Esfuerzo y Deformación

– Carga Axial

Contenido

• Esfuerzo & Deformación: Carga Axial • Deformación Normal • Ensayos de Esfuerzo-Deformación • Diagrama Esfuerzo-Deformación:

Material Dúctil • Diagrama Esfuerzo-Deformación:

Material Frágil • Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad • Comportamiento Elástico vs. Plástico • Fatiga • Deformación bajo Carga Axial • Ejemplo 2.01 • Problema modelo 2.1 • Indeterminación estática • Ejemplo 2.04 • Esfuerzo Térmicos • Relación de Poisson

• Ley generalizada de Hooke • Dilatación: Módulo de

compresibilidad • Deformación Cortante • Ejemplo 2.10 • Relación entre E, n, y G • Problema modelo 2.5

2 - 2

Introducción. Esfuerzo y Deformación: Carga Axial

2 - 3

• Lo adecuado de una estructura o maquina puede depender tanto de las

deformaciones en la estructura así como en los esfuerzos inducidos al

someterla a carga. No siempre es posible determinar las fuerzas en los

elementos de una estructura aplicando únicamente un análisis estático

• Considerar las estructuras como deformables permite la determinación

de fuerzas y reacciones en los miembros las cuales son estáticamente indeterminadas.

• La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un elemento

también requiere la consideración de deformaciones en el elemento.

• En el capitulo 2 se estudian las deformaciones en un elemento estructural sometido a carga axial. En capítulos subsiguientes se tratara con cargas de torsión (momentos de torsión) y de flexión pura.

• En el capitulo 1 se estudiaron los esfuerzos que las cargas aplicadas a una

estructura o máquina crean en varios elementos y conexiones, y si estos

esfuerzos producían o no fallas en ellos.

Deformación normal bajo carga axial

2 - 4

esfuerzo

deformaci n normal

P

A

óL

L

A

P

A

P

2

2

LL

A

P

2

2

Ensayos de Esfuerzo-Deformación

2 - 5

Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles

2 - 6

Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles

2 - 7

Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad

2 - 8

• Por debajo del esfuerzo de fluencia

Modulo de Young o

Modulo de Elasticidad

E

E

• La resistencia es afectada por las

aleaciones, tratamientos térmicos y

procesos de manufactura mas no así

la rigidez (Modulo of Elasticidad).

Comportamiento Elástico vs. Plástico

2 - 9

• Si la deformación desaparece al

quitar la carga, se dice que el

material se comporta

elásticamente.

• Cuando la deformación no

vuelve a cero al quitar la

carga, el material se dice que

se comportan plásticamente.

• El máximo valor de esfuerzo

para el cual esto ocurre es

llamado limite elástico.

Fatiga

2 - 10

• Propiedades de fatiga se muestran

en los diagramas de σ-n.

• Cuando el esfuerzo se reduce por

debajo del límite de fatiga, no

ocurren fallas de fatiga para

cualquier número de ciclos.

• Un miembro puede fallar debido a

fatiga en niveles de esfuerzo

significativamente por debajo del

límite de resistencia si es sometido

a muchos ciclos de carga.

• A medida que se reduce el

esfuerzo máximo, el numero de

ciclos aumenta hasta alcanzar el

límite de fatiga.

Deformación bajo Carga Axial

2 - 11

AE

P

EE

• De la Ley de Hooke:

• De la definición de deformación:

L

• Igualando y resolviendo para la deformación,

AE

PL

• Si la barra consta de varias secciones con

diferentes cargas y propiedades de material,

i ii

ii

EA

LP

Ejemplo 2.01

2 - 12

Determinar la deformación de la

barra de acero mostrada bajo las

cargas dadas.

in. 618.0 in. 07.1

psi1029 6

dD

E

SOLUCIÓN:

• Dividir la barra en componentes en

los puntos de aplicación de la carga.

• Aplicar un análisis de cuerpo libre

de cada componente para

determinar la fuerza interna

• Evaluar el total de los alargamientos

del componente.

2 - 13

SOLUCIÓN:

• Dividir la barra en tres

componentes:

221

21

in 9.0

in. 12

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

A

L

• Aplicar análisis de cuerpo libre a cada

componente y determinar las fuerzas internas,

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

P

P

P

• Evaluar el alargamiento total,

in.109.75

3.0

161030

9.0

121015

9.0

121060

1029

1

1

3

333

6

3

33

2

22

1

11

A

LP

A

LP

A

LP

EEA

LP

i ii

ii

in. 109.75 3

Problema modelo 2.1

2 - 14

La barra rígida BDE se apoya por dos

eslabones AB y CD. El eslabón AB es de

aluminio (E = 70 GPa) y tiene una sección

transversal de 500 mm2. El eslabón CD es

de acero (E = 200 GPa) y tiene una

sección transversal de 600 mm2. Para la

fuerza de 30 kN mostrada, halle la

deflexión a) de B, b) de D y c) de E.

SOLUCIÓN :

• Aplicar un análisis de cuerpo libre a

la barra BDE para encontrar las

fuerzas ejercidas por los eslabones

AB y DC.

• Evaluar la deformación de los

eslabones AB y DC o los

desplazamientos de B y D.

• Trabajar con la geometría para

encontrar la deflexión de E dadas

las desviaciones en B y D.

2 - 15

Desplazamiento de B:

m10514

Pa1070m10500

m3.0N1060

6

926-

3

AE

PLB

mm 514.0B

Desplazamiento de D:

m10300

Pa10200m10600

m4.0N1090

6

926-

3

AE

PLD

mm 300.0D

Diagrama de cuerpo libre:

Barra BDE

ncompressioF

F

tensionF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

SOLUCIÓN:

Problema modelo 2.1

2 - 16

Desplazamiento de E:

mm 7.73

mm 200

mm 0.300

mm 514.0

x

x

x

HD

BH

DD

BB

mm 928.1E

mm 928.1

mm 7.73

mm7.73400

mm 300.0

E

E

HD

HE

DD

EE

Problema modelo 2.1

Indeterminación estática

2 - 17

• Las estructuras en las cuales las reacciones y fuerzas

internas no pueden determinarse solo de la estática

se dice que son estáticamente indeterminadas.

0 RL

• Las deformaciones debido a cargas reales y

reacciones redundantes se determinan por separado

y luego son añadidas o superpuestas.

• Las reacciones redundantes se reemplazan con

cargas desconocidas que, junto con las otras cargas,

deben producir deformaciones compatibles.

• Una estructura será estáticamente indeterminada

siempre que tenga más apoyos de los que son

necesarios para mantener su equilibrio.

Ejemplo 2.04

2 - 18

Determinar las reacciones en A y B para la barra de

acero y la carga mostradas, asumiendo que ambos

soportes estaban fijos antes de que se aplicarán las

cargas.

• Resuelva para la reacción en A debido a las

cargas aplicadas y a la reacción encontrada en B.

• Imponga que los desplazamientos debido a las

cargas y a la reacción redundante deben ser

compatibles, es decir, se requiere que su suma

sea cero.

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a

la reacción redundante en B.

SOLUCIÓN:

• Considere la reacción en B como redundante,

libere la barra de ese apoyo y resuelva para el

desplazamiento en B debido a las cargas

aplicadas.

2 - 19

SOLUCIÓN :

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a las

cargas aplicadas con la restricción redundante liberada,

EEA

LP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la

restricción redundante,

i

B

ii

iiR

B

E

R

EA

LPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400

Ejemplo 2.04

2 - 20

• Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la

reacción redundante sean compatibles,

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

B

B

RL

R

E

R

E

• Encuentre la reacción en A debido a las cargas y a la

reacción en B

kN323

kN577kN600kN 3000

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

B

A

R

R

Ejemplo 2.04

Esfuerzos Térmicos

2 - 21

• Un cambio en temperatura resulta en un cambio en la

longitud o en una deformación térmica. No hay

ningún esfuerzo asociado con la deformación térmica

a menos que la elongación sea restringida por los

apoyos.

coeficiente de expansión térmica.

T P

PLT L

AE

• Trate el apoyo adicional como redundante y aplique

el principio de superposición.

0

0

AE

PLLT

PT

• La deformación térmica y la deformación del apoyo

redundante deben ser compatibles.

TEA

P

TAEPPT

0

Relación de Poisson

2 - 22

• Para una barra delgada sometidos a carga axial:

0 zyx

xE

• La elongación en la dirección x es acompañada

por una contracción en las otras direcciones.

Suponiendo que el material es isotrópico

(propiedades independientes de la dirección),

0 zy

• La relación de Poisson se define como

deformación lateral

deformación axial

y z

x x

n

• Combinando estas ecuaciones, las relaciones que

describen la deformación bajo carga axial en el

eje x son: x x

x y zE E

n

Ley de Hooke generalizada

2 - 23

• Para un elemento sometido a carga multi-axial, las

componentes de la deformación normal resultante

de los componentes de esfuerzo pueden

determinarse de el principio de superposición.

Para esto se requiere cumplir las condiciones:

1) la deformación esta linealmente relacionado al

esfuerzo aplicado

2) las deformaciones resultantes son pequeñas

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

nn

nn

nn

• Con estas restricciones se encuentra que:

Dilatación: Módulo de compresibilidad

• Respecto a un estado sin esfuerzo, el cambio de volumen

es

1 1 1 1 1 1

1 2

dilatación (cambio en volumen por unidad de volumen)

x y z x y z

x y z

x y z

e

E

n

• Para un elemento sometido a presión hidrostática

uniforme,

3 1 2

módulo de compresibilidad3 1 2

pe p

E k

Ek

n

n

• En elementos sujetos a presión uniforme, la

dilatación debe ser negativa, por lo tanto

210 n

Deformación Cortante

2 - 25

• Un elemento cúbico sometido a una tensión de corte

se deforma en un romboide. La tensión cortante

correspondiente se cuantifica en términos del cambio

del ángulo entre los lados,

xyxy f

• Un gráfico de tensión de corte vs deformación

cortante es similar a los gráficos anteriores de

tensión normal vs deformación normal salvo que

los valores de resistencia son aproximadamente la

mitad. Para pequeñas deformaciones,

zxzxyzyzxyxy GGG

donde G es el módulo de rigidez o módulo de

distorsión.

Ejemplo 2.10

2 - 26

Un bloque rectangular de un material

con módulo de rigidez G = 90 ksi es

pegado a dos placas horizontales rígidas.

La placa inferior está fija, mientras que la

placa superior está sometida a una fuerza

horizontal P. Sabiendo que la placa

superior se mueve 0.04 pulg bajo la

acción de la fuerza, determinar a) la

deformación cortante promedio en el

material y b) la fuerza P ejercida sobre la

placa.

SOLUCIÓN:

• Determine la deformación angular

o deformación cortante promedio

del bloque.

• Utilice la definición de esfuerzo

cortante para encontrar la fuerza P.

• Aplique la ley de Hooke para

esfuerzos y deformaciones cortantes

para encontrar los esfuerzos cortantes

correspondientes.

2 - 27

• Determine la deformación angular o

deformación cortante promedio del bloque.

rad020.0in.2

in.04.0tan xyxyxy

• Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y

deformaciones cortantes para encontrar los

esfuerzos cortantes correspondientes.

psi1800rad020.0psi1090 3 xyxy G

• Utilice la definición de esfuerzo cortante

para encontrar la fuerza P.

lb1036in.5.2in.8psi1800 3 AP xy

kips0.36P

Relación entre E, n, y G

2 - 28

• Una barra delgada cargada axialmente se

alargará en la dirección axial y contraerá

en las direcciones transversales.

n 12G

E

• Las componentes de deformación normal y

cortante (de cizalladura) están relacionados,

• Si el elemento cúbico está orientado como

en la figura inferior, se deforma en un

rombo. La carga axial también produce

una deformación cortante.

• Un elemento cúbico inicialmente orientado

como en la figura superior se deforma en

un paralelepípedo rectangular. La carga

axial produce deformaciones normales.

Problema modelo 2.5

2 - 29

Un círculo de diámetro d = 9 pulg esta inscrito

en una placa de aluminio sin esfuerzo de

espesor t = 3/4 pulg. Posteriormente, fuerzas

que actúan en el plano de la placa causan

tensiones normales x = 12 ksi y z = 20 ksi.

Para E = 10x106 psi y n = 1/3, determine el

cambio en:

a) la longitud del diámetro AB,

b) la longitud del diámetro CD,

c) el espesor de la placa, y

d) el volumen de la placa.

2 - 30

SOLUCIÓN:

• Aplique la ley de Hooke generalizada

para encontrar los tres componentes

de deformación normal.

in./in.10600.1

in./in.10067.1

in./in.10533.0

ksi203

10ksi12

psi1010

1

3

3

3

6

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

nn

nn

nn

• Evalúe las componentes de la

deformación.

in.9in./in.10533.0 3 dxAB

in.9in./in.10600.1 3 dzDC

in.75.0in./in.10067.1 3 tyt

in.108.4 3AB

in.104.14 3DC

in.10800.0 3t

• Encuentre el cambio en el volumen

33

333

in75.0151510067.1

/inin10067.1

eVV

e zyx

3in187.0V