Definitivo Modelos
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Programación cuadrática
UNIVERSIDAD DE ORIENTE.NÚCLEO MONAGAS.
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE SISTEMAS.MODELOS DE OPERACIOENES I.
MATURÍN – EDO. MONAGAS.
Programación cuadrática
Profesora:Yudith Devia.
Bachiller:María José Viña.
Jairo Urbáez.Reny Centeno.
Carlos De Cabo.Jean Paul Rojas.Lindeicy Pérez.
Miguel
Concepto de Prgramación cuadrática
MAX:f(x1,x2)=x1+x2+x1x2+x1
2+x22
Es un caso particular de la Programación No Lineal
Posee términos cuadráticos en la función objetivo
Las restricciones son lineales x1+x2 ≤ 0
f(x1,x2)=x1+x2+x1x2+x12+x2
2
Ejercicio Prgramación cuadrática
Sujeto a:
MAX:f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x1
2-4x22
x1+2x2 ≤ 30x1,x2 ≥ 0
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
1• Comprobar si la función es cóncava o convexa
Max Cóncavo*Si:
< 0 Es cóncava
> 0Es
convexa
*Si:
Min Convexo
Resolucion del ejercicio Prgramación cuadrática
-Como:
*Se deriva parcialmente la función objetivo: f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x12-4x2
2
-Con respecto a x1:
-Con respecto a x2:
< 0 Es cóncava
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
2• Condiciones KKT
1
( )( ) (j=1,2....,n)
( ) 0 (i=1,2....,m)
0
mj
jjj j
i i i
i
g xf xx x
b g x
- Para problemas de maximización+ Para problemas de minimización
Las condiciones de Karush-
Kuhn-Tucker (KKT) son una
generalización del método de
los multiplicadores de
Lagrange para restricciones de
desigualdad.
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x12-4x2
2
Las condiciones (KKT) se resumen en 6 pasos:
1) Se toma la primera derivada parcial de la función objetivo con respecto a x1
Haciendo uso de la función objetivo:
x1+2x2 ≤ 30 1 El coeficiente de µ1 será 1
Resulta:
2) Como es maximizar, se le resta µ1. El coeficiente de µ1, va a depender de lo que resulte de la derivada parcial de la restricción con respecto a x1
Paso 1:
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x12-4x2
2
1) Se toma la primera derivada parcial de la función objetivo con respecto a x2
Haciendo uso de la función objetivo:
x1+2x2 ≤ 30 2 El coeficiente de µ1 será 2
Resulta:
2) Como es maximizar, se le resta µ1. El coeficiente de µ1, va a depender de lo que resulte de la derivada parcial de la restricción con respecto a x2
Paso 1:(Continuación)
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
Tomo lo obtenido en el paso 1 y se multiplica con su respectiva variable y se vuelve igualdadPaso 2: Complementariedad
Paso 3: Tomo la restricciónx1+2x2 ≤ 30
Paso 4: Lo obtenido en el paso 3, lo multiplico por µ1 y lo vuelvo igualdad
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
Paso 5: Planteo factibilidad de las variables del ejercicio
Paso 6: Planteo factibilidad de µ1
2 1 1
1 2 1 1
1 2 1
2 1 2 1
1 2
1 1 2
1 2
1( 1). 15 4 4 02( 1). (15 4 4 ) 01( 2). 30 4 8 2 02( 2). (30 4 8 2 ) 03. 2 30 04. ( 2 30) 05. 0 ; 06.
j x x uj x x x uj x x uj x x x u
x xu x xx x
1 0u
Síntesis de los 6 pasos:
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
3• Formular nueva restricción
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1 1
2 2
1
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 000
0
j x x x u
j x x x u
u x xx yx yu v
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1 1
2 2
1
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 000
0
j x x x u
j x x x u
u x xx yx yu v
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1 1
2 2
1
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 000
0
j x x x u
j x x x u
u x xx yx yu v
1
1
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1 1 2 2 1
2 2 1
1
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 00
0
0
j x x x u
j x x x u
u x xx y x y u v
x y u v
u v
Se unen en una nueva restricción:
Se toma lo obtenido en el paso 2 y 4 de las condiciones KKT
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1
2
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 0
j x x x u
j x x x u
u x xyyv
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1
2
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 0
j x x x u
j x x x u
u x xyyv
1
1 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
1
2
2( 1). (15 4 4 ) 0
2( 2). (30 4 8 2 ) 0
4. ( 2 30) 0
j x x x u
j x x x u
u x xyyv
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
4• Plantear sistema de ecuaciones
Tomo lo obtenido en el paso 1 y 3: 2 1 1
1 2 1
1 2
1( 1). 15 4 4 01( 2). 30 4 8 2 03. 2 30 0
j x x uj x x u
x x
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 1
1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 +y 303. 2 30
j x x u yj x x u
x x v
Lo vuelvo ecuación, y le agrego variables de holgura (ya que todas son ≤):
No pueden quedar valores negativos en la igualdad, por lo que multiplico por -1 las
primeras dos ecuaciones:
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 1
1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 +y 303. 2 30
j x x u yj x x u
x x v
(-1)
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
4• Plantear sistema de ecuaciones
Al multiplicar por -1 las primeras dos ecuaciones me resulta:
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 2 2 1 1
1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 y 303. 2 30
0, 0, 0, 0, 0, 00
j x x u yj x x u
x x vx x u y y vx y x y u v
Se debe buscar cumplir con la matriz identidad,
y con y1 e y2 negativas no se cumple.
Se agregan variables artificiales:
Se establece factibilidad:
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
4• Plantear sistema de ecuaciones
1 2 1 1 1
1 2 1 2 2
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 2 2 1 1
1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 y 303. 2 30
0, 0, 0, 0, 0, 00
j x x u y zj x x u z
x x vx x u y y vx y x y u v
Sistema de ecuaciones final:
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
5• Formular forma estándar
Min Z =z1+z2Establezco:
Despejo z1 y z2 del sistema de ecuaciones:1 2 1 1 1
1 2 1 2 2
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 2 2 1 1
1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 y 303. 2 30
0, 0, 0, 0, 0, 00
j x x u y zj x x u z
x x vx x u y y vx y x y u v
Sistema de ecuaciones:
Despegue de z1 y z2 : z1=15-4x1+4x2-µ1+y1
z2=30+4x1-8x2-2µ1+y2z1+z2=45-4x2-3µ1+y1+y2
F.O. equivalente con KKT
Sera la fila z
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
5• Formular forma estándar
Forma estándar:
Sujeto a:
1 2 1 1 1
1 2 1 2 2
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 2 2 1 1
4 4 154 8 2 y 30
2 300, 0, 0, 0, 0, 0
0
x x u y zx x u z
x x vx x u y y vx y x y u v
Min Z =z1+z2
Salen del sistema de ecuaciones
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
6• Solución del ejercicio por el desarrollo de SIMPLEX Modificado
Es similar al método bifásico, se resuelve con la fase 1 de este método. Se iterara hasta que el resultado de la función objetivo sea igual a cero.
En la primera iteración la fila z estará representada por:
1 2 2 1 1 2 1 2 1: ( , ) 4 3 0 0 0 45Max f x x x u y y z z v
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
it VB x1 x2 u1 y1 y2 v1 z1 z2 Sol.
0
z 0 -4 -3 1 1 0 0 0 -45
z1 4 -4 1 -1 0 0 1 0 15
z2 -4 8 2 0 -1 0 0 1 30
v1 1 2 0 0 0 1 0 0 30
1
Z -2 0 -2 1 1/2 0 0 1/2 -30
Z1 2 0 2 -1 -1/2 0 1 1/2 30
X2 -1/2 1 1/4 0 -1/8 0 0 1/8 9/4
V1 2 0 -1/2 0 1/4 1 0 -1/4 11
2
Z 0 0 -5/2 1 3/4 1 0 1/4 -7/2
Z1 0 0 5/2 -1 -3/4 -1 1 3/4 7/2
X2 0 1 1/8 0 -1/16 1/4 0 1/16 27/8
x1 1 0 -1/4 0 1/8 1/2 0 -1/8 11/4
Razón-
-
15/4
15
-
15
-
11/2
-
7/5
27
-
Resolucion del ejercicio Programación cuadrática
it Ec. x1 x2 u1 y1 y2 v1 z1 z2 Sol.
3
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 -2/5 -3/10 -2/5 2/5 3/10 3
2 0 1 0 1/20 -1/40 3/10 -1/20 1/40 9
3 1 0 0 -1/10 1/20 2/5 1/10 -1/20 12
X1=12X2=9U1=3
Solución para el problema de programación cuadrática es: X1=12X2=9
Programas que resuelven programación cuadrática
Excel Lingo
Programas que resuelven programación cuadrática
Lindo WinQSB
WinQSB
Programación Cuadrática
WinQSBIngresamos:
Nombre de Archivo
Número de Variables
Números de Restricciones (Constraints)
Criterio Objetivo (Max o Min)
Formato de Entrada (Hoja de Datos / Modelo
Normal)
Tipo de Variable (Continua / Entera / Binaria /
Irrestricta)
WinQSBVaciamos los datos del
Problema f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x1
2-4x22
x1+2x2 ≤ 30
x1,x2 ≥ 0
WinQSB
Programas que resuelven programación cuadrática
WinQSB
Gracias por su atención