Frecuencia de caras al lanzar una moneda sucesivamente

Ley de los grandes número

Demostrar mediante simulación la ley de los grandes número Nota: la demostración puede hacerse simulando el lanzamiento de un dado o moneda, el resultado de un cruce mendeliano,…

> prob = c(0.5,0.5) #lanzamiento una moneda misma probabilidad > moneda = c(1,0) #1 cara y 0 cruz (valores numéricos para obtener probabilidad directamente) > nsample = c(1:200) #los datos muestreados se incrementa en cada nuevo muestreo > nreplica = 200 #número muestras simuladas > vector_media = c(1:nreplica) > for (i in 1: nreplica){vector_media[i]=mean(sample(moneda,nsample[i],prob,replace=T))} #bucle vector probabilidad > vector_media > plot(vector_media, main="Ley grandes números", xlab="Número tiradas", ylab="Proporción Caras")

Solución: Ley grandes números demostrada mediante simulación

de la frecuencia de caras al lanzar una moneda sucesivamente

Bucle (Loop) for (i in start:finish) Ejecuta función >y =c(1:10) >for (i in 1:10){ y[i]= sqrt(i)}

THE DATA PIPELINE Probability statistical models

Probability distributions

> help(distribution) # también ?distribution

Probability distributions in R

Los modelos son caricaturas de la realidad

MODELOS PROBABILÍSTICOS

http://www.johndcook.com/blog/distribution_chart/

Averigua la distribución Indique qué clase de distribución siguen probablemente las siguientes variables. Elija siempre la solución más precisa.

1: ¿Producción lechera, en litros/vaca y día?

2: ¿Número de ejemplares de cada especie en una muestra de 20 insectos pertenecientes a una comunidad de 4 especies distintas?

3: ¿Frecuencia de machos en una muestra de 50 individuos de una especie bisexual?

4: ¿(Altura de un individuo - promedio en la población)/desviación típica?

7: ¿Número de hijos por familia en una población humana?

5: El número de entrecruzamientos por cromosoma y meiosis

Distribución normal

2)(2

1

2

1)(

x

exf

# Poisson distribution > ppois(16, lambda=12) # cumulative lower tail > ppois(16, lambda=12, lower=FALSE) # upper tail > pois = rpois(100, lambda=3) # muestra aleatoria tamaño 100 > qpois(.95,3) #value n 95% cumulative lower tail

# Continuous Uniform Distribution

> runif(10, min=1, max=3) # 10 valores entre 1 y 3

# Exponential Distribution

> pexp(2, rate=1/3) #acumulative lower tail > rexp(12, rate=1/3) #muestra aleatoria tamaño 12

Distribuciones discretas

# binomial > dbinom(4, size=12, prob=0.2) > binomial <- rbinom(100, 20, 0.2) # n resultados favorables p = 0.2 en muestras de m=20 y 100 simulaciones

La distribución normal

2)(2

1

2

1)(

x

exf

Dos parámetros determinan la forma de la distribución:

•la media, y

•la desviación típica (raíz cuadrada de

la varianza 2 = [(x-)2]/n)

•A y B difieren en sus medias (4 y 8) •B y C difieren en sus desviaciones típicas (1 y 0,5)

Función de densidad

Normal Distribution

# density normal distribution > dnorm (-1.1) #valor f(x) de N(0,1) #plot density function of normal distribution N(0,1) > x <- seq(-4, 4, 0.1) > plot(x,dnorm(x), type = "l") #plot density function of normal distribution N(2,.25) > x <- seq(0, 4, 0.1) > plot(x,dnorm(x,2,0.25), type = "l") # N(2,0.25) #Cumulative probability > pnorm(84, mean=72, sd=15.2, lower.tail=FALSE) #cumulative N(72,15.2) #Quantile value > qnorm(.975) #z value 97.5% cumulative lower tail # Sampling normal distribution > muestranorm = rnorm(100) #sample n=100 of z values > mean(muestranorm) > sd(muestranorm) >normalmea2s3 = rnorm(300,2,3) #sample n=300 of N(2,3) >mean(normalmea2s3)

The R Project for Statistical Computing

2)(2

1

2

1)(

x

exf

Q-Q Plot

> x<-c(4.75, 3.4, 1.8, 2.9, 2.2, 2.4, 5.8, 2.6, 2.4, 5.25) > qqnorm(x) > qqline(x)

Q-Q Plot

Line of quantiles of the data against normal quantiles

Tema 16: Genética cuantitativa 73

Muestreo de una

distribución normal

Observed data point

P(x = 2,5) ? P(x ≥ 2,5); μ = 3; σ = 2 P(x ≥ 185); μ = 170; σ = 12 P(-1 ≤ z ≤ 2,5); μ = 0; σ = 1

http://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution-table.html

Standard score =>

2)(2

1

2

1)(

x

exf2

2

1

2

1)(

x

ezf

THE DATA PIPELINE Summary statistics

•Estadístico (cantidad calculada de la muestra: media, varianza muestral) ( , s2)

•Parámetro ( , σ2 ) µ

•Distribución muestral de un estadístico

•Distribución de la variable

•Distribución del estadístico muestral

Inferencia estadística

Propiedades de los estimadores

•Sesgo

•Eficiencia

•Consistencia

THE DATA PIPELINE Summary statistics

•Estadístico (cantidad calculada de la muestra: media, varianza muestral) ( , s2)

•Parámetro ( , σ2 ) µ

•Distribución muestral de un estadístico

•Distribución de la variable

•Distribución del estadístico muestral

s estimador de σ

Distribución muestral de un estadístico

Distribución muestral de un estadístico

Promedio Promedio Promedio

The distribution of sample means from most distributions will be approximately normally distributed

The distribution of sample means from most distributions will be approximately normally distributed

http://www.nature.com/nmeth/journal/v10/n9/fig_tab/nmeth.2613_F3.html

# Sampling distribution of the statistics mean for a normal distributed variable > n_muestra = 100 > n_replicas = 1000 > vector_medias_muestras = seq(1,n_replicas) #vector_medias_muestra por réplica #bucle que calcula las n_replicas medias de cada muestra simulada de tamaño n_muestra # de una distribución normal > for (i in 1: n_replicas){vector_medias_muestras[i]=mean(rnorm(n_muestra))} > vector_medias_muestras > hist(vector_medias_muestras, nclass = 12) > mean(vector_medias_muestras) > sd(vector_medias_muestras) > 1/sd(vector_medias_muestras) # Sampling distribution of the mean statistics for an uniform distribution > for (i in 1: n_replicas){vector_medias_muestras[i]=mean(runif(n_muestra , min=1, max=3))} > hist(vector_medias_muestras) # Sampling distribution of the mean statistics for an exponential distribution > for (i in 1: n_replicas){vector_medias_muestras[i]=mean(rexp(100))} > hist(vector_medias_muestras)

Simulación de la distribución muestral del estadístico media en tres distribuciones de probabilidad: normal, uniforme y exponencial

Error del muestreo

Distribución muestral de la media muestral

D Distribución x Distribución

Error estándar de la media (Estándar error of mean)

85

Teorema Central del Límite

86

Teorema Central del Límite

La distribución aproximadamente normal de muchas variables muestrales puede fundamentarse en el teorema central del límite, que dice que la distribución de la suma aleatoria de muchos pequeños efectos se aproxima asintóticamente a una distribución normal, “a singularly beautiful law” (F. Galton).

87

Galton’s apparatus (Galton’s Quincunx)

Demostración intuitiva del Teorema Central

del Límite

Ver animación aquí

La posición que ocupa cada bola en el eje X resulta de la suma de pequeños efectos aleatorios +/- y su distribución se aproxima asintóticamente a una distribución normal.

88

Ver animación aquí

Galton’s apparatus (Galton’s Quincunx) Demostración intuitiva

del Teorema Central del Límite

La posición que ocupa cada bola en el eje X resulta de la suma de pequeños efectos aleatorios +/- y su distribución se aproxima asintóticamente a una distribución normal.

89

Significado biológico: cualquier variable influida por la acumulación de multitud de causas con un efecto pequeño y aleatorio tenderán a distribuirse normalmente

Significado estadístico: Muchos de los estimadores que se usan para hacer inferencias de parámetros de la población son sumas o promedios de medidas de la muestra, por lo que podemos usar la distribución normal para describir su conducta y efectuar inferencias

Teorema Central del Límite

90

Leyes universales y TLC (teorema límite central) Una ley macroscópica universal es aquella que gobierna el comportamiento colectivo de un sistema con independencia de su estructura microscópica. La ley de los grandes números o el teorema del límite central son casos de leyes universales cuyo significado se entiende. La causa matemática que subyace a la universalidad de otras leyes se desconoce

Teorema Central del Límite

THE DATA PIPELINE Inferencia

Estimación puntual e intervalo de confianza de un parámetro poblacional

http://2012books.lardbucket.org/books/beginning-statistics/s11-estimation.html#fwk-shafer-ch07_s01_f02

http://2012books.lardbucket.org/books/beginning-statistics/s11-estimation.html#fwk-shafer-ch07_s01_f02

#Zalpha/2 >alpha = 0.05 >qnorm(1-alpha/2)

Compara intervalos de confianza de distribución z para n=100 alpha=0.1 alpha=0.05 alpha=0.01 alpha=0.001

Estimación por intervalos de

confianza

Computer Simulation of 40 confidence Intervals of a mean where α = 0.05

n-1 dfs

n ≥ 30 t -> z

n < 30

x <- seq(-8,8,by=.1)

plot(x,dnorm(x),type='l',ylab="",main="df=2") lines(x,dt(x,df=2),lty=2)

Distribución t de Student

n-1 dfs

n ≥ 30 t -> z

n < 30

#talpha/2 >alpha = 0.05 >n = 5 >qt(1-alpha/2 , df=n−1)

Distribución t de Student

# Intervalo de confianza #Intervalo de confianza del 95% para la variable GC% #Se debe calcular n, media (xbar), desv típica (s), error estándar media (sem) n = sapply(GC,length) xbar = sapply(GC,mean) s = sapply(GC,sd) # sample standard deviation sem = s/sqrt(n); # standard error of mean E = qnorm(.975)∗sem; # margin of error - If t student then E = qt(.975, df=n−1)∗sem; IC = xbar + c(-E,E)

Datos Tabla resumen genoma humano

Loc Type Name RefSeq Size (Mb) GC% Protein rRNA tRNA Other RNA Gene Pseudogene

Nuc Chr 1 NC_000001.

11 248.96 42.3 9,684 17 89 3,889 4,778 1,050

Nuc Chr 2 NC_000002.

12 242.19 40.3 6,720 - 7 3,286 3,600 853

Nuc Chr 3 NC_000003.

12 198.3 39.7 5,616 - 4 2,403 2,780 668

Nuc Chr 4 NC_000004.

12 190.22 38.3 3,817 - 1 2,072 2,251 581

Nuc Chr 5 NC_000005.

10 181.54 39.5 3,949 - 17 2,017 2,393 579

Nuc Chr 6 NC_000006.

12 170.81 39.6 4,674 - 143 2,187 2,828 685

Un - . 133.2 44.6 8,128 4 184 3,042 5,260 1,424

•Estima intervalo confianza media alpha=0.05 siguiente conjunto de datos data = c(0.467, 0.645, 0.868, 0.472, 0.844, 0.879, 0.405, 0.604, 0.787, 0.449, 0.772, 0.780)

•Comparar valores con para alpha =0.05 y n=2,4,6,10,20,30

•El siguiente enlace se encuentran datos de la redundancia de los genomas secuenciados por el proyecto DGRP en D. melanogaster -> Lines_coverage_DGRP Calcula el intervalo de confianza del 95 para la variable Covered_Bases Debes calcular s # sample standard deviation sem = s/sqrt(n); # standard error of mean E = qnorm(.975)∗sem; # margin of error - If t student then E = qt(.975, df=n−1)∗sem; xbar + c(-E,E)

THE DATA PIPELINE Inferencia

Contraste de hipótesis / prueba de hipótesis

Elements of a statistical test

•Null hypothesis: H0

•Alternative hypothesis: H1

•Region of rejection / Critical region

•p-value: the value p of the statistic used to test the null hypothesis

•α: level of significance

Observed data point

Observed data point

Critical value

α

• Elements of a statistical test

•Null hypothesis: H0

•Alternative hypothesis: H1

•Region of rejection / Critical region

•p-value: the value p of the statistic used to test the null hypothesis

•α: level of significance

Statistical hypothesis testing

Two-tailed hypothesis testing One-tailed hypothesis testing

Statistical hypothesis testing

A B

Observed data point

•Errors in making a decision

•Error type I (α): H0 is rejected even though it is true (false positive)

•Error type II (β): H0 is not rejected even though it is false (false negative)

•Power of a test (1 – β): probability to find an effect when it exists

Nombre Fórmula Notas

Test-z para una muestra

(Población distribuida normal o n > 30) y σ conocida. (z es la distancia desde la media en relación con la desviación estándar de la media). Para distribuciones no normales es posible calcular una proporción mínima de una población que cae dentro de k desviaciones estandar para cualquier k.

Test-z para dos muestras Población normal y observaciones independientes con σ1 y σ2 conocidas

t-test para una muestra

(Población normal o n > 30) y desconocida

t-test para datos apareados

(Población normal de diferencias o n > 30) y desconocida o pequeña muestra de tamaño n < 30

Pruebas de hipótesis (ejemplos)

Más tests en -> http://es.wikipedia.org/wiki/Contraste_de_hipótesis

The null hypothesis is that μ = 15.4. We begin with computing the test statistic. > xbar = 14.6 # sample mean > mu0 = 15.4 # hypothesized value > sigma = 2.5 # population standard deviation > n = 35 # sample size > z = (xbar−mu0)/(sigma/sqrt(n)) > z # test statistic [1] −1.8931 We then compute the critical values at .05 significance level. > alpha = .05 > z.half.alpha = qnorm(1−alpha/2) > c(−z.half.alpha, z.half.alpha) [1] −1.9600 1.9600

Two-Tailed Test of Population Mean with Known Variance

n = 35 sigma = 2.5

El siguiente enlace se encuentran datos de la redundancia de los genomas secuenciados por el proyecto DGRP en D. melanogaster -> Lines_coverage_DGRP Prueba si media

Finches_dataset

Measurements in a Sample of Medium Ground Finches from Daphne Major (data were provided by scientists Peter and Rosemary Grant)

Compara las medias de los distintas variables medidas en Geospiza entre los años 1977 y el resto. ¿Hay algún fenotipo sometido a selección?

Multinomial Goodness of Fit

Cruces dihíbrido de Mendel: F2

315 plantas lisas-amarillas 108 lisas-verdes 101 rugosas-amarillas 32 rugosas-verdes a la F2.

Analizar mediantes una prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado si:

(a) Se ajustan a una razón 9:3:3:1 (b) las proporciones lisas:rugosas son 3:1 (c) les proporciones amarillas:verdes son 3:1

> f2observada = c(315,108,101,32)

> f2probteorica = c(9/16,3/16,3/16,1/16)

> chisq.test(f2observada, p=f2probteorica)

Chi-squared Test of Independence

> B = matrix( c(38, 76, 15, 105, 122 , 13), nrow=2, ncol=3, byrow=TRUE) > chisq.test(B)

CT CC TT

Control 38

(29,5%)

76

(58,9%)

15

(11,6%)

Case 105

(43,8%)

122

(50,8%)

13

(5,4%)

> Mapped_Coverage.lm = lm(Mapped_Coverage ~ Covered_Bases, data=coverage) > coeffs = coefficients(Mapped_Coverage.lm); coeffs > summary (Mapped_Coverage.lm) #F-statistic significance test

Single linear regression

# Regresión lineal #Regresión lineal variables Mapped_Coverage y Covered_Bases y de los datos Lines_coverage_DGRP #Código R

Finches_dataset

anova(lm(Beak_Width_(mm) ~ Last_Year,data= finches_dataset))

# ANOVA

Análsis de la varianza

Decision tree statistical test

Type of Data

Goal Measurement (from Gaussian Population)

Rank, Score, or Measurement (from

Non- Gaussian Population)

Binomial (Two Possible

Outcomes)

Survival Time

Describe one group Mean, SD Median, interquartile range

Proportion Kaplan Meier survival curve

Compare one group to a hypothetical value

One-sample t test Wilcoxon test Chi-square or Binomial test **

Compare two unpaired groups

Unpaired t test Mann-Whitney test Fisher's test (chi-square for large samples)

Log-rank test or Mantel-Haenszel*

Compare two paired groups

Paired t test Wilcoxon test McNemar's test Conditional proportional hazards regression*

Compare three or more unmatched groups

One-way ANOVA Kruskal-Wallis test Chi-square test Cox proportional hazard regression**

Compare three or more matched groups

Repeated-measures ANOVA

Friedman test Cochrane Q** Conditional proportional hazards regression**

Quantify association between two variables

Pearson correlation Spearman correlation Contingency coefficients**

Predict value from another measured variable

Simple linear regression or Nonlinear regression

Nonparametric regression**

Simple logistic regression* Cox proportional hazard regression*

Predict value from several measured or binomial variables

Multiple linear regression* or Multiple nonlinear regression**

Multiple logistic regression*

Cox proportional hazard regression*

http://www.graphpad.com/support/faqid/1790/

Choosing a Statistical Test

How to determine the appropriate statistical test • I find that a systematic, step-by-step approach is the best way to decide how to

analyze biological data. I recommend that you follow these steps: • Specify the biological question you are asking. • Put the question in the form of a biological null hypothesis and alternate hypothesis. • Put the question in the form of a statistical null hypothesis and alternate hypothesis. • Determine which variables are relevant to the question. • Determine what kind of variable each one is. • Design an experiment that controls or randomizes the confounding variables. • Based on the number of variables, the kinds of variables, the expected fit to the

parametric assumptions, and the hypothesis to be tested, choose the best statistical test to use.

• If possible, do a power analysis to determine a good sample size for the experiment. • Do the experiment. • Examine the data to see if it meets the assumptions of the statistical test you chose

(primarily normality and homoscedasticity for tests of measurement variables). If it doesn't, choose a more appropriate test.

• Apply the statistical test you chose, and interpret the results. • Communicate your results effectively, usually with a graph or table

Online Handbook of Biostatistics

http://www.r-tutor.com/elementary-statistics

THE DATA PIPELINE Multiple testing

• Bonferroni correction

• False discovery rate

Multiple testing

http://xkcd.com/882/

120

p-hacking (selective reporting or Inflation bias)

Selectively report analyses that produce significant results

• conducting analyses midway through

experiments to decide whether to continue collecting data

• recording many response variables and deciding which to report postanalysis

• deciding whether to include or drop outliers postanalyses, excluding, combining, or splitting treatment groups postanalysis

• including or excluding covariates postanalysis stopping data exploration if an analysis yields a significant p-value

Head ML, Holman L, Lanfear R, Kahn AT, Jennions MD (2015) The Extent and Consequences of P-Hacking in Science. PLoS Biol 13(3): e1002106. doi:10.1371/journal.pbio.1002106

The effect of p-hacking on the distribution of p-values in the range of significance

Links Analysis tools

•Elementary Statistics with R

•Online Handbook of Biostatistics

•R tutorial. An R Introduction to Statistics

•Statistical Analysis in R

•Statistical calculations

•Statistical errors. Features in Nature 13 february 2014

122 Ritchie MD, Holzinger ER, Li R, Pendergrass SA, Kim D. Methods of integrating data to uncover genotype-phenotype interactions. Nature reviews. Genetics. 2015 Feb;16(2):85-97.

123

•Multi-staged approach: divide data analysis into multiple steps, and signals are enriched with each step of the analysis. Reflect hypothesis variation is hierarchical. Example triangle approach of predicting causal genes in GWAS loci

1. SNPs are associated with the phenotype and filtered based on a genome-wide significance threshold 2. SNPs deemed significant from step 1 are then tested for association with another level of omic data (eQTLs, mQTLs, metabolite QTLs, pQTLs) 3. Omic data used in step 2 are then tested for correlation with the phenotype of interest.

• Meta-dimensional approach: Meta-dimensional analysis combines multiple data types in a simultaneous analysis

Data integration methods