 reemplazamos y tenemos[f (x)

g(x)

]′= f ′(x) ·

[1

g(x)

]− f (x) ·

[− g ′(x)

g(x)2

]Finalmente, tenemos la regla del cociente[

f (x)

g(x)

]′=

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

g(x)2


Funciones

Compuestas


Situaciones. Funciones de funciones

Consideremos las siguientes funciones

f (x) = (2x2 + 5x + 1)4

g(x) = sen(x2 + 1)

h(x) = ecos(2x)

En estos casos podemos apreciar a la variable x sufre dos procesos defunciones, por ejemplo, para la funcion f (x) podemos notar que

x → y = 2x2 + 5x + 1 → z = y4 = (2x2 + 5x + 1)4

Podemos notar que hay dos funciones involucradas:

la funcion cuadratica: x → 2x2 + 5x + 1

la funcion cuartica: y → y4

Entonces la funcion f (x) es la denominada composicion de las funciones

x → 2x2 + 5x + 1 →(2x2 + 5x + 1

)4


Composicion de funciones

Veamos ahora la funcion g(x) = sen(x2 + 1). Notemos que estamos enpresencia de dos funciones:

la funcion cuadratica: x → x2 + 1

la funcion seno: y → sen(y)

Entonces la funcion g(x) es la denominada composicion de las funciones

x → x2 + 1 → sen(x2 + 1

)De la misma manera, tendremos la funcion h(x) = ecos(2x):

x → cos(2x) → ecos(2x)

El esquema general serıa

x →︸︷︷︸f

f(x) →︸︷︷︸g

g( f(x) )


Ejemplos y ejercicios para afianzar

Ejemplo. Consideremos las funciones f (x) = sen(x) y la funcion g(x) = ex

Entonces:g(f (x)) = esen(x)

yf (g(x)) = sen [ex ]

Ejercicios de aplicacion.1. Dada las funciones: f (x) = x2, g(x) = 2x + 1, h(x) = 3 e2x Obtener lasexpresiones:

a) f (g(x)), b) g(h(x)), c) h(f (x))

d) f (h(x)), e) h(g(x)), f) g(h(f (x)))

2. Considerar las funciones f (x) = ln(x) y g(x) = ex Obtener f (g(x)) y g(f (x))


Aspectos generales de las funciones compuestas

Para funciones compuestas, g ◦ f (se lee f compuesta con g) tendremosque

Si f (x) es continua en x0 y g(x) es continua en f (x0) tendremos quela funcion compuesta

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

es continua en x0

Si f (x) es derivable en x0 y g(x) es derivable en f (x0) tendremos quela funcion compuesta

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

es derivable en x0

Veremos como calculamos efectivamente las derivadas de funcionescompuestas.


Derivada de una funcion Compuesta. Regla de la Cadena

Consideremos dos funciones derivables f (x) y g(x). Consideremos la funcioncompuesta g ◦ f , esto es, g(f (x)). Consideremos el cociente incremental

g(f (x + h))− g(f (x))

h

Como la funcion f (x) es derivable, sera continua. Entonces como

lımx→x0

f (x) = f (x0)

podemos definir una variable auxiliar y = f (x) entonces, f (x + h) = y + k, donde

lımh→0

f (x + h) = lımk→0

y + k

Entonces, la expresion original puede reescribirse como

g(f (x + h))− g(f (x))

h=

g(y + k)− g(y)

h

donde cuando h tiende a cero, k tambien tendera a cero.


Regla de la Cadena. Continuacion

En la expresion

g(f (x + h))− g(f (x))

h=

g(y + k)− g(y)

h

multipliquemos y dividamos por k

g(f (x + h))− g(f (x))

h=

g(y + k)− g(y)

h=

g(y + k)− g(y)

h

k

k

pero k = f (x + h)− f (x), asi que

g(f (x + h)) − g(f (x))

h=

g(y + k) − g(y)

h=

[g(y + k) − g(y)]

h

[f (x + h) − f (x)]

k

Permutando en el denominador h por k , tenemos

g(f (x + h)) − g(f (x))

h=

g(y + k) − g(y)

h=

[g(y + k) − g(y)]

k

[f (x + h) − f (x)]

h

Entonces, tomando lımite para h tendiendo a cero (que induce a k tender a cero)

[g(f (x))]′ = g ′(y) · f ′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x)


Regla de la Cadena. Ejemplos

Ejemplo 1. Consideremos la funcion f (x) = sen(x2 + 2x). En este caso, tenemosla composicion de la funcion x2 + 2x compuesta con la funcion sen. entonces,

[sen(x2 + 2x)]′ = [sen(y)]′ · (x2 + 2x)′, (con y = x2 + 2x)

Entonces,[sen(x2 + 2x)]′ = cos(x2 + 2x) · (2x + 2)

Ejemplo 2. Consideremos la funcion f (x) = ecos(x). En este caso, tenemos lacomposicion de la funcion cos(x) compuesta con la funcion ey . entonces,

[ecos(x)]′ = [ey ]′ · (cos(x))′, (con y = cos(x))

Entonces,[ecos(x)]′ = ecos(x) · (− sen(x))


Mas Ejemplos

Ejemplo 3. Consideremos la funcion f (x) = e4x . Aca tenemos la funcion 4x a laque luego se le aplica la exponencial, por lo que[

e4x]′

= e4x · 4 = 4 e4x

Ejemplo 4. Consideremos la funcion f (x) = e−x2

. Aca tenemos la funcion −x2 ala que luego se le aplica la exponencial, por lo que[

e−x2]′

= e−x2

· (−2x) = −2x e−x2

Ejemplo 5. Consideremos la funcion f (x) = sen(3x). Aca tenemos la funcion 3xa la que luego se le aplica la funcion seno, por lo que

[sen(3x)]′ = cos(3x) · 3 = 3 cos(3x)


Aplicacion:

Funciones Inversas


Funciones Inversas

Situaciones1. Consideremos el numero 3. Elevemos el numero 3 al cubo. Esto nos resulta 27.Ahora extraigamos la raız cubica de 27. Que resulta? Nuevamente 3.

3 → 33 = 27 → 3√

33 = 3

2. Consideremos ahora el numero π3 Ahora calculemos el seno y luego el arco seno.

π

3→ sen

(π3

)→ arc sen

[sen(π

3

)]=π

3

En general

Cuando a un numero aplicamos sucesivamente una operacion y luego aplicamos laoperacion inversa, obtenemos el numero original.


Funciones Inversas

Funcion Inversa

Cuando ahora a un determinado numero x le aplicamos una funcion f (x) y luegoa este numero le aplicamos la funcion inversa, que denotamos f −1(x) vamos arecuperar el numero original x . Esto es,

f −1(f (x)) = x

Condicion Suficiente para que una funcion tenga inversa

Una funcion tiene inversa en un determinado dominio, siempre que ella seabiyectiva.Para nuestro analisis, bastara que una funcion sea estrictamente creciente oestrictamente decreciente en determinado dominio para que posea inversa.


Derivadas de Funciones Inversas

Para obtener la expresion de la derivada de una funcion inversa vamos a aplicar loobtenido en regla de la cadena.Notemos que

f −1(f (x)) = x

Entonces, derivando a ambos miembros con respecto a x tendremos[f −1(f (x))

]′= [x ]′, (recordemos que la derivada de x es 1)

Entonces, [f −1(f (x))

]′=[f −1]′

(f (x)) · f ′(x) = 1

O bien,

f −1′(f (x)) =1

f ′(x)

”la derivada de la inversa es la inversa de la derivada”(pero cuidado, evaluada en la funcion)


Derivadas de Funciones Inversas. Ejemplos

Ejemplo 1. Recordemos que la funcion√� es la inversa de la funcion �2

Entonces, como √x2 = x →

[√x2]′

= 1

[√y ]′ =

1

2x

Pero como y = x2, tendremos que x =√y Entonces,

[√y ]′ =

1

2√y

Entonces, usando x en vez de y tendremos,

[√x ]′ =

1

2√x

Como habıamos obtenido antes (usando que√x = x1/2)



Ejemplo 2. La derivada de la funcion logaritmo natural. Como la funcionlogaritmo natural es la funcion inversa de la funcion exponencial, esto es,

ln [ex ] = x ln[e] = x · 1 = x

Entonces, aplicando la expresion de la derivada de la inversa a la funcionlogaritmo tendremos:

[ln[y ]]′ =1

[ex ]′, con y = ex , con lo cual, x = ln[y ]

Entonces, reemplazando,

[ln[y ]]′ =1

[e ln[y ]]′=

1

y

Entonces, cambiando la letra y por la x , tendremos

[ln[x ]]′ =1

x



Ejemplo 3. La derivada de la funcion arco seno. Como la funcion arco seno esla inversa del seno, tendremos que aplicando la regla para derivacion de funcionesinversas tendremos

[arc sen[y ]]′ =1

[sen(x)]′

Como la derivada del seno es el coseno, tendremos

[arc sen[y ]]′ =1

cos(x)(y = sen(x) entonces x = arc sen(y))

Como cos(x) =√

1− sen2(x) podremos escribir

[arc sen[y ]]′ =1√

1− sen2(arc sen(y))=

1√1− y2

Entonces, para usar la letra x , tenemos

[arc sen[x ]]′ =1√

1− x2

Esta expresion es valida para x ∈ [−π/2, π/2] donde la funcion seno es

estrictamente creciente, es decir, tiene inversa.(Facultad de Artes Universidad Nacional de La Plata) Derivadas II Ano 2020 24 / 30

Derivadas Sucesivas


Derivadas de orden superior

Dada una funcion derivable, f (x) podemos obtener la expresion de la funcionderivada, f ′(x). Si esta funcion vuelve a ser derivable, podemos pensar en laderivada de la derivada, es decir, la denominada derivada segunda:

f ′′(x) = [f ′(x)]′

Nuevamente, si podemos seguir derivando, podemos obtener la derivada tercera,

f ′′′(x) = [[f ′(x)]′]′

Y ası sucesivamente En general, definimos:

f (0)(x) = f (x), esto es, la funcion sin derivar

f (1)(x) = f ′(x), esto es, la derivada primera

f (2)(x) = f ′′(x), esto es, la derivada segunda

Y ası obtener la derivada n−esima f (n)(x).


Derivadas Sucesivas. Ejemplos

Ejemplo 1. Obtengamos la derivada segunda de la funcion seno. Primero,calculemos la derivada primera

[sen(x)]′ = cos(x)

Derivando nuevamente,

[sen(x)]′′ = [[sen(x)]′]′ = [cos(x)]′ = − sen(x)

Entonces, si f (x) = sen(x) tenemos que f ′′(x) = − sen(x) (es decir, volvemos atener la funcion seno, pero ahora con signo menos)

Ejemplo 2. Si la funcion es la exponencial, es decir, f (x) = ex tendremos quetodas sus derivadas son la misma funcion, ya que la derivada de ex es ex ,entonces,

f (n)(x) = ex


Derivadas Sucesivas. Ejemplos

Ejemplo 3. Obtengamos la derivada 4 de la funcion f (x) = x4. Para esta funciontenemos

f ′(x) = 4 x3

f ′′(x) = 4 · 3x2

f ′′′(x) = 4 · 3 · 2 · x1

f (4)(x) = 4 · 3 · 2 · 1 A este numero lo llamamos factorial de 4 y lodenotamos 4!

Notemos que si ahora calculamos una derivada mas, el resultado sera cero.

Ejercicio. Comprobar que la derivada quinta de x5 es 5!. En general, comprobar(por inspeccion, no demostrando) que si f (x) = xn

f (n)(x) = n!


Ejercitacion

1. Dadas las funciones f (x) = x2 + 3x + 1, g(x) = e2x y h(x) = sen(x) obtenerlas expresiones de las derivadasa) [f (x) + 5 · g(x)]′, b) [f (x) · g(x)]′, c) [h(x) · g(x)]′,

d) [f (x)2]′, e) [g(x)2]′, f)[f (x)g(x)

]′2. Hallar la derivada de la funcion

f (x) = sen(3x2 + 2x + 1)

3. Dadas las funciones f (x) = x2 + 3x + 1, g(x) = e2x y h(x) = sen(x) obtenerlas expresiones para para las funciones compuestas y para las derivadas, aplicandola regla de la cadenaa) [f (g(x))]′, b) [g(g(x))]′, c) [g(h(x))]′,d) [g(f (x))]′, e) [h(f (x))]′, f) [f (f (x))]′,


Ejercitacion

4. Comprobar que la funcion y(t) = A cos(ω t) satisface

y ′′(t) + ω2 y(t) = 0

donde la derivada se realiza en la variable t.

5. Calcular la derivada decima de la funcion polinomicaf (x) = 5x6 + 3x4 + 2x2 + 1

6. Para la funcion f (x) = 5x6 + 3x4 + 2x2 + 1 calcular la derivada sexta.


Derivadas III


Ano 2020

(Facultad de Artes Universidad Nacional de La Plata) Derivadas III Ano 2020 1 / 25

Derivadas III

Estudio de Funciones

Veremos:

El Teorema del Valor Medio

Crecimiento y Decrecimiento

Concavidad


Derivadas Continuas




Consideremos una funcion f (x) derivable, cuya funcion derivada, f ′(x) es unafuncion continua.Consideremos los puntos P(a, f (a)) y Q(b, f (b)) como indica la figura

x

y

a

f (a)

b

f (b)

Notemos que la pendiente de la recta que une los puntos sera

m =f (b)− f (a)

b − a

Ahora vayamos trazando paralelas:


Tirando paralelas

x

y

a

f (a)

b

f (b)


Existe esta paralela. Tangente a la curva a la vez

x

y

a

f (a)

b

f (b)

ξ



Observando el ultimo grafico

Observamos que entre a y b existe un numero ξ (ξ es la letra griega ’xi’) tal quela recta tangente en este punto es paralela a la recta que une los puntosP(a, f (a)) con Q(b, f (b)) Entonces, como estas rectas son paralelas, tendremosque las pendientes son iguales.


Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b), entonces existe un punto intermedio ξ entre a y b tal que

f (b)− f (a)

b − a= f ′(ξ)

Observacion: El Teorema del valor medio nos garantiza que el punto ξ existe,pero, al igual que el Teorema de Bolzano, no nos dice donde esta.


Aplicacion del Teorema. Crecimiento y Decrecimiento

Consideremos una funcion continua y derivable -y con derivada continua-intervalo [a, b] (por lo general pedimos derivable en el abierto (a, b)).Si la funcion es creciente, tendremos que si a < b, tendremos f (a) < f (b)Entonces, tenemos b − a > 0 y f (b)− f (a) > 0Entonces,

f (b)− f (a)

b − a> 0, → f ′(ξ) > 0

Funciones Crecientes y Decrecientes

Una funcion f (x) con derivada continua en (a, b) sera

Creciente. Si la derivada es positiva en el intervalo

Decreciente. Si la derivada es negativa en el intervalo

Puntos CrıticosAquellos puntos donde la derivada se anula los llamaremos puntos crıticos


Concavidad

Puntos de Inflexion


Concavidad. Observemos la secuencia de graficos

x

y



x

y


Observaciones

Observaciones sobre la funcion

La funcion tiene un mınimo en x = 0

La funcion tiene derivada negativa en los x negativos (decreciente)

La funcion tiene derivada positiva en los x positivos (creciente)

Observaciones sobre la derivada

Notemos que la funcion derivada cambia de signo (porque pasa de valoresnegativos a valores positivos).

La funcion derivada es creciente porque podemos notar que aun en loslugares que es negativa, va de mas grande negativa a mas chica negativa(entonces va creciendo en numero)

Como la derivada primera es una funcion creciente, tendremos que

f ′′(x) > 0


Concavidad

Concavidad positiva

Vamos a decir que la funcion f (x) tiene un grafico con concavidad positiva(o directamente concavo) cuando

f ′′(x) > 0

Concavidad Negativa. O Convexa

Vamos a decir que la funcion f (x) tiene un grafico con concavidadnegativa (o directamente convexo) cuando

f ′′(x) < 0

Punto de Inflexion

Cuando f ′′(x0) = 0 y ademas cambio de signo la derivada segunda,diremos que x0 es un punto de inflexion.




Dada una determinada funcion f (x), un estudio detallado de funciones consistiraen

Analizar zonas de crecimiento y decrecimiento

Puntos Crıticos. Maximos y Mınimos locales

Regiones de concavidad positiva y negativa

Puntos de Inflexion

Comportamiento en los entornos de las asıntotas verticales

Lımites para lımx→∞ f (x) y lımx→−∞ f (x)


Ejercitacion

1. Determinar las regiones de crecimiento y decrecimiento para las siguientesfuncionesa) f (x) = x3, b) f (x) = −4x3 − 2x , c) f (x) = 5x3 + 6x ,

2. Graficar esquematicamente las siguientes funciones cuadraticas. (Pista: Elvertice es un punto crıtico)a) f (x) = x2 − 3x − 1, b) f (x) = 2x2 − 4x − 1, c) f (x) = x2 − 4x + 3,

3. Supongamos que una funcion tiene una derivada f ′(x) = 2 (siempre). Sif (0) = −1 determinar completamente la funcion.

4. Consideremos la funcion f (x) = x3 − x2 + x . Hallar el punto ξ que nosgarantiza el Teorema del valor medio para

f (4)− f (2)

2= f ′(ξ)


Ejercitacion

5. Determinar los puntos de inflexion y regiones de concavidad de las siguientesfuncionesa) f (x) = x + 1

x , b) f (x) = x1+x2 , c) f (x) = − x

1−x2 ,

6. Realizar un estudio completo para graficar esquematicamente la funcionf (x) = 4x3 + 2

7. Realizar un estudio completo para graficar esquematicamente las siguientesfuncionesa) f (x) = x−1

x+1 , b) f (x) = x+11+x2 , c) f (x) = x

2x−6 ,


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