Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016

8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016

1/61

CÁLCULO I PARA OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE

VOLUME II: Parte I

Cálculo de Deriada!

Naio Ta"#ue CAIRU: $Naio E!cola de Muito! O%iciai! Merca"te! e Pro%i!!io"ai! de área!a%i"!&'

Estaleiro Construtor: Ishikawajima-Harima Heavy Industries Co, Ltd. Kure Shipyard

no:!"#$

%ipo:&LCC'(LCC

Classi)i*adora:+S

%:/#01 t

L2:33#m

+2C:00m

Calado m45imo:m

+6%:!"3"! t

76%:!1#1#" t

%ripulantes:38

9ropulso: IHl Steamtur;ine $1111 SH9

&elo*idade m45ima:!8 n


2/61

PAULO VITOR DE MATOS (I)MANTAS

Ela*ora+,o e Produ+,o

Paulo Vitor de Mato! (i-.a"ta!

For.a+,o Acad/.ica e Pro%i!!io"al:

E"-e"0aria Mec1"ica 2342'

P5! )raduado: E"-e"0aria Naal' UFPA 2336

Me!tre e. E"-e"0aria Mec1"ica' UFPA 6778'

Pro%e!!or do Ce"tro de I"!tru+,o Al.ira"te 9ra de A-uiar de!de 2347'

C0e%e da Dii!,o de E"!i"o de Má#ui"a! do Ce"tro de I"!tru+,o Al.ira"te 9ra de A-uiar

Pro%e!!or Cola*orador do De;arta.e"to de E"-e"0aria Naal da UFPA'

Pro%e!!or Ho.e"a-eado co. a Medal0a: $Orde. M


3/61

INTRODU?@O

o es*rever este livro, o o;jetivo prin*ipal )oi o)ere*er ao estudante de =radua?o dos *ursos de

2)i*iais de @arinha @er*ante, en=enharia naval e *iAn*ias e5atas, um te5to Bue apresentasse os

*on*eitos )undamentais da dis*iplina *4l*ulo I, en)atiando a utilia?o dos limites, derivadas e

inte=rais *om a sua )undamenta?o te


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NDICE

-C4l*ulo de derivadas................................................................................................................ p = 0

.!-2 *on*eito de reta tan=ente................................................................................................... p = 0

.-C4l*ulo da derivada de uma )un?o de uma vari4vel.......................................................... p = #

..!-erivada de uma )un?o em um ponto 9Ja, )Ja............................................................... p = #

..- derivada de)inida *omo )un?o..................................................................................... p = /

..3- un?o di)eren*iava e *ontinuidade................................................................................. p = /

..$- erivadas de ordem superior......................................................................................... p = !8

..0- 6e=ras ;4si*as de deriva?o........................................................................................... p = !#

..8-%a;elas de derivadas........................................................................................................ p = 3!

.3-eriva?o implG*ita............................................................................................................. p = 3"

.$- So)twares para *4l*ulo de derivadas.................................................................................. p = $

+i;lio=ra)ia............................................................................................................................... p = $$

ne5o .................................................................................................................................... p = $0

ne5o +.................................................................................................................................... p = $8

4


5/61

6>Cálculo de deriada!

6'2>O co"ceito de reta ta"-e"te

Se uma *urva BualBuer representada por uma )un?o )J5 *ontGnua em um determinado intervalo,

podemos en*ontrar a reta tan=ente F *urva em um ponto 9Ja,)Ja, *onsiderando um ponto J5,

)J5 pr


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m=lim x →a

f ( x )−f (a) x−a

= lim x →4

x2−5 x+6−2

x−4 =lim

x →4

x2−5 x+4 x−4

=0

0indeterminado

m=lim x→ 4

x2

−5 x+4 x−4

=lim x →4

( x−1 )( x−4)( x−4)

=lim x →4

x−1=3

EBua?o da reta tan=ente:

y− y0=m ( x− x0 )↔ y−2=3 ( x−4 ) → y=3 x−10

2 =r4)i*o da )un?o e da reta tan=ente ilustrado na )i=ura .

i=ura .-6eta tan=ente a *urva y= x2−5 x+6no pontoondeaabscisaé 4 .

E5iste outra e5presso para a eBua?o da reta tan=ente, *on)orme ilustrado na )i=ura .3.

i=ura .3-In*lina?o da reta tan=ente.

onte: Stewart, Names. C4l*ulo, &ol!, Cen=a=e Learnin=, 1!3.

6


7/61

m=limh→0

f (a+h )−f (a)h

(2.3)

E5emplo

*har a eBua?o da reta tan=ente a *urva y=2/ ( x−1) no ponto J,.

Solu?o: 2 domGnio da )un?o R−{1} . 2 ponto J,! perten*e a *urva, pois Buando 5O,

yO.

m=limh→0

f (a+h )−f (a)h

=m=limh→0

f (2+h )−f (2)h

=m=limh→0

2

(2+h−1 )−f (2)

h

m=limh→0

2

(2+h−1 )− f (2)

h =lim

h→0

2

(h+1 )−2

h =

0

0indeterminado .

−2hh(h+1)

=¿ limh→0

−2(h+1)

=−2

m=limh→0

2

(h+1 )−2

h =lim

h→0

2−2h−2h(h+1)

=limh→0

¿

6eta tan=ente:

y− y0=m ( x− x0 )↔ y−2=−2 ( x−2 )→ y=−2 x+6

2 =r4)i*o da )un?o e da reta tan=ente ilustrado na )i=ura .$.

i=ura .$- 6eta tan=ente a *urva y=2/ ( x−1) no ponto J,.

7


8/61

6'6>Cálculo da deriada de u.a %u"+,o de u.a ariáel

6'6'2>Deriada de u.a %u"+,o e. u. ;o"to PaB %a

Limites do tipo limh→0

f (a+h )− f (a)h apare*em sempre Bue *al*ulamos uma ta5a de varia?o em

BualBuer ramo da *iAn*ia ou en=enharia, tais *omo ta5a de uma rea?o BuGmi*a, velo*idade de um

*orpo, a*elera?o, *usto mar=inal em e*onomia et*.

derivada de uma )un?o em um nMmero a denotada por f ' (a ) ou

df

dh ser4 ento e5pressa pela

eBua?o J.$ e ser4 i=ual ao *oe)i*iente an=ular da reta tan=ente a *urva em um ponto 9Ja,)Ja.

derivada tam;m em um nMmero a tam;m pode ser e5pressa pela eBua?o J.0,, onde h

su;stituGdo por 5-a

m=f ' (a )=limh→ 0

f ( a+h )−f (a)h

(2.4)

m=f ' (a )=lim x→ a

f ( x )−f (a) x−a

(2.5)

reta tan=ente em um ponto 9Ja,)Ja de uma *urva, pode a=ora ser de)inida *omo a reta Bue

passa em 9Ja,)Ja, *uja i"cli"a+,o i=ual af

' (a ) , derivadadafunçãoema.

E#ua+,o -e"


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f ' ( x )=

df ( x)dx

= lim x →0

f ( x+ x )−f ( x ) x

(2.8)

O simbo!odf ( x )

dxé devidoa "eibni# e a derivada pode ainda ser de)inida *omo:

df

dx= lim

x →0

f

x (2.9)

ssim, dado #ual#uer ".ero para o Bual ei!ta o li.ite dado pela eBua?o J./, atri;uGmos a

5 o ".ero %G, sendo %G uma "oa %u"+,o denominada deriada de %'

Peometri*amente, f ' ( x ) ser4 a i"cli"a+,o da reta ta"-e"te a )un?o )J5 no ;o"to P B%'

6'6'> Fu"+e! di%ere"ciáei! e co"ti"uidade

(ma )un?o deriv4vel ou di)eren*i4vel em um nMmero a se f ' (a) e5istir.

(ma )un?o deriv4vel ou di)eren*i4vel em um intervalo a;erto Ja,;

[ (−$,a ), (a ,+$ ) , ou(−$ ,+$)] se )or deriv4vel em *ada nMmero do intervalo.

Se a )un?o )J5 )or deriv4vel em a B ento a )un?o )J5 co"tJ"ua e. aB porm, nem toda )un?o

co"tJ"ua em a deriáel em a'

E5emplo 3

(tiliando a de)ini?o de derivadas, en*ontre f ' ( x ) para as se=uintes )un?Des:

1. f ( x)= x

2−

3

5

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

( x+ x)2

−3

5−( x2−35 )

x = lim

x→ 0

( x+ x)2

− x

2

x

f ' ( x )= lim

x→ 0

( x+ x)2

− x

2

x = lim

x→ 0

x

2 x= lim

x →0

1

2

2. f ( x )=5 x2−3 x+7

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x)

x

= lim x →0

5 ( x+ x)2−3 ( x+x )+7−(5 x2−3 x+7 )

x

9


10/61

f ' ( x )= lim

x→ 0

10 x x+5 x2−3 xx

= limx →0

x(10 x+5 x−3)

x = lim

x →0

(10 x+5 x−3)

f ' ( x )= lim

x→ 0

(10 x+5.0−3 )=10 x−3

3. f ( x )= x3− x

Identidade al=;ri*a: (a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

f ' ( x )= lim

x→ 0

( x+ x )3−( x+ x )−( x3− x )

x

f ' ( x )= lim

x→ 0

x3+3 x2 x+3 x x2+ x3− x−h− x3+ x

x

f ' ( x )= lim

x→ 0

+3 x2 x+3 x x2+ x3− x x

= lim x→ 0

x (3 x2+3 x x+ x2−1) x

3 x2+3 x x+ x2−1=¿3 x2+3 x .0+02−1=3 x2−1

f ' ( x )= lim

x →0

¿

4. f ( x )=√ x

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

√ x+ x−√ x x

f ' ( x )= lim

x→ 0

(√ x+ x−√ x)(√ x+ x+√ x ) x (√ x+ x+√ x )

= lim x→ 0

x+ x− x x (√ x+x+√ x)

f ' ( x )= lim

x →0

x+ x− x

x (√ x+ x+√ x)= lim

x →0

1

(√ x+ x+√ x)=

1

(√ x+0+√ x)=

1

2√ x

5. f ( x)=1− x2+ x

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

( 1− x− x2+ x+x )−1− x2+ x

x

10


11/61

f ' ( x )= lim

x→ 0

(1− x− x ) (2+ x )−(1− x ) (2+ x+x ) x (2+ x+ x ) (2+ x )

f ' ( x )= lim

x→ 0

2− x−2 x− x2− x x−2+ x−x+ x2+ x x

x (2+ x+ x ) (2+ x )

f ' ( x )= lim

x→ 0

−3 x x (2+ x+ x ) (2+ x)

= lim x →0

−3(2+ x+0 ) (2+ x )

= −3

(2+ x )2

6. f ( x )= x2

3

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x→0

( x+ x )2/3− x2/3

x = lim

x→0

( ( x+x )2)1 /3

−( x )21/3

x

Identidade tri=onomtri*a:

x3− y3=( x− y )( x2+ xy+ y2 )

x− y=( x1 /3 )3−( y1/3 )3=( x1 /3− y1 /3 ) ( x2/3+ x1 /3 y1/3+ y2/3 )

f ' ( x )= lim

x→ 0

(( x+ x )2)1/3−( x2 )

1/3. [ {( x+ x )2 }2/3+ {( x+ x )2}1/3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]

x [ {( x+ x )2 }2 /3+{( x+ x )2 }1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )1/3}2 /3]

f ' ( x )= lim

x→ 0

( x+ x )2− x2

x [ {( x+ x )2}2 /3+{( x+ x )2}1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]

f ' ( x )= lim

x→ 0

x2+2 x x+ x2− x2

x [ {( x+ x )2 }2 /3+{( x+ x )2 }1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]

f

'

( x )= lim x→ 0

+2 x x+x2

x [ {( x+ x )2}

2 /3+{( x+ x )2}1 /3 {( x

2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]

f ' ( x )= lim

x→ 0

x (2 x+ x)

x [ {( x+ x )2 }2 /3+{( x+ x )2 }1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]

f ' ( x )= lim

x→ 0

(2 x+ x )

[{ ( x+x )2 }2 /3+ {( x+x )2 }1 /3 {( x2 )1 /3}+ {( x2 )2 /3}]

11


12/61

f ' ( x )=

(2 x+0)

[ {( x+0)2 }2/3+ {( x+0 )2}1/3 {( x2 )1/3}+{ ( x2)2/3}]

f ' ( x )=

2 x

[ x4 /3+ x4/3+ x4 /3 ]=

2

3 x1 /3

7. f ( x)= x−1

x2+3 x

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

x+x−1

( x+x )2+3( x+ x )−

x−1

x2+3 x

x

( x+ x )

( x+ x−1)( x2+3 x )

( x+ x )2+3( x+ x )

−

( x−1)(¿¿2+3( x+x ))

x2+3 x

x

f ' ( x )= lim

x →0

¿

( x+ x )

( x+ x−1 ) ( x2+3 x )−( x−1) (¿¿2+3( x+ x ))

x [ ( x+ x )2+3( x+ x )( x2+3 x ) ]f ' ( x )= lim

x →0¿

f ' ( x )= lim

x→ 0

− x2 x− x x2+2 x x+ x2+3 x

x [ ( x+x )2+3( x+ x )( x2+3 x )]

− x2− x x+2 x+x+3¿

x ¿¿

f

'

( x )= limx →0 ¿

− x2− x x+2 x+x+3¿

− x2− x .0+2 x+0+3¿¿¿¿

f ' ( x )= lim

x →0

¿

12


13/61

f ' ( x )=− x

2+2 x+3

( x2+3 x )2

8.√ x3− x

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x→0

√ ( x+ x )3−( x+ x )−(√ x3− x )

x

f ' ( x )= lim

x→ 0

(√ ( x+ x )3−( x+x )−(√ x3− x )) (√ ( x+ x )3−( x+ x )+(√ x3− x) ) x (√ ( x+ x )3−( x+ x )+(√ x3− x ) )

f ' ( x )= lim

x→ 0

( x+ x )3−( x+ x )−( x3− x )

x (√ ( x+x )3

−( x+ x)+ (√ x3

− x ))

f ' ( x )= lim

x→ 0

x3+3 x2 x+3 x x2+ x3− x− x− x3+ x

x (√ ( x+ x )3−( x+ x )+ (√ x3− x ))

f ' ( x )= lim

x→ 0

3 x2 x+3 x x2+ x3− x

x (√ ( x+x )3−( x+ x)+ (√ x3− x ))

f

'

( x )= lim x→ 0 x (3 x2+3 x x+ x2−1)

x (√ ( x+x )3−( x+ x)+ (√ x3− x ))

f ' ( x )= lim

x→ 0

(3 x2+3 x x+ x2−1)

(√ ( x+ x )3−( x+ x )+ (√ x3− x ))=

(3 x2+3 x .0+02−1)

(√ ( x+0 )3−( x+0)+ (√ x3− x ))

f ' ( x )=

(3 x2+3 x .0+02−1)

(√ ( x+0 )3−( x+0)+ (√ x3− x ))=(3 x2−1)

2√ x3− x

9. f ( x )=| x2−3 x|

I=ualando o m


14/61

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

( x+ x )2−3 ( x+ x )− x2+3 x x

f ' ( x )= lim

x→ 0

x2+2 x x+x2−3 x−3 x− x2+3 x

x

= lim x→ 0

2 x x+ x2−3 x

x

f ' ( x )= lim

x→ 0

x (2 x+x−3) x

= limx →0

2 x+ x−3=2 x+0−3=2 x−3

9ara 0


15/61

ex>0,então3+x>3

x →0+¿ (3+ x )=¿3

x (3+ x ) x

=lim¿

¿

x→0+¿¿

x→0+¿ (3+ x )(3+ x−3)

x =¿ lim

¿¿

f (3+ x ) x

=lim¿

¿

x→0+¿¿

lim¿

¿

Se x


16/61

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

− x− x+ x x

=−1

)un?o deriv4vel para BualBuer x


17/61

2. f ( x )={ x

3

4 −

x2

2, s ex(2

−6 x−6

x2+2,sex0,então2+ x>2

x→0+¿ (2+ x )

3−2 (2+ x )2

4 x

x→0+¿

(2+ x )3

4 −

(2+ x )2

2

x =¿ lim

¿¿

f (2+ x )x

= lim¿

¿

x →0+¿ ¿

lim¿

¿

x→0+¿ 8+12 x+6 x

2+ x3−8−8 x−2 x2

4 x

x→0+¿ f (2+ x)

x = lim

¿¿

lim¿

¿

x →0+¿ x(4+6 x+ x

2−2 x)4 x

x→0+¿ 4 x+6 x

2+ x3−2 x2

4 x =lim

¿¿

x→0+¿ f (2+ x)

x =lim

¿¿

lim¿

¿

x→0+¿ f (2+ x)

x =

4+6.0+02−2.04

=1

lim¿ ¿

17


18/61

x→0+¿ f (2+x )

x =1

lim¿

¿

Se x


19/61

x→0+¿

xsin( 1 x )

x→0+¿

x2sin ( 1 x )x

=lim¿

¿

f ( x ) x

=¿ lim¿

¿

x→0+¿¿

lim¿

¿

%eorema do *on)ronto:

x→0+¿

x

x→0+¿

xsin( 1x )% lim¿ ¿ x→0+¿ x% lim

¿¿

−1% sin( 1 x )%1↔−x%xsin( 1x )% x →−lim¿ ¿

x →0+¿

xsin( 1 x )=0 x→0

+¿xsin( 1x )%0↔ lim¿ ¿

0% lim¿

¿

x→0−¿

xsin( 1 x )

x→0−¿

x2sin ( 1 x ) x

=lim¿

¿

f ( x )x

=¿ lim¿

¿

x→0−¿¿

lim¿ ¿

%eorema do *on)ronto:

x→0−¿

x

x→0−¿

xsin( 1 x )% lim¿ ¿ x→0

−¿ x% lim

¿¿

−1% sin( 1 x )%1↔−x%xsin( 1x )% x →−lim¿ ¿

19


20/61

x→0−¿ xsin( 1 x )=0

x→0−¿ xsin( 1x )%0↔ lim¿ ¿

0% lim¿

¿

lim x→ 0

f ( x )x

=0

A %u"+,o < deriáel e. 7

uando uma )un?o no di)eren*i4vel em um ponto de uma )un?o, os se=uintes *asos podem

o*orrer:

a des*ontinuidade de BuinaQ

; des*ontinuidade no pontoQ e

* tan=ente verti*al passando no ponto

)i=ura .8 ilustra os *asos Buando a )un?o no di)eren*i4vel no ponto *onsiderado.

i=ura .8-Casos onde a )un?o no tem derivada no ponto *onsiderado.

* fi+ura2.7 i!ustra umacurvacomumaretavertica! x=adef ( x) . 2;serve Bue a )un?o no

deriv4vel em 5Oa.

i=ura .#- 6eta tan=ente verti*al.un?o no deriv4vel em 5Oa.6'6'> Deriada! de orde. !u;erior

20


21/61

Se ) )or uma )un?o deriv4vel, ento sua derivada f ' ( x ) tam;m uma )un?o Bue pode ter sua

pr


22/61

f ' ' ' ( x )= f ' ( f ' ' ( x ) )= lim

x→0

f '' ( x+ x )−f ' ' ( x)

x = lim

x→0

6( x+x )−6 x x

= lim x→ 0

6 x

x =6

uarta deriada:

f 4 ( x )=f ' (f ' ' ' ( x ) )= lim

x →0

f '' '

( x+x )−f ' ' '

( x ) x

= limx →0

6−6 x

=00

indeterminado .

9orm,a in*lina?o da reta tan=ente representa o valor da derivada em um ponto de uma )un?o.

9ara a )un?o f ' ' ' ( x )=6 , a eBua?o de uma reta horiontal, e a sua tan=ente tem in*lina?o

nula.Lo=o, f 4 ( x )=f ' (f ' ' ' ( x ) )= f ' (6 )=0 .

9odemos ento =eneraliar e dier Bue a derivada de uma *onstante nula.ui"ta deriada:

f 5 ( x )= f ' ( f 4 ( x ) )= f ' (0 )=0

6'6'Q> Re-ra! *á!ica! de deria+,o

1. unçãoconstante

derivada de uma )un?o *onstante nula.f

' (c )=0

Se a )un?o *onstante uma reta horiontal, ento a tan=ente em BualBuer ponto tem in*lina?o

nulaJ reta paralela ao ei5o 5.

2. -u!tip!icaçãoda função porumaconstante

Se * uma *onstante e ) uma )un?o deriv4vel, ento:

f

'

(c . f ( x) )=c . f '

( x)

emonstra?o:

f ' (c . f ( x) )= lim

x→ 0

cf ( x+ x )−cf ( x ) x

= limx →0

c . lim x →0

f ( x+ x )−f ( x) x

f ' (c . f ( x) )=c . lim

x →0

f ( x+ x )− f ( x) x

=c . f ' ( x )

derivada de uma *onstante multipli*ada por uma )un?o i=ual a *onstante multipli*ada pela

derivada da )un?o.

22


23/61

3. erivadada pot/ncia

Se n um inteiro positivo, ento:

f ' ( xn )=n . xn−1

emonstra?o:

f ' ( xn )= lim

x →0

f ( x+ x )−f ( x ) x

= limx →0

( x+ x )n− xn

x

2 ;inRmio ser4 desenvolvido pelo ;inRmio de 7ewton.

( x+ x )n= xn+n xn−1 x+n(n−1)

2 0 x

n−2 x

2+1 xn

f ' ( xn )= lim

x →0

xn+n xn−1 x+ n(n−1)

2 0 x

n−2 x

2+1 xn− xn

x

f ' ( xn )= lim

x →0

x (n xn−1+ n(n−1)2 0 xn−2 x+1 xn−1) x

n xn−1+

n(n−1)

20

xn−2

x+1 xn−1=¿n xn−1+0+01+0=n xn−1

f ' ( xn )= lim

x →0

¿

Peneraliando:

f ' (cxn )=c . n xn−1

Esta re=ra apli*ada assim: @ultipli*a-se a *onstante pelo e5poente e su;trai um ao e5poente.

Bui )iemos a demonstra?o para n inteiro, porm, esta re=ra apli*a-se para BualBuer valor de nreal'

'So.a e !u*tra+,o de %u"+e!

Se )J5 e =J5 so )un?Des deriv4veis, ento:

f ' ( f ( x ) 2+ ( x ) )=( f ( x ) 2 + ( x ) )' ¿ f ' ( x)2 +' ( x )

emonstra?o:

a#endo ( x

)=f

( x

)2 +

( x

)↔

' ( x

)= limx →0

( x+x )− ( x )

x

23


24/61

f ( x)2 + ( x)¿

f ( x+ x )2 + ( x+ x )−¿¿

' ( x )= lim

x →0

¿

' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )−f ( x)x

2 lim x→ 0

+ ( x+ x )−+ ( x) x

' ( x )=(f ( x )2 + ( x ) )=f ' ( x )2 +' ( x)

derivada de uma soma ou di)eren?a de )un?Des deriv4veis, e i=ual a soma ou di)eren?a das

derivadas das )un?Des.

5 .Produtode funç3es

Sejam )J5 e =J5 )un?Des deriv4veis em um determinado intervalo a,;T.

Se J5 )or a )un?o produto )J5.=J5, ento:

' ( x )=f ( x ) . +' ( x )++ ( x ) . f ' ( x )

emonstra?o:

' ( x )= lim

x→ 0

( x+ x)− ( x ) x

= lim x→ 0

f ( x+ x ) . + ( x+x )−f ( x ) . +( x ) x

omando e subtraindof ( x+ x ) . + ( x ) aonumerador , teremos :

' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x ) . + ( x+x )+ f ( x+x ) . + ( x )− f ( x+ x) . + ( x )− f ( x ). +( x) x

' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )+ ( x+ x )−+( x )

x + lim

x →0

+( x )f ( x+ x )−f ( x )

x

' ( x )= lim x→ 0

f ( x+ x ) . lim x →0

+ ( x+ x )−+( x) x + lim x→ 0 +( x ) lim x →0

f ( x+ x )−f ( x ) x

' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x ) . lim x →0

+ ( x+ x )−+( x) x

+ lim x→ 0

+( x ) lim x →0

f ( x+ x )−f ( x ) x

lim x→ 0

+ ( x )=+ ( x ) , pois + ( x )nãodepende de x

' ( x )=f ( x ) . f ' ( +x )++ ( x ) . f ' ( x)

6.Quocinetede funç3es

24


25/61

Sejam )J5 e =J5 )un?Des deriv4veis em um determinado intervalo a,;T.

e ( x ) for a função4uocientef ( x )+ ( x )

então:

' ( x )=+ ( x ) . f

'

( x )−f ( x ) . +'

( x )(+( x ))2

emonstra?o:

f ( x+ x )+ ( x+ x )

−f ( x )+ ( x )

x =¿ lim

x→ 0

f ( x+ x ) + ( x )−+ ( x+ x ) f ( x) x . + ( x+ x ) . +( x )

' ( x )= lim

x →0

¿

Somando e su;traindo )J5.=J5 ao numerador

' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )+ ( x )−f ( x ) . + ( x )−+ ( x+ x ) f ( x )+ f ( x ) . +( x) x . + ( x+ x ) . +( x )

' ( x )= lim

x→ 0

+ ( x ) [ f ( x+ x )−f ( x ) ]− f ( x )[ + ( x+ x )−. + ( x )] x . + ( x+x ) . + ( x)

' ( x )= lim

x→ 0

+ ( x) . limx →0

f ( x+ x )− f ( x)

x+ ( x+ x ) . + ( x)

− lim x →0

f ( x ) lim x →0

+ ( x+ x )−+ ( x)

x+ ( x+ x ) . +( x )

' ( x )=

+ ( x ) . f ' ( x)+ ( x+ x ). +( x )

−f ( x ) . +' ( x)

+ ( x+ x ) . +( x )=+ ( x ) . f ' ( x )−f ( x ) . +' ( x)

(+( x ))2

U deriada do #uocie"te o denominador vees a derivada do numerador menos o numerador

vees a derivada do denominador divididos pelo Buadrado do denominadorV.

7. unçãoexponencia!

Seja a )un?o e5ponen*ial f ( x )=a x , a>0 .

f ' ( x )=a x !na

emonstra?o:

a

a x(¿¿ x−1)

x

f

'

( x )= lim x→ 0f ( x+ x )− f ( x)

x = lim x →0a

x+ x−a x

x = lim x→ 0 ¿

25


26/61

a

(¿¿ x−1)x

=a x .!na

f ' ( x )= lim

x→ 0

a x. lim x→0

¿

e f ( x )=e x ↔f ' ( x )=e x .!ne=e x

8. unção seno

e f ( x )=sin ( x ) ,então :

f ' ( x )=cos ( x)

emonstra?o:

(tiliando a de)ini?o de Lei;ni:

f ' ( x )=

df

dx= lim

x →0

f

x= lim

x →0

sin ( x+ x )−sin ( x) x


sin *−sin6=2sin ( *−62 )cos( *+62 )

2sin( x+ x− x

2 )cos( x+ x+ x

2 ) x

=¿ lim x→ 0

2sin ( x2 )cos (

2 x+x2 )

x

f ' ( x )= lim

x →0

¿

f ' ( x )= lim

x→ 0

sin( x2 ) x

2

. lim x→ 0

cos( 2 x+ x2 )=1.cos ( 2 x+02 )=cosx

9. unçãocosseno

e f ( x )=cos ( x ) ,então :

f ' ( x )=−sin ( x )

emonstra?o:

(tiliando a de)ini?o de Lei;ni:

26


27/61

f ' ( x )=

df

dx= lim

x →0

f

x= lim

x →0

cos ( x+ x )−cos ( x) x


cos *−cos6=−2sin ( *+6

2 )sin

( *−6

2 )−2sin ( x+ x+ x2 )sin( x+ x− x2 )

x =¿ lim

x→0

−2sin ( 2 x+ x2 )sin( x2 ) x

f ' ( x )= lim

x→0

¿

f ' ( x )= lim

x→ 0

−sin ( x+

x

2

) x . limx →0sin

(x

2

) x2

=−sin ( x+0 ) .1=−sin ( x)

10. unçãotan+ente

e f ( x )=tan ( x ) ,então :

f ' ( x )=sec2 ( x)

emonstra?o:

f ( x )= tan ( x )= sin ( x)cos ( x)

f ' ( x )=

cosx. (sin ( x))' −sin ( x )(cos ( x ))'

cos2 x

=cosx.cosx−sin ( x ) .−sin ( x)

cos2 x

f ' ( x )=

cos2 x+sin2 x

cos2 x

= 1

cos2 x=sec2( x)

22'Fu"+,o cota"-e"te

e f ( x )=cot+ ( x) ,então :

27


28/61

f ' ( x )=−cossec2 ( x)

emonstra?o:

f ( x )=cot+ ( x )=cos ( x)sin ( x)

f ' ( x )=

sinx. (cos( x))' −cos ( x )(sin ( x))'

sin2 x

=sin ( x ) .−sin ( x )−cos ( x ) .cos( x)

sin2 x

sin

−(¿¿2 x+cos2 x )

sin2 x

= −1

sin2 x=−cos sec2( x)

f '

( x )=¿

26'Fu"+,o !eca"te

e f ( x )=sec ( x ) ,então :

f ' ( x )=sec ( x) tan ( x)

emonstra?o:

f ( x )=secx( x)= 1

cos ( x )

f ' ( x )=

cos ( x) . (1 )' −1 (cos ( x))'

cos2 x

=0−1.−sin( x )

cos2 x

f ' ( x )=

sin ( x )

cos2 x

= 1

cos ( x ). sin ( x )cos ( x )

=sec ( x) tan ( x)

2'Fu"+,o co!!eca"te

e f ( x )=cos sec ( x ) ,então :

f ' ( x )=−cossec ( x )cot+ ( x )

emonstra?o:

f ( x )=cossec ( x)= 1

sin ( x)

28


29/61

f ' ( x )=

sin ( x ). (1)' −1 (sin ( x ))'

sin2 x

=0−1.cos( x )

sin2 x

f ' ( x )=

−cos ( x )

sin2 x=

−1

sin ( x).cos ( x)

sin ( x)=−cos sec ( x )cot+ ( x)

2'Fu"+,o lo-arJt.o

e f ( x )=loga x ,então :

f ' ( x )=

1

x

loga e= 1

x!na

emonstra?o:

9ropriedade dos lo=aritmos:

loga( *6 )=log * *−loga 6e loga 7 = 1

log 7 a

f ' ( x )= lim

x→ 0

f ( x+ x )− f ( x) x

= lim x →0

loga( x+x )−loga x x

= lim x→ 0

loga ( x+ x

x

) x1

x loga( x+ x x )=¿ lim x →0

1

x loga(1+ x x )

f ' ( x )= lim

x→ 0

¿

a#endox

x

=u ↔ x →0,u→0.

1

x loga (1+u )

1

u=¿ 1

x log

a

limu→0

(1+u )1

u

1

u . x loga (1+u)=¿ lim

u→0

¿

f ' ( x )=lim

u→0¿

f '

( x )=1

x loga e=1

x .

1

logea = 1

x!na .ef ( x )=ln ( x )↔f '

( x )= 1

x!ne=1

x

29


30/61

2Q'Re-ra da cadeia ou da %u"+,o co.;o!ta

Se =J5 uma )un?o deriv4vel em 5 e )J5 uma )un?o deriv4vel em =J5, ento a )un?o

*omposta =f ∘+definida por ( x)=f (+ ( x )) deriv4vel em 5 e

' ( x ) é ca!cu!ada pe!a e4uação :

' ( x )=f ' (+x ) . + ' ( x) .7a nota?o de Lei;ni, se ¿ f (u ) eu=+( x) so )un?Des deriv4veis, ento :

d

dx =

d

du

du

dx

emonstra?o

Sa;emos Bue para uma )un?o )J5 BualBuer, em um ponto a desta )un?o a derivada neste ponto

e5pressa por f ' (a )= lim

x →0

f (a+x )−f (a) x

. Se 8 a di)eren?a entref (a+x )− f (a)

x e a

derivada f ' (a) , ento:

8=f (a+ x )− f (a)

x − f ' ( a ).

lim x→ 0

8= lim x→ 0

( f (a+ x )−f (a) x −f ' (a))=0

Se de)inirmos 8 *omo ero, Buando x=0 , ento 8 se tornar4 uma )un?o *ontGnua de

x .

esta )orma, para uma )un?o di)eren*i4vel )J5, teremos Bue:

f ( x+a )−f (a )=f ' (a) x+8 x , onde 8→0,4uando x→0.

Sejam a=ora as )un?Des u ¿+ ( x) deriv4vel em a, e =f (u) deriv4vel em b=+ (a ) , ento:

u=+ (a+ x )−+ (a )=(+' (a )+8 1) x , 81→0, x→0

= f (b+ u )−f (b )=( f ' (b )+8 2 )u , 8 2→0, u→0

Su;stituindo uem :

30


31/61

=( f ' (b )+8 2) (+' ( a )+8 1) x

x =( f ' (b )+8 2) (+' (a )+8 1)=f ' (b ) . + ' (a )+ f ' (b ) . 8 1++' (a ) . 82+81.8 2

lim x→ 0

x = lim

x →0

f ' (b ) . +' (a)+ f ' (b ). 8 1++' ( a ) . 8 2+81.8 2

x→0↔8 1→0e 82→0

lim x→ 0

x = lim

x →0

f ' (b ) . +' (a)+ lim

x →0

f ' (b ) . 8 1⏟

¿0

+ lim x →0

+' (a ) . 8 2⏟

¿ 0

+ lim x→ 0

8 1. 8 2⏟

¿0

' (a )= f ' ( + (a)) . +' (a )

9ara BualBuer 5 onde a )un?o di)eren*i4vel:

' ( x )=f ' ( +( x)) . +' ( x )

re=ra da *adeia nos permite *al*ular as derivadas de )un?Des *ompostas *omo ar*sinJ5,

ar**osJ5, ar*tanJ5, ar*se*J5, ar*osse*J5 ef ( x)+ ( x)

16. unçãoe!evadaa função

e ( x )=f ( x)+ ( x) ,então :

' ( x )=f ( x )+ ( x){+' ( x ) !nf ( x )+ + ( x ) f

' ( x)f ( x) }

emonstra?o:

9ropriedade dos lo=aritmos:

x9 =e9!nx , 5W1.

f ( x )+ ( x)=e+ ( x )!nf ( x)

un?o *omposta:

' ( x )=f ' (+x ) . + ' ( x ) .

31


32/61

¿ f (u ) eu=+( x) so )un?Des deriv4veis, ento :

d

dx =

d

du

du

dx

a#endou=+ ( x )!nf ( x ) e (u)=eu

' (u )=

d

du =eu=e+ ( x ) !nf ( x )

u' ( x )=

du

dx=+ ' ( x )!nf ( x )++ ( x ) (!nf ( x ) )'

9ara *al*ular a derivada de !nf ( x ) novamente apli*amos a re=ra da *adeia.

: =!nv=e v=f ( x )

: ' ( v )=

d:

dv =

1

v=

1

f ( x )

v' ( x )=dv

dx

=df ( x )

dx

=f ' ( x )

(!nf ( x ) )' =d: dv

dv

dx=

1

f ( x ). f

' ( x )=f

' ( x )f ( x )

u' ( x )= du

dx=+ ' ( x )!nf ( x )++ ( x) (!nf ( x ) )' =+' ( x ) !nf ( x )++ ( x) f

' ( x)f ( x )

' ( x )=d dx = d du dudx =e+ ( x ) !nf ( x )

{+' ( x ) !nf ( x)++( x) f

'

( x )f ( x ) }

' ( x )=f ( x )+( x){+' ( x) !nf ( x )++ ( x) f

' ( x)f ( x ) }

17. unção arcsin ( x )

)un?oarcsinx

de)inida por:

32


33/61

arcsin x : [−1,1 ]⏞

→[−; 2

,;

2 ]⏞


34/61

sin29 +cos29 =1↔cos9 =√ 1−sin29 =√ 1− x2

darcsinx

dx =

1

cos (arcsinx)=

1

√ 1−cos2 x

18. unçãoarccosx

)un?o arccosx de)inida por:

arccos ( x ) : [−1,1 ]⏞

→[0,; ]⏞


35/61

d

du

du

dx=1↔−sin (u )

d arccosx

dx =1

darcosx

dx

= −1

sin (u)

= −1

sin (arccosx)

arccosx=9↔cos9 = x

sin29 +cos29 =1↔sin9 =√ 1−cos29 =√ 1− x2

darccosx

dx =

−1sin (arccosx)

= −1

√ 1−cos2 x

19. unçãoarctanx

)un?o arcsinx de)inida por:

¿⏞

→ [−; 2

,;

2]⏞


36/61

(u )=tan (u) e uO arctanx

' ( x )=

d

dx =

d

du

du

dx=1

d

du=sec2 (u)

du

dx=

darctanx

dx =(arctanx )'

d

du

du

dx=1↔sec2 (u)

d arctanx

dx =1

darctanxx

dx =

1

sec2(u)

= 1

1

cos2u

=cos2 u=cos2(arctanx )

arctanx=9 ↔tan9 = x

cos9 =sin9

x↔cos

29 =

sin9 2

x2

→cos29 =

1−cos2 9

x2

→cos29 =

1

1+ x2

darctanx

dx =

1

1+ x2

20. unçãoarccot+x

)un?o arccot+x de)inida por:

¿⏞


37/61

' ( x )=

−1

1+ x2

emonstra?o:

9ropriedades da )un?o inversa f −1 ( x ):

f −1 ( f ( x ) )= x ,∀ x∈ , f ( f −1 ( x ) )= x , ∀ x∈


38/61

21. unção arcsecx

)un?o arcsecx de)inida por:

¿−$ ,−10,

;

2 [= ]

;

2

[¿¿


39/61

d

du

du

dx=1↔sec (u ) tan (u)

d arcsecx

dx =1

darcsecx

dx

= 1

sec (u ) tan (u)

= 1

1cosu

. sinucosu

=cos

2u

sinu

=cos

2(arcsecx)

sin (arcsecx)

arcsecx=9↔sec9 = x

cos9 =1

x↔cos

29 =

1

x2→sin9 =√ 1−cos29 →=sin9 =√

x2−1 x

darccot+x

dx =

1

x2

√ x2−1 x

= 1

x2.

x

√ x2−1=

1

x√ x2−1

22. unçãoarccossecx

)un?o arccossecx de)inida por:

¿−$ ,−1−; 2

,0[= ]0

[¿¿


40/61

*ssim ,uti!i#ando f −1 ( f ( x ) )= x , teremosarccossec (secx )= x e cossec (arccossecx )= x

cossecx (arcsecx )= x

erivando os dois lados da eBua?o e apli*ando a re=ra da *adeia ao primeiro mem;ro:

(u )=cossec(u) e uO arccossecx

' ( x )=d

dx =

d

du

du

dx=1

d

du=−cossec (u)cot+ (u)

du

dx=

darccossecx

dx =(arccossecx)'

d

du

du

dx=1↔−cossec (u ) cot+ (u)

d arccossecx

dx =1

darccossecx

dx =

−1 cossec (u) cot+ (u)

= −11

sinu .

cosu

sinu

=−sin2u

cosu =

−sin2(arccossecx)cos (arccossecx)

arccossecx=9↔cossec9 = x

sin9 =1

x↔ sin

29 =

1

x2→cos9 =√ 1−sin29 →=cos9 =√

x2−1 x

darccossecxdx =

−1

x2

√ x2−1 x

=−1 x

2 . x√ x2−1

= −1 x√ x2−1

6'Fu"+e! Hi;er*5lica! *á!ica!

a¿ sinhx=e

x−e− x

2

40


41/61

e

e

(¿¿ x) ' −(¿¿− x )'

2 =

e x+e− x

2 =coshx

¿

dsinhxdx

=¿

b¿coshx=e

x+e− x

2

e

e

(¿¿ x) ' +(¿¿− x) '

2

=e

x−e− x

2

=sinhx

¿dcoshx

dx =¿

c ¿tanhx=sinhx

coshx=

e x−e− x

e x+e− x

dtanhx

dx

=

(

e x−e− x

e

x

+e− x

)

'

=(e x+e− x ) .(e x−e− x )' −(e x−e− x ) .(e x+e− x )'

(e x

+e− x

)2

dtanhx

dx =

(e x+e− x ) . (e x+e− x )−(e x−e− x ) . (e x−e− x )

(e x+e− x)2

dtanhx

dx =

(e x+e− x )2−(e x−e− x )2

(e x+e− x)2

dtanhx

dx =

e2 x+2e x e− x+e2 x−e2 x+2e xe− x−e2 x

(e x+e− x )2

dtanhx

dx =

2e x

e− x+2e xe− x

(e x+e− x )2 =

4

(e x+e− x )2=sech2 x

d ¿cot+hx=coshx

sinhx=

e x+e− x

e x−e− x

41


42/61

dcot+x

dx =( e

x+e− x

e x−e− x )

'

=(e x−e− x) . (e x+e− x )' −(e x+e− x ). (e x−e− x ) '

(e x+e− x )2

dcot+hx

dx =(e x−e− x ) . (e x−e− x)−(e x+e− x) . (e x+e− x )

(e x+e− x )2

dcot+hx

dx =

(e x−e− x )2−(e x+e− x )2

(e x+e− x)2

dcot+hx

dx =

e2 x−2e xe− x+e2 x−e2 x−2e xe− x−e2 x

(e x+e− x )2

dcot+hx

dx =

−2e x e− x−2e x e− x

(e x+e− x )2

= −4

(e x+e− x )2=−cossech2 x

e¿ sechx= 1

coshx=

2

e x+e− x

dsechx

dx =

(

2

e

x

+e

− x

)

'

=(e x+e− x) .2' −2. (e x+e− x ) '

(e x

+e− x

)

2 =

−2. (e x−e− x )

(e x

+e− x

)

2

dsechx

dx =

−2

(e x+e− x ).(e x−e− x )(e x+e− x )

=−sechx. tanhx

f ¿ cossechx= 1

sinhx=

2

e x−e− x

dcossechxdx =(

2e x−e− x )

'

= (e x

−e− x

) .2'

−2. (e x

−e− x

) ' (e x−e− x )2 =−2. (e

x

+e− x

)(e x−e− x )2

dcossechx

dx =

−2

(e x−e− x).(e x+e− x)(e x+e− x)

=−cossechx . cot+hx

6'6'8>Ta*ela! de deriada!

A! %u"+e! a#ui de.o"!trada! ;ode. !er colocada! e. u.a ta*elaB onde na primeira *oluna

*olo*ada a )un?o deriv4vel, e na se=unda *oluna o valor da derivada da )un?o no seu domGnio.

42


43/61

%a;elas de derivadas so muito Mteis para *onsulta Buando se utiliam pro;lemas de en=enharia e*ientG)i*os, onde a derivada da )un?o est4 preparada para a *onsulta.

(tiliando a re=ra da *adeia a se=uinte ta;ela de derivadas pode ser utiliada:

%a;elaI-erivadas das prin*ipais )un?Des

FUN?@O DERIVADA DA FUN?@O

1! y O * yX O 11 y O 5 yX O !13 y O *u yX O *uX1$ y O u Y v yX O uX Y vX10 y O uv yX O uXv Y uvX

18

1# y O un

, yX O n.un - !

.uX1/ y O au Ja W 1, 1" y O eu yX O eu. uX

!1 y O yX O

!! y O uv Ju W 1

! y O ln u

!3 y O sen u yX O *os u.uX

!$ y O *os u yX O - sen u.uX!0 y O t= u yX O se*u.uX!8 y O se* u yX O se* u . t= u . uX!# y O *ot= u yX O - *ose*u.uX!/ y O *ose* u yX O - *ose* u . *ot= u . uX

!" y O ar* sen u

1 y O ar* *os u

! y O ar* t= u

y O ar* *ot= u

3 y O ar* *ose* u,, ZuZ W !

$ y O ar* se* u,

, ZuZ W !0 y O senh u yX O J*osh u.uX

43


44/61

8 y O *osh u yX O Jsenh u.uX# y O t=h u yX O Jse*h u.uX/ y O *ot=h u yX O J-*ose*h u.uX" y O se*h u yX O J-se*h u.Jt=h u.uX31 y O *ose*h u yX O J-*ose*h u.J*ot=h u.uX

3! y O ar* senh u

3 y O ar* *osh u, u W !

33 y O ar* t=h u, ZuZ [ !

3$ y O ar* *ot=h u

, ZuZ W !

30 y O ar* se*h u, 1 [ u [ !

38 y O ar= *ose*h u,

3# y O )J=J5 yX O ) X J=J5. =XJ5

3/ y O lo=a ZuZ

u, v O )un*Des n, a O *tes ar* sen u O sen-! ar* *ot= u O *ot=-!

ar* *os u O *os-!

ar* *ose* u O *ose*-!

ar* t= u O t=-! ar* se* u O se*-!

E5emplo $

Cal*ular a derivada das se=uintes )un?Des:

1. f ( x)=3 x5+4 x4+3 x3+6 x2+5 x+8

6e=ra da potAn*ia e da *adeia:

f ( x )=uneu=f ( x ) →f ' ( x )=nun−1 u '

erivadas de *onstantes so nulas

dx

dx= ( x )' =1

44


45/61

f ' ( x )=5.3 x4 ( x )' +4.4 x3 ( x )' +3.3 x2 ( x )' +6.2 x ( x )' +5.1 x0 ( x )' +0

f ' ( x )=15 x4+16 x3+9 x2+12 x+5

2. f ( x )=4 x6+3

2 x

2

f ' ( x )=4.6 x5+

3

2.2 x=24 x5+3 x

3. f ( x )= x3

5+√ x3+6√ x5+8

f ( x )= x35+ x

32+ x

56 Y/

f ' ( x )=3

5 x

3

5−1+3

2 x

3

2−1+5

6 x

5

6−1+0

f ' ( x )=

3

5 x

−2/5+3

2 x

−1 /2+5

6 x

−1/6+0

f ' ( x )= 3

5 5√ x2

+ 32√ x

+ 56

6√ x

4. f ( x )=3

√ (2 x2−1 )2

f (u )=u2

3 eu=(2 x2−1 )2

f ( x )=(2 x2−1 )2

3

6e=ra da potAn*ia e da *adeia:

f ' ( x )=nun−1u '

f ' ( x )=

2

3(2 x2−1 )

2

3−1

⏟derivadada função principa!

Re+rada pot/ncia

. (2 x2−1 )' ⏟ erivadadafunçãointerna

⏞ Re+rada cadeia

=2

3 (2 x2−1 )

−13 (4 x )=

8 x

33

√ 2 x2−1

45


46/61

5. f ( x)=( x3+1 )( x2−1 )

6e=ra do produto:

f == .>

f ' == ' > +> ' =

f ' ( x )=( x3+1 )' ( x2−1 )+( x2−1 ) ' ( x3+1 )

f ' ( x )=(3 x2) ( x2−1 )+ (2 x ) ( x3+1 )

6. f ( x )= x2

−1 x+1

6e=ra do Buo*iente:

f ==

> ↔f

' => =

' −=> '

> 2

f ' ( x )=

( x+1 ) ( x2−1 ) ' −( x2−1 ) ( x+1) '

( x+1 )2

f ' ( x )=

( x+1 ) (2 x )−( x2−1 )( x)( x+1 )2

=2 x

2+2 x− x3+ x

( x+1)2 =

2 x2+3 x− x3

( x+1 )2

3√ x

2+ x7. f ( x)=(√ x+1+2 x )¿

3

√ x2

+ xf

' ( x )=(√ x+1+2 x ) .¿ \Y3

√ x2+ x¿ . (√

x+1+2 x ) '

3√ x2+ x

f ' ( x )=(√ x+1+2 x ) .(13 ( x2+ x)

1

3−1

.( x2+ x )' )⏞

Re+rada pot/nciae dacadeia

+¿. (

1

2( x+1 )

1

2−1

( x+1 )' +2)⏟ Re+rada pot/nciae dacadeia

46


47/61

f ' ( x )=

(√ x+1+2 x ) (2 x+1 )

33

√ ( x2+ x)2

+( 3√ x2+ x ) .12√ x+1

+23√ x2+ x

8. f ( x )=

√ x

3

+2( x2−1 )3

Solu?o: 6e=ra da potAn*ia, da *adeia, e do Buo*iente.

f (u )=√ u eu= x3+2

( x2−1 )3

f ( x )=( x

3+2

( x2−1 )3 )1

2

f ' ( x )=n .un−1 .u\

f ' ( x )=

1

2 ( x3+2

( x2−1 )3 )

1

2−1

. ( x3+2

( x2−1 )3 )

'

⏟ Re+rado4uociente

⏞ Re+rada pot/nciae dacadeia

f ' ( x )=

1

2.√( x3+2

( x2−1 )3 )

. [ ( x2−1 )3 . ( x3+2 )' − ( x3+2 ) . (( x2−1 )3 ) '

( ( x2−1 )3 )2 ]

f ' ( x )=

( x2−1 )3

.3 x2−( x3+2) .3. ( x2−1 )

2

. ( x2−1)' ⏞ Re+rada pot/nciae dacadeia

2.

√( x

3

+2( x2−1 )

3 ). (( x

2−1 )3)2

f ' ( x )=

( x2−1 )3.3 x2−( x3+2) .3. ( x2−1 )2 .2 x

2 .√( x3+2

( x2−1 )3 ).( ( x2−1 )3 )

2

9. f ( x )=sin3 x

47


48/61

un?o tri=onomtri*a:

f (u )=sin (u ) eu=3 x

6e=ra da *adeia:

f ' ( x )= cos (u ) . u' ⏞

Re+radacadeia

f ' ( x )=cos (3 x ). (3 x )' =cos (3 x) .3=3cos (3 x )

10. f ( x )=sin3( x3+3 x2)

Re+rada pot/nciae dacadeia:

u

sin (¿)¿¿

f (u )=¿

sin (u )n−1 ( sinu ) ' f

' ( x )=n¿

f ' ( x )=3sin2 ( x3+3 x2 ) .(sin( x3+3 x2))'

⏞

Re+rada pot/nciae dacadeia

f ' ( x )=3sin2 ( x3+3 x2 ) .cos ( x3+3 x2 ) .( x3+3 x2 )' ⏟

Re+radacadeia

f ' ( x )=3sin2 ( x3+3 x2 )cos ( x3+3 x2 ) (3 x2+6 x )

11.f ( x )=cos ( x2+2 x )

un?o tri=onomtri*a:

f (u )=cos (u) eu= x2+2 x

6e=ra da *adeia:

f ' ( x )=−sin (u ) . u' ⏞

Re+rada cadeia

48


49/61

f ' ( x )¿−si n ( x2+2 x ) . ( x2+2 x) ' ⏞

Re+rada cadeia

=−si n ( x2+2 x) .(2 x+2)

12. f ( x )=sin (3 x3+4 x )√ cos3 ( x+1)

6e=ra do produto:

f == .>

f ' == ' > +> ' =

f ' ( x )=(sin (3 x3+4 x )) ' √ cos3 ( x+1 )+sin (3 x3+4 x ) (√ cos3 ( x+1 ) ) '

(sin (3 x3+4 x ))' = cos (3 x3+4 x )⏞ erivadada funçãoexterna

. (3 x3+4 x )' ⏟ erivadadafunçãointerna

= (9 x2+4 )cos (3 x3+4 x )

(√ cos3 ( x+1) )'

=((cos ( x+1 ) )3

2)'

= 3

2 (cos ( x+1) )

3

2−1⏞

erivadadafunçãoexterna

. (cos ( x+1 ) )' ⏟ erivadadafunção interna

(√ cos3 ( x+1) )' = 3

2(cos ( x+1 ) )

12 .−sin ( x+1) . ( x+1 )'

(√ cos3 ( x+1) )'

=3

2(cos ( x+1 ) )

1

2 .−sin ( x+1 )(1+0)

(√ cos3 ( x+1) )'

=3

2(cos ( x+1 ) )

1

2 .−sin ( x+1)

f ' ( x )=(9 x2+4 )cos (3 x3+4 x )√ cos3 ( x+1)−sin (3 x3+4 x ) 3

2(cos ( x+1 ))

1

2 . sin ( x+1 )

f ' ( x )=(9 x2+4 )cos (3 x3+4 x )√ cos3 ( x+1)−sin (3 x3+4 x )

3√ cos ( x+1 )sin ( x+1 )2

13. eterminara se+undaderivadadas funç3es:

a¿ f ( x )= x3+√ x

49


50/61

f ' ( x )=3 x2+

1

2 x

1

2−1

( x )' =3 x2+1

2 x

−12 =3 x2+

1

2√ x

dx

df ¿

f ' ' ( x )=

d2f

d x2=

d

dx( ¿ )=(3 x2+ 12 x

−12 )

'

=6 x−1

2

1

2 x

−12

−1( x ) '

dx

df ¿

f ' ' ( x )=

d2 f

d x2=

d

dx( ¿ )=6 x−

1

4 √ x3

b¿ f ( x )=sinxcos3 x

6e=ra do produto

f == .>

f ' == ' > +> ' =

f ' ( x )=(sinx )' cos3 x+(cos3 x )' sinx=cosxcos3 x−sin3 x (3 x ) ' sinx

f ' ( x )=cosxcos3 x−3sin3 xsinx

f ' ' ( x )= (cosxcos3 x−3sin3 xsinx )' = (cosxcos3 x )' −(3sin3 xsinx ) ' ⏞

Re+radasomae subtração

(cosxcos 3 x )' =( cosx )' cos3 x+ (cos3 x ) ' cosx

⏞

Re+rado produto

=−sinxcos 3 x−sin3 x (3 x ) ' cosx

(cosxcos3 x )' =−sinxcos3 x−sin3 x (3 x )' cosx=−(sinxcos3 x+3sin3 xcosx )

(3sin3 xsinx )' =3 ((sin3 x )' sinx+sin3 x (sinx )' )=3 (cos3 x (3 x ) ' sinx+sin3 xcosx )

(3sin3 xsinx )' =3 (3cos3 xsinx+sin3 xcosx )

f ' ' ( x )=−( sinxcos3 x+3sin3 xcosx )−3 (3cos3 xsinx+sin3 xcosx )

50


51/61

f ' ' ( x )=−( sinxcos 3 x+3sin3 xcosx+3 (3cos3 xsinx+sin3 xcosx ) )

f ' ' ( x )=−(10sinxcos3 x+6sin3 xcosx )

c ¿ f ( x )=tan2 (3 x−2 )

f (u )=tan2 ueu=3 x−2

f ' (u )=2 tanu2−1 ( tanu ) ' ⏞

Re+radapot/ncia

erivada da tan=ente:

( tanu )' =sec2 u.u '

f ' ( x )=2tan2−1 (3 x−2 ). tan (3 x−2 )' =2.tan (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 ) (3 x−2 )'

f ' ( x )=2.tan (3 x−2) sec2 (3 x−2 ) .3=6tan (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 )

f ' ' ( x )=6 [ tan (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 ) ]' =6 [( tan (3 x−2 ) )' sec2 (3 x−2)+ tan (3 x−2 ) (sec2 (3 x−2 ) )' ]

erivada da se*ante:

(secu )' =secu.tanu.u'

( tan (3 x−2 ) )' =sec2 (3 x−2 ) (3 x−2 )' =3 sec2 (3 x−2 )

( sec2 (3 x−2 ) )' =2 sec (3 x−2 ) . (sec (3 x−2 ) )' =2 sec (3 x−2 ) . sec (3 x−2 ) . tan (3 x−2) . (3 x−2) '

( sec2 (3 x−2 ) )' =2 sec (3 x−2 ) .sec (3 x−2 ). tan (3 x−2 ) .3=6 sec2 (3 x−2 ) tan (3 x−2)

f ' ' ( x )=6 [ ( tan (3 x−2 ) )' sec2 (3 x−2 )+ tan (3 x−2 ) (sec2 (3 x−2 ) )' ]

f ' ' ( x )=6 [3sec2 (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 )+ tan (3 x−2 ) 6 sec2 (3 x−2 ) tan (3 x−2)]

f ' ' ( x )=6 [3sec4 (3 x−2 )2+tan 2 (3 x−2 ) 6 sec2 (3 x−2 ) ]

51


52/61

f ' ' ( x )= d

2f

d x2=18 sec4 (3 x−2 )2+36tan2 (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 )

14. eterminara primeiraderivadadasfunç3es

a¿ f ( x )=2( x3+3 x)

erivada da )un?o e5ponen*ial

(au ) ' =au !nau'

f ' ( x )=2( x

3+3 x ) ln2 ( x3+3 x )' =2( x3+3 x ) . ln2. (3 x2+3 )

b¿ f ( x )=e x2+5 x

erivada da )un?o e5ponen*ial

(eu )' =euu '

f ' ( x )=e x

2+5 x ( x2+5 x ) ' =e x2+5 x (2 x+5 )

c ¿ f ( x )=(sin 2 x )cos3 x

erivada de )un?o elevada F )un?o

(uv)' =v uv−1u' +uv !nuv '

f ' ( x )=cos3 x . (sin2 x )cos3 x−1.cos2 x .2+(sin2 x )cos3 x . ln (sin2 x) .−sin3 x .3

f ' ( x )=2cos3 x . (sin2 x )cos3 x−1.cos2 x−3 (sin2 x )cos3 x . ln (sin2 x ) . sin3 x

f ' ( x )=(sin2 x )cos3 x [2cos3 x . (sin2 x )−1.cos2 x−.3 ln (sin2 x ). sin3 x ]

6'>Deria+,o i.;lJcita

52


53/61

l=umas )un?Des so de)inidas impli*itamente. 9or e5emplo, a eBua?o da *ir*un)erAn*ia de raio

0e *entro J1,1 impli*itamente e5pressa pela eBua?o x2+ y2=25 e e5pli*itamente pela

eBua?o y=2√ 25− x2

.

2 )


54/61

d ( x3+ y3 )dx

=d (6 xy )

dx

d x3

dx + d y

3

dx⏞

Re+rada soma

=6(dxdx

y+ dydx

x

)⏟ Re+rado produto

3 x2+3 y2

dy

dx=6 ( y+ dydx x)

3 y2 dy

dx−6

dy

dx x=6 y−3 x2

dy

dx (3 y2−6 x )=6 y−3 x2

dy

dx=

6 y−3 x2

3 y2−6 x

3.sin ( x+ y )= y2cosx

>amosadotaranotaçãodf

dx= f ' ou

dy

dx= y '

(sin ( x+ y ) ) ' =( y2cosx ) '

cos ( x+ y ) . ( x+ y )' =[ ( y2 )' cosx+(cosx ) ' y2 ]

cos ( x+ y ) (1+ y'

)=2 y y'

cosx−sinx y2

cos ( x+ y )+cos ( x+ y ) y ' =2 y y ' cosx−sinx y2

cos ( x+ y ) y ' −2 y y ' cosx=−sinx y2−cos ( x+ y )

y' [cos ( x+ y )−2 ycosx ]=−sinx y2−cos ( x+ y )

54


55/61

y' =

dy

dx=−sinx y2−cos ( x+ y )

cos ( x+ y )−2 ycosx=

y2sinx+cos ( x+ y )

2 ycos−cos ( x+ y )

4. eterminardy

dx

nae4uação : x2 y− x y2+ x2+ y2=0

( x2 y− x y2+ x2+ y2 )' = (0 ) '

( x2 y )' −( x y2 )' +( x2 )' +( y2) ' =0

( x2 )' y+ y ' x2−[ ( x ) ' y2+ ( y2 )' x ]+2 x+2 y y ' =0

2 xy+ y ' x2−[ y2+2 yy ' x ]+2 x+2 y y ' =0

2 xy+ y ' x2− y2−2 yy' x+2 x+2 y y ' =0

y' ( x2−2 yx+2 y )= y2−2 xy−2 x

y' =

y2−2 xy−2 x

x2−2 yx+2 y

5. eterminardy

dxe

d2 y

d x2

nae4uação x2− xy+ y2=3

9rimeira derivada:

( x2− xy+ y2 ) ' =(3 ) '

2 x−[ ( x)'

y+ ( y ) ' x ]+2 y y'

=0

2 x−[ y+ ( y ) ' x ]+2 y y ' =0

2 x− y− y ' x+2 y y ' =0

y' (2 y− x )= y−2 x

55


56/61

y' =

dy

dx=

y−2 x2 y− x

Se=unda derivada:

( y ' )' =( y−2 x2 y− x )

'

=(2 y− x ) ( y−2 x ) ' − (2 y− x ) ' ( y−2 x )

(2 y− x )2

y' ' =

d2 y

d x2 =

(2 y− x ) ( y ' −2 )−(2 y ' −1) ( y−2 x )(2 y− x )

2

y '' =d2

yd x

2 =2 y y'

−4 y− x y'

+2 x−2 y y'

+4 x y'

+ y−2 x(2 y− x )2

y'' =

d2 y

d x2 =

3 xy ' −3 y

(2 y− x )2 =

3 x ( y−2 x2 y− x )−3 y(2 y− x )2

=3 x ( y−2 x )−3 y (2 y− x )

(2 y− x )3

y'' =

d2 y

d x2 =

3 xy−6 x2−6 y2+3 xy

(2 y− x )3

=6(− x2− y2+ xy)

(2 y− x )3

y'' =

d2 y

d x2 =

6 (− x2− y2+ xy )

(2 y− x )3

= 6.−3

(2 y− x )3=

−18

(2 y− x )3=

−18

[−( x−2 y ) ]3=

18

( x−2 y )3

6'> So%tare! ;ara cálculo de deriada!

E5istem so)twares espe*ialiados para o *4l*ulo de limites, derivadas e inte=rais analiti*amente enumeri*amente. os destes so)twares so o @%L+ e o @%HE@%ICS.

2s *omandos @%L+ para determinar os limites e derivadas so:

a 9ara limites

limitJ)J5,a , limitJ)J5,5, a,\le)t\ e limitJ)J5,5,a,\ri=ht\, onde ]le)t\ e ]ri=ht\ so os *omandos

para *al*ular os limites F esBuerda e F direita, respe*tivamente.

; para derivadas

2s *omandos do @%L+ para a primeira e derivadas superiores so:

di))J)J5 para a primeira derivada

56


57/61

di))J)J5,n para a ensima derivada

ntes de di=itar os *omandos, ne*ess4rio di=itar o *omando syms variável, onde variável é a

variável simbólica (x,y,z,etc.)

>amos ca!cu!arno-*?"*6 osva!ores de:

x→2−¿ x

2−4 x−2

x→2+¿ x

2−4 x−2

, e lim¿

¿

1.lim x →2

x2−4

x−2, lim

¿¿

7o 9rompt do @%L+:

WWsyms 5

WWlimitJJ5-'J5^-$,

ans O $

WWlimitJJ5^-$'J5-,5,,Xri=htX

ans O $

WW limitJJ5^-$'J5-,5,,Xri=htX

ans O $

x →0−¿ 1

x

x→0+¿ 1

x, e lim

¿¿

2.a¿ lim x →0

1

x, lim

¿¿

WWsyms 5

WWlimitJJ!'5,1

ans O7a7 Jno e5iste ¿

WW limitJJ!'5,5,1,Xri=htX

ans Oin)J +$ ¿

WW limitJJ!'5,5,1,Xle)tX

57


58/61

ans O-in)J- $ ¿

3. primeirae se+undaderivadade 1

3− x

WWsyms 5

WW di))J!'J3-5

ans =1/(3-x)^2

>> diff(1/(3-x),2)

ans =2/(3-x)^3

9i*lio-ra%ia

a I6ES, 67K.Cálculo di%ere"cial e i"te-ral' Editora:@*Pra-Hill,!"/".

; LEI%H2L, Louis. O Cálculo co. )eo.etria A"alJtica. 6io de Naneiro: Harper _ 6owdo +rasil Ltda, 111.*H26,lan.CálculoB co"ceito! e a;lica+e!.6io de Naneiro:Editora Livro %*ni*o.113

; @(7E7-2(LIS. Cálculo. 6io de Naneiro: Editora Livro %*ni*o, 111.

* SK2SKI, E.. Cálculo co. -eo.etria a"alJtica' So 9auloQ Editora @*=raw-Hill do+rasil Ltda. 111.

d S%E6%, [email protected]álculo Volu.e I.So 9aulo: Editora Cen=a=e Learnin=, 1!3.

d 26P7I`2 @6b%I@ I7%E67CI27L. O%%icer i" C0ar-e o% a" E"-i"eeri"-atc0 @odel Course #.1$ London: I@2, !""".

58


59/61

ANEOA

IDENTIDADES TRI)ONOM=TRICAS

1.sin2u+cos2u=1

2. sec2

u=1+ tan2

u

3.cosec2=1+ tan2

4.sin2 x=

1

2 (1−cos2 x )

5.cos2 x=

1

2 (1+cos2 x )

59


60/61

6.sin2 x=2 sinxcosx

7. sinxcosy=1

2[sin ( x− y )+sin ( x+ y)]

8. sinxsiny=1

2 [cos ( x− y )−cos ( x+ y ) ]

9.cosxcosy=1

2 [cos ( x− y )+cos ( x+ y ) ]

10.1−cosx=2sin2( x2 )

11.1+cosx=2cos2( x2 )

12.12 sinx=12cos( ; 2− x)

!3. sin ( x2 y )=sinxcosy2sinycosx

14.cos ( x+ y )=cosxcosy−sinxcosy

!0. cos ( x− y )=cosxcosy+sinxcosy

16. sinx+siny=2sin ( x+ y2 )cos( x− y2 )

17. sinx−siny=2sin( x− y

2 )cos

( x+ y

2 )18.cosx+cosy=2cos ( x+ y2 )cos ( x− y2 )19.cosx+cosy=−2sin( x+ y2 )sin( x− y2 )

ANEO 9

60


61/61

IDENTIDADES AL)=9RICAS

1. ( x+ y )2= x2+2 xy+ y2

2. ( x+ y )

3

= x3

+ y3

+3 x2

y+3 x y2

3. x3+ y3=( x+ y) ( x2− xy+ y2 )

4. x3− y3=( x− y )( x2+ xy+ y2 )

5. @ n−A n=( @ −A ) ( @ n−1+ @ n−2A + @ n−3A 2+1A n−1 )

Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016

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