Deformacion Por Carga Axial

RESISTENCIA DE MATERIALES

1

3.6 DEFORMACIÓN DE ELEMENTOS CARGADOS

AXIALMENTE

En la Fig. 3.51 se muestra un elemento AB de longitud L y sección transversal A

uniforme en toda longitud, sometido a la acción de la carga axial P.

Como el elemento AB es un sólido deformable, la distancia entre los puntos A y B

sufrirá una variación, lo cual quiere decir, que habrá un cambio en la longitud L,

Fig. 3.52 este cambio de longitud denomina deformación por fuerza axial,

.

Como el esfuerzo normal inducido en cualquier sección transversal del elemento

es uniformemente distribuido y constante en toda la longitud del mismo, entonces

la deformación unitaria longitudinal ε (en la dirección del eje centroidal

longitudinal) es también constante.

La magnitud de la deformación longitudinal puede

ser determinadas si el comportamiento mecánico del material es linealmente

elástico, es decir, que cumple con la ley de Hooke.

Según la ecuación (3.16):

Y según la ley de Hooke:

Por consiguiente.

Fig. 3.51

Elemento AB sometido a

carga axial.

Fig. 3.52

Deformación del elemento AB

sometido a carga axial

Ecuación 3.16 L

L

E

LE


2

Como el esfuerzo normal por carga axial se define como:

La deformación por carga axial del elemento AB se puede calcular con la siguiente

ecuación:

Esta ecuación muestra que el alargamiento del

elemento AB, (alargamiento entre los puntos A y B), es directamente proporcional

a la carga P y a la longitud L e inversamente proporcional al módulo de elasticidad

E y al área la sección transversal A. El producto AxE se conoce como rigidez axial

del elemento. Aunque la ecuación 3.17 se dedujo para un elemento bajo carga

axial a tracción, también es aplicable si el elemento está sometido a carga axial de

compresión, en este caso representa el acortamiento de la barra, (acortamiento

entre los puntos A y B). Por lo general por inspección se sabe si un elemento se

alarga o se acorta, sin embargo es posible establecer una convención de signos,

considerando positivo el alargamiento y negativo el acortamiento.

3.6.1 Deformación en elementos con varios segmentos

Se trata del uso de la ecuación (3.17) para el cálculo de deformación y situaciones

más generales. En la Fig. 3.53(a) se muestra un elemento con varios segmentos

prismáticos y cada segmento con carga axial, material o área de la sección

transversal diferentes.

La variación total de la longitud del elemento ABCD o lo que es lo mismo la

deformación total del mismo, , y que representa la variación de la distancia entre

los puntos A y D, se puede obtener sumando las variaciones de longitud o

deformaciones de cada segmento.

Para calcular las deformaciones en cada segmento se determinan las fuerzas

axiales internas para cada segmento; F1, F2 y F3 y se aplica la ecuación 4.2 para

cada uno.

Ecuación 3.17

A

F

EA

LF

321

11

111

EA

LF

33

333

EA

LF

22

222

EA

LF


3

2

3

Los cambios de longitud deben sumarse algebraicamente, con los alargamientos

considerados positivos y los acortamientos negativos.

En términos generales, para un elemento prismático, con varios segmentos, cada

uno con fuerzas internas axiales, material, o área de sección transversal diferentes,

la deformación total se puede obtener con la siguiente ecuación:

1

ni i

i i i

F L

A E

El subíndice i es un índice numerador para los varios segmentos de la barra y n es

el número total de segmentos. Se hace hincapié en que Fi no es carga externa sino

fuerza axial interna en el segmento i.

Fig. 3.53 Elemento de tres segmentos prismáticos con fuerzas axiales, área de

secciones transversales y materiales diferente

Ecuación 3.18


4

3.6.2 Deformaciones en elementos con sección variable y/o carga variable

Hay situaciones en las cuales la fuerza axial, o el área de la sección transversal, o

ambas varían a lo largo del eje centroidal longitudinal del elemento, como se

ilustra en la Fig. 3.54

El análisis se hace para un segmento diferencial de longitud dy, ubicado en

cualquier posición y dentro del elemento. En la correspondiente sección

transversal actuará la fuerza axial F(y), figura 3.55(b), que puede ser determinada

aplicando ecuaciones de equilibrio estático para cualquiera de las dos porciones

AC o CB, figura 3.55(a).

y (a) (b)

Llamando A(y) el área de la sección transversal de elemento diferencial, el

alargamiento d del mismo se puede expresar como:

Fig. 3.54

Elemento con secciones transversales variables y fuerza axial variable.

Fig. 3.55

(a) y (b) Fuerza axial sobre un elemento

diferencial de la barra AB.

EyA

dyyFd


5

El alargamiento del elemento AB se obtiene integrando sobre toda la longitud:

0 0

L L F y dyd

A y E

3.6.3 Compatibilidad geométrica de la deformación.

Esta situación se presenta en estructuras en las cuales cada elemento puede

alargarse o acortarse, pero estas deformaciones deben acomodarse al

desplazamiento de cualquier articulación o junta del sistema.

En la figura 3.56 se muestra una estructura, un marco triangular, que soporta una

carga de 25 kN. Las fuerzas que actúan sobre cada elemento se muestran en la

figura 3.57.

Las fuerzas axiales sobre los elementos AB y BC producen variaciones en las

longitudes de las barras AB y BC, (deformaciones), que se calculan con la

ecuación 3.17. Considerando que el material de cada barra es acero con un módulo

de elasticidad: E = 200 Gpa, se tiene:

3

4 9 2

35360 4.241.48 10

5.06 10 200 10 /AB

AB

FL Nx mx m

AE x mx x N m

Ecuación 3.19

Fig. 3.56 Estructura

ABC.


6

4

4 9 2

25000 31.63 10

23 10 200 10 /BC

BC

FL Nx mx m

AE x mx x N m

•

La compatibilidad geométrica de las deformaciones exige que los elementos AB y

BC se muevan de tal forma que mientras varían sus longitudes según los valores

calculados, deben permanecer rectos (sólo están sometidos a fuerza axial) y

continúan unidos en B. El mecanismo mediante el cual se satisface esta condición

se ilustra con las Fig. 3.58 y 3.59.

En primera instancia se supone, que las barras se desconectan en D y se varían sus

longitudes en y, δBC de forma que las longitudes ahora son AB1 y CB2

respectivamente. Para hacer coincidir B1 y B2 sin variar de nuevo las longitudes, se

toma los puntos A y C como centros y se trazan los arcos con radios AB1 y CB2

hasta que se corten en B’’. Por tanto, debido a la acción de la carga externa de 25

kN el punto B de la estructura se mueve al punto B". Fig. 3.58.

Fig. 3.57

Fuerzas sobre cada elemento de la

estructura ABC.


7

El desarrollo geométrico del punto B" no es práctico. Sin embargo como las

deformaciones de las barras son muy pequeñas comparadas con las longitudes de

las mismas, (la representación de las deformaciones en la gráfica son

exageradamente grandes), se pueden sustituir, con gran aproximación, los arcos

por las tangentes geométricas a los mismos en los puntos B1 y B2 (o por las

perpendiculares a sus radios AB1 y CB2 respectivamente), obteniendo la

intersección B', como una aproximación a B". Por su simplicidad, en la práctica se

emplea esta aproximación en los cálculos de deformación de estructuras. El

empleo de este método que sustituye los arcos por las tangentes (o perpendiculares

a los radios), se ilustra en la Fig. 3.59, que también permite calcular los

desplazamientos vertical y horizontal que llevan al punto B a ocupar la posición B'.

Fig. 3.58

Marco deformado según desarrollo geométrico.


8

Se tienen en cuenta y δBC para situar los puntos B1 y B2 se trazan las

perpendiculares a los radios AB1 Y CB2 ( o las tangentes a los arcos

correspondientes), B1B' y B2B'. Estas perpendiculares se cortan en el punto B',

posición del punto B de la estructura después de aplicada la carga.

3.6.4 Relación de Poisson

Cuando un elemento se somete a la acción de una fuerza axial de tracción, el

alargamiento longitudinal va acompañado de una contracción lateral, o sea una

contracción perpendicular a la dirección de la fuerza axial. Este cambio

deformación muestra en la Fig. 3.60(a) y (b), donde se muestran elemento antes y

después de la aplicación de la carga.

(a) (b)

Fig. 3.59

Marco deformado según

desarrollo analítico .

Fig. 3.60 (a) y (b) Alargamiento longitudinal y contracción lateral. (a)

Elemento antes de aplicar carga. (b) Elemento después de aplicar carga.


9

La deformación unitaria lateral en cualquier punto del elemento es proporcional a

la deformación unitaria longitudinal, en el mismo punto, si el material tiene un

comportamiento linealmente elástico. La relación de la deformación unitaria

lateral (’’d) sobre la deformación unitaria longitudinal (L) se conoce

como relación de Poisson y se denota con la letra griega, , por consiguiente:

Para un elemento sometido a fuerza axial de tracción, la deformación unitaria

longitudinal es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa. Para

compresión la situación es opuesta, el elemento se acorta (deformación unitaria

longitudinal negativa) y se ensancha (deformación unitaria lateral positiva).

La tabla 3.3 muestra los valores de la relación de Poisson para varios materiales en

el rango linealmente elástico. Hay que tener en cuenta que la relación de Poisson se

supone que tiene los mismos valores en tracción y compresión.

MATERIAL RELACIÓN DE POISSON (

Aleaciones de aluminio 0.33

Latón 0.34

Bronce 0.34

Hierro fundido 0.2 – 0.3

Cobre y aleaciones de cobre 0.33 – 0.36

Aleaciones de Magnesio 0.35

Níquel 0.31

Acero 0.27 – 0.30

Aleaciones de Titanio 0.33

Plásticos 0.4

Hule 0.45 – 0.50

Vidrio 0.17 – 0.27

Concreto 0.1 – 0.2

Ecuación 3.20

Ecuación 3.21

Tabla 3.3 Valores de la relación de Poisson para algunos materiales.

´

allongitudinunitarianDeformació

lateralunitarianDeformació

´


10

Las tres constantes de los materiales, módulo de elasticidad: E, módulo de rigidez:

G y relación de Poisson: se puedan relacionar mediante la ecuación:

EJEMPLO 3.9

Para el elemento ABCDE de acero de E1 = 200Gpa, E2 = 100 Gpa y E3 = 70 Gpa

mostrado en la figura 3.61(a), calcular:

a) La deformación total.

b) El desplazamiento del punto C.

Solución:

Para aplicar las ecuaciones 3.17 y 3.18, el primer paso es determinar las cargas

internas axiales para cada segmento del elemento, lo cual puede hacerse mediante

el método de los diagramas como se observa en la figura 3.61(b).

Ecuación 3.22

Fig. 3.61 (a) Elemento ABCDE. (b) Estado de fuerzas internas (axiales)

sobre el elemento ABCDE.

12

EG


11

(a) (b)

Aplicando la ecuación 3.17 se obtiene:

Para terminar la deformación total del elemento ABCDE, , se aplica de la

ecuación 3.18

La deformación calculada representa la variación de distancia entre los puntos A y

E. El signo negativo implica que el elemento ABCDE está sufriendo un

acortamiento, lo cual implica que los puntos A y E se acercan. Como el punto A es

fijo y ya que se comprobó la condición de acortamiento del elemento ABCDE, el

punto E necesariamente se desplazará hacia arriba, una distancia igual al valor de

la deformación total: ΔE = cm041,0 ,

Como el punto A en el elemento ABCDE es fijo, el desplazamiento del punto C

será igual a la deformación de la porción AC de la barra..

El signo negativo implica que la porción AC se acorta, lo que hace que el punto C

se desplace hacia arriba una distancia igual al valor de la deformación, o sea que:

=0.027cm.

DECDBCAB

cmcmcmcm 119,0105,0042,0015,0 cm041,0

cmcmBCABAC 042,0015,0 cmAC 027,0

ACC

E

m

mNm

mNBC

4

2924

102,410200105

6.070000

m

mNm

mNAB

4

2924

105.110200105

5.0.30000

m

mNm

mNCD

3

2924

1005.110100102

7.030000

m

mNm

mNDE

3

2924

1019,11070103

5.050000


12

EJEMPLO 3.10

Un elemento de acero AB de está colgado libremente de un apoyo, tal como se

muestra en la figura 3.62. Si el peso específico del acero es: /m3 y el

módulo de elasticidad E = 200Gpa, calcular la deformación total del elemento

debido al peso propio del mismo.

(a) (b)

Solución:

La deformación total del elemento AB se calcula aplicando la ecuación 3.19, ya

que está es una situación en la que se presenta carga variable. La fuerza axial F(y)

tiene un valor igual al peso de la porción del elemento que cuelga del diferencial

dy, Fig.3.62 (b).

2

35

9

2

78000 (1.2 )

2.808 10

2 200 10

Nx m

m x mN

x xm

Fig. 3.62

(a) Elemento de acero que cuelga del

apoyo A. (b) fuerza axial sobre el

diferencial dy.

yWyF

yAVolyW

yAyW

L L

E

L

E

y dy

A.E

.A.y

0

2

0

2

2 2


13

EJEMPLO 3.11

En la figura 3.63(a) se muestra un elemento AB en forma de tronco de cono.

Calcular la deformación total de elemento en función de P, L, D1, D2 y E.

(a) (b)

Solución:

En esta situación particular el área de la sección transversal del elemento es

variable, por consiguiente la deformación total se calcula aplicando la ecuación

3.19. La carga axial interna es constante F = P. Figura de 3.63(b).

La ecuación del área de la sección transversal en función de x, se determina a

través de la geometría mostrada en la Fig. 3.63(b).

Y r(y) se determina según la siguiente relación:

Por consiguiente:

y Por consiguiente:

Fig. 3.63

(a)..Elemento AB en forma

de tronco de cono. (b)

fuerza axial para el

elemento diferencial dx.

L

dyEyA

P

0

2

yryA

yL

Dr

L

DD

y

222

21

2

211

22

y

L

DDDA y

L

dy

EyL

DDD

P

0

2

211

22

y L

D D D r y

2 2

2 1 1 -


14

Trabajando la integral por sustitución

EJEMPLO 3.12

En la estructura mostrada en la figura 3.64, los elementos AB y AC, son del mismo

material, tienen la misma área de la sección transversal A y la misma longitud L.

Calcular el desplazamiento del punto A, si las uniones A, B y C se hacen mediante

pasadores.

(a) (b)

Solución:

En la Fig. 3.64(b), se muestra el estado de cargas sobre el pasador A.

Fig. 3.64

(a) Estructura ABC (b) cargas

sobre el pasador A.

yL

DDD

22

211 dy

L

DDd

2

21 dDD

Ldy

21

2

LL

DDE

PLd

DDE

LP

021

2

0 21

122

21121121

4

2

1

22

12

DED

PL

DL

L

DDDDDE

PL


15

Aplicando ecuaciones de equilibrio estático.

Por consiguiente

Como las fuerzas axiales son iguales en ambas barras así como también la longitud

L, el área de la sección transversal A y además son del mismo material, se

concluye:

Se aplica el principio de la compatibilidad geométrica, teniendo en cuenta que

como la fuerza en los elementos es de tracción, la deformación es un

alargamiento para cada barra.

Al ser las deformaciones iguales para los elementos AB y AC, Fig. 3.65. La

geometría muestra que el punto A tiene un desplazamiento vertical, sobre el eje Y,

esto hace que:

δ Fig. 3.65

Desplazamiento del punto A.

00 21 senFsenFFx

cos

PFPcosFFy

2020

scoAE

PL

AE

FL

221

22 cosAE

PL

cosA

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