Carga Axial

Apuntes de Mecánica de Materiales – Carga axial-Diana Guzmán

ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIALEn este capítulo se estudiará el comportamiento mecánico de elementos barra sometidos a carga axial ya sea de tensión o compresión, tal como los elementos de una armadura. Se determinarán los esfuerzos normales, las deformaciones lineales y las respectivas deflexiones, a fin de poder proceder a su diseño. Aplicando estos conceptos se obtendrán las reacciones en elementos sujetos a carga axial que sean estáticamente indeterminados. Así mismo, se hablará de esfuerzos normales y deformaciones lineales de origen térmico.

Figura 1,Si en un elemento sometido a carga axial, como el de la figura 1, se desprecian las deformaciones lineales transversales (efecto de Poisson), se puede suponer que la deformación lineal en la dirección de la carga es una función de una sola variable,

esto es, .

De acuerdo con esto, la deformación lineal unitaria estará dada por , (ecuación (1) del capítulo de deformaciones).

Despejando se tiene que . Integrando esta expresión sobre toda la longitud del elemento se obtiene la deformación total de éste o deflexión

(1).

Bajo estas condiciones, considerando un material elástico lineal, es posible

aplicar la ley de Hooke simplificada (ecuación (1) del capítulo de ecuaciones constitutivas). Si se supone que el esfuerzo normal está uniformemente distribuido sobre el área de la sección transversal, entonces no variará con respecto a y y z, por lo tanto, será una función que dependa

únicamente de x y podrá obtenerse como (ecuación (1) del capítulo de

esfuerzo); en donde la fuerza axial es una función y el área de

la sección transversal del elemento es una función . Sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene la expresión para la deflexión

(2) En el caso de una barra prismática constituida por un solo material (el módulo de Young E es constante), con área de la sección transversal constante y que esté sometida a una carga axial también constante, la deflexión estará dada por

1


(3).

Se sabe que la fuerza necesaria para obtener una deflexión unitaria , es la rigidez del elemento, por lo tanto, para carga axial, la rigidez, de acuerdo a la ecuación (3), está dada por

(4).

Tomando en cuenta las suposiciones iniciales, la energía de deformación estará

dada por (ecuación (20) del capítulo de ecuaciones constitutivas).

Sustituyendo los valores de esfuerzo encontrados, aplicando la ley de Hooke

simplificada , y considerando que el volumen de un elemento

diferencial puede expresarse de la forma , se tiene que la energía de deformación queda de la forma

(5)

Para caso de una barra prismática constituida por un solo material (el módulo de Young E es constante), con área de la sección transversal constante, sometida a una carga axial también constante, la energía de deformación estará dada por

(6).

A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación de las expresiones obtenidas.

Ejemplo 1Una barra que tiene un ligero ahusamiento y una longitud L está suspendida de un techo y soporta su propio peso además de una carga P en su extremo (figura (a)). Determine el desplazamiento debido a ambas cargas. El material tiene un peso específico (peso por unidad de volumen) y un módulo de elasticidad E.

Figura del ejemplo 1.SoluciónDel diagrama de cuerpo libre (figura (b)) se tiene que para que se cumpla el

equilibrio, es decir, ,

2


En este caso, el área de la sección transversal es variable (depende de x) y puede

expresarse como , (ver figura (c)), mientras

que el peso puede expresarse como donde

es el volumen del elemento considerado (figura (b)) y es la densidad del material.

Sustituyendo estos valores en la ecuación de equilibrio se

obtiene, . Despejando se obtiene que el esfuerzo está dado por

.Suponiendo un problema unidimensional en el cual puede aplicar la ley de Hooke simplificada, (se desprecia el efecto de Poisson) la deformación lineal unitaria se puede escribir como

.

En este caso, la deformación lineal estará dada por , por lo que la deformación total o deflexión en el extremo libre se puede expresar

en donde

(ver figura (c)).

Si . De las expresiones anteriores se puede manipular matemáticamente para obtener

Sustituyendo en la integral de se tiene la deflexión

Efectuando la integración, evaluando y simplificando se obtiene que la deflexión

total en el extremo libre de la barra es

3


Ejemplo 2Dos barras hechas de un material linealmente elástico han de absorber la misma cantidad de energía suministrada por fuerzas axiales. Compare los esfuerzos en las dos barras causados por la misma entrada de energía.

Figura del ejemplo 2.

SoluciónSuponiendo que la barra prismática (a) está sometida a una carga normal constante, el esfuerzo también será constante en toda su longitud, es decir,

, entonces, la energía de deformación para esa barra puede estar

dada por .Suponiendo ahora que la barra (b), constituida por tramos prismáticos, también está sometida a la misma carga normal constante de la barra (a), los esfuerzos también son constantes, pero tienen valores diferentes en los diferentes tramos de ésta, dependiendo del área transversal de dichos tramos, es decir,

.En este caso, la energía de deformación estará dada por

Si ambas barra deben absorber la misma cantidad de energía es decir

Simplificando El ensanchamiento de la barra (b) es perjudicial. Para la misma carga de energía, el esfuerzo de la barra “reforzada” es 26.5% mayor que el de la barra (a).

Nótese que, para problemas que se quieran modelar unidimensional mente:1º Las fuerzas y esfuerzos deberán satisfacer las ecuaciones de equilibrio en cualquier elemento del sistema.2º Se usarán las leyes constitutivas apropiadas que describan la manera de comportarse del material bajo esfuerzo.3º Se asegurará que las deformaciones formuladas den deflexiones en los miembros que sean compatibles unas con otras; ésta es la condición de compatibilidad.4º Se tomarán en cuenta los efectos térmicos significativos, como se verá más adelante.

Ejemplo13Un cilindro rígido B (figura (a)) rota con una velocidad de 500 rpm. Dos barras G

de longitud están adheridas al cilindro rígido B. Si el área de la sección

1 Shames,Irving H. Pitarresi,James M.,, Introduction to Solid Mechanics, 3ª Ed. Prentice Hall, 2000, ejemplo 5.2, pag 117.

4


transversal de cada barra es de 650 mm2 y su módulo de elasticidad es

¿cuál es el cambio en la longitud de las barras como resultado de la rotación? Las barras tienen una masa por unidad de longitud de 2.7 kg/m. El diámetro D del cilindro B es 0.3 m. Desprecie las fuerzas de gravedad.

Figura del ejemplo 3Solución

De la figura (b), la fuerza centrífuga para un elemento diferencial de barra a una

posición del eje central del cilindro está dada por en donde

es el diferencial de masa. Sustituyendo valores se tiene

. Integrando se obtiene que es la fuerza total en la sección entre r y el extremo de la barra. Aplicando la ley de Newton se tiene equilibrio de fuerzas en la sección en r por lo que

en donde es el área en la cual actúa

el esfuerzo normal radial . Sustituyendo valores y despejando,

De la geometría (figura (c)) y de la ley de Hooke, se puede calcular la elongación de cualquier segmento diferencial dr de la barra como

. Integrando se obtiene la elongación total de la barra como sigue:

.

Nota:Recordar que la aceleración en coordenadas cilíndricas es

y en este caso, la velocidad angular es constante y estamos considerando un radio fijo (constante), por lo que la

aceleración radial queda y la magnitud de la fuerza en la dirección

radial (fuerza centrípeta) es .

5


Ejemplo24Un cilindro elástico está montado en una plataforma en el espacio exterior como se muestra en la figura (a). La plataforma es desacelerada hacia abajo a razón de 25 m/s2. Un bloque rígido que tiene una masa de 1000 kg está adherido a la parte superior del cilindro. La masa por unidad de longitud del cilindro es una función del

cuadrado de z entre la parte superior y la inferior con un valor de 500 kg/m en la

parte superior y un valor de de 200 kg/m en la inferior. El cilindro tiene un diámetro de 200mm. Determine la distribución del esfuerzo y el cambio de longitud del cilindro debido a la desaceleración.

Figura del ejemplo 4.SoluciónEn la figura (b) se muestra un diagrama de cuerpo libre de una sección del elemento.

Para calcular la masa por unidad de longitud del cilindro como una función del

cuadrado de z, ésta se propone como una función en donde a y b son

constantes a determinar. Dado que en .

Por otro lado, dado que en .Dado que el sistema está en el espacio exterior no se considerará el peso.

La masa de un elemento diferencial será .

Aplicando la ley de Newton, se tiene que

con Realizando las operaciones se obtiene que el esfuerzo normal en el cilindro está

dado por .Aplicando la ley de Hooke como ecuación constitutiva, la deformación lineal unitaria será

Finalmente, usando la geometría y la compatibilidad, la deflexión queda

Ejemplo35

2 Shames,Irving H. Pitarresi,James M.,, Introduction to Solid Mechanics, 3ª Ed. Prentice Hall, 2000, ejemplo 5.3, pag 118.3 Shames,Irving H. Pitarresi,James M.,, Introduction to Solid Mechanics, 3ª Ed. Prentice Hall, 2000, ejemplo 5.4, pag 119

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En la figura se muestra un pilote que está siendo hincado en el terreno a velocidad constante de 5 ft/s por una fuerza motriz P2. Una fuerza resistente constante P1 de 20000 lb actúa en la parte inferior del pilote mientras que una fuerza de fricción f de intensidad constante de 2000 lb/in actúa en la superficie del mismo que está en

contacto con el suelo. Si el pilote entra al suelo en el tiempo , ¿cuál es el cambio de la longitud total de éste, a partir de una geometría no deformada, en un

tiempo y en un tiempo ? Tome


Solución

Parte 1: Para (figura (a)) se puede aplicar equilibrio para obtener la fuerza F1

que actúa en la posición z1 (figura (b)) de modo que (a)Aplicando ley de Hooke y tomando un incremento o variación del elemento

diferencial de se obtiene (figura (b))

Usando la geometría se puede obtener el acortamiento total del segmento de

pila de longitud h,

Figuras a) y b) de la solución del ejemplo 5.

Parte 2: Para (figura (c)) se puede utilizar la ecuación (3) dado que el esfuerzo

es uniforme en este tramo, por lo tanto el acortamiento total es

7


en donde se usó la ecuación (a) con para determinar

(figuras (a) y (b)). De la compatibilidad se tiene la deflexión total .

Dado que el pilote es hincado a una velocidad constante , entonces en

, (ya que ); sustituyendo valores se obtiene la deflexión total

En , ; por lo que en este caso, sustituyendo valores se obtiene la deflexión total

Figura c) de la solución del ejemplo 5

Miembros cargados axialmente, estáticamente indeterminados

En el miembro doblemente empotrado de la figura (2), hay dos reacciones

desconocidas , mientras que la ecuación de equilibrio de fuerzas es

. En este caso se dice que la barra de la figura está estáticamente indeterminada puesto que las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones.

Figura 2.

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Con objeto de establecer una ecuación adicional necesaria para la solución, es preciso considerar la geometría de la deformación. Concretamente, una ecuación que especifique las condiciones para el desplazamiento se llama condición cinemática o de compatibilidad. En este caso, una condición de compatibilidad requeriría que el desplazamiento relativo de un extremo de la barra con respecto al otro extremo fuera igual a cero, puesto que los apoyos están empotrados

, esto es .

Figura 3.

De la ecuación (3), el desplazamiento está dado por y de las condiciones geométricas, los desplazamientos relativos son (ver figura 3):

; , por lo tanto

.

De la ecuación de equilibrio, . Sustituyendo en la expresión anterior y despejando, las reacciones resultan ser

y .

Ejemplo 6

El tubo de acero de la figura se somete a la carga axial F en la sección B. Si

, y las áreas transversales de los segmentos son y

el módulo de elasticidad es en todos los tramos, hallar el esfuerzo en cada segmento y el desplazamiento en B.

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SoluciónEn este caso (ver diagrama de cuerpo libre de la figura de este ejercicio), el

equilibrio está dado por la ecuación donde son las reacciones desconocidas; por lo tanto, se trata de un problema estáticamente indeterminado. Para obtener las ecuaciones restantes, se acudirá a la compatibilidad cinemática y geométrica del problema en donde es posible aplicar la

ecuación (3) para calcular los desplazamientos en los diferentes segmentos del tubo.Aplicando el método de secciones, cada tramo deberá estar en equilibrio, tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura de la solución del ejemplo 6.

Del diagrama de cuerpo libre y las condiciones de frontera se tiene que los desplazamientos relativos entre los extremos de los segmentos son

, ,

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De las dos primeras ecuaciones se obtiene que . Comparando

con la tercera ecuación se obtiene ;

sustituyendo esta expresión en la ecuación de equilibrio se obtiene

y por lo tanto, .

Sustituyendo el valor de , se obtienen las reacciones

, .Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de equilibrio (ver la figura anterior), es posible obtener el valor de la fuerza que actúa en cada segmento del tubo y

calcular así el esfuerzo normal al que está sometido dicho segmento, es

decir, para el segmento CD,

(tensión), para el segmento BC,

(tensión) y para el segmento AB, (compresión).

El desplazamiento del punto B está dado por , por lo que el tramo AB se acorta.

Nótese que a los desplazamientos que describen el comportamiento de la estructura también se les conoce como grados de libertad; en este caso, los

desplazamientos en los puntos o nodos A, B, C y D, respectivamente, son los grados de libertad que describan el comportamiento del tubo de acero de este ejercicio. Los grados de libertad pueden ser finitos (cuando se proponen un número finito de nodos para estudiar el comportamiento de la estructura, es decir, se idealiza a la estructura, como en este ejemplo, los puntos A, B, C y D) o pueden ser infinitos (que es lo que se presenta en una estructura real).

Las condiciones de frontera son los valores previstos ya sea de alguno de los grados de libertad o de las fuerzas aplicadas a la estructura. Cuando las condiciones de frontera previstas se refieren a los desplazamientos, como es el caso de los

apoyos A y D en donde , se dice que se tienen condiciones esenciales; cuando los valores previstos en un nodo son las fuerzas, como es el punto B en donde está aplicada la fuerza F, se dice que se trata de condiciones naturales. En un nodo dado no es posible tener al mismo tiempo condiciones esenciales y condiciones naturales. Nótese que en los nodos A y D se conocen

de antemano los desplazamientos ( ) pero no las fuerzas (reacciones

) mientras que en los nodos B y C se conocen las fuerzas aplicadas (aunque

en C su valor sea cero), pero no los desplazamientos ( ).

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Ejemplo 7Ejemplo de diseño 4

Un bloque rígido horizontal W que pesa 500000 N se mantiene en posición con dos barras articuladas AB y CD como se muestra en la figura. Las barras tienen el mismo diámetro y están hechas del mismo material con un módulo de Young de

. Si después de conectar las barras y soltar el bloque desde la posición horizontal, la rotación máxima permitida en el bloque es de 0.05o y si se usa un factor de seguridad SF = 2.5, ¿cuál debe ser el diámetro mínimo de las

barras para un esfuerzo de fluencia ?


Solución

De las ecuaciones de equilibrio se tiene que , es decir (del diagrama de cuerpo libre mostrado a continuación)

(a).

Figura de la solución del ejemplo 7.Por otro lado, dado que tanto los elementos son prismáticos y las fuerzas constantes, la deflexión total en las barras está dada por la ecuación (3) de modo

que y .Para la máxima rotación permitida, la condición de compatibilidad geométrica requiere que

y (recordar que la longitud de un arco está dada por )Igualando las expresiones anteriores se tiene que

y (b). Despejando se obtienen los esfuerzos normales en las barras

y (c)

4 Shames,Irving H. Pitarresi,James M., Introduction to Solid Mechanics, 3ª Ed. Prentice Hall, 2000, ejemplo 5.11, pag 135.

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Por otro lado, si se lleva a cabo un diseño por factores de seguridad, el esfuerzo

normal permisible es

En este caso, la desigualdad de diseño se puede escribir como .

Nótese que , por lo que no se puede aceptar la rotación de 0.05o, es decir que la rotación debe ser menor. Es el nivel de esfuerzo, en lugar de la deflexión, el factor dominante en el diseño.Si se asigna el esfuerzo permisible como el esfuerzo máximo en la barra CD,

entonces .

Figura de la solución del ejemplo 7Por otro lado, para conservar la compatibilidad geométrica (ver figura anterior), el

ángulo de giro de la barra deberá ser tal que por lo que

las ecuaciones (b) quedan de la forma y .

Sustituyendo los valores se obtiene y

Dado que la ecuación de equilibrio (a) se puede expresar de la forma

, sustituyendo los valores encontrados

En la práctica se selecciona el diámetro normalizado más próximo por exceso al valor anterior.

Esfuerzos unidimensionales de origen térmico

Hasta ahora se ha considerado que la temperatura del cuerpo es uniforme, es decir, se ha impuesto la condición isotérmica para el cuerpo. Por eso, las deformaciones inducidas se deben únicamente a las cargas externas. Eliminando esta restricción, se puede considerar primero la existencia de un campo de temperatura no uniforme en un cuerpo elástico, suponiendo que la variación de la temperatura no es lo suficientemente grande como para considerar los cambios en los módulos elásticos del material de un sitio a otro del cuerpo.

Un elemento sólido isotrópico no restringido se dilata o contrae uniformemente en todas las direcciones cuando cambia la temperatura, lo que significa que se presenta deformación normal igual en todas las direcciones pero no existe deformación tangencial. Aún cuando el cuerpo pueda expandirse o contraerse libremente, existe un campo generalizado de esfuerzos denominado esfuerzos térmicos.

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Para determinar la deformación desarrollada en un cuerpo sometido a un campo de temperaturas y a un sistema de cargas, simplemente se superponen la deformación asociada con la dilatación o la contracción libre del elemento con la deformación asociada con el estado total de esfuerzos que actúa sobre el elemento. Este estado de esfuerzos incluye tanto los inducidos térmicamente como los producidos por las cargas externas. Por tanto, se supone que el elemento puede, inicialmente,

dilatarse o contraerse libremente, obteniendo una deformación . Las restricciones resultantes de una expansión no uniforme y las restricciones externas inducen un

estado de esfuerzos térmicos que producen la deformación . Si actúan cargas

externas, hay una deformación adicional de modo que la deformación lineal unitaria en un punto es

Para calcular se utiliza la ecuación para la expansión térmica que relaciona el

cambio de temperatura con el cambio de longitud de un segmento de línea pequeñísimo en la forma siguiente

(7)en donde es el coeficiente de expansión. Por consiguiente, la deformación

lineal en la dirección de L está dada por

(8)Para un estado unidimensional de esfuerzo en la dirección x y para un material elástico lineal, se tiene entonces que la deformación lineal unitaria es

(9)

en donde es el esfuerzo real resultante de los efectos térmicos y la carga externa.

Ejemplo58Una tubería de acero está empotrada en sus extremos tal como se muestra en la figura. Cuando la montaron, la temperatura de la tubería era de 15oC. Ya en uso, se tienen fluidos fríos a través de ella. Si se asume que la tubería termina con una temperatura uniforme de -18oC y si el coeficiente de expansión lineal es

para el rango de temperatura involucrado, determine la fuerza en la pared como resultado de este enfriamiento. Desprecie las fuerzas gravitacionales. (

)

5 Shames,Irving H. Pitarresi,James M.,, Introduction to Solid Mechanics, 3ª Ed. Prentice Hall, 2000, ejemplo 5.12, pag 138.

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Figura del ejemplo 8.SoluciónEn los puntos alejados de los apoyos se puede asumir que el esfuerzo resultante del cambio de temperatura es unidimensional. Debido a la restricción en los apoyos y a la uniformidad de la temperatura y la geometría, por compatibilidad se requiere

que ; aplicando la ecuación (9) se tiene el esfuerzo normal .

Dado que la temperatura desciende, es negativa y (tensión) es positivo dado que la pipa al enfriarse trata de encogerse pero los apoyos empotrados restringen la acción induciendo esfuerzos de tensión en la tubería.La fuerza P que actúa en los apoyos puede calcularse a partir de las

consideraciones de equilibrio, esto es,

Evaluando primero

De donde

Bibliografía1. Shames,Irving H. Pitarresi,James M., Introduction to Solid Mechanics, 3ª

Edición, Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-267758-X2. Popov, Egor P., Mecánica de Sólidos, 2ª Edición, Pearson Educación, 2000,

ISBN 970-17-0398-73. Gere, James M. , Timoshenko, Stephen P., Mecánica de Materiales, 4a Ed.,

International Thomson Editores, 1998, ISBN 96-7529-39-3

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